Universidade de Brasília

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Caracterização dos Grupos Finitos comReticulados Metadistributivos

por

Jander Amorim Silva

Brasília2006

Agradecimentos

Agradeço,

Antes de tudo, a Deus por ter me proporcionado esse momento muito marcante emminha vida, não só pelo prazer te ter conseguido vencer mais essa etapa, mas pelos apren-dizados obtidos (tanto os matemáticos quanto os de vida) no decorrer dessa caminhada.

Ao meu orientador Prof. Rudolf Richard Maier pela orientação, incentivo e toda ajudae sugestões durante a elaboração desse trabalho.

Aos meus irmãos Júnior e Jansley, acima de tudo, o Jansley por ter, da forma dele,me incentivado e me abrigado quando aqui cheguei.

À minha namorada Larissa pela paciência que ela teve, várias vezes, quando eu tinhaque deixá-la para estudar (em especial para o exame); pela compreensão sempre que, àsvezes eu não estava de bom humor; pelo carinho que ela nunca deixou faltar nas horasmais difíceis que passei.

A todos os funcionários do departamento, em especial à Tânia.

A todos os amigos e colegas (principalmente os companheiros de exame) e me descul-pem por não citar nomes, pois eu não quero cometer o erro de esquecer alguém.

E, finalmente, aos meus pais Paulo e Nanci, pelo apoio e incentivo durante a realizaçãodesse trabalho e todo o carinho que me dispensaram em toda a minha vida. Obrigadopor vocês existirem.

i

Resumo

Neste trabalho, classificamos todos os grupos finitos G cujo reticulado de subgru-pos é metadistributivo, ou seja, para todo subgrupo H de G um dos intervalos [G/H] ou[H/1] é distributivo.

ii

Abstract

In this work, we classify the finite groups G whose subgroup lattice is metadis-tributive, that is, for every subgroup H of G one of the intervals [G/H] or [H/1] isdistributive.

iii

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 2

1.1 O Subgrupo de Frattini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Os π-subgrupos de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Os Subgrupos Normalizadores, Centralizadores e os Comutadores . . . . . 5

1.4 Grupos Caracteristicamente Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Os Grupos Lineares 14

2.1 Grupo Linear Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos 23

3.1 MD-grupos Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 MD-grupos não Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Prova do Teorema 3.2 (MD-grupos Solúveis) . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Prova do Teorema 3.3 (MD-grupos não Solúveis) . . . . . . . . . . . . . . . 33

Referências Bibliográficas 40

Introdução

Dizemos que um reticulado L (com o menor elemento 0 e o maior I) é metadistributivose para todo a ∈ L um dos intervalos [a/0] ou [I/a] é distributivo. Um grupo G é cha-mado de MD-grupo se seu reticulado de subgrupos L(G) é metadistributivo. A finalidadecentral do nosso trabalho é caracterizar a estrutura dos MD-grupos finitos que é dada nosTeoremas 3.1 e 3.2.

No capítulo 1, fazemos uma preliminar da teoria de grupos, buscando resultados quesão aplicados nas demontrações do dois Teoremas principais dessa dissertação. É feitatambém um retrospectiva da teoria de reticulados e alguns resultados relevantes, comopor exemplo, o Teorema de Ore, que caracteriza os grupos com reticulado de subgruposdistributivo. Vemos também a definição de metadistributividade e mencionamos comoilustração, a classificação de todos os MD-grupos finitos abelianos.

No capítulo 2, fazemos um breve estudo dos Grupos Lineares, definindo-os, encon-trando suas ordens e classificando os que são simples.

Por fim, no capítulo 3, caracterizamos todos os MD-grupos finitos, baseado no artigode Roland Schmidt (ver referência [11]), separando em dois casos: o primeiro, quando G

é um MD-grupo solúvel e no segundo caso, quando G é um MD-grupo não solúvel.

1

Capítulo 1

Preliminares

1.1 O Subgrupo de Frattini

Definição 1.1. Se G é um grupo, chamaremos de subgrupo de Frattini Φ(G) a interseçãode todos os subgrupos maximais de G. Quando o grupo G não tiver subgrupos maximais,definiremos Φ(G) = G.

Definição 1.2. Um elemento x ∈ G é chamado de não gerador (ou supérflo) se elepode ser omitido de qualquer conjunto gerador, ou seja: se G = 〈x, Y 〉, então G = 〈Y 〉,∀ Y ⊆ G

Teorema 1.3. O subgrupo de Frattini de um grupo qualquer G é o conjunto de todos oselementos não geradores de G.

Demonstração. Seja x um elemento não gerador de G e seja M um subgrupo maximalde G que não contém z (Lema de Zorn). Se x /∈ M , então G = 〈x, M〉 = 〈M〉, umacontradição. Portanto x ∈ M , para todo M e então x ∈ Φ(G). Reciprocamente, sez ∈ Φ(G), assuma que G = 〈z, Y 〉. Se 〈Y 〉 6= G então existe (Lema de Zorn) um subgrupomaximal M com 〈Y 〉 ≤ M . Mas z ∈ M e então G = 〈z, Y 〉 ≤ M , uma contradição.Portanto, z é um elemento não gerador.

Teorema 1.4 (Argumento de Frattini). Seja G um grupo, com K E G finito. Se P

é um p-subgrupo de Sylow de K (para algum primo p), então

G = KNG(P )

2

Capítulo 1. Preliminares

Demonstração. Se g ∈ G, então P g ≤ Kg = K, pois K E G. Como P g é p-subgrupo deSylow de K, então existe um k ∈ K com kPk−1 = gPg−1, ou seja, P = k−1gP (k−1g)−1.Temos então que k−1g ∈ NG(P ). Como g = k.(k−1g), concluímos que G = KNG(P ).

1.2 Os π-subgrupos de Hall

Definição 1.5. Seja G um grupo finito e π um conjunto de números primos. Umπ-subgrupo de Hall de G é um subgrupo o qual tem a ordem e o índice em G relati-vamente primos, ou seja, (|H|, [G : H]) = 1.

Algumas vezes é conveniente mostrar os divisores primos da ordem de um grupo. Se π

é um conjunto de primos, chamaremos de π-número um inteiro n o qual todos os fatoresprimos pertencem a π; o complementar de π é denotado por π

′ e de maneira análogadefiniremos um π

′-número. Por exemplo, se π = 2, 5, 7, 11, teremos que os números10 = 2.5; 275 = 52.11; 70 = 2.5.7 são exemplos de π-número enquanto 39 = 3.13; 9 = 32;323 = 17.19 são exemplos de π

′-número. Note que 6 = 2.3; 38 = 2.19; 45 = 32.5 não sãoπ-número e nem π

′-número.

Definição 1.6. Seja G um grupo e π um conjunto de números primos. Dizemos que G éum π-grupo se a ordem de cada um de seus elementos for um π-número. Analogamentedefinimos um π

′-grupo, ou seja, se a ordem de cada elemento é um π′-número.

Definição 1.7. Seja G um grupo e H ≤ G. Um subgrupo K de G é chamado de umcomplemento de H em G se

G = HK e H ∩K = 1

Teorema 1.8 (Schur, Zassenhaus). Seja G um grupo. Então um subgrupo de Hallnormal K em G tem um complemento (e então G é um produto semi-direto de K porG/K).

Demonstração. A demonstração desse Teorema pode ser encontrada em [[8], p. 253]

Teorema 1.9. Seja G um π-grupo e A um π′-grupo de automorfismos de G e suponha

que G ou A é solúvel. Então para cada primo p em π, temos:(i) A deixa invariante algum p-subgrupo de Sylow de G.

3

Capítulo 1. Preliminares

(ii) Quaisquer dois p-subgrupo de Sylow invariante por A em G são conjugados por umelemento do CG(A).(iii) Qualquer p-subgrupo invariante por A em G está contido em um p-subgrupo de Sylowinvariante por A em G.(iv) Se H é um subgrupo normal invariante por A arbitrario em G, então CG/H(A) é aimagem do CG(A) em G/H.

Demonstração. Seja G∗ o produto semi-direto de G por A, então G é um π-subgruponormal de G∗, A é um π

′-subgrupo de G∗ e A é isomorfo a G∗/G. Então G ou G∗/G ésolúvel. Portanto, pelo Teorema de Schur-Zassenhaus, qualquer outro π

′-subgrupo de G∗ éum conjugado de A. Como G∗ = GA, podemos assumir que esses elementos conjugadoresestão em G.

Agora seja P um p-subgrupo de Sylow de G e seja N = NG∗(P ). Então pelo Argu-mento de Frattini, G∗ = GN . Logo temos que G∗/G = GN/G ' N/N ∩ G, logo essequociente também é isomorfo a A. Como G∩N é um π-subgrupo normal de N , usando oitem (i) do Teorema de Schur-Zassenhaus teremos que N possui um π

′-subgrupo B. Masentão B é um π

′-subgrupo de G∗ e então Bx = A, para algum x em G. Portanto B deixaP invariante com B ⊆ N = NG(P ) e consequentemente A deixa o p-subgrupo de SylowP x de G invariante, verificando o item (i).

Suponhamos agora que A deixa dois p-subgrupos de Sylow P e Q de G invariantespor A. Então P = Qx, para algum x em G e consequentemente Ax deixa Qx = P

invariante. Como A também deixa P invariante, temos que A e Ax ambos estão emN = NG∗(P ) e cada um é um π

′-subgrupo de N . Como ou G ∩ N ou N/G ∩ N ésolúvel segue que (Ax)y = A, para algum elemento y em G ∩ N (por uma aplicação doTeorema de Schur-Zassenhaus). Seja z = xy, então z ∈ G. Agora y normaliza P econsequentemente Qz = Qxy = P y = P . Então P e Q são conjugados por z. Por outrolado, [A, z] ⊆ G ∩ A = 1. Concluímos então que z ∈ CG(A), provando o item (ii).

Agora seja Q um p-subgrupo invariante por A em G e seja P um p-subgrupo invariantepor A em G maximal contendo Q. Então N = NG(P ) é invariante por A e por (i) existemp-subgrupo de Sylow invariante por A, como por exemplo R de N . Mas P ⊆ R, portantoR = P , pois P é maximal. Como P < G e NG(P ) ⊃ P segue que P é um p-subgrupo deSylow de G. Então vale o item (iii).

Finalmente, seja G = G/H, C = CG(A) e C = CG(A). Claramente C contém

4

Capítulo 1. Preliminares

a imagem de C em G. Portanto é suficiente mostrar que cada primo p em π(C) ump-subgrupo de Sylow de C aplica dentro de um p-subgrupo de Sylow de C. Seja P ump-subgrupo de Sylow de C, K a imagem inversa de P em G e seja P um p-subgrupo deSylow invariante por A em K. Então A centraliza PH/H = P . Como PH/H é isomorfoà P/P ∩H

1.3 Os Subgrupos Normalizadores, Centralizadores e

os Comutadores

Definição 1.10. Seja X um subconjunto não vazio de G, o fecho normal de X em G éa interseção de todos os subgrupos normais de G que contém X e é denotado por XG.Verifica-se que, XG é o menor subgrupo normal de G contendo X e podemos mostrar queXG = 〈g−1Xg | g ∈ G〉. Definimos XG, o coração de X em G, como sendo o grupo geradopela união de todos os subgrupos normais de G que estão contidos em X, e convencio-namos XG = 1 se não existir tais subgrupos. Podemos mostrar que HG =

⋂g∈G Hg e

HG =⟨⋃

g∈G Hg⟩

quando H for um subgrupo de G.

Lema 1.11. Seja G um grupo tal que G = NH, onde N E G e H ≤ G e N ∩H = 1.(a) Se H1, H2 ≤ H e x ∈ N tal que Hx

1 ≤ H2, então H1 ≤ H2 e x ∈ CN(H1).(b) Para x ∈ N, H ∩Hx = CH(x) e H ∪Hx = [x, H]H.

(c) HG = CH(N), HG = [N, H]H, HG ∩N = [N, H].

