copyright, 2000 @ daniel marçal de queiroz. geoestatística aplicada à agricultura de precisão...

Copyright, 2000 @ Daniel Marçal de Queiroz.

Geoestatística Aplicada à Geoestatística Aplicada à Agricultura de Precisão IIIAgricultura de Precisão III

DICA Just work !!!!!

Analisando um conjunto de dados

Distribuição completa dos valores da variável “V” para classes de 50 ppm e 10 ppm


Gráfico de probabilidade normal e lognormal para a frequência

acumulada dos 78000 valores da variável “V”


Distribuição completa dos valores da variável “U” para classes de 50 ppm e 10 ppm


Gráfico de probabilidade normal e lognormal para a frequência

acumulada dos 78000 valores da variável “U”


Distribuição dos valores da variável “T” (branco T=2; preto T=1)


Histograma da variável “V”

para regiões (a) onde T=1 e

(b) onde T=2


Histograma da variável “U”

para regiões (a) onde T=1 e

(b) onde T=2


Gráfico de dispersão dos valores

da variável “U” versus os da

variável “V”:

(a) para todos os 78000 pontos

=0,65 - relacionamento não-linear;

(b) 60384 valores de “V” e “U”

onde T=2;

(c) 17616 valores de “V” e “U”

onde T=1

Analisando a continuidade espacial

Curvas de contorno para valores

médios da variável “V” em blocos

de 10x10 m2.

As curvas são apresentadas a

intervalos de 200 ppm com a

primeira curva refletindo o valor

de 100 ppm.



de desvio padrão da variável “V”

em blocos de 10x10 m2.




de 100 ppm.


Relação entre desvio padrão de média para blocos de 10x10 m2. (a) variável “V” com =0,798 e (b) variável “U” com =0,921



médios da variável “U” em blocos

de 10x10 m2.




de 100 ppm.



médios da variável “U” em blocos

de 20x20 m2.




de 100 ppm.



de desvio padrão da variável “U”

em blocos de 10x10 m2.




de 100 ppm.


• Três métodos foram apresentados para descrever a continuidade espacial:

• função de correlação; • função de covariância e • variograma

• Os métodos clássicos de estimativa são embasados na função de covariância

• A covariância depende da magnitude e direção do vetor h


• Os valores refletem a covarância de todos os gráficos de dispersão em todas as direções para distâncias de pelo menos 100 metros• O intervalo de entre as curvas é de 10000 ppm2

• A covariância para h=(0,0) está localizada no centro do mapa• As duas linhas N14W e N76E são as direções de máxima e mínima continuidade• As duas linhas N31E caem no meio dos dois eixos• É possível visualizar a simetria do mapa• C(h=30,50) = C(h=-30,-50)• Esse gráfico é muito difícil de ser gerado

Curvas de contorno da função de covariância para a variável “V”


(a), (b) e (c) mostram os secção dos

perfis de covariância em três direções.

Em (d) é apresentado os três perfis em

um único gráfico.

A unidade do eixo vertical está em

milhões de ppm2

Em todos os gráficos C(h) cai quase que uniformemente dentro da faixa de 25m a partir do valor de 62450 ppm2.

Na direção N14W, o valor de C(h) não cai tão rapidamente quanto nas outras direções

Para pares de pontos separados de 50m, a covariância entre os valores de “V” é de aproximadamente 20000 ppm2 para a direção N14W e 0 para as outras direções


Curvas de contorno da função de covariância para a variável “U”

• Os valores refletem a covarância de todos os gráficos de dispersão em todas as direções para distâncias de pelo menos 100 metros• O intervalo de entre as curvas é de 10000 ppm2

• A covariância para h=(0,0) está localizada no centro do mapa• As duas linhas N14W e N76E são as direções de máxima e mínima continuidade• As duas linhas N31E caem no meio dos dois eixos


(a), (b) e (c) mostram os secção dos

perfis de covariância em três direções.

Em (d) é apresentado os três perfis em

um único gráfico.

