controle de temperatura para um sistema de...

CONTROLE DE TEMPERATURA PARA UM SISTEMA DE CONDICIONAMENTO DE AR

Thiago Vinícius Lopes de Lucena

Projeto de Graduação apresentado ao Departamento de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Engenheiro Mecânico.

Orientador: Nísio de Carvalho Lobo Brum

Rio de Janeiro

Janeiro 2017

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ



PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

Prof. Nísio de Carvalho Lobo Brum (Orientador)

Prof. Gustavo César Rachid Bodstein

Prof. Anna Carla Monteiro de Araujo

Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto

Rio de Janeiro

Janeiro 2017

Lucena, Thiago Vinícius Lopes

Análise Dinâmica e Controle de Temperatura para um Recinto Refrigerado/ Nísio de Carvalho Lobo Brum. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politécnica, 2017

IX, 54p.: il.; 29,7 cm.


Projeto de graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Mecânica, 2017.

Referências Bibliográficas: p. 54

1. Controle de temperatura de ambientes refrigerados I.Carvalho Lobo Brum, NísioII. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III. Controle de Temperatura para um Sistema de Condicionamento de Ar

i

"How much better is to get

wisdom than gold; and to

get understanding is to be

chosen over silver."

Proverbs 16:16

ii

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus pela saúde e sustento em todos os momentos da

minha vida.

Ao meu orientador, professor Nisio Brum, pelo seu imenso suporte na criação desse

trabalho, e a todos os professores da UFRJ, especialmente aos da Engenharia Mecânica, por

todo conhecimento transmitido.

Aos meus pais, João e Felícia, e ao meu tio Ailton que sempre me apoiaram em

meus estudos. A minha namorada, Maria Moura, que sempre esteve ao meu lado nos

momentos mais difíceis da faculdade.

Por fim aos meus amigos da UFRJ que tornaram essa jornada muito mais tranquila e

prazerosa.

iii

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico



Janeiro/2017


Curso: Engenharia Mecânica

Esse trabalho faz uma análise do controle dinâmico de temperatura para um recinto cujo ar interno é condicionado. O controle se dará através da ação da válvula de expansão. A ação dessa válvula acarretará em uma variação do fluido refrigerante na serpentina dando-se assim o controle da temperatura do ar no recinto. Nesse trabalho será analisado o controle via o refrigerante primário, situação comum nos atuais sistemas RVF (Refrigerant Variable Flow). O refrigerante escolhido para essa finalidade foi o R-410a. Nesse trabalho serão mostrados dois métodos de controle de temperatura. O primeiro, um controle mais comum em ambientes climatizados, o controle proporcional. O segundo um controle através de um compensador por avanço de fase. Esses projetos de controladores serão ambientados para a sala de aula G-218 do Centro de Tecnologia da UFRJ. No final serão discutidas as vantagens e desvantagens de cada um dos controladores

Palavras-chave: Controle de Temperatura, Ventilação, Refrigeração e Ar Condicionado, Controle por compensadores.

iv

Abstract of Undergraduate Project to POLI/UFRJ as a partial fulfillment for the degree of Mechanical Engineer

TEMPERATURE CONTROL FOR A SYSTEM OF AIR CONDITIONING


Janeiro/2017

Advisor: Nísio de Carvalho Lobo Brum

Course: Mechanical Engineer

This work makes an analysis of the dynamic temperature control of a room which air inside is conditioned. The control will happen through the action of an expansion valve. The action of this valve will result in a variation of the refrigerant fluid thereby controlling the temperature of the room. In this work will be analyzed the control through the primary refrigerant. This situation is common for the RVF (Refrigerant Variable Flow) systems. The chosen refrigerant for this application was the R-410a. In this work will be presented two methods for temperature control. The first will be a control more common for conditioned environment, the proportional control. The second control will be a lead compensator. These projects will use the volume of the class room G-218 of the Center of Technology of Federal University of Rio de Janeiro for the calculation of the plant transfer function. In the end of this work will be discussed the advantages and disadvantages of each control.

Keywords: Temperature Control, HVAC, Compensation Control

v

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1

1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO ............................................................................... 1

1.2 OBJETIVOS E ESTRUTURA DO TRABALHO ...................................................... 3

2 REVISÃO DA LITERATURA ....................................................................................... 4

2.1 SISTEMAS DE CONTROLE ..................................................................................... 4

2.1.1 SISTEMAS DE MALHA ABERTA E FECHADA ............................................ 4

2.1.2 OPERAÇÕES COM DIAGRAMAS DE BLOCOS ............................................ 6

2.1.3 POLOS E ZEROS DO SISTEMA ....................................................................... 7

2.1.4 ESTABILIDADE DE UM SISTEMA DE CONTROLE .................................... 8

2.1.5 ESPECIFICAÇÕES DE PROJETO .................................................................. 11

2.1.6 METODO DO LUGAR DAS RAIZES (ROOT LOCUS) ................................ 12

2.1.7 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH ................................................ 16

2.1.8 CONTROLADOR PROPORCIONAL .............................................................. 17

2.1.9 COMPENSADORES ......................................................................................... 19

3 TEORIA DE CONTROLE DE TEMPERATURA PARA UM SISTEMA DE CONDICIONAMENTO DE AR .......................................................................................... 24

3.1 FUNÇÃO DA PLANTA DO SISTEMA .................................................................. 24

3.2 CONTROLE PROPORCIONAL DO SISTEMA ..................................................... 28

3.3 CONTROLE ATRAVÉS DE UM COMPENSADOR POR AVANÇO DE FASE . 31

4 PROJETO E RESULTADOS ....................................................................................... 32

4.1 DIMENSIONAMENTO E PROJETO DA SERPENTINA ..................................... 32

4.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DA PLANTA ................................................... 36

4.3 CONTROLE PROPORCIONAL .............................................................................. 40

4.3.1 DIAGRAMA DE MALHA FECHADA COM CONTROLADOR PROPORCIONAL ........................................................................................................... 40

4.3.2 ESTABILIDADE DO CONTROLE PROPORCIONAL .................................. 41

4.3.3 ROOT LOCUS DO CONTROLE PROPORCIONAL ...................................... 42

4.3.4 ANALISE DA RESPOSTA EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DE PROJETO ...................................................................................... 43

4.3.5 SIMULAÇÃO NO SIMULINK DO CONTROLE PROPORCIONAL ........... 46

4.4 CONTROLE ATRAVÉS DE UM COMPENSADOR POR AVANÇO DE FASE . 48

4.4.1 FECHAMENTO DA MALHA .......................................................................... 48

vi

4.4.2 ROOT LOCUS DO CONTROLE POR COMPENSAÇÃO ............................. 49

4.4.3 ANALISE DA RESPOSTA EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS DE PROJETO ...................................................................................... 50

4.4.4 SIMULAÇÃO NO SIMULINK DO CONTROLE POR COMPENSAÇÃO ... 53

5 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ............................................................ 55

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 56

vii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Expectativa do aumento de consumo elétrico por consumidor até 2022 no Brasil..................................................................................................................................................... 1 Figura 1.2 - Expectativa do aumento de consumo elétrico no setor de comércio e serviços até 2022 no Brasil. ........................................................................................................................... 2 Figura 2.1 - Controle de malha aberta ....................................................................................... 4 Figura 2.2 - Controle de malha fechada ..................................................................................... 5 Figura 2.3–Função de malha fechada com todas suas respectivas funções de transferência .... 6 Figura 2.4 – Situações equivalentes para blocos em serie ......................................................... 6 Figura 2.5 - Situações equivalentes para blocos em paralelo ................................................... 7 Figura 2.6 - Situações equivalentes para blocos com realimentação (malha fechada) ............. 7 Figura 2.7- Comportamento do sistema de acordo com o posicionamento dos seus polos. Adaptado de [4].......................................................................................................................... 9 Figura 2.8- Representação no plano complexo dos polos do sistema. Adaptado de [4]. ......... 10 Figura 2.9 - Parâmetros de projeto. Retirado de [4]. ............................................................... 11 Figura 2.10 - Sistema de malha fechada para o exemplo do Root Locus ................................ 13 Figura 2.11 – Sistema de malha fechada com controle proporcional ...................................... 14 Figura 2.12- Root Locus correspondente a equação ( 2.17 ) ................................................... 15 Figura 2.13-Diagrama de blocos para um controle proporcional ............................................ 17 Figura 2.14 – Representação do Root Locus com o ponto de projeto especificado. ............... 18 Figura 2.15 - Diagrama de malha fechada controlado por um compensador .......................... 19 Figura 2.16- Sistema de malha fechada para um compensador ............................................... 20 Figura 2.17- Ângulos dos zeros e dos polos em relação a um ponto de projeto. Adaptado de [4]. ............................................................................................................................................ 21 Figura 2.18 – Sistema de malha fechada com L(S) isolado. .................................................... 22 Figura 2.19 – Fases dos polos e zeros do sistema da Figura 2.18. Adaptado de [4]. ............... 23 Figura 3.1 – Equipamentos envolvidos na determinação da função de malha aberta de um controle de temperatura............................................................................................................ 24 Figura 3.2– Modelo Linear considerado para a dedução da função de malha aberta. ............. 25 Figura 3.3 – Volume de controle na serpentina. Adaptado de [3]. .......................................... 26 Figura 3.4- Esquematização de um controle de temperatura para um recinto ......................... 28 Figura 3.5 – Dependência da variável controlada com o estrangulamento da válvula. ........... 29 Figura 3.6- Compensação do controle proporcional em aplicações de resfriamento .............. 29 Figura 3.7- Diagrama de malha fechada para o controle proporcional de temperatura ........... 30 Figura 3.8-- Diagrama de malha fechada para o controle por compensação de temperatura .. 31 Figura 4.1 – Direção dos fluxos do fluido no trocador ............................................................ 32 Figura 4.2 – Circuito do refrigerante na serpentina ................................................................. 33 Figura 4.3-Calor total trocado com o fluxo de ar variando ...................................................... 34 Figura 4.4 – Variação do fluxo de refrigerante com o fluxo de ar .......................................... 34 Figura 4.5 – Planta baixa de parte do Bloco G com o posicionamento dos equipamentos de refrigeração e de controle ......................................................................................................... 36 Figura 4.6 – Trajeto do fluido no diagrama PxH ..................................................................... 37

viii

Figura 4.7 – Variação do tempo de atraso da serpentina (tcoil) com a vazão de refrigerante. .. 38 Figura 4.8 – Variação do ganho da serpentina com a vazão do refrigerante ........................... 39 Figura 4.9- Diagrama de malha fechada com um controlador proporcional ........................... 40 Figura 4.10 – Diagrama de Root Locus para um controle proporcional de temperatura para condicionamento de ar ............................................................................................................. 42 Figura 4.11 – Diagrama de malha fechada para um controle proporcional feito no Simulink®.................................................................................................................................................. 46 Figura 4.12- Variação da temperatura do recinto para uma entrada em degrau de 1°C com controle proporcional ............................................................................................................... 47 Figura 4.13 – Convergência para zero da diferença entre a temperatura de referência e do recinto para um controle proporcional com entrada em degrau de 1°C .................................. 47 Figura 4.14 – Diagrama de malha fechada controlado por um compensador ......................... 48 Figura 4.15 – Diagrama de malha fechada controlada por um compensador .......................... 49 Figura 4.16- Diagrama de malha fechada para um controle por compensador feito no Simulink® ................................................................................................................................ 53 Figura 4.17 - Variação da temperatura do recinto para uma entrada em degrau de 1°C com controle por compensador ........................................................................................................ 54 Figura 4.18 - Convergência para zero da diferença entre a temperatura de referência e do recinto para um controle por compensador .............................................................................. 54

