aula01 controle digital

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14/09/2011

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Sistemas de Controle II

Professora: Katia Cilene Silva

SERVIÇO PÚBLICO FEDERALUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA - FEE

Objetivos

SERVIÇO PÚBLICO FEDERALUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA - FEE

Definir um Sistema Digital; Analisar aspectos queconcernem à amostragem de sinais contínuos e tambéma estabilidade de Sistemas Digitais; Estudar o controle de

Sistemas Digitais utilizando os métodos clássicos decontrole (baseados na relação Entrada-Saída).



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Introdução aos Sistemas Discretos

q Considerações Iniciais

q Amostragem

q Equações de diferença

q Transformada Z

q Função de Transferência Discreta

Ementa

Sistemas de Controle Discreto no plano Z

q Equivalentes Discretos

q Estabilidade de Sistemas Discretos no Plano Z

q Lugar Geométrico das Raízes no Plano Zq Projeto de Controladores Discretos no Plano Z



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Avaliações

q Prova 2: dia 28/09/2011

q NOTA FINAL = (prova 1 + trabalho + prova 2 )/3

q Prova de substituição da menor nota: dia

30/09/2011

Bibliografia

qNise, Engenharia de Sistemas de Controle

q Dorf, Sistemas de Controle Moderno



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14/09/2011 SISTEMAS DE CONTROLE II 7


Os Sistemas de controle estudados até este ponto envolvemcontroladores analógicos, que produzem sinais de controle contínuosno tempo a partir de sinais da entrada também contínuos no tempo.

Os sinais usados em Sistemas Discretos são:

Sinal discreto: é definido apenas em instantes específicos do tempo,kT, onde T

ÎÂe k=0, 1, 2, 3,... e pode ser:



Amostrado: se o sinal discreto notempo tem amplitude que podeassumir uma faixa de valorescontínuos então o sinal échamado amostrado.

Digital: se o sinal discreto notempo tem amplitude quantizada(ou seja, pode ser representadopor uma sequência de números)então o sinal é chamado digital.



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Considerações IniciaisO controle digital caracteriza-se pelo uso de um computador, quegera a lei de controle e exerce a função de controlador.

Pode-se observar que os sinais de entrada e de saída do computadorsão os sinais contínuos b(t) e u(t), representados internamente nocomputador pelos seus equivalentes discretos, respectivamenteb(kT) e u(kT).

k k


q Conversor A/D É o dispositivo de hardware utilizado paraaquisição de um sinal analógico externo ao computador (b(t)),convertendo-o em um sinal digital equivalente ao sinal externamentelido que após a conversão A/D será representado pela variável b(kT);

q Conversor D/A É o dispositivo de hardware utilizado paraconversão de um sinal internamente representado no computador(u(kT)), para um sinal analógico externo ao computador que após aconversão D/A será representado pela variável u(t) utilizada paratarefa de controle do processo;

Considerações Iniciais



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q Algoritmo de Controle Este bloco contém os códigosresponsáveis pelo processamento do sinal b(kT) de forma a gerar osinal u(kT), empregado no controle do processo. O Algoritmo deControle utiliza apenas a informação do sinal b(kT).

q Clock Este é o bloco responsável pela manutenção dosincronismo entre os demais blocos que constituem o blocoComputador.




Diferentemente dos controladores analógicos, os sistemas decontrole baseados em computador podem exercer as funções dearmazenamento de dados e supervisão de todas as variáveis doprocesso em um único local, facilitando as tarefas relacionadas aogerenciamento e a operação dos processos.

Vantagens: q Baixo custoqMaior flexibilidadeqMaior capacidade de decisãoqMelhor sensibilidadeqMaior confiabilidadeqMais compactos e levesqMaior versatilidade



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Amostragem de Sistemas Contínuos

O controle digital envolve a medição do sinal de saída da planta, queem geral é contínuo. Como este sinal deve ser processado pelocomputador, ele deve ser discretizado. Este é o chamado processode amostragem. Por outro lado o sinal de controle gerado pelocomputador deve ser aplicado na planta. Como este sinal é discreto,ele deve então ser transformado em um sinal contínuo. Este é oprocesso de reconstrução do sinal.

O processo de amostragem é realizado pelo conversor Analógico-Digital (A/D) e o processo de reconstrução do sinal é realizado peloconversor Digital-Analógico (D/A).



Conversão D/A: é realizada de forma instantânea. As tensõeselétricas ponderadas são somadas de modo a produzir a saídaanalógica.

1

2

4

Bit - significativo

Bit + significativo

1 Volt

+

+

+

Saída analógica

O código binário de 3 bits é representado pelas chaves.



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Amostragem de Sistemas ContínuosConversão A/D: é um processo de 2 etapas, amostragem que consisteem transformar um sinal contínuo no tempo em uma seqüência devalores discretos espaçados igualmente no tempo e a quantização ouretenção por meio do segurador de ordem zero (ZOH).

