NÚMEROS E ÁLGEBRA

2008/09

Correspondência biunívoca entre dois conjuntos;

Números naturais e números inteiros absolutos

Correspondência biunívoca entre dois

conjuntos

A - Conjunto de ovelhas

B - Conjunto de pedras

Definição – A toda a correspondência entre dois conjuntos A e B tal que a cada elemento de A corresponde um só elemento de B (imagem) e todo o elemento de B é imagem de um elemento de A, chama-se correspondência biunívoca.

Correspondência biunívoca entre dois

conjuntos

Conjunto das ovelhas

Conjunto das pedras

A correspondência não é biunivoca, existe um elemento de B (uma pedra) que não é imagem de um elemento de A (uma ovelha).

Correspondência biunívoca entre dois

conjuntos

A = {alunos da turma 1/1A de EB}

B = {cadeiras da sala de aula de NA}

A relação “ … senta-se em …” define uma correspondência biunívoca entre A e B?

Exemplo 1:

Correspondência biunívoca entre dois

conjuntos

A = {Manuel, Joaquim, Diogo, Filipe}

a) A relação “ … é marido de …” define uma correspondência biunívoca entre A e B?

Família Silva

Manuel - Maria

João Filipa Amélia

Família Antunes

Joaquim - Dina

Rita Pedro

Família Carmona

Diogo - Liliana

Anabela

Família Figueiredo

Filipe - Luísa

B = {Maria, Dina, Liliana, Luísa}

C = {conjunto dos descendentes do género feminino}

D= {conjunto dos descendentes do género masculino}

b) A relação “ … é mãe de …” define uma correspondência biunívoca entre B e E?

E= {conjunto dos descendentes}

c) A relação “ … é irmão de …” define uma correspondência biunívoca entre C e D?

Exemplo 2:

Conjuntos equipotentes

Definição – Dois conjuntos A e B dizem-se equipotentes quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre eles.

Ainda que os seus elementos possam ser muito diferentes, todos os conjuntos equipotentes têm uma propriedade comum, que é o seu número cardinal ou número de elementos.

Definição – Dois conjuntos equipotentes, têm o mesmo número cardinal.

# {conjunto de ovelhas} = # {conjunto de pedras}

Conjuntos equipotentes – números naturais e inteiros absolutos

Definição – Chama-se número natural ao cardinal de um conjunto finito qualquer e não vazio.

Nota: os números naturais são representados de acordo com as regras do sistema de numeração que adoptarmos.

O conjunto dos números naturais designa-se pela letra |N: |N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

# {a} = 1

# {Manuel, Joaquim, Diogo, Filipe} = 4

Definição – O cardinal de um conjunto vazio é designado por zero e representado por 0.

O o zero e os números naturais formam o conjuntos dos números inteiros absolutos: |N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

# { } = 0

Ordenação de números naturais e inteiros absolutos

Definição – O número de elementos de um conjunto finito A é menor do que o número de elementos de um conjunto finito B, quando A é equipotente a um subconjunto de B mas não é equipotente a A.

A = { conjunto das vogais} # A = 5

B = {conjunto das consoantes} # B = 21

a

i

e

o

u

b c

s

r

f

l

m

j

h

g

p

d t

q

v

x

u

z

w

y

kConclui-se assim que 5 < 21

Representação geométrica dos números inteiros absolutos – recta numérica

Dada uma semi-recta em que se fixou um sentido e uma unidade de comprimento (comprimento AB) , é possível associar a cada número inteiro um só ponto dessa semi-recta:

A B C D

0 1 2 3

Ao zero (0) corresponde a origem A da semi-recta;

Ao um (1) corresponde o ponto B;

Ao dois (2) o ponto C;

Ao três (3) o ponto D; …

E a cada ponto da recta corresponde sempre um número inteiro?

Nota: também podemos falar em cardinal de conjuntos infinitos.

