controle digital elevador

7/25/2019 controle digital elevador

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Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas GeraisCampusDivinopolis

Graduacao em Engenharia Mecatronica

Gustavo Barros Castro

Mateus Viana de Oliveira e Costa

CONTROLE DE ALTURA DE UMA

PLATAFORMA ATUADA POR CABOS

Divinopolis2015


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Gustavo Barros Castro

Mateus Viana de Oliveira e Costa

CONTROLE DE ALTURA DE UMAPLATAFORMA ATUADA POR CABOS

Relatorio apresentado a disciplina de Controle Digitaldo curso de Engenharia Mecatronica do CentroFederal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais.

Orientador: Valter Junior de Souza Leite

Divinopolis2015


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Resumo

O Presente relatorio visa apresentar as atividades realizadas durante desenvolvi-

mento do trabalho final da disciplina de Controle Digital e Laboratorio de ControleDigital, o qual consiste no controle de altura de uma plataforma atuada por cabos.Desenvolveu-se uma plataforma na qual um motor CC ira enrolar ou soltar umacorda de forma a alterar a altura de uma plataforma suspensa. O sensor utilizadopara afericao da altura e um sensor ultrassom modelo HC-SR04. Para modelagemdo processo utilizou-se tecnica de caixa cinza. Validou-se o sistema com excitacaodo tipo ruido branco, de forma a garantir fidelidade do modelo com o sistema real.Para controle desenvolveu-se controlador PID, atraves de duas tecnicas, estes foramimplementados na placa Arduino atraves de um algoritimo para o PID.

Palavras-chave: Controle de altura. Plataforma atuada por cabos. Controle Digi-

tal.

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Sumario

Lista de Figuras vi

1 Introducao 1

1.1 Objetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Revisao Bibliografica 2

2.1 Modelagem de Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Linearizacao de Sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Avaliacao de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Avaliacao de controlabilidade do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 Avaliacao de observabilidade do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6 Transformada Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.7 Teorema da amostragem de Nyquist-Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.8 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.8.1 Acao Proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.8.2 Acao Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.8.3 Acao Derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.9 PID Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.9.1 Aproximacao Foward Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9.2 Aproximacao Backward Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9.3 Aproximacao Bilinear de Tustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.10 Sintese de controlador por curva de reacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.11 Filtro Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Desenvolvimento 11

3.1 Materiais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Modelagem do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.1 Modelagem do sistema mecanico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2.2 Sistema eletrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.3 Equacao Diferencial do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.3 Validacao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Linearizacao do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Escolha do perodo de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Discretizacao do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.6.1 Avaliacao do sistema em malha aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.7.1 Discretizacao de controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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Sumario

3.7.2 Projeto pelo Sisotool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.8 Codigo PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Resultados 23

5 Conclusoes 25

Referencias 26

A Codigos 27

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Lista de Figuras

2.1 Efeito doAliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1 Planta para controle de altura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Esquema de funcionamento motor CC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Diagrama de blocos da planta de controle de altura. . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Validacao do Modelo para um entrada do tipo onda quadrada de amplitude 170 . 163.5 Sinal PRBS aplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Validacao do utilizando rudo branco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.7 Lugar das razes do sistema discretizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 Diagrama de bode do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.9 Projeto de controlador feito na toolbox sisotool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.1 Controlador no sisotool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Controlador discretizadol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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Captulo1Introducao

O presente trabalho visa desenvolver e controlar uma plataforma atuada por cabo. Nestaplataforma um motor CC ira enrolar ou soltar uma corda de forma a alterar a altura de uma

plataforma suspensa. O sensor utilizado para afericao da altura e um sensor ultrassom modelo

HC-SR04. Para controle sera desenvolvido um controlador PID digital implementado na placa

arduino UNO, que garante erro de regime 0, e baixo overshoot.

1.1 Objetivos do Trabalho

Neste trabalho objetivou-se de maneira geral o controle de altura, mensurado por ultrassom,

de uma plataforma icada por cabos.

Levantamento de um modelo matematico obtido atraves de tecnica de caixa cinza.

Validacao do modelo obtido

Escolha do periodo de amostragem do sistema

Discretizacao do PID obtido anteriormente

Desenvolvimento de um controlador do tipo PID atraves do sisotool.

Desenvolvimento de um codigo para PID

1.2 Aplicacoes

O projeto propoe o controle de altura de uma plataforma i cada por cabos atraves de um

sensor ultrassom. Sua finalidade e manter uma distancia pre determinada do solo a qualquer

instante. Este sistema e uma simplificacao de 1 DOF do sistema de c amera guiada por cabos

utilizado por redes televisivas para filmagens de jogos esportivos, conhecido como sky cam. O

estudo de um modelo simplificado e um primeiro passo para desenvolvimento de um sistemacompleto de controle para uma camera.

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Captulo2Revisao Bibliografica

O capitulo introduz os metodos de modelagem de sistemas por caixa branca, preta e cinza,demonstrado as vantagens e desvantagens de cada metodo. A seguir e feita uma introducao

sobre controladores PID discretos e por fim discute-se o controle por realimenta cao de estados.

2.1 Modelagem de Sistemas

A modelagem matematica e a area do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e

implementar modelos de sistemas reais. Modelos que se aproximem da realidade e sejam de

facil manipulacao podem fazer a diferenca entre um projeto ser bem sucedido ou apenas uma

ferramenta sem uso pratico.A precisao do modelo obtido tambem reflete diretamente no desempenho da ferramenta a ser

implementada, possibilitando ao sistema trabalhar mais proximo do seu ponto de rendimento

otimo e tornando-o mais robusto.

Uma das maneiras de modelar o sistema e conhecido como modelagem caixa preta, uma

caracterstica deste tipo de tecnica e que pouco ou nenhum conhecimento previo do sistema e

necessario, este metodo e conhecido como identificacao de sistemas.(AGUIRRE,2007)

Uma outra forma de realizar a modelagem e a chamada modelagem caixa branca, no qual e

necessario um conhecimento profundo do sistema a ser modelado e das relacoes matematicas que

descrevem os fenomenos envolvidos. Na identificacao caixa branca, todos os termos da estrutura,

e seus parametros, possuem significado fsico.

