contribuicao ao estudo dos efeitos dos ventos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM GEOTECNIA, ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL

CONTRIBUIO AO ESTUDO DOS EFEITOS DE VENTO EM EDIFCIOS

ALTOS: ESTUDO DE CASO NA CIDADE DE GOINIA

BYL FARNEY RODRIGUES DA CUNHA JUNIOR

GOINIA 2012


CONTRIBUIO AO ESTUDO DOS EFEITOS DO VENTO EM EDIFCIOS ALTOS: ESTUDO

DE CASO NA CIDADE DE GOINIA Dissertao de mestrado apresentada ao programa de Ps-Graduao em Geotecnia, Estruturas e Construo Civil da Universidade Federal de Gois para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil. rea de Concentrao: Estruturas.

Orientador: Dr. Frederico Martins Alves da Silva. Co-orientador: Dr. Zenn Jos G. Nez del Prado.

D0063E12 GOINIA

2012


CONTRIBUIO AO ESTUDO DOS EFEITOS DE VENTO EM EDIFCIOS

ALTOS: ESTUDO DE CASO NA CIDADE DE GOINIA

Dissertao apresentada ao programa de Ps-Graduao em Geotecnia, Estruturas e Construo Civil da Universidade Federal de Gois para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Civil.

Aprovada em _____ /_____ /_____.

___________________________________________________________ Prof. Dr. Frederico Martins Alves da Silva (Presidente) Universidade Federal de Gois ___________________________________________________________ Prof. Dr. Ademir Aparecido do Prado (Membro interno) Universidade Federal de Gois ___________________________________________________________ Prof. Dr. Janes Cleiton Alves de Oliveira (Membro externo) Universidade de Braslia

As duas pessoas mais importantes da minha vida e que precisaram ser privadas da

minha companhia nos momentos dedicados ao curso de mestrado: Milena Maia, minha

esposa e Giovana Barcelos, minha filha.

Aos meus pais, que estiveram presentes durante toda a minha formao acadmica

desde os primrdios.Dedico, portanto s pessoas que estiveram ao meu lado e que

sempre confiaram na minha capacidade.

AGRADECIMENTOS

Agradeo minha esposa pela pacincia e pela confiana ao longo de toda a jornada.

Aos professores Frederico e Zenn, meus orientadores, pelo incentivo, pelas palavras

amigas, pela confiana depositada em mim. Agradeo pela proposio do tema de

dissertao que possibilitou o nascimento deste trabalho.

Ao professor Ademir por ter trazido ao meu conhecimento o curso de mestrado PPG-

GECON da UFG e por ser decisivo na minha opo por trilhar este caminho e tambm

por estar, na finalizao desta jornada, compondo parte da banca;

Aos colegas de mestrado que tambm tiveram uma dura jornada, agradeo pela

convivncia desejando-lhes sucesso absoluto.

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo estudar a anlise dinmica da estrutura de um edifcio de 47 pavimentos na cidade de Goinia quando submetido a carregamentos de vento gerados com o modelo discreto proposto na NBR6123 (ABNT,1988) e com o Mtodo do Vento Sinttico. O edifcio foi analisado com um modelo shear building bidimensional e pelo mtodo dos elementos finitos. Inicialmente, um prtico plano estudado para validar os modelos matemticos sendo representado por um modelo simplificado, que considera os elementos horizontais no nvel de cada pavimento como infinitamente rgidos, denominado shear building. Para comparar os valores das frequncias naturais e deslocamentos ao longo do tempo o mesmo prtico modelado pelo mtodo dos elementos finitos utilizando o programa SAP2000 verso 10. Em seguida, o mesmo procedimento aplicado a um prtico espacial de um edifcio fictcio de 20 pavimentos pelo qual apresentado o processo para correo das rigidezes de pilares de grandes dimenses para considerao das deformaes por cisalhamento nestes pilares. Com base nestes dois modelos so apresentados os mtodos de gerao do carregamento de vento, a saber: o modelo discreto da NBR6123 (ABNT,1988) e o mtodo do vento sinttico que utiliza o espectro de potncia de Davenport. A estrutura do edifcio de 47 pavimentos ento modelada pelo Mtodo dos Elementos Finitos no programa SAP2000 verso 10, sendo realizada a anlise modal e em seguida anlises de vibrao forada quando a estrutura carregada com o vento gerado com a NBR6123 (ABNT, 1988) e com o mtodo do vento sinttico. So comparados os deslocamentos e esforos solicitantes nos pilares e nas vigas para vrios casos de direo de incidncia do vento. Ainda feito um comparativo com a hiptese de o reservatrio elevado estar cheio, fato que altera as frequncias naturais da estrutura, seus deslocamentos e esforos solicitantes. Conclui-se que os deslocamentos do modelo no SAP2000 verso 10 so maiores quando carregado com o vento da NBR6123 (ABNT, 1988) em relao a fase permanente da resposta da estrutura ao carregamento do vento sinttico. Porm, os deslocamentos e esforos da fase transiente da resposta superam aqueles determinados com a norma.

