CONTRIBUIÇÃO AO PROBLEMA DE PROJETO DE REDES DE TRÁFEGO: ALGORITMOS PARA CALCULAR UMA SOLUÇÃO

PEDRO CANALES GARCÍA

Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do grau de Doutor em Ciências de Engenharia.

Orientadora: Profa. Gudélia Morales Boluarte

CAMPOS DOS GOYTACAZES – RJ FEVEREIRO – 2002

ii

CONTRIBUIÇÃO AO PROBLEMA DE PROJETO DE REDES DE TRÁFEGO: ALGORITMOS PARA CALCULAR UMA SOLUÇÃO

PEDRO CANALES GARCÍA

Tese apresentada ao Centro de Ciências e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do grau de Doutor em Ciências de Engenharia.

Aprovada em......................................................................

Comissão Examinadora:

Profa . Gudélia Morales Boluarte D.Sc., UENF (Presidente)

Prof. Amaranto Lopes Pereira D.Sc., UFRJ

Prof. José Ramón Arica Chávez D.Sc., UENF

Prof. Geraldo Galdino de Paula Júnior, D.Sc., UENF

iii

Agradecimentos

À Profa. Morales, minha orientadora, por sua dedicação na orientação deste

trabalho.

Ao Prof. Arica, pelas dicas, observações e o acompanhamento no

desenvolvimento deste trabalho.

Aos membros de minha família, por sua infinita paciência em me esperar até

chegar ao final de meu trabalho.

À FENORTE pelo suporte financeiro prestado.

Aos profissionais e colegas que contribuíram com informações para o

desenvolvimento deste trabalho.

À Universidad Nacional de Ingeniería de Lima-Perú, pelo apoio financeiro y

liberação para realizar esta pesquisa na UENF.

iv

Tese apresentada ao CCT/UENF como parte das exigências para a obtenção do

grau de Doutor em Ciências de Engenharia.

CONTRIBUIÇÃO AO PROBLEMA DE PROJETO DE REDES DE TRÁFEGO: ALGORITMOS PARA CALCULAR UMA SOLUÇÃO

Pedro Canales García

Fevereiro/2002

Orientadora : Profa. Gudelia Morales

Área de Concentração: Engenharia de Produção

RESUMO Neste trabalho estuda-se um dos problemas de transporte conhecido como

Projeto de Redes de Tráfego (PRT). Este problema considera o interesse do

administrador do sistema de transporte, de melhorar o desempenho do sistema, e

o interesse dos usuários, de minimizar seus tempos (custos) generalizados de

viagem. O problema PRT é modelado como um problema conhecido em

otimização como de Programação de Dois Níveis Generalizado, onde no primeiro

nível minimiza-se uma função que representa o custo do sistema e no segundo

nível se resolve um problema de equilíbrio de tráfego (ET) modelado como uma

desigualdade variacional (DV).

Alguns resultados da teoria não diferenciável são considerados com o

intuito de ter uma alternativa de solução dos problemas PRT, pois nestes casos as

funções envolvidas são não diferenciáveis.

Para o cálculo de uma solução do PRT propomos um algoritmo que

denominamos de Projeto-Alocação e outro de Penalidades. Adicionalmente alguns

resultados computacionais sobre redes de tráfego de tipo acadêmico são

apresentados.

v

Thesis submited to the CCT/UENF in partial fulfillment of the requeriments for the degree of Doctor of Sciences of Engineering

CONTIBUTION TO TRAFFIC NETWORK DESIGN PROBLEM:

ALGORITHMS FOR CALCULATE A SOLUTION

Pedro Canales García

February/2002

Advisor: Profa. Gudelia Morales Boluarte Major Subjet: Production Engineering

ABSTRACT

This work studies the transportation problem know as Network Design Problem

(NDP). This problem consider the interest of the management transportation

system for improve the network performance, and the user’s interest minimum

travel time. The problem NDP is formulated as a problem know in mathematical

optimization as Generalized Bilevel Programming Problem, where the first level

minimize a function of the costs system and the second level solve the equilibrium

traffic problem, formulated as a variational inequality (VI).

Some results of the nondifferentiable theory are considered for alternative solutions

of the network design problem, hence functions envolved are nondifferentiable.

To obtention of a numerical solution of NDP, we consider an algorithm called

Design-Assignment and another considering one Penalties. We also present some

computational results on network traffic simulated.

vi

SUMÁRIO Capítulo 1 – Introdução 1

Capítulo 2 – Referencial Histórico 7

Capítulo 3 – Alguns resultados da teoria diferenciável e não diferenciável 17

3.1 – Conceitos Básicos 18

3.2 – Condições de Otimalidade 26

3.3 – Linearização de Problemas sem Restrições 28

3.4 – Métodos para Problemas de Otimização não Diferenciável 31

3.4.1 – Métodos Sub-gradientes 31

3.4.2 – Métodos de Feixes 34

3.5 – A função Valor 38

Capítulo 4 – Formulação do Problema de Projeto de Redes de Tráfego 41

4.1 – Preliminares 41

4.1.1 – O Problema de Projeto de Redes de Tráfego (PRT) 42

4.1.2 – O fluxo de equilíbrio do usuário e o fluxo ótimo do sistema para

um modelo de dois níveis do PRT 43

4.2 – Formulação do Problema PRT 44

4.3 – Metodologia 47

Capítulo 5 – Algoritmo de Projeto-Alocação e de Penalidade 50

5.1 – Algoritmo Projeto-Alocação (P-A) para o projeto de redes de tráfego 51

5.2 – Adaptação do algoritmo de minimização da função gap, para resolver

um problema de equilíbrio de tráfego formulado como uma DV 52

5.3 – Sequência de problemas aproximados que resolvem o problema (P) 54

5.4 – Passos do algoritmo de minimização da função gap 54

vii

5.5 – Algoritmo de Penalidade para o problema PRT 55

5.6 – Teoremas de existência e unicidade da solução do problema de

equilíbrio de tráfego 59

5.6.1 – Existência e unicidade da solução no caso equilíbrio de tráfego 62

5.6.2 – Propriedade de monotonia estrita da função de tipo BPR 70

5.7 – Exemplos de Problemas de Tráfego 71

5.7.1 – Exemplo 1 71

5.7.2 – Resultados computacionais para o exemplo 1 73

5.7.3 – Exemplo 2 74

5.7.4 – Exemplo 3 75

5.7.5 – Exemplos para o problema PRT formulados como um programa

matemático de dois níveis generalizado (PDNG) 80

Capítulo 6 – Conclusões 94

Referências 97

viii

1

CAPÍTULO 1

Introdução

1 Os Problemas de Transporte

Ninguém duvida que o transporte é um sistema importante do mundo moderno

que envolve muitos problemas sociais, econômicos, ambientais e tecnológicos. Com o

desenvolvimento da tecnologia, cresceram ainda mais os desafios para serem

resolvidos neste sistema. Uma maior dificuldade acontece quando se trata de modelar

um problema que tome em consideração as condições de saturação da rede. Por

exemplo, quando a função de custo de viagem em uma via (arco) depende, além do

fluxo da própria via, dos fluxos das outras vias. Isto geralmente acontece em vias de

tráfego de mão dupla, ou pela formação de filas nas interseções sinalizadas, ou pelos

tempos de espera nas paradas, ou outros incidentes.

Nos últimos tempos, o incremento desmesurado de veículos motorizados tem

piorado o congestionamento no tráfego, o incremento dos tempos de viagens e de

espera nas paradas de ônibus, a insegurança dos usuários, etc. A demanda por serviço

é cada vez maior, entretanto a oferta de facilidades físicas não aumenta na mesma

proporção. Para acomodar níveis crescentes de demanda para viagens na rede,

usualmente se costuma aumentar a capacidade das vias já existentes ou, quando

possível, construir novas vias ou rotas. Nestes casos, um problema crucial é saber

como escolher a locação dessas vias de transporte (arcos), ou como aumentar a

capacidade delas sob orçamentos limitados do sistema. Para tomar uma decisão,

deverá ser considerado o interesse dos usuários que é, minimizar o custo total de

viagem. Este problema é conhecido como problema de Projeto de Redes de Tráfego

(PRT). Segundo Meng et al., (2000) este problema pode-se classificar em:

- PRT discreto trata com o problema de achar locações ótimas das novas vias

(arcos) a serem adicionadas (nos modelos cada via é representada por variáveis

de decisão inteiras 0-1).

2

- PRT contínuo determina a capacidade ótima a ser aumentada para um

subconjunto de vias (arcos) existentes (representadas por variáveis de decisão

reais positivas).

- PRT misto combina ambos os problemas acima.

Outras classificações são possíveis, por exemplo, Chen e Alfa, (1991)

classificam o problema PRT da seguinte maneira:

a) PRT definido com funções objetivo lineares,

b) PRT definido com funções objetivo não lineares e as soluções satisfazem um critério

ótimo do sistema, e

c) PRT com funções objetivo não lineares e soluções que satisfazem um critério de

equilíbrio ótimo do usuário.

Além do problema PRT no transporte urbano de pessoas e bens, aparecem

outros problemas (atualmente motivo de inúmeras pesquisas) como o Controle do

Tráfego (CT), o Equilíbrio de fluxos de Tráfego (ET), e principalmente a Estimação da

matriz de viagem Origem/Destino (O/D). Destes problemas, um dos que tem chamado a

atenção dos pesquisadores desde a década dos 70, foi o problema de equilíbrio do

tráfego.

A idéia do equilíbrio de tráfego teve origem no ano 1924 quando Knight, deu

uma descrição simples e intuitiva de um postulado sobre escolha de rota pelos usuários

sob condições de congestionamento, ver Florian (1999), que “grosso modo” diz: Supor

que entre um par origem-destino existem duas rotas, uma das quais é de pobre

qualidade mas de ampla capacidade, entretanto a outra é de boa qualidade, embora de

capacidade muito estreita. Se um grande número de motoristas de caminhões opera

entre esse par O/D e tem liberdade para escolher uma das rotas, a tendência será uma

distribuição do número de motoristas de caminhões entre ambas rotas em tal proporção

que, o custo unitário de transporte será o mesmo para cada caminhão sobre ambas

rotas. Explicando, isto é assim porque no inicio, será preferida a rota de melhor

qualidade até que ela ficar saturada, então a rota de menor qualidade torna-se

igualmente procurada. Mais tarde em 1952, Wardrop formalizou a noção de equilíbrio

de tráfego e de minimização do tempo de viagem na seguinte proposição: No equilíbrio,

3

o custo médio de viagem das rotas que tem fluxo positivo são iguais, e igual ao custo

mínimo (este é conhecido como o primeiro principio de Wardrop).

O problema de ET consiste em encontrar os fluxos e tempos de viagem ou

custos generalizados de acordo com o primeiro principio de Wardrop. Os fluxos que

satisfazem este principio, chamam-se de fluxos ótimos do usuário.

Os primeiros modelos matemáticos para o problema de equilíbrio de tráfego foram

formulados pelo ano 1956 por Beckmann et al., como referido em Florian (1999).

Segundo Dafermos (1980), podem-se diferenciar duas abordagens para este

problema:

Modelo de equilíbrio de tráfego padrão (ou sem congestionamento), nele, a

função de custo de viagem em arcos, depende somente do fluxo no próprio arco, e a

demanda de viagem associada com um par origem/destino (O/D) pode ser constante ou

variável (caso seja variável chama-se de demanda elástica).

Modelo de equilíbrio de tráfego geral (ou com congestionamento), neste modelo

a função de custo de viagem em arcos depende, em geral, dos fluxos de outros arcos

da rede, e a demanda é considerada constante.

Em um problema PRT trata-se fundamentalmente de melhorar o desempenho de

um sistema de transporte. Considera-se que o administrador do sistema tem o interesse

de minimizar o custo de investimento na rede. Embora, o sistema não prescreva o

comportamento do usuário na escolha de rotas e modos de viagem, e com freqüência

essas escolhas entrem em conflito com o que seria ótimo para o administrador do

sistema. Assim, estes problemas podem ser modelados considerando uma classe de

problemas hierárquicos, compostos de dois níveis de decisão. São os modelos

conhecidos em otimização como Problemas de Programação de Dois Níveis, onde a

tomada de decisão do primeiro nível (nível superior, corresponde às decisões do

administrador) estará limitada pela tomada de decisão do segundo nível (nível inferior,

correspondente às decisões do usuário). Como veremos no seguinte capítulo, vários

modelos e conseqüentemente métodos de solução foram desenvolvidos para o

problema ET e PRT.

4

2 Objetivo da Tese Neste trabalho, estuda-se um problema do transporte urbano conhecido como de

Projeto de Redes de Tráfego (PRT). Para este problema se faz uma formulação de um

modelo de Programação de Dois Níveis Generalizado, onde no primeiro nível uma

função T(f,s) representa o custo do sistema de transporte, que depende do fluxo f e da

capacidade s da rede. No segundo nível, é considerado um problema de equilíbrio de

tráfego, onde a função de custo de viagem é estritamente ou fortemente monótona.

Neste nível, o problema de ET é formulado como uma desigualdade variacional (DV).

Segundo a classificação de Meng et al., (2000), neste trabalho aborda-se o problema

PRT continuo ( i.e, as funções envolvidas são continuas em seus domínios de

definição), e o problema de equilíbrio de tráfego é o geral.

Para o cálculo de uma solução do PRT, foram propostos dois algoritmos. O

primeiro tem a estrutura do algoritmo chamado de Projeto-Alocação, Bell M.G. e Iida Y.

(1997), onde o problema de equilíbrio formulado como uma DV, é resolvido por uma

adaptação do algoritmo da minimização da função gap, Arica et al. (1996). O segundo

algoritmo de solução do PRT calcula aproximações ao valor ótimo da função objetivo do

PRT penalizando a função gap. Resultados numéricos de alguns testes computacionais

são reportados no último capítulo.

3 Importância do Trabalho Como veremos no referencial histórico, existem diferentes formulações para o

problema PRT, e uma variedade de métodos para sua solução. Devido à característica

hierárquica do problema PRT, alguns pesquisadores consideram que uma formulação

de dois níveis para este problema é um modelo apropriado. Este tipo de modelo permite

ademais um avanço na procura da solução do PRT, a pesar que devido a sua grande

complexidade, constitue atualmente um desafio para os pesquisadores dedicados aos

problemas de transporte, Yang e Bell (2001).

Quando num problema PRT, a função de custo de viagem deve modelar fatos reais

como a interação de fluxos de arcos, a matriz Jacobiana desta função resulta não

5

simétrica. Neste caso, o problema de equilíbrio é modelado como uma DV, e não tem

uma formulação equivalente ao de minimização de uma função convexa. Nesse

contexto então, este trabalho é uma alternativa de solução de uma DV.

4 Estrutura da Tese

No capítulo 1, foi descrito o problema de transporte urbano abordado na tese, o

objetivo, sua importância e, a seguir finaliza-se com a descrição do corpo da tese.

No capítulo 2, apresentam-se comentários sobre enfoques, e abordagem

existente na literatura do problema de equilíbrio de tráfego, o problema de PRT, e suas

diferentes formulações e métodos de solução empregados.

No capítulo 3, apresentam-se as definições relacionadas, alguns resultados da

teoria de otimização não diferenciável e métodos de solução de um problema não

diferenciável necessários na verificação e justificativa do algoritmo proposto na tese

para resolver o problema PRT.

No capítulo 4, apresentam-se a formulação do PRT, sua abordagem como um problema

de programação de dois níveis generalizado, e metodologia de solução.

No capítulo 5, apresentam-se o algoritmo P-A e o algoritmo de Penalidades.

Exemplos de aplicação do algoritmo são testados. Dois exemplos são tomados da

literatura para testar o algoritmo na fase de equilíbrio, um terceiro exemplo é proposto

para o problema de equilíbrio numa rede onde a função de custo de viagem modela a

interseção de fluxos nos arcos. Para o problema de PRT são apresentados três

exemplos, um com uma função de custo de viagem de tipo BPR (uso da função gap

primal para resolver a DV), e os outros dois com uma função de custo de viagem

modelando a interação dos fluxos em vias da rede de mão dupla (uso da função gap

primal e a função gap dual para resolver a DV). Adicionalmente são relatados

resultados numéricos usando tabelas ilustrativas sobre os exemplos testados.

6

No Capítulo 6, apresentam-se as conclusões, recomendações e propostas de

pesquisas futuras.

7

CAPÍTULO 2

Referencial Histórico

A seguir apresentamos um histórico do problema de Projeto de Redes de

Tráfego (PRT) e métodos de solução relacionando-o com o problema de Equilíbrio de

Tráfego (ET). Existindo uma vasta literatura para estes problemas, aqui apenas

mencionaremos as que são de nosso interesse para o presente trabalho.

É conhecido que, sob a hipótese que o custo de viagem sobre uma via (arco de

uma rede) depende apenas do fluxo do próprio arco, a matriz Jacobiana da função de

custo de viagem, resulta simétrica e o problema do ET pode ser formulado como um

modelo de otimização convexa. Em geral, essa hipótese não é realista, então outras

formulações são necessárias. Na literatura, o problema do ET tem sido formulado como

um problema de programação não linear (PNL) por Beckman et al. (1956); como um

problema de Complementaridade Não Linear (CNL) por Aashtiani e Magnanti (1981);

como um problema de Ponto Fixo (PF), por Asmuth (1978); e, tanto Dafermos (1980),

Smith (1979), como Fisk e Boyce (1983) o formularam como uma Desigualdade

Variacional (DV).

A utilização da programação matemática para obter aproximações do equilíbrio de

tráfego (em particular urbano), originou-se pelo ano 1956, quando Beckman et al.

(1956) formularam um modelo para as condições de equilíbrio de tráfego, como sendo

as condições de otimalidade de um problema de otimização equivalente. Para este

modelo estabeleceram três hipóteses:

- Modo simples de viagem (isto é, supõe-se que o usuário viaja segundo um dos

modos, individual (carro, motocicleta, bicicleta, etc.), ou coletivo (ônibus, metrô, trem,

etc).

- Demanda entre cada par O/D dependendo do tempo mínimo de viagem.

- As funções de custo de viagem são separáveis, isto significa que o custo de viagem

em cada arco depende somente do fluxo total desse arco. Formulações posteriores

seguiram essas hipóteses, e métodos de solução para problemas de programação

8

matemática convexa foram aplicados com sucesso, por exemplo ver Aashtiani e

Magnanti, (1981).

A realidade mostrou que era necessário estender este modelo, para incluir

situações de tráfego como congestionamento e outros incidentes que acontecem nas

vias urbanas.

Foi assim que, em 1979 Smith formula um modelo para o problema de equilíbrio

como uma desigualdade variacional. Neste modelo se considera a interação entre os

fluxos dos diferentes arcos da rede, resultando a matriz Jacobiana da função de custo

de viagem não simétrica.

Resolver um problema de ET formulado por uma DV (no caso não simétrico), em

geral é muito complicado, motivo pelo qual o desenvolvimento de algoritmos eficientes

para a solução é ainda hoje, matéria de pesquisa para os pesquisadores em problemas

de transporte urbano.