Como desvantagens da identificacao caixa-preta pode-se citar, em geral, o fato de a estrutura

do modelo nao possuir significado fsico, a dificuldade para sua selecao e, em muitos casos, o

numero excessivo de parametros. Como vantagens, em geral, sao enumeradas a relativa facilidade

de obtencao e a possibilidade de se escolher estruturas mais adequadas para o projeto de sistemas

de controle.(CORREA; AGUIRRE,2004)

Como desvantagem da modelagem caixa-branca, destaca-se a dificuldade de obtencao do

modelo. Em geral, as equacoes fsicas envolvidas em um processo, assim como seus parametros,

nao sao totalmente conhecidas. Muitas vezes, as relacoes sao por demais complexas e nao podem

ser determinadas. Como principal vantagem, destaca-se o significado fsico do modelo obtido.

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2.2. Linearizacao de Sistemas

Modelagem por caixa branca e por caixa preta podem ser interpretadas como os dois extremos

de tecnicas de modelagem. A rigor, qualquer procedimento que nao esteja em nenhum desses

extremos pode ser denominada de identificacao caixa-cinza. Esta area de conhecimento busca

combinar as vantagens dos procedimentos de identificacao caixa-preta e caixa-branca. Nessecaso, tanto dados de entrada e sada obtidos no sistema, quanto informacao auxiliar sao usados

na identificacao. A identificacao caixa-cinza e uma area bastante ampla e por se tratar de um

assunto relativamente novo, muitos problemas estao praticamente em aberto. (AGUIRRE,2007)

De posse dos modelos, e comum uma etapa de validacao, onde os modelos encontrados sao

submetidos a diversas formas de avaliacao a fim de ser determinar a adequacao do mesmo. Ha

diversas formas de serem feitas estas analises, sendo a mais comum a exposicao dos modelos a

uma nova realidade experimental. (ORENSTEIN,2013)

As perturbacoes aplicadas no sistema podem ter diversas formas, dependendo da finalidade

do modelo, da regiao de frequencia que se deseja mapear, limites de operacao das entradas ou

alguma outra particularidade, que delimitam as condicoes de contorno do problema. Embora

existam infinitas formas de perturbar um sistema, a forma mais cl assica e a excitacao por meio

de degrau, ou uma onda quadrada que essencialmente e a aplicacao de diversos degraus de forma

sucessiva. Outra forma menos usual de excitacao e o Sinal Binario Pseudo Aleatorio (PRBS).

O PRBS e um sinal periodico que alterna entre dois nveis pre-fixados de forma determi-

nstica, com intuito de simular as caractersticas na frequencia de um rudo branco. Duas

caractersticas interessantes deste sinal para o uso em identificacao sao o fato que a sua media

tende assintoticamente a zero e a sua covariancia se aproxima ao rudo branco, na medida em

que a sua duracao tende ao infinito. Estas caractersticas garantem uma distribuicao proxima a

uniforme para o espectro de potencia.

2.2 Linearizacao de Sistemas

Varios sistemas fsicos sao lineares dentro de uma certa gama de valores das variaveis. Entre-

tanto, todos os sistemas tornam-se, em uma ultima analise, nao-lineares a medida que os valores

das variaveis crescem sem limite.(DORF; BISHOP,2011)

Um sistema e definido como linear quando este satisfaz as propriedades de superposicao e

homogeneidade. Essas propriedades sao:

Quando para um sinal de entrada x1(t)ha uma saday1(t), e para uma entrada x2(t)ocorra

uma saday2(t), entao casox1(t) + x2(t) =y1(t) + y2(t)o sistema atende o criterio da superpo-

sicao.

Para o criterio da homogeneidade, para um sinal de entrada x(t) com sinal de sada y(t).

Caso a entrada x(t) seja multiplicada por uma constante , entao o valor de sada devera ser

igualmentey(t)

Quando um sistema apresenta elementos nao lineares, estes podem ser linearizados admitindo-se condicoes de pequenos sinal. Como a curva da funcao e continua sobre uma faixa de interesse,

entao pode-se utilizar uma expansao em serie de Taylor em torno do ponto de operacao desejado.

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2.3. Avaliacao de estabilidade

A equacao encontrada atraves desta expansao e uma aproximacao linear precisa, uma vez que

a hipotese de pequenos sinais e aplicavel ao problema. Com a linearizacao da funcao pode-se

entao aplicar diversa tecnicas para analise e controle do sistema.

2.3 Avaliacao de estabilidade

Assegurar a estabilidade de um sistema de controle em malha fechada e uma questao central

no projeto de sistemas de controle. Um sistema e dito estavel se apresentar uma resposta

limitada para uma entrada igualmente limitada. Em termos de sistemas lineares, o requisito de

estabilidade pode ser definido em termos da localizacao dos polos do sistema.

Para sistemas contnuos no tempo, um sistema e dito estavel caso todos os seus polos estejam

contidos no semi-plano esquerdo, ou seja, que todos os polos da funcao de transferencia do sistema

tenham parte real negativa.

2.4 Avaliacao de controlabilidade do sistema

Um sistema descrito pelas matrizes (A,B) pode ser dito controlavel se existir um sinal de

controleu(t)sem restricoes que possa transferir qualquer estado inicialx(0)para qualquer outra

localizacao desejada para x(t). E possvel determinar se o sistema e controlavel avaliando-se a

condicao algebrica:

posto

B AB A2B . . . An1B

= n (2.1)

Para um sistema com uma unica entrada e uma unica sada, a matriz de controlabilidade Pc

e descrita em termos de A e B , como visto na equacao 1.3:

Pc =

B AB A2B . . . An1B

(2.2)

Que e uma matriz n x n. Portanto, se o determinante de Pc for nao nulo, o sistema e

controlavel.

2.5 Avaliacao de observabilidade do sistema

A observabilidade de um sistema se refere a capacidade de se estimar uma variavel de estado.

Assim, considera-se que um sistema seja observavel se a sada possuir uma componente devida

a cada uma das variaveis de estado.

Um sistema e observavel se, e somente se, existir um tempo T finito tal que o estado

inicialx(0) possa ser determinado a partir do historico de y(t), dado o sinal de controle u(t).

O sistema sera observavel se o determinante de Q for nao nulo, onde Q e:

Q=

C

CA. . .