Palavras chave: Vibrao. Vento Sinttico. Edifcios altos. Elementos Finitos. Shear

building.

ABSTRACT

In this work the dynamic three dimensional analysis of a 47-story building located in Goiania city when subjected to wind loads generated using both the Wind Brazilian code, NBR6123 (ABNT, 1988) and the Synthetic-Wind method is realized. To model the frames three different methodologies are used: the shear building model and both bi- and three-dimensional finite element models. To start the analysis, a plane frame is initially studied in order to validate the shear building model and, in order to compare the results of natural frequencies and displacements at the top of the structure the same plane frame was modeled using the finite element method through the SAP2000 V10 software. The same steps were applied to an idealized 20-story spacial frame that helps in the presentation of the stiffness correction process applied to columns. Based on these models the two methods used to generate the Wind loads are presented: a discrete model proposed in the Wind Brazilian code, NBR6123 (ABNT, 1988) and the Synthetic-Wind method. The method uses the Davenport spectrum which is divided into a variety of frequencies in order to generate the temporal series of loads. Finally, the 47-story building was analyzed using both the three dimensional finite element method through the SAP2000 V10 software and the shear building model. The models were loaded with Wind load generated by the Wind code NBR6123 (ABNT, 1988) and by the Synthetic-Wind method considering different wind directions. The displacements and internal forces in columns and beams were compared and a comparative study considering a situation of a full elevated reservoir is realized. As can be observed the displacements obtained by the SAP2000 V10 model are greater when loaded with NBR6123 (ABNT, 1988) wind load related to the permanent phase of the structures response.

Word keys: Vibration. Synthetic wind. Tall Buildings. Finite elements. Shear Building.

B.F.R. CUNHA JR LISTA DE FIGURAS

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1 Representao de um shear building com um vo e trs pavimentos......... 36

Figura 3.2 Representao com mltiplas massas e molas ........................................... 37

Figura 3.3 - Representao de um modo de vibrao de uma estrutura ......................... 40

Figura 3.4 Representao do processo de desacoplamento de um sistema ................. 42

Figura 3.5 Determinao do centro de massa e centro de rigidez da estrutura ........... 47

Figura 3.6 Elemento frame no plano ........................................................................... 49

Figura 3.7 Elemento Shell.............................................................................................49

Figura 3.8 Definio do elemento Shell no programa SAP2000 V10 ......................... 50

Figura 3.9 Prtico tipo shear building ......................................................................... 51

Figura 3.10 Definio do material:(a) C20 para os pilares (b)RIGIDO para as vigas. 52

Figura 3.11 Configurao da anlise modal no SAP2000 V10 ................................... 53

Figura 3.12 Prtico plano modelado via SAP2000 V10: (a) 1 modo de vibrao

f1=0,987Hz, (b) 2 modo de vibrao f2=2,114 Hz ................................................... ......53

Figura 3.13 Planta de forma do edifcio de 20 pavimentos ......................................... 54

Figura 3.14 Corte esquemtico do edifcio de 20 pavimentos ..................................... 55

