correcÇÃo - miscelandia de exercicio io - aula pratica 8 e 9 2013

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UEM/FE – Ficha de Exercício nr.8 e 9/2013 – VTM/TS – IO

UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE

FACULDADE DE ECONOMIA

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E GESTÃO

MISCELÂNIA DE EXERCÍCIOS DE INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

PROPOSTA DE CORRECÇÃO DO DOCENTE

Parte 1 – Questões de Reflexão

1- No final da década 50, um dos maiores projectos realizados foi o projecto POLARIS. Debruce sobre

este projecto indicando:

a) A complexidade do projecto.

R:. A complexidade do projecto era: i) o projecto envolvia a participação de 250 grandes empresas e

9.000 empresas subcontratadas diferentes; ii) além de milhares de peças comuns já usadas em outros

projectos, nada menos que 70.000 novos tipos de peças diferentes tinham que ser fabricadas; e iii)

embora os problemas técnicos fossem difíceis, o maior de todos era controlar todo o projecto, dado o

gigantesco número de actividades a serem realizadas, principalmente porque havia grande pressão de

se fazer o projecto no menor tempo possível.

b) A equipe envolvida no projecto

R:. A equipe envolvida no projecto era composta por: equipe mista da Lockheed, Booz Allen e Marinha

dos Estados Unidos

c) O objectivo do projecto.

R:. O objectivo do projecto era: fabricação do 1ºsubmarino com capacidade de lançar mísseis estando

submerso.

d) A técnica de planeamento usada.

R:. A técnica de planeamento usada foi PERT (Program Evaluation and Review Technique), ou seja

Técnica de Avaliação e Controle de Projectos.

2- A Rede PERT é a representação gráfica das actividades de um projecto. Debruce sobre este assunto

indicando:

a) Importancia da rede.

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R:. A rede PERT é importante porque: i) visualizar a sequência lógica do projecto, com as

interdependências das actividades que compõem o projecto; e ii) e permite uma análise da duração

(custos) do projecto, através das durações.

b) Principais elementos da rede

R:.Os principais elementos da rede são: actividade e evento, onde: a) Actividade é a execução

efectiva de uma operação, onde são consumidos tempo e recursos. Ex: Assistir aula de Planeamento

de projectos; b) Evento é um marco que caracteriza um determinado instante em um projecto, onde

não são consumidos tempo ou recursos. Ex: Início da aula de Planeamento de projectos, fim da aula

de Planeamento de projectos.

c) Métodos de sua representação.

R:. Método americano e o método francês.

3- O Caminho crítico é o caminho mais longo da rede. Debruce sobre este assunto indicando:

a) Significado da folga

R:. Folga indica-nos o tempo máximo que uma determinada actividade pode ser atrasada sem

comprometer o projecto. Ao longo do caminho critico as folgas são iguais a zero, significando que as

actividades criticas não podem ser atrasadas, caso isso acontece, se compromete a finalização do

projecto.

b) Importancia do caminho critico.

R:. O caminho critico é importante porque: i) o cumprimento das suas actividades determina o

cumprimento do projecto; e ii) ajuda-nos permite-nos identificar, quais as actividades que não poderão

ser atrasadas durante a execução do projecto, por terem folga zero.

c) Formas de determinação.

R:. Podemos determinar o caminho critico de duas formas: i) pela diferença entre a data mais tarde fim

e data mais cedo fim; ou ii) pela diferença entre a da mais tarde inicio e a data mais cedo inicio.

d) Elementos do caminho critico.

R:. Os elementos do caminho critico são: i) Data de Início do projecto (é a data em que o projecto

inicia. Vamos assumir esta data será sempre igual a 0); ii) Data mais cedo de início de uma actividade

(é a data mais cedo possível em que uma actividade pode começar. Em inglês é usada a sigla E.S,

que é a abreviação de Early Start); iii) Data mais cedo de fim de uma actividade (é a data mais cedo

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em que uma actividade pode acabar. Em inglês é usada a sigla E.F, que é a abreviação de Early

Finish); e iv) folga total.