CAn1

(2.3)

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2.6. Transformada Z

2.6 Transformada Z

Ao analisar sistemas contnuos, normalmente e vantajoso a representacao no domnio da

frequencia complexa s, atraves da transformada de Laplace. No caso de sistemas discretos, a

ferramenta utilizada para passar um sinal do domnio do tempo para o domnio da frequencia e

a transformada Z.

A transformada Z e utilizada para simplificar operacoes que envolvem equacoes de diferenca,

por exemplo, a convolucao de dois sinais discretos no tempo e reduzida para um produto de

duas expressoes algebricas.(MOUDGALYA,2007)

A transformada Z de um sinal x(k) e definida por:

X(z) =

k=x(k)zk (2.4)

Em que z e escolhido de tal forma que: X(z) =

k= |x(k)zk| < . E z e equivalente

a eTs, em que T e o perodo de amostragem do sinal. Portanto:

Z(x(k)) =x0+ x1z1 + x2z

2 + x3z3 . . . (2.5)

Da mesma maneira que pode-se transformar um sinal no tempo para frequencia atraves da

transformada Z, pode-se tambem passar o sinal da frequencia para o domnio do tempo atraves

da transformada Z inversa. Para a transformada X(z) a sua inversa e:

x(n) = 1

2j

x(k)zk1dz (2.6)

Essa integral e uma integral de contorno na direcao anti-horaria em um caminho fechado no

plano complexo.

2.7 Teorema da amostragem de Nyquist-Shannon

A amostragem de um sinal, ou forma de onda analogica, e o processo atraves do qual o sinal

contnuo passa a ser representado por um conjunto discreto de numeros, e entao, atraves das

amostras obtidas e possvel reconstruir o sinal com exatidao. Estas amostras sao iguais ao valor

do sinal em instantes bem determinados, conhecidos como instantes de amostragem. O intervalo

de tempo entre amostras e conhecido como intervalo de amostragem e e representado por Ts, o

seu inverso e a frequencia de amostragem e e representado por fs.

O teorema de Nyquist-Shannon demonstra que se a transformada de um sinal contnuou(t)

e nula para todo f < f0 , isto e se o espectro de frequencia u(f) 0f < f0, entao o sinal u(t)

pode ser determinado de forma unica a partir de suas amostrasu(kt)se o perodo de amostragem

e escolhido observando-se a relacao: (PAGANOS,2010)

T1

2f0(2.7)

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2.8. Controlador PID

O teorema coloca que amostrando o sinal com uma frequencia pelo menos duas vezes maior

que a maior das componentes em frequencia do sinal, e possvel recuperar toda a informacao a

partir das amostras. Esta frequencia e conhecida como frequencia de Nyquist.

Devido ao encobrimento do espectro do sinal original, aparece em sua replica um efeito dedistorcao conhecido comoAliasing, ou seja, ocorre o falseamento do sinal, que impede a correta

recuperacao do sinal original. O efeito do Aliasingpode ser visto abaixo:

Figura 2.1: Efeito do Aliasing

Como pode-se observar na figura 2.1, o efeito do Aliasing pode criar a impress ao de que

o sinal amostrado representa corretamente o sinal senoidal de entrada, mas o sinal obtido temuma frequencia muito mais baixa que o real.

2.8 Controlador PID

SegundoASTROM; HAGGLUND(2005), o controlador PID pode ser descrito pela Equacao

2.8.

u(t) =Kpe(t) + Ki

t0

e(t)dt + Kdd

dte(t) (2.8)

Em queu e o sinal de controle ee e a diferenca entre a a referencia e a sada do processo (e(t) =

r(t) y(t)). Kp, Ki e Kd sao os ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente.

2.8.1 Acao Proporcional

SegundoVISIOLI(2006), para controladores Proporcionais, a acao de controle e proporcional

ao erro de acordo com a Equacao2.9.

u(t) =Kpe(t) =Kp(r(t) y(t) (2.9)

Em que, Kp e o ganho proporcional que implementa a operacao de aumentar o sinal de

controle quando o erro no processo.

A maior desvantagem na utilizacao de controladores proporcionais puros e que ele produz

um erro de regime permanente.

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2.9. PID Discreto

2.8.2 Acao Integral

A acao integral em um controlador gera uma sada proporcional a integral do err, ou seja:

.u(t) =Ki t

0e(t)dt (2.10)

Em que Ki e o ganho integral, et0e(t)dt pode ser interpretado como um somatorio do erro

do processo num dado intervalo de tempo.

A presenca do integrador, ou seja, de um polo na origem do plano complexo, permite erro

de regime permanente nulo para uma entrada em degrau.

2.8.3 Acao Derivativa

A acao derivativa e baseada em variacoes do erro. Uma acao ideal de controle derivativo

pode ser expressa pela Equacao2.11.

u(t) =Kdde(t)

dt (2.11)

Em que Kd e o ganho derivativo e de(t)

dt representa a variacao do erro num dado intervalo

de tempo.

2.9 PID Discreto

Para implementacao de um PID digital, pode-se realizar a transformada z da Equacao ??,

dada pela Equacao:

U(z) =

Kp+

Ki1 z1

+ Kd(1 z1)

E(z) (2.12)

Rearranjando-se a Equacao2.12e obtem-se

U(z) =

(Kp+ Ki+ Kd) + (Kp 2Kd)z

1 + Kdz2

1 z1

E(z) (2.13)

Definindo:

Ki = Kp+ Ki+ Kd

K2= Kp 2Kd (2.14)

K3= Kd

Assim, a Equacao2.12pode ser reescrita como observa-se na Equacao2.15.

U(z) z1U(z) =

Ki+ K2z1 + K3z

2

E(z) (2.15)

De uma maneira geral, a funcao de transferencia de um controlador PID pode ser dada pela

Equacao2.16,como se segue.

C(z) =Kp+ Ci(z) + Cd(z) (2.16)

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2.9. PID Discreto

Dependendo da aproximacao utilizada para a integral e a derivada, Ci(z) e Cd(z) podem

assumir varias formas. Desse modo, a implementacao de um controlador PID digital pode ser

obtida a partir de aproximacoes discretas. (DORF; BISHOP,2011)

Essas aproximacoes sao chamadas de: forward differences,backward differencese bilinear deTustin.