Demonstração.(a) Seja a ∈ H1. Então ax ∈ H2 e portanto [a, x] = a−1ax ∈ H ∩ N = 1 pois N E G.Segue que x ∈ CN(H1) e H1 = Hx

1 ≤ H2.(b) Temos que CH(x) = CH(x)x ≤ H ∩ Hx (i). Inversamente, (H ∩ Hx)x−1 ≤ H eusando o item (a) (sendo H1 = H ∩ Hx e H2 = H) teremos que x ∈ CN(H ∩ Hx),isto é, H ∩ Hx ≤ CH(x) (ii). Usando (i) e (ii), temos que CH(x) = H ∩ Hx. Como[X, S]X = [X, S] teremos que H normaliza [x, H] então segue que [x, H]H é um subgrupode G contendo H. As seguintes identidades [x, a−1]a = ax e [x, a] = (a−1)xa, mostramque [x, H]H também contém Hx e que [x, H] ≤ H ∪Hx. Então [x, H]H = H ∪Hx

(c) Agora usando o item (b) e o fato que G = HN temos que HG =⋂x∈G

Hx =⋂x∈N

Hx =⋂x∈N

CH(x) = CH(N). Logo HG = CH(N). HG =⋂x∈G

Hx =⋂x∈N

[x, H]H = [N, H]H. Por

5

Capítulo 1. Preliminares

Dedeking, HG ∩N = [N, H](H ∩N) = [N, H].

Para construir o reticulado de subgrupos de um grupo G, necessitamos de algumaspropriedades de grupos com um subgrupo de Hall normal.

Proposição 1.12. Seja G um grupo e N um subgrupo de Hall normal e H um comple-mento de N em G.(a) Para todo U ≤ G satisfazendo (|U |, |N |) = 1, existe x ∈ N tal que Ux ≤ H.(b) N = [N, H]CN(H) e [N, H, H] = [N, H].(c) Se N é abeliano, então N = [N, H]× CN(H).(d) Para todo primo p, existe um p-subgrupo de Sylow invariante por H em N .

Demonstração.(a) Como NU = N(NU ∩H), tem-se U e NU ∩H são complementos de N em NU . PeloTeorema de Schur-Zassenhaus, existe x ∈ N tal que Ux = NU ∩H ≤ H.(b) Pelo Lema 1.11, [N, H] é um subgrupo de Hall normal em HG = [N, H]H. Parax ∈ N , H e Hx são complementos de [N, H] em HG e portanto existe y ∈ [N, H] tal queHx = Hy. Então x−1Hx = y−1Hy ⇔ H = xy−1H(xy−1)−1, ou seja, xy−1 ∈ NN(H).Logo x = (xy−1)y ∈ NN(H)[N, H] e como x é um elemento qualquer de N , temos entãoque N = [N, H]NN(H) = [N, H]CN(H). Além disso, pelo lema anterior, temos que

[N, H, H]H =⋂

x∈[N,H]

Hx =⋂x∈N

Hx = [N, H]H

e portanto [N, H, H] = [N, H].(c) Usando o item (b), devemos mostrar apenas que [N, H]∩CN(H) = 1. Para isso estuda-remos um endomorfismo τ de N definido por xτ =

∏h∈H

xh para x ∈ N . Se a ∈ H e x ∈ N ,

então (xa)τ =∏h∈H

xah =∏b∈H

xb = xτ , ou seja, [x, a]τ = (x−1)τ (xa)τ = (xτ )−1xτ = 1. Como

[N, H] é gerado por esses comutadores [x, a] e τ é um homomorfismo, yτ = 1 para todoy ∈ [N, H]. Então se x ∈ [N, H]∩CN(H), então 1 = xτ = x|H|, mas como (o(x), |H|) = 1,temos que x = 1. Portanto [N, H] ∩ CN(H) = 1.(d) Seja P ∈ Sylp(N) (o conjunto de todos os p-subgrupos de Sylow de N). Pelo argu-mento de Frattini, G = NG(P )N e portanto N∩NG(P ) é um subgrupo de Hall normal emNG(P ) tendo um complemento K isomorfo à H. Pelo item (a), temos que existe x ∈ N

tal que Kx ≤ H e segue que H = Kx ≤ NG(P )x = NG(P x). Então P x é um p-subgrupode Sylow invariante por H em N .

6

Capítulo 1. Preliminares

Teorema 1.13. Seja G um grupo tal que G = H ×K, onde H, K ≤ G.(a) Para U ≤ G e x ∈ UK∩H, defina xα = y ∈ K | xy ∈ U. Então α é um epimorfismode UK ∩H em UH ∩K/U ∩K com núcleo U ∩H.(b) Reciprocamente, se U1 ≤ H e W E U2 ≤ K e α é um epimorfismo de U1 em U2/W ,então

U = D(U1, α) = xy | x ∈ U1, y ∈ xα

é um subgrupo de G com U1 = UK ∩H, U2 = UH ∩K, W = U ∩K e Kerα = U ∩H.(c) Sejam U1, V1 ≤ H e os epimorfismos α, β como em (b), temos que D(U1, α) ≤ D(V1, β)

se, e somente se U1 ≤ V1 e xα ⊆ xβ para todo x ∈ U1.

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj///

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&&&&&&&&&&&&&&&&&

oooooooooooooooooooooooooooooo

•

•

•

•

•

•

••

••

•

1

UH ∩K

K

G

H

UH

U

UK

x

U ∩K

UK ∩H

Demonstração.(a) Sejam U1 = x ∈ H | xy ∈ U, para algum y ∈ K o conjunto das H-componentes deU. Se x ∈ U1 e y ∈ K tal que xy ∈ U , então x = (xy)y−1 ∈ UK ∩ H; reciprocamente,se x ∈ UK ∩ H então x = uk com u ∈ U e k ∈ K, ou seja, ∃ y ∈ K, y = k−1 talque u = xk−1 ∈ U . Logo x ∈ U1. Então U1 = UK ∩ H. Analogamente, provamosque UH ∩ K = U2: Seja U2 = y ∈ K | xy ∈ U , para algum x ∈ H o conjunto dasK-componentes de U. Se y ∈ U2 e x ∈ H tal que xy ∈ U , então y = (yx)x−1 ∈ UH ∩K;reciprocamente, se y ∈ UH ∩K então y = uh com u ∈ U e h ∈ H, ou seja, ∃ x ∈ H ,x = h−1 tal que u = yh−1 ∈ U . Logo y ∈ U2. Portanto, U2 = UH ∩K.

Para x ∈ UK ∩ H, xα = y ∈ K | xy ∈ U é um subconjunto não vazio deUH ∩ K = U2. Além disso, se y, z ∈ xα, então xy e xz são elementos de U e então

7

Capítulo 1. Preliminares

y−1z = y−1x−1xz = (xy)−1xz ∈ U ∩K. Logo y e z estão em uma mesma classe de U ∩K

e se w é um outro elemento da classe y(U ∩ K), então w = yu com u ∈ U ∩ K, issoimplica que xw = xyu ∈ U , isto é, w ∈ xα. Então mostramos que xα ∈ U2/U ∩K. Parax1, x2 ∈ U1 e yi ∈ xα

i temos x1x2y1y2 = x1y1x2y2 ∈ U e portanto y1y2 ∈ (x1x2)α. Além

disso (x1x2)α = y1y2(U ∩K) = xα

1 xα2 e α é um epimorfismo. Finalmente, x ∈ Kerα se, e

somente se, xα = U ∩K, isto é, 1 ∈ xα. Segue que x ∈ U ∩H.(b) Se x1x2 ∈ U1 e yi ∈ xα

i , então y1y−12 ∈ xα

1 (xα2 )−1 = (x1x

−12 )α e portanto (x1y1)(x2y2)

−1 =

x1x−12 y1y

−12 ∈ U . Portanto U é um subgrupo de G e U1 é o conjunto das H-componentes.

Então U1 = UK ∩H e α é o epimorfismo definido no item (a) e as outras afirmações de(b) seguem do item (a).(c) Se U = D(U1, α) ≤ D(V2, β) = V , então U1 = UK ∩ H ≤ V K ∩ H = V1 e xα ⊆ xβ

para todo x ∈ U1.

1.4 Grupos Caracteristicamente Simples

Definição 1.14. Dizemos que um grupo G é caracteristicamente simples se os únicossubgrupos característicos de G são o próprio G e o subgrupo trivial 1.

Podemos concluir que todo grupo simples é caracteristicamente simples, mas nem todogrupo caracteristicamente simples é um grupo simples, como por exemplo, um p-grupoabeliano elementar de ordem p2. Veremos que todos os p-grupos abelianos elementaressão, de fato, exemplos de grupos caracteristicamente simples.

Definição 1.15. Seja G um grupo. Um subgrupo H 6= 1 normal em G é dito ser umsubgrupo normal minimal se o único subgrupo normal em G que está contido em H for osubgrupo trivial 1 ou o próprio H.

Na demonstração da condição necessária do Teorema 3.2, usaremos subgrupos normaisminimais. Mostraremos mais adiante que tais subgrupos ou são simples ou um produtodireto de grupos simples isomorfos.

Teorema 1.16. Seja G um grupo e N E G minimal. Se N é finito e solúvel, então N éum p-grupo abeliano elementar.

Demonstração. Seja V um subgrupo normal minimal de G. Temos que se H charV , então H E G; Como V é minimal, H = 1 ou H = V . Em particular, V

′= 1 ou

8

Capítulo 1. Preliminares

V′= V . Como G é solúvel, então V também é solúvel. Logo V = V

′ não pode ocorrer,ou seja, V

′= 1 e V é abeliano. Como V é abeliano, um p-subgrupo de Sylow P de

V é característico em V , para qualquer primo p. Logo V é um p-grupo abeliano. Masx ∈ V : xp = 1 char V , ou seja, V é abeliano elementar, como queríamos demonstrar.

Temos então que todo subgrupo normal minimal de um grupo solúvel finito é umproduto direto de grupos simples isomorfos.

Teorema 1.17. Um grupo finito G caracteristicamente simples é um grupo simples ouum produto direto de grupos simples isomorfos.

Demonstração. Escolha um subgrupo normal minimal H de G de menor ordem pos-sível entre todos os subgrupos normais não triviais. Escreva H = H1 e considere to-dos os subgrupos de G na forma H1 × H2 × ... × Hn, onde n ≥ 1, Hi / G e Hi ' H.Seja M um produto direto de um número finito de subgrupos isomorfos à H1 de maiorordem possível. O nosso objetivo é verificar que M = G mostrando que M char G,tendo em vista que G é caracteristicamente simples; para garantir isso, é suficiente mos-trar que ϕ(Hi) ≤ M para todo i e para todo automorfismo ϕ de G. Sabemos queϕ(Hi) ' H = H1. Mostramos que ϕ(Hi) / G. Se a ∈ G então a = ϕ(b) para algumb ∈ G, e aϕ(Hi)a

−1 = ϕ(b)ϕ(Hi)ϕ(b)−1 = ϕ(bHib−1) ≤ ϕ(Hi), pois Hi /G. Se ϕ(Hi) M

então ϕ(Hi) ∩M ϕ(Hi) e |ϕ(Hi) ∩M | < |ϕ(Hi)| = |H|. Mas ϕ(Hi) ∩M / G e então aminimalidade de H garante que ϕ(Hi) ∩M = 1. O subgrupo 〈M, ϕ(Hi)〉 = M × ϕ(Hi) éum subgrupo do mesmo tipo de M , mas como M é o de maior ordem, temos então umacontradição. Concluímos que M char G e então M = G. Finalmente, mostraremos queH = H1 é simples: Se N é um subgrupo normal não trivial de H = H1, então N é umsubgrupo normal de M = H1 ×H2 × ...×Hn = G, e isso contradiz a escolha minimal deH.

Corolário 1.18. Seja G um grupo simples. Um subgrupo normal minimal H de G ésimples ou um produto direto de grupos simples isomorfos.

Demonstração. Se N char H, como H / G por hipótese, temos que N / G, então N = 1

ou N = H (pois H é um subgrupo normal minimal de G). Então H não tem subgruposcaracterísticos próprios. Pelo Teorema acima, H é simples ou H é um produto direto degrupos simples isomorfos.