Montero (1995) relata que os primeiros algoritmos aplicados à solução do

problema ET, no caso geral, na formulação de DV finito dimensional foram baseados

num modelo equivalente a problemas de ponto fixo (PF). Afirma também: (a) que estes

algoritmos são de difícil adaptação para um problema ET, devido principalmente ao

requerimento de uma grande capacidade de memória para execução do algoritmo, e (b)

que os diferentes métodos empregados para resolver um problema de ET geral,

formulado como uma DV, podem ser agrupados nas seguintes classes metodológicas:

1 Métodos de aproximação linear.

O esquema geral destes métodos algorítmicos pode-se expressar na seguinte forma:

Sejam x k∈K, K⊂R n sub-conjunto convexo e compacto, e f k : R n → R n uma

aplicação de aproximação para f no ponto xk . O seguinte ponto iterado x k+1 é

solução da desigualdade variacional

f k(x)(y – x) ≥0 , ∀y∈K , isto é x k+1 satisfaz f k(x k+1)(y – x k+1) ≥0 , ∀y∈K,

O método acima é chamado de aproximação linear se f k é expressado na forma

f k(x) = f(x k) + A k(x - x k), onde A k é uma matriz constante nxn na iteração k.

9

O método é chamado não linear se f k é não linear, por exemplo o f k(x) quadrático,

onde f k(x) = f(x k) + A k(x - x k) + (1/2)(x - x k)T H k(x - x k), onde A k e Hk são definidas a

partir da função f e são constantes na iteração k.

Entre estes métodos podem ser citados os seguintes:

Método de Newton, caso em que a função f é diferenciável, define-se A k como a

primeira derivada de f no ponto x k.

Método quase-Newton, no qual Ak é uma aproximação da primeira derivada da função

f(x k).

Métodos de sobre-relaxação sucessiva, onde Ak pode-se assumir como Lk+(Dk/ w*),

ou Uk+(Dk/w*), com w*∈⟨0,2⟩, e Dk, Lk, U k são respectivamente a matriz diagonal,

triangular inferior e triangular superior da primeira derivada de f k em caso f possua

derivada.

Método de Jacobi linearizado, no qual Ak= Dk.

Métodos de projeção, nos quais se faz Ak=G para todas as iterações, onde para cada

k, a matriz G é alguma matriz simétrica fixa (Dafermos, 1980).

A denominação de projeção desta última família de métodos, é devida a uma simples

interpretação geométrica que se explica a seguir. Seja K um conjunto convexo e

fechado, e a matriz Ak = G simétrica definida positiva. Dado o ponto x k , o vetor x k+1 que resolve a DV é justamente a projeção do ponto (x k - G-1 f(x k)) sobre o

conjunto K, i. é

x k+1 = Proj K (x k - G-1 f(x k)).

Para um vetor z, y* = Proj K (z) é o único vetor em K que resolve o programa,

min z-y G = z-y* G y∈K

onde x G é a norma com relação a G, i. e, . G = (x T G x) ½.

Portanto, no presente caso o seguinte ponto iterado será

10

x k+1 := min (1/2) x k - G-1f(x k) - y 2G

y∈K

2 Métodos de diagonalização

O que caracteriza esta família de métodos é o fato que, entre cada iteração

blocos de variáveis são retiradas, pois quando se aplica métodos de diagonalização a

desigualdades variacionais, estes tornam-se extensões dos métodos de Jacobi e

Gauss-Seidel para equações lineares e não lineares. Neste caso (diagonalização para

uma DV), o método corresponde à classificação (d) anterior já que em cada iteração a

função vetorial do custo de viagem é diagonalizada para produzir um problema

simétrico.

3 Métodos de decomposição simplicial

O fundamento destes métodos se baseia em assumir o conjunto K como um poliedro,

portanto, K pode ser representado por uma combinação convexa de seus pontos

extremos e direções extremas. Segundo o principio de decomposição de Dantzig-Wolfe

(1961), estes pontos extremos não são conhecidos previamente, embora sejam

identificados como as soluções básicas viáveis de um problema de programação linear

definido sobre o conjunto viável original K. Logo, cada ponto extremo achado é

associado a uma variável do problema mestre, e este é resolvido sobre a envoltória

convexa destes pontos extremos.

A seguir apresentam-se alguns detalhes de pesquisas sobre o problema de Equilíbrio

de Tráfego relacionando-o com a classificação anterior.

Um problema de programação de dois níveis, onde o segundo nível está formulado por

uma DV, vai ser chamado, como na literatura de programação matemática, de

Problema de Programação de Dois Níveis Generalizado (PDNG).

Num problema de PRT, formulado como de programação de dois níveis generalizado,

a solução da DV é a parte do problema de maior dificuldade. Outro método de solução

para a DV que utiliza uma função associada a ela, aparece pela primeira vez no

11

trabalho de Zuhovickii et al. (1969), onde se define uma função chamada função gap

associada à DV. Segundo Lo e Chen, (2000), a aplicação da função gap para resolver

um problema de equilíbrio na sua formulação de DV, foi feita primeiro no ano 1983 por

Smith. A função gap em geral é uma função não diferenciável (pois está definida como

o valor de uma minimização ou maximização) e/ou não convexa. Em Lo e Chen, (2000)

um modelo de equilíbrio de tráfego é formulado como um problema de

complementaridade não linear (CNL), para o qual é definida uma função gap

diferenciável, associada ao problema a qual será apresentada mais na frente.

Os trabalhos a seguir apresentaram resultados sobre o problema de Equilíbrio de

Tráfego, considerando formulações de minimização convexa ou como uma

desigualdade variacional:

Dafermos, (1980): O trabalho considera um modelo geral do problema de equilíbrio

numa rede, onde o custo de viagem de cada arco depende do fluxo na rede, i. e., esta -

se considerando a interação entre os fluxos dos diferentes arcos. Usando uma

formulação do problema de equilíbrio como uma DV e a teoria relacionada estabelece

existência do fluxo de equilíbrio. Supõe-se que a função de custo de viagem tem a

forma especial C(f)= Gf+h, onde G é uma matriz semidefinida positiva. Em geral a

matriz G pode ser escolhida como a parte simétrica da matriz Jacobiana [ ∂ C(f)/∂f].

Com relação à classificação de Montero acima, não pode-se dizer que corresponda a

uma delas em especial.

Em Aashtiani e Magnanti, (1981): Os autores, usando o teorema de ponto fixo de

Brouwer estabelecem a existência da solução do problema de ET. Sob condições de

monotonia nas funções de custo e demanda, provam a unicidade dos fluxos e dos

tempos de viagem em arcos.

Florian M. e Spiess H., (1982): Este artigo apresenta condições suficientes para a

convergência dos algoritmos de diagonalização, para resolver o problema de alocação

do tráfego de equilíbrio.

12

Considerou uma função de custo de viagem em arcos não linear, que tem Jacobiana

não simétrica. Demonstrou um teorema de convergência local, para funções que só

dependem dos fluxos.

Nguyen e Dupuis, (1984): Este trabalho tratou um modelo para o problema ET

considerando diferentes modos de transporte e interação de fluxos de diferentes arcos.

Embora, para a análise restringiram-se ao caso do problema de um modo de transporte

só. A demanda considerada foi fixa e o conjunto de fluxos viáveis utilizado foi um

poliedro compacto e convexo. A formulação do problema de ET foi feita por uma DV,

sendo a função (custo de Viagem) que define a DV, uma função continua e estritamente

monótona.

Para resolver o problema utilizaram uma função do tipo conhecida como função

gap associada à DV, a que neste caso é definida como uma minimização da forma

g(u)= min ( ), x

C x x u∈Ω

− , resultando a função g côncava e não positiva. Então, o

problema se transforma em achar o zero desta função. O processo de solução consiste

em resolver uma seqüência de problemas de aproximação, cada um dos quais tem um

número finito de restrições. Os autores afirmam que para a convergência do algoritmo

somente é requerida a monotonia estrita e a continuidade da função de custo, embora

seja uma convergência fraca em relação à convergência de outros métodos.

Smith, (1992): Este trabalho apresenta um modelo dinâmico para a determinação dos

fluxos de equilíbrio num período pico em uma rede urbana congestionada, e inclui

restrições de capacidade. O modelo respeita a disciplina FIFO (o primeiro que entra é o

primeiro que sai) de filas de tráfego nas vias, e a capacidade de saída nos arcos.

Métodos para a determinação dos fluxos dinâmicos são fornecidos, os que envolvem

equações diferenciais parciais para a formulação do chamado modelo simples contínuo.

Joaquin e Fernandez, (1993): Os autores fazem uma formulação do problema de

alocação de tráfego usando o conceito de rota de trânsito. Consideram o fenômeno de

congestionamento como concentrado nos pontos de parada, pelo que os tempos de

13

viagem dependem também dos tempos de espera. A formulação foi feita como uma

desigualdade variacional e para sua solução usaram o método de diagonalização.

Philippe, (1993): Este artigo apresenta um modelo de equilíbrio de tráfego com alto grau

de congestionamento. Considera várias vias de ingresso a uma rede e uma saída só.

Levando em consideração que os usuários atuam de modo racional na presencia de

pedágios, formula o problema como de minimização convexa.

Codina (1994): Neste trabalho considera-se um modelo para alocação de tráfego

dinâmico numa rede com vários destinos. O fluxo dinâmico do modelo foi considerado

uma extensão do modelo contínuo para fluxos compostos por diferentes classes de

bens, tendo iguais características de propagação. Sob a hipótese que a velocidade de

propagação dos fluxos é constante, o modelo foi aproximado por outro de controle

ótimo.

Hong et al., (2000): No trabalho, se faz uso de uma função gap diferenciável, proposta

por (Facchine e Soares, 1995) para transformar a formulação de complementaridade

não linear do problema de equilíbrio, a um problema equivalente de programação

matemática sem restrições. Nesta formulação, as variáveis de decisão são os fluxos em

rota e os custos de viagem O/D. Por ser de interesse a função gap associada à CNL

proposta neste trabalho, é apresentada a seguir:

Seja ψ : R 2 → R , definida por ψ(a,b)= 2 2 ( )a b a b+ − + , que tem a propriedade

ψ(a,b) = 0 ⇔ a ≥ 0 , b ≥ 0, a b=0; e define-se ϕ (a,b)=(1/2) ψ 2(a,b).

Então, a função gap associada ao problema de CNL é definida por

G : R n → R n, G(x) = 1

( , ( ))n

i ii

x F xϕ=∑ , onde F : R n → R n , F(x)=(F i (x)) n

i=1 .

A seguir apresenta-se um resumo dos trabalhos pesquisados que estão relacionados

ao problema de projeto de redes de tráfego (PRT) e a dois níveis:

14

Marcotte, (1984): O autor formula o problema PRT como sendo um problema de

programação de dois níveis generalizado. Sob hipóteses de diferenciabilidade,

separabilidade e convexidade sobre a função objetivo do primeiro nível, e considerando

uma função de tipo BPR para representar o custo de viagem do problema de ET,

transforma o problema para uma minimização convexa de dois níveis. Calcula soluções

usando métodos de natureza heurística, sendo que nosso trabalho considera o

algoritmo de Projeto-Alocação que é de natureza exata.

Fisk, (1987): O trabalho mostra a forma como uma formulação de dois níveis para a

estimação da matriz de viagem, pelo método de máxima entropia, proposto por

Willumsen, o qual considera no segundo nível um modelo de alocação de tráfego, como

por exemplo SATURN (Simulated and Assignment of Traffic on Road Network Urban),

ver Van Vliet (1982), permite transformar o problema para outro de um nível só. O

problema ET neste trabalho é formulado como uma DV. Isto caracteriza o modelo como

de programação de dois níveis generalizado. O autor faz uma analise dos

procedimentos de solução. Neste trabalho não se considera o problema de melhorar o

desempenho da rede através do incremento das capacidades dos arcos da rede. Isto

marca a diferença com a nossa proposta na tese.

Nguyen, (1987): O Trabalho desenvolve um esquema teórico-gráfico para redes de

tráfego de grande porte, e provê uma metodologia para resolver o problema ET. São

apresentados formulações equivalentes de DV para o problema ET. São discutidos

algoritmos (como o que denomina algoritmo de direções viáveis, e outro de algoritmo do

hiper-caminho mínimo) para o cálculo dos fluxos de equilíbrio. Não são fornecidos

resultados computacionais.

Ben-Ayed, et al., (1998): Os autores apresentam uma formulação de dois níveis para o

problema PRT. Fazem uma análise para o problema considerando os casos côncavo e

convexo da função do líder, e linear a função do seguidor. As restrições no nível inferior

são lineares. Para calcular a solução empregam um método de linearização por partes

da função objetiva do líder, a qual é aproximada por pequenos segmentos que unem

pontos em acordo com a partição do domínio. Não reportam resultados computacionais.

15

Michael et al. , (1999): Este trabalho apresenta um algorítmico para a estimação da

matriz de viagem origem/destino, e o controle de sinais de tráfego em redes viarias

congestionadas. Ambos dos problemas são formulados como programas de dois níveis,

sendo o segundo nível um problema de equilíbrio estocástico do usuário. Nos dois

níveis os problemas são de minimização convexa, e as funções de custo de viagem de

tipo BPR (Bureau of Public Roads). Exemplos teste são apresentados.

Suh, (1999): O autor faz uma formulação de dois níveis para o controle de sinais de

tráfego e para a obtenção dos fluxos de equilíbrio. O problema de equilíbrio é formulado

como uma DV. A função de mérito no nível superior é não convexa, embora

diferenciável, pelo que só pode-se atingir soluções locais. Usa o método de projeção do

gradiente para determinar a direção de descida, logo os passos de avanço ótimos são

dados nessa direção mantendo viavilidade, o que permite obter pontos que satisfazem

as condições de Karush-Kuhn-Tucker os que são identificados como ótimos locais.

Ressaltamos que nossa proposta de dois níveis neste trabalho considera no nível

superior, o problema de minimizar uma função de custo de viagem e investimentos,

podendo ser esta função não convexa e não diferenciável, neste último caso, deve-se

aplicar a teoria desenvolvida no capítulo 3 sobre problemas de otimização não

diferenciável.

Meng et al. , (2000): Os autores caracterizam o problema PRT por um modelo de

programação de dois níveis. O nível superior representa o problema de minimizar o

custo total do sistema, e o nível inferior é um problema de otimização convexa que

consiste em determinar o vetor de fluxo de equilíbrio do usuário (deterministico ou

estocástico). A formulação de dois níveis do PRT é transformado para um problema de

um nível só, através do uso de uma função marginal do segundo nível, isto é, para o

problema de equilíbrio do usuário. Prova-se que esta função marginal é continuamente

diferenciável, pelo que a formulação resulta num problema de otimização não convexa,

embora diferenciável. O problema é resolvido aplicando um método de Lagrangiano

aumentado para o nível superior, localmente convergente. A direção de descida é

achada em cada iteração pelo método pratico conhecido como de alocação tudo ou

16

nada. Reportam-se resultados numéricos que são comparados com exemplos já

existentes na literatura. Com relação a nosso trabalho, formula-se o problema de

equilíbrio como uma DV o que permite considerar a interação de fluxos dos arcos, o

que não é possível numa formulação de otimização convexa.

17

CAPÍTULO 3

Alguns resultados da Teoria diferenciável e não diferenciável

Neste capítulo são apresentamos algumas definições e resultados necessários da

analise diferenciável e não diferenciável, e a relação entre eles. São descritos

brevemente alguns métodos de otimização não diferenciável (o método sub-gradiente e

o método de linearização). Basicamente, como nos métodos de PNL, apresenta-se a

forma como estes métodos geram direções de descida. Na seção 3, se introduze o

conceito de função valor que é utilizado para transformar um problema de programação

matemática de dois níveis em um problema de programação matemática de um nível

só, que resulta um problema não diferenciável.

A teoria clássica de otimização teve seus melhores resultados assumindo condições de

diferenciabilidade para todas as funções envolvidas. Apesar de que a hipótese de

diferenciabilidade não se apresente completamente apropriada para aplicações

práticas, devido a que funções que modelam fenômenos da vida real, são, em geral,

não continuas e/ou não diferenciáveis nas suas definições. Por exemplo, na definição

de preços de um produto, estão condicionados ao volume de venda, o mesmo acontece

com as taxas de impostos, etc. A busca de modelos apropriados para representar estas

situações reais, levou ao desenvolvimento da análise não diferenciável, a partir dos

anos 70.

Em problemas de otimização, conseguiram-se resultados importantes quando para as

funções envolvidas se consideraram propriedades de convexidade. Por esta razão, a

teoria não diferenciável foi desenvolvida primeiro para funções convexas.

Uma interpretação geométrica da derivada de uma função qualquer em um ponto, é a

possibilidade de alcançar uma linearização local (Ver Figura 1), no sentido que o

hiperplano gerado pela derivada da função no ponto, o gradiente é tangente ao gráfico

18

da função nesse ponto, é uma boa aproximação à função numa vizinhança do ponto de

tangência. Esta idéia foi generalizada para funções convexas não diferenciáveis

definindo o conceito de sub-gradiente e sub-diferencial.

Geometricamente, um sub-gradiente num ponto do gráfico de uma função, é um vetor

tal que o hiperplano nesse ponto, gerado por esse vetor é uma aproximação à função,

isto é, aproxima-se a f nesse ponto (embora essa aproximação possa ser melhorada

com o cone tangente como veremos depois).

x0 x1 x2 x3 -ε x3 x3 + ε

Fig. 1 O hiperplano T no ponto (x3 ,f(x3)) é uma aproximação inferior à parte convexa da

função f na vizinhança (x3 -∈ , x3 +∈ ). A função f é não convexa para x∈[x0,x2].

Para lidar com funções convexas não diferenciáveis, são necessários alguns conceitos

prévios que relacionamos em continuação.

3.1 Conceitos Básicos Definição 3.1 Seja C um sub-conjunto não vazio de R n .

1. C é um conjunto convexo se para quaisquer pontos x e y em C,

(∇f(x),1)

(∇f(x),-1)

T

19

(1-λ)x+λy ∈C , para todo λ∈[0,1].

2. C é um cone se λc∈C para qualquer c∈C e qualquer λ ≥ 0 ,

(1-λ)x+λy ∈C , para todo λ∈[0,1].

Definição 3.2 Uma função f : R n → R se diz convexa, se dados x,y em Rn , cumpre-

se:

f(λx +(1-λ)y) ≤ λf(x)+(1-λ)f(y), para todo λ∈[0,1].

Se a desigualdade estrita se cumpre para x≠y e para todo λ∈(0,1), então f se diz

estritamente convexa.

Uma classe de funções que aparecem em muitas aplicações, caracterizadas por ter

uma taxa de variação limitada em vizinhanças de um ponto, denomina-se de funções

Lipschitz em torno de um ponto.

Definição 3.3 Uma função f : R n → R se diz Lipschitz em torno do ponto x∈Rn, com

constante K, se existe ε > 0 tal que

f(y)-f(z) ≤ K y-z , ∀ y,z∈B(x;ε),

onde B(x;ε) = y∈R n/ y-x <ε representa uma vizinhança do ponto x.

O teorema seguinte mostra a relação entre uma função convexa sobre R n e sua

variação limitada em cada ponto.

Teorema 3.4 Seja f: R n → R uma função convexa. Então para qualquer x∈Rn, f é

Lipschitz em torno do de x.

Prova: Ver Teorema 2.1.2, Makela, (1992).

A seguir se define a extensão de derivada de uma função convexa não diferenciável.

Definição 3.5 Seja f: R n → R uma função convexa. O sub-diferencial de f num ponto

x∈Rn é o conjunto

20

∂C f(x)=ξ∈Rn / f(y) ≥ f(x) + ⟨ξ,y-x⟩ , ∀y∈R n.