2.9.1 Aproximacao Foward Difference

Esta aproximacao tem relacao entre o dominio s e o dominio z e dada por:

s=z 1

T (2.17)

Para realizar o mapeamento do domnio continuo no discreto utilizando a aproximacao

Foward Difference tem-se entao que a acao integral e:

Ci(z) =KiT

z 1 =Kp

T

Ti(z 1)=Kp

1

i(z 1) com i =

TiT

(2.18)

E para calculo da acao derivativa:

Cd(z) =Kdz 1

T =KpTd

z 1

T =Kpd(z 1) com d=

TdT

(2.19)

Dessa maneira tem-se que a equacao do controlador PID sera:

C(z) =Kp+ Kp 1i(z 1)

+ Kpd(z 1) (2.20)

Que pode ser expandido para:

C(z) =Kpd

z2 +

1

d

z+

id i+ 1

d iz 1

(2.21)

A funcao de transferencia possui dois zeros reais ou complexos, um polo em z = 1 . Essa

aproximacao possui uma implementacao problematica, uma vez que dela deriva uma funcao

impropria. Desse modo, opta-se pela utilizacao das outras aproximacoes que nao apresentam tal

problema.

2.9.2 Aproximacao Backward Difference

A transformacao Backward e uma das maneiras de mapear o eixo imaginario no circulo

unitario. Porem, ao realizar este tipo de aproximacao, nem toda a regiao de estabilidade do

planoz e utilizada, e portanto, para este metodo a regiao de estabilidade e menor que o circulo

unitario.

Nesta aproximacao a relacao entre o dominio s e o dominioz e dada por:

s=z 1

T s (2.22)

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2.9. PID Discreto

Realizando-se a aproximacaoBackward Differencenum PID tem-se que os coeficientes Ci(z)

e Cd(z) sao:

Ci(z) =KiT z

z 1=Kpz

i(z 1) = (2.23)

Cd(z) =Kdz 1

T z =Kpd

z+ 1

z (2.24)

Tem-se entao que a funcao do PID discreto utilizando a aproximacao Backward sera:

C(z) =Kp(1 + 1

i+ d)

z2 1+2d1+ 1

i+d

z+ d1+ 1

i+d

z(z 1) (2.25)

A funcao de transferencia possui dois zeros reais ou complexos, um polo emz = 1e um polo

emz = 0

2.9.3 Aproximacao Bilinear de Tustin

Para esta aproximacao tem-se que a relacao entre o dominio s e o dominio z e dada por:

s= 2

T

z 1

z+ 1 (2.26)

Realizando-se a aproximacao por Tustin num PID tem-se que os coeficientes Ci(z) e Cd(z)

sao:

Ci(z) =KiT

2

z+ 1

z 1=Kp

T

2Ti

z+ 1

z 1=Kp

1

2i

z

i(z 1) com i =

TiT

(2.27)

E para calculo da acao derivativa:

Cd(z) =Kd2

T

z 1

z+ 1=KpTd

2

T

z 1

z+ 1=Kpd2

z 1

z+ 1 com d=

TdT

(2.28)

Dessa maneira tem-se que a equacao do controlador PID sera:

C(z) =Kp+ Kp1

2i

z+ 1

z 1

+ Kpd2z 1

z+ 1

(2.29)

Que pode ser expandido para:

C(z) =Kp

1 +

1

2i+ 2d

z2 +1i

4d

1 + 12i + 2dz+

12i

+ 2d 1

1 + 12i + 2d

(z+ 1)(z 1) (2.30)

A funcao de transferencia possui dois zeros reais ou complexos, um polo em z = 1e um polo

emz = 1.

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2.10. Sintese de controlador por curva de reacao

2.10 Sintese de controlador por curva de reacao

Ziegler e Nichols desenvolveram um metodo de sintonia, chamado de metodo da curva de

reacao, que e realizado em malha aberta. Em muitas aplicacoes reais, e mais facil e seguro

utilizar este metodo em melha aberta do que forcar o sistema a se manter oscilando.

O procedimento para se encontrar a curva de reacao consiste em aplicar uma variacao em

degrau na planta em malha aberta. Com a curva de resposta do processo a esta pertubacao,

que e chamada curva de reacao do processo, calcula-se a taxa de variacao, a inclinacao da

reta tangente Sno ponto de inflexao, e o tempo morto do sistema , o tempo que a tangente

intercepta o eixo do tempo. E importante ressalta que a variavel utilizada para o metodo e S,

que denota a inclinacao normalizada, isto e, S = Sp , e p corresponde a variacao aplicada na

entrada do sistema. O controlador e entao obtido da tabela de Curva de Reacao:

Tabela 2.1: Metodo da Curva de Reacao

Controlador Kp i dP 1

S

PI 0,9S

3,33S

PID 1,2S

3,33 1S

2.11 Filtro Digital

Os sistemas praticos estao sujeitos a rudos e perturbacoes aleatorias que podem dificultar

os procedimentos de analise. . Para contornar estes problemas tem-se recorrido a utilizacao

de filtros, a fim de se capturar somente os sinais com as din amicas de interesse presentes no

sistema. Filtrar um sinal e deixar passar pelo sistema a informacao de interesse e bloquear a

informacao indesejada. Filtros podem ser aplicados nao somente para diminuir a influencia do

rudo do processo, mas tambem para ?suavizar? o resultado de nao homogeneidade de misturas.

Os filtros digitais garantem aspectos interessantes: repetibilidade, pois, diferentemente dos

filtros analogicos, independem de tolerancias e sao invariantes no tempo (nao ha degradacao decomponentes eletronicos como capacitores e indutores); alterabilidade e modularidade.

Um dos tipos mais comuns de filtro digital e o FIR (Finite Impulse Response), ou filtro de

resposta ao impulso finita, caracterizado por uma resposta ao impulso que se torna nula ap os

um tempo finito. Estes filtros apresentam funcoes de transferencia:

Y(z)

X(z) =

Mk=0 akz

(Mk)

zM (2.31)

Ou seja, cada amostra a ser filtrada zMk e multiplicada por um coeficiente ak, o somatorio

de todas estas operacoes sera o sinal filtrado.