9

Capítulo 1. Preliminares

1.5 Reticulados

Definição 1.19. Um conjunto P é chamado parcialmente ordenado com a relação binária≤ se as seguintes condições são satisfeitas para todo x, y, z ∈ P :(1) x ≤ x.(2) Se x ≤ y e y ≤ x, então, x = y.(3) Se x ≤ y e y ≤ z, então x ≤ z.

Um elemento x de um conjunto parcialmente ordenado P é dito cota inferior de umsubconjunto S de P se x ≤ s para todo s ∈ S. O elemento x é o ínfimo de S se x é umacota inferior de S e x ≥ y para qualquer cota inferior y de S. Por (2), tal ínfimo de S, seexistir, é único e denotaremos ∩S. Analogamente as definições e observações aplicam-separa cotas superiores e supremo e denotaremos o supremo por ∪S.

Definição 1.20. Um reticulado L é um conjunto parcialmente ordenado no qual todopar de elementos tem um supremo e um ínfimo.

Se G é um grupo, o conjunto L(G) de todos os subgrupos de G é um conjunto parcial-mente ordenado com respeito à inclusão. Além disso qualquer subconjunto de L(G) temum ínfimo e um supremo em L(G), definidos pela interseção dos dois subgrupos e pelosubgrupo gerado pela união, respectivamente.

Definição 1.21. Um subconjunto X de um reticulado é chamado de subreticulado se oínfimo e o supremo que quaisquer elementos de X pertencer a X.

Exemplos:Para x, y ∈ L, os conjuntos S = x, y, x ∩ y, x ∪ y ou,se x ≤ y, o intervalo [y/x] = z ∈ L | x ≤ z ≤ y

Definição 1.22. Um reticulado L é chamado de modular se para todo x, y, z ∈ L vale aseguinte lei (chamada lei modular):

Se x ≤ z, então x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ z.

Definição 1.23. Um reticulado L é chamado de distributivo se para todo x, y, z ∈ L

tivermos as seguintes propriedades:(1) x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ (x ∪ z),(2) x ∩ (y ∪ z) = (x ∩ y) ∪ (x ∩ z)

10

Capítulo 1. Preliminares

Quando L = L(G) é o reticulado dos subgrupos de um grupo G, estas leis distributivassão claramente (A, B, C ∈ L(G)):〈A, B ∩ C〉 = 〈A, B〉 ∩ 〈A, C〉A ∩ 〈B, C〉 = 〈A ∩B, A ∩ C〉.

Quando G é abeliano, temos:A(B ∩ C) = AB ∩ AC eA ∩BC = (A ∩B)(A ∩ C).

Dois exemplos clássicos de reticulados não distributivos são M3 e R5, chamados dediamante e pentágono, respectivamente. Esses reticulados são dados no diagrama abaixo:

0 0

i i

a

a

b

bc c

R5 M3

•

•

•

•

•

•

• • •

•

yyyyyyyyyyyyyyyyyyy

EEEEEEEEEEEEEEEEEEE

ttttttttttt

JJJJJJJJJJJ

EEEEEEEEEEEEEEEEEEE

yyyyyyyyyyyyyyyyyyy EEEE

EEEE

EEEE

EEEE

EEE

yyyy

yyyy

yyyy

yyyy

yyy

Teorema 1.24. Um reticulado L é distributivo se, e somente se L não contém um su-breticulado na forma de diamante ou de um pentágono.

O Teorema acima é um corolário do Teorema a seguir:

Teorema 1.25.(i) Um reticulado L é modular se, e somente se não contém um pentágono.(ii) Um reticulado L modular é distributivo se, e somente se não contém um diamante.

Demonstração. A demonstração desse Teorema pode ser encontrada em [[3], p. 59].

O Teorema a seguir caracteriza todos os grupos cujo reticulado de subgrupos é distri-butivo.

Teorema 1.26 (Ore [1938]). Seja G um grupo. Então o reticulado de subgrupos de G

é distributivo se, e somente se, G é localmente cíclico.

11

Capítulo 1. Preliminares

Demonstração. Suponha primeiro que L(G) é distributivo e seja a, b ∈ G. Devemosmostrar que 〈a, b〉 é cíclico. Como 〈a〉 ∩ 〈b〉 é centralizado por a e b, 〈a〉 ∩ 〈b〉 ≤ Z(〈a, b〉).Também, 〈〈ab〉 , 〈a〉〉 = 〈a, b〉 = 〈〈ab〉 , 〈b〉〉 e sabemos que

〈ab〉 (〈a〉 ∩ 〈b〉) = 〈〈ab〉 , 〈a〉 ∩ 〈b〉〉 = 〈ab, a〉 ∩ 〈ab, b〉 = 〈a, b〉

Então 〈a, b〉 / 〈a〉 ∩ 〈b〉 ' 〈ab〉 / 〈ab〉 ∩ (〈a〉 ∩ 〈b〉) é cíclico e portanto 〈a, b〉 é abeliano, umaextensão cíclica do subgrupo central. Pela estrutura dos grupos abelianos finitamentegerados (ver [8], pág.100) existem c, d ∈ G tal que 〈a, b〉 = 〈c〉 × 〈d〉. Mas mostramos que〈c, d〉 / 〈c〉 ∩ 〈d〉 é cíclico. Como 〈c〉 ∩ 〈d〉 = 1, 〈a, b〉 = 〈c, d〉 é cíclico.

Agora suponha que G é localmente cíclico e sejam A, B, C ∈ L(G). Devemos mos-trar que A(B ∩ C) = AB ∩ AC. Claramente, A(B ∩ C) ≤ AB ∩ AC. Seja x ∈AB ∩ AC, portanto, x = ab = a

′c com a, a

′ ∈ A, b ∈ B e c ∈ C. Como G élocalmente cíclico, existe g ∈ G tal que

⟨a, a

′, b, c

⟩= 〈g〉. Então ab = a

′c implica que

〈g〉 = (A ∩ 〈g〉) (B ∩ 〈g〉) = (A ∩ 〈g〉) (C ∩ 〈g〉). Se um dos três subgruposA ∩ 〈g〉 , B ∩ 〈g〉 , C ∩ 〈g〉 for trivial, então x = b = c ∈ B ∩ C ou x ∈ A. Em ambos oscasos, x ∈ A(B ∩ C). Então suponha que todos esses subgrupos não são triviais e sejamn, r, s os respectivos índices de A∩〈g〉 , B∩〈g〉 , C∩〈g〉 em 〈g〉. Então (n, r) = 1 = (n, s),portanto, (n, rs) = 1 e além disso

〈g〉 = 〈gn〉 〈grs〉 = (A ∩ 〈g〉) (B ∩ C ∩ 〈g〉) ≤ A(B ∩ C)

Temos então que x ∈ A(B∩C). Portanto AB∩AC ≤ A(A∩C), como queríamos provar.

Definição 1.27. Seja G um grupo. O reticulado de subgrupos L(G) de G é chamadometadistributivo se para todo subgrupo H de G um dos intervalos [G/H] ou [H/1] édistributivo. Chamaremos de MD-grupo, um grupo cujo reticulado é metadistributivo.

Lema 1.28. Um grupo finito G é um MD-grupo se, e somente se [G/H] é distributivopara todo subgrupo H de G não cíclico. Em particular, se G é um MD-grupo e N E G,então N ou G/N é cíclico.

É fácil ver que subgrupos e quocientes de MD-grupos são MD-grupos.

De posse do Lema 1.28, é fácil (e deixaremos para o leitor) classificar todos osMD-grupos abelianos.

12

Capítulo 1. Preliminares

Exemplos:Um grupo abeliano é um MD-grupo, não cíclico ⇐⇒ G = P ×K, onde K é um grupocíclico e P é um p-grupo, para algum primo p, onde |P | ≤ p3 ou P tem um subgrupocíclico de índice p.

É imediato verificar que o grupo alternado A4 é um MD-grupo embora o S4 não é,pois o grupo de Klein é um subgrupo normal não cíclico de S4 com quociente não cíclico.

O Teorema 1.26 nos mostra como deve ser um grupo para que o seu reticulado desubgrupos seja distributivo. No Capítulo 3, caracterizaremos todos os grupos finitos cujoreticulado de subgrupos é metadistributivo. Para isso, usaremos também os resultados aseguir:

Teorema 1.29. Seja G um grupo tal que G = Dr Gλ, onde λ ∈ Λ, tal que os grupos Gλ

tem ordem co-primas, então L(G) = Dr L(Gλ); De fato, a aplicação τ : L(G) → Dr L(G)

definida por Hτ (λ) = H ∩Gλ para λ ∈ Λ e H ≤ G é um isomorfismo.

Demonstração. A demonstração dessa Proposição pode ser encontrada em [5], página37.

Proposição 1.30. Seja G = NK onde N é um subgrupo de Hall normal de G comcomplemento K; seja H ≤ K e L = [[N, H]/1]H o reticulado dos subgrupos H-invariantesde [N, H]. Suponha que N e K são abelianos e que todo X ∈ L é normal em G. Então

[G/H] w L× [CG(H)/H].

13

Capítulo 2

Os Grupos Lineares

Lembramos que todos os corpos finitos de cardinalidade iguais são isomorfos e que suaordem q é uma potência prima, ou seja, q = pn.

2.1 Grupo Linear Geral

Definição 2.1. Para qualquer inteiro positivo k e qualquer primo p, seja F o corpo finitode ordem q = pk. Para qualquer inteiro positivo n, o Grupo Linear Geral, GL(n,q) é oconjunto de todas as matrizes n× n inversíveis sobre F .

Proposição 2.2. A ordem do grupo GL(n, q) é

(qn − 1)(qn − q)...(qn − qn−1).

Definição 2.3. O Grupo Linear Especial SL(n, q) é o subgrupo de GL(n, q) consistindode todas as matrizes cujo determinante é igual a 1.

Observação: O grupo multiplicativo dos elementos não nulos será denotado porGF (q)×. Temos também que SL(n, q) é o núcleo do homomorfismo GL(n, q) −→ GF (q)×

definido por A 7−→ det(A). Como existem q − 1 possíveis determinantes não nulos, oTeorema do Homomorfismo garante que o índice de SL(n, q) em GL(n, q) é q − 1 e queSL(n, q) é um subgrupo normal com o quociente GL(n, q)/SL(n, q) isomorfo ao grupomultiplicativo GF (q)×.

14

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

Definição 2.4. Para qualquer inteiro positivo n, as matrizes escalares n×n sobre GF(q)são aquelas matrizes em GL(n, q) as quais são da forma λIn para algum λ ∈ GF (q)×,onde In é a matriz identidade de ordem n× n. Teremos λIn ∈ SL(n, q) ⇔ λn = 1

Observação: As matrizes escalares são o centro de GL(n, q). Logo, o subgrupo con-sistindo de todas essas matrizes é um subgrupo normal de qualquer subgrupo de GL(n, q).

Definição 2.5. O Grupo Linear Especial Projetivo PSL(n, q) é o grupo quocienteSL(n, q)/Z, onde Z é o subgrupo das matrizes escalares de SL(n, q).

Observação: Se λIn tem determinante igual a 1, então λn = 1, ou seja, o número deelementos em Z é o máximo divisor comum entre n e q − 1, que chamaremos de d. Logoa ordem do PSL(n, q) é:

(qn − 1)(qn − q)(qn − q2)...(qn − qn−1)/(q − 1)d

Proposição 2.6. O grupo PSL(2, 5) é um grupo simples não abeliano .

Demonstração. É fácil ver que PSL(2, 5) é um grupo não abeliano:(1 1

0 1

)Z

(0 1

4 4

)Z =

(4 0

4 4

)Z 6=

(0 1

4 4

)Z

(1 1

0 1

)Z =

(0 1

4 3

)Z

Mostraremos que os únicos subgrupos normais de G = SL(2, 5) são: Ele mesmo, I,−Ie I. Segue então pelo Teorema da Correspondência que o grupo quociente PSL(2, 5) éum subgrupo simples não abeliano.

O primeiro passo é determinar as classes de conjugação de G. Os elementos I e −I

são ambos centrais, e então cada uma forma sua própria classe de conjugação.