Figura 3.15 Edifcio de 20 pavimentos modelado via SAP2000 V10 com

elementos flexveis: (a) 1 modo de vibrao f1=0,119 Hz, (b) 2 modo de

vibrao f2=0,211 Hz, (c) 3 modo de vibrao f3=0,223 Hz, (d) 4 modo de

vibrao f4= 0,362 Hz ............................................................................................... ......57

Figura 4.1 Exemplo de um espectro discreto ...............................................................61

Figura 4.2 Densidade Espectral ................................................................................... 62

Figura 4.3 Determinao da Auto-correlao .............................................................. 63

Figura 4.4 Funo de Auto-correlao ........................................................................ 64

Figura 4.5 Modelo Discreto da NBR6123 (ABNT,1988) ........................................... 66

Figura 4.6 Mapa de Isopletas do Brasil ....................................................................... 69

D0063E12 Contribuio ao estudo dos efeitos de vento em edifcios altos...


Figura 4.7 Tela de definio do caso Time History para anlise no SAP2000 ............ 77

Figura 4.8 Deslocamentos na cota 11m Carregamento de vento dado pela

NBR6123 (ABNT,1988) .................................................................................................77

Figura 4.9 - Deslocamentos no topo da estrutura Carregamento pelo Mtodo do

Vento Sinttico ................................................................................................................80

Figura 5.1 Planta de formas do pavimento Trreo 01 (medidas em centmetros)........ 82

Figura 5.2 Planta de formas do pavimento Tipo(medidas em centmetros) ................83

Figura 5.3 Corte esquemtico do edifcio .................................................................... 84

Figura 5.4 Detalhe do offset rgido na modelagem do edifcio ....................................85

Figura 5.5 Modelo de elementos finitos no SAP2000 V10 ......................................... 86

Figura 5.6 Parmetros de entrada do mtodo da rigidez mdia ................................... 86

Figura 5.7 Convergncia da malha de elementos finitos ............................................. 91

Figura 5.8 1, 2 e 3 modos de vibrao ..................................................................... 92

Figura 5.9 4, 5 e 6 modos de vibrao ..................................................................... 93

Figura 5.10 baco para determinao dos coeficientes de arrasto NBR6123

(ABNT,1988) ............................................................................................................ ......94

Figura 5.11 Variao dos deslocamentos para carregamento de vento da

NBR6123 (ABNT, 1988): (a) Deslocamento X, (b) Deslocamento Y, (c)

Deslocamento 45 ...................................................................................................... .....98

Figura 5.12 Tela de entrada da funo harmnica como arquivo de texto ................ 102

Figura 5.13 Associao das amplitudes com as funes harmnicas ........................ 102

Figura 5.14 Variao dos deslocamentos para carregamento do mtodo do vento

Sinttico: (a) Deslocamento X, (b) Deslocamento Y, (c) Deslocamento 45 ........... ....103

Figura 5.15 Variao dos deslocamentos no topo do edifcio - SAP2000 V10 ........ 105

Figura 5.16 Adio de massas ao modelo no SAP2000 V10 .................................... 109

Figura 5.17 Variao dos deslocamentos no topo do edifcio - SAP2000 V10 e

shear building ............................................................................................................ ...115



Figura 5.18 Variao do esforo cortante na base do pilar do modelo shear

building ..................................................................................................................... ....117

Figura 5.19 Centro de massa e centro de rigidez do edifcio de 47 pavimentos ....... 120

Figura A.1 Planta de formas do pavimento Trreo 02 ............................................... 132

Figura A.2 Planta de formas do pavimento Trreo 03 ...............................................133

Figura A.3 Planta de formas do pavimento Casa de Mquinas .................................134

Figura A.4 Planta de formas do pavimento Barrilete ................................................135

Figura A.5 Planta de formas do Reservatrio Elevado ..............................................136

B.F.R. CUNHA JR LISTA DE TABELAS

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 Frequncias naturais do Shear Building..................................................... 52

Tabela 3.2 Frequncias naturais do prtico plano ....................................................... 54