4- O Modelo PERT foi desenvolvido para controlar o projecto Polaris. Debruce sobre este assunto

indicando:

a) Justificando o porquê do uso do PERT.

R:. Usamos o modelo PERT quando estamos perante: i) inúmeras actividades de durações

desconhecidas; e ii) actividades a serem executadas pela primeira vez, sem nenhuma referência

anterior.

b) Elementos chaves do PERT.

R:. Os elementos chaves do modelo PERT são: a) Do ⇒ Duração Optimista, ou seja, a duração mais

provável se a execução da actividade não tiver nenhum problema. Em termos estatísticos, é uma

estimativa para o limite inferior da distribuição de probabilidade da duração da actividade; b) Dp ⇒

Duração Pessimista, ou seja, a duração mais provável se a execução da actividade tiver problemas.

Em termos estatísticos, é uma estimativa para o limite superior da distribuição probabilística; c) Dm ⇒

Duração Mais Provável, ou seja, a duração provável se a execução da actividade for realizada em

condições normais. É uma estimativa para a moda (ponto mais alto) da distribuição de probabilidade.

c) Desvantagens do PERT.

R:. O modelo PERT é muito pouco utilizado na prática e este facto deve-se aos seguintes factores: i)

Estimar, com precisão, durações para actividades de um projecto não é, via de regra, tarefa das mais

simples. Estimar 3 durações para cada actividade é, obviamente, uma tarefa muito mais difícil; ii) O

postulado básico no qual o modelo PERT está baseado, ou seja de que as actividades de um projecto

são independentes entre si, é difícil de ser justificado. O mais comum em um projecto é a execução de

uma actividade acabar influenciando a execução de outras; iii) O outro postulado do modelo PERT de

que as durações das variáveis seguem uma distribuição beta tem sido contestado, com inúmeros

exemplos já publicados; iv) Pela própria natureza do modelo PERT, um caminho crítico pode deixar de

ser crítico se, por exemplo, as actividades de um outro caminho começarem, por algum problema, a

serem executadas na duração pessimista. Como os resultados, por exemplo a duração esperada do

projecto, foram calculados em cima do caminho crítico ―original‖, os resultados teriam que ser todos

recalculados.

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5- O enfoque principal do Modelo CPM é controlar os custos do projecto. Debruce sobre este assunto

indicando:

a) Relação entre a duração normal e acelerada.

R:. A duração normal é o tempo normal para se executar uma actividade, enquanto a duração

Acelerada é a menor duração em que é possível se fazer a actividade.

b) Relação entre custo normal e acelerado.

R:. Custo normal é o custo associado a duração normal, enquanto custo acelerado é o custo

associado a duração acelerada.

c) Porque não podemos acelerar mais que a folga mínima.

R:. Não podemos acelerar mais que a folga mínima, porque estaríamos correndo o risco de estar

acelerando uma actividade e aumentando o custo do projecto, sem garantir que estaríamos

diminuindo sua duração.

Parte 2 – Múltipla Escolha

1- A distribuição Beta é a que melhor se adapta as durações reais dos projectos que foram

analisados. Esta distribuição envolve:

a) Média e moda.

b) Média e desvio padrão.

c) Média e variança.

d) Média e coeficiente de variação.

e) Nenhum.

2- A duração mais provável de uma actividade corresponde:

a) Limite inferior da distribuição.

b) Limite superior da distribuição.

c) Ponto médio da distribuição.

d) Ponto mais alto da distribuição.

e) Ponto mais baixo da distribuição.

f) Nenhum.

3- Diga o que significa uma actividade com folga = 5 dias?