Paradoxo de Hilbert

0# |N =

O conjunto dos números naturais é equipotente ao conjunto dos números pares (a relação biunívoca entre eles é definida pela relação: “ … é metade de …”.

Operações com números inteiros

A B

Definição - Sejam A e B dois conjuntos finitos disjuntos (a sua

intersecção é o conjunto vazio.

Se # A = a e # B = b, o cardinal de A U B é chamado soma do

número de elementos de A com o número de elementos de B

e escreve-se # (A U B) = a + b

Definição – A adição é uma operação que cada par de números

inteiros faz corresponder um terceiro número inteiro que se

designa por soma de a com b.

(a , b) c = a + b

A a e b dá-se o nome de parcelas

O conceito de reunião de conjuntos dá lugar ao conceito de soma de números

Operações com números inteiros - Adição

O conceito de reunião de conjuntos dá lugar ao conceito de soma de números

A e B - conjuntos finitos disjuntos

Se # A = a

# B = b

Então, # (A U B) = a + b

Adição: (a , b) a + b

+

Operações com números inteiros - Adição

Propriedades

Fecho: A soma de dois números inteiros é também um número inteiro. Ou seja, o conjunto |N0 é fechado para a adição.

• O subconjunto de |N0 cujos elementos são os números ímpares é fechado para a adição?

Comutativa: A soma de dois números inteiros não se altera quando se muda a ordem das parcelas:

a + b = b + a, quaisquer que sejam os inteiros a e b

Associativa: A soma de três números inteiros não se altera se substituirmos duas das parcelas pela sua soma

(a + b) + c = a + (b + c), quaisquer que sejam os inteiros a, b e c

Existência de elemento neutro:

Se uma das parcelas da soma for zero, a soma é igual à segunda parcela

a + 0 = 0 + a, quaisquer que seja o inteiro a

Definição – Dados n números a1, a2, …an, chama-se soma destes n números, ao número

que se obtém adicionando o primeiro com o segundo, adicionando depois o resultado

com o terceiro e assim sucessivamente, até chegar ao último.

Operações com números inteiros – Adição iterada ou sucessiva (com mais de duas parcelas)

Casos particulares:

a1+ a2 + a3 = (a1 + a2) + a3

a1+ a2 + a3 + a4= ((a1 + a2) + a3) + a4

a1+ a2 + a3 + a4 + a5 = ((a1 + a2) + a3) + a4) + a5

Operações com números inteiros - Adição

Cálculo da soma de dois números

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tabuada da adição na base 10

• Adição de dois inteiros com um só algarismo

Neste caso a soma é calculada com base na definição de adição e atendendo às regras do Sistema de Numeração Decimal que usamos; pode ser sintetizada numa tabela (tabuada da adição), cujo conhecimento é fundamental para o cálculo da soma de números com mais de um algarismo.

Tarefa – Construa a tabuada da adição na base 5

Operações com números inteiros - Adição

Cálculo da soma de dois números

Processo sistemático e mecanizado que permite obter o resultado procurado (soma) a partir dos dados iniciais (parcelas).

Tarefa - Calcular as somas

a) 123 + 345

b) 838 + 567

c) 32(5) + 20(5)

d) 234(5) + 122(5)

• Adição de dois inteiros com dois ou mais algarismos - Algoritmo da adição

Operações com números inteiros - Multiplicação

Quando as n parcelas de uma adição iterada são iguais a um dado número inteiro a,

então a soma:

a + a + a + …+ a

é chamada produto de n por a e representa-se por n x a ou simplesmente na.

n parcelas

Definição – Chama-se multiplicação à operação que faz corresponder ao par ordenado

de números naturais (n , a) – chamados factores – um terceiro número c= n xa -a que se

chama o produto de n por a.

Multiplicação: (n , b) c = n x a

x

n x a = a + a + a + … + a

n parcelas

O factor a – que se repete – toma o nome de multiplicando;

O factor n – que indica o número de vezes que a aparece como factor - toma o nome de multiplicador