Cada ξ∈∂C f(x) é chamado um sub-gradiente de f em x, e a notação ∂C f(x) refere-se ao

conjunto sub-diferencial de uma função convexa.

Em continuação se apresenta a derivada e o relacionamento com o sub-gradiente de

uma função convexa.

Definição 3.6 Seja f: R n → R. A derivada direcional de f em x , na direção do vetor

v∈ R n, é definida como

0

( ) ( )'( ; ) limh

f x hv f xf x vh↓

+ −= ,

se este limite existe.

Observação 3.7 Um resultado do cálculo diferencial de varias variáveis refere que:

quando f é diferenciável em x, a derivada direcional pode-se expressar como

f ’(x;v) = ∇ f(x)T v ,

onde ∇ f(x)∈R n representa o gradiente da função f em x.

Teorema 3.8 Seja f: Rn → R convexa. Então, para cada x∈R cumpre-se

i) f ’(x;v)=max ⟨ξ,v⟩ / ξ∈∂C f(x), ∀ v∈R n

ii) ∂C f(x)= ξ∈Rn / f ’(x;v) ≥ ⟨ξ,v⟩ , ∀ v∈R n,

iii) ∂C f(x) é um conjunto não vazio, compacto e convexo tal que ∂C f(x)⊂ B(0;K) , onde K

é a constante de Lipschitz de f em x.

Prova: Teorema 2.1.5, Makela e Neittaanmaki (1992).

21

Observação 3.9 Quando f é convexa e diferenciável tem-se ∂C f(x)= ∇ f(x) e

f(y) ≥ f(x) + ∇ f(x)T(y-x) , ∀ y∈Rn

A seguinte propriedade mostra como se calcula o valor de uma função convexa em um

ponto usando a família de aproximações lineares ao redor de um ponto não

diferenciável x.

Teorema 3.10 Seja f: R n → R convexa. Então para toda y∈R n,

f(y) = max f(x) + ⟨ξ x ,y-x⟩ / x∈R n , ξ x∈∂C f(x)

A prova a seguir é alternativa à do Teorema 2.1.7, em Makela e Neittanmaki (1992).

Prova:

Sejam y, x∈R n e ξ x∈ ∂C f(x), quaisquer. Então

f(y) ≥ f(x) + ⟨ξ x , y - x ⟩ , ∀ y∈R n

⇒ ( )

( ) max ( ) , , ,x C

nxf x

f y f x y x x R qualquer fixoξ

ξ∈∂

≥ + − ∈

então,

( )

( ) max ( ) , , ( )x C

nxf x

f y f x y x x R aξ

ξ∈∂

≥ + − ∈

Quando em particular x=y , se tem:

( )

max ( ) , , ( ) ( )x C

nxf x

f x y x x R f y bξ

ξ∈∂

+ − ∈ ≥

De (a) e (b)

f(y) = max f(x) + ⟨ξ x ,y-x⟩ / x∈R n , ξ x∈∂C f(x).

22

Definição 3.11 O cone normal do conjunto convexo C, no ponto x C∈ , onde C denota

o fecho de C, é definido como

NC (x):=z∈R n/⟨ z , x –y ⟩ ≥ 0 , ∀ y∈C.

Observação 3.12 Existe o cone normal ainda para pontos que não pertencem ao

conjunto convexo C, i.e., quando x ∈ C, NC (x) =φ.

Definição 3.13 O cone tangente ao conjunto convexo C, no ponto ponto x C∈ é

definido como

TC (x):=v∈R n/⟨ v , z⟩ ≤ 0 , ∀ z∈ NC (x).

TC (x) e NC (x) são cones convexos.

Os elementos de NC (x) e TC (x) são chamados vetores normais e tangentes

respectivamente.

C

TC(x)

X

NC(x)

Fig. 2 Cones tangente e normal ao conjunto C convexo e fechado no ponto x

23

Definição 3.14 O cone tangente (de Clarke) a um conjunto φ ≠G ⊂R n qualquer, no

ponto x G∈ é o conjunto seguinte (ver Figura 3):

TG(x):=v∈R n / se t i ↓ 0 e x i → x , x i∈G ⇒ ∃ v i → v , com (x i +t iv i )∈G, ∀ i .

O cone normal a G no ponto x é o conjunto

NG(x):=w∈R n / ⟨ w , v⟩ ≤ 0, ∀ v∈ TG(x).

TG(x)

x

NG(x)

Fig. 3 Cones tangente e normal ao conjunto G aberto e não convexo no ponto x G∈

O fato de que para funções Lipschitz não convexas, não necessariamente existam as

derivadas direcionais ordinárias, leva-nos a considerar algumas generalizações dos

conceitos de derivada direcional e do sub-diferencial de funções convexas. Neste caso

o sub-diferencial de f no ponto x, será denotado simplesmente por ∂ f(x).

Definição 3.15 (Clarke, 1983). Seja f : R n → R uma função Lipschitz ao redor do

ponto x∈R n. A derivada direcional generalizada de f em x, na direção de v∈Rn é

definida por

24

0

; 0

( ) ( )( ; ) limsup ,y x t

f y tv f yf x vt→ ↓

+ −=

0limsup ( ) inf[sup ( ) / ( ; )].y x

onde g y g y y B xε

ε>→

= ∈

Observação 3.16 Da definição no caso f diferenciável, tem-se

f 0 (x,v) ≥ f ’ (x,v)

Teorema 3.17 Seja f : R n → R uma função Lipschitz ao redor do ponto x, com

constante de Lipschitz K. Então,

i) A função v → f 0(x;v) é positivamente homogênea, sub-aditiva sobre R n e

f 0(x ;v)≤ Kv

ii) f 0(x ;-v) = (-f )0(x ;v)

Prova: Ver Proposição 2.1.1, em Clarke (1993) e Makela (1992).

Definição 3.18 Seja f : R n → R Lipschitz ao redor do ponto x∈R n. O Sub-diferencial

de f no ponto x é o conjunto

∂ f(x):=ξ∈R n/ f o(x;v) ≥ ⟨ξ , v⟩ , ∀ v∈ R n.

Cada elemento ξ∈∂ f(x) é chamado um sub-gradiente de f em x, ou um gradiente

generalizado, pelo que o conjunto ∂ f(x) será também chamado de conjunto gradiente

generalizado.

O operador ∂ f(.) pode-se considerar uma aplicação ponto - conjunto,

(.) : 2 , .nn R n nf R que associa a cada x R um subconjunto de R∂ → ∈

25

Proposição 3.19 Seja f Lipschitz ao redor do ponto x, com constante de Lipschitz K.

Então,

1) ∂ f(x) é um conjunto não vazio, convexo, compacto tal que ∂ f(x)⊂ B(0;K)

2) f o(x;v) = max ⟨ξ , v⟩ /ξ∈ ∂ f(x) , ∀ v∈ R n.

Prova: Ver Proposição 2.1.2, em Clarke, (1993).

Observação 3.20 Quando f é Lipschitz ao redor do ponto x e diferenciável em x, então

∇ f(x) ∈∂ f(x).

Com efeito, se ∇ f(x)∉ ∂ f(x) ⇒∃ vo∈R n / f o(x;vo)< ⟨∇ f(x);vo⟩ ⇒

f o(x;v) < f ‘(x;vo). O que contradiz f o(x;v) ≥ f ’ (x;v), ∀ v∈R n.

Teorema 3.21 Se f é continuamente diferenciável em x, então f é localmente Lipschitz

em x e ∂ f(x)=∇ f(x)

Prova: Ver Teorema 3.1.7, em Makela, (1992).

O seguinte teorema mostra que o sub-diferencial de funções somente Lipschitz ao redor

de um ponto é uma generalização do sub-diferencial das funções Lipschitz convexas

num ponto.

Proposição 3.22 Se a função f :R n → R é convexa e localmente Lipschitz no ponto x.

Então,

a) f o(x;v) = f ‘ (x;v) , ∀ v∈R n , e

b) ∂ f(x) = ∂C f(x)

Prova: Ver Proposição 2.2.7, em Clarke, (1983).

Definição 3.23 O epigrafo de uma função f :R n → R é o seguinte subconjunto de

R n x R :

epi f :=(x,r) ∈ R n x R / r ≥ f(x) .

26

Proposição 3.24 O epigrafo de uma função convexa f :R n → R é um conjunto fechado

de R n x R. O epigrafo da função v → f ’(x;v) é um cone fechado.

Prova: Ver Teorema 2.3.7, em Makela, (1992).

epi f f Tepi f

Hiperplanos de suporte do epi f, no

(x,f(x)) ponto (x,f(x)) são da forma

f(x) + ⟨ξ, y – x)⟩, ξ∈∂ f(x)

(ξ,-1)∈N epi f

Fig. 4 O epigrafo de f e o cone normal a epi f . Note que Tepi f (x,f(x)) pode ser

considerado uma aproximação poliedral a epi f no ponto (x,f(x)).

Proposição 3.25 Se a função f :R n → R é convexa, então

∂C f(x) = ξ∈R n / (ξ ,-1)∈N epi f (x,f(x))

Prova: Teorema 2.3.9, Makela e Neittaanmaki (1992).

3.2 Condições de otimalidade Nesta seção apresentam-se condições necessárias para o mínimo local, de um

problema de otimização sem restrições. Considera-se que a função a minimizar é

27

Lipschitz ao redor dos pontos de interesse. Para o caso de funções convexas estas

condições também são suficientes e o mínimo resulta ser um mínimo global.

Teorema 3.26 Seja f :R n → R Lipschitz ao redor do ponto x. Se x é um mínimo local

de f , então

0 ∈∂ f(x) , e

f o(x;v) ≥ 0, ∀ v∈R n

Prova: Ver Teorema 2.3.2, em Clarke, (1983).

Proposição 3.27 Se f :R n → R é uma função convexa, então as seguintes condições

são equivalentes:

1) A função f atinge sue mínimo global no ponto x,

2) 0 ∈∂C f(x),

f ‘(x ;v)≥ 0 , ∀ v∈R n

Prova: Ver Teorema 5.1.2, em Makela, (1992).

Para um problema de otimização com restrições, tem-se:

Proposição 3.28 Se f :R n → R é Lipschitz ao redor do ponto x e atinge seu mínimo

local sobre o conjunto G ⊂ R n no ponto x, então 0 ∈∂ f(x) + NG(x).

Prova: Ver Teorema 5.1.6, em Makela, (1992).

Proposição 3.29 Se f :R n → R é convexa e G ⊂ Rn um conjunto convexo, então as

seguintes condições são equivalentes:

1) 0 ∈∂C f(x) + NG(x)

2) f atinge seu mínimo global sobre G no ponto x.

Prova: Ver Teorema 5.1.7, Makela (1992).

28

3.3 Linearização de Problemas sem restrições Nesta seção se definem algumas noções de linearização de funções Lipschitz. Estas

linearizações permitem uma aproximação local linear por partes à função. Esta

aproximação será usada em métodos de otimização para gerar principalmente uma

direção de descida para um ubproblema geral:

(P): min f(x) , x∈R n

Definição 3.30 Seja f :R n → R uma função Lipschitz ao redor de cada ponto x∈Rn, e

ξ∈∂f(x) um sub-gradiente arbitrário de f no ponto x. A ξ-linearização de f no ponto x é a

função f –ξ (.) :R n → R definida por

f –ξ (y) :=f(x) + ⟨ξ , y - x⟩ , ∀ y∈R n,

e a linearização de f em x é a função f =(x;.) :R n → R definida com

f =(x ;y) = max f –ξ (y) / ξ∈∂ f(x), ∀ y∈R n.

f –ξ1 (y;x1) f f –ξ3 (y;x3)

(ξ1,-1) f – ξ2 (y;x2)

x1 x2 x3

Fig. 5 Uma função f e uma ξ-linearização em cada um dos pontos x1, x2 , x3

29

epi f f

f =(y; x1)

x1 x2

Fig. 6 A linearização de f em relação ao ponto x1 .

epi f f

f =(y; x2)

x2

Fig. 7 A linearização de f em relação ao ponto x2 .

30

f =(y;x) epi f x

Fig. 8 A linearização de f em relação ao ponto x.

Teorema 3.31 Seja f : R n → R Lipschitz ao redor do ponto x. Então, a função de

linearização f =(.; x) de f é convexa e

1) f =(x ; x) =f(x) ;

2) f =( y;x) =f(x) + f o(x;y – x) , ∀ y∈R n ;

3) ∂C f =(x ; x) = ∂ f(x).

Prova: Ver Teorema 5.2.2, em Makela, (1992).

Teorema 3.32 Seja f : R n → R uma função convexa. Então,

1) f(y) = max f =(y ; x) / x∈R n , para cada ponto y∈R n;

2) f =( y; x) ≤ f(y) , ∀ y∈R n ;

3) epi f (.) ⊂ epi f =(. ; x).

Prova: Ver Teorema 5.2.3 em Makela, (1992).

Teorema 3.33 Seja f : R n → R Lipschitz ao redor do ponto x. A direção d∈R n é uma

direção de descida para f em x, se qualquer uma das seguintes proposições se

verifica,

1) f o(x ; d) < 0 ;

2) ⟨ξ , d⟩ < 0 , ∀ξ∈ ∂ f(x) ;

31

3) d é uma direção de descida para f =(. ; x) no ponto x.

Prova: Ver Teorema 5.2.5, em Makela, (1992).

3.4 Métodos para problemas de Otimização não diferenciável Nesta seção são apresentados dois métodos para calcular a solução de um problema

de otimização não diferenciável. Segundo Makela e Neittaanmaki (1992), os métodos

para otimização não diferenciável podem ser divididos em duas classes principais: os

métodos de sub-gradientes e os métodos de feixes. Para estes métodos, supõe -se que

as funções do problema são continuas e Lipschitz ao redor dos pontos considerados, e

que pode-se avaliar cada função e conhecer um sub-gradiente arbitrário em cada ponto

considerado. É claro que as funções não precisam ser diferenciáveis ou convexas.

Primeiro se apresenta uma breve descrição de um método sub-gradiente e de um

método de feixes, enfatizando principalmente a forma como são geradas as direções de

descida.

3.4.1 Métodos de Sub-gradientes A idéia fundamental do método de sub-gradientes é generalizar o método para

problemas diferenciáveis, substituindo, até onde for possível, o gradiente pelo sub-

gradiente.

Seja o seguinte problema não diferenciável:

(P): minimizar f(x) (3.1)

s. a . x∈R n

A generalização do método do gradiente conduziria a substituir o gradiente pelo sub-

gradiente. Assim, se ξ k∈∂ f(x k) é um sub-gradiente, então uma direção de descida

determinada pelo sub-gradiente seria

32

kk

k

d ξξ

=− . (3.2)

Sabe-se que no caso diferenciável, a direção oposta do gradiente é uma direção de

descida. Seguidamente os tamanhos do passo de avanço são encontrados

minimizando a função objetivo nessa direção, entanto a norma do sub-gradiente vai

para zero. Infelizmente, no caso não diferenciável, isto não necessariamente é assim.

Por exemplo, a função valor absoluto sobre os reais. Esta função atinge seu mínimo

global em zero, que é um ponto de não diferenciabilidade, e tanto no ponto zero como

numa vizinhança do zero um sub-gradiente é 1 ou –1, ambos diferentes de 0. Uma

outra dificuldade, é que não é aplicável o critério de parada padrão, pois um sub-

gradiente arbitrário não fornece informação para usar o critério de ótimo ∇ f(x)=0. Por

outro lado, nem sempre d k=-ξ k , com ξ k∈∂ f(xk) é uma direção de descida para f a

partir de x k. Por exemplo, consideremos a função f(x1,x2) = 3x1-2)+x2 - 3, cujas

curvas de nível são mostradas na Figura 9. Observamos que a direção oposta do sub-

gradiente ξ=(1,1)∈∂ f (2,6),não é uma direção de descida.

X2

ξ =(1,1)

6

-ξ

ponto mínimo

x*

3

x1

2

Fig. 9 Curvas de nível de f, a direção - ξ não é de descida.

Estes fatos, levam a fazer uma escolha prévia do tamanho do passo t k , para evitar a

busca linear e facilitar o critério de parada. Assim, dado um ponto inicial x 0, fazemos

33

k=1, e escolhemos o tamanho de passo t k > 0 apropriado, então definimos o próximo

ponto como,

1 : , ( ).kk k k k k

k

x x t onde f xξ ξξ+ = − ∈∂ (3.3)

A seguinte proposição da uma justificação teórica para uma escolha possível do

tamanho do passo.

Proposição 3.34 Seja x* uma solução do problema P, (3.1). Supor que x k não é

solução. Escolhendo t k , tal que [ ( ) ( *)]0 2 ,kk

k

f x f xtξ−

< < temos que

x k+1 – x* < x k – x* .

Prova: Ver Lemaréchal, (1989).

Observação 3.35 Para obter convergência da seqüência x k , é necessário que o

tamanho do passo cumpra:

t k ↓ 0 quando k → ∞.

Algumas dificuldades podem aparecer. Por exemplo, a redução do tamanho dos

passos poderia ser lenta, ou, se S = ∑ ∞k=0 t k é finita, a seqüência x k tem um limite

x - , mas se

min x k – x* > S, então x -∉X*

x*∈X*.

(onde X* é o conjunto de pontos mínimos de f ).

Para garantir convergência global devem cumprir-se as seguintes condições:

t k ↓ 0 quando k → +∞ e ∑ ∞k=0 t k = +∞.

Ver Makela, (1992), e Shor, (1985) e (1998).

34

3.4.2 Métodos de Feixes

Dado o problema P, (3.1), a seguinte hipótese é comum em otimização não

diferenciável: em cada ponto x∈R n pode-se avaliar a função f(x) e pelo menos um sub-

gradiente ξ∈∂ f(x) .

As seguintes tarefas são características dos métodos de feixes:

1-Os sub-gradientes das iterações passadas podem ser reunidos em um conjunto que

chama-se feixes de subgradientes;

2-Desde que as direções fornecidas pelos sub-gradientes não são necessariamente

direções de descida, a busca linear é substituída pela realização do que vai-se chamar

de um passo serio ou um passo nulo, dependendo da diminuição da função objetivo,

segundo a regra a seguir:

Seja y k+1 = x k + t k d k , para algum t k >0 , d k é a direção do sub-gradiente

dk∈coξk e ξ k+1∈∂ f(yk+1) . Então, se f(yk+1) ≤ f(x k) - δ k , para algum δ k>0, fazemos

um passo serio: x k+1 := y k+1 .

Em outro caso, fazemos um passo nulo: x k+1 := x k .

Em ambos os casos ξ k+1 deve ser adicionado ao pacote de feixes.

3.4.2.1 Método do Plano de Corte Generalizado de Kiwiel.

Este método de feixes baseia-se no método clássico de plano de corte. Vamos

considerar o método para o caso de funções convexas. A idéia fundamental, é formar

uma aproximação linear por partes à função objetiva usando a linearização gerada

pelos sub-gradientes. O método permite encontrar uma direção de descida d k na

iteração k.

Definição 3.36 Seja f : R n → R e ξ∈∂ f(y),

i)A linearização de f no ponto y, f –(. ;y ) : R n → R, é definida por

35

f –(x; y) = f(y) + ⟨ξ , x-y⟩ , x∈R n.

ii) O erro de linearização se define como α (x ; y) = f(x) - f –(x; y).