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a) O projecto poderá ser terminado no dia 5.

b) A actividade poderá terminar no mínimo depois de 5 dias.

c) O projecto poderá terminar no máximo depois de 5 dias.

d) Qualquer actividade do caminho crítico poderá atrasar 5 dias.

e) Nenhuma.

4- Pelo teorema do limite central, uma variável aleatória, que é a soma das variáveis aleatórias,

segue uma:

a) Distribuição Beta.

b) Distribuição de Poison.

c) Distribuição Normal.

d) Distribuição Qui-quadrado.

e) Nenhuma.

5- Qual das alíneas constituem o postulado básico do modelo PERT é:

a) As actividades são complementares.

b) As actividades são mutuamente exclusivas.

c) As actividades são independentes.

d) As actividades são dependentes.

e) Nenhuma.

Parte 3 – Questões Práticas

Exercicio 1

Sobre um determinado Projecto X, conhece-se a informação constante da tabela abaixo:

Actividade Duracao (dias)

1 ---2 14

1---4 3

2---4 0

2--3 7

4--5 3

3--5 4

5--6 10

Projecto X

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Pretende-se que o estudante que é controlador de gestão ajude a coordenação do projecto a responder as

seguintes questões:

Antes de responder, temos que apresentar a tabela do modelo PERT:

Actividade Duracao (dias) inicio fim inicio fim

1 ---2 14 0 14 0 14 0

1---4 3 0 3 19 22 19

2---4 0 14 14 22 22 8

2--3 7 14 21 14 21 0

4--5 3 14 17 22 25 8

3--5 4 21 25 21 25 0

5--6 10 25 35 25 35 0

Folgas

Projecto X Data mais tardeData mais cedo

a) Quais são as actividades fantasmas do projecto X? Justifique.

R:. A actividade (2—4) é fantasma porque tem duração nula e a sua inclusão não altera o projecto

inicial, apenas contribui para o alcance dos objectivos do projecto.

b) Quais serão as primeiras e as últimas actividades a serem executadas pelo projecto X? Justifique.

R:. As primeiras actividades a serem executadas no Projecto X: (1—2) e (1—4), porque começam no

momento zero de acordo com a tabela acima, não tendo antecessoras imediatas. A última actividade a

ser executada é a actividade (5—6), porque termina na data da conclusão do projecto (35 dias) e não

tem sucessora imediata.

c) Calcule as datas mais cedo (inicio e fim) e as datas mais tarde (inicio e fim) para as actividades do

projecto X.

R:. Ver a tabela acima.

d) Calcule o caminho crítico do projecto X e de seguida diga quais as actividades que poderão sofrer

algum atraso. Justifique.

R:. O caminho critico é dado pela soma das durações das actividades criticas ou seja com folga zero.

Duração= (1—2)+ (2—3) +(3—5) +(5—6) =14d+7d+4d+10d=35 dias representam o caminho critico do

projecto.

As actividades que poderão sofrer algum atraso são todas aquelas que apresentam folga no projecto

X, nomeadamente: (1—4) com folga de 19 dias, (2—4) e (4—5) com folga de 8 dias.

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Exercicio 2

Sobre o projecto Y conhecem-se os seguintes dados relativa as actividades constantes da tabela abaixo:

Do Dm Dp

1---2 2 2.5 6

2---3 1 4 7

2---5 2 3 4

2---4 1 2 3

4---5 1 4 7

3---5 2 3 4

5---6 1 2 3

3---6 2 5 14

Duracao em semanas

Actividade

Projecto Y

Pretende-se que o controlador de gestão ajude a coordenação do projecto a responder o seguinte:

Antes de responder as questões deve-se construir a tabela para este projecto:

Do Dm Dp De=(Do+4Dm+Dp)/6 Var=((Do-Dp)/6)^2 inicio fim inicio fim

1---2 2 2.5 6 3 0.444444444 0 3 0 3 0

2---3 1 4 7 4 1 3 7 3 7 0

2---5 2 3 4 3 0.111111111 3 6 8 11 5

2---4 1 2 3 2 0.111111111 3 5 5 7 2

4---5 1 4 7 4 1 5 9 7 11 2

3---5 2 3 4 3 0.111111111 7 10 8 11 1

5---6 1 2 3 2 0.111111111 10 12 11 13 1

3---6 2 5 14 6 4 7 13 7 13 0

Data mais cedo Data mais tarde

Folgas

Duracao em semanas

Actividade

Projecto Y

a) Que tipo de modelo de planeamento de actividades se refere a tabela? Justifique.