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 - Relação dos ganhos K com os polos do sistema. ................................................. 14 Tabela 2.2 - Coeficientes rearranjados segundo o critério de Routh ....................................... 16 Tabela 4.1 – Dados de projeto da serpentina ........................................................................... 33 Tabela 4.2– Resultados obtidos no EVAPCOND.................................................................... 35 Tabela 4.3 - Matriz de estabilidade para a equação característica de um sistema de controle de temperatura .............................................................................................................................. 41 Tabela 4.4 – Influência do tempo de acomodação na estabilidade do sistema para um controle proporcional ............................................................................................................................. 44 Tabela 4.5 – Influência do tempo de subida na estabilidade do sistema de um controle proporcional ............................................................................................................................. 45 Tabela 4.6- Influência do tempo de acomodação na estabilidade do sistema de um controle por compensador ...................................................................................................................... 51 Tabela 4.7- Influência do tempo de subida na estabilidade do sistema de um controle por compensador ............................................................................................................................ 52

ix

1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta as principais motivações para esse trabalho. Ele ainda aborda o método utilizado corriqueiramente em ambientes climatizados para controle de temperatura em um recinto. Será discutida uma solução alternativa de controle. A estrutura da tese também será abordada no corpo desse capítulo.

1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO

Os principais propósitos de um sistema de ar condicionado é proporcionar conforto térmico e condições respiratórias saudáveis dentro de um ambiente. A condição de conforto térmico é conseguida principalmente através do insuflamento de ar refrigerado para dentro do recinto. Para que haja condições respiratórias saudáveis dentro do recinto é imprescindível que haja constantemente renovação de ar. Isso é altamente indicado em ambientes em que o nível de bactérias no ar seja muito grande. Esse é o caso de hospitais e clinicas.

Segundo dados do EPE (Empresa de Pesquisas Energéticas) [1] é esperado um aumento de 1,9% ao ano de consumo de energia elétrica por consumidor até 2022. Ano em que o nível de consumo médio energético por família é previsto para estar em torno de 191 KWh/mês (Figura 1.1).

Figura 1.1 – Expectativa do aumento de consumo elétrico por consumidor até 2022 no Brasil.

1

Ainda segundo o EPE é esperado para o setor de comercio e serviços o maior

crescimento na demanda por energia elétrica. Estima-se um aumento de 5,8% ao ano de crescimento do consumo de energia elétrica até 2022 (Figura 1.2).

Figura 1.2 - Expectativa do aumento de consumo elétrico no setor de comércio e serviços até 2022 no Brasil.

Grande parte desse aumento energético se deve a elevação do uso de energia elétrica para conforto térmico. Nesse cenário é imprescindível o uso inteligente da eletricidade com a finalidade de climatização e conforto térmico. Uma das maneiras de se conseguir isso é através do uso de controles mais eficientes evitando assim o desperdício de energia.

2

1.2 OBJETIVOS E ESTRUTURA DO TRABALHO

Nesse trabalho são abordados técnicas de controle de temperatura para um recinto. A aplicação dessas técnicas para um único recinto são usadas em espaços condicionados devido a sua simplicidade e baixo custo. Tradicionalmente o controle de temperatura de um recinto é modulado por uma válvula que se baseia na temperatura de ar do recinto.

Nesse trabalho será analisado o controle via o refrigerante primário, situação comum

nos atuais sistemas RVF (Refrigerant Variable Flow). O refrigerante escolhido para essa finalidade foi o R-410a, que é uma mistura quase azeotrópica entre as substâncias diofluorometano e pentafluoroetano. Comparando este sistema com o de distribuição de água gelada observa-se que podemos ter equipamentos menores e de maior precisão no controle de temperatura [2].

Serão mostrados dois métodos de controle de temperatura. O primeiro, um controle

mais comum em ambientes climatizados, o controle proporcional. O segundo um controle através de um compensador por avanço de fase, que nada mais é que um controlador PD. Esses projetos de controladores serão ambientados para a sala G-218 do Centro de Tecnologia da UFRJ. No final serão discutidas as vantagens e desvantagens de cada um dos controladores

Esse trabalho está dividido em cinco capítulos. O primeiro capítulo introdutório

abordado agora apresenta a importância de um uso energético eficiente nos sistemas atuais de refrigeração. Nesse sentido é imprescindível o uso de controles para um melhor aproveitamento da energia. O segundo capítulo faz uma revisão detalhada da literatura. Esse capítulo se aprofunda nas técnicas de controle. Ele também aborda outros itens importantes para o entendimento desse projeto, como as equações que modelam a transferência de calor na serpentina. O terceiro capítulo apresenta a teoria de controle de temperatura para um único recinto. A função de malha aberta é deduzida, segundo o trabalho de Kaustubh [3]. Também serão abordados os conceitos principais dos dois tipos de controle usados para esse problema na equação de malha aberta deduzida no capítulo. O controle proporcional e o controle através de um compensador por avanço de fase. O capitulo quatro apresenta os resultados obtidos e o caminho para alcança-los. No capítulo cinco serão discutidos as conclusões e os futuros trabalhos.

3

2 REVISÃO DA LITERATURA

Este capítulo faz uma revisão da literatura dos principais assuntos abordados nesse trabalho. Isso abrange os sistemas de controle e as suas ferramentas de controle, os dois tipos de controladores usados nesse trabalho (controle proporcional e compensador por avanço de fase) e as equações de transferência térmica em trocadores de calor com fluxo cruzado, importante para a análise de troca térmica na serpentina.

2.1 SISTEMAS DE CONTROLE

O principal objetivo de um sistema de controle é regular o comportamento de outros dispositivos ou manter uma quantidade física em um valor constante. Os sistemas de controle estão presentes em diversos equipamentos tecnológicos. Sua aplicação vai desde uma simples torradeira elétrica até a mais complexa aeronave. Neste item será abordada as técnicas de controle segundo as referências [4], [5] e [6].

2.1.1 SISTEMAS DE MALHA ABERTA E FECHADA

Os sistemas de controle se classificam em dois tipos. Os sistemas de malha aberta e os sistemas de malha fechada. Nos sistemas de malha aberta o valor de saída (output) é uma função da variável de entrada (input). Esses tipos de sistema são baratos e menos complexos, entretanto seu nível de controle é próximo de zero. A Figura 2.1 apresenta um modelo esquemático desse tipo de sistema. Nessa figura temos o atuador e o processo que juntos formam o que é chamado de função da planta.

Figura 2.1 - Controle de malha aberta

4

Em sistemas de malha fechada (Figura 2.2) a variável a ser controlada é medida por

um sensor na saída. Depois essa informação é levada para o controlador que muda o sinal enviado para a planta de acordo com a referência. O sinal controlado passa então pelo atuador e depois pelo processo gerando o sinal de saída, onde o ciclo se repete novamente.

Figura 2.2 - Controle de malha fechada

Uma das formas mais convenientes de se analisar sistemas de controle é aplicando a transformada de Laplace nas equações que descrevem o sistema. A vantagem de se usar transformadas de Laplace é a de que as operações de integração e diferenciação se tornam algébricas. Desse modo cada equipamento é descrito por uma função de transferência, ou seja, uma função que relaciona o valor de saída com o de entrada. Por exemplo, na Figura 2.3 a função de transferência do controlador, ou seja, o sinal na saída do controlador (V(S)) sobre o sinal na entrada do controlador (E(S)) é igual a Kp.

É importante ressaltar que S é uma variável complexa. Ela é a variável do domínio de todas as funções sobre as quais se aplicam a transformada de Laplace. A equação ( 2.1 ) mostra a expressão geral da transformada de Laplace. Nessa equação f(t) é a função original no domínio do tempo e F(S) é a função transformada no domínio da frequência.

𝐹𝐹(𝑆𝑆) = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑𝑡𝑡

∞

0 ( 2.1 )

A Figura 2.3 apresenta um diagrama de blocos de um sistema de malha fechada com suas respectivas funções de transferência. Operações com diagramas de blocos serão descritos no próximo item.

5

Figura 2.3–Função de malha fechada com todas suas respectivas funções de transferência

2.1.2 OPERAÇÕES COM DIAGRAMAS DE BLOCOS

Frequentemente quando se trabalha com sistemas de controle as representações em diagramas de blocos podem se tornar muito complexas e confusas. Surge então a necessidade de simplifica-las para situações em que seja mais fácil a visualização. Isso se torna ainda mais importante quando se deseja determinar a função de transferência global do sistema (valor da saída sobre o valor da entrada).

A Figura 2.4, Figura 2.5 e Figura 2.6 apresentam situações equivalentes para diagramas de blocos. A Figura 2.4 apresenta a simplificação para blocos em série. Nessa figura 𝐺𝐺1(𝑆𝑆) e 𝐺𝐺2(𝑆𝑆) são simplificados através do produto entre eles formando um único bloco. A Figura 2.5 apresenta a situação equivalente para blocos que estão em paralelo. Nessa figura 𝐺𝐺1(𝑆𝑆) e 𝐺𝐺2(𝑆𝑆) são simplificados através da soma entre eles formando um único bloco. E, por fim, a Figura 2.6 apresenta a situação simplificada para sistemas com realimentação (sistemas de malha fechada). Nessa figura 𝐺𝐺1(𝑆𝑆) e 𝐺𝐺2(𝑆𝑆) são simplificados através do produto entre eles no denominador somado o valor de um e no numerador o valor de 𝐺𝐺1(𝑆𝑆).

Figura 2.4 – Situações equivalentes para blocos em serie

6

Figura 2.5 - Situações equivalentes para blocos em paralelo

Figura 2.6 - Situações equivalentes para blocos com realimentação (malha fechada)

2.1.3 POLOS E ZEROS DO SISTEMA

Para sistemas de malha fechada, como o da Figura 2.3, é possível obter a função de transferência global do sistema usando a relação apresentada na Figura 2.6. A equação ( 2.2 ) apresenta a função de transferência global do sistema da Figura 2.3.