Quando f é convexa, α ( y; x) ≥ 0 (ver Figura 10).

f

f –( x; y) f(x)

α (y; x)

y x

Fig. 10 O erro de linearização α ( y; x) para uma função convexa no ponto x.

Observação 3.37 Pelo Teorema 3.28-1, uma função convexa f tem a representação,

f(x) = max f –(y ;x) / ξ∈∂ f(y) , y∈R n , x∈R n

Já que nesta representação, é preciso conhecer os conjuntos sub-diferenciais ∂f(y)

para cada y∈R n, considera-se somente alguns pontos auxiliares yj∈R n e os sub-

gradientes ξ j∈∂ f(yj ) , para j∈Jk ⊆ 1,2,...,k, J k≠φ.

A seguir definimos uma aproximação linear por partes para a função f na iteração k,

como segue

36

f k=(x):= max f –( x; y) / j∈Jk , ∀x∈R n, (ver Figura 11).

f f 3=(x)

y1 y2 y3

Fig.11 A aproximação linear por partes f 3=(x) à função f usando pontos auxiliares

Lema 3.38 Para todo ponto x∈R n e j∈Jk temos

1) f k=(x) ≤ f(x),

2) f k=(yj ) = f(yj ),

3) f k=(x) = max ( ; ) , ( )k

j k j k kj Jy x x x f xα ξ

∈− + − +

Prova: Ver Lema 2.3.1.1, Makela, (1992).

Vamos usar a aproximação linear por partes f k= da função f para gerar uma direção

de descida.

No caso diferenciável, quando o ponto x k ∈R n não é ótimo, então existe uma direção

0≠d ∈R n tal que f ’(x k;d) < 0.

Pelo desenvolvimento de Taylor truncado de primeira ordem, tem-se que

f ‘(x k;d) = f(x k + d ) – f(x k).

Assim, o objetivo é encontrar uma direção d k∈R n tal que f(x k + d ) < f(x k).

O problema de encontrar esta direção d k a partir do ponto x k , pode ser formulado

como:

37

min f (xk + d) – f(xk). (3.4)

d∈R n

Como no ponto (xk + d) as funções f e f k= coincidem, então podemos substituir f(xk +

d) por f k=(x k + d). Assim, obtemos o seguinte problema:

(Q): min f k=(xk + d) – f(xk) (3.5)

d∈R n

Pelo Lema 3.38-3,

f k=(x) = max ( ; ) , k

j k j kj Jy x x xα ξ

∈− + − + f(x k) , e fazendo x - x k = d,

f k=(x k + d) = max ( ; ) , k

j k jj Jy x dα ξ

∈− + + f(x k)

Substituindo no problema Q, obtemos:

min f k=(xk + d) – f(xk) = min max -α kj + ⟨ξ j , d ⟩ (3.6)

d∈Rn d∈Rn j∈Jk

onde -α kj = α (xk ;yj )

definindo v := max -α kj + ⟨ξ j , d ⟩ ,

j∈Jk

transforma-se o problema Q para o problema de plano de corte com um número finito

de restrições lineares

(PC): minimizar v (3.7)

(d,v)∈Rn+1

s. a. -α kj + ⟨ξ j , d ⟩ ≤ v , ∀ j∈Jk

Para assegurar solução única do problema Q, (Makela, 1992), adicionamos um termo

de penalidade, (1/2) d 2 à função do problema. Obtém-se

minimizar f k=(xk + d) + (1/2) d 2 – f (xk) (3.8)

d∈Rn

38

e de modo equivalente, temos o problema

minimizar v + (1/2) d 2 (3.9)

(d,v)∈Rn+1

s. a. -α kj + ⟨ξ j , d ⟩ ≤ v , ∀ j∈Jk

Por dualidade, este problema equivale a encontrar os multiplicadores λkj para j em Jk

que resolvem o problema,

2

1( ) : min2

k k

kj j j j

j J j J

PDλ

λ ξ λ α∈ ∈

+∑ ∑ (3.10)

s. a . ∑ λ j = 1, j∈Jk

λ j ≥ 0, ∀j∈Jk

Se os multiplicadores λkj resolvem o problema PD na iteração k, então obtêm-se a

direção de busca

k

kk j j

j Jd λ ξ

∈

=−∑ . (3.11)

3.5 A função valor Nesta seção se introduz o conceito de função valor e algumas de suas propriedades.

Estas funções aparecem em problemas de otimização que tem estrutura de problemas

de programação de dois níveis (PDN).

Um programa matemático de dois níveis é um problema de otimização no qual uma das

restrições está definida pelas soluções de um outro problema de otimização.

Os problemas que podem ser modelados como um problema de Programação de Dois

Níveis (PDN), tem algumas características como:

- Apresentam estrutura hierárquica nas tomadas de decisões, por exemplo: decisões

gerenciais nas empresas em relação aos departamentos de produção; nos bancos e

39

suas agencias, políticas de juros em relação à clientela; nos sistemas de transporte, na

administração em relação aos usuários, etc.

- As decisões são feitas em dois níveis, e não necessariamente são concordantes.

Quando existe acordo ou comunicação entre os níveis, se diz que se trata de um caso

cooperativo de PDN.

- Cada nível tem controle somente sobre algumas variáveis, e as decisões do segundo

nível são executadas depois e de acordo com as decisões do primeiro nível. O problema matemático que deu origem o PDN foi proposto por H. Stackelberg em

1952, formulado para um modelo econômico (Shimizu et al., 1997).

O problema de dois níveis tem a seguinte formulação:

( , )( ) m i n ( , ) ( 3 . 1 2 )

. . ( , ) 0 ,m i n ( , ) ( 3 . 1 3 )

x y

y

P D N F x y

s a G x y o n d e y r e s o l v ef x y

≤

s. a . g(x,y) ≤ 0

(x,y)∈AxB

onde f, F : R n x R m → R, G : R n x R m → R p , g : R n x R m → R q , e A⊂Rn , B⊂R m

.

Observar que, no problema PDN o problema do nível superior minimiza apenas na

variável x. Com freqüência o problema do nível superior chama-se de problema do líder,

e o problema do nível inferior, de problema do seguidor. Assim, x é chamada variável

(ou parâmetro) de decisão do nível superior, e o y a variável de decisão do nível

inferior.

A formulação do PDN faz necessário definer os seguintes conjuntos:

Conjunto viável do problema do seguidor

40

S(x):= y∈R n/ g(x,y) ≤ 0, (x,y)∈AxB .

Conjunto de soluções ótimas do seguidor

Y(x):= argmin f(x,y) / y∈S(x)= y*∈B / f(x,y*) =min f(x,y) , y∈S(x).

Conjunto viável do problema de dois níveis (ou conjunto das reações racionais)

ψ = (x,y*) / G(x,y*) ≤ 0, y*∈Y(x).

O problema PDN pode ser formulado de outra forma, definindo uma função associada

ao problema do nível inferior, denominada de função valor (ou função marginal).

A função v : R n → R∪- ∞, +∞ definida por:

( ) min ( , )y B

v x f x y∈

=

é conhecida como função valor, e quando S(x)=φ então v(x)= +∞.

A função valor, em geral, é não convexa e/ou não diferenciável, ainda que as

funções f e g do problema sejam convexas e/ou diferenciáveis. Considerando a

definição da função valor, o problema PDN pode agora ser formulado como um

problema equivalente de um nível só:

(PDN-V): min F(x,y) (3.14)

(x,y)

s. a . G(x,y) ≤ 0

f(x,y) - v(x) ≤ 0 (3.15)

(x,y) ∈ AxB

O problema PDN-V em geral, é um problema não convexo e/ou não diferenciável. Para

sua solução pode-se aplicar a teoria e métodos de otimização não diferenciável, como

por exemplo os descritos na seção anterior, Bard (1999).

41

CAPÍTULO 4

Formulação do Problema de Projeto de Redes de Tráfego

Neste capítulo se apresenta a formulação do problema de transporte abordado neste

trabalho, chamado de Projeto de Redes de Tráfego (PRT). Como foi exposto no

CAPÍTULO 1, o problema de projeto de redes de tráfego a ser considerado é o PRT

continuo. Embora, segundo Bell e Iida, (1997) essa classificação não é absoluta, pois o

variável continua que representa a capacidade de arco pode ser usado para remover

arcos de uma rede. Na tese, se considera a variável de capacidade contínua para

permitir pequenas mudanças destas capacidades na rede.

4.1 Preliminares

Neste trabalho se considera um sistema de transporte sob a administração de um

decisor, que identificaremos como o administrador da rede. Em geral o administrador

tem objetivos específicos, os que podem ser dar segurança no transporte, evitar

congestionamentos, controlar a poluição do ar, etc. Pode-se resumir estes objetivos

afirmando que o interesse do administrador é otimizar investimentos para dotar a rede

de um melhor desempenho.

Dizemos, usuário da rede a todo aquele que trafega pela rede fazendo uso de

diferentes modos de transporte.

A seguinte notação será utilizada:

fi : fluxo sobre o arco i

si : capacidade do arco i

f = (fi) mi=1 , vetor de fluxos sobre arcos

s =(si) m i=1 , vetor das capacidades dos arcos.

42

Uma função C : RmxRm → Rm , que representa os tempos generalizados (custos) de

viagem sobre arcos que assume-se uma aplicação contínua. Se f =( f1 ,...,fm)∈R m é um

vetor de fluxo na rede, então o custo total de viagem será definida por:

⟨ f ,C(f,s)⟩ = f1.C1(f,s) + ...+ fm.Cm(f,s) = ∑ mj=1 fj Cj(f,s), (4.1)

Para cada arco i da rede , associa-se também uma função Ii: R → R, que representará

uma função de custos de investimentos para o arco i, dependendo da capacidade si

sobre o arco. Assume-se esta função crescente em relação à variável si e como em

Migdalas (1995), é considerada linear. Logo, define-se uma função real de variável

vetorial q: R m → R, com

q(s) = ∑ m

i=1 Ii (si ). (4.2)

O fato de ser definida q desse modo vai dar à função o nome de função separável

sobre arcos. A função q representa de um modo geral, o capital investido e os custos

de operação sobre a rede.

Considerando as notações acima então a função do custo total de viagem na

rede pode ser exprimida de forma mais enxuta

T(f,s) = ∑ m i=1 [ Ii(si) + fi . Ci(f,s) ] = ⟨ f , C(f,s)⟩ + q(s) (4.3)

4.1.1 O Problema de Projeto de Redes de Tráfego

De modo geral, como acabamos de ver, o administrador (ou planejador) dos transportes

tenta minimizar uma função T(f,s), que representa o custo total do sistema (custo de

viagem e de investimentos). Esta função depende do fluxo e da capacidade da rede. O

fluxo f pode ser obtido sob determinadas hipóteses teóricas e técnicas.

43

No caso em que os usuários escolhem (escolha que pode ser feita sob duas hipóteses

de comportamento do usuário: determinístico ou estocástico) suas rotas e modos de

viagem no interesse de minimizar seus custos individuais de viagem, o fluxo resultante

é chamado fluxo de equilíbrio do usuário. Os custos em rotas (ou arcos) associados a

esses fluxos, são chamados de custos de equilíbrio, e são caracterizados pelo fato que

nenhum usuário pode melhorar seu custo de viagem escolhendo unilateralmente outra

rota (ou modo). Como o fluxo de equilíbrio é conseqüência da escolha da rota e modo

de viagem do usuário, não necessariamente corresponde à maneira mais eficiente de

usar a rede de transporte, (do ponto de vista do interesse social, que é o de minimizar o

custo total do sistema). Por isto, o administrador tenta influenciar as decisões dos

usuários através de medidas de controle (por exemplo, impondo limites de velocidade,

pedágios, sinais de tráfego, etc.), ou melhorando as rotas (maior capacidade, menor

poluição, maior segurança, etc.) e desta forma fazer algumas rotas mais atrativas do

que outras. Quando se encontra o custo total mínimo do sistema, o nível de fluxo

correspondente é chamado fluxo ótimo do sistema.

4.1.2 O Fluxo de equilíbrio do usuário e o fluxo ótimo do sistema para um

modelo de dois níveis do PRT O problema de projeto de redes de tráfego (PRT), formulado como um problema de

programação matemática de dois níveis, no primeiro nível minimiza-se a função do

custo total do sistema, e no segundo nível resolve-se o problema de equilíbrio do

usuário. A solução do problema do segundo nível (problema de equilíbrio do usuário),

isto é, o fluxo ótimo do usuário f, não necessariamente minimiza a função do primeiro

nível (problema do líder ou administrador). Neste caso, o administrador tentará obter

outro fluxo, para o qual apresentará um novo plano reajustando sua variável de

decisão, a capacidade s, afetando assim os usuários. No caso que a função do

administrador seja minimizada, o processo termina. Caso contrario, o processo

continua. É neste processo, que o fluxo de equilíbrio do usuário tende para o fluxo

ótimo do sistema.

44

Quando a escolha das rotas e modos de viagem por parte dos usuários é feita baseada

somente na percepção, e sob a hipótese do pleno conhecimento das condições das

rotas (como por exemplo, qualidade das vias, sinalização, congestionamento, poluição,

pedágios, etc.), os usuários tem comportamentos semelhantes em relação a essa

escolha. O fluxo resultante é conhecido como fluxo determinístico ótimo do usuário (e o

modelo que permite achar esse fluxo, é chamado de problema de equilíbrio

determinístico do usuário). Se a informação previa sobre as condições das rotas não é

suficiente, cada usuário terá percepções diferentes sobre os tempos generalizados de

viagem das rotas. Isto quer dizer que uma mesma rota poderia ter, para diferentes

usuários, diferentes tempos generalizados de viagem. O fluxo resultante desta forma é

chamado de fluxo estocástico ótimo do usuário (o modelo para determinar esse fluxo é

chamado de problema de equilíbrio estocástico do usuário, que se caracteriza por

considerar funções de probabilidade na escolha de rota e modo de viagem). Cabe

mencionar que o problema de equilíbrio aparece em outros contextos, por exemplo, na

Teoria de Jogos, em Economia (Bastos,1999 ) e em Desenho de Estruturas.

4.2 Formulação do problema PRT

Quando se faz uma formulação do problema de Projeto de Redes de Tráfego contínuo,

se modela, de um lado, o interesse do administrador de minimizar o custo total do

sistema; de outro lado, o usuário escolhe rotas O/D levando em consideração a

minimização do seu tempo (generalizado) de viagem.

Em resumo, o problema de projeto de redes de tráfego, consiste em: determinar

um vetor de capacidades s- ≥ 0 e um vetor de fluxo de tráfego f* que resolvem a

desigualdade variacional

⟨ C(f*,s- ) , f - f*⟩ ≥ 0, ∀ f ∈Ω (4.4)

tal que o par (f*,s-) minimize a função T definida na relação (4.3). O problema então,

se diz que é formulado como problema de programação de dois níveis generalizado. Na

literatura, este modelo também é chamado Problema de Programação Matemática com

45

uma Restrição de Equilíbrio, ou Problema de Dois Níveis Generalizado, Morales,

(1997), e tem a forma seguinte:

(PDNG): minimizar T(f,s) = ⟨ f , C(f,s)⟩ + q(s) (4.5)

f,s≥ 0

s. a . f ∈Ω resolve:

⟨ C(f ,s ) , g - f ⟩ ≥ 0 , ∀ g∈Ω, (4.6)

onde Ω é o conjunto de fluxos viáveis da rede que satisfazem restrições de:

de conservação de fluxo, e

b) de não negatividade, apresentadas a seguir.

Na seguinte formulação das restrições, os índices i, j, k denotarão nós origem

ou destinos. Para k∈O e i∈N, temos:

∑ l∈D d il , se i=k∈O

a) ∑ j∈Ei f kij - ∑ j∈Ii f kji = - d kl , se i∈D

0 , se i∉O∪D ,

b) f kij ≥ 0 , ∀ i, j, k ,

onde

O : conjunto de nós origem

D : conjunto de nós destinos

N: conjunto de nós na rede de transporte

Ei= j / o arco (i,j) sai do nó i

Ii = j / o arco (j,i) ingressa no nó i

dkl :demanda de viagem O/D entre os nós k∈O e l∈D

f kij : fluxo que provêm do nó k∈O e percorre o arco (i,j)

N : conjunto de nós na rede de transporte, N⊇O∪D.

46

Observar que, condição (a) relaciona demandas e fluxos sobre arcos do percurso de

uma rota que envolve uma origem ou um destino k, além de respeitar a condição de

passagem só.

A solução do problema de equilíbrio de tráfego (a desigualdade variacional (4.6))

é única, no caso em que fixada uma capacidade s -, a função C resulte estritamente

monótona em relação à variável de fluxo f, isto é, se cumpre que,

⟨ C(f1,s -) –C (f2 ,s-) , f1 –f2 ⟩ > 0 , para qualquer par (f1,f2)∈Ω, f1 ≠ f2 ,

Cabe mencionar que, em geral, a função de custo do sistema,

T(f,s) = ⟨ f , C(f,s)⟩ + q(s)

é não convexa. Embora, sob hipóteses restritivas para C, como por exemplo, que as

funções componentes Ca para cada arco a, dependam somente do fluxo fa e da

capacidade sa do próprio arco (do qual resulta que sua Jacobiana é simétrica), que

cada função Ca seja positiva, crescente, continuamente diferenciável e convexa; e que

a função q(s) seja convexa, então T resulta também convexa. Neste caso, o problema

de achar o ótimo do sistema é um problema de programação convexa.

Neste trabalho, para a aplicação do algoritmo de Projeto-Alocação (ver seguinte

seção) para resolver o PRT, se considera o caso mais geral, onde a função C tem

Jacobiana na simétrica (fato que permite modelar a interação de fluxos em arcos da

rede), é estritamente ou fortemente monótona, e a função objetiva T(f,s) do líder é

continua, diferenciável, embora não necessariamente convexa.

47

4.3 Metodologia No problema Projeto de Redes de Tráfego contínuo, formulado como um Problema de

Dois Níveis Generalizado (4.5)-(4.6), onde a Desigualdade Variacional modela um

problema de equilíbrio de tráfego, considera-se para o Equilíbrio de Tráfego (ET), tanto

o modelo padrão como o modelo geral. Sabe-se que no caso geral, não é possível uma

representação do ET como um problema de otimização convexa, pelo que a formulação

do PRT como PDNG é apropriada e inevitável.

Na formulação de PRT como um PDNG, dada uma capacidade s, deve-se resolver a

DV para achar o fluxo de equilíbrio correspondente. Como assinalado por Marcotte,

(1984), a solução da DV sempre foi a parte mais complicada de resolver, e da literatura

existente pode-se dizer que ainda hoje a maioria dos modelos de ET evita uma

formulação de DV.

Na presente tese, para resolver o problema PRT propomos um algoritmo que tem um

esquema iterativo denominado de Projeto-Alocação (P-A), e outro de natureza de

penalidades. No algoritmo de P-A, fixada uma capacidade na função do líder, o

problema de equilíbrio de tráfego (a DV 4.6) é solucionado utilizando um algoritmo que

é uma adaptação para o caso do ET, do algoritmo encontrado no trabalho de Arica et

al., (1996), e que, para resolver uma DV usa a definição de função gap associada à

DV.

As seguintes são definições necessárias para o método de solução de um PRT

proposto neste trabalho.

Dado um vetor s- de capacidades dos arcos, a função gap: R m →R, associada à

desigualdade variacional (4.6) é definida como

( )s

gap f− = sup⟨C(f ,s- ) , f - g⟩ , g∈Ω ,

onde s- é um parâmetro fixo na definição da função gap.