R:. Refere-se ao Modelo PERT, porque apresenta três tipos de durações para as actividades

(optimista, pessimista e mais provável).

b) Calcule a duração esperada e a variança do projecto Y.

R:. A duração esperada do projecto é dada pela soma da duração esperada das actividades criticas e

a variança do projecto pela soma da variança das actividades criticas.

De=(1—2)+(2—3)+(3—6)=3d+4d+6d=13 dias representa a duração esperada do projecto.

Var=0.444+1+4=5,444

c) Qual seria a duração arriscada para a execução deste projecto? Justifique.

R:. A duração arriscada para execução deste projecto é dado pelo desvio padrão das actividades

criticas. Neste caso (Dep=2,33) cerca de 2 dias. Significa que executar o projecto em 2 dias seria

arriscado para a empresa.

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d) Qual é a probabilidade do projecto demorar mais de 14 dias? (Use tabela de distribuição normal).

R:. Note que estamos a trabalhar no com a distribuição normal (De e Var).

Z=(X-De)/Dep onde X é a duração observada, De – duração esperada e Dep – desvio padrão.

Passo 1: Escrever a relação estatística em causa

P(X>14)=1-P(X≤14)

Estatisticamente podemos calcular P(X≤14)=P[(Z≤14-13)/2,333]=P(Z≤0,43).

Passo 2: Identificar a área na tabela de distribuição normal

De seguida devemos ir na tabela de distribuição normal ler a intersecção entre a linha 0,4 e a coluna

3, vai nos dar a probabilidade que é a área 0,6664= P(Z≤0,43). Então para responder o pedido, temos

que voltar ao passo inicial.

Passo 3: calcular o pedido

P(X>14)= 1-P(X≤14)= 1-0.6664=0.3336

Passo 4: Interpretar

A probabilidade do projecto demorar mais de 14 dias é 33,36%

e) Qual deve ser a duração do projecto Y para que o risco de não cumprimento do prazo seja de

5%? (Use tabela de distribuição normal).

Passo 1: Escrever a relação estatística em causa

Não cumprimento, significa ir para além de X, que é a duração pretendida. Logo conhecendo-se a

probabilidade de não cumprimento (5%), a relação estatística fica:

P(Duração>X)=0,05, contudo sabe-se que P(Duração>X)= 1 – P(Duração≤X)=1-0,05=0,95

Passo 2: Consultar a tabela de distribuição normal

Deve-se ir na tabela de distribuição normal na área 0,95000 procurar a linha e coluna para este valor

que se chamará Zcritico. Como é constituído Zcritico? Os primeiros dois algarismos representam a

linha e o terceiro coluna.

Neste caso concreto o nosso Zcritico=1,64 onde 1,6 é a linha e 4 a coluna.

Passo 3: calcular o pedido

Devemos aplicar a formula: Z=(X-De)/Dep

1,64=(X-13)/2,333, donde resulta que X=16,97 dias

Passo 4: Interpretar

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R:. Para que o risco de incumprimento do prazo seja de 5% a duração do projecto deve ser 16,97 dias

aproximadamente.