𝑇𝑇𝑅𝑅(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠)

=𝐾𝐾𝑝𝑝𝐺𝐺(𝑠𝑠)

1 + 𝐾𝐾𝑝𝑝𝐺𝐺(𝑆𝑆)𝐻𝐻(𝑆𝑆) ( 2.2 )

7

Na equação ( 2.2 ), os valores que zeram o denominador são chamados de polos do

sistema, já os valores que zeram o numerador são chamados de zeros. O denominador da Equação ( 2.2 ) é chamado de equação característica.

É possível fatorar a equação ( 2.2 ) para a forma apresentada na equação ( 2.3 ). Assim podemos ver que os valores Z1 e Z2 são os zeros do sistema e os valores S1 e S2 são os polos do sistema.


= 𝐾𝐾(𝑆𝑆 − 𝑍𝑍1)(𝑆𝑆 − 𝑍𝑍2) …(𝑆𝑆 − 𝑆𝑆1)(𝑆𝑆 − 𝑆𝑆2) …

( 2.3 )

2.1.4 ESTABILIDADE DE UM SISTEMA DE CONTROLE

A estabilidade de um sistema de controle está relacionada com o posicionamento dos polos do sistema. A Figura 2.7 representa o comportamento do sistema de acordo com o posicionamento dos seus polos.

Os polos posicionados no meio do lado esquerdo do plano complexo (LEP) tendem a convergir a um valor real no infinito, tornando o sistema estável. Isso vale tanto para os valores no quadrante superior do lado esquerdo quanto para o quadrante inferior do lado esquerdo.

Os polos posicionados no lado direito do plano complexo (LDP) não convergem no infinito. Nesses casos diz-se que o sistema é instável. Isso vale tanto para polos no quadrante superior do lado direito quanto para polos no quadrante inferior do lado direito.

Os polos posicionados sobre o eixo imaginário oscilam indefinidamente com amplitudes determinadas sem apresentar convergência ou divergência. Já os polos posicionados no eixo real não apresentam oscilações. Esses polos convergem se estiverem localizados no lado esquerdo e divergem se estiverem posicionados no lado direito através de uma função exponencial.

Para que um sistema seja estável é essencial que todos os seus polos estejam posicionados no lado esquerdo do plano complexo.

8

Figura 2.7- Comportamento do sistema de acordo com o posicionamento dos seus polos. Adaptado de [4].

Os polos podem ser definidos em função de suas partes reais e imaginárias tradicionalmente definidas como

𝑠𝑠 = −𝜎𝜎 ± 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑑𝑑 ( 2.4 )

Isso significa que os polos terão sua parte real negativa se 𝜎𝜎 for positivo. Uma vez que polos complexos sempre aparecem em pares conjugados. O denominador da equação característica para um par conjugado de números complexos terá a forma

𝑎𝑎(𝑠𝑠) = (𝑠𝑠 + 𝜎𝜎 − 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑑𝑑)(𝑠𝑠 + 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑑𝑑) = (𝑠𝑠 + 𝜎𝜎)2 + 𝜔𝜔𝑑𝑑2 ( 2.5 )

Ao encontramos a função de transferência a partir das equações que descrevem o sistema, tipicamente escrevemos o resultado a partir da forma polinomial representada pela equação ( 2.6 ). Nessa equação 𝜔𝜔𝑛𝑛 é chamado de frequência natural do sistema, 𝜉𝜉 é a razão de amortecimento do sistema.

𝑋𝑋(𝑠𝑠) =

𝜔𝜔𝑛𝑛2

𝑠𝑠2 + 2𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛𝑠𝑠 + 𝜔𝜔𝑛𝑛2 ( 2.6 )

9

Determinando os polos da equação ( 2.6 ) chega-se a

𝑠𝑠 = −𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 ± 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑛𝑛�1 − 𝜉𝜉 2 ( 2.7 )

Através da equação ( 2.7 ) e ( 2.4 ) temos que

𝜎𝜎 = 𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛 ( 2.8 )

𝜔𝜔𝑑𝑑 = 𝜔𝜔𝑛𝑛�1 − 𝜉𝜉 2 ( 2.9 )

Onde 𝜔𝜔𝑑𝑑 é chamado de frequência natural amortecida.

Na Figura 2.8 os polos do sistema da equação ( 2.7 ) são mostrados no plano complexo. A partir dessa representação pode ser deduzido que a reta que liga a origem aos polos é a frequência natural do sistema e que o ângulo que essa reta faz com o eixo real está relacionado ao amortecimento através do cosseno.

Figura 2.8- Representação no plano complexo dos polos do sistema. Adaptado de [4].

10

2.1.5 ESPECIFICAÇÕES DE PROJETO

Na resposta de um sistema são definidos pontos que ajudarão a classifica-lo e a projetar um sistema de forma a atender as exigências de projeto. Esses pontos recebem o nome de parâmetros de projeto. Todos esses pontos estão representados na Figura 2.9 e são explicados na sequencia.

Figura 2.9 - Parâmetros de projeto. Retirado de [4].

1. O tempo de subida 𝑡𝑡𝑟𝑟, também conhecido como rise time, é o tempo que leva para o sistema alcançar a vizinhança do seu novo valor desejado (setpoint , 1 no caso da figura).

2. O tempo de acomodação ts , também conhecido como settling time , é o tempo que leva para o sistema alcançar em torno de 1% de sua amplitude.

3. O sobre sinal Mp , também conhecido como overshoot, é o valor máximo da resposta dividido pelo novo set point. Em valor em geral é expresso na forma de porcentagem.

4. O tempo de pico tp , também conhecido como peak time, é o valor de tempo que leva para o sistema alcançar o ponto de sobressinal.

A seguir são apresentadas expressões que relacionam os parâmetros de projeto (como o tempo de subida e tempo de acomodação) com as variáveis que definem um polo, (como frequência natural e taxa de amortecimento). Dessa forma é possível relacionar os parâmetros requeridos de projeto com um ponto no plano complexo.

11

𝑡𝑡𝑟𝑟 =1,8𝜔𝜔𝑛𝑛

( 2.10 )

𝑡𝑡𝑠𝑠 =

4,6𝜉𝜉𝜔𝜔𝑛𝑛

( 2.11 )

𝑀𝑀𝑝𝑝 = 𝑒𝑒

−𝜉𝜉𝜋𝜋

�1−𝜉𝜉 2 ( 2.12 )

𝑡𝑡𝑝𝑝 =

𝜋𝜋𝜔𝜔𝑑𝑑

( 2.13 )

Para projetar um sistema, primeiro especificamos os valores de parâmetros de projeto que queremos que eles atendam. Esses parâmetros estão relacionados a um ponto no plano complexo por meio das equações ( 2.10 ) - ( 2.13 ). Esse ponto recebe o nome de ponto de projeto. Com esse ponto, projetamos o sistema para que os polos passem próximos a ele, e assim atendam as condições requeridas pelos parâmetros de projeto. Para isso, uma das ferramentas utilizadas é chamada de Root Locus.

2.1.6 METODO DO LUGAR DAS RAIZES (ROOT LOCUS)

O método da locação das raízes (Root Locus) é uma técnica de controle que mostra como uma mudança no valor ganho do sistema modifica o posicionamento das raízes da equação característica (polos do sistema).

Para explicar como o método funciona. Considere o sistema de malha fechada dado pela Figura 2.10. A Equação ( 2.14 ) descreve a função de transferência de malha fechada para o sistema da Figura 2.10.

12

Figura 2.10 - Sistema de malha fechada para o exemplo do Root Locus


=𝐺𝐺1(𝑠𝑠)𝐺𝐺2(𝑠𝑠)

1 + 𝐺𝐺1(𝑠𝑠)𝐺𝐺2(𝑠𝑠)𝐻𝐻(𝑆𝑆) ( 2.14 )

𝑏𝑏(𝑆𝑆) = 1 + 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑆𝑆) ( 2.15 )

A equação característica da expressão ( 2.14 ) pode ser reescrita na forma da Equação ( 2.15 ). Os polos do sistema da Figura 2.10 são os valores de S que zeram b(S). O valor de K nessa equação é chamado de ganho do sistema. Cada valor de K está relacionado a um valor diferente de polos. Assim um diagrama que apresenta os valores de polos que corresponde a cada ganho (K) pode ser plotado. Esse diagrama recebe o nome de Root Locus.

Para efeito de exemplificação será mostrado como se obtém o diagrama de Root Locus da função de transferência de malha fechada dada pela Equação ( 2.16 ) e mostrado no diagrama de blocos da Figura 2.11.

13

Figura 2.11 – Sistema de malha fechada com controle proporcional

𝑇𝑇(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑆𝑆)

=

𝐾𝐾𝑆𝑆(𝑆𝑆+1)

1 + 𝐾𝐾𝑆𝑆(𝑆𝑆+1)

( 2.16 )

Igualando a zero a equação característica da expressão ( 2.16 ) para achar os polos do sistema. Chegamos a,

𝑆𝑆 =

−1 ± √1 − 4𝐾𝐾2

( 2.17 )

A expressão acima relaciona os valores de ganho (K) com um conjunto de polos no plano complexo. A Tabela 2.1 mostra essa relação para alguns valores de K.

Tabela 2.1 - Relação dos ganhos K com os polos do sistema.

K S1 S2

-2 1 -2

-1 0,62 -1,62

0 0 -1

1 -0,5+0,87j -0,5-0,87j

2 -0,5+1,32j -0,5-1,32j

14

Variando o valor de K é possível construir um diagrama no plano complexo com os

valores de polos associados. Esse diagrama recebe o nome de diagrama de Root Locus. . O diagrama relacionado a equação ( 2.17 ) está apresentado na Figura 2.12. Essa figura foi gerada utilizando o MatLab. Cada cor de curva está relacionada a uma raiz.

Figura 2.12- Root Locus correspondente a equação ( 2.17 )

O método do Root Locus consiste em determinar o ganho (K) que corresponda a posição do ponto que satisfaz o sistema.

15

2.1.7 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH

Conforme discutido anteriormente um sistema será estável se todos os seus polos estiverem no lado esquerdo do plano complexo.

Um critério muito útil para analisar a estabilidade de um sistema chama-se critério de estabilidade de Routh.

Considere a Equação ( 2.18 ) que representa a equação característica de um sistema de malha fechada.

Segundo o critério de estabilidade de Routh para que um sistema seja estável é necessário antes de tudo que todos os coeficientes da equação característica ( 2.18 ) sejam positivos. Atendido esse critério esses coeficientes devem ser rearranjados segundo a Tabela 2.2.

𝑏𝑏(𝑆𝑆) = 𝑎𝑎0𝑆𝑆6 + 𝑎𝑎1𝑆𝑆5 + 𝑎𝑎2𝑆𝑆4 + 𝑎𝑎3𝑆𝑆3 + 𝑎𝑎4𝑆𝑆2 + 𝑎𝑎5𝑆𝑆1 + 𝑎𝑎6𝑆𝑆0 ( 2.18 )

A Tabela 2.2 recebe o nome de matriz de estabilidade e ela pode ser criada dispondo os coeficientes na primeira e na segunda linha conforme mostrado na Tabela 2.2. Os outros elementos dessa matriz são obtidos a partir de expressões algébricas desses coeficientes.