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Captulo3Desenvolvimento

No presente capitulo serao relatados os materiais e metodos utilizados para desenvolvimentodo sistema de controle. Inicialmente e detalhado o processo de modelagem em caixa branca, a

seguir e demonstra-se o processo de obtencao dos coeficientes de ganho para um controlador PID

digital e dos ganhos para um controlador por realimentacao de estados. Por fim apresenta-se

o desenvolvimento de cogido para implementacao do PID e do controle por realimentacao de

estados na placa Arduino.

3.1 Materiais Utilizados

Software Matlab 2014bc

Ferramenta Simulinkc

Arduino UNO R3

Circuito integrado L298

Motor 12V - 80 rpm

Estrutura metalica com polias

Balanca digital de precisao

Paqumetro

A estrutura metalica foi desenvolvida com base de comprimento de 700mm, altura das barras

verticais de 450mm, espacamento entre as barras verticais de 450mm, espessura das barras de

30mm. Alem da confeccao em aco, pintou-se a estrutura com tinta preta de forma a evitar a

oxidacao e assim melhorar a durabilidade da planta a longo prazo. Confeccionou-se um mancal,

tres polias e tres cantoneiras em alumnio, para fixacao do motor e passagem dos cabos utilizados

na suspensao da plataforma.

O elemento atuador da planta e um motor CC com reducao mecanica interna que leva

a rotacao de sada do motor para 80RP M com torque maximo de 3Kg/cm. Sua tensao de

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3.2. Modelagem do sistema

alimentacao e de 12V, sendo sua corrente sem carga e de 100mA e a corrente maxima de

500mA. O driver de controle utilizado para acionamento e inversao do sentido de rotacao foi

um modulo que utiliza o CI de ponte H L298.

Para a aquisicao da distancia da plataforma ao solo utilizou-se um sensor ultrassom modeloHC- SR04, que mede uma faixa de distancia de20a4000mm, com resolucao de3mm. Este sensor

baseia-se no princpio de propagacao das ondas mecanicas, emitindo uma onda ultrassonica em

uma direcao, que retorna ao encontrar algum obstaculo. Como a amostragem deste sensor ocorre

antes da realizacao da medicao, este sensor e praticamente imune a efeitos de aliasing.

Nesta plataforma o motor CC ira enrolar ou soltar o cabo de forma a alterar a altura da

plataforma suspensa. A seguir sera detalhado a modelagem deste processo.

3.2 Modelagem do sistema

Inicialmente utilizou-se tecnica de caixa branca para modelagem do sistema. No equaciona-

mento do sistema eletrico os parametros escolhidos se baseiam na estrutura do funcionamento de

um motor CC, o mesmo sendo controlado pela corrente de armadura. Para modelagem do sis-

tema mecanico utilizou-se de equacoes da mecanica newtoniana. Por fim uniu-se os dois sistemas

para modelagem final da planta.

3.2.1 Modelagem do sistema mecanico

O Sistema mecanico do projeto foi modelado utilizando as leis de Newton-Euler, para tantoconsiderou-se o sistema visto na figura abaixo:

Figura 3.1: Planta para controle de altura

Na figura acima pode-se averiguar que o sistema possui uma polia fixa e uma polia m ovel

para transmissao de movimento. Os dois elementos que atuam com forca no sistema sao o motor

CC e a plataforma suspensa. A polia movel faz com que a tensao na corda seja dividida em 2,

sendo que a componente desta tensao que e utilizada como torque de carga no motor depende

do cosseno do angulo formado entre a polia da estrutura e a corda.

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Assim tem-se que o torque de carga aplicado pelo sistema mecanico no motor e:

Tc =mp g sen()

2 Rm (3.1)

Em que e o angulo formado entre a corda e a lateral da estrutura metalica. mp indica

o somatorio da massa da polia e da plataforma, g e a aceleracao gravitacional e Rm e o raio

da polia acoplada ao motor. O elemento sen() pode ser medido por trigonometria atraves da

equacao:

sen() = a

a2 + (H h)2 (3.2)

Em que h e a altura da plataforma ao chao, H e a altura da lateral da estrutura, e a e

corresponde a metade do comprimento total da estrutura. A alturah pode ser determinada por:

h= H

(L Rm)2 a2 (3.3)

Sendo o deslocamento angular da polia do motor e L o comprimento do cabo entre a polia

da plataforma e a polia suspensa no cabo.

Pode-se substituir a equacao 3.2na equacao 3.1encontrando-se entao a seguinte expressao

para o torque de carga:

Tc =mp g

2

a

a2 + (H H

(L Rm)2 a2)2

Rm (3.4)

3.2.2 Sistema eletrico

Para o controle do motor decidiu-se pelo acionamento pela corrente de armadura. Por

meio de uma tensao Va e gerada entao uma corrente que percorre a bobina do motor, como

resposta a excitacao eletrica a esta bobina ocorre a geracao de torque exercido pelo eixo, que

sera responsavel pela dinamica do processo. O esquema eletrico de um motor CC pode ser visto

abaixo:

Figura 3.2: Esquema de funcionamento motor CC

Para motores de corrente contnua a indutancia de armadura normalmente tem valor baixo,

e portanto pode ser desprezada no equacionamento. A equacao simplificada que caracteriza a

transformacao da tensao eletrica em torque e:

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Tm = Ka VaRa

(3.5)

Em que:

Ka e uma constante, que depende de caractersticas construtivas do motor

Va e a tensao de entrada do sistema

Ra e a resistencia de armadura

Tm e o torque fornecido

Para modelagem do motor para a planta de controle de altura inicialmente definiu-se a

resistencia de armadura deste por meio de teste de rotor bloqueador, encontrando-se resistencia

de15,51. O valor da indutancia pode ser desprezado devido a insignificancia de sua grandeza.

A seguir alimentou-se o motor com uma tensao fixa de 8V, mediu-se no ampermetro uma

correnteIa de 20mA, e com a utilizacao de um tacometro digital TC-5030 para monitoramento

da velocidade de rotacao obteve-se medida de63.2rpm. Para aumentar a confianca no resultados

posteriores aferiu-se novamente a rotacao do motor para uma excitacao de 11Ve com corrente

de 30mA, obtendo-se entao a velocidade angula de 84.5rpm.