Exercicio 3

Sobre o Projecto Z, é dada a seguinte estrutura de custos e duração das actividades constantes da tabela

abaixo:

Normal Acelerada Normal Acelerado

1---2 6 3 4000 5000

1---3 6 2 4000 6000

2---4 7 5 4000 6000

3---4 5 2 4000 6000

2---5 5 3 3000 6000

4---5 9 6 5000 10000

4---6 6 4 3000 6000

5----7 4 1 2000 5000

6----7 2 1 2000 4000

Duracao (semanas) Custos ($)

Actividades

Projecto Z

Pretende-se que o estudante, controlador de gestão, ajude a coordenação do projecto Z a responder as

seguintes questões: (assuma que o contrato prevê 26 dias para conclusão do projecto).

Antes devemos calcular os seguintes elementos abaixo:

Normal AceleradaNormal Acelerado inicio fim inicio fim

1---2 6 3 4000 5000 333.3 0 6 0 6 0

1---3 6 2 4000 6000 500.0 0 6 2 8 2

2---4 7 5 4000 6000 1000.0 6 13 6 13 0

3---4 5 2 4000 6000 666.7 6 11 8 13 2

2---5 5 3 3000 6000 1500.0 6 11 17 22 11

4---5 9 6 5000 10000 1666.7 13 22 13 22 0

4---6 6 4 3000 6000 1500.0 13 19 18 24 5

5----7 4 1 2000 5000 1000.0 22 26 22 26 0

6----7 2 1 2000 4000 2000.0 19 21 24 26 5


Folgas

Duracao (semanas) Custos ($)

Actividades custo incremental

Projecto Z

a) De que modelo de planeamento se trata? Justifique.

R:. Se trata do modelo CPM onde se conhece a duração das actividades (duração normal e acelerada)

e os custos (normal e acelerado).

b) Qual é o custo orçamental das actividades do projecto Z?

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R:. O custo orçamental das actividades do projecto Z é dado pela soma do custo normal de todas as

actividades do projecto. Neste caso,

Custo=4000+4000+4000+4000+3000+5000+3000+2000+2000=$31000 Representa o custo

orçamental das actividades do projecto.

c) Qual é o caminho crítico do Projecto Z e de seguida diga qual seria o seu custo total normal?

R:. Caminho critico é (1—2) (2—4) (4—5) (5—7) com duração=6+7+9+4=26 semanas

Custo normal das actividades criticas =4000+4000+5000+2000=$15000

d) Diga se a duração e o custo encontrada na alínea anterior seria óptimo? Justifique.

R:. Para respondermos a esta questão temos que seguir alguns passos.

Passo 1: Ver se é possível reduzir a duração do projecto a um custo mínimo aplicando a técnica de

compressão.

O objectivo da técnica de compressão da rede é diminuir a duração do projecto minimizando o

aumento do custo. Para tal deve-se analisar quatro aspectos: i) nº de unidades de tempo que uma

actividade critica pode ainda ser reduzida (acelerada); ii) folga mínima que é a menor folga das outras

actividades não criticas; iii) escolher o maior valor possível entre os dois; e iv) escolher a actividade

critica com menor custo incremental.

Actividade critica Custo incremental Duração acelerada

1--2 333.3 3

2--4 1000.0

4--5 1666.7

5--7 1000.0

Folga mínima

ELEMENTOS P/ COMPRESSÃO DA REDE PERT

2

Máximo possível (2,3) = 2 semanas

Da tabela acima, observa-se que vai se escolher a actividade critica (1—2) por apresentar o menor custo

incremental e será acelerada nesta primeira fase em 2 semanas.