Tabela 2.2 - Coeficientes rearranjados segundo o critério de Routh

S6 𝑎𝑎0 𝑎𝑎2 𝑎𝑎4 𝑎𝑎6

S5 𝑎𝑎1 𝑎𝑎3 𝑎𝑎5 0

S4 𝑏𝑏1 =𝑎𝑎1𝑎𝑎2 − 𝑎𝑎3𝑎𝑎0

𝑎𝑎1 𝑏𝑏2 =

𝑎𝑎1𝑎𝑎4 − 𝑎𝑎5𝑎𝑎0𝑎𝑎1

𝑏𝑏3 =𝑎𝑎3𝑎𝑎6 − 𝑎𝑎20

𝑎𝑎3 0

S3 𝑐𝑐1 =𝑏𝑏1𝑎𝑎3 − 𝑏𝑏2𝑎𝑎1

𝑏𝑏1 𝑐𝑐2 =

𝑏𝑏1𝑎𝑎5 − 𝑏𝑏3𝑎𝑎10𝑏𝑏1

𝑐𝑐3 =𝑏𝑏20 − 𝑎𝑎30

𝑏𝑏2 0

S2 𝑑𝑑1 =𝑐𝑐1𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐2𝑏𝑏1

𝑐𝑐1 𝑑𝑑2 =

𝑐𝑐1𝑏𝑏3 − 𝑐𝑐3𝑏𝑏1𝑐𝑐1

𝑑𝑑3 =𝑐𝑐20 − 0𝑏𝑏2

𝑐𝑐2 0

S1 𝑒𝑒1 =𝑑𝑑1𝑐𝑐2 − 𝑑𝑑2𝑐𝑐1

𝑑𝑑1 𝑒𝑒2 =

𝑑𝑑1𝑐𝑐3 − 𝑑𝑑3𝑐𝑐1𝑑𝑑1

𝑒𝑒3 =𝑑𝑑20 − 0𝑐𝑐2

𝑑𝑑2 0

S0 𝑓𝑓1 =𝑒𝑒1𝑑𝑑2 − 𝑒𝑒2𝑑𝑑1

𝑒𝑒1 𝑓𝑓2 =

𝑒𝑒1𝑑𝑑3 − 𝑒𝑒3𝑑𝑑1𝑒𝑒1

𝑓𝑓3 =𝑒𝑒20 − 0𝑑𝑑2

𝑒𝑒2 0

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Com a matriz formada podemos aplicar o critério de Routh. Esse critério consiste em

analisar os valores da primeira coluna da matriz de Routh, se esses valores forem positivos e se os coeficientes da equação característica ( 2.18 ) forem também positivos. Dizemos que o sistema é estável.

2.1.8 CONTROLADOR PROPORCIONAL

O controle proporcional recebe esse nome porque a diferença entre a variável de controle e a variável de projeto é controlada através da multiplicação de uma constante (Kp). Um controlador proporcional é um amplificador com um controle de volume que ajusta seu ganho para cima e para baixo. O sistema com controle proporcional tem um estado estável de controle em resposta a uma entrada de referência que se torna menor a medida que o ganho aumenta. Para sistemas de ordem maior, grandes valores de ganhos podem levar a instabilidade. E existe um limite superior do ganho de alimentação proporcional para alcançar uma resposta estável. Este limite ainda pode levar a um erro em regime estacionário.

Na Figura 2.13 está representado um diagrama de blocos para esse tipo de controle. A variável T(s) recebe o nome de variável de controle e R(S) recebe o nome de variável de projeto. A função de transferência para esse controlador, o resultado do que sai sobre o que entra no controlador (V(S) sobre E(S)) é KP. Esse valor também é chamado de ganho do controlador proporcional.

Figura 2.13-Diagrama de blocos para um controle proporcional

17

2.1.8.1 PROJETO DE UM CONTROLADOR PROPORCIONAL

O projeto do controlador proporcional consiste em determinar o ganho (K) que fará com que o sistema seja estável. Para isso é usado a técnica do método das raízes (Root Locus).

Inicialmente definimos os parâmetros de projeto para o sistema. Esses parâmetros estão relacionados a um ponto no plano complexo por meio das equações ( 2.10 ) - ( 2.13 ), o ponto de projeto.

Considere novamente o sistema da Figura 2.11. O valor K que satisfaz o sistema pode ser determinado por meio do método das raízes (Root Locus) e o ponto de projeto. Para isso precisamos achar o valor de K que está associado a polos próximos do ponto de projeto. A função rlocusfind do MatLab faz isso. Ela retorna o ganho que está associado a polos que mais se aproximam do ponto de projeto especificado.

A Figura 2.14 apresenta o Root Locus do sistema da Figura 2.11 com o ponto de projeto desejado, representado pelo circulo. Nesse caso o valor de ganho (K) que retorna os polos mais próximos do ponto de projeto tem valor de 1,27x105. Esse valor está associado aos polos 𝑆𝑆 = −4,92 ± 10,1 i..

Figura 2.14 – Representação do Root Locus com o ponto de projeto especificado.

18

2.1.9 COMPENSADORES

Compensadores são controladores que controlam o sinal recebido do sensor fazendo com que o sistema se estabilize mais rápido ou diminua o erro em regime permanente.

Os compensadores são classificados em dois tipos principais. Os compensadores por avanço de fase e os compensadores por atraso de fase. A função de transferência de um compensador tem a forma geral dada pela Equação ( 2.19 ).

𝐷𝐷(𝑆𝑆) =

𝐾𝐾𝐶𝐶(𝑆𝑆 + 𝑍𝑍)𝑆𝑆 + 𝑃𝑃

( 2.19 )

Onde P é o valor do polo e Z é o valor do zero do compensador. Quando p é maior que z o compensador é classificado com um compensador por avanço de fase. Quando o oposto ocorre ele é classificado como um compensador por atraso de fase. Uma das alternativas para evitar a instabilidade que controles proporcionais podem ter quando possuem ganhos muito altos é usar compensadores por avanço de fase. O compensador por avanço de fase nada mais é que um controlador que se aproxima de uma função de controle proporcional derivativo (PD). Ela é usada principalmente para acelerar a resposta através da diminuição do tempo de subida e do sobressinal.

Historicamente esse tipo de controlador foi conseguido através de circuitos eletrônicos e analógicos. Hoje em dia, muito dos novos compensadores utilizam sistemas digitais computadorizados em que a compensação é introduzida no programa. A Figura 2.15 apresenta um diagrama de blocos de malha fechada para esse tipo de sistema.

Figura 2.15 - Diagrama de malha fechada controlado por um compensador

19

2.1.9.1 PROJETO DE UM COMPENSADOR POR AVANÇO DE FASE

Para o projeto do compensador por avanço de fase fixa-se o valor do polo da sua função de transferência (P na equação ( 2.19 )) e a partir disso calcula-se o zero associado do compensador (Z na equação ( 2.19 )). Ao longo desse item será mostrado em detalhe como será feito isso. Uma vez estabelecido o zero, o ganho é conseguido através do Root Locus usando o ponto de projeto desejado. Da mesma maneira que foi feito no controle proporcional.

A técnica usada para o cálculo do zero do compensador faz uso de uma das definições alternativas de Root Locus. Para mostrar como essa técnica é empregada considere o sistema da Figura 2.16. Nesse sistema o polinômio da função de transferência do compensador foi colocado junto da função de transferência da planta formando L(S). A equação característica desse sistema está representada na equação ( 2.20 ).

Figura 2.16- Sistema de malha fechada para um compensador

𝑏𝑏(𝑠𝑠) = 1 + 𝐾𝐾𝐶𝐶𝐾𝐾(𝑆𝑆) ( 2.20 )

A definição alternativa de Root Locus diz que o lugar das raízes de L(S) é o conjunto de pontos no plano complexo em que a fase de L(S) é 180°.

Consideraremos como fase o ângulo que um zero ou um polo tem em relação ao ponto de projeto. Uma vez que L(S) é o resultado da junção da função de transferência da planta mais a do controlador, o que se faz é determinar a fase de cada uma das partes (todos os zeros e todos os polos de L(S)), adiciona-las e iguala-las a 180°.

20

A Equação ( 2.21 ) apresenta algebricamente o que foi dito. Uma vez que os polos

estão no denominador da função L(S) eles aparecem na equação subtraindo. A Figura 2.17 mostra a fase de cada uma das partes (polos e zeros) em relação ao ponto de projeto r0.

�𝜓𝜓𝑖𝑖 −�𝜑𝜑𝑖𝑖 = 180° + 360°( l − 1 ) ( 2.21 )

Onde:

• 𝜓𝜓𝑖𝑖 é o ângulo dos zeros em relação a um ponto de projeto. • 𝜑𝜑𝑖𝑖 é o ângulo dos polos em relação a um ponto de projeto. • 𝑙𝑙 é o numero de voltas, em geral coloca-se igual a 1.

Uma vez conhecido todos os polos e zeros da função de transferência da planta e definindo um valor para o polo do compensador a única incógnita na equação ( 2.21 ) é a fase do zero do compensador. Na Figura 2.17 o ângulo 𝜓𝜓 é a fase do zero do compensador a ser determinado.

Figura 2.17- Ângulos dos zeros e dos polos em relação a um ponto de projeto. Adaptado de [4].

21

Uma vez determinada a fase do zero do compensador é possível determinar o valor do zero por meio da equação abaixo

𝑍𝑍 = 𝑃𝑃𝑟𝑟 −

𝑃𝑃𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡(𝜓𝜓𝑖𝑖)

( 2.22 )

Na equação ( 2.22 ):

• 𝑃𝑃𝑟𝑟 é o valor da parte real do ponto de projeto • 𝑃𝑃𝑖𝑖 é o valor da parte imaginária do ponto de projeto • 𝜓𝜓𝑖𝑖 é o valor do ângulo do zero do compensador • 𝑧𝑧 é o valor do zero do compensador.

Para efeito de exemplificação considere o sistema da Figura 2.18. O ponto de projeto pode ser determinado por meio das equações ( 2.10 ) a ( 2.13 ). Para um amortecimento de 0.5, um overshoot de 20% e um tempo de subida de 0.26s, o ponto de projeto assume o valor de 𝑟𝑟0 = −3.5 ± 6.06 𝑖𝑖.

Figura 2.18 – Sistema de malha fechada com L(S) isolado.