Agora calcularemos as classes de conjugação do elemento T =

(0 4

1 0

)de ordem 4,

determinando o centralizador de T . Isso consiste determinar aquelas matrizes(a b

c d

)

em G tal que (0 4

1 0

)(a b

c d

)=

(a b

c d

)(0 4

1 0

)

15

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

Isso implica as seguintes equações

4c = b; a = d; 4d = 4a e b = 4c.

Então o centralizador de T consiste das matrizes na forma

(a 4c

c a

)com a2 + c2 = 1.

Como 0, 1 e 4 são os únicos quadrados em Z5, podemos facilmente ver que existem 4elementos no centralizador de T (sendo eles: I, T, T 2 e T 3). Então T possui 120/4 = 30

conjugados.

Analogamente, podemos mostrar que o centralizador em G de S =

(0 1

4 4

)de ordem

3 consiste de 6 matrizes I, S, S2,−I,−S,−S2. Segue que S tem 20 conjugados em G.Podemos ver que o centralizador de −S é idêntico ao centralizador de S. Como −S nãoestá na classe de conjugação de S (as matrizes S e −S têm ordens diferentes), −S tambémtêm 20 conjugados.

Consideraremos em seguida as classe de conjugação de R =

(1 1

0 1

)de ordem 5.

Um elemento no centralizador de R é da forma

(a b

c d

), onde

(1 1

0 1

)(a b

c d

)=

(a b

c d

)(1 1

0 1

).

As equações são as seguintes:

a + c = a; c = c; b + d = a + b e d = c + d.

Então as matrizes que comutarão com R são da forma

(a b

0 a

). Se essa matriz tiver

determinante 1, veremos que a é 1 ou 4. Como b pode ser qualquer elemento de Z5, ocentralizador de R têm 10 elementos, e então R têm 12 conjugados. Podemos verificarque R2 não é um conjugado de R, mas que R2 tem o mesmo centralizador do R. EntãoR2 também tem 12 conjugados. Analogamente, a matriz −R, de ordem 10, tem o mesmocentralizador, e −R2 terá o mesmo centralizador, logo têm também 12 conjugados.

Portanto encontramos as seguintes classes de conjugação em G:C1 = I;

16

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

C2 = −I;

C3 = 30 conjugados do elemento T =

(0 4

1 0

)de ordem 4;

C4 = 20 conjugados de S =

(0 1

4 4

)de ordem 3;

C5 = 20 conjugados de − S de ordem 6;

C6 = 12 conjugados de R =

(1 1

0 1

)de ordem 4;

C7 = 12 quadrados dos elementos em C6;C8 = 12 elementos de ordem 10 da forma −R2 para R ∈ C6 ;

C9 = 12 elementos de ordem 10, da forma −R2 para R ∈ C6.

Como essas classes contém 120 matrizes, então elas devem completar a lista de classesde conjugação de G.

Provaremos a seguir que G é simples: Seja N um subgrupo normal de G o qual contémI,−I, e suponha que N 6= I,−I. Suponha que N contém um elemento de ordem5. Como N é uma união de classes de conjugação e contém −I e N é fechado paraa multiplicação, esse subgrupo contém C6, C7, C8 e C9. Então N contém no mínimo2 + 4(12) = 50 elementos. Como não existe classes de conjugados com 10 elementos, eo número de elementos no subgrupo de G divide 120, a única possibilidade para N é serigual a G.

Podemos portanto supor que N nesse caso não tem elementos de ordem 5 e então |N |divide 24. Como N contém I e −I e é a união classe de conjugação, vemos que a únicapossibilidade é N ser igual à I,−I. Mostramos que o único subgrupo normal de G

contendo Z = I,−I são Z e G, então o grupo quociente G/Z é simples.

Proposição 2.7. Seja G um grupo simples de ordem 60. Então G é isomorfo ao grupoalternado A5

Demonstração.Afirmação: Existe um subgrupo de índice 5, que é o normalizador de um 2-subgrupo deSylow.De fato, suponha que não existe tal subgrupo. Sabemos que não existe um subgrupo deíndice 3. Logo, se não existe um subgurpo de índice 5, um 2-subgrupo de Sylow é maximale auto-normalizante. Sendo assim, a interseção de cada dois dos 2-subgrupos de Sylow é

17

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

trivial e teremos 15 2-subgrupos de Sylow. Logo, teremos 15 · 3 = 45 elementos de ordem2 ou 4, mas temos exatamente 6 5-subgrupos de Sylow, ou seja, 6 · 4 = 24 elementosde ordem 5 no grupo, totalizando, a principio, 45 + 24 = 69 elementos em um grupo deordem 60, uma contradição. Logo, existe um subgrupo de índice 5 em G.

Provaremos agora que G ' A5. Seja H um 2-subgrupo de Sylow e sejaC = conjugados de H; logo |C| = 5 = [G : NG(H)]. Considere a representação porconjugação dada por:

I : G −→ P(C)

g 7−→ Ig : C −→ C

giHg−1i 7−→ ggiHg−1

i g−1

O subgrupo kerI é um subgrupo normal diferente de G, pois kerI ⊆ NG(H) $ G;portanto, como G é um grupo simples, segue que kerI = e. Assim I(G) é um subgrupode S5 de ordem 60, logo I(G) = A5, pois o único subgrupo de S5 de ordem 60 é o A5.Logo G ' A5

Corolário 2.8. Os grupos PSL(2, 4) e PSL(2, 5) são isomorfos ao grupo alternado A5.

Definição 2.9. Um elemento de GL(n, q) é uma Transvecção se é da formaBi,j(λ) = In + Ei,j(λ), onde Ei,j é uma matriz elementar (uma matriz com uma entradanão nula igual a λ na posição (i,j), com 1 6= j). Quaisquer transvecções têm determinante1 e então está em SL(n, q).

Um fato muito importante nesse tipo especial de matriz é que, para qualquer matrizA, o produto Bi,j(λ)A é a matriz obtida de A somando λ vezes a j-ésima linha de A coma sua i-ésima linha. Veja o exemplo:

SeA =

1 2 3

1 0 1

2 1 0

então B2,3(2)A =

1 0 0

0 1 2

0 0 1

1 2 3

1 0 1

2 1 0

=

1 2 3

5 2 1

2 1 0

Proposição 2.10. Todo elemento A de GL(2, q) pode ser escrito como o produto TD

onde T é um produto de transvecções e D é a matriz(1 0

0 det(A)

)

18

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

Em particular, cada elemento de SL(2, q) é um produto de transvecções.

Teorema 2.11. O grupo PSL(2, q) é simples se q > 3.

Demonstração. É suficiente mostrar que o único subgrupo normal de SL(2, q) o qualcontém uma matriz que não é escalar é a própria SL(2, q). Portanto, seja N um subgruponormal de SL(2, q) o qual contém um elemento A que não é uma matriz escalar. Oprimeiro objetivo é mostrar que é impossível Av ser um múltiplo de v. Sendo assim, seja

A =

(a b

c d

)e e1 =

(1

0

), e2 =

(0

1

)e e3 =

(1

1

).

Então se Ae2 = λe1, veremos que c = 0, se Ae2 = µe2 então b = 0 e finalmente seAe3 = ve3, segue que a = d, ou seja, A é uma matriz escalar, contrariando a hipótese.Isso implica que existe um vetor coluna v tal que Av = w não é um múltiplo de v. Maso fato citado antes nessa demonstração, escrevendo T a matriz cujas colunas são v e w,devemos verificar que T tem determinante não nulo. Isso implica que podemos encontrarsoluções a, b para a equação matricial:

T

(a

b

)=

(r

s

), onde Aw =

(r

s

)

Logo (a

b

)= T−1Aw,

Como

T

(0

1

)= w = Av e T

(a

b

)= Aw

Mostramos que

AT = TB, onde B =

(0 a

1 b

).

Segue que B = T−1AT . Além disso, como A tem determinante 1 então B também temdeterminante 1, portanto a = −1. Se det(T ) 6= 1, podemos representar N por T−1NT eSL(2, q) por T−1SL(2, Q)T = SL(2, q) obtendo um subgrupo normal de SL(2, q) o qualcontém a matriz B, onde

B = T−1AT =

(0 −1

1 b

).

19

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

Então obtemos outro elemento de N como o produto (C−1B−1C)B, onde C é umamatriz diagonal com entradas c e c−1 e c é um elemento não nulo de GF(q). De fato:(

c 0

0 c−1

)−1(0 −1

1 b

)−1(c 0

0 c−1

)(0 −1

1 b

)=

(c−2 γ

0 c2

)

onde γ = b(c−2−1). Obtemos um novo elemento de N para cada escolha de µ do produto(1 µ

0 1

)−1(c−2 γ

0 c2

)−1(1 µ

0 1

)(c−2 γ

0 c2

)=

(1 µ(1− c4)

0 1

).

Segue que se existe um elemento c de GF(q) com c4 6= 1, então podemos garantir que

toda transvecção na forma

(1 λ

0 1

)está no subgrupo N , para uma escolha adequada

de c e µ. Uma vez que sabemos disso, observe que(0 −1

1 0

)−1(1 λ

0 1

)(0 −1

1 0

)=

(1 0

−λ 1

)

e então toda transvecção está em N , isto é, N = SL(2, q) pela proposição 2.10

Temos que, o único q maior que 3 tal que todo elemento no corpo com q elementosque satisfaz c4 = 1 é q = 5. Nesse caso o grupo também é simples pela proposição 2.6.Isso completa a demonstração.

Observação: O grupo linear PSL(2, 3) ' A4 não é simples, pois tem um subgruponormal não trivial, que é o grupo de Klein.

O Teorema a seguir caracteriza todos os subgrupos dos grupos lineares PSL(2, pf ).

Teorema 2.12 (Dickson). Os subgrupos de PSL(2, pf ) são da seguinte forma:(1) p-grupos abelianos elementares.(2) Grupos cíclicos de ordem z com z | pf±1

konde k = mdc(pf − 1, 2).

(3) Grupos dihedrais de ordem 2z, onde z é o mesmo do item (2).(4) Grupo alternado A4 se p > 2 ou p = 2 e f ≡ 0 (mod 2).(5) Grupo simétrico S4 se p2f − 1 ≡ 0 (mod 16).(6) Grupo alternado A5 se p = 5 ou p2f − 1 ≡ 0 (mod 5).(7) Produto semi-direto dos p-grupos abelianos elementares de ordem pm com os gruposde ordem t, onde t | pm − 1 e t | pf − 1.

20

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

(8) Grupos PSL(2, pm) onde m | f e PGL(2, pm) onde 2m | f .

Podemos então, com o Teorema acima, ver quais são todos os subgrupos do PSL(2, 4)

e do PSL(2, 8).Vejamos então quais são os subgrupos do PSL(2, 8), o qual tem ordem 504 = 23 · 32 · 7:(1) Os 2-subgrupos de Sylow são abelianos elementares.(2) Temos que: k = mdc(8− 1, 2) = 1, logo z | 8± 1,

z | 7 ⇒ z = 7 ou

z | 9 ⇒ z = 3 e z = 9

Logo, os 3-subgrupos de Sylow são cíclicos.(3) Grupos dihedrais de ordem 6, 14 e 18.(4) Não se enquadra em nosso caso, pois f ≡ 1 (mod 2).(5) Não se enquadra em nosso caso, pois

(pf )2 = (23)2 = 64 e 64− 1 = 63 ≡ 15 (mod 16).

(6) Não se enquadra em nosso caso, pois

p2f − 1 = 64− 1 = 63 ≡ 3 (mod 5).

(7) Teremos apenas o caso em que m = f = 3, pois

m = 1, então t = 1

m = 2, então t | 4− 1 e t | 8− 1 ⇒ t = 1.

Logo, teremos o produto semi-direto dos 2-grupos abelianos elementares de ordem 23 comos grupos de ordem 28 − 1 = 7. (8)Não se enquadra em nosso caso, pois f = 3.