Passo 2: Determinar novo caminho critico reduzindo a duração da actividade (1—2) em 2 semanas:

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inicio fim inicio fim

1---2 4 0 4 0 4 0

1---3 6 0 6 0 6 0

2---4 7 4 11 4 11 0

3---4 5 6 11 6 11 0

2---5 5 4 9 15 20 11

4---5 9 11 20 11 20 0

4---6 6 11 17 16 22 5

5----7 4 20 24 20 24 0

6----7 2 17 19 22 24 5

Primeiro caminho critico

Segundo caminho critico

Actividades Duração


Folgas

DETERMINAÇÃO DO CAMINHO CRITICO APÓS PRIMEIRA COMPRESÃO DA REDE PERT

Passo 3: Interpretar resultado e concluir

Note que com a compressão da rede: i) a duração do projecto reduziu de 26 semanas para 24 semanas; ii)

o custo foi incrementado a um custo mínimo possível de $31000 para $31666; e iii) passamos a ter dois

caminhos críticos com mesma duração: (1—2) (2—4) (4—5) (5—7) e (1—3) (3—4) (4—5) (5—7).

Note que o novo Custo orçamental=$31000+2*$333=$31666

A conclusão a tomar é que o custo encontrado e a duração do projecto Z, ainda não é óptima porque

usando a técnica de compressão ainda é possível reduzir a duração do projecto com aumento de um custo

mínimo.

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Exercicio 4

Abaixo segue a lista de actividades e relação de interdependência num projecto de investimentos.

Pretende-se que o controlador de gestão represente graficamente a rede PERT usando: a) método

americano; b) método francês; e c) diferencie as duas abordagens.

Lista de Actividades do Projecto

Actividade Antecessora

Imediata

A -

B -

C -

D A, B

E A, C

F A,B, C

Vamos resolver apenas o método Francês, o método Americano, os estudantes deverão resolver e

entregar na próxima aula prática.

B D

INICIO A F FIM

C E

Método Francês

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REDE PERT PELO METODO AMERICANO

1

3

2

4

5 6A

Ff3

FICHA DE EXERCÍCIO NR.09/2013

EXERCICIO 1

Clientes chegam a uma barbearia, de um único barbeiro, com uma duração média entre chegadas de 20

minutos. O barbeiro gasta em média 15 minutos com cada cliente.

a) Qual a probabilidade de um cliente não ter que esperar para ser servido?

R:. Dados:

1/λ=20 minutos (duração média entre as chegadas)

1/µ=15 minutos (gasto médio por cliente)

Donde resulta que a taxa média de chegadas λ=60/20=3 /hr e taxa de serviço médio µ=60/12=4 /hr

Po=1–ρ, onde ρ= λ / µ como factor de utilização da estação de serviço.

Po=1-(3/4)=0.25 cerca de 25% é a probabilidade de um cliente não ter de esperar para ser servido. Note

que estamos perante o modelo M/M/1, como não se diz nada sobre o mesmo.

b) Qual o número esperado de clientes no salão de barbeiro? na fila?

L = λ/( µ- λ)=3/(4-3)=3 fregueses representa o número esperado de clientes no salão de barbeiro.

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Lq = λ^2/ µ ( µ- λ)=(3^2)/[4(4-3)]=2,25 fregueses representa o número esperado de clientes na fila.

c) Quanto tempo, em média, um cliente permanece no salão?

W=1/(µ- λ)=1/(4-3)=1 hr representa o tempo em média que um cliente permanece no salão.

d) Quanto tempo, em média, um cliente espera na fila?

Wq= λ/ µ ( µ- λ)=(3)/[4(4-3)]=0.75 hr representa o tempo que em média um cliente espera na fila.

e) Qual a probabilidade de que um cliente tenha que ficar mais de 30 minutos no salão?

P(T>30min)=P(T>0,5 hr)=e^- µ(1- ρ)*t, onde t=0,5

P(T>0,5)=e-4(1-0.75)*0.5 =0.61 significa que a probabilidade de um cliente ficar mais de 30 minutos no

salão é de 61%.

f) O barbeiro está estudando a possibilidade de colocar outro barbeiro desde que o tempo de permanência

médio de cada cliente no salão passe a 1, 25 horas. Para quanto deve aumentar a taxa de chegada de

modo que este segundo barbeiro fique justificado?

W=1,25 e λ=?