22

A Figura 2.19 apresenta as fases de todos os polos e zeros de L(S) (combinação de parte da função de transferência do compensador com a função da planta) em relação ao ponto de projeto. Os valores dessas fases são 𝛼𝛼1=17°, 𝛼𝛼2 = 114°, 𝛼𝛼3 = 123°. O valor do polo do compensador foi fixado em -20. Além desse polo L(S) apresenta mais dois outros polos em -1 e 0. Aplicando a equação ( 2.21 ) o valor da fase do zero do compensador (𝜓𝜓) pode ser determinado. Para a situação desse exemplo esse valor é de 74°.

O valor de -20 para o polo do compensador tem duas vantagens. A primeira delas é que polos mais afastados pra esquerda fazem com que o sinal decaia mais rápido. Além disso, pela equação ( 2.21 ), fixando os demais polos e zeros, constata-se que um valor menor para a fase do polo do compensador (polo mais afastado pra esquerda) implica em um valor menor para a fase do zero do compensador, ou seja um zero mais afastado para a esquerda.

Em geral em um projeto de um compensador por avanço de fase o polo do compensador tem o seu valor igual a um multiplo de 5 a 20 vezes do valor desejado para a frequência natural do sistema. Dessa maneira, o zero calculado pela equação ( 2.21 ) apresenta um valor próximo do ponto de projeto.

Figura 2.19 – Fases dos polos e zeros do sistema da Figura 2.18. Adaptado de [4].

Aplicando a Equação ( 2.22 ) o valor do zero do compensador pode ser calculado. Esse valor para as condições do exemplo é Z= -5,23.

Para o calculo de KC do compensador o procedimento é o mesmo adotado no projeto do controlador proporcional. Através da função rlocfind com o ponto de projeto.

23

3 TEORIA DE CONTROLE DE TEMPERATURA PARA UM

SISTEMA DE CONDICIONAMENTO DE AR

Nesta seção será abordada a metodologia de controle de temperatura empregada nesse projeto. Será desenvolvida a função da planta para o problema. Em seguida será mostrado como o controle proporcional e o controle por compensação de avanço de fase é empregado com esse tipo de função de malha aberta.

3.1 FUNÇÃO DA PLANTA DO SISTEMA

A dedução da função da planta de um sistema de controle de temperatura para condicionamento de ar foi desenvolvida por Kaustubh [3]. A Figura 3.1 apresenta o modelo esquemático básico para o problema analisado.

Para efeito de simplificação o tempo de atraso e o aquecimento causado pelo ventilador serão desprezados. A vazão de ar aspirado para o recinto será considerada constante. O recinto será considerado bem misturado e com uma temperatura uniforme.

Figura 3.1 – Equipamentos envolvidos na determinação da função de malha aberta de um controle de temperatura

Para a dedução da função da planta cada um dos equipamentos da Figura 3.1 (válvula, serpentina, duto e recinto) será tratado separadamente e então adicionado

24

linearmente conforme a Figura 3.2. Todo variável t ao lado de S nessa equação está associado um tempo de atraso. Quanto maior esse tempo de atraso, mais próximo da origem do plano complexo está localizado a raiz. Portanto o decaimento da função exponencial associada no domínio do tempo será menor, portanto um atraso maior na resposta.

Figura 3.2– Modelo Linear considerado para a dedução da função de malha aberta.

Na Figura 3.2 a função da planta apresentada relaciona o estrangulamento na válvula (X(S)) com a temperatura do recinto (TR(S)) pela combinação linear das funções de transferência da válvula, da serpentina, do duto e do recinto. Em ordem de determinar uma função de transferência global para a planta, as funções de cada uma das partes podem ser multiplicadas conforme as regras para blocos em série (Figura 2.4) . O resultado desse procedimento está apresentado na equação ( 3.1 ).

𝑇𝑇𝑅𝑅(𝑆𝑆) = �

11 + 𝑡𝑡𝑣𝑣𝑆𝑆

� �𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐

1 + 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑆𝑆� �

11 + 𝑡𝑡𝐷𝐷𝑆𝑆

� �1

1 + 𝑡𝑡𝑅𝑅𝑆𝑆�𝑋𝑋(𝑆𝑆) ( 3.1 )

Será explicado agora cada um dos termos da equação ( 3.1 ). Começando pelo tempo de atraso da válvula (𝑡𝑡𝑣𝑣 ). Ele pode ser obtido usando dados especificados do fabricante. Nesse trabalho serão usados os dados do fabricante Entech [7].

O tempo de atraso para o duto (𝑡𝑡𝐷𝐷) e o tempo de atraso para o recinto (𝑡𝑡𝑅𝑅) podem ser aproximados pelas Equações ( 3.2 ) e ( 3.3 ) respectivamente. Nessas expressões L é o comprimento do duto, Vd é a velocidade média no duto, VR o volume do recinto e 𝑉𝑉�̇�𝑎 a vazão de ar insuflado.

𝑡𝑡𝐷𝐷 =𝐾𝐾𝑉𝑉𝑑𝑑

( 3.2 )

𝑡𝑡𝑅𝑅 =𝑉𝑉𝑅𝑅�̇�𝑉𝑎𝑎

( 3.3 )

25

Os termos 𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐 (tempo de atraso da serpentina) e 𝐾𝐾𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐 (ganho da serpentina) serão deduzidos a seguir a partir da aplicação da transformada de Laplace nas equações derivadas do volume de controle da Figura 3.3.

Figura 3.3 – Volume de controle na serpentina. Adaptado de [3].

Fazendo-se uso das equações de transferência térmica tanto no lado do refrigerante quanto no lado do ar, chega-se nas Equações ( 3.4 ) e ( 3.5 ) onde Cc é a capacidade térmica da serpentina e CAir é a capacidade térmica do ar.

𝐶𝐶𝑐𝑐𝑑𝑑𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡

= �̇�𝑞 + 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑅𝑅𝜌𝜌𝑅𝑅�̇�𝑉𝑅𝑅(𝑇𝑇𝑅𝑅𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐) ( 3.4 )

𝐶𝐶𝐴𝐴𝑖𝑖𝑟𝑟𝑑𝑑𝑇𝑇𝐴𝐴𝑐𝑐𝑑𝑑𝑡𝑡

= −�̇�𝑞 + 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴�̇�𝑉𝐴𝐴(𝑇𝑇𝐴𝐴𝑖𝑖 − 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑐𝑐) ( 3.5 )

Será considerada a temperatura média de entrada e saída no lado do refrigerante e no lado do ar na expressão da troca de calor entre os fluidos, Equação ( 3.6 ). Nessa equação UA é o produto entre o coeficiente global de troca térmica e a área.

�̇�𝑞 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 �

𝑇𝑇𝐴𝐴𝑖𝑖 + 𝑇𝑇𝐴𝐴𝑐𝑐2

−𝑇𝑇𝑅𝑅𝑖𝑖 + 𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐

2� ( 3.6 )

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É assumindo que a temperatura de entrada do ar (TAi) e a temperatura de entrada do

refrigerante (TRi) são constantes e que o termo 𝐶𝐶𝐴𝐴𝑖𝑖𝑟𝑟 (capacidade térmica do ar) é muito pequeno comparado com os outros termos. Substituindo 𝑐𝑐𝑝𝑝𝐴𝐴𝜌𝜌𝐴𝐴�̇�𝑉𝐴𝐴 por 𝐶𝐶�̇�𝐴 e 𝑐𝑐𝑝𝑝𝑅𝑅𝜌𝜌𝑅𝑅�̇�𝑉𝑅𝑅 por 𝐶𝐶�̇�𝑅 nas equações (29) e (30), e aplicando a transformada de Laplace nas equações ( 3.4 ), ( 3.5 ) e ( 3.6 ). Depois de simplificações chega-se as equações ( 3.7 ) e ( 3.8 )

𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐(𝑠𝑠) = −

𝐶𝐶�̇�𝐴𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠 + 𝐶𝐶�̇�𝑅

𝑇𝑇𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑠𝑠) −𝐶𝐶�̇�𝑅

𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠 + 𝐶𝐶�̇�𝑅

(𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐 − 𝑇𝑇𝑅𝑅𝑖𝑖)�̇�𝑉𝑅𝑅(𝑠𝑠)

�̇�𝑉𝑅𝑅(𝑠𝑠) ( 3.7 )

𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐(𝑠𝑠) = �1 +

2𝐶𝐶�̇�𝐴𝑈𝑈𝑈𝑈

�𝑇𝑇𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑠𝑠) ( 3.8 )

Juntando e simplificando as equações ( 3.7 ) e ( 3.8 ) chega-se a equação ( 3.9 ). Onde é possível identificar as expressões para tcoil e Kcoil.

𝑇𝑇𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑠𝑠) = −�

(𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐 − 𝑇𝑇𝑅𝑅𝑖𝑖)𝐶𝐶�̇�𝑅𝑈𝑈𝑈𝑈�̇�𝑉𝑅𝑅�𝑈𝑈𝑈𝑈�̇�𝑉𝑅𝑅 + 2�̇�𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶�̇�𝑅 + �̇�𝐶𝐴𝐴𝑈𝑈𝑈𝑈�

�1

� 𝑈𝑈𝐴𝐴𝐶𝐶𝑐𝑐+2�̇�𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶�̇�𝑅𝑈𝑈𝐴𝐴�̇�𝑉𝑅𝑅+2�̇�𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶�̇�𝑅+�̇�𝐶𝐴𝐴𝑈𝑈𝐴𝐴

� 𝑠𝑠 + 1�̇�𝑉𝑅𝑅(𝑠𝑠) ( 3.9 )

𝑇𝑇𝐴𝐴𝑐𝑐(𝑠𝑠) = −

𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐𝑠𝑠 + 1

�̇�𝑉𝑅𝑅(𝑠𝑠) ( 3.10 )

𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐 = �(𝑇𝑇𝑅𝑅𝑐𝑐 − 𝑇𝑇𝑅𝑅𝑖𝑖)𝐶𝐶�̇�𝑅𝑈𝑈𝑈𝑈

�̇�𝑉𝑅𝑅�𝑈𝑈𝑈𝑈�̇�𝐶𝑅𝑅 + 2�̇�𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶�̇�𝑅 + �̇�𝐶𝐴𝐴𝑈𝑈𝑈𝑈�� ( 3.11 )

𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑐𝑐 =𝑈𝑈𝑈𝑈𝐶𝐶𝑐𝑐 + 2�̇�𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶

𝑈𝑈𝑈𝑈�̇�𝐶𝑅𝑅 + 2�̇�𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶�̇�𝑅 + �̇�𝐶𝐴𝐴𝑈𝑈𝑈𝑈

( 3.12 )

27

3.2 CONTROLE PROPORCIONAL DO SISTEMA

A Figura 3.4 apresenta o esquema de um controle proporcional convencional para um único recinto. A temperatura do recinto, medida por um sensor, é comparada com a temperatura de referência (setpoint) no controlador (R). Se uma correção for necessária o controlador calcula a mudança e envia um novo sinal para a válvula, estrangulando-a e consequentemente alterando o fluxo de refrigerante (𝑉𝑉�̇�𝑅).