Calculou-se entao a constante Ka atraves de:

Ka = Earad (3.6)

Sendo que Ea e:

Ea= Va Ra Ia (3.7)

Dessa maneira pode-se determinar que Ea foi de 7,7898V.

E rad e dado por:

rad = 2 rpm

60 (3.8)

Encontrou-se entao que rad = 6,6183rad/sSubstituindo-se as equacoes 3.7e 3.8em 3.6, encontra-se que Ka= 1,177

3.2.3 Equacao Diferencial do Sistema

Com a dinamica do sistema eletrico e do sistema mecanico definidos, pode-se obter a equacao

que rege a dinamica da planta como um todo.

O torque aplicado pelo motor ao sistema mecanico e:

Tm=(Va Ka ) Ka

Ra(3.9)

Em que Va e a tensao aplicada nos terminais do motor, e e a velocidade do motor, dada

em radianos por segundo.

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3.3. Validacao do Modelo

O torque total aplicado no sistema e:

Ttotal = Tmotor Tcarga Tatrito (3.10)

O torque total do sistema e utilizado para gerar o movimento efetivo na polia do motor.

Dessa forma tem-se que:

=Ttotal

J0(3.11)

Em queJ0 e o momento de inercia do sistema. Transformando-se a equacao 3.11do domnio

do tempo para o domnio da frequencia tem-se que:

=Ttotal

J0s e =

TtotalJ0s2

(3.12)

Com pode-se calcular a altura da plataforma atraves de trigonometria, como demostrado

na equacao 3.3. Assim pode-se calcular o torque de carga do sistema substituindo a equacao

3.12na equacao 3.3e esta nas equacoes 3.1.

Expressou-se a equacao diferencial do sistema na forma de diagrama de blocos implementado

na ferramenta Simulink. Como utilizou-se a placa arduino para controle do processo, a tensao

aplicada no motor e dada na forma de PWM (Pulse With Modulation), que tem valor de 0 a

255 para uma tensao de 0 a 12 Volts. O modelo implementado pode ser visto abaixo na figura:

Figura 3.3: Diagrama de blocos da planta de controle de altura

O modelo da planta consiste essencialmente de um equilbrio entre o torque fornecido pelomotor e o torque de carga imposto pela plataforma suspensa. A forca que excede este equilbrio

e entao transformada em aceleracao angular.

3.3 Validacao do Modelo

Apos desenvolvimento do modelo, utilizou-se a ferramenta simulink em conjunto com a to-

olbox Arduino IO para realizar a validacao. Para tanto utilizou-se como entrada uma onda

quadrada com frequencia de 0,1Hz e amplitude de 170, equivalente a 8Volts. Este sinal foi

enviado ao modelo e a planta, e os sinais adquiridos plotados em conjunto, como pode ser vistoabaixo na figura3.4 :

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3.3. Validacao do Modelo

Figura 3.4: Validacao do Modelo para um entrada do tipo onda quadrada de amplitude 170

A utilizacao da onda quadrada permite verificar que a amplitude do sinal de sada do modelo,assim como sua constante de tempo, estao similares a da planta. Para avaliar se a dinamica

da planta e corretamente representada pelo modelo realizou-se a validacao utilizando um sinal

PRBS como visto na figura 3.5

Figura 3.5: Sinal PRBS aplicado

Aplicando-se este sinal na planta e no modelo obteve-se as seguintes curva:

Figura 3.6: Validacao do utilizando rudo branco

Nota-se pelo sinal da figura 3.6que embora o modelo nao represente com100%de fidelidade

o sistema, a dinamica deste apresenta similaridades satisfatorias.

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3.4. Linearizacao do Modelo

3.4 Linearizacao do Modelo

Apos validacao, pode-se utilizar o modelo para desenvolvimento de controladores.

Para tal fim inicialmente encontrou-se os pontos de equilbrio do sistema, que sao os pontos

nos quais o sistema se encontra em estado estacionario. Matematicamente os pontos de equilbrio

sao aqueles em que a derivada dos estados do sistema e igual a zero. Para encontrar estes pontos

utilizou-se o comandotrimdo software Matlab em conjunto com o modelo da planta desenvolvido

na ferramenta Simulink.

A utilizacao do comando trim necessita da insercao de valores das condicoes iniciais dos

estados em radianos, e do valor da sada em milmetros para essa mesma condicao inicial. Para

as condicoes:

x(0) =

9,90

e y(0) =

1800

(3.13)

Encontrou-se como pontos de equilbrio:

x=

9,1131

0

, y=

168,266

e u=

11,734

(3.14)

Sendo que o valor encontrado de dx e muito pequeno, e pode ser considerado 0. A seguir

utilizou-se o comando linmod para linearizar o sistema proximos ao ponto de equilbrio en-

contrado pelo comando trim. Os coeficientes da matriz de estados para o sistema linearizado

sao:A=

0 1

0,0081 0,5768

e B =

0

0,0210

(3.15)

C=

15.2292 0

e D=

0

(3.16)

3.5 Escolha do perodo de amostragem

Para escolha de um perodo de amostragem adequado para o sistema, utilizou-se como criterio

a posicao dos polos desejados em malha fechada. Estes polos foram escolhidos atraves de criterios

de desempenho ja obtidos na materia de teoria de controle, utilizou-se estes pois sabe-se que sao

realizaveis. Os criterios foram:

M P O= 15%

Ts= 10 segundos

Sabendo que o tempo de acomodacao de um sistema de segunda ordem e dado por:

Ts = 4

(3.17)

Em que e a constante de tempo do sistema. Dessa maneira a constante de tempo do sistema

sera2s. O perodo de amostragem do sistema deve ser pequeno o bastante para que seja possvel

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3.6. Discretizacao do sistema

reconstruir o sinal amostrado com precisao, sem a presenca de aliasing, mas tambem deve

ser grande o suficiente para que os polos do sistema no domnio z nao sejam alocados muito

perto de 1, pois isso faz com que a dinamica destes polos se aproximem da de um integrador.

Considerando-se as condicoes acima uma boa pratica para projeto e:

5 T

10 (3.18)

Definiu-se o perodo de amostragem como sendo de de 110 da constante de tempo, aproximou-

se o valor do perodo de amostragem para 0,25 segundos.