A unidade do eixo vertical está em

milhões de ppm2

Os valores da variável “U” estão maisdispersos que o da variável “V”

Variável “V” é ligeiramente maiscontínua que “U”


Curvas de contorno da covariância para a variável “V”

(a) para T=1 e (b) para T=2


Curvas de contorno da covariância para a variável “U”

(a) para T=1 e (b) para T=2


• Problema: para cada h escolhido existe uma certa aleatoriedade na localização dos pontos que faz com que poucos pontos estão separados exatamente por h

• É necessário colocar uma tolerância em relação à distância e direção

hhji

ji

ij

vvhN

h,

2

2

1

Analisando a continuidade espacial• Embora um conjunto de gráficos de dispersão forneça a mais

completa descrição da continuidade espacial, geralmente ele contem muita informação e requer algum tipo de simplificação

• Para apresentar de forma compacta a continuidade espacial foram definidas: a função de correlação, a função de covariância e o variograma

• Todos esses métodos usam estatísticas simples dos gráficos de dispersão para descrever como a variabilidade espacial varia em função da distância e direção

• O variograma é o método mais usado para analisar a continuidade espacial

Analisando a continuidade espacial• Terminologia associada aos variogramas:

– Alcance (range):

• à medida que a distância entre os pares de ponto aumenta, o valor do variograma geralmente aumenta

• até chegar a um ponto em que o aumento da distância não mais causa o aumento do valor variograma (o variograma atinge um patamar).

• A distância em que esse patamar é alcançado é chamado de alcance.


• Terminologia associada aos variogramas:

– Patamar (sill):

• Valor variograma quando se atinge o valor máximo e estável

– Efeito pepita (nugget effect):

• O valor do variograma é igual a zero quando h=0

• Erros de amostragem e pequena variabilidade de escala pode fazer com que valores separados por pequenas distâncias apresentem-se bastantes diferentes

• Isso causa descontinuidade na origem do variograma

• O salto vertical do valor zero na origem para valores a distâncias extremamente pequenas é chamado de efeito pepita

– Efeito pepita relativo (relative nugget effect)

• Razão entre o efeito pepita e o patamar

Analisando a continuidade espacial• Análise de continuidade espacial começa com um

variograma multidirecional: procura-se o valor de hij que é grande o suficiente para não mais ter efeito no variograma

• Como todas as direções foram combinadas em um único variograma o que importa é a magnitude de hij

• A análise de continuidade pelo variograma multidirecional não implica que a continuidade seja a mesma em todas as direções


• Parâmetros importantes num variograma multidirecional: incremento de distância e a tolerância para a distância

• Depois que o variograma multidirecional foi estabelecido parte-se para a análise de anisotropia para identificar as direções em que a continuidade é máxima e mínima

• Após identificadas as direções de máxima e mínima continuidade escolhe-se a tolerância direcional para a obtenção de um varioagrama sem anomalias


• Definindo os parâmetros de distância:

– O primeiro parâmetro que precisa ser definido é o incremento de distância h, o segundo é a tolerância aceitável para a distância

– A distância entre os pontos de amostragem pode dar uma boa indicação do incremento de distância h

– Se a amostragem foi feita aleatoriamente um ponto de partida seria a distância média entre pontos amostrais consecutivos

– Se a distância entre os pontos amostrais for anisotrópica, com o espaçamento entre pontos amostrais bem menor em uma direção que em outra, os parâmetros de distância dependerão da direção

– A escolha mais comum para a tolerância de distância é a metade da distância entre pontos. Se o malha de pontos for uniforme ou bem próxima de uniforme a tolerância pode ser menor



– Valores do variograma multidirecional para incremento de 5m e tolerância de 2,5 m

– 470 valores da variável “V”

Número de Pares

Distância

(h)

Número de Pares

Distância

(h)

22 2,1 11294,1 3920 55,0 94415,1 488 5,4 42671,4 5324 60,2 88848,9

1720 10,4 51932,4 4442 64,8 96309,2 1856 14,8 71141,8 5478 70,2 96397,3 3040 20,3 70736,9 4696 74,8 90704,6 2412 24,9 86745,2 5762 80,2 92560,6 3550 30,1 84077,8 5084 84,9 88104,0 2816 34,8 99986,6 5666 90,1 95530,9 4092 40,3 89954,4 4458 94,8 101174,8 3758 44,9 86155,0 2890 98,8 94052,1 4248 50,2 98319,4



– Variograma para um incremento de distância de 5m

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 20 40 60 80 100 120

Distância, m

Se

mi-

vari

ân

cia

, p

pm

**2



– Valores do variograma multidirecional para incremento de 10m e tolerância de 5m

Número de Pares

Distância

(h)

Número de Pares

Distância

(h)

178 3,6 32544,3 9782 60,3 91285,2 3044 11,0 55299,8 10060 70,3 93809,2 5140 20,4 75224,6 10628 80,3 92357,8 6238 30,2 88418,6 10454 90,1 95010,5 7388 40,5 90544,1 4856 87,8 97349,3 7954 50,1 95689,7



– Variograma para um incremento de distância de 10m

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 20 40 60 80 100

Distância, m

Se

mi-

vari

ân

cia

, p

pm

**2


• Definindo os eixos de anisotropia:

– Ilustração mostrando como dados bidimensionais podem ser agrupados para formar uma superfície de variograma. Qualquer bloco todos os pontos que caírem dentro a porção achureada será agrupada com a amostrada localizada na posição (x,y)

y

y

xx

(x,y)



– Agrupando os valores de variograma considerando as tolerâncias de posição 85,6 76,8 77,1 85,7 83,0 81,7 87,7 103,0 97,8 116,8

40

87,7 83,2 84,1 75,4 76,0 78,2 97,0 119,3 104,0 100,1

90,0 82,3 96,3 70,7 65,0 69,2 78,2 103,6 108,6 103,6

20 89,3 85,9 97,2 72,1 54,1 64,7 85,5 107,6 108,8 105,7

96,2 85,1 80,5 73,1 42,3 33,6 82,1 100,3 103,8 105,5

0 105,5 103,8 100,3 82,1 33,6 42,3 73,1 80,5 85,1 96,2

105,7 108,8 107,6 85,5 64,7 54,1 72,2 97,2 85,9 89,3

-20 103,6 108,6 103,6 78,2 69,2 65,0 70,7 96,3 82,3 90,0

100,1 104,0 119,3 97,0 78,2 76,0 75,4 84,1 83,2 87,7

-40 116,8 97,8 103,0 87,7 81,7 83,0 85,7 77,1 76,8 85,6

-40 -20 0 20 40



– Linhas de contorno do variograma com os valores expressos em milhões de ppm2



– Linhas de contorno do variograma com os valores expressos em milhões de ppm ao quadrado

– Existe uma clara anisotropia , o superfície do variograma aumenta ao longo da linha N76E e lentamente ao longo a linha N14W



– Uso de superfícies de contorno não é muito comum devido problemas que geralmente ocorrem com relação aos dados experimentais (valores fora da realidade).

– Nem sempre os usuários dipõem da ferramentas para geração das superfícies de contorno

– Método convencional consiste em obter as direções de mínima e máxima continuidade por tentativas



– Nove variogramas direcionais usando um tolerância angular de ±45° - o valor do patamar em todos eles é superior a 80000 ppm2

– Para cada direção será definida a distância em que o variograma atinge 80000 ppm2

– Construindo um gráfico com das diferentes direções com os valores das distâncias obtem-se uma figura de formato elíptico

– O eixo maior dessa elipse indica a direção de máxima continuidade e o menor eixo o de mínima continuidade


• Definindo a tolerância angular ou tolerância direcional:

– usando pequena tolerância direcional geralmente implica em poucos pontos experimentais e o variograma tende a apresentar anomalias

– Analisando-se duas direções e os valores da variável “V” obteve-se o seguintes número de pontos para as diferentes tolerâncias:10 20 30 40

N76E N14W N76E N14W N76E N14W N76E N14W 22 0 57 1 66 1 76 6 168 176 352 370 532 543 674 714 165 281 710 681 871 911 1058 1152 327 363 631 682 936 1051 1386 1521 251 445 806 966 1099 1405 1453 1798 338 554 692 1071 1103 1605 1521 2071 411 709 893 1476 1269 2000 1744 2646 388 783 809 1505 1259 2178 1706 2703 494 854 923 1658 1416 2396 1879 2999 457 768 915 1542 1380 2193 1828 2804 234 314 459 634 687 890 957 1250


• Definindo a tolerância angular ou tolerância direcional:

– Os variogramas apresentados abaixo mostram que a tolerância de 40° é a ideal

Estimativas• Tipos:

– Estimativa local ou global

– Estimativa do valor médio ou a distribuição completa dos dados

– Estimativa de valores pontuais ou de valores em blocos

Estimativas• Combinação linear de pesos:

– v1, v2,...,vn são os n valores disponíveis e wi são os pesos atribuidos aos valores vi

– Geralmente o somatório dos pesos wi é igual a 1,0

– Para valores transformados:

n

iii vwv

1

ˆ

n

iii vTwt

1

ˆ

Estimativas• Global e Local:

– Global quando se tem dados referentes a uma grande área e muitas amostras estão disponíveis

– Local quando se tem dados referentes a uma pequena área

– Global: estimativa do valor médio da variável “U” numa área inteira (78000 valores disponíveis)

– Local: valor médio de “U” em uma área de 10x10 m2

Estimativas• Valores médios e distribuição completa:

– média (às vezes é obtida aritimeticamente)

– mediana

– variabilidade

Estimativas• Blocos e pontos:

– tamanho da amostra em certos ramos da ciências é um importante ponto a ser considerado

– quando se usa pontos amostrais relativos maiores áreas (valores pontuais versus 10x10 m2 versus 20x20 m2) obtem-se mapas mais suaves

Estimativas• Blocos e pontos:

– Histogramas para os valores da variável “U” 78000 pontos, versus 780 valores de “U” em áreas de 10x10 m2, versus 195 valores de “U” em áreas de 20x20 m2. Verifique a frequência acumulada para a primeira faixa.