W=1/(µ- λ)=1/(4- λ)=1,25 onde resulta que λ=3,2

EXERCICIO 2

Pessoas chegam para comprar ingressos para um jogo à taxa de uma por minuto. Cada pessoa gasta em

média 20 segundos para comprar um ingresso. a) Se uma determinada pessoa chega 2 minutos antes do

jogo começar e se ela gasta exactamente 1,5 minutos para chegar ao seu lugar após comprar o seu

ingresso, ela estará sentada antes do jogo começar? b) Qual a probabilidade da pessoa do ítem a estar

sentada antes do jogo começar? c) Com que antecedência deve a pessoa chegar para ter 99% de certeza

de estar sentada antes do jogo começar?

Dados

λ =1 / minuto

1/ µ=20 segundos, então a taxa de duração de serviço média µ=60/20=3 / minuto

Trata-se de modelo M/M/1 porque não se diz nada.

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a)A pessoa chega 2 minutos antes do jogo começar e gasta 1,5 minutos para chegar a seu lugar e sentar,

significa que para ela estar no lugar antes do jogo começar precisa de gastar 0,5 minutos a comprar o

bilhete. Vamos então se ela estará sentada ou não calculando W?

W=1/(µ- λ)=1/(3-1)=0.5 minuto. Logo ela estará sentada antes do jogo começar.

b) Para ela estar sentada antes do jogo começar, deverá comprar o bilhete antes de 0,5 minuto.

Assim temos que calcular P(T≤0.5)=1-P(T>0.5)

(P(T≤0.5)=1-e^-3(1-1/3)*0.5=0.63 signifique a probabilidade de ela estar sentada antes do jogo começar é

63%.

c)Para a pessoa ter 99% de que estará sentada antes do jogo começar, ela deverá chegar menos de t

minutos. Logo P(T<=t)=0.99, mas pela fórmula que temos sabemos que P(T>t)=0.01

0.01=e^-3(1-1/3)*t, resolvendo ficamos ainda com 0.01 =e^-2t

Calculando logaritmo natural, temos que: ln0.01=2t donde resulta t=2.3 minutos

Para ela estar sentada antes do jogo começar deverá: gastar 2.3min na compra do bilhete, 1.5 min para

achar seu lugar, gastando ao total 3.8 minutos.

EXERCICIO 3

Fregueses chegam aleatoriamente a uma padaria à taxa média de 12/hora. O único empregado da padaria

pode servir fregueses à taxa média de 20/hora. O empregado recebe $3/hora enquanto o tempo que os

fregueses ―perdem‖ na padaria está estimado em $8/hora. O dono da padaria está considerando a

instalação de um equipamento de auto-serviço que fará com que a taxa de atendimento aos fregueses

passe para 42 fregueses/hora. O custo do equipamento de auto-serviço é de $30/dia. Considerando que a

padaria funciona 12 horas/dia, justifique economicamente se o equipamento de auto-serviço deve ou não

ser comprado?

Dados:

λ=12 /hr

µ=20 /hr

Custo /hr =$3

Custo da perda na padaria =$8 /hr

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Tempo de funcionamento: 12 hr/dia

A) Situação actual:

- Custo do serviço=$3*12 hr/ dia=$36 /dia

W=1/(20-12)= 0.125 hr é o tempo médio que cada cliente permanece na padaria.

- Custo de oportunidade de permanecer na padaria =$8 *0.125 hr=$1

-Custo da fila =$1*12 hr/dia=$144

- Custo total = CF+CS=$144+$36=$180 /dia

B) Proposta:

µ=42 /hr e custo do equipamento de auto-serviço=$30

W=1/(42-12)=0.0333 hr

-Custo de oportunidade de permanecer na padaria =$8*0.0333 hr=$0.266

- Custo da fila =0.266*12 hr/ dia=$38,40 / dia

- Custo de serviço =$36+$30=$66 / dia

- Custo total=$38.40+$66=$104,40 / dia

É melhor a proposta por permitir a empresa obter uma poupança de custos na ordem dos $75,60 /dia

($180-$104,40).