Figura 3.4- Esquematização de um controle de temperatura para um recinto

No controle proporcional o estrangulamento da válvula se altera proporcionalmente a diferença do valor da variável controlada (Temperatura do recinto), medida pelo sensor e a temperatura de referência (setpoint ou temperatura desejada).

A posição final da válvula (x) é uma função linear da variável controlada (Temperatura do recinto), Figura 3.5. Dessa forma para diminuir a temperatura controlada estrangula-se a válvula.

Segundo [8] nesse tipo de controle o valor desejado (setpoint) esta tipicamente posicionado no meio da faixa da válvula para que desta forma exista uma compensação entre o ponto de controle e a o valor desejado. Isso é demonstrado na Figura 3.5 quando a válvula está 50% estrangulada, a temperatura controlada coincide com a temperatura desejada (setpoint). Quando a temperatura do recinto aumenta a válvula precisa abrir mais e permanecer nessa posição e sustentar essa diferença enquanto for necessário.

28

Figura 3.5 – Dependência da variável controlada com o estrangulamento da válvula.

A Figura 3.6 mostra que quando o controle proporcional é usado para aplicações de resfriamento. À medida que a condição de carga aumenta de 50% de válvula aberta, a compensação aumenta na direção de resfriamento. Quando o oposto ocorre, ela se move compensando na direção de aquecimento.

Figura 3.6- Compensação do controle proporcional em aplicações de resfriamento

A Equação ( 3.13 ) apresenta a descrição matemática de um controle proporcional:

V=KE

( 3.13 )

29

Onde:

• V é o sinal de saída • K é a constante proporcional (ganho) • E é a diferença (ponto de controle – setpoint)

A Figura 3.7 apresenta o diagrama de malha fechada para esse sistema, considerando a função da planta deduzida anteriormente e controlador proporcional

Figura 3.7- Diagrama de malha fechada para o controle proporcional de temperatura

A função de transferência de malha fechada pode ser obtida por meio da regra de simplificação de blocos com realimentação (Figura 2.6). O resultado está apresentado na equação ( 3.14 ).


=𝐾𝐾𝑝𝑝 �

11+𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠

� � 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐1+𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠

� � 11+𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

� � 11+𝑠𝑠𝑅𝑅𝑠𝑠

�

1 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 �1

1+𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠� � 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

1+𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠� � 1

1+𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠� � 1

1+𝑠𝑠𝑅𝑅𝑠𝑠� ( 3.14 )

30

3.3 CONTROLE ATRAVÉS DE UM COMPENSADOR POR AVANÇO

DE FASE

Como foi dito na revisão da literatura desse trabalho o compensador por avanço de fase é um controlador que se aproxima da função de controle proporcional derivativo (PD).

A Figura 3.8 apresenta o diagrama de malha fechada para esse controlador com todos os elementos da função da planta e o controlador (compensador por avanço de fase).

Figura 3.8-- Diagrama de malha fechada para o controle por compensação de temperatura

A função de transferência de malha fechada é descrita pela Equação ( 3.15 ).

𝑇𝑇𝑅𝑅(𝑠𝑠)𝑅𝑅(𝑠𝑠) =

𝑘𝑘(𝑠𝑠+𝑧𝑧)𝑠𝑠+𝑝𝑝

� 11+𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠

� � 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐1+𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠

� � 11+𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠

� � 11+𝑠𝑠𝑅𝑅𝑠𝑠

�

1 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 �1

1+𝑠𝑠𝑣𝑣𝑠𝑠� � 𝑘𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

1+𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠� � 1

1+𝑠𝑠𝑑𝑑𝑠𝑠� � 1

1+𝑠𝑠𝑅𝑅𝑠𝑠� ( 3.15 )

31

4 PROJETO E RESULTADOS

4.1 DIMENSIONAMENTO E PROJETO DA SERPENTINA

O projeto da serpentina foi feito com o auxilio do software EVAPCOND 4.0 desenvolvido pelo National Institute of Standards and Technology (NIST). Para esse tipo de trocador os fluxos dos fluidos são cruzados conforme a Figura 4.1

Figura 4.1 – Direção dos fluxos do fluido no trocador

O refrigerante escolhido para a serpentina escoará pelos tubos. O ar passará em paralelo às placas conforme representado na Figura 4.1

Os dados usados para o projeto da serpentina estão resumidos na Tabela 4.1. O circuito do refrigerante está representado na Figura 4.2. Nessa figura os círculos representam os tubos, as linhas cheias e tracejadas representam o trajeto do fluido. A linha tracejada mostra que o fluido está percorrendo a parte traseira do trocador, a linha cheia mostra que o fluido está percorrendo a parte dianteira do trocador.

32

Tabela 4.1 – Dados de projeto da serpentina

DADOS GERAIS COMPRIMENTO DO TROCADOR [m] 0,118

LARGURA DO TROCADOR [m] 0,454

ALTURA DO TROCADOR [m] 0,541

DADOS DO TUBO MATERIAL COBRE NUMERO TUBOS 48 COMPRIMENTO [mm] 454 DIÂMETRO INTERNO [mm] 9,22 DIAMETRO EXTERNO [mm] 10,01 ESPAÇAMENTO [mm] 25,4

DADOS DAS ALETAS MATERIAL ALUMINIO ESPESSURA [mm] 0,2032 ESPAÇAMENTO [mm] 2,004 NUMERO DE PLACAS 100

Figura 4.2 – Circuito do refrigerante na serpentina

Utilizando o EVAPCOND 4.0 foram simuladas três situações. Nessas situações o fluxo de ar foi variado de 17, 18 e 19 m3/min. A quantidade total de calor trocada para cada caso está plotada em função do fluxo de ar na Figura 4.3. A variação do fluxo de refrigerante para a mesma variação do fluxo de ar está representada na Figura 4.4.

33

Figura 4.3-Calor total trocado com o fluxo de ar variando

Figura 4.4 – Variação do fluxo de refrigerante com o fluxo de ar

34

Para os cálculos da função da planta será adotado como ponto de controle (ponto em que válvula está 50% aberta), (Figura 3.5), os valores que correspondem a um fluxo de refrigerante de 60.6 kg/h (fluxo de ar de 18 m3/min). Os resultados obtidos com o EVAPCOND 4.0 para esse ponto de controle estão resumidos na Tabela 4.2.

Tabela 4.2– Resultados obtidos no EVAPCOND

TROCADOR DE CALOR CALOR SENSÍVEL TROCADO [KW] 2,48 CALOR LATENTE TROCADO [KW] 1,11 CALOR TOTAL TROCADO [KW] 3,598

LADO DO REFRIGERANTE FLUXO DE R-410 a [Kg/h] 60,6 TEMPERATURA DE ENTRADA [°C] 9,4 TEMPERATURA DE SAIDA [°C] 14,8 PRESSÃO [KPa] 1065,8

LADO DO AR FLUXO DE DE AR [m3/min] 18,0 TEMPERATURA DE ENTRADA [°C] 26,0 TEMPERATURA DE SAIDA [°C] 20,4 UMIDADE RELATIVA ENTRADA [%] 0,50 UMIDADE RELATIVA SAIDA [%] 0,62

35

4.2 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DA PLANTA

Conforme foi demostrado a função de malha aberta do sistema (função da planta) para o controle de temperatura de um recinto pode ser representada por meio da equação ( 3.1 ).

Para esse projeto o tempo de atraso da válvula (t𝑣𝑣) será igual a 0.2 segundos, conforme especificações do fabricante EnTech [7] para uma válvula de resposta rápida.

O valor do tempo de atraso do duto (tD) pode ser obtido através da Equação ( 3.2 ). Para isso foi considerado um comprimento de duto de 2 metros e a velocidade do ar no duto pode ser obtida como a razão entre o fluxo de ar pela área de passagem do ar no duto. O fluxo de ar para o ponto de controle é de 18m3/min, a área do duto foi adotada como sendo 0.5 m2. Logo o tempo de atraso no duto (𝑡𝑡𝐷𝐷) é de 3.35s.

O tempo de atraso no recinto (tR) pode ser obtido através da Equação ( 3.3 ). O volume do recinto foi tomado como sendo igual ao da sala G-218 do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Rio de Janeiro, sendo de 216 m3. A Figura 4.5 apresenta a planta baixa das salas do bloco G com o posicionamento do sistema de controle e de refrigeração. O pé direito da sala foi considerado como sendo de 3 metros. O fluxo de ar no ponto de controle é de 18m3/min. Logo o tempo de atraso do recinto é de 724s.

Figura 4.5 – Planta baixa de parte do Bloco G com o posicionamento dos equipamentos de refrigeração e de controle

36

Os valores do tempo de atraso da serpentina (tcoil) e do seu ganho (kcoil) podem ser

obtidos através das equações ( 3.11 ) e ( 3.12 ) respectivamente.

Nessas equações foram usados os valores da temperatura de saída, da temperatura de entrada do refrigerante e a vazão de refrigerante que estão apresentados na Tabela 4.2. Para o calor especifico do tubo (Cc) foi usado o valor de 0,42 KJ/KgK . Para o calor especifico do ar foi usado o valor de 1,012 KJ/KgK. Para o calor especifico do fluido foi usado o seu valor médio, ou seja a diferença da entalpia na saída e na entrada sobre a diferença da temperatura na saída e na entrada da serpentina conforme a equação ( 4.1 ). A Figura 4.6 mostra que o fluido entra na serpentina com um titulo próximo de zero e sai superaquecido. O valor obtido para esse calor especifico foi de 34,46 KJ/KgK.

𝐶𝐶𝑅𝑅�� =

ℎ2 − ℎ1𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1

( 4.1 )

Figura 4.6 – Trajeto do fluido no diagrama PxH

O produto do coeficiente global de transferência de calor (U) pela área de troca térmica (A) pode ser estimado por meio da equação ( 4.2 ) , conforme [9]. Nessa equação ∆𝑇𝑇𝑖𝑖 é a diferença de temperatura na entrada, ∆𝑇𝑇𝑐𝑐 é a diferença de temperatura dos

37

fluidos na saída e q é o calor total trocado. Para o ponto de controle o produto UA tem o valor de 0.3241 KW/°C.

𝑞𝑞 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 �

∆𝑇𝑇𝑖𝑖 + ∆𝑇𝑇𝑐𝑐2 � ( 4.2 )

Com o intuito de verificar a variação do tempo de atraso da serpentina e do seu ganho com a variação do fluxo de refrigerante foram construídos os gráficos abaixo. A Figura 4.7 mostra a relação do tempo de atraso da serpentina com o fluxo de refrigerante. A Figura 4.8 apresenta o comportamento do seu ganho com a variação do fluxo de refrigerante.

Figura 4.7 – Variação do tempo de atraso da serpentina (tcoil) com a vazão de refrigerante.