Estimativa de valor de uma variável em um dado ponto

• Suponha que se deseje conhecer o valor de uma variável “V” na posição 65E,137N conhecendo-se o valor da variável nos seguintes pontos:

Número da Amostra

X

Y

V

Distância do ponto 65E,137N

1 225 61 139 477 4,5 2 437 63 140 696 3,6 3 367 64 129 227 8,1 4 52 68 128 646 9,5 5 259 71 140 606 6,7 6 436 73 141 791 8,9 7 366 75 128 783 13,5


• Configuração dos dados:


• Método dos polígonos

– Escolhe como estimativa o valor da variável no ponto mais próximo

– Nesse caso, o ponto 63E,140N é o mais próximo e o valor de “V” nele é de 696 ppm

– Assume-se portanto que em 65E,137N o valor de “V” é também 696 ppm Número da

Amostra

X

Y

V Distância do

ponto 65E,137N 1 225 61 139 477 4,5 2 437 63 140 696 3,6 3 367 64 129 227 8,1 4 52 68 128 646 9,5 5 259 71 140 606 6,7 6 436 73 141 791 8,9 7 366 75 128 783 13,5


• Método da triangularização:

– O método dos polígonos gera uma certa descontinuidade

– O método da triangularização remove possíveis descontinuidades ajustando-se um plano que passa por três pontos amostrais

– A equação do plano pode ser expressa por:

– No caso em estudo “x” corresponderia à coordenada na direção leste-oeste, “y” corresponderia à coordenada na direção norte-sul e z corresponderia ao valor da variável “V”

– Usando-se os pontos referentes as amostras com 696 ppm, 227 ppm e 606 ppm pode-se estimar a equação do plano que passa pelos três pontos amostrais

cybxaz



– Com base nos três pontos experimentais obtem-se:

69614063 cba

22712964 cba

60614071 cba



– Resolvendo-se o sistema de três equações com três incógnitas obtem-se a=-11,250; b=41,614 e c=-4421,159. A equação para estimar o valor de “V” na área triangular é:

– O valor de “V” para x=65 e y=137 é: 548,7 ppm

69614063 cba22712964 cba60614071 cba

159,4421614,41250,11ˆ yxv


• Método da média local:

• O valor de “V” no ponto é obtido por média aritmética de todos os valores nas próximos ao ponto. Nesse caso, obtem-se V=603,7 ppm


• Método do inverso da distância:

• Por esse método o valor de “V” em um dado ponto é obtido fazendo-se uma média ponderada, onde os pesos é o inverso da distância entre o ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido, ou seja:

• em que d1, d2, ...,dn representam as distâncias até os n pontos conhecidos e v1, v2,...,vn são os valores de “V” conhecidos

n

i i

n

ii

i

d

vd

v

1

1

1

1

ˆ



• Uma outra alternativa é como peso o inverso da distância entre o ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido elevada à uma da potência (p), ou seja:

n

ipi

n

iip

i

d

vd

v

1

1

1

1

ˆ



• Uma outra alternativa é como peso o inverso da distância entre o ponto onde se quer conhecer o valor e o ponto de valor conhecido elevada à uma da potência (p), ou seja:

pi

pi

d

d1

1

V p=0,2 p=0,5 p=1,0 p=2,0 p=5,0 p=10,0 1 477 0,1564 0,1700 0,2088 0,2555 0,2324 0,0106 2 696 0,1635 0,1858 0,2610 0,3993 0,7093 0,9874 3 227 0,1390 0,1343 0,1160 0,0789 0,0123 <0,0001 4 646 0,1347 0,1260 0,0989 0,0573 0,0055 <0,0001 5 606 0,1444 0,1449 0,1402 0,1153 0,0318 0,0019 6 791 0,1364 0,1294 0,1056 0,0653 0,0077 <0,0001 7 783 0,1255 0,1095 0,0696 0,0284 0,010 <0,0001

v(ppm) 601 598 594 598 637 693


• Método de kriging (krigagem):

Número da Amostra

X

Y

V

Distância do ponto 65E,137N

1 225 61 139 477 4,5 2 437 63 140 696 3,6 3 367 64 129 227 8,1 4 52 68 128 646 9,5 5 259 71 140 606 6,7 6 436 73 141 791 8,9 7 366 75 128 783 13,5