Esta função é não negativa e indica uma certa medida do afastamento entre o fluxo

atual f e o fluxo de equilíbrio, solução da DV.

Aqui, Ω é um conjunto convexo compacto dos possíveis fluxos, então o cálculo do

supremo pode ser substituído pelo cálculo do máximo, i.e.

48

( )s

gap f− = max⟨C(f ,s- ) , f - g⟩ , g∈Ω . (4.7)

Observação 4.1 A solução da DV (4.6) no problema PDNG fornecerá características

não convexas e não diferenciáveis ao modelo PRT, o que fica evidenciado ao empregar

a função gap associada à desigualdade variacional, pois é um caso de função valor, ver

seção 3.5, pág. 37.

As seguintes propriedades da função gap são estabelecidas em Larsson e Patriksson

(1993), e Morales (1996):

( )s

gap f− ≥ 0, ∀ f∈Ω , s-> 0 ; (4.8)

( )s

gap f− =0 se, e somente se, f resolve a DV (4.6) . (4.9)

Desde que ( )s

gap f− ≥ 0, um algoritmo que minimize a função gap permitirá achar o

zero desta função, isto é, em um processo iterativo achar-se-ia uma aproximação a dito

zero.

Assim, o algoritmo de Projeto-Alocação de minimização da função gap permitirá

resolver a DV, e a solução (vetor de fluxos de equilíbrio), por sua vez, será usada no

nível superior para determinar uma aproximação ao vetor ótimo de capacidades.

Em Marcotte e Dussault (1989), apresentam-se as funções gap primal e gap dual

definidas como:

( ) max ( ), , (4.10)

( ) max ( ), . (4.11)

P y

D y

gap x F x x y

e gap x F y x yφ

φ

∈

∈

= −

= −

Pela Propriedade (4.9), tem-se que uma desigualdade variacional (DV) pode ser

resolvida pela seguinte sequência de problemas de aproximação, associados à função

gap P (x), ver seção (5.4),

49

( , )( ) : min

. . ( ), , 1,..., .

k x

j

P

s a F x x y j kαα

α− ≤ =

Analogamente, associados à função gap dual gapD(x), podem-se utilizar os problemas

de aproximação seguintes:

( , )( ) : min

. . ( ), , 1,..., .

k x

j j

P

s a F y x y j kαα

α− ≤ =

Destas duas funções, Arica et al. (1996) utiliza a formulação gap dual para resolver

uma desigualdade variacional definida por uma aplicação Ponto- Conjunto.

Observação 4.2 Utilizando as idéias de Arica et al. (1996) para resolver uma DV, neste

trabalho se resolve o problema de equilíbrio de tráfego formulado como uma DV,

fazendo notar que nos problemas Pk cada restrição é não linear.

Observação 4.3 No caso que a desigualdade variacional esteja definida por uma

aplicação Ponto a Ponto, o método de solução usando as funções gap primal e gap

dual garantam convergência global ao ponto de mínimo que é o valor zero, Larsson e

Patriksson (1993).

50

CAPÍTULO 5

Algoritmo de Projeto – Alocação e de Penalidade

Neste capítulo, apresenta-se a descrição do algoritmo de Projeto – Alocação (P-A) para

calcular uma aproximação da solução do modelo de programação de dois níveis

generalizado do problema de Projeto de Redes de Tráfego (PRT).

Neste modelo, o segundo nível representa um problema de equilíbrio de tráfego (ET), e

está modelado por uma desigualdade variacional (DV), o que permite considerar o caso

de interação de fluxos de diferentes arcos da rede. Considera-se o caso, como já foi

assinalado, de uma matriz Jacobiana da função tempo de viagem generalizado não

simétrica, então o problema de ET não tem uma formulação equivalente com um

problema de otimização, isto é feito com o intuito de fazer uma modelagem mais geral

do problema.

Também será apresentado um método (aqui será chamado de método da minimização

da função gap) para resolver o problema de ET formulado como uma DV, que é uma

adaptação do algoritmo em Arica et al. (1996), para resolver uma DV, e as

demonstrações dos teoremas de convergência, existência e unicidade da solução de

alguns casos do problema de ET.

Cinco exemplos serão apresentados no final do capítulo, os dois primeiros testam o

método da minimização da função gap, comparando-o com exemplos da literatura em

quanto ao número de iterações que se emprega para encontrar o fluxo de equilíbrio de

tráfego. Um terceiro exemplo para o problema ET considera uma função que modela a

interação dos fluxos em arcos. Para o problema de PRT, formulado como um problema

de dois níveis generalizado o qual é mostrado a seguir, se propõem dois exemplos, e

se encontra uma aproximação ao par solução (f,s) do problema, onde f é o vetor de

fluxo e s é o vetor das capacidades. Na formulação do problema de ET, no caso sem

51

interação de fluxos entre arcos, a função que define a DV é uma função do tipo BPR

(Bureau of Public Roads) que tem a propriedade de ser estritamente monótona, e para

o caso com interação de fluxos, a função é fortemente monótona.

Lembrar que o problema de Projeto de Redes de Tráfego neste trabalho é formulado

como um Programa matemático de Dois Níveis Generalizado (PDNG), e tem a forma

seguinte:

(PDNG) ( , ) 0min ( , )f s

T f s≥

(5.1)

s.a. f∈Ω resolve:

⟨ C(f,s) , g - f ⟩ ≥ 0 , ∀ g∈Ω, (5.2)

( , ) , ( , ) ( )onde T f s f C f s q s= +

5.1 Algoritmo Projeto-Alocação (P-A) para o Projeto de Redes de Tráfego

Este algoritmo na sua estrutura considera-se formado por duas fases. A fase de

equilíbrio (ou do segundo nível) e a fase do líder (ou do primeiro nível).

Na fase de equilíbrio, para um vetor de capacidades fixo, o algoritmo de minimização da

função gap, encontra uma aproximação ao zero dessa função, o que resulta uma

aproximação ao fluxo de equilíbrio do usuário.

Na fase do líder, com um fluxo de equilíbrio fixo encontrado na fase de equilíbrio, o

algoritmo encontra uma nova capacidade. Uma iteração do algoritmo de P-A consta das

duas fases

Seja V o valor da função objetivo T(f,s) a ser atingido pelo administrador. Passo (0) - Escolher um vetor s- de capacidades positivas, isto é s- = (s-

i) e

s-i >0, i = 1,...,m , e um número ε > 0, que é o parâmetro de precisão usado no

algoritmo. Passo (1) - Resolver a desigualdade variacional (5.2):

Encontrar f∈Ω , tal que

⟨C(f ,s- ) , g - f ⟩ ≥ 0, ∀ g∈Ω.

52

Seja f* solução da DV (5.2).

Passo (2) –Resolver o problema do líder (L):

(L): minimizar T(f*,s) = ⟨ f* , C(f* ,s)⟩ + q(s) (5.3)

s≥ 0

Seja s* a solução de (L).

Se T(f*,s -) ≤ V, então PARAR. A solução do problema PDNG é (f*,s-) . Em outro

caso, fazer s- ← s* e ir ao Passo (1).

Observação 5.1 O vetor fixo de capacidades s - representa o plano inicial do

administrador.

Observação 5.2 A desigualdade variacional no Passo 1, será resolvida pelo método do

algoritmo da minimização da função gap, apresentado mais adiante.

Observação 5.3 No Passo 2, o valor V da função objetivo do líder, pode ser

interpretado como o monto do investimento do qual o administrador dispõe para fazer

melhorias na rede de tráfego. No algoritmo, o valor V será usado para compará-lo com

os valores de T(f,s) obtidos nas iterações e parar o processo iterativo quando se

cumpra que T(f*,s -) ≤ V. A estimação do valor de V a priori pode ser feita considerando

um resultado em Marcotte (1984) que detalhamos na observação (5.16)

5.2 Adaptação do algoritmo de minimização do gap, para resolver um problema de equilíbrio de tráfego formulado como uma DV.

Lembremos as propriedades (4.8) e (4.9) da função gap mencionadas no Capítulo 4. A

relação (4.9) é a seguinte: ( *)s

gap f− =0 se, e somente se, f* resolve a DV (4.6). Esta

53

relação permite formular o problema do cálculo da solução da DV como o seguinte

problema de minimização equivalente:

* min ( ) ( *)s sf

f resolve a DV gap f gap f− −∈Ω

⇔ = = 0. (5.4)

Por tanto, a minimização de ( ) , ,s

gap f f− ∈Ω fornecerá o fluxo de equilíbrio ótimo

f*∈Ω..

O problema de minimização (5.4) se resolve empregando um artifício conhecido no

ambiente da programação matemática. Este consiste em utilizar a seguinte variável

auxiliar:

α = ( )s

gap f− = max ⟨C( f,s-) , f - g ⟩, g∈Ω (5.5)

para transformar o problema (5.4) , no seguinte problema equivalente:

(P): 1( , )min

nf Rαα

+∈ (5.6)

s. a . o fluxo f ∈Ω satisfaz

⟨C( f,s-) , f - g ⟩ ≤ α , ∀ g∈Ω. (5.7)

O Problema (P) que aparentemente apresenta uma restrição só, é conhecido como de

programação semi-infinita, pois tem de ser satisfeita para cada elemento g∈Ω , isto é,

possui infinitas restrições. Pode ser resolvido utilizando uma seqüência de problemas

aproximados como mostrado em Arica, et al. (1996). Deste modo, o passo (1) do

algoritmo P-A, o de resolver a DV consistirá em resolver o problema (P) por

aproximações sucessivas.

Na seguinte seção apresentamos a seqüência de problemas, que por aproximações

sucessivas resolvem o problema (P).

54

5.3 Sequência de problemas aproximados que resolvem o problema (P)

Dados 1 ,i kig = ∈Ω considere o seguinte problema:

(Pk): 1( , )

minnf Rαα

+∈ (5.8)

s. a . o fluxo f ∈Ω satisfaz

⟨C( f,s-) , f – g i ⟩ ≤ α , i = 1,2,...,k. (5.9)

O problema (Pk) é chamado problema aproximado ao Problema (P).

O algoritmo no processo de solução, calculará em cada iteração o valor da função gap

no vetor f de fluxo atual, para o qual encontra o vetor g que fornece esse valor. Os

pontos gerados por estes problemas além de se aproximar da região viável, também se

aproximam do conjunto solução. Por esta razão, o critério de parada é a viabilidade do

par solução (f*, α * ) para o problema (P) (Lema 2.1, Arica et al., 1996).

5.4 Passos do Algoritmo da Minimização da função gap

Passo (0). Escolher um fluxo viável g 1∈Ω. k:=1.

Passo (1). Resolver o problema

(Pk): 1( , )

minnf Rαα

+∈ (5.10)

s. a . o fluxo f ∈Ω satisfaz

⟨ C( f,s-) , f – g 1 ⟩ ≤ α , i = k. (5.11)

Seja (f k, αk ) a solução de Pk . Para f k encontrar o fluxo g k+1∈Ω tal que

55

( ) maxks g

gap f−∈Ω

= ⟨ C(f k, s -), f k - g⟩ = ⟨ C(f k, s -), f k – g k+1 ⟩ (5.12)

Passo (2)

Se ( )k ksgap f α− ≤ , (5.13)

o par (f k, αk) é viável para o problema P. Então PARAR, o par (f k, αk) é solução

ótima do problema P. Caso contrario, montar o problema Pk+1

(Pk+1): 1( , )min

nf Rαα

+∈ (5.14)

s. a . o fluxo f ∈Ω satisfaz

⟨C( f,s-) , f – g i ⟩ ≤ α , i = 1,2,...,k, k+1, (5.15)

Fazer k:=k+1 e voltar ao Passo 1.

Observar que:

- No Passo (0), é fácil conseguir um fluxo que satisfaça a viabilidade, isto é g 1∈Ω.

- Todas as restrições são não lineares, e em cada problema aumentam segundo o

valor de k .

- No Passo (2), o Critério de Parada significa que tem-se encontrado uma aproximação

ao zero da função gap, em conseqüência f k será uma solução de equilíbrio da DV,

que neste caso é única.

5.5 Algoritmo de Penalidade para o problema PRT

Uma metodologia que é usada para resolver problemas de dois níveis sugere penalizar

às restrições de maior complexidade. Incorporando esta técnica aos resultados e

propriedades da função gap, (4.8) e (4.9) apresentadas no capítulo 4; chega-se a

mostra que o problema de dois níveis generalizado (PDNG) é equivalente ao problema

(Pgap) que por sua vez será aproximado pelo problema (Pµ). Assim

56

Onde ( , ) max ( , ), .g

gap f s C g s f g∈Ω

= −

Dado µ > 0, o problema (Pgap) pode-se formular como:

2

( , ) 0( ) : min ( , ) ( , )

f sP T f s gap f sµ µ

≥+ .

Utilizando o Teorema 9.2.2, Capítulo 9, Bazaraa et al. (1979), pode-se assegurar que :

Se (f µ ,s µ ) ≥ 0 é tal que

2

, 0( , ) min ( , ) ( , ) ,

f sT f s T f s gap f sµ µ µ

≥= +

então, dado (f - ,s - ) limite de qualquer subseqüência convergente de f µ ,s µ µ≥ 0 , tem-

se que (f - ,s - ) é solução ótima do problema (Pgap) e gap(f - ,s

- ) = 0.

Por outro lado, dado µ >0, temos que se cumpre a seguinte equivalência:

2 2

( , ) 0 ( , ) 0,( ) : min ( , ) ( , ) ( 1 ) : min ( , )

. . ( , ), , .f s f s

P T f s gap f s P T f s

s a C g s f g g

µ µ αµ µα

α≥ ≥

+ ⇔ +

− ≤ ∀ ∈Ω

Para resolver o problema semi infinito (P1µ) considera-se então, que para cada µ fixo e

dado g1 , ... , gk ∈Ω, se calcula (f µk+1 ,s µk+1 , α µk+1 ) solução de

2

( , ) 0,( 1 ) : min ( , )

. . ( , ), , 1,...,

k f s

i i

P T f s

s a C g s f g i kα

µ µα

α≥

+

− ≤ =

( , ) 0( ) : min ( , )

. . ( , ) 0.f s

Pgap T f s

s a gap f s≥

=

57

então, 2 21 1 1( , ) ( ) ( *, *) ( *, *), ( *, *) .k k kT f s T f s gap f s f s xµ µ µµ α µ+ + ++ ≤ + ∀ ∈Ω Ω .

A seguinte proposição, estabelece a relação entre (f µk+1 , s µk+1 , α µ

k+1 ) solução de

(P1µ)k , e a solução de (Pµ).

Proposição 5.4 Seja (f µk+1 , s µk+1 , α µ

k+1 ) solução do problema (P1µ)k . Então, se

(f µk+1 , s µk+1 , α µ

k+1 ) é viável para o problema (P1µ) , tem-se que (f µk+1 , s µk+1) é

solução de (Pµ).

Prova

Seja (f µk+1 , s µk+1 , α µ

k+1 ) solução de (P1µ)k . Então,

1 1 1( , ), , 1,..., .j k k j kC g s f g j kµ µ µα+ + +− ≤ =

Suponha que (f µk+1 , s µk+1 , α µ

k+1 ) é viável para o problema (P1µ) , mas não é ótimo

para (Pµ). Então, existe um ponto (f*, s*, α*) com f*, s* ≥ 0, tal que

i) ⟨ C(g,s*), f* - g ⟩ ≤ α* , ∀ g∈Ω, e

ii) T(f* ,s*) + µ α* 2 < T(f µk+1 ,s µk+1 ) + µ (α µ k+1) 2

Desde que (i) vale para todo g ∈Ω , em particular vale para g i∈Ω , i=1,...,k; i. e.

(f* ,s* , α*) é viável para (P1µ)k ; mas, de (ii), temos que existe um ponto viável para

(P1µ)k , com valor da função objetivo menor, que é uma contradição.

Portanto, fica provada a proposição

O Algoritmo de Penalidades

Note-se que, se (f µk+1 , s µ

k+1 , α µk+1 ) não é viável para o problema (Pµ),

equivalentemente para (P1µ), temos que

58

1 1 1 1 1 1 1 1 1( , ) max ( , ), ( , ), .k k k k k k k k kggap f s C g s f g C g s f gµ µ µ µ µ µ α+ + + + + + + + +∈Ω

= − = − >

Portanto, o ponto (f µk+1 , s µ

k+1 , α µk+1 ) não é viável para o problema

21 ( , ) 0,

( 1 ) : min ( , )

. . ( , ), , 1,..., 1.

k f s

i i

P T f s

s a C g s f g i kα

µ µα

α

+ ≥+

− ≤ = +

Destes resultados, podes-se formular o seguinte algoritmo para resolver o problema

(P1µ) que é equivalente a (Pµ).

Passos do Algoritmo

Passo (0): Determinar uma penalidade µ>0 apropriado, ε >0 parâmetro de tolerância

e um ponto g 1 ∈Ω . Fazer k:=1.

Passo (1): Resolver o problema:

2

( , ) 0,( 1 ) : min ( , )

. . ( , ), , 1,..., .

k f s

i i

P T f s

s a C g s f g i kα

µ µα

α≥

+

− ≤ =

Seja (f µk+1 , s µk+1 , α µ

k+1 ) solução de (P1µ)k .

Passo (2): (TESTE DE PARADA)

Se gap(f µk+1 , s µk+1) - α µ

k+1 ≤ ε , PARAR, o ponto (f µk+1 , s µk+1 , α µ

k+1 ) é solução do

problema (Pµ).

Em outro caso, fazer k:=k+1 e ir para o Passo 1.

Observar que:

- No Passo (0), não é difícil conseguir um fluxo que satisfaça a viabilidade, isto é,

g 1∈Ω.

- No Passo (1), o problema (Pµ)k é problema diferenciável sendo resolvido por qualquer

pacote de programação não linear e será uma aproximação de tipo do problema (P1µ).

59

- No Passo (2), o Critério de Parada significa encontrado uma aproximação ao zero da

função gap, em conseqüência f k será uma solução de equilíbrio da DV, que neste

caso é única.

- Não se menciona no algoritmo as repetições necessárias do mesmo para outros

valores do parâmetro µ conducentes a obter as condições do Teorema 9.2.2, Bazaraa

et al. (1979).

5.6 Teoremas de Existência e Unicidade da solução do problema de Equilíbrio de Tráfego

O algoritmo iterativo de Projeto – Alocação (P-A) pode-se considerar composto de duas

fases: a fase de minimização (problema do líder), e a fase de cálculo do fluxo de

equilíbrio (problema do usuário).

Lembrar que a formulação do PDNG é a seguinte:

(PDNG) Min T( f,s) (5.16)

f,s ≥ 0

s. a . f ∈ Ω resolve a desigualdade variacional (5.17)

⟨ C( f,s) ,g-f ⟩ ≥ 0 , ∀ g ∈ Ω.

O algoritmo proposto, na fase de equilíbrio, resolve a (DV) (5.17) mediante um

algoritmo de tipo planos de corte em Arica et al. (1996), que usa o conceito de função

gap associada a DV (foi feito uma adaptação para o caso do problema de ET).