38

Figura 4.8 – Variação do ganho da serpentina com a vazão do refrigerante

Para o ponto de controle, ou seja, o ponto em que a válvula está 50% aberta, o fluxo de refrigerante é de 60.6 kg/h. Para esse ponto os valores do ganho da serpentina e do seu tempo de atraso são respectivamente 2.0140e+04 e 0,1160s.

Agora já se possui todos os valores da função da planta, equação ( 3.1 ). A Equação abaixo apresenta ela completa com os valores calculados substituídos (Equação ( 4.3 )). A Equação ( 4.4 ) é a forma polinomial da Equação ( 4.3 ) , a função de transferência da planta.

𝑇𝑇𝑟𝑟(𝑠𝑠) = �

11 + 0,2𝑠𝑠

� �2,0140e + 04

1 + 0,1160𝑠𝑠� �

11 + 1,65𝑠𝑠

� �1

1 + 724𝑠𝑠� 𝑥𝑥(𝑠𝑠) ( 4.3 )

𝑇𝑇𝑅𝑅(𝑆𝑆)

𝑋𝑋(𝑠𝑠)=

728,3𝑠𝑠4 + 14,23𝑠𝑠3 + 51,4𝑠𝑠2 + 26,25𝑠𝑠 + 0,03616

( 4.4 )

39

4.3 CONTROLE PROPORCIONAL

Conforme explicado anteriormente em um controle proporcional o ganho K é selecionado de modo que o sistema se estabilize para um ponto de projeto. Esse ponto de projeto está relacionado aos parâmetros de projeto.

Nesse tópico será apresentado um sistema de controle para temperatura utilizando um controlador proporcional. Será apresentado o diagrama de bloco para esse sistema. Na sequencia será utilizado o critério de Routh para analisar a faixa de ganhos (valores da constante K do controlador) para os quais o sistema é estável. Será apresentado também o comportamento da estabilidade desse tipo de controle quando se variam os parâmetros de projeto. Por fim serão apresentados os resultados obtidos pelo Simulink®.

4.3.1 DIAGRAMA DE MALHA FECHADA COM CONTROLADOR PROPORCIONAL

A Figura 4.9 mostra o diagrama de malha fechada do sistema com o controle proporcional, a Equação ( 4.5 ) apresenta a função de malha fechada para esse diagrama.

Figura 4.9- Diagrama de malha fechada com um controlador proporcional



𝑇𝑇𝑅𝑅(𝑆𝑆)𝑋𝑋(𝑠𝑠)

�

1 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 �𝑇𝑇𝑅𝑅(𝑆𝑆)𝑋𝑋(𝑠𝑠)

� ( 4.5 )

Combinando a Equação ( 4.4 ) (função de transferência da planta) com a Equação ( 4.5 ) chegamos a Equação ( 4.6 ), que é a equação global de transferência desse sistema.



728,3𝑠𝑠4+14,23𝑠𝑠3+51,4𝑠𝑠2+26,25𝑠𝑠+0,03616

�

1 + 𝐾𝐾𝑝𝑝 �728,3

𝑠𝑠4+14,23𝑠𝑠3+51,4𝑠𝑠2+26,25𝑠𝑠+0,03616� ( 4.6 )

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4.3.2 ESTABILIDADE DO CONTROLE PROPORCIONAL

Conforme abordado na revisão da literatura deste trabalho. Um sistema será estável quando todos os valores da primeira coluna da matriz de Routh forem positivos e todos os coeficientes do polinômio característico também forem.

A equação característica desse sistema pode ser obtida a partir da função de transferência global do sistema (Equação ( 4.6 )) . A expressão abaixo apresenta a equação característica do sistema.

𝑏𝑏(𝑠𝑠) = 𝑠𝑠4 + 14,23𝑠𝑠3 + 51,4𝑠𝑠2 + 26,25𝑠𝑠 + (0,03616 + 𝐾𝐾𝑝𝑝. 728,3) ( 4.7 )

Na Tabela 4.3 é apresentada a matriz de Routh completa para esse sistema. As regras para o preenchimento dessa matriz estão abordadas na Tabela 2.2.

Tabela 4.3 - Matriz de estabilidade para a equação característica de um sistema de controle de temperatura

S4 1 51,4 (0,03616+ 𝐾𝐾𝑝𝑝. 728,3)

S3 14.23 26,25 0

S2 49.53 (0,03616 + 𝐾𝐾𝑝𝑝. 728,3) 0

S1 26,24- 209,13𝐾𝐾𝑝𝑝. 0 0

S0 (0,03616+ 𝐾𝐾𝑝𝑝. 728,3)

0 0

Pelo critério de Routh a primeira coluna da matriz acima tem que ser maior que zero. Temos então que o sistema será estável se Kp pertencer ao intervalo:

0 < Kp <0,1255

( 4.8 )

41

4.3.3 ROOT LOCUS DO CONTROLE PROPORCIONAL

Na Figura 4.10 está representado o diagrama de Root Locus para esse sistema. Uma grande parte dessa curva encontra-se no lado direito do plano complexo. Isso significa que para uma grande faixa de Kp (mais precisamente kp>0,1255) esse sistema apresenta raízes positivas e consequentemente instáveis.

Figura 4.10 – Diagrama de Root Locus para um controle proporcional de temperatura para condicionamento de ar

42

4.3.4 ANALISE DA RESPOSTA EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DOS

PARÂMETROS DE PROJETO

Conforme explicado na revisão da literatura desse trabalho os parâmetros de um projeto de controle são os valores de sobressinal (Overshoot), de tempo de subida (rise time) e de tempo de acomodação (settling time) que atendem aos requisitos desejados. As variações desses valores influenciam diretamente na posição do ponto de projeto.

A Equação ( 2.12 ) relaciona o overshoot (Mp ) com o grau de amortecimento (𝜉𝜉). Este está relacionado com a parte real e a parte imaginaria do ponto de projeto através da Equação ( 2.7 ). A Equação ( 2.11 ) e a Equação ( 2.12 ) relacionam, respectivamente, o tempo de subida (tr) e o tempo de acomodação (ts) com a frequência natural do sistema (𝜔𝜔𝑛𝑛). Estes também estão relacionados com a parte real e a parte imaginaria do ponto de projeto através da Equação ( 2.7 ).

A Tabela 4.4 mostra como o tempo de acomodação influência na estabilidade do sistema para a entrada em degrau. Fixando o valor do overshoot para 20% é possível ver que para tempos de acomodação até 5.9s o sistema é instável. Nesse caso o diagrama de Root Locus mostra que o ponto de projeto (circulo) está muito longe das curvas de Root Locus. O Matlab na tentativa de selecionar um ganho (kp) que mais se aproxima de satisfazer o ponto de projeto seleciona um ganho que está relacionado a raízes positivas e consequentemente isso gera instabilidade no sistema. Esse comportamento já era esperado, uma vez que o ganho para esse caso (KP = 0,1288) é maior que 0,1255, visto no item anterior como o ganho limite para a estabilidade.

Para os demais valores da Tabela 4.4 observa-se que o sistema se torna cada vez mais estável a medida que aumenta-se o tempo de acomodação. É possível notar também que esse aumento aproxima o ponto de projeto (circulo) da origem. Isso vem acompanhado de menores valores de ganhos (Kp) e menores valores de overshoot para entrada em degrau.

A Tabela 4.5 mostra como o tempo de subida influência na estabilidade do sistema para a entrada em degrau. É possível ver que para tempos de subida menores que 1s o sistema será instável. Isso significa que para esse tipo de controle não é possível obter respostas muito rápidas (menores que 1s). Nesse caso o diagrama de Root Locus mostra que o ponto de projeto (circulol) está longe das curvas de Root Locus. O único ganho (Kp) que se aproxima de satisfazer as exigências desse ponto faz com que as raízes sejam positivas e consequentemente instáveis.

Os outros valores da Tabela 4.5 mostram que o aumento do tempo de subida (respostas mais lentas) aproxima o ponto de projeto (circulo) das curvas de Root Locus. Isso vem acompanhado de uma maior estabilidade no sistema em detrimento de uma menor velocidade de resposta.

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Tabela 4.4 – Influência do tempo de acomodação na estabilidade do sistema para um controle proporcional

Tempo de Acomodação

e Kp

Root Locus Chart Step Response

ts=5,9s

Kp=0,12883

ts=7s

Kp=0,09276

ts=25s

Kp=0,01252

ts=35s

Kp=0,00842

44

Tabela 4.5 – Influência do tempo de subida na estabilidade do sistema de um controle

proporcional

Tempo de subida

e Kp


tr =1s

Kp=0,1423

tr =1,1s

Kp=0,1183

tr =3s

Kp=0,0206

tr =5s

Kp=0,0110

45

4.3.5 SIMULAÇÃO NO SIMULINK DO CONTROLE PROPORCIONAL

Através da ferramenta Simulink® no MatLab® é possível obter resultados que as funções de controle naturais do MatLab® não obteriam. Além de possibilitar uma visualização melhor do que está ocorrendo na simulação. A Figura 4.11 mostra o diagrama de malha fechada do controle proporcional feito no Simulink®.

As variáveis da função da planta (t_v, K_coil,t_coil,t_D,t_R) foram todas calculadas no programa principal.

Os blocos t, TR e tref salvam em listas respectivamente, a variável tempo, a temperatura do recinto e a diferença entre a temperatura de referencia e a temperatura do recinto. Assim é possível ver como a temperatura do recinto e a diferença dela com a temperatura de referencia variam com o tempo.

Para um tempo de subida de 3 segundos e uma entrada em degrau com valor final de -1°C a Figura 4.12 mostra como varia a temperatura do recinto até sua estabilização. Para o mesmo tempo de acomodação e a mesma entrada em degrau a Figura 4.13mostra a diferença da temperatura de referência e a temperatura de recinto. Repare como a temperatura do recinto se estabiliza em 20°C à medida que a diferença entre a temperatura do referencia e a do recinto se aproximam de zero.

Figura 4.11 – Diagrama de malha fechada para um controle proporcional feito no Simulink®

46

Figura 4.12- Variação da temperatura do recinto para uma entrada em degrau de 1°C com controle proporcional

Figura 4.13 – Convergência para zero da diferença entre a temperatura de referência e do recinto para um controle proporcional com entrada em degrau de 1°C

47

4.4 CONTROLE ATRAVÉS DE UM COMPENSADOR POR AVANÇO

DE FASE

Conforme discutido anteriormente o compensador por avanço de fase é um controlador que se aproxima de uma função de controle proporcional derivativo (PD) de modo a acelerar a resposta.

A função de transferência do compensador é representada por um zero, um polo e uma constante (ganho), Figura 4.14

4.4.1 FECHAMENTO DA MALHA

Na Figura 4.14 está representado o diagrama de malha fechada para um controle por compensação por avanço de fase para esse sistema.

Para projetar esse tipo de controlador em geral se utiliza o método da fase dos polos e das raízes. Nesse método todas as raízes e os polos da função de malha aberta são representados em sua forma polar.