• Método de kriging:

• Equações para calcular a função de co-variância:

• Essas equações correspondem ao seguinte variograma:

0

3exp

0~

1

10

hsea

hC

hseCC

hC

0

3exp1

00~

10 hsea

hCC

hse

h



• Na equação:

• C0 é chamado de efeito pepita;

• a é chamado de alcance (range);

• C0+C1 é chamado de patamar

0

3exp

0~

1

10

hsea

hC

hseCC

hC



• Tabela das distâncias entre todos os pares de pontos

distância Localização 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0,00 4,47 3,61 8,06 9,49 6,71 8,94 13,45 1 4,47 0,00 2,24 10,44 13,04 10,05 12,17 17,80 2 3,61 2,24 0,00 11,05 13,00 8,00 10,05 16,97 3 8,06 10,04 11,05 0,00 4,12 13,04 15,00 11,05 4 9,49 13,04 13,00 4,12 0,00 12,37 13,93 7,00 5 6,71 10,05 8,00 13,04 12,37 0,00 2,24 12,65 6 8,94 12,17 10,05 15,00 13,93 2,24 0,00 13,15 7 13,45 17,80 16,97 11,05 7,00 12,65 13,15 0,00



• Usando C0=0; a=10; e C1=10 estimados a partir dos dados experimentais existentes obtem-se:

hehC 3,010~



• Para obter o valor de “V” em um dado ponto primeiro determina-se o vetor peso (w) dado por:

w=C-1.D

• Em que C é uma matriz quadrada e D é um vetor dados por:

01111111

1~~~~~~~

1~~~~~~~

1~~~~~~~

1~~~~~~~

1~~~~~~~

1~~~~~~~

1~~~~~~~

77767574737271

67666564636261

57565554535251

47464544434241

37363534333231

27262524232221

17161514131211

CCCCCCC

CCCCCCC

CCCCCCC

CCCCCCC

CCCCCCC

CCCCCCC

CCCCCCC

C

1

~

~

~

~

~

~

~

70

60

50

40

30

20

10

C

C

C

C

C

C

C

D



• Substituindo-se os valores de h na matriz C e no vetor D obtem-se:

000,100,100,100,100,100,100,1

00,100,1019,022,022,136,006,005,0

00,119,000,1011,515,011,049,026,0

00,122,011,500,1024,020,091,049,0

00,122,115,024,000,1090,220,020,0

00,136,011,020,090,200,1036,044,0

00,106,049,091,020,036,000,1011,5

00,105,026,049,020,044,011,500,10

C

00,1

18,0

68,0

34,1

58,0

89,0

39,3

61,2

D



• Calculando-se a inversa da matriz C e multiplicando-a pelo vetor D obtem-se:

• Multiplicando-se os valores de wi por vi obtem-se:

907,0

086,0

057,0

151,0

086,0

129,0

318,0

173,0

1

7

6

5

4

3

2

1

DC

w

w

w

w

w

w

w

w

783086,0791057,0606151,0646086,0227129,0696318,0477173,0ˆ7

10

iii vwv

ppmv 7,592ˆ0



• Calculando-se a inversa da matriz C e multiplicando-a pelo vetor D obtem-se:

é chamado de parâmetro de Lagrange

022 ~~~

iiR Cw

907,018,0086,068,0057,034,1151,058,0086,089,0129,039,3318,061,2173,010~2 R

22 96,8~ ppmR



• A escolha de um modelo de covariância (ou correlograma ou variograma) é um pré-requisito para a krigagem;

• Embora seja mais difícil de ser calculada a estimativa por krigagem é mais flexível;

• O processo de cálculo pode necessitar do cálculo de covariâncias para distâncias para as quais não existe dados experimentais disponíveis;

• O processo de cálculo não garante a existência de uma única solução;



• O processo de cálculo não garante a existência de uma única solução;

• A falta de uma estrutura definida nos dados experimentais disponíveis não justifica o uso do modelo de função aleatória espacialmente não correlacionada;

• A continuidade espacial pode não estar evidente devido ao insuficiente número de pontos amostrais, aos erros de amostragem ou à valores completamente fora da realidade.

Krigagem em um único ponto versus krigagem em bloco

• Block kriging (krigagem de bloco): Processo que busca estimar o valor médio de uma variável dentro de uma área local

• (a) valor de “V” dentro do bloco achureado (b) a (e) valor de “V” em cada um dos quatro pontos. Calculando-se a média dos valores obtidos de (b) até (e) obtem-se o valor obtido em (a)

copyright, 2000 @ daniel marçal de queiroz. geoestatística aplicada à agricultura de precisão...

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