Portanto, os subgrupos do PSL(2, 8) são: Os 2-subgrupos de Sylow (que são abelianoselementares) e os seus subgrupos de ordem 4 e 2; os 3-subgrupos de Sylow (que são cíclicos)e os seus subgrupos de ordem 3; os 7-subgrupos de Sylow; grupos dihedrais de ordem 6,14 e 18; o produto direto dos 2-subgrupos de Sylow com os 7-subgrupos de Sylow.

Vejamos então quais são os subgrupos do PSL(2, 4), o qual tem ordem 60 = 22 · 3 · 5 :(1) Os 2-subgrupos de Sylow são abelianos elementares.

21

Capítulo 2. Os Grupos Lineares

(2) Temos que: k = mdc(4− 1, 2) = 1, logo z | 4± 1,

z | 5 ⇒ z = 5 ou

z | 3 ⇒ z = 3

Logo, os 3-subgrupos de Sylow e os 5-subgrupos de Sylow são cíclicos (como já era espe-rado, pois os mesmos tem ordem prima).(3) Grupos dihedrais de ordem 6, e 10.(4) O grupo alternado A4, pois f = 2 ≡ 0 (mod 2).(5) Não se enquadra em nosso caso, pois

(pf )2 = (22)2 = 16 e 16− 1 = 15 ≡ 15 (mod 16).

(6) O grupo A5 ' PSL(2, 4).(7) Teremos apenas o caso em que m = f = 2, pois

m = 1, então t = 1.

Logo, teremos o produto semi-direto dos 2-grupos abelianos elementares de ordem 22 comos grupos de ordem 22 − 1 = 3.(8) Não se enquadra em nosso caso, pois f = 2.

Portanto, os subgrupos do PSL(2, 4) são: Os 2-subgrupos de Sylow (que são abelianoselementares) e os seus subgrupos de ordem 2; os 3-subgrupos de Sylow (que são cíclicos);os 5-subgrupos de Sylow; grupos dihedrais de ordem 6 e 10 e o grupo alternado A4.

22

Capítulo 3

Grupos Finitos com ReticuladosMetadistributivos

3.1 MD-grupos Solúveis

O resultado principal desse trabalho é baseado num artigo de R. Schmidt (ver [11]), oqual caracteriza todos os grupos finitos cujo reticulado de subgrupos é metadistributivo.Faremos tal caracterização nos dois Teoremas a seguir. No primeiro analisaremos os casosonde G é um MD-grupo solúvel e no segundo, os casos onde G não é solúvel.

Dizemos que um grupo H opera elemento a elemento irredutivelmente sobre um grupoN se H opera não trivialmente sobre N e N é irredutível sob 〈x〉, para todo x ∈ H\CH(N).

Teorema 3.1. Seja G um grupo finito. Então G é um MD-grupo solúvel se, e somentese:(1) G tem um subgrupo normal cíclico N de índice primo, ou(2) G tem um subgrupo normal N de ordem prima com grupo quociente cíclico, ou(3) G = NK, onde N E G, (|N |, |K|) = 1, N e K são cíclicos e K/CK(N) opera livrede pontos fixos sobre N , ouG = PK onde P é um p-subgrupo de Sylow normal, não cíclico de G e K é um p

′-grupocíclico para algum primo p e uma das seguintes propriedades (4)-(9) é satisfeita:(4) G = P ×K, |P | = p3, exp P = p,(5) |P | = p2 e K/CK(P ) opera livre de ponto fixo sobre P ,(6) |P | = p3 e K opera elemento a elemento irredutivelmente sobre P ,

23

Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

(7) P = N ×CP (K) onde |N | = p2, |CP (K)| = p e K opera elemento a elemento irredu-tivelmente sobre N ,(8) P é não abeliano de ordem p3 e expoente p e K opera elemento a elemento irreduti-velmente sobre P/Φ(P ).(9) P é o grupo dos quatérnios de ordem 8 e [P, K] 6= 1.

O segundo Teorema determina os MD-grupos finitos não solúveis e mostra, em parti-cular, que há exatamente dois grupos simples tendo desta propriedade (veja no item (10)e (12), quando K = 1).

3.2 MD-grupos não Solúveis

Teorema 3.2. Seja G um grupo finito. Então G é um MD-grupo não solúvel se, e somentese, tem uma das seguintes propriedades:(10) G ' PSL(2, 4)×K onde K é um 2, 3

′-grupo cíclico,

(11) G ' SL(2, 5)×K onde K é um 2, 3′-grupo cíclico,

(12) G ' PSL(2, 8)×K onde K é um 2, 3, 7′-grupo cíclico

Começaremos a prova do Teorema 3.1 com duas observações gerais. Pelo Teorema deOre (Teorema 1.26), um grupo finito tem seu reticulado de subgrupos distributivo se, esomente se, é cíclico (pois estamos considerando apenas grupos finitos). Então obtemosos seguintes fatos:

Lema 3.3. Seja G um grupo finito tal que G = H ×K, onde H é um MD-grupo e K éum grupo cíclico tal que (|H|, |K|) = 1. Então G é um MD-grupo.

Demonstração. Por Lema 1.29, L(G) ' L(H)× L(K) e X = (X ∩H)× (X ∩K) paratodo X ≤ G. Se X ∩H é cíclico, então X também é cíclico, pois X = (X ∩H)× (X ∩K).Se X ∩H não é cíclico, então [H/X ∩H] é distributivo (pelo Lema 1.28) e segue tambémque [G/X] ' [H/H ∩X]× [K/K ∩X] é distributivo.

Antes do próximo Lema, vamos definir o que é um átomo:

Definição 3.4. Seja G um grupo. Um subgrupo H de G é chamado de átomo se 1 < H

e não existir um subgrupo X de G tal que 1 < X < H

24

Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

Lema 3.5. Seja G um grupo tal que G = PK onde P é um p-subgrupo de Sylow normalde G e K é um p

′-grupo cíclico, p um primo. Seja P1 um subgrupo maximal de P eH = P1K1 com K1 ≤ NK(P1).

(a) [G/H] é distributivo se e somente se [NG(P1)/H] é distributivo.(b) Se K1 não centraliza P/P1, então [G/H] é distributivo.

Demonstração.(a) Se H ≤ X ≤ G temos então que X ≤ NG(P1) ou P ≤ X. De fato, seX 6≤ NG(P1) então ∃ x ∈ X\NG(P1) tal que P x

1 6= P1, daí P1Px1 = P . Como P1 ≤ X

e x ∈ X temos P1Px1 ≤ X, ou seja, P ≤ X. Então [G/H] é a união dos dois intervalos

L1 := [NG(P1)/H] e L2 := [G/PK1]. Como [G/P ] é cíclico (pois G/P ' K) segue queL2 é distributivo. Devemos mostrar que, se L1 é distributivo, então [G/H] também édistributivo. Para isso é suficiente mostrar que [G/H] não contém um subreticulado naforma de diamante ou pentágono (ver Teorema 1.12). Se [G/H] contiver um subreticuladona forma de diamante, dois dos seus 3 átomos estarão no mesmo intervalo Li e então odiamante inteiro é um subreticulado do Li, uma contradição, pois L1 e L2 são reticula-dos distributivos. Analogamente, se [G/H] contiver um pentágono como subreticulado,os dois átomos deverão estar em Li′s diferentes. Então, um deles está contido em L2,portanto é normal em G. Portanto G é distributivo.(b) Seja NG(P1) = PK0 com K0 ≤ K. Então, por 1.30 aplicado em NG(P1)/P1 implicaque [NG(P1)/H] ' L × [K0/K1] onde L é a cadeia de comprimento 1. Por (a), [G/H] édistributivo.

Lema 3.6. Seja G um p-grupo finito. Então G é um MD-grupo se, e somente se |G| ≤ p3

ou G tem um subgrupo cíclico (normal) de índice p.

Demonstração. Suponha primeiro que |G| ≤ p3. Seja H ≤ G. Se |H| = p, nada temos afazer. Se |H| = p2, temos que H E G e |G/H| = p, ou seja, o quociente é cíclico. Agorasuponhamos que N é um subgrupo cíclico de índice p em G. Então para todo subgrupoH ≤ G, como N é maximal em G, e como N ≤ NH ≤ G, logo H ≤ N , ou seja, é cíclicoou G = HN , e [G/H] ' [N/N ∩H]. Então H é cíclico ou [G/H] é distributivo e G é umMD-grupo. Logo, verificamos a condição suficiente do Lema.

Mostraremos agora a condição necessária do nosso Lema. Seja G um contra exemplode ordem mínima. Segue que G não é cíclico e como |G| ≥ p4 temos que G não é abelianoelementar. Portanto Φ(G) 6= 1 e G/Φ(G) não é cíclico. Pelo Lema 1.28, Φ(G) é cíclico.Seja N o subgrupo de ordem p de Φ(G).

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

Suponhamos primeiro que G/N não tem um subgrupo cíclico de índice p. Então a mini-malidade de G garante que |G/N | ≤ p3. Então |G| = p4 e G/N tem expoente p, pois elenão possui subgrupo cíclico de ordem p2. Se G/N é abeliano, então G não pode ser o grupodos quatérnios generalizado e daí existe um subgrupo H 6= N de G tal que |H| = p. Segueque NH e G/NH são abelianos elementares de ordem p2, uma contradição. Temos queN ≤ Φ(G), mas sabemos que G/Φ(G) é abeliano elementar, ou seja, |G/Φ(G)| < |G/N |.Sendo assim, N < Φ(G) e p > 2. Então Φ(G) é cíclico de ordem p2 e todo subgrupomaximal M de G satisfaz N < Ω(M) E G. Como exp G/N = p, temos que Ω(M) eG/Ω(M) ambos são abelianos elementares de ordem p2, a mesma contradição de antes.Segue que G/N tem um subgrupo cíclico M/N de índice p. Como G é um contra exemplomínimo, M não é cíclico; portanto |M/Φ(M)| = p2. Como M/N é cíclico, N Φ(M);Como M E G, podemos usar [[4], p. 269] e ver que Φ(M) ≤ Φ(G) e como N é o únicosubgrupo minimal de Φ(G), e segue que Φ(M) = 1. Portanto, |G| = p3, uma contradiçãonovamente.

Com esse Lema, conseguimos classificar os grupos nilpotentes não abelianos que sãoMD-grupos:Um MD-grupo G é nilpotente não abeliano ⇐⇒ G = P ×K, onde K é um grupo cíclicoe P é um p-grupo, para algum primo p, onde |P | ≤ p3 ou P tem um subgrupo normalcíclico de índice p.

A classificação desses p-grupos pode ser encontrada em [4], na página 90 e 91.

Lema 3.7. Seja G um MD-grupo solúvel finito e Q é um q-subgrupo de Sylow não cíclicode G, onde q é um primo. Então ou Q E G ou G tem um q-complemento normal.

Demonstração. Seja G um contra exemplo de ordem mínima e F o subgrupo de Fittingde G. Vamos fazer a demonstração em partes: A primeira é verificar que o subgrupo deFitting F é cíclico; a segunda é verificar que F não é um q-subgrupo de G; e a terceirae última é finalizar a demonstração, verificando que não existe esse contra exemplo deordem mínima.

Parte I: Suponha que F não é cíclico. Sendo assim, G contem um p-subgrupo normalnão cíclico P . Pelo Lema 1.28, G/P é cíclico. Suponha por absurdo que p 6= q, logoteremos que G/P ' H ≤ G e segue que Q ≤ H, uma contradição, pois Q não é cíclico.Portanto p = q e P ≤ Q. Teremos então que Q E G (pois G/P é cíclico) uma contradição.Então F é cíclico.

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

Parte II: Como G é solúvel, CG(F ) ≤ F (mais precisamente, CG(F ) = Z(F ) = F , poisF é cíclico) [[8], pág. 149] e portanto G/F é abeliano. Então, se F for um q-subgrupo,teremos que F ≤ Q e Q E G, uma contradição. Portanto existe um N E G tal que |N | éum número primo p 6= q.