Onde T é o período deamostragem

Amostragem:



A entrada é r(t) e a saída é r*(t), onde kT é o instante corrente deamostragem e o valor corrente de r*(t) é r(kT). Têm-se, então,r*(t)=r(kT)d(t-kT), em que d é a função impulso.

r*(t) é um trem de impulsos começando em t=0, espaçados de Tsegundos e com amplitudes de valor r(kT).

å¥

=-=

0* )()()(

k kT t kT r t r d



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Amostragem de Sistemas ContínuosQuantização: Considere um sinal contínuo y(t)=t2 V, aplicado a entrada de umconversor A/D de 4 bits, cujo valor máximo admissível na entrada é de 16V.Considere também que a variável t Î [0,4] s e o período de amostragem é T=0,5s. A representação gráfica de f(t) e f(kT) é apresentada na figura.



r(t) r(kt)

r(kt)r(t)

O ZOH recebe o valor r(kT) e o mantém constante para kT£t<(k+1)T.

rh(t)

rh(t)



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Modelagem do Computador Digital

Para analisar e projetar sistemas de controle Digitais deve-se sercapaz de modelar o computador e os conversores associados àsconversões A/D e D/A.

Enquanto o conversor A/D é o responsável pela leitura dos sinaisem tempo contínuo externos ao computador em instantes detempo discretos kT, o conversor D/A é o responsável pela operaçãode escrita de dados digitais existentes internamente nocomputador na forma digital, em um sinal analógico equivalente,

atualizando-o nos instantes de tempo discreto kT. A operaçãoconjunta destes dois elementos é denominada de amostragem

( leitura do A/D) e retenção (escrita no D/A).



Basicamente, então, o efeito do computador sobre o sinal decorredessa amostragem e da retenção. Portanto deve-se encontrar umarepresentação matemática do processo de amostragem(Amostrador) e retenção (ZOH).

)( t r )(t r h



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Partindo da definição de que a função de transferência de umsistema linear é igual a transformada de Laplace da resposta aoimpulso deste sistema.Sabemos que o amostrador é o responsável pela geração de um

sinal do tipo impulso em sua saída. Este sinal é aplicado aoelemento de retenção, que o transforma em um pulso retangularde mesma amplitude do sinal de entrada, com largura igual aoperíodo que é realizada cada amostra kT segundos, ou seja

å¥

-¥=

-=k

kT t kT r t r )()()(*d

)().()(*t t r t r d =)( t r



ZOH

r(t) r h(t)

r*(t)

r*(t)

A etapa final é modelar o Retentor ou Segurador de ordem zero quesegue o amostrador.

kT



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Retem o último valor amostrado de r(t), fornecendo umaaproximação em escada para r(t). Portanto a saída é uma sequência

de funções degrau cuja a amplitude é a de r(t) no instante daamostragem, ou seja, r(kT).

r h(t)



Conclusão:Definição: A FT de um sistema linear = a TL da resposta ao impulso;Definição: A TL de um impulso unitário é igual a unidade;Cada pulso do amostrador resulta em um degrau durante o intervalode amostragem;

A resposta de ZOH ao impulso é a FT do mesmo.

Utilizando um impulso aplicado no instante zero, a TL do degrauresultante, que inicia em t=0 e termina em t=T é:

s

esG

Ts

h

--=

1)(



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Computador modelado pela associação de dois elementos:1- Amostrador ideal e2- Um retentor ou segurador de ordem zero.

r h(t)

Seguradorde ordem

zero

ZOH


Equações de Diferença

q As equações de diferenças são usadas para representarsistemas de tempo discreto.

q As equações diferenciais são usadas para representarsistemas de tempo contínuo.



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Na figura, o conversor A/D captura amostras do sinalanalógico em instantes de tempo discretos (kT = 0, T, 2T,...)e as envia para o computador tal que m(kT) = ê(kT). Otrabalho do computador é calcular o sinal de controleu(kT), a cada período de amostragem, para ser aplicado naplanta via conversor D/A.

A/DCOMPUTADOR

DIGITAL

D/Aê(t)

m(kT) u(kT)

RELÓGIO

u(t)


Sejam os sinais de entrada até a m-ésima amostra anterior aoinstante k, e(k), e(k-1), e(k-2), ...,e(k-m), e os sinais de saídaanteriores ao instante k até a n-ésima amostra, u(k-1), u(k-2), ...,u(k-n). Então, para conseguir a saída no instante k, temos deimplementar no computador alguma função que podemos

expressar em forma simbólica como:

u(k) = f[u(k-1), u(k-2),...,u(k-n), e(k), e(k-1), e(k-2), ...,e(k-m)]




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Supondo f[.] linear, invariante e causal, podemos escrever:

u(k) = a1u(k-1), a2u(k-2),...,anu(k-n), b0e(k), b1e(k-1), b2e(k-2),...,bme(k-m) (1)


A equação 1 é chamada de equação de diferença e como podemosobservar tem muita similaridade com a equação diferencial linear.Para resolver uma equação deste tipo precisamos de um instante de

partida e de algumas condições iniciais para caracterizar o conteúdoda memória do computador neste instante.


Equações de DiferençaExemplo 1: Considere o sistema de tempo discreto

Descreva o sistema sob uma forma recursiva e determine as 3primeiras amostras de saída.