3.6 Discretizacao do sistema

Utilizando-se o perodo de amostragem = 0,25s mapeou-se a funcao em espaco de estados

dada na secao 3.4emzutilizando a funcao c2d do software matlab. Os coeficientes da matriz

de estados sao:

A=

0,9998 0,2328

0,001897 0,8655

(3.19)

B =

0,00062710,004899

(3.20)

C=

15,23 0

(3.21)

D= 0 (3.22)

3.6.1 Avaliacao do sistema em malha aberta

Com o sistema ja discretizado, realizou-se a analise deste. Inicialmente avaliou-se a estabili-

dade deste calculando os autovalores da matriz A, obtendo-se:

eig(A) =

0,99640,8688

(3.23)

Os autovalores da matriz A sao os polos do sistema, portanto, como estes sao maiores que

1 e menores do que 1 o sistema e estavel.

Utilizando-se a equacao 2.2,pode-se verificar que o sistema tem todos os estados control aveis,

pois oo determinantes da matriz de controlabilidade tem valore de 5,999 105

Para avaliacao da observabilidade substituiu-se as matrizes AeCna equacao 2.3, obtendo-se

assim o valor de 53,9909, o que mostra que todos os estados do sistema sao observaveis.

Avaliando-se o zeros do sistema, que esta em z = 0,9531, pode-se representar o sistema

como funcao de transferencia na forma:

Gz = 0,00955z+ 0,009102

z2 1,865z+ 0,8657 (3.24)

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3.6. Discretizacao do sistema

O Lugar das razes para Gz pode ser visto abaixo: Esta configuracao tem os seguintes

Figura 3.7: Lugar das razes do sistema discretizado

requisitos:

Tempo de acomodacao: 35,39 segundos

ganho DC: 39,3239

Tambem avaliou-se este modelo em relacao sua resposta em frequencia. O diagrama de bode do

sistema pode ser visto abaixo:

Figura 3.8: Diagrama de bode do sistema

Observa-se que a margem de fase do sistema e de 50,2 graus e a margem de ganho e de

23,4dB

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3.7. Controladores

3.7 Controladores

Nesta secao e apresentado o desenvolvimento dos controladores utilizados na planta de con-

trole de altura. Utilizou-se como formas de encontrar um controlador 3 metodos: a discretizacao

de um controlador calculado no domnio continuo, a utilizacao da toolbox sisotoole o metodo

polinomial:

Como ja citado na secao3.5,definiu-se como criterios de desempenho a serem atendidos:

M P O= 15%

Ts= 10 segundos

3.7.1 Discretizacao de controlador PID

Na disciplina de Teoria de Controle desenvolveu-se um controlador PID atraves do metodo

de curva de reacao (ziegler Nichols em malha aberta).

Para obtencao deste controlador PID, aplicou-se uma entrada degrau no sistema em malha

aberta. Tracou-se entao uma reta tangente ao ponto de inflexao do sinal.

Apos a obtencao de e deSutilizou-se a tabela 2.1para encontrar os coeficientes do PID:

Kp= 2.4 , Ki= 0,3692 e Kd= 0.024

Discretizou-se este controlador atraves do metodo Backward Difference. Substituiu-se a

equacao2.22na equacao para o pid analogico dada em2.8. Utilizou-se o software Matlab para

para realizar esta operacao. Os ganhos para o PID discretizado foramKp= 3.4, Ki = 1,6 e Kd=0.33

3.7.2 Projeto pelo Sisotool

Para desenvolvimento do controlador utilizou-se o modelo linearizado calculado na se cao

3.4. Importou-se o sistema discreto para o toolbox sisotool. Definiu-se a utilizacao de um PID

utilizando a aproximacao backward.

Figura 3.9: Projeto de controlador feito na toolbox sisotool

Os ganhos encontrados para esta posicao de polos foram: Kp = 1,87 , Ki = 0,9 e Kd= 0,3

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3.8. Codigo PID

3.8 Codigo PID

Implementou-se um algortimo de PID para controle da planta na linguagem da placa Ar-

duino, este pode ser visto no apendiceA.

O funcionamento do Arduino baseia-se em duas funcoes principais do tipo void. Sao elas o

setup() e oloop(). Sendo que sua operacao se inicia realizando os comandos presentes no setup()

e permanece em execucao permanente das acoes presentes no loop().

A inicializacao dosetupdefine que oTimer1, nativo do microcontrolador ATMEGA, realizara

uma interrupcao a cada perodo de amostragem do filtro, definido em100Hz. Estabelece tambem

os pinos necessarios para operacao do sensor ultrassom (13 e 12), a presenca de comunicacao

serial com o computado e os pinos de controle do motor via ponte H (10 e 11).

A funcao loop, de operacao continua, fica responsavel por definir os momentos em que a

funcao filtro() sera executada e quando a funcao controla() ira operar. E necessario que o filtro

realize oito amostras do sensor para que a funcao controla opere apenas uma vez. Tal configura-

cao permite que o sinal enviado para a funcao controla opere com caractersticas mais proximas

do comportamento da planta reduzindo significantemente o rudo proveniente do sensor. A

interrupcao age entao incrementando contadores que sao comparados dentro do loop.

A funcao filtro() foi implementada com o objetivo de aplicar um filtro digital do tipo FIR

de quinta ordem no sinal proveniente do sensor ultrassom. A primeira operacao que este realiza

e desconsiderar distancias superiores a 450 e inferiores a 50mm. Tais situacoes sao impossveis

de se obter na planta.Concluda esta etapa, este apresenta um vetor com a leitura atual e cinco leituras anteriores

realizadas pelo ultrassom. A essas amostras sao aplicados coeficientes obtidos a partir de do

codigo contido no apendice ??, de modo a definir o sinal de dist ancia filtrado (distfilt). Os

coeficientes do Filtro foram calculados para uma frequencia de corte de 5Hz e sao:

B0=0,0264077249232381

B1=0,140531362762416

B2=0,333060912314346

B3=0,333060912314346

B4=0,140531362762416

B5=0,0264077249232381

Concluda a realizacao de 8 iteracoes da funcaofiltro(), a funcaocontrola() e entao executada

baseada no erro presente entre o set pointe o sinal de distancia filtrado. O sinal de controleu

e obtido a partir de:

Kp eatual+Kd

Ts (eatual eanterior) + Ki Ts

eanteriores (3.25)

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3.8. Codigo PID

O sinal de controle e entao avaliado para que seja definido em qual dos terminais da ponte

H esse deve ser aplicado. Caso o sinal de controle supere a saturacao de 255 (PWM de 8 bits)

o sinal de controle e entao substitudo pelo valor de 255.