EXERCICIO 4

Uma barbearia com 1 barbeiro tem 6 cadeiras para acomodar fregueses esperando atendimento. Os

fregueses que chegam quando as 6 cadeiras estão cheias, vão embora sem esperar. Os fregueses

chegam a taxa média de 3/hr e ficam em média 15 minutos na cadeira do barbeiro.

a) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir directo para a cadeira do barbeiro?

b) Qual o nr médio de fregueses esperando atendimento?

c) Qual a taxa de chegada efectiva?

d) Quanto tempo, em média, um freguês fica na barbearia?

e) Que percentual dos fregueses potenciais vai embora sem esperar atendimento?

Dados:

M=1barbeiro+6cadeiras=7

λ=3 /hr

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1/ µ=15 minutos

µ=60/15 =4/hr

O modelo é M/M/1: Fila finita, porque os fregueses que chegam e as cadeiras estão cheias vão embora

sem esperar.

a) Estamos perante o caso λ≠ µ, como tal vamos aplicar a primeira fórmula para calcular Po

Po=[(1-3/4)/(1-(3/4)^7+1)]=0.25/0.89988=0.2778 A probabilidade do freguês chegar e ir directo para a

cadeira do barbeiro é 27.78%.

b)O número médio de fregueses esperando atendimento é dado por L

L=[(3)/(4-3)]-[(7+1)*(3/4)^7+1]/[1-(3/4)^7+1]=(3-0.80090332)/0.899887085=2.443 fregueses

c) λef = µ(1-Po)=4*(1-0.2778)=2.89 representa a taxa de chegadas efectivas dos fregueses.

d)W=L/ λef=2.443/2.89=0.84 hr significa que em média o freguês na barbearia 0.84 hr.

e) λef/ λ=2.89/3=0.963 percentual dos fregueses que chegam e são atendidos.

1-0.963=0.037 significa que 3.7% dos fregueses chegam e vão embora sem ser atendidos.

EXERCICIO 5

Em uma barbearia de um único barbeiro a taxa média de chegadas é de 3 fregueses por hora. A barbearia

só tem lugar para acomodar 2 pessoas esperando e os eventuais fregueses que chegam quando o salão

está cheio, tem de ir embora. O barbeiro é capaz de atender em média 2 fregueses por hora e cobra $7

por cada corte de cabelo. Como muitos fregueses estão indo embora sem poder ser atendidos, o barbeiro

está pensando em mudar o seu método de trabalho. Após alguns estudos ele identificou 2 alternativas:

a) Trabalhar um pouco mais rápido do que actualmente, diminuindo um pouco a qualidade do corte de

cabelo mas diminuindo o preço do corte para $6 para evitar reclamações. Com esta alternativa a sua taxa

de serviço média iria para 3 fregueses por hora.

b) Trabalhar bem mais rápido do que actualmente, cobrando somente $5 por corte de cabelo pois haveria

uma queda acentuada na qualidade. Neste caso sua taxa de serviço média passaria a 4 fregueses por

hora.

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O barbeiro deseja fazer uma avaliação económica entre a situação actual e as 2 alternativas estudadas. O

tempo perdido pelos fregueses na fila de espera está estimado em $2/hora e como o serviço feito pelo

barbeiro é muito cansativo, ao tempo que ele pode descansar (por não ter nenhum freguês esperando) foi

atribuído o valor de $4/hora, ou seja, cada hora que ele descansa é como se tivesse ganho $4.

Considerando que o dia tem 8 horas de trabalho, faça a análise económica para o barbeiro.

(OS ESTUDANTES DEVERÃO RESOLVER EM GRUPO PARA ENTREGAR)

correcÇÃo - miscelandia de exercicio io - aula pratica 8 e 9 2013

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