Sob a hipótese de monotonia estrita para a função de custos de viagens

C : ℜ n x ℜ n → ℜ n , ver Dafermos (1980) e também Aastiani e Magnanti (1981)

estabeleceram a unicidade da solução da DV. Sob hipóteses de continuidade e não

negatividade das componentes da função C, foi mostrada existência da solução por

Aashtiani e Magnanti (1981) usando uma formulação como problema de

complementaridade não linear (CNL), que é equivalente à DV. Neste trabalho,

60

fornecemos demostrações dos teoremas para o caso de demanda fixa (chamada de

demanda não elástica, ver seção 5.5.1).

O algoritmo que resolve a DV, procede a encontrar um zero da função gap resolvendo

uma sequência de problemas aproximados com um número finito de restrições, porem

crescentes, determinados por um esquema de planos de corte.

O Teorema 2.3 em Arica et al. (1996) garante a convergência do algoritmo no caso de

uma aplicação ponto-conjunto, monótona maximal, convexa e fechada. No caso do

problema PDNG , a função C é ponto a ponto, estritamente monótona como função

da variável dos fluxos f∈Ω , e continua em relação à variável das capacidades s∈Ω

(onde Ω é um conjunto compacto ). Assim, o Teorema 2.3, neste caso, também

garante que, para cada s fixa, a sequência de pontos f k gerada pelo algoritmo

converge a um único ponto limite f* , o qual é solução da DV. Uma demonstração do

teorema, para este caso é apresentado mais na frente.

O algoritmo P-A na fase do líder, usa como dado o vetor de fluxos f k obtido na iteração

k-1 na fase de equilíbrio. Na iteração k o algoritmo acha o vetor das capacidades s k

(líder) e o correspondente fluxo f k+1 (equilíbrio).

Assim, sendo f k a solução da DV encontrada na (k-1)-éssima iteração, o algoritmo P-A

na fase do líder resolve o problema:

min T( f k,s) (5.18)

s∈Ω

Sendo sk a solução do problema (5.18), o algoritmo P-A procede a resolver o problema

de equilíbrio para achar o fluxo f k+1 . Acha-se então, o par viável ( f k+1, sk) para o

problema PDNG. O processo iterativo é repetido até encontrar uma aproximação

( f*, s*) do problema PDNG.

A seguir apresentamos uma reformulação e prova do teorema 2.3 em (Arica et al.,

1996) para o caso de uma aplicação C ponto a ponto, estritamente monótona, que

define a DV.

61

Teorema 5.5. Seja Ω⊂R n um conjunto convexo e compacto e C:ΩxΩ → Ω , uma

aplicação que define a DV, estritamente monótona. Então, a sequência f k, α k gerada

pelo algoritmo da minimização da função gap contém uma sub- sequência que

converge a uma solução do problema

min ( )sf

gap f−∈Ω

(5.19)

Prova

Dado g1∈Ω , o algoritmo de minimização do gap gera uma sequência da forma

(f k,αk) tal que

1 1 1 1 1 1( ) ( , ), max ( , ), , (5.20)k k k k k ks g

gap f C f s f g C f s f g k−+ + − + + + − +

∈Ω= − = − ∀

para algum g k+1∈Ω .

Sabemos, do Lema 2.1, Arica et al. (1996), que (f k+1, αk+1) é solução do problema

(P): min α (5.21)

(f,α)∈R n+1

⟨C(f,s -), f - g⟩ ≤ α , ∀g∈Ω,

se 1 1 1 1

1( ) ( , ), . (5.22)k k k kks

gap f C f s f g α−+ + − + +

+= − ≤

Suponha-se que dada qualquer sub-sequência de f k, α k , (5.22) não é satisfeita, i.e.,

existe ε >0, tal que

( ) , (5.23)jj js

gap f jα ε α− > + > ∀

De Morales (1997), temos que 1 1( , ) ( ),k k

sC f s gap f−

+ − +∈∂

i.e., 1 1 1( ) ( , ), ( ),k k k

s sgap f C f s g f gap g g− −

+ + − ++ − ≤ ∀ .

Então, g=f j , usando (5.20), temos que

62

1 1 1( ) ( ), ( ) ( , ), , 1,..., .k k k j j j j js s

gap f C f f f gap f C f s f g j k− −+ + + −− − ≤ = − ∀ =

Então, de (5.23), para j=k+1 , e a desigualdade anterior, cumpre-se que

0<ε< 1( )ks

gap f−+ - αk+1 ≤ ⟨ C( f j,s- ), f j- g j⟩ +⟨ C( f k+1,s -),f k+1- f j⟩ - αk+1 ,∀ j=1,...,k,

Logo, desde que (f k+1,αk+1) é viável para (Pk) e a desigualdade de Schwartz, temos que

ε < ⟨ C( f j,s-) , f j- f k+1⟩ + ⟨ C( f k+1,s -) , f k+1- f j ⟩ , ∀ j=1,..., k

= ⟨ C( f j,s -) - C( f k+1,s -) , f j- f k+1 ⟩ , ∀ j=1,..., k

≤ C( f j,s -) - C( f k+1,s -) f j- f k+1 , ∀ j=1,..., k

Como C(Ω) é compacto, existe K >0 tal que C(f,s -) ≤ K, ∀ f∈Ω.

Então,

f j- f k ≥ ε / 2K , ∀ j=1,..., k , (5.24)

o que contradiz o fato de ser Ω compacto. Portanto, existe uma sub-sequência de

(f k,αk) convergente a um ponto ( f*,α*) que satisfaz (5.22).

5.6.1 Existência e Unicidade da solução do caso ET

A seguir prova-se o teorema de existência e unicidade da solução do problema de

equilíbrio do tráfego, sob hipóteses de demanda fixa e interação de fluxos dos arcos. A

formulação a considerar para este problema é uma desigualdade variacional e formará

uma restrição do problema PRT objetivo central da tese. Alguns resultados prévios que

necessitamos serão apresentados a seguir.

Observação 5.6 As condições de equilíbrio de Wardrop podem ser representadas por

uma DV, Aastiani e Magnanti (1981). Nesse trabalho também formulam-se as

condições de equilíbrio de Wardrop como um problema de Complementaridade Não

Linear.

Observação 5.7 Segundo a Proposição 2.1, em Harker e Pang (1990), tem-se que: Se

X é um cone convexo e F : R n → R n uma aplicação. Então, o ponto x*∈X é uma

63

solução do problema de complementaridade não linear F(x*).x* = 0, F(x*) ≥ 0 , se e

somente se x* é solução da D. V. F(x*).(x-x*) ≥ 0, ∀x∈X.

As condições de equilíbrio de tráfego de Wardrop, a satisfação da demanda e a não

negatividade, podem-se formular no seguinte modelo, ver Aashtiani e Magnanti (1981):

(E1): (Cp (h) – u i) hp = 0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.25)

Cp (h) – u i ≥ 0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.26)

∑ hp – d i = 0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.27)

h ≥0 , u ≥0 (5.28)

onde:

h=(hp) p∈P ∈ R n1 , é o vetor de fluxos em rotas,

I : conjunto de pares Origem-Destino (O/D) na rede ( I = n2 , é o número de

elementos em I ),

Pi é o conjunto de rotas no par i origem-destino; P=∪Pi é o conjunto de rotas na rede,

i∈I ( P =n1 ),

u = (ui ) i∈I ∈ R n2 , é o vetor de tempos de viagem mínimos generalizados, nos pares

O/D i ,

Cp : R n1+ → R+ , é a função de tempo de viagem generalizado para a rota p,

di : é a demanda de viagem para o par O /D i , e se assume constante para cada i∈I.

A : conjunto de arcos na rede.

A seguir, se considerará que a rede é fortemente conexa, isto é, que para qualquer par

de nós, existe pelo menos um arco que une o par.

Observação 5.8 Um caso especial do problema de equilíbrio (E1), é o modelo aditivo,

que consiste em definir o tempo de viagem na rota p separável por arcos como

64

Cp(h) = ∑ δap C ia(h) , ∀ p∈Pi , i∈I , (5.29)

a∈A

onde A é o conjunto de arcos da rede, e δap =1 , se o arco a∈p, e δap=0 em outro

caso, e

C ia : R n1 → R+ , é a função de tempo de viagem generalizado no arco a, no

par O/D i.

Observação 5.9 A relação 5.25 expressa o fato que no equilíbrio, as rotas com fluxo

positivo tem custo de viagem igual ao custo mínimo. A relação 5.26, diz que todos as

demais rotas terão custo de viagem maior o igual ao custo mínimo. A relação 5.27

estabelece a satisfação da demanda de viagem no par i O/D através das rotas p∈Pi .

Deseja-se expressar as condições (E1) na forma de equações de complementaridade,

para o qual fazemos as seguintes notações:

Seja x=(h,u)∈Rn , onde n=n1 + n2 , (5.30)

f p(x) = Cp(h) – u i , ∀ p∈Pi e i∈I , (5.31)

g i(x) = ∑ hp – di , ∀ i∈I (5.32)

p∈Pi

F(x)=[ f p(x) , g i(x)]p,i ∈Rn , p∈Pi , i∈I , (5.33)

Usando a notação acima, podemos expressar o modelo (E1) na forma,

(E2): f p(x) hp= 0 , ∀ p∈Pi , i∈I , (5.34)

f p(x) ≥ 0 , ∀ p∈Pi , i∈I , (5.35)

g i(x) ui = 0 , ∀ i∈I (5.36)

g i(x) ≥ 0 , ∀ i∈I (5.37)

65

x ≥ 0 (5.38)

Proposição 5.10 Supor que para toda p∈P , Cp : R n1+ → R+ , é uma função positiva.

Então, o sistema de equilíbrio (E1) é equivalente ao sistema de complementaridade

(E2).

Prova. Ver Proposição 4.1, em Aashtiani e Magnanti (1981).

Na prova do teorema de existência usaremos uma transformação φ, que permite

transformar o sistema de complementaridade não linear (E2) do problema de equilíbrio

de tráfego, em um problema de ponto fixo de Brouwer, ver Kosniowski (1992).

Seja φ : R n → R n , uma aplicação definida através de suas componentes, como

φ j (x) = [x j – F j(x)] + , j=1,...,n , onde [y] + = max 0,y. (5.39)

Então x* é um ponto fixo de φ , isto é,

x* é solução do problema de complementaridade: x ≥ 0 , F(x) ≥ 0, xt F(x) = 0 ⇔ x* =

φ(x*), Aashtiani e Magnanti (1981).

5.6.1.1 Existência da solução

Nas condições acima estabelecidas da formulação do problema ET refere-se o seguinte

resultado:

Teorema 5.11 Seja Cp : R n1+ → R , uma função continua não negativa para cada rota

p∈P. Então o problema de complementaridade não linear (E2) tem uma solução.

Prova.

66

Seja Gi : R n1+ → R , a função definida por Gi (h) = ∑ hp , que representa a

p∈Pi

soma dos fluxos nas rotas p para o par i O/D. Provaremos que o seguinte problema

de complementaridade, tem solução:

(E3): (Cp (h) – u i) h p = 0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.40)

(Gi (h) – d i) u i = 0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.41)

Cp (h) – u i ≥ 0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.42)

G i (h) – d i ≥ 0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.43)

h p ≥0 , u i≥0 , ∀ p∈Pi e i∈I (5.44)

Seja K1 > 0 tal que K1 > max i∈I d i , e supor que K2 ≥ K1 (5.45)

tal que 1

2 0max max ( ) (5.46)pp P h K e

K C h∈ ≤ ≤

>

onde e=(1,...., 1)∈R n1 .

Notar que K1 existe por ser o máximo de constantes di , ∀ i∈I positivas, e K2 existe

porque Cp (h) é continua sobre um conjunto compacto.

Define-se uma aplicação continua φ : B → B , por

φ p(h,u) = min K1 , [h p + u i - Cp(h)] + , ∀ p∈Pi , ∀ i∈I , e (5.47)

φ i(h,u) = min K2 , [u i + d i – Gi (h)] + , ∀ i∈I. (5.48)

onde B = (h,u) / 0 ≤ h ≤ K1e , 0 ≤ u ≤ K2 ê , e ê =(1,...,1)∈Rn2

Pelo teorema de ponto fixo de Brouwer, ver Kosniowski (1992): Se ψ: S⊂R n →S , é

uma aplicação continua em S, onde S é um subconjunto convexo compacto de Rn,

então existe um ponto x0 ∈S tal que ψ(x0) = x0 .

67

Assim, tem-se que φ tem um ponto fixo (ĥ,û); isto é, a nossa hipótese a considerar é,

ĥ p = φ p(ĥ p , û ) e û i = φ i (ĥ,û) , ∀ p∈Pi , ∀ i∈I . (5.49)

Provemos que este ponto fixo (ĥ,û) é solução do problema de complementaridade

(E3); para isto mostraremos que para toda p∈Pi e toda i∈I , tem-se

ĥ p =[ĥ p + û i – Cp(ĥ)] + , e ûi = [ûi + di – Gi (ĥ)] +. (5.50)

Notar que û i < K2 , ∀ i∈I, pois de não ser assim, existiria algum i tal que û i = K2

e como K2 > max max Cp(h) ,

p∈P 0≤h≤K1e

então K2 - Cp(h) > 0 e ĥ p + û i – Cp(ĥ) > ĥ p

Como ĥ p =φ p(ĥ p ,û ) = min K1 ,[ĥ p + û i – Cp(ĥ)] + , então ĥ p = K1 ,

ainda K1 > max di e Gi(ĥ) = ∑ ĥ p

p∈Pi

então Gi(ĥ) > ĥ p = K1> d i ⇒ Gi (ĥ) > d i ⇒ [ûi + di –Gi (ĥ)] < ûi.

Sendo que ûi = φ i (ĥ,û) = min K2 ,[ûi + di – Gi (ĥ)]+ =ûi + di – Gi (ĥ) ,

então û i =0 , o que contradiz ûi= K2 > 0.

Portanto ûi = [ûi + di – Gi (ĥ)] + (5.51)

Agora, quando ĥ p = K1 para algum i∈I e p∈Pi , então Gi (ĥ) > d i e ûi=0,

como Cp(ĥ) ≥ 0 , então ĥ p + û i – Cp(ĥ) ≤ ĥ p .

Logo, para ter ĥ p + û i – Cp(ĥ) = φ i (ĥ,û) = ĥ p = K1> 0 , deve ser Cp(ĥ) = 0. Daqui,

obtém-se

68

ĥ p =[ ĥ p + û i – Cp(ĥ)] +. (5.52)

Considerando os casos ĥ p > 0 ou ĥ p = 0 , e û i > 0 ou e û i = 0, vemos que o par (ĥ,û)

resolve o problema de complementaridade (E3). Portanto, pelo Teorema 1 em Fisk e

Boyce (1983), tem-se que x=(ĥ,û) é solução da desigualdade variacional

⟨C(x), y-x⟩ ≥ 0 , ∀x∈R n .

5.6.1.2 Unicidade da solução

As condições de equilíbrio do tráfego, podem ser formuladas como em Aashtiani e

Magnanti (1981), do modo seguinte:

(E4): (∆t C(f) - Λ u) h = 0 (5.53)

∆t C(f) - Λ u ≥ 0 (5.54)

Λ h – d = 0 (5.55)

h ≥ 0 , u ≥ 0 (5.56)

onde ∆ é a matriz de incidência arco/rota, Λ é a matriz de incidência O-D/rota,

f =∆ h é o vetor de fluxos em arcos, d∈Rn2 o vetor fixo de demanda, e

C: R A → R A , (5.57)

é a função de tempo generalizado de viagem em arcos.

Se fazemos, x=(h,u) t. A aplicação F : Rn+ → Rn , (5.58)

definida por F(x) = (∆t C(f) - Λ u , Λ h – d) , (5.59)

resulta não negativa. Assim, o sistema (E4) é uma versão de um modelo de

complementaridade não linear semelhante a (E3).

Observação 5.12 Em (5.59), a expressão ∆t C(f) representa o vetor de custos em rota,

e Λ h é a soma dos fluxos em rotas para satisfazer a demanda de viagem.

69

Teorema 5.13 Suponha-se que a aplicação C é estritamente monótona em relação à

variável do vetor de fluxos em arcos. Então o par (f,u) é solução do problema de

complementaridade (E4).

Prova.

Suponha-se que x1=(h1, u1) e x2=(h2, u2) , x 1 ≠ x 2 , são duas soluções do problema de

equilíbrio (E4).

De x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0 , F(x1) ≥ 0 e F(x2) ≥ 0 obter-se

x1 F(x1) - x2 F(x1) - x1 F(x2) + x2 F(x2) = (x1 - x2) (F(x1) - F(x2)) ≤ 0,

substituindo x1 , x2 , F(x1) e F(x2) , na desigualdade acima ,

(h1 - h2 , u 1 - u2) (∆t C(∆ h1) - Λ u 1 - ∆t C(∆ h2) +Λ u 2 , Λ th 1 – d - Λt h 2 + d) =

= (h1 - h2) (∆t C(∆ h1) - Λ u 1 - ∆t C(∆ h2) +Λ u 2) + (u 1 - u2) (Λ th 1 – Λt h2 ) ≤ 0

Simplificando, tem-se

(∆ h1 - ∆ h 2) t (C(∆ h 1) - C(∆ h 2) ≤ 0 , ou

(f 1 – f 2 ) (C(f 1) – C( f 2)) ≤ 0.

Como C é estritamente monótona, então

(f 1 – f 2 ) (C(f 1) – C( f 2)) = 0., daqui f 1 = f 2 . (5.60)

A unicidade do fluxo f implica que o tempo de viagem C a (f) sobre cada arco a

também é único, isto é equivalente a que o tempo generalizado de viagem em rota

Gp(h) , também é único para cada rota e cada par O/D i.

Como d > 0 e ∑ hp = d , então hp > 0, para algum p∈Pi e cada par i O/D .

p∈Pi

Logo Gp(h) = ui . Obtendo-se, deste modo que o vetor u é único .

70

5.6.2 Propriedade de Monotonia estrita da função do tipo BPR

Nesta seção apresenta-se a prova da propriedade de que a aplicação C do tipo BPR, é

estritamente monótona. Este fato dará mais uma garantia da unicidade da solução à DV

definida sobre um conjunto X que não necessariamente é um cone.

Proposição 5.14 Seja X ⊂ Rm um conjunto compacto e convexo. Se F:X → Rm é

uma aplicação estritamente monótona. Então, a solução x*∈X da desigualdade

variacional

⟨ F(x*), x -x*⟩ ≥ 0 , ∀ x∈X,

é única.

Prova. Ver Teorema 1.6 Auslender, (1976).

Proposição 5.15 Uma aplicação do tipo BPR da forma

C = [Ci (fi , s-i)=τ i(1+ δ( fi /s-

i ) β)] mi =1 ,

definida em Ω⊂ Rm sub-conjunto compacto e convexo, é estritamente monótona em

relação à variável f, isto é, verifica

⟨ C(f,s - ) – C(h,s - ), ( f – h)⟩ > 0, ∀ f ≠ h em Ω,

onde s- é o vetor das capacidades.

Prova

Como C(f,s - ) = (τ1 (1+ δ( f1 /s-1 ) β),. . ., τ m(1+ δ( fm /s-

m ) β)),

C(h,s - ) = (τ1 (1+ δ( h1 /s-1 ) β),. . ., τ m(1+ δ( hm /s-

m ) β)), então

⟨C(f,s - ) - C(h,s - ), (f – h)⟩ = ⟨[ (τ1 (1+ δ( f1 /s-1 ) β), . . ., τ m(1+ δ( fm /s-

m ) β)) -

(τ1 (1+ δ( h1 /s-1 ) β),. . ., τ m(1+ δ( hm /s-

m ) β))], (f1 –h1 ,..., fm –hm)⟩

= ∑mi = 1 (δ τ i /s- β

i )( f βi – h βi )( f i – h i ). (5.61)

71

Deve-se provar que ( f βi – h βi )( f i – h i )> 0.