Em seguida o somatorio do erro, ou seja a integral do erro, e calculada. Caso ocorra saturacaodo sinal de controle o erro nao e somado, pois este pode gerar instabilidade no sistema por

requerer um maior sinal de controle quando este nao pode ser fornecido ao sistema. Esta acao

e conhecida comoAnti- Wind-up

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Captulo4Resultados

Apos pro jeto dos controladores avaliou-se na planta a resposta. No presente captulo seraoapresentados as imagens referentes a resposta do sistema para os controladores obtidos na secao

anterior, assim como seus ndices de desempenho.

A figura 4.1apresenta a rejeicao a pertubacao do sistema ao utilizar o controlador obtido

atraves do SISOTOOL.

Figura 4.1: Controlador no sisotool

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Nota-se que a resposta da planta aparenta nao estar com erro de regime permanente igual a

zero, tal fato se deve a resolucao do sensor, que e de 3 milmetros.

A Figura 4.2 apresenta a resposta do sistema ao utilizar o controlador obtido atraves da

discretizacao do controlador continuo obtido por curva de reacao.

Figura 4.2: Controlador discretizadol

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Captulo5Conclusoes

No presente trabalho objetivou-se modelar o sistema da plataforma atuada por cabos eprojetar um controlador no dominioz para a mesma. Apos desenvolvimento da modelagem por

caixa cinza, o modelo obtido foi validado, e este que mostrou-se coerente com o sistema, com

resposta ao degrau similar ao da planta e resposta a um sinal do tipo ruido branco que remete

a dinamica do sistema.

Atraves da linearizacao do modelo, desenvolveu-se dois controladores para o sistema, um

utilizando o toolbox SISOTOOL e outro utilizando a tecnica discretizacao em um PID ja exis-

tente. Notou-se que o controlador projetado pelo sisotool apresenta resposta lenta, demorando a

zerar o erro de regime permanente, porem com tempo de subida rapido. controlador discretizado

apresenta resposta mais rapida , porem com maior overshoot.

Em suma, pode-se desenvolver um modelo que representasse adequadamente o sistema e

projetar um controlador que levasse o sistema a erro de regime nulo. Estes porem nao apresentam

a melhor resposta devido a incerteza gerada pelo sensor, que tem resolucao de 3mm.

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Referencias

AGUIRRE, L. Introducao a identificacao de sistemas: tecnicas lineares e nao lineares aplicadas

a sistemas reais. [S.l.: s.n.], 2007.

CORREA, M. V.; AGUIRRE, L. Identificacao nao-linear caixa-cinza: uma revisao e novos

resultados. SBA: Controle & Automacao, [S.l.], v.15, n.2, p.109126, Junho 2004.

DORF, R. C.; BISHOP, R. H. Modern Control Systems. [S.l.]: Pearson Prentice Hall, 2011.

MOUDGALYA, K. M. Digital Control. [S.l.: s.n.], 2007.

ORENSTEIN, L. P.Procedimento para identificacao de sistemas dinamicos em ambiente indus-

trial. 2013. Dissertacao (Mestrado em Ciencia da Computacao) Universidade Federal do

Rio de Janeiro. Instituito Luiz Coimbra, Rio de Janeiro, RJ.

PAGANOS, D. J. Teoria de Sistemas Amostrados e Controle Digital. Florianopolis, SC, 2010.

ASTROM, K. J.; HAGGLUND, T. Advanced PID Control. [S.l.]: ISA, 2005.

VISIOLI, A. Practical PID Control. 2006.ed. [S.l.]: Springer, 2006. (Advances in Industrial

Control).

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ApendiceACodigos

#include

#define trigger 13 // trigger do ultrassim, pindo que envia a onda mecanica.

#define echo 12 // Echo ultrassom, pino que fica ligado enquanto a onda mecanica n~ao

volatile float dist_filt=0;

volatile int contador_ts=0,contador_tsf=0;

const float ts_f=0.01;

const float ts=0.08;

float b[]={0.0264077249232381, 0.140531362762416, 0.333060912314346, 0.333060912314346, 0

void setup() {

Timer1.initialize(ts_f*1000000);

Timer1.attachInterrupt(interrupcao,ts_f*1000000);

contador_ts=0;

pinMode(trigger,OUTPUT);// configura pino GATILHO como sada

digitalWrite(trigger,LOW);

delayMicroseconds(2);

pinMode(echo,INPUT);// configura pino ECHO como entrada

Serial.begin(9600);

pinMode (10,OUTPUT);

pinMode (11,OUTPUT);

}

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void loop() {

if(contador_tsf){

contador_tsf=0;

filtro();

}

if(contador_ts==ts/ts_f){

contador_ts=0;

controla();

}

}

void interrupcao(){

contador_ts++;

contador_tsf++;

}

float altura(){

digitalWrite(trigger, HIGH);// disparar pulso

delayMicroseconds(10); // tempo para envio de alguns pulsos

digitalWrite(trigger, LOW);

/* Rotina de convers~ao para altura */

float tempo = pulseIn(echo, HIGH);// medir tempo de ida e volta do pulso ultrassonico

return (tempo / 2.94 / 2); // calcular as distancias em mm

}

void filtro(){static int i_c=0;

static float dist_vec[6]={0,0,0,0,0,0};

int iter=i_c;

float distancia=altura();

//if(distancia>450) return;

//if(distancia


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dist_filt=0;

for (int i=0;i0){

y1=abs(u)+60;

y2=0;

if(y1>255){

digitalWrite(10,HIGH);

digitalWrite(11,LOW);

}

else{

analogWrite(10,y1);

analogWrite(11,y2);

29


36/36

}

}

else{

y1=0;

y2=abs(u)+60;

if(y2>255){

digitalWrite(11,HIGH);

digitalWrite(10,LOW);

}

else{

analogWrite(10,y1);

analogWrite(11,y2);

}

}

if ((u>=-255) && (u

controle digital elevador

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