Por uma das definições de Root Locus a subtração da soma das fases dos polos pela dos zeros deve ser 180°, obedecendo a Equação ( 2.21 ) da revisão da literatura deste trabalho. Em geral para que se tenham zeros o mais pra esquerda possível, o que se faz é utilizar polos também afastados pra esquerda. É usual que seja fixado o polo do compensador e então determinado o zero do compensador. Nesse trabalho foi adotado o valor de 20 para esse polo.

Conhecendo-se todos os demais ângulos que o ponto de projeto faz com o eixo real pode-se calcular o valor do zero do compensador por meio da equação ( 2.22 ). Assim é possível fazer que a curva de Root Locus passe pelo ponto de projeto. A descrição detalhada de como é projetado um compensador por avanço de fase pode ser visto na revisão da literatura desse projeto.

Figura 4.14 – Diagrama de malha fechada controlado por um compensador

48

A Equação ( 4.9 ) apresenta a função de transferência de malha fechada com um compensador por avanço de fase.


=𝐾𝐾𝑐𝑐 �

𝑠𝑠+𝑧𝑧𝑠𝑠+𝑝𝑝

� � 728.3𝑠𝑠4+14.23𝑠𝑠3+51.4𝑠𝑠2+26.25𝑠𝑠+0.03616

�

1 + 𝐾𝐾𝑐𝑐 �𝑠𝑠+𝑧𝑧𝑠𝑠+𝑝𝑝

� � 728.3𝑠𝑠4+14.23𝑠𝑠3+51.4𝑠𝑠2+26.25𝑠𝑠+0.03616

� ( 4.9 )

4.4.2 ROOT LOCUS DO CONTROLE POR COMPENSAÇÃO

Na Figura 4.15 está representado o diagrama de Root Locus para esse sistema de malha fechada controlado por um compensador.

Esse tipo de controle altera a função de malha aberta por meio da introdução de um polo e de um zero. Fixando o polo e calculando o zero é possível fazer com que a curva do Root Locus passe pelo ponto de projeto.

A curva da Figura 4.15 foi gerada para esse sistema com um ponto de projeto que tem um tempo de acomodação de 25 segundos. Na Figura 4.15 o circulo mais a direita sobre o eixo real representa a posição do zero do compensador. O circulo mais para a esquerda representa a posição do ponto de projeto.

Comparando os Root Locus do controle proporcional e do compensador, Figura 4.10 e Figura 4.15, é possível perceber semelhanças entre as duas figuras. Entretanto a Figura 4.15 apresenta uma proporção maior da curva do Root Locus no lado esquerdo do plano complexo. Como mencionado anteriormente, essa diferença é causada pela modificação na função de malha aberta do sistema.

Figura 4.15 – Diagrama de malha fechada controlada por um compensador

49

4.4.3 ANALISE DA RESPOSTA EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DOS

PARÂMETROS DE PROJETO

A Tabela 4.6 e a Tabela 4.7 mostram o comportamento do sistema controlado por compensação por avanço de fase para diferentes valores de tempo de subida e tempo de acomodação.

A Tabela 4.6 estuda a estabilidade do sistema para a entrada em degrau em função da variação do tempo de acomodação. Para isso o valor do sobressinal (overshoot) é mantido em vinte por cento. Nesta tabela são apresentadas quatro situações, elas delimitam a faixa de aplicabilidade desse tipo de controle, que vai de 3.0 segundos até 18.9 segundos de tempo de acomodação. Fora dessa faixa o sistema é instável.

Na Tabela 4.6 é possível perceber que existem dois círculos. O circulo sobre o eixo real representa o zero do compensador. O outro representa o ponto de projeto. Ao longo da faixa de aplicação esse ponto se move do canto esquerdo superior em direção a origem do plano complexo. Repare que na maior parte dos casos a curva de Root Locus cruza o ponto de projeto. Isso ocorre porque o Root Locus muda de acordo com as alterações na função de malha aberta. O compensador que está em serie com a função de transferência da planta, formando a função de malha aberta do sistema, tem o seu valor alterado para cada ponto de projeto. Nesse trabalho foi estabelecido em 20 o polo do compensador e o zero do compensador foi calculado.

Vale ressaltar que nas faixas de valores em que o sistema perde a instabilidade o valor do zero do compensador é positivo. Embora no primeiro caso (tempo de acomodação de 3.0 segundos) a curva ainda consiga cruzar o ponto de projeto. No segundo caso (tempo de acomodação de 18.9 segundos) a curva não consegue mais cruzar o ponto de projeto e valor do zero é positivo em 25s (não mostrado no diagrama).

Na Tabela 4.7 é analisada a estabilidade do sistema para a entrada em degrau em função da variação do tempo de subida. Nesse caso o valor do sobressinal também foi mantido em vinte por cento. Aqui também os quatro casos delimitam a faixa aplicabilidade do controle, que vai desde 0,5 segundos a 3,4 segundos. As faixas instáveis também possuem valores positivos para o zero do compensador.

50

Tabela 4.6- Influência do tempo de acomodação na estabilidade do sistema de um

controle por compensador

Tempo de Acomodação

e Kc


ts=3.0s

Kc=2.8336

ts=3.1s

Kc=2.7957

ts=7s

Kc=1.1978

ts=18.9s

Kc=0.00173

51

Tabela 4.7- Influência do tempo de subida na estabilidade do sistema de um controle por compensador

Tempo de subida

e Kc


tr =0.5s

Kc=1.3376

tr =0.6s

Kc=1.204

tr =3.3s

Kc=0.0024

tr =3.4s

Kc=0.069409

52

4.4.4 SIMULAÇÃO NO SIMULINK DO CONTROLE POR COMPENSAÇÃO

A Figura 4.16 mostra o diagrama de malha fechada para o controle por compensação com avanço de fase reproduzido no Simulink. A entrada utilizada para fazer a analise foi em degrau com amplitude de -1°C. Isso está representado na Figura 4.16 pelo bloco Reference2 no canto esquerdo da figura.

As variáveis da função da planta mostradas nesse diagrama assim como as variáveis do controlador foram todas definidas no programa principal.

O Simulink® possibilita mais de uma maneira de analisar a dinâmica do sistema. Os blocos to workspace gravam os dados no formato de listas. Assim foram gravadas as informações da temperatura do recinto (T_R2), da diferença da temperatura do recinto e de referência (t_dif1) e também do tempo. Esse ultimo é gerado por meio do bloco clock. A Figura 4.17 e a Figura 4.18 foram geradas com o uso dessas listas. A outra maneira são os blocos chamados de scope que mostram a variação com o tempo do ponto do diagrama em que esta conectada através de uma janela do Simulink®.

Através do Simulink® é possível ver como cada ponto do diagrama está mudando com o tempo. Para esse caso foram analisados os pontos antes do controlador e no final do sistema. Esses gráficos estão mostrados na Figura 4.17 e na Figura 4.18. A Figura 4.17 mostra a variação da temperatura do recinto para uma entrada em degrau de amplitude de -1°C. A Figura 4.18 mostra como a temperatura do recinto se aproxima da temperatura de referência, uma vez que suas diferenças tendem a zero.

Figura 4.16- Diagrama de malha fechada para um controle por compensador feito no Simulink®

53

Figura 4.17 - Variação da temperatura do recinto para uma entrada em degrau de 1°C com controle por compensador

Figura 4.18 - Convergência para zero da diferença entre a temperatura de referência e do recinto para um controle por compensador

54

5 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

Esse trabalho fez uma analise de dois tipos métodos de controle de temperatura para um único recinto. O controle proporcional e o controle por compensadores com avanço de fase.

Foi verificado que a estabilidade do controle proporcional está sujeita a uma faixa estreita de ganhos. Nesse projeto o ganho do controle proporcional não poderia ultrapassar 0,1255, caso contrário acarretaria em instabilidade. A adaptabilidade da função de malha aberta do compensador por avanço de fase para cada cenário de parâmetro de projeto fez com que o controle por compensação atingisse respostas mais rápidas sem muitas oscilações (overshoots e undershoots).

Uma comparação entre o tempo de acomodação de ambos os controladores permite chegar a conclusão que a estabilização no compensador é mais rápida. Enquanto o controlador proporcional possibilitou que o sistema se estabilizasse a partir de 7s de tempo de acomodação, e mesmo assim com oscilações muito grandes. Essa mesma estabilização ocorreu em 3.1s no controlador por compensação com oscilações menores.

Em relação ao tempo de subida. Chegou-se a conclusão que o controlador por compensação possibilita uma resposta mais rápida do sistema. Enquanto o menor tempo de subida para o controlador proporcional é de 1.1s, mesmo assim com muitas oscilações Os sistemas controlados por compensadores por avanço de fase apresentam respostas com aproximadamente metade do tempo de subida (0.6s) para a resposta mais rápida. Vale ressaltar ainda que essas respostas apresentaram pequenas oscilações.

Em relação a simulação de ambos os controladores feita no Simulink® foi possível perceber que para a mesma entrada em degrau o compensador por avanço de fase responde muito mais rápido que o controlador proporcional.

TRABALHOS FUTUROS

Além do controle da temperatura, outra condição essencial para o conforto térmico é o controle da umidade. Esse tipo de controle não foi abordado nesse trabalho e fica como sugestão para trabalhos futuros.

Uma outra maneira de realizar o controle da temperatura, além do estrangulamento da válvula, é através da variação da rotação da bomba. Esse tipo de controle não foi abordado nesse trabalho e fica também como sugestão para trabalhos futuros.

Esse trabalho se limitou a um único recinto e um único difusor, entretanto esse método de controle pode ser expandido para mais de um recinto. Essa abordagem, portanto, fica como sugestão para trabalhos futuros.

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6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Tiommo Tolmasquim, Mauricio; Guerreiro, Amilcar;, “Projeção da demanda de energia elétrica para os proximos 10 anos (2013-2022),” EPE, Rio de Janeiro, 2012.

[2] W. Stoecker e J. M. S. Jabarro, Refrigeração Industrial, São Paulo: Edgard Blucher, 2002.

[3] P. P. Kaustubh, “Control Methods to Improve Non-Linear HVAC System Operations,” University of Miami, Miami, 2016.

[4] F. F. Gene, D. P. J. e E.-N. Abbas, Feedback Control of Dynamic Systems, Fourth Edition ed., New Jersey: Prentice Hall, 2002.

[5] C. M. Close, F. Dean K. e J. C. Newell, Modeling and Analysis of Dynamic Systems, 3a ed., New York: John Wiley & Sons, 2002.

[6] L. Menegaldo, Notas de aula, 2015.

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[10] T. K. Steven, Introduction to Simulink with Engineering Applications.

[11] K. S. Ramesh e P. S. Dusan, Fundamentals of heat Exchanger Design, New jersey: john Wiley & Sons, 2003.

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controle de temperatura para um sistema de...

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