Solução:

Observe que para iniciar o processo em k=0 é necessário conhecer osdois valores passados mais recente da saída, u[-1] e u[-2], que são ascondições iniciais do sistema.



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Equações de DiferençaExemplo 2: Solução recursiva da equação de diferença

Condição inicial u[-1]= 16Sinal de entrada e[k] = k2 começando no instante n=0

Solução:

u(k)

k



q As condições iniciais resumem todas as informações sobre opassado do sistema que são necessárias para determinar as saídasfuturas.

q Em geral, o número de condições iniciais necessárias é igual àordem do sistema.

q A equação de diferença indica que a saída u[k] pode ser obtida apartir da entrada e de valores passados da saída.

q A forma geral de equações de diferença é similar as equaçõesdiferenciais, mas com as derivadas substituídas por valores

retardados da entrada e[k] e da saída u[k].



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Transformada ZComo visto anteriormente um sinal variante no tempo pode seramostrado com um intervalo de tempo T, formando uma seqüênciade valores discretos.

f(kT)


Transformada Z

Como a função r*(t) consiste na soma de todas as amostrasimpulsivas tal como mostrado abaixo:

(1)

Vamos aplicar a transformada de Laplace em (1).

O objetivo é obter uma transformada que contenha as informaçõesda amostragem a partir do qual os sistemas com dados amostradospossam ser modelados por meio de funções de transferência.

å¥

-¥=

-=k

kT t kT r t r )()()(*d

þýü

îíì

-å¥

=0

)()(k

kT t kT r d = å¥

=

-==0

))()(*k

ksT ekT r s R®



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Transformada Z

Fazendo um simples ajuste de notação, chamando z = esT teremos atransformada Z:

O somatório corresponde a uma série de potências em z-k onde oscoeficientes representam as amplitudes das parcelas (amostras) dosinal.

å¥

=

-==0

)()()}({k

k zkT r z Rt r Z

Obs: Sendo s uma variável complexa, s=s+jw, a variável z tambémé complexa, z = e(s+jw)T .


Transformada Z

Essa equação z = esT estabelece um perfeito mapeamento entre oespaço das funções contínuas e discretas.

Isto implica que todos os pontos no plano s tem seu pontocorrespondente no plano z.



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Transformada Z

Nas aplicações em controle discreto, a utilização da Transformada z éfeita considerando apenas k > 0, ou seja, os valores de r(kT) para k <0 são nulos. Esta simplificação define a Transformada z unilateral,que é aplicada considerando que o sistema esteja em repouso paratempos anteriores ao início da análise

å¥

=

-==0

)()()}({k

k zkT r z Rt r Z

A equação acima é uma progressão geométrica (P.G.) logo, paradeterminar a transformada Z de sinais amostrados, é importante

relembrar que a soma de uma P.G. infinita com o primeiro termo a1 erazão q (Série geométrica bem definida quando |q| < 1), é dada por:

q

aS

-=

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Transformada ZExemplo 1: Suponha que um sinal exponencial tenha sido amostradocom um período de amostragem T, conforme mostrado abaixo:

A transformada Z deste sinal amostrado será dada por:

{ } å¥

=

-=0

.)(k

k akT zekT f Z Resultando em

aT e z

z zF

-=)(



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Transformada Z

Exemplo 2: Calcule a transformada Z da função degrau.


{ } å¥

=

-=0

).()(k

k zkT ukT u Z

Resultando em1

)(-

= z

z zF


Transformada ZExemplo 3: Considere o sinal amostrado y(kT) dado abaixo:


{ } å¥

=

-=0

).()(k

k zkT ykT y Z

Resultando em3

2 32)(

z

z z zY

++=



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Transformada Z Inversa

Assim como a transformada de Laplace, a transformada Z tambémprecisa de uma operação inversa. Existem diversas metodologiasinteressantes para calcular a transformada Z inversa, entre elas:

qMétodo de expansão em frações parciais.qMétodo da divisão diretaqMétodo da propriedade do operador de deslocamento


T a b e l a d a T

r a n s f o r m a d a Z

f(kT) F(z)



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qMétodo de expansão em frações parciais.

1° Caso: Se F(z) tiver pólos todos distintos.Calcular a transformada z Inversa de

)1)(5.0(

3)(

--=

z z

z zF

Expandindo em frações parciais temos:

)1(

6

)5.0(

6)(

-+

-

-=

z

z

z

z zF

Utilizando a tabela para o cálculo do f(kT), resulta em:

)5.01(6)( k kT f -=



qMétodo de expansão em frações parciais.

2° Caso: Se F(z) tiver pólos multiplos.Calcular a transformada z Inversa de

2)1)(5.0()(

--=

z z

z zF

Expandindo em frações parciais temos:

)1(

4

)1(

2

)5.0(

4)(

2 --

-+

-=

z

z

z

z

z

z zF

Utilizando a tabela para o cálculo do f(kT), resulta em:

425.04)( -+= k xkT f k



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Transformada Z InversaExercício para fixação

Determine f(kT) considerando que

)9,0)(7,0)(5,0(

)2)(1()(

---

++=

z z z

z z z zF

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