Parte III: Como G é um contra exemplo de ordem mínima, G/N não tem umq-complemento normal e portanto Q ' QN/N E G/N pela minimalidade de G. SejaT/N = Φ(QN/N) e C = CQN(N). Como G/T não é cíclico, T é cíclico e então T ≤ C.Como Q não é normal em G, Q não centraliza N e portanto |QN : C| = q. Mas peloTeorema de Maschke (ver [[4], p. 123]) existe D E G tal que QN/T = C/T × D/T .Então, D CG(N) e portanto G/D é cíclico. Então G

′ ≤ CG(N)∩D = T . Segue que umq′-subgrupo de Hall K/N de G/N centraliza Q/T e portanto Q/N , que éG/N = Q/N × K/N . Mas então K é um q-complemento normal de G, uma contra-dição. Portanto, Q E G ou G tem um q-complemento normal.

Agora mostraremos a condição necessária do Teorema 3.1, ou seja, que todos os grupos(1)-(9) são, de fato, MD-grupos.

3.3 Prova do Teorema 3.2 (MD-grupos Solúveis)

Se G satisfaz (1) (G tem um subgrupo normal cíclico N de índice primo), entãopara todo subgrupo H ≤ G, como N é maximal em G, teremos que N ≤ NH ≤ G, logoH ≤ N , ou seja, é cíclico ou G = HN , e [G/H] ' [N/N ∩H]. Então H é cíclico ou [G/H]

é distributivo e G é um MD-grupo.

Se G satisfaz (2) (G tem um subgrupo normal N de ordem prima com grupo quo-ciente cíclico), seja H ≤ G, então H ∩ N = 1 ou N ≤ H. De fato, se N ∩H 6= 1, comoN ∩H ≤ N =⇒ N ∩H = N , pois N tem ordem prima. No primeiro caso, H ' HN/N écíclico. No outro caso, H E G e G/H é cíclico. Segue que G é um MD-grupo.

Se G satisfaz (3) (G = NK, onde N E G, (|N |, |K|) = 1, N e K são cíclicos eK/CK(N) opera livre de pontos fixos sobre N), seja H ≤ G, H não cíclico. Temos queH é um conjugado de um subgrupo na forma N1K1, onde N1 ≤ N e K1 ≤ K. Como H

não é cíclico, [N1, K1] 6= 1. Por hipótese temos que K/CK(N) opera livre de ponto fixosobre N , logo CN(K1) = 1. Então, pelo lema 1.30, (onde substituímos H = K1; vemosque L = [[N, K1]/1] = L(N), pois [N, K1] = N , pelo fato de CN(K1) = 1; CG(K1) = K)

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

temos que [G/K1] ' L(N) × [K/K1] é distributivo. Como K1 ≤ H, temos que [G/H] édistributivo (pois [G/H] ⊆ [G/K1]). Portanto G é um MD-grupo.

Se G satisfaz (4) (G = P ×K, |P | = p3, exp P = p), temos que P é um MD-grupo(Lema 3.6) e pelo Lema 3.3, G também é um MD-grupo.

Agora suponha que G = PK satisfaz um dos itens (5)-(9). Seja H um subgrupoqualquer de G. Se H ≤ K, temos que H é cíclico, e nada temos a fazer. Se P ≤ H,teremos que H é subgrupo normal de G, pois G/P é abeliano (cíclico) e G/H é cíclico enada temos a fazer.

Se H é um subgrupo não cíclico de G tal que P H. Podemos assumir H = P1K1

onde P1 = P ∩H ≤ P e K1 ≤ K, com P1 6= 1.

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777777777777777•

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•

•

•

•

1

G

P

P1

H

K1

K

Observe que P1 E H, logo temos H/P1 = H/P ∩H ' HP/P , ou seja H/P1 ' HP/P

que é cíclico.Podemos supor, a partir de agora que, 1 < P1 < P .

Se G satisfaz (5) (|P | = p2 e K/CK(P ) opera livre de ponto fixo sobre P ), sejaH = P1K1 um subgrupo como acima, segue que |P1| = p e K1 não centraliza P1. ComoK/CK(P ) é livre de pontos fixos em P temos que CP (K1) = 1. Vamos mostrar com issoque [P, K1] = P . De fato, como P E G temos que p−1k1

−1pk1 ∈ P , logo [P, K1] ≤ P .Pela Proposição 1.12, como P é abeliano, temos que P = [P, K1] × CP (K1) e como oCP (K1) = 1, temos que [P, K1] = P . Pelo item (b) do Lema 3.5, [G/H] é distributivo.

Se G satisfaz (6) (|P | = p3 e K opera elemento a elemento irredutivelmente sobreP , seja H ≤ G.Caso 1: Se H ≤ P , devemos analisar apenas o caso em que |H| = p2. Verificaremos que

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

[G/H] é distributivo. Temos que [G/P ] é distributivo e como H é um subgrupo maximalde P , temos que [G/H] = [G/P ] ∪ H. Verificaremos que [G/H] é distributivo: SejamX, Y ∈ [G/P ]. Temos que

〈X, Y 〉 ∩H = H e 〈(X ∩H), (Y ∩H)〉 = H

〈(X ∩ Y ), H〉 = X ∩ Y e 〈X, H〉 ∩ 〈Y,H〉 = X ∩ Y

〈(X ∩H), Y 〉 = 〈H, Y 〉 = Y e 〈X,Y 〉 ∩ 〈H, Y 〉 = 〈X, Y 〉 ∩ Y = Y

〈X, H〉 ∩ Y = X ∩ Y e 〈(X ∩ Y ), (H ∩ Y )〉 = 〈(X ∩ Y ), H〉 = X ∩ Y

Portanto, [G/H] é distributivo.Caso 2: Seja H = P1K1, com K1 ≤ K, K1 6= 1. 2.1: Suponha que |P1| = p, teremosque P1 comuta com K1 pois K opera elemento a elemento irredutivelmente sobre P ecomo tem ordens co-primas, temos que H é cíclico. 2.2: Suponha |P1| = p2. Temos queNG(P1) = PKo, para algum K0 ≤ K, o qual não é irredutível sobre P . Por hipótese, temosque K0 centraliza P , sendo assim temos que NG(P1) = P ×CK(P ). Portanto NG(P1)/P1

é cíclico e pelo Lema 3.5, [G/P1] é distributivo. Segue que [G/H] é distributivo.

Se G satisfaz (7), (P = N×CP (K) onde |N | = p2, |CP (K)| = p e K opera elementoa elemento irredutivelmente sobre N), seja H ≤ G.Caso 1: Seja H = P1K1, com K1 ≤ K, K1 6= 1.1.1: Suponha |P1| = p. Se P1 ≤ N , temos que P1 comuta com K1, logo H é cíclico. SeP1 = CP (K), temos que P1 comuta com K1, logo H é cíclico.

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1

G

K

P

N = [P, K] CP (K)

Se não tivermos nenhum dos dois casos, temos que P1CP (K) ∩N tem ordem p e nãoé invariante por K1, o que deveria ocorrer, pois P1CP (K) é invariante por K1.1.2: Suponha |P1| = p2. Se P1 = N , temos que G/N é cíclico. Se CP (K) ≤ P1, então P1

não é invariante por K1, pois K opera elemento a elemento irredutivelmente sobre N , oque não poderia ocorrer.Caso 2: Se H ≤ P , devemos apenas considerar o caso em que |P1| = p2. Segue análogo

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

ao caso anterior.

Se G satisfaz (8) (P é não abeliano de ordem p3 e expoente p e K opera elementoa elemento irredutivelmente sobre P/Φ(P )), seja H ≤ G (não cíclico) tal que H = P1K1,onde K1 ≤ K e P1 ≤ P . Caso 1: Suponha que |P1| = p2, temos que P1 é abelianoelementar. Seja NG(P1) = PK0 para algum K0 ≤ K o qual não é irredutível em P/Φ(G).Por hipótese temos que K0 centraliza P , isto é, NG(P ) = P × CK(P ). Logo, NG(P1)/P1

é cíclico e pelo Lema 3.5, item (a), temos que [G/P1] é distributivo. Segue que [G/H] édistributivo. Suponha |P1| = p, segue que P1φ(G) é normalizado mas não é centralizadopor K1 e como K é elemento a elemento irredutível sobre P/Φ(P ), segue que P1 = Φ(P ).Seja q um primo dividindo |K1/CK1(P1)|. Então q | p−1 e como CK1(P ) ≤ CK1(P1), existeum x ∈ K1 dentro de um q-subgrupo de Sylow induzindo um automorfismo de ordem q

em P . Temos p + 1 subgrupos de ordem p em P/P1, logo teremos o automorfismo agindonesses p + 1 subgrupos, ou seja, p + 1 = ql. Logo, q divide p + 1. Sendo assim, lembrandoque q | p− 1, devemos ter então que q = 2. Mas x não centraliza P/Φ(P ) e P/Φ(P ) nãoé irredutível sob 〈x〉, uma contradição.

Se G satisfaz (9) (P é o grupo dos quatérnios de ordem 8 e [P, K] 6= 1), tome H ≤ G

(não cíclico) tal que H = P1K1, onde K1 ≤ K e P1 ≤ P . Caso 1: Suponha |P1| = 2,teríamos que P1 comutaria com K1 e portanto H seria cíclico. Caso 2: Suponha |P1| = p2.Logo P1 é cíclico de ordem 4 e da mesma forma, H também é cíclico.

Sendo assim, a demonstração da condição suficiente do Teorema 3.1 está concluída,ou seja, todos os grupos que se enquadram em (1)-(9) são, de fato, MD-grupo.

Começaremos a demonstração da condição necessária do Teorema 3.1, ou seja, quetodo MD-grupo solúvel finito G satisfaz uma das propriedades (1)-(9).

Para isso, devemos pensar em todas as formas possíveis que um grupo finito qualquerassume. A priori, consideraremos duas situações: A primeira, quando G for um p-grupoe a segunda situação, quando G não for um p-grupo. Particionaremos o segundo caso daseguinte maneira:1o- Supor que todo subgrupo de Sylow de G é cíclico.2o- Supor que G possui um p-subgrupo de Sylow não cíclico para algum p.

Dessa forma varreremos todos os tipos de grupos finitos possíveis.

Se G for um p-grupo para algum primo p, pelo Lema 3.6 temos que ou G tem umsubgrupo normal cíclico de índice p, logo satisfazendo (1) ou G tem ordem p3 e expoente

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

p, logo satisfazendo (4).

Suponha então que G não é um p-grupo e consideraremos o caso em que todo subgrupode Sylow de G é cíclico. Então, por [[4], p. 420], temos que G = G

′K onde G

′ (que é ogrupo derivado de G) e K são cíclicos e (|G′|, |K|) = 1. Vamos mostrar (por contradição)que vale (3). Suponha que existe 1 6= x ∈ G

′ e a ∈ K r CK(G′) tal que xa = x. Assuma

que o(x) = p, para algum primo p e seja y ∈ G′ tal que ya 6= y. Podemos supor, sem

perda de generalidade, que y tem ordem potência de um primo, pois caso isso não ocorra,teríamos que 〈y〉 = 〈y1〉×〈y2〉× ... 〈yn〉, onde os yi são os subgrupos de Sylow do grupo 〈y〉para i = 1, 2, ..., n. Como ya 6= y, devemos ter que para algum yi, yi

a 6= yi. Basta entãoescolher este yi com ordem potência de um primo. Como (|G′|, |K|) = 1, segue que x /∈ 〈y〉.Como 〈y, a〉 E 〈y〉K e 〈y〉 E 〈x, y〉, temos que 〈y, a〉 é um subgrupo normal não abelianode 〈x, y〉K := H, e pelo Lema 1.28, H/ 〈y, a〉 é cíclico. Então H

′ ≤ G′ ∩ 〈y, a〉 = 〈y〉 e

portanto [x, K] ≤ 〈x〉 ∩ H′ ≤ 〈x〉 ∩ 〈y〉 = 1. Isso é impossível, pois CG′ (K) = 1. Então

K/CK(G′) opera livre de ponto fixo sob G

′ e vale (3).

Devemos considerar o caso em que G possui um p-subgrupo de Sylow P não cíclicopara algum primo p. O Lema 3.7 nos garante que P E G ou G tem p-complemento normalN .