Desde que ( f βi – h βi )= ( f i – h i ) ( f β -1i + f β -2

i h i + ... + f i h β -2i + h β -1

i )

De (5.68), ⟨ C(f,s - ) – C(h,s - ), ( f – h)⟩ =

= ∑mi = 1 (δ τ i /s- β

i ) ( f β -1i + f β -2

i h i + ... + f i h β -2i + h β -1

i )( f i – h i )2

e ∑mi = 1 (δ τ i /s- β

i ) ( f β -1i + f β -2

i h i + ... + f i h β -2i + h β -1

i )( f i – h i )2 > 0.

Portanto a função C do tipo BPR é estritamente monótona. Em conseqüência,

aplicando a proposição 5.14, existe um único ponto de equilíbrio para a DV.

5.7 Exemplos de Problemas de Tráfego

A seguir apresentam-se os exemplos. No caso do problema de equilíbrio de tráfego o

método para resolvé-lo é o de minimização da função gap. O primeiro exemplo é para

um problema de ET onde não há interação dos fluxos de arcos, neste caso o problema

de ET é formulado via uma DV, sob as hipóteses de demanda fixa e a função de tempo

de viagem do tipo BPR. A comparação do número de iterações é feita em relação ao

exemplo que se encontra em Kriseida (1998).

Para todos os exemplos, o algoritmo foi rodado usando o aplicativo MATLAB versão

5.1, num micro computador Pentium II- 366 Mb de RAM.

5.7.1 Exemplo 1

A função do tipo BPR neste caso tem a forma C i ( f i,s i) = τ i (1 + δ (f i / s i) β,

onde C i ( f i,s i) : é a função de tempo de viagem no arco i ,

τ i : é o tempo de viagem de fluxo livre ( corresponde a fluxo zero),

f i : é o fluxo no arco i ; δ : é uma constante chamada parâmetro da via, e β ∈ Z + .

72

A rede seguinte tem um par O/D, três arcos que conectam o par de O para D. A

demanda de O para D é de 10, os tempos de fluxo livre são 10, 20, 25 respectivamente,

e o vetor das capacidades s- é fixado em s- = (2, 4, 3).

A rede mostra-se na Figura 5.1seguinte:

C i (f1, s-1

)

Origem C 2 (f2, s-2

) Destino

C 3 (f3, s-3

)

Fig. 5.1 Rede com um só par O/D, três vias que a conectam e as funções de tempo

generalizado de viagem.

Pelos dados considerados, a função de tempo generalizado é a seguinte:

C(f, s- ) = (10(1 + (0.15/16) f14 ), 20(1 + (0.15/256) f24 ), 25(1 + (0.15/81) f34 )),

onde se assume δ =0.15, e β=4.

O conjunto Ω dos fluxos viáveis é um conjunto convexo e compacto, é o seguinte:

Ω = f∈R3 / f1 + f2 + f3 = 10, (f1, f2 , f3 ) ≥ 0 , f ≠ 0 .

O problema da desigualdade variacional a resolver é: determinar um fluxo f*∈Ω , tal

que se cumpra

(DV): 10(1 + (0.15/16) f*14 )(g1 –f *1)

+ 20(1 + (0.15/256) f*24 ) (g2 –f*2)

+ 25(1 + (0.15/81) f*34 )(g3 –f*3) ≥ 0 , ∀ g∈Ω

D O

73

A função gap associada à DV, é

4 4 41 1 1 2 2 2 3 3 3

0.15 0.15 0.15( ) max10(1 )( ) 20(1 )( ) 25(1 )( )16 256 81s g

gap f f f g f f g f f g−∈Ω

= + − + + − + + −

Encontrar o fluxo f* tal que ( )s

gap f− =0, é equivalente a resolver o problema seguinte:

(G) min ( )sf

gap f−∈Ω

Isto equivale a resolver o problema conhecido como problema semi-infinito

(P) 4( , )

minf Rα

α∈

s. a . o fluxo f∈Ω satisfaz

(10(1+(0.15/16)f14)(f1-g1)+20(1+(0.15/256)f24)(f2 –g2)+

25(1+(0.15/81)f34)(f3 –g3)) ≤ α , ∀g∈Ω

A solução do problema P pode ser aproximada iterativamente, resolvendo problemas

de programação Pk não lineares, com k restrições

(Pk ) 4( , )minf Rα

α∈

s. a . o fluxo f∈Ω satisfaz

(10(1+(0.15 /16)f14)(f1 -g i1 )

+20(1+(0.15 / 256)f24)(f2 –g i2)

+25(1+(0.15 / 81)f34)(f3 –g i3)) ≤ α , i=1,...,k.

5.7.2 Resultados computacionais para o exemplo 1

Escolheu-se um vetor inicial de fluxos f=(2.5, 3. 5, 4.), um valor αo=2, e g1∈Ω , como

sendo o fluxo g1 = (1.0, 6.0, 3.0). O valor limite para α próximo de zero, se considerou

igual a 10 -3, e se observou que na primeira iteração, esse valor foi atingido.

74

A tabela 1 a seguir, resume os resultados comparativos do método da Minimização da

Função Gap (F-Gap), em relação aos métodos Médias Sucessivas (MS), Aproximação

Linear (AL), Frank e Wolfe (F-W), em quanto aos fluxos de equilíbrio, tempos

generalizados de viagem, e número de iterações obtidos por esses diferentes métodos.

Observar a rapidez do método de minimização da função gap (G-Gap).

Método

Empregado

Fluxo de equilíbrio Tempo generalizados

de viagem

No. De

Iterações

M-S f*MS =(3.61, 4.65, 1.74) (25.92, 25.48, 25.42) 45

A-L f*AL =(3.59, 4.66, 1.75) (25.57, 25.53, 25.43) 15

F-W f*FW =(3.59, 4.70, 1.71) (25.60, 25.70, 25.40) 5

F-Gap f*FG =(3.58, 4.65, 1.77) (25.40, 25.48, 25.45) 3

Tabela 1 Fluxos de equilíbrio, custos e número de iterações dos diferentes métodos

5.7.3 Exemplo 2 O seguinte exemplo do problema de equilíbrio encontra-se em Dafermos, (1980),

considera o caso de interação dos fluxos de arcos. A demanda de viagem é fixa, na

origem A é de 210 e em B de 120, a função de tempo de viagem é

C(f)=(10f1 +5f4 +1000, 15f2+5f5+950, 20f3+3000, 20f4+2f1+1000, 25f5+f2+1300).

A rede tem um par O/D, duas faixas de sentidos opostos e uma de um sentido só, como

se mostra na Figura 5.2

75

C4(f4, f1 )

C1(f1, f4 )

C5(f5, f2 )

C2(f2, f5 )

C3(f3 )

Fig. 5.2 Rede de tráfego com interação de fluxos em dois vias

Neste exemplo a função C(f) tem Jacobiana não simétrica e é fortemente monótona. Os

fluxos devem cumprir f1 +f2 +f3 = 210 , e f4 +f5 = 120, fi ≥ 0, i=1,...,5. A tabela 2 fornece

os resultados comparativos do método da minimização da função gap em relação ao

método de Dafermos, (1980).

Método f*1 f*2 f*3 f*4 f*5

DAF Fluxo 120.00 90.00 0.00 70.00 50.00

10 Iter. Custo 2550.00 2550.00 3000.00 2640.00 2640.00

F-Gap Fluxo 119.9999 90.0000 0.0001 70.0000 50.0000

4 Iter. Custo 2549.9999 2550.00 3000.0002 2639.9998 2640.00

Tabela 2 Fluxos, custos e iterações no caso de interação de fluxos.

5.7.4 Exemplo 3 O seguinte exemplo é inédito, pode-se considerar uma extensão do exemplo 2, onde se

considera que todas as vias apresentam interação de fluxos em arcos. Neste caso a

função de custo de viagem considerada é a seguinte:

B A

76

C(f) =(10f 1 + 5f 4 +1000;15 f 2 + 5 f 5 + 850;20f 3 + 8f 6 + 3000;

20f 4 + 2f 1 + 2000;25f 5 + f 2 + 2300;10f 6 + 5f 3 + 800).

A demanda de viagem é d AB = 350 e d BA = 300. A rede se mostra na Figura 5.3.

C4(f4, f1 )

C1(f1, f4 )

C5(f5, f2 )

C2(f2, f5 )

C6 (f6, f3)

C3(f3 )

Fig. 5.3 Rede de tráfego com interação de fluxos nas três vias

5.7.4.1 Iterações Para rodar o programa o fluxo inicial se escolheu como o vetor

f = [ 90 180 80 110 90 100], o valor de α igual a 2, e

g1 = [100 100 150 80 90 130] . Para o teste de parada se escolheu uma

tolerância de ε = 0.00001 e se comparou com a expressão αk - gap(f k) , isto é se

utilizou a relação αk - gap(f k) ≤ ε .

Iteração 1

B A

77

Solução do problema P1 . Primeiro candidato a fluxo de equilíbrio

f 1 = [ 90.0 180.0 80.0 110.0 90.0 100.0], α1 = 0.0001.

Cálculo do gap (f 1) = max ⟨ C(f 1), f 1 - g⟩ , g∈Ω . Obtêm-se

g 2 = [349.9998 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 299.9998].

Avaliação da função gap(f 1)

gap(f 1) = 9.8250e+005

Teste de viabilidade. Conferir se gap(f 1) ≤ α1 .

No caso, verificar se α1 - gap(f 1) = -9.8250e+005 ≤ ε = 0.00001. CONTINUAR.

Iteração 2

Solução do problema P2 que tem uma restrição a mais que P1 .

f 2 =[214.2709 114.6906 21.0385 75.4478 14.7348 209.8174], α2 = 0.0001.

Cálculo do gap (f 2) = max ⟨ C(f 2), f 2 - g⟩ , g∈Ω . Obtêm-se

g 3 = [0.0001 349.9998 0.0001 0.0001 299.9998 0.0001]

Avaliação da função gap(f 2)

gap(f 2) = 3.7266e+005

Teste de viabilidade. Conferir se gap(f 2) ≤ α2 .

No caso, verificar se α2 - gap(f 2) = -3.7266e+005 ≤ ε = 0.00001. CONTINUAR.

Iteração 3

Solução do problema P3 que tem duas restrições a mais que P1 .

f 3 = [216.8460 129.0742 4.0798 53.1005 39.5791 207.3205], α3 = 0.0001.

Cálculo do gap (f 3) = max ⟨ C(f 3), f 3 - g⟩ , g∈Ω . Obtêm-se

g 4 = [0.0001 349.9998 0.0001 0.0001 0.0001 299.9998].

Avaliação da função gap(f 3)

gap(f 3) = 1.5748e+005

Teste de viabilidade. Conferir se gap(f 3) ≤ α3 .

78

No caso, verificar se α3 - gap(f 3) = -1.5748e+005 ≤ ε = 0.00001. CONTINUAR.

Iteração 4

Solução do problema P4 que tem três restrições a mais que P1 .

f 4 = [ 203.1848 146.8151 0.0001 34.5554 30.4795 234.9651], α4 = 0.0001.

Cálculo do gap (f 4) = max ⟨ C(f 4), f 4 - g⟩ , g∈Ω . Obtêm-se

g 5 = [0.0001 349.9998 0.0001 299.9998 0.0001 0.0001].

Avaliação da função gap(f 4)

gap(f 4) = 1.5652e+004

Teste de viabilidade. Conferir se gap(f 4) ≤ α4 .

No caso, verificar se α4 - gap(f 4) = -1.5652e+004 ≤ ε = 0.00001. CONTINUAR.

Iteração 5

Solução do problema P5 que tem quatro restrições a mais que P1 .

f 5 = [ 202.1644 147.8355 0.0001 37.1862 28.0087 234.8052], α5 = 0.0001

Cálculo do gap (f 5) = max ⟨ C(f 5), f 5 - g⟩ , g∈Ω . Obtêm-se

g 6 = [0.0001 349.9998 0.0001 0.0001 0.0001 299.9998].

Avaliação da função gap(f 5)

gap(f 5) = 9.0140e-005

Teste de viabilidade. Conferir se gap(f 5) ≤ α5 .

No caso, ver se α5 - gap(f 5) = 9.8596e-006 ≤ ε = 0.00001. PARAR, o vetor f 5 é o

fluxo de equilíbrio ótimo do usuário. Assim,

f * = f 5 = [ 202.1644 147.8355 0.0001 37.1862 28.0087 234.8052].

Os custos unitários de viagens nos arcos são:

Custo = 1.0e+003 * [ 3.2076, 3.2076, 4.8784, 3.1481, 3.1481, 3.1481].

79

A Tabela 3 seguinte resume os resultados obtidos para este exemplo. Os valores

iniciais considerados foram: fluxo=(90, 180, 80, 110, 90, 100); α = 2; ε = 0.00001;

g 1 = (100, 100, 150, 80, 90, 130).

Iter. Fluxos

f k g k+1

α k

gap (f k )

α k - gap (f k )

1 90 349.9998

180 0.0001

80 0.0001

110 0.0001

90 0.0001

100 299.9998

0.0001 982500 982500

2 214.2709 0.0001

114.6906 349.9998

21.385 0.0001

75.4478 0.0001

14.7348 294.9998

209.8174 0.0001

0.0001 372660 372660

3 216.8460 0.0001

129.742 349.9998

4.0798 0.0001

53.1005 0.0001

39.5791 0.0001

207.3205 299.9998

0.0001 157480 157480

4 203.1848 0.0001

146.8151 349.9998

0.0001 0.0001

34.5554 299.9998

0.0001 15652 15652

80

30.4795 0.0001

23.9651 0.0001

Iter. Fluxos

f k g k+1

α k

gap (f k )

α k - gap (f k )

5 202.1644 0.0001

147.8355 349.9998

0.0001 0.0001

37.1862 0.0001

28.0087 0.0001

234.8052 299.9998

0.0001 0.000009 0.000009

Como cumpre-se:

0.000009 < 0.00001

PARAR.

Fluxo de equilíbrio

f* 202.1644

147.8355

0.0001

37.1862

28.0087

234.8052

Custo de

Equilíbrio: C

3207.6

3207.6

4878.4

3148.1

3148.1

3148.1

Tabela 3. Fluxos, custos de equilíbrio e valores da função gap

81

5.7.5 Exemplos para o problema de PRT formulado como um Programa Matemático de Dois Níveis Generalizado (PDNG)

Nos exemplos a seguir, na fase de equilíbrio, para a solução do problema de encontrar

o fluxo ótimo do usuário (solução da DV) utiliza-se o método da minimização da função

gap.

Observação 5.16 Seja (f -,s -) solução do problema

( , ) 0min ( , )f s

T f s≥

(f,s)∈Ω x Ω,

e (f*,s*) solução do problema de dois níveis PRT, onde T(f,s) é a função objetivo do

administrador e Ω é o conjunto viável dos fluxos e capacidades. Então, se cumpre que

T(f -,s -) ≤ T(f*,s*) ≤ T(f(s -),s -), Marcotte, (1984).

O resultado acima permite escolher previamente um valor da função objetivo do

administrador, o T(f,s), o qual, nos exemplos será usado como critério para obter uma

solução do problema PRT, isto é, uma solução que satisfaz tanto aos usuários como ao

administrador. No exemplo 4 seguinte, se escolheu o valor V=540, que encontra-se

entre os valores inferior (470.3205) e superior (14 195.00) de T(f,s). Assim, quando na

iteração k tem-se T(f k,s k) ≤ V, o ponto (f k,s k) será uma solução do problema PRT.

Mais detalhes sobre o cálculo dos valores inferior e superior de T(f,s) serão

apresentados no exemplo 5.

Exemplo 4 A seguir propomos o seguinte exemplo. Este refere-se a um problema de Projeto de

Redes de Tráfego (PRT). Nele, considera-se uma rede que tem dois pares O/D: O1-D1;

82

O1-D2, com demandas dO1 D1 = 20 e dO1 D2 = 15 , em veículos por minutos. As

variáveis de decisão são o fluxo e a capacidade. A rede mostra-se na Figura 5.4

seguinte:

a 2

a9

Fig. 5.4 Rede de tráfego com dois pares O/D, cinco rotas e nove arcos.

As rotas O/D são: O1-D1; r1: a1 , a2

r2: a1 , a3 , a4

O1-D2; r3: a5 , a6

r4: a6 , a7 , a8

r5 : a7 , a9 .

D1

O1

D2

a1

a 3 a4

a5

a6

a7a8

83

Os tempos de fluxos livre estão dados no vetor ϒ =(10, 12, 18, 8, 15). Para começar a

execução do algoritmo de P-A , na fase de equilíbrio, o Líder fixa o vetor das

capacidades em rotas como o vetor s0 =[15, 5, 12, 2, 1] , se escolhe α0=2, e

g1=[7, 13, 4, 7, 4]. A função C(f,s) de tempos generalizados de viagens em rotas é de

tipo BPR, onde o custo sobre cada rota depende apenas do fluxo e da capacidade da

própria rota, a função é

4

41,...,5

( , ) (1 0.15 )ii i ii i

fC f s ps

=

= +

, e a função que representa custos de investimentos

se definiu como

q(s) = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 . Aqui, deve-se ter presente que para obter o custo real de

investimento, após ter obtido o vetor S, se deve empregar um fator de conversão para a

correspondente unidade monetária.

Na fase de equilíbrio (solução da desigualdade variacional pelo método da minimização

da função gap) considerou-se uma tolerância de ε = 0.01.

Primeira iteração do algoritmo de P-A

Fase de Equilíbrio. Após quatro iterações encontrou-se o fluxo de equilíbrio ótimo do

usuário

f 1 * = [16.7382 3.2618 10.2970 3.5161 1.1868 ] , e os custos de viagem no

equilíbrio como o vetor Custo=[12.3257 12.3260 19.4638 19.4638 19.4638].

Fase do Líder. Minimização da Função do Líder. Com f 1 * fixo encontra-se o vetor

solução das novas capacidades

s1 = [16.6374 3.3626 10.7030 3.1076 1.1894].

O valor da função do líder (L) no ponto viável (f 1 *, s0) é LD = 573.4727.

Como LD>V . Continuar.

84

Segunda iteração do algoritmo de P-A

Com s0 = s1 , repetimos a fase de equilíbrio. Após quatro iterações encontrou-se o

fluxo de equilíbrio ótimo do usuário

f 2 * = [18.1990 1.8010 8.2310 5.4004 1.3686] , e os custos de viagem no equilíbrio

como o vetor Custo=[12.1476 12.1481 18.9444 18.9444 18.9444].

Fase do Líder. Minimização da Função do Líder. Com f 2 * fixo encontra-se o vetor

solução das novas capacidades

s 2 = [18.1384 1.8616 8.7301 4.8703 1.3996].

O valor da função do líder (L) no ponto viável (f 2 *, s1) é LD = 562.1178.

Como LD>V . Continuar.

Terceira iteração do algoritmo de P-A

Com s0 = s2 , repetimos a fase de equilíbrio. Após quatro iterações encontrou-se o

fluxo de equilíbrio ótimo do usuário

f 3 * = [ 19.5075 0.4925 5.1175 8.3401 1.5424], e os custos de viagem no

equilíbrio como o vetor Custo=[12.0068 12.0088 18.3188 18.3188 18.3188].

Fase do Líder. Minimização da Função do Líder. Com f 3 * fixo encontra-se o vetor

solução das novas capacidades

s 3 = [19.4896 0.5104 5.6047 7.7665 1.6288].

O valor da função do líder (L) no ponto viável (f 3 *, s2) é LD = 549.9188.Como LD>V .

Continuar.

Quarta iteração do algoritmo de P-A

Com s0 = s3 , repetimos a fase de equilíbrio. Após três iterações encontrou-se o fluxo

de equilíbrio ótimo do usuário

85

f 4 * = [19.9990 0.0010 0.0619 13.1902 1.7479], e os custos de viagem no

equilíbrio como o vetor Custo=[11.6631 12.0000 18.0000 17.9836 17.9836].

Fase do Líder. Minimização da Função do Líder. Com f 4 * fixo encontra-se o vetor

solução das novas capacidades

s 4 = [19.9990 0.0010 0.07507 12.3878 1.8614].

O valor da função do líder (L) no ponto viável (f 4 , s3) é LD = 538.0164.

Como LD < V, este é um valor que satisfaz o interesse do administrador, em

conseqüência a solução correspondente do problema projeto de redes de tráfego (PRT)

é o par (f *,s *) = (f 4 *, s4).

A seguir, pela formula (fluxo em arcos) = (matriz arco/rota)x(fluxo em rota), obtêm-se o

vetor de fluxos de equilíbrio em arcos, seguinte:

u*=[20.0000, 19.9957, 0.0043, 0.0043, 0.0011, 8.7868, 14.9989, 8.7857, 6.2132].

Observação 5.17 Nas iterações, para cada vetor de capacidade s fixo, o algoritmo

encontra rapidamente o fluxo de equilíbrio f, e fornece os custos de viagens

correspondentes. Os resultados são apresentados na Tabela 4.

Dados iniciais: capacidade s o = (15, 5, 12, 2, 1); αo = 2; ε = 0.01 ; g1=(7, 13, 4, 7, 4);

escolheu-se o valor comparativo V = 540. A função de tempo de viagem foi de tipo

BPR.

Iter. Equilíbrio

f k

Custos

C(k)

Líder (capac.)

sk

T(f k , sk-1)

1 16.7382

3.2618

10.2970

3.5161

12.3257

12.3260

19.4638

19.4638

16.6374

3.3626

10.7030

3.1076

573.4727

86

1.1868 19.4638 1.1894

Iter. Equilíbrio

f k

Custos

C(k)

Líder (capac.)

sk

T(f k , sk-1)

2 18.1990

1.8010

8.2310

5.4004

1.3686

12.1476

12.1481

18.9444

18.9444

18.9444

18.1384

1.8616

8.7301

4.8703

1.3996

562.1178

3 19.5075

0.4925

5.1175

8.3401

1.5424

12.0068

12.0068

18.3188

18.3168

18.3168

19.4896

0.5104

5.6047

7.7665

1.6288

549.9188

4 19.9990

0.0010

0.0619

13.0902

1.7479

11.9661

12.0000

18.0000

18.0000

18.0000

19.999

0.0010

0.0750

12.3878

1.8614

538.0164

Como cumpre-se:

538.0164 < V.

PARAR.

Fluxo de equilíbrio

f*

19.9990

Custos de equilíbrio

Custos

11.9661

Capacidades

Ótimas: s*

19.999

Valor ótimo do

Administrador

T(f*, s*)

87

0.0010

0.0619

13.0902

1.7479

12.0000

18.0000

18.0000

18.0000

0.0010

0.0750

12.3878

1.8614

538.0164

Tabela 4. Solução do problema PRT com função de custo de tipo BPR

Exemplo 5 Lembrar que da Observação 5.15, no ponto solução (f*,s*) do problema PRT se cumpre

T(f -,s -) ≤ T(f*,s*) ≤ T(f(s -),s -). No cálculo do valor inferior, obteve-se como resultado o

vetor de fluxo f - =(0.0236, 73.0288, 6.9476, 49.9990, 0.0010) e o vetor de capacidades

s -=(1.0592, 75.6909, 5.2499, 51.8377, 0.1623), correspondendo o valor

T(f -,s -)=5 319.90. No cálculo do valor superior, considerou-se a capacidade s – achada

e resolveu-se o problema de equilíbrio para encontrar o fluxo f(s -) associado. Obteve-

se f(s -) = (2.6356, 66,8446, 10.5198, 49.6681, 0.3319), o valor correspondente foi

T(f(s -),s -)=21 157. Portanto, escolheu-se V=8000.

Em geral, é possível que o valor T(f*, s*) seja igual ao valor superior T(f -,s -). Por isto,

para fazer com que o critério de parada T(f k,s k) ≤ V na iteração k seja cumprida,

pode-se escolher o valor de V igual ou suficientemente próximo do valor superior.

Neste exemplo que propomos, as demandas de viagem são d AB =80 e d AB =50, e se

considera a seguinte função de custo generalizado de viagem, a qual tem Jacobiana

não simétrica:

2 2 2 2 2

1 4 2 5 31 2 32 2 2 2 2

1 4 2 5 3

2 2 2 24 1 5 2

4 52 2 2 24 1 5 2

[ (1 2 ), (1 3 ), (1 ),

(1 3 5 ), (1 4 )].

f f f f fC p p p

s s s s s

f f f fp p

s s s s

= + + + + +

+ + + +

88

A rede para o exemplo é a seguinte:

via 1

C 4

via 2

C1

C5

C2

via 3

C3

Fig. 5.5 Par origem-destino conectados por três vias, duas das quais são de mão dupla

Como se pode observar, a função de custo generalizado de viagem expressa o fato da

rede ter duas vias de mão dupla, pelo que a interação dos fluxos nessas vias deve ser

modelado através das funções de custo de viagem tanto da origem A em direção ao

destino B como de B para A. Por exemplo, na via 1, o custo de viagem expressa a

interação dos fluxos 1 e 4, e na via 2 se expressa a interação dos fluxos 2 e 5.

Neste exemplo, como no caso do exemplo 4, se escolheu V=8000 como o valor da

função objetivo do líder que satisfaz o interesse do administrador.

B A

89

Os tempos de fluxo livre estão dados no vetor τ = (10, 12, 18, 8, 15), a capacidade

inicial s0 = (23, 38, 19, 14, 36), g 1= (27, 38, 15, 20, 30), e α0 = 2. A função dos custos

de investimentos é I(s)= s1 + s2 + s3 + s4 + s5 , e na fase de equilíbrio a tolerância é de

ε = 0.01.

Primeira iteração Fase de Equilíbrio. Após seis iterações o fluxo de equilíbrio ótimo do usuário

encontrado é f 1* = [17.7199 35.8292 26.4509 19.0292 30.9708], e os custos de

viagem em rotas o vetor Custo=[52.8857 52.8857 52.8857 76.0826 72.7421].

Fase do Líder. Minimização da função do administrador. Com f 1* fixo encontra-se o

vetor solução das novas capacidades, o qual resulta o vetor

s 1 =[20.2120 39.1437 20.6443 25.5238 24.4762], e o valor da função do

administrador avaliado no ponto viável (f 1*, s0) é lid=T(f 1*, s0) = 8061.5 > V. Continuar.

Segunda iteração

Fase de Equilíbrio. Com s0 = s 1 fixo repetimos a fase de equilíbrio. Após cinco

iterações o fluxo de equilíbrio ótimo do usuário encontrado é

f 2* = [30.3654 24.5717 25.0630 19.7374 30.2626], e os custos de viagem em rotas o

vetor Custo=[44.5300 44.5301 44.5300 112.6330 112.6330].

Fase do Líder. Minimização da função do administrador. Com f 2* fixo encontra-se o

vetor solução das novas capacidades, o qual resulta o vetor

s2 =[21.1381 22.3068 36.5551 41.6680 8.3320], e o valor da função do administrador

avaliado no ponto viável (f 2*, s1) é lid=T(f 2*, s1) = 9324.1 > V. Continuar.

Terceira iteração

90

Fase de Equilíbrio. Com s0 = s 2 fixo repetimos a fase de equilíbrio. Após cinco

iterações o fluxo de equilíbrio ótimo do usuário encontrado é:

f 3* = [22.2014 16.0707 41.7279 42.1068 7.8932], e os custos de viagem em rotas o

vetor Custo=[41.4547 41.4548 41.4547 76.6334 76.6334].

Fase do Líder. Minimização da função do administrador. Com f 2* fixo encontra-se o

vetor solução das novas capacidades, o qual resulta o vetor

S3 =[27.2898 22.2405 30.4697 39.4328 10.5672], e o valor da função do

administrador avaliado no ponto viável (f 3*, s2) é lid=T(f 3*, s2) = 7280. Como se

cumpre T(f 3*, s2) = 7280 < 8000, o par (f 3*, s2) é uma solução do problema PRT.

Os resultados apresentam-se na Tabela 5, seguinte:

Dados iniciais: so = (23, 38, 19, 14, 36); αo = 2 ; ε = 0.01 ; g1=(27, 38, 15, 20, 30), e o

valor comparativo V=8000. A função de custo de viagem é não simétrica.

Iter. Equilíbrio

fk

Custos

C(k)

Líder

(capacidade)

sk

Valor da função

Administrador:

T(f k, s k -1)

1 17.7199

35.8292

26.4509

19.0292

30.9708

52.8857

52.8857

52.8857

76.0826

72.7421

20.2120

39.1437

20.6443

25.5238

24.4762

8061.5

2 30.3654

24.5717

25.0630

19.7374

30.2626

44.5300

44.5301

44.5300

112.6330

112.6330

21.1381

22.3068

36.5551

41.6680

8.3320

9324.1

3 22.2014 16.0707

41.4547 41.4548

27.2898 22.24.2405

7280

91

41.7279 42.1068 7.8932

41.4547 76.6334 76.6334

30.4697 39.4328 10.5672

7280 < V. Parar

Fluxo f* Custo de

equilíbrio

Capacidades

ótimas

Valor ótimo do

administrador

Tabela 5. Solução do problema Projeto de Redes de Tráfego (PRT) com função de

custo de viagem não simétrico (uso da função gap primal)

Observação 5.18 Nas iterações, para cada vetor de capacidade s fixo, o algoritmo

encontra rapidamente o fluxo de equilíbrio f, e os custos de viagens correspondentes

são obtidos. Por outro lado, se observa que os vetores s das capacidades, tem um

comportamento mais irregular, o qual foi notado quando se tento utilizar como critério

de parada do algoritmo P-A na fase do líder, a proximidade destes vetores.

Exemplo 6 Neste exemplo, para encontrar fluxos e capacidades ótimas, e os custos de equilíbrio

usa-se o método de penalidades. Considera-se uma rede com interação de fluxos em

vias de mão dupla. As demandas de viagem são dAB =80 e dB A=50, o parâmetro de

penalidade µ = 200, o vetor de tempos de fluxo livre p=[16, 25, 18, 8, 11], o

parâmetro de tolerância ε = 0.0015, e a função de custos generalizados de viagem

seguinte:

2 2 2 2 21 4 2 5 3

1 2 32 2 2 2 21 4 2 5 3

2 2 2 24 1 5 2

4 52 2 2 24 1 5 2

[ (1 ), (1 4 ), (1 ),

(1 3 5 ), (1 4 )].

f f f f fC p p p

s s s s s

f f f fp p

s s s s

= + + + + +

+ + + +

92

Após cinco iterações obteve-se os seguintes resultados:

Custos de Equilíbrio: 19.1527 26.1801 19.1527 12.7300 12.7300

Fluxos de equilíbrio: 0.001 0.001 79.998 49.9989 0.0011

Capacidades ótimas: 0.1295 0.0187 316.1180 112.6532 0.0056

Valor da função objetivo do Líder: T=2 597.7

Estes valores foram atingidos com o valor da função gap de: gap=0.0006022, e o valor

de: α = 0.0018. A Tabela 6 apresenta os resultados do exemplo 6.

Valores iniciais: g 1 = (27, 38, 15, 20, 30); µ = 200; ε = 0.0015 ; α o = 2.

k ( f k , s k) C(k) T(f k, s k) α k g( f k ,s k) Difer.

79.91221

0.0010

0.0869

0.9603

49.0397

1

256.2207

0.1026

0.3841

57.8796

439.5631

17.5608

25.3207

18.9219

11.8976

11.5487

3522.6 2x10-6 0.4516 0.4516

2 0.0010

0.0010

79.9980

49.9990

0.0010

17.212

36.9894

19.651

9.8187

26.6641

2509.1 1x10-8 195.1054 195.1054

93

0.1587

0.0047

264.1484

181.7087

0.0017

0.0010

0.0010

79.9980

49.9990

0.0010

3

0.3372

0.0059

264.1492

181.7094

0.0043

17.2115

28.5163

19.6509

9.8175

13.7205

2509.2 3x10-7 195.1448 195.1448

k ( f k , s k) C(k) T(f k, s k) α k g( f k ,s k) Difer.

0.0010

0.0010

79.9974

49.9990

0.0010

4

0.1294

0.0322

316.1200

112.6500

0.0051

19.1527

26.1462

19.1527

12.7300

12.7300

2597.7 0.0018 0.0033 0.0014

94

0.0010

0.0010

79.9980

49.9980

0.0011

5

0.1295

0.0187

316.1180

112.6532

0.0056

19.1527

26.1801

19.1527

12.7300

12.7300

2597.7 0.0018 0.0006 0.0012

(f * ,s*) c * T(f*,s*)

Tabela 6. Solução do problema PRT pelo algoritmo de Penalidades (gap dual)

CAPÍTULO 6

Conclusões

O problema de projeto de redes de tráfego (PRT) contínuo considerado na tese é

reconhecido como um dos problemas mais difíceis segundo Meng et al., (2000), e

constitui um desafio para os profissionais da engenharia de transporte. A principal

95

dificuldade decorre da formulação utilizada como um modelo de programação de dois

níveis, considerado por sua complexidade computacional um problema NP-difícil. Este

modelo é em geral, um problema de programação não convexo e não diferenciável por

esta a razão, somente se garante soluções locais sob hipóteses de continuidade

diferenciabilidade das funções envolvidas.

Na tese, se formulou o problema PRT como um problema de programação

matemática de dois níveis generalizado. Este modelo adotado para o problema PRT

considerou-se uma boa opção para descrever tanto a característica hierárquica do

problema quanto uma representação mais geral do fenômeno de equilíbrio de tráfego.

Assim tem-se, no segundo nível uma desigualdade variacional (DV) modelando o

problema de equilíbrio ótimo do usuário (caráter determinístico) e no primeiro nível

representando os interesses do administrador da rede. Para resolver a (DV) foi

adaptado um algoritmo baseado na técnica de planos de corte, (Arica et al., 1996 e

1997) para o caso do problema de equilíbrio de tráfego. Esta técnica se usa com

conceito de função gap dual associada à desigualdade variacional. A função gap

estende o conhecido conceito da Programação Linear que fornece a diferencia entre o

valor ótimo e o valor aproximado de um problema de PL. A função gap dual (gap primal)

se define como a função valor de uma família de problemas de programação linear (não

linear) com restrições.

Associada à DV considerou-se uma aplicação de custo generalizado de viagem

estritamente monótona (ou fortemente monótona) inspirado na função de tipo BPR.

Com esta hipótese foi possível obter em cada iteração soluções únicas da DV (os fluxos

ótimos do usuário). Baseados na informação do fluxo ótimo, um dos algoritmos

desenvolvidos chamado de Projeto-Alocação, simplifica a tomada de decisão do

administrador, pois apenas terá de minimizar sua função de custos com uma única

variável de decisão, o vetor de capacidade, deixando fixo o vetor dos fluxos. Os

resultados numéricos obtidos de fluxos de equilíbrio nos diferentes testes realizados,

para resolver a (DV), mostraram-se coerentes em relação ao Principio de Equilíbrio de

Wardrop, isto é, que no estado de equilíbrio de tráfego, as rotas mais caras não levam

fluxo.

96

Formulou-se e Implementou-se em Matlab, sem dificuldades, dois algoritmos que

aproximam soluções ao problema PRT: o algoritmo de Projeto-Alocação e um algoritmo

de Penalidade. Para o primeiro algoritmo é necessário estimar o valor da função

objetivo do administrador (isto é, a quantidade orçamental para investir na melhoria da

rede), que é usado como referência no teste no parada. Este valor encontra-se

garantido, pois sempre será possível achar um limite inferior e um limite superior do

valor da função objetivo, dependente das restrições do modelo, Marcotte (1981).

Nos exemplos testados tanto para o problema de equilíbrio, como para o

problema de Projeto de Redes de Tráfego, foram consideradas funções de custo de

viagem generalizado, que modelam o caso de uma rede com interação de fluxos, isto é,

uma situação onde a rede tem vias de mão dupla que é um caso real comum nas redes

urbanas.

No algoritmo de Penalidades, para resolver o problema PRT utilizou-se a função

gap dual. Neste algoritmo, não se fixa nenhum das variáveis (fluxo e capacidade) no

processo de solução, e como o algoritmo de Projeto-Alocação, tem natureza de planos

de corte. Ambos dos algoritmos mostraram-se rápidos em atingir as soluções. Em

quanto à complexidade, o problema de Projeto de Redes de Tráfego pertença ao tipo

de problemas classificados como de NP - difícil.

Outra das dificuldades em um problema PRT, vem de considerar no equilíbrio

uma aplicação que representa o custo generalizado de viagem para modelar a

interação de fluxos, sendo que a função objetiva do administrador, em geral é não

convexa. Embora, o método do algoritmo de P-A apresentado na tese é uma opção

para se aproximar a uma solução do problema, ainda nos casos assinalados, como foi

mostrado nos exemplos.

No problema de Projeto de Redes de Tráfego, a abordagem de Dois Níveis

Generalizado para o PRT feita na tese, permite considerar o caso geral para o

problema de equilíbrio de tráfego, fornecendo uma solução que é de interesse tanto do

97

administrador como dos usuários. Neste contexto, a Tese aporta uma contribuição para

a abordagem destes problemas envolvendo situações bem próximas da vida real.

Propostas de Pesquisas Futuras

Como já foi assinalado, são muitos os problemas de transporte que no momento

preocupam aos pesquisadores na área do transporte. Estes problemas são complexos

na sua formulação e na abordagem da solução, alguns deles propomos como

pesquisas futuras ou continuação do presente trabalho.

Problema de Projeto de Redes de Tráfego contínuo estocástico, onde o

problema de equilíbrio considera no modelo uma função de probabilidade para a

escolha de rota e/ou modo de viagem.

Problema de Projeto de Redes de Tráfego discreto determinístico, onde o

problema do administrador considera a possibilidade de adicionar novas vias na rede.

Problema de Projeto de Redes de Tráfego com demanda elástica e efeitos de

congestionamento. Neste caso a função de custo generalizado de viagem terá

Jacobiana não simétrica e a função de demanda dependerá do custo mínimo de viagem

entre cada par origem-destino.

Algumas das propostas de trabalho acima assinalados, podem-se formular como

programas Matemáticos de Dois Níveis Generalizado. Isto permitiria, como no caso do

trabalho pesquisado, modelar fatos mais em concordância com a realidade.

98

Referências

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Network”, SIAM J. Algebraic Discrete Methods 2, 213-226.

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