Suponhamos primeiro que P não é normal em G, ou seja, G tem um p-complementonormal N . Queremos mostrar que G possui um subgrupo normal cíclico de índice p,logo satisfazendo (1). Temos que G/Φ(G) é abeliano elementar, sendo assim o Lema 1.28garante que NΦ(G) é cíclico. Além disso CP (N) E PN = G e G/CP (N) não é cíclicopois P não é normal em G. Portanto CP (N) é cíclico e então N ×CP (N) é um subgruponormal cíclico de G com quociente abeliano elementar. Segue que [G : CG(S)] ≤ p

para todo subgrupo de Sylow S de N . Então se N × CP (N) não tiver índice p sobreG, então existirão subgrupos de Sylow S e T de N tal que CP (S) e CP (T ) serão doissubgrupos maximais diferentes em P . Então SCP (T ) e TCP (S) serão subgrupos normaisnão abelianos de H := STP ; Pelo Lema 1.28, H

′ ≤ SCP (T )∩TCP (S) = CP (S)∩CP (T ).Em particular, CP (S) E H e portanto CP (S) centraliza T , uma contradição. EntãoN × CP (N) é um subgrupo normal cíclico de índice p em G e vale (1).

Consideraremos agora o caso em que G tem um p-subgrupo de Sylow normal nãocíclico P . Claramente, G/P é cíclico e portanto P tem um complemento cíclico K em G.Se G = P ×K, como P é um subgrupo de G, temos que P é um MD-grupo, então peloLema 3.6 segue que P possui um subgrupo H cíclico normal de índice p, o qual também é

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

normal em G, ou seja, satisfazendo (1) ou P tem ordem menor ou igual a p3, satisfazendoassim (4); Assumiremos então que K não centraliza P .

Suponhamos primeiro que |P | = p2 e suponha que (5) não seja assumido. Entãoexiste 1 6= x ∈ P e a ∈ K\CK(P ) tal que xa = x, ou seja, existe um elemento em P que édeixado fixo por um elemento de K/CK(P ). Então 〈x〉 = CP (a) e como P é abeliano, pelaProposição 1.12 segue que P = CP (a)× [P, 〈a〉] e teremos que [P, 〈a〉] 〈a〉 é um subgruponormal não abeliano de G. Pelo Lema 1.28, G

′ ≤ [P, 〈a〉] 〈a〉 ∩ P = [P, 〈a〉] e portanto,|G′| = p e G/G

′ é cíclico. Então vale (2).

Agora suponha que P tem um subgrupo cíclico de índice p e que |P | > p2. Comoum p

′-automorfismo de um grupo P opera não trivialmente sob P/Φ(P ), todo subgrupomaximal de P é cíclico se p = 2; por [[4], Satz 8.4, p. 311], P é o grupo dos quatérniosde ordem 8 e portanto vale (9). Se p > 2, então Ω(P ) é um subgrupo normal não cí-clico de G e portanto G

′ ≤ Ω(P ). Pelo Teorema de Maschke, P/Φ(P ) é redutível sob K

e portanto existe um subgrupo cíclico invariante por K T de índice p em P . Segue que[T, K] ≤ T ∩ Ω(T ) e portanto T é centralizado por K. Então[P, K] = [P, K, K] ≤ [Ω(P ), K] é um subgrupo próprio de Ω(P ); portanto [P, K] é umsubgrupo normal de ordem p em G e G/[P, K] ' T ×K é cíclico. Então vale (2).

Consideraremos agora o caso que P tem ordem p3 e expoente p. Suponha primeiro queP é não abeliano. Queremos mostrar que vale (8). Seja K0 um subgrupo de K o qual não éirredutível sob P/Φ(P ), então pelo Teorema de Maschke, P/Φ(P ) = P1/Φ(P )×P2/Φ(P )

com subgrupos normais Pi de ordem p2 de PK0. Pelo Lema 1.28, (PK0)′ ≤ P1∩P2 = Φ(P )

e portanto K0 centraliza P , mas [P, K] 6= 1, uma contradição. Isso mostra que K éirredutível e então opera elemento a elemento irredutivelmente sob P/Φ(P ). Então vale(8).

Finalmente, suponha que P é abeliano elementar de ordem p3 e considere um sub-grupo K0 de K o qual não é irredutível sob P . Então P = P1 × P2 onde Pi E PKo e|P1| = p, |P2| = p2. Pelo Lema 1.28, P1K0 ' PK0/P2 é cíclico, isto é P1 ≤ CP (K0).Claramente, CP (K0) é invariante sob K. Então se K é irredutível sob P , segue queCP (K0) = P ; Portanto K é elemento a elemento irredutível sob P e, sendo assim, vale(6). Se K não é irredutível sob P , aplicamos o argumento acima para K0 = K, temosque P1 ≤ CP (K); Como K não é irredutível sob P , temos que K não é irredutível sobP2, consequentemente, K é elemento a elemento irredutível sob P2. Então vale (7) e issocompleta a prova do Teorema 3.1.

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

3.4 Prova do Teorema 3.3 (MD-grupos não Solúveis)

Vamos agora iniciar a demonstração do Teorema 3.2, mostrando que todos os gruposcitados nos itens (10), (11) e (12) são, de fato, MD-grupos.

Lema 3.8. Os grupos PSL(2, 4), SL(2, 5) e PSL(2, 8) são MD-grupos.

Demonstração. Sabemos que os subgrupos não cíclicos minimais do grupo simplesG = PSL(2, 4) de ordem 60 são os 2-subgrupos de Sylow de ordem 4 e os grupos dihedraisde ordem 6 e 10. Os grupos dihedrais são subgrupos maximais de G e o único subgrupopróprio entre G e um 2-subgrupo de Sylow S é NG(S). Então [G/X] é uma cadeia paratodo subgrupo X não cíclico de G e G é um MD-grupo.

O grupo G = SL(2, 5) tem um único subgrupo Z de ordem 2. De fato, seja A umamatriz de ordem 2 de SL(2, 5) da seguinte forma:

A =

(a b

c d

). Como A é de ordem 2, temos o seguinte:

A.A =

(a b

c d

)(a b

c d

)=

(a2 + bc ab + bd

ac + cd bc + d2

)=

(1 0

0 1

)Teremos as seguintes equações:a2 + bc = 1 (I)ab + bd = 0 =⇒ b(a + d) = 0 (II)ac + cd = 0 =⇒ c(a + d) = 0 (III)bc + d2 = 1 (IV)ad− bc = 1 =⇒ bc = ad− 1 (V)Substituindo (V) em (I) temos:a2 + ad− 1 = 1 =⇒ a(a + d) = 2 =⇒ a + d 6= 0 (VI)Das equações (II) e (III) segue que b = c = 0. Temos então, usando as equações (I), (IV)e (V) respectivamentea2 = 1, d2 = 1 e ad = 1

Logo, como A 6= I, temos que a = d = −1, ou seja,

A =

(−1 0

0 −1

)

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

Portanto, 〈A〉 = Z = SZ(2, 5). Segue que G/Z = PSL(2, 5) ' PSL(2, 4). Como todosubgrupo de ordem ímpar de G/Z é cíclico, todo subgrupo H não cíclico de G contém Z.Se H/Z for cíclico, então |H/Z| = 2, 3 ou 5, e H é cíclico pois Z é o único subgrupo deordem 2 em G, uma contradição, logo H/Z não é cíclico e portanto [G/H] é distributivopois G/Z é um MD-grupo.

Sabemos também que os únicos subgrupos maximais de G = PSL(2, 8) são os norma-lizadores dos subgrupos de Sylow e têm ordens 8·7, 14 e 18 (ver Teorema 2.12). Como ossubgrupos de Sylow formam uma partição [[4], p.193], é claro que a interseção de quais-quer dois subgrupos maximais diferentes é cíclico. Portanto todo subgrupo H próprio nãocíclico de G está precisamente em um subgrupo maximal e como os subgrupos de ordem 7operam irredutivelmente sobre um 2-subgrupo de Sylow, segue que [G/H] é uma cadeia.

Lema 3.9. Seja G um grupo tal que G = H ×K, onde H é isomorfo ao PSL(2, 4) ouSL(2, 5) e K é um 2, 3

′-grupo cíclico. Então G é um MD-grupo.

Demonstração. Vamos considerar apenas a hipótese que H ' SL(2, 5). Podemos dizerque K = K1×K2, onde K1 é um 5-grupo e K2 é um 2, 3, 5

′-grupo. O Lema 3.3 garante

que se H × K1 é um MD-grupo, então G = (H × K1) × K2 também é um MD-grupo.Podemos então considerar o grupo K da nossa hipótese como sendo um 5-grupo, ou seja,|K| = 5n

Pelo Teorema 1.13, todo subgrupo U de G = H ×K tem a forma

U = D(U1, α) = xy | x ∈ U1, y ∈ xα

onde U1 = UK ∩ H e α é um epimorfismo de U1 sobre U2/U ∩ K com U2 = UH ∩ K

e kerα = U ∩ H. Agora suponha que U = D(U1, α) é um subgrupo não cíclico deG. Como U/U ∩ H ' UH/H é um 5-grupo, U ∩ H 6= 1 e U ∩ H 6= Z(H). ComoU ≤ U1 × U2 não é cíclico, U1 contém um subgrupo T com ordem 5 de H. Mas[H/T ] = T, CH(T ) = Z(H)T, NG(T ), H e portanto H não tem uma seção X/Y de or-dem 5 com 1 6= Y 6= Z(H). Segue que U1 = U ∩ H, isto é, α é trivial eU = (U∩H)×(U∩K). Todo subgrupo V contendo U é também não cíclico, consequente-mente satisfaz V = (V ∩H)×(V ∩K) e então teremos que [G/U ] ' [H/U∩H]×[K/U∩K].Como [H/T ] é uma cadeia e T ≤ U ∩H, segue que [H/U ∩H] e [G/U ] são ambos distri-butivos.

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

Podemos observar que o grupo PSL(2, 7), de ordem 168 = 23 · 3 · 7, possui o subgrupoS4 (ver o ítem (5) do Teorema 2.12 (Teorema de Dickson)) no seu reticulado de subgrupos,logo o grupo PSL(2, 7) não poderá ser um MD-grupo.

Pelos Lemas 3.8, 3.9 e 3.3 temos que todos os grupos em (10) - (12) são, de fato,MD-grupos. Devemos mostrar que todos os MD-grupos não solúveis enquadram-se emum dos itens (10)-(12). Começaremos determinando os casos simples.

Lema 3.10. Se G é um MD-grupo finito simples não abeliano, então G é isomorfo aoPSL(2, 4) ou PSL(2, 8).

Demonstração. Pelo Teorema de Feit-Thompson, G tem ordem par. Seja S um2-subgrupo de Sylow de G e suponha, por contradição que S não é abeliano elementar.Então pelo Lema 3.6, S tem um subgrupo cíclico de índice 2. Pelo Teorema de Frobeniusexiste um subgrupo T de S tal que NG(T )/CG(T ) não é um 2-grupo. Um elemento x deordem ímpar em NG(T )/CG(T ) opera não trivialmente sobre T/Φ(T ), portanto todos ossubgrupos maximais de T são cíclicos e |T | = 4 ou T é o grupo quatérnios de ordem 8.Como G é um MD-grupo, NG(T )/T é cíclico. Então se S 6= T teremos que x normalizaNS(T ) > T e como NS(T ) tem um subgrupo maximal não cíclico, x centraliza NS(T ),uma contradição. Então, S = T é um grupo quatérnio, mas isso contradiz o Teorema deBrauer-Suzuki [[2], Theorem 4.88].

Então S é abeliano elementar e pelo Teorema de Walter [[2], Theorem 4.126] implicaque G é isomorfo ao PSL(2, q), onde q é uma potência de 2 ou satisfaz q ≡ 3 ou 5(mod8),ou G é o primeiro grupo de Janko ou um grupo do tipo Ree. O último grupo possui3-subgrupo de Sylow os quais não são MD-grupos e no grupo de Janko NG(S)/S não éabeliano para um 2-subgrupo de Sylow S de G (ver [[2], pp. 81 e 84]). Então devemosconsiderar os outros grupos PSL(2, q).

Os 2-subgrupos de Sylow de PSL(2, 2n) são abelianos elementares de ordem 2n; segueque n ≤ 3, isto é, G ' PSL(2, 4) ou PSL(2, 8) como queríamos demonstrar. Se q ≡ 3 ou5(mod8), então por [Teorema 2.12 - Dickson], um 2-subgrupo de Sylow S de G é abelianoelementar de ordem 4, H = NG(S) tem ordem 12 e G contém subgrupos dihedrais deordem q ± 1. Um desses números é divisível por 4 e ,além disso, se q > 5, então [G/S]

contém um grupo dihedral D de ordem 4r onde r é um primo de ordem ímpar. EntãoZ(D) é um subgrupo de ordem 2 em S, portanto Z(D)x 6= Z(D) para x ∈ H\S e portantoD 6= Dx e D ∩Dx = S. Portanto [G/S] é distributivo e x ∈ H, segue que

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

H = 〈H ∪ (D ∩Dx)〉 = 〈H ∪D〉 ∩ 〈H ∪Dx〉 = 〈H ∪D〉

Essa contradição mostra que q = 5, isto é, G ' PSL(2, 5) ' PSL(2, 4).

Provaremos agora a condição necessária do Teorema 3.1, ou seja, devemos mostrar quetodo MD-grupo não solúvel enquadrar-se-á em uma das propriedades (10)-(12). Para isso,tome M/N um fator principal não solúvel de G com N minimal. Pela definição de fatorprincipal temos que M/N é um subgrupo normal minimal de G/N e o Corolário 1.18 nosgarante que M/N é simples ou um produto direto de grupos simples. Temos que M/N éisomorfo a um subgrupo de G, ou seja, M/N é um MD-grupo e M/N é um grupo simplesou um produto direto de grupos simples, mas o produto direto de grupos simples nãoabelianos não é um MD-grupo, logo devemos ter que M/N é um grupo simples. Segueque M/N é um MD-grupo simples e o Lema 3.10 nos garante que M/N ' PSL(2, 4) ouM/N ' PSL(2, 8).

Faremos a seguir, duas análises: uma onde N = 1 e outra onde N 6= 1.

PRIMEIRO CASO: N = 1.

Sendo assim, M ' PSL(2, 4) ou M ' PSL(2, 8). Logo M ∩ CG(M) = 1 e G/CG(M)

é isomorfo a um subgrupo de AutM contendo InnM .

Se M ' PSL(2, 4) ' A5, então AutM ' S5 o qual não é um MD-grupo pois S4

tem um subgrupo normal não cíclico com quociente não abeliano (o grupo de Klein). SeM ' PSL(2, 8), então AutM ' PΓL(2, 8) tem um 3-subgrupo de Sylow P de ordem 27o qual Ω(P ) é abeliano elementar de ordem 9 e NAutM(P )/Ω(P ) é um dihedral de ordem6, ou seja, não é cíclico. Portanto, esses grupos (AutM) também não são MD-grupos ecomo em ambos os casos |AutM : InnM | é primo, segue que G/CG(M) ' M e comoM ∩ CG(M) = 1 segue que G = M × CG(M). Pelo Lema 1.28, como G/CG(M) ' M

não é cíclico, devemos ter então que CG(M) =: K é cíclico. Portanto G = M ×K. Logo,quando M ' PSL(2, 4) , devemos mostrar que a ordem de K é co-prima com 2 e 3; equando M ' PSL(2, 8) , devemos mostrar que a ordem de K é co-prima com 2, 3 e 7,ou seja, (|M |, |K|) = 1.

Começaremos supondo que M ' PSL(2, 8). Suponha que 2 | |K|. Sabemos que|PSL(2, 8)| = 504 = 23 · 32 · 7, logo M × K contem um subgrupo abeliano elementar

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

de ordem 24, (tendo em vista que o 2-subgrupo de Sylow de M ' PSL(2, 8) é abelianoelementar), mas isso contraria o fato de ser um MD-grupo. Se 3 | |K|, um 3-subgrupo deSylow P de G têm o Ω(P ) abeliano elementar de ordem 9 e o NG(P )/Ω(P ) contem umgrupo dihedral de ordem 6, ou seja, contraria o fato de G ser um MD-grupo, pois Ω(P )

não é cíclico e NG(P )/Ω(P ) também não é cíclico. Para finalizar, suponha que 7 | |K|,então o normalizador do 2-subgrupo de Sylow de G contem um grupo abeliano elementarde ordem 49, chegando novamente a uma contradição análoga ao caso anterior. Com isso,podemos concluir que (|M |, |K|) = 1.

Consideraremos agora M ' PSL(2, 4) ' A5 (e lembrando que a ordem do PSL(2, 4)

é igual a 60 = 22 · 3 · 5) Se por ventura 3 | |K|, então se S é um 2-subgrupo de Sy-low de M , o NG(S) contem um subgrupo abeliano elementar de ordem 9 e teremos amesma contradição obtida nos casos anteriores. E para concluir o primeiro caso, suponhaque 2 | |K| e sejam H, K0 subgrupos de ordem 2 de M e K, respectivamente, então[M ×K0/H ×K0] ' [M/H] não é distributivo pois H normaliza subgrupos de ordem 3de M .

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•

•

•

•

•

•

••

1

K0

K

G

M

M ×K0

H

H ×K0

22

Portanto, K é um 2, 3′-grupo como queríamos demonstrar.

Caso 2: N 6= 1

Para esse caso, faremos algumas considerações nas 3 proposições a seguir para obter-mos o resultado desejado.

Proposição 3.11. Seja G um grupo e P um p-subgrupo de Sylow de G e G′(p) o menor

subgrupo normal de G com p-quociente abeliano.(a) G

′ ∩ P = G′(p) ∩ P e G/G

′(p) ' P/G

′ ∩ P

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

(b) P ∗ = G′ ∩ P = 〈[x, g] | x ∈ P, g ∈ G; xg ∈ P 〉

Demonstração. A demonstração dessa proposição pode ser encontrada em [9]

Observação: O Grupo P ∗ chama-se o subgrupo focal de P em G.

Proposição 3.12. Seja G um grupo finito e P um p-subgrupo de Sylow abeliano de G,NG(P ) = [P ]K.(a) Se x ∈ P , g ∈ G com xg ∈ P , então ∃ k ∈ K com xg = xk.(b) G

′ ∩ P ≤ [P, K].(c) Se CP (K) > 1, então G possui um p-quociente.

Demonstração.(a) Temos x, xg ∈ P , isto é, x ∈ P ∩ P g−1 . Logo CG(x) ⊇

⟨P, P g−1

⟩. Daí ∃ l ∈ CG(x)

com pg−1= pl, com p ∈ P . Daí lg ∈ NG(P ). Escreva lg = tk com t ∈ P , k ∈ K. Segue

que xg = xlg = xtk = xk.(b) Sabemos que G

′ ∩ P = P ∗ = 〈[x, g] | x ∈ P, g ∈ G; xg ∈ P 〉. Seja x ∈ P , g ∈ G comxg ∈ P . Por (a) existe k ∈ K com xg = xk e segue [x, g] = x−1xg = x−1xk ∈ [P, K].(c) Se CP (K) > 1, então, como P é abeliano, sabemos que P = [P, K] × CP (K) e daí[P, K] < P . Logo G

′ ∩ P < P por (b) e portanto G′(p) < G pela proposição 3.11 (a).

Proposição 3.13. Seja M um MD-grupo (finito) com M = M′, M/Z(M) ' A5 ou

PSL(2, 8) e Z(M) cíclico. Então ou Z(M) = 1 ou M ' SL(2, 5).

Demonstração. Seja M um contra-exemplo de ordem mínima. Então Z(M) > 1. SejaR ≤ Z(M) de ordem |R| = p, com p primo. Claro que R E M e as hipóteses da proposiçãovalem para M/R. Então Z(M)/R ' Z(M/R) = 1 ou M/R ' SL(2, 5). Consideraremosdois casos:CASO I: Se M/R ' SL(2, 5), então |Z(M)| = 2p. Se p > 2, considere L ≤ Z(M) com|L| = 2. Temos que M/L ou é simples ou SL(2, 5). Mas, |Z(M)/L| = p. Isso é impossível.Se p = 2, então |Z(M)| = 4. Seja Q um p-subgrupo de Sylow de M . Então Q/R é umquatérnio de ordem 8. Como Q é um MD-grupo, um dos subgrupos de índice p em Q

é cíclico (Lema 3.6), digamos 〈x〉 <2

Q. Como Q tem classe 2, a única possibilidade éQ = [〈x〉] 〈y〉 com |y| = 2 e xy = x5 ou x, que não tem quociente quatérnio. Mas isto éimpossível, pois Q tem quociente quatérnio.CASO II: M/R é simples, isto e, R = Z(M). Seja p > 2. Se p não divide |M/R|, entãoM = R ×K e M/K é abeliano, contrário ao fato de M = M

′ . Se p | |M/R|, seja P um

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Capítulo 3. Grupos Finitos com Reticulados Metadistributivos

p-subgrupo de Sylow de M . (p = 3 ou 5 ou 7). Segue que P é abeliano (no caso em quep = 3 e M/R ' PSL(2, 8), P é uma extensão cíclica do R). Seja NM(P ) = [P ]K. Então1 < R ≤ CP (K) e segue da Proposição 3.12 que M < M

′ . Se p = 2 e M/R ' PSL(2, 8)

tome Q um 2-subgrupo de Sylow de M . Como Q/R é abeliano elementar e Q tem umsubgrupo cíclico de índice 2 (Lema 3.6), temos uma contradição.Logo, |M | = 120 e segue que M ' SL(2, 5), pois M = M

′ .

Voltando para o caso onde N 6= 1, veremos que o grupo M/N satisfará todas ashipóteses da Proposição 3.13 e assim concluiremos o Teorema 3.2.

Temos que, M/N é isomorfo ao PSL(2, 5) ou PSL(2, 8) e N 6= 1. Então, comoM/N não é abeliano (cíclico), pelo Lema 1.28, N é cíclico, portanto G/CG(N) é abelianoe então N ≤ Z(M). Como M

′/M ′ ∩ N ' M/N , a minimalidade de N garante que

N ≤ M′ . Temos então que M = M

′ e Z(M) = N . A Proposição 3.13 nos garante queM ' SL(2, 5) e, como N = Z(M), temos que M/N ' PSL(2, 5). Pelo caso 1, temosque G/N = M/N × K/N , onde K/N é um 2, 3

′-grupo. Como |N | = 2, segue que

K = N × K0, onde K0 é um 2, 3′-grupo cíclico,e então G = M × K0, satisfazendo o

item (11) do Teorema 3.2.

Concluimos assim a demonstração do Teorema 3.1 e finalizando aqui o trabalho.

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Referências Bibliográficas

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[2] D. Gorenstein: "Finite Simple Groups: An Introduction to Their Classification",Plennum, New York and London (1982).

[3] G. Grätzer: "General Lattice Theory", Birkhäuser, Basel and Stuttgart (1978).

[4] B. Huppert: "Endliche Gruppen I", Springer, Berlin Heidelberg New York (1967).

[5] R. Schmidt: "Subgroup lattice of groups", de Gruyter, Berlin (1994).

[6] R. Schmidt: "Smooth groups", Geometriae Dedicata 84(2001), 183-206.

[7] J.J. Rotman: "An Introdutction to the Theory of Groups", 4th edn., Speinger-Verlag,New York (1995).

[8] J.S. Robinson: "A course in the Theory of Groups", 2th edn., Springer (1995).

[9] D. Gorenstein: "Finite Groups", New York, Evanston, and London (1968).

[10] John F. Humphreys: "A course in Group Theory", Oxford University Press (1996).

[11] Roland Schmidt: "Finite groups with metadistributive subgroup lattice", Advancesin Group Theory 2002, 153 - 162.

[12] Suzuki, Michio: "Group Theory I and II", Springer-Verlag, 1982 and 1986.

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