Tabela 3.3 Propriedades dos pilares do edifcio de 20 pavimentos ............................. 56

Tabela 3.4 Propriedades das vigas e lajes do edifcio de 20 pavimentos .................... 56

Tabela 3.5 Frequncias naturais do edifcio de 20 pavimentos ................................... 58

Tabela 3.6 Deslocamentos Uy no topo do edifcio de 20 pavimentos ......................... 59

Tabela 3.7 Rigidezes com correo ............................................................................. 59

Tabela 4.1 Parmetros b e p NBR6123 (ABNT, 1988) ............................................... 68

Tabela 4.2 Carregamento de vento conforme modelo discreto da NBR6123

(ABNT, 1988) ........................................................................................................... ......76

Tabela 4.3 Coeficientes para a decomposio espectral .............................................. 79

Tabela 4.4 Determinao do valor caracterstico do deslocamento no topo da

estrutura ..................................................................................................................... .....79

Tabela 5.1 Dados geomtricos das lajes nervuradas ................................................... 87

Tabela 5.2 Correo nas densidades das lajes macias equivalentes .......................... 88

Tabela 5.3 Discretizao n 01 Variao da frequncia natural com o

incremento do nmero de elementos finitos ............................................................. ......89

Tabela 5.4 Discretizao n 02 - Variao da frequncia natural com o












Tabela 5.9 Carregamento esttico de vento conforme NBR6123 (ABNT, 1988) -

Vento 0 ..................................................................................................................... .....95

Tabela 5.10 Carregamento esttico de vento conforme NBR6123 (ABNT, 1988)

Vento 90 ................................................................................................................ .....96

Tabela 5.11 Deslocamentos no topo do edifcio para o carregamento da

NBR6123 (ABNT,1988) .................................................................................................97

Tabela 5.12 Esforos nos pilares para o carregamento da NBR6123 .......................... 99

Tabela 5.13 Esforos em vigas em diversos pavimentos para o carregamento da

NBR6123 (ABNT,1988) .................................................................................................99

Tabela 5.14 Coeficientes para a decomposio espectral segundo o mtodo do

vento sinttico ........................................................................................................... ....100

Tabela 5.15 Deslocamentos no estado transiente no topo do edifcio para o

carregamento do vento sinttico ................................................................................ ...104

Tabela 5.16 Momentos fletores nos pilares para o carregamento do vento

sinttico ................................................................................................................... ......105

Tabela 5.17 Esforos cortantes nos pilares para o carregamento do vento

sinttico ..................................................................................................................... ....106

Tabela 5.18 Momentos torores nos pilares para o carregamento do vento

sinttico ..................................................................................................................... ....107

Tabela 5.19 Esforos em vigas em diversos pavimentos para o carregamento do

vento sinttico ........................................................................................................... ....108

Tabela 5.20 Deslocamentos no topo do edifcio para o carregamento do vento

sinttico ..................................................................................................................... ....109

Tabela 5.21 Momentos fletores nos pilares para o carregamento do vento

sinttico com reservatrio cheio ................................................................................ ...110

Tabela 5.22 Esforos cortantes nos pilares para o carregamento do vento

sinttico com reservatrio cheio ................................................................................ ...110



Tabela 5.23 Momentos torores nos pilares para o carregamento do vento

sinttico com reservatrio cheio) .............................................................................. ....110

Tabela 5.24 Propriedades dos pilares do pavimento Tipo do edifcio de 47

pavimentos ................................................................................................................ ....111

Tabela 5.25 Rigidezes dos pilares do edifcio de 47 pavimentos e fatores de

correo das rigidezes ............................................................................................... ....112

Tabela 5.26 Propriedades das vigas do edifcio de 47 pavimentos ........................... 113

Tabela 5.27 Propriedades das lajes do edifcio de 47 pavimentos ............................ 114

Tabela 5.28 Frequncias naturais:Modelo shear building e Modelo no SAP2000....114

Tabela 5.29 Frequncias naturais: Modelo shear building e SAP2000 enrijecido....116

Tabela 5.30 Deslocamento no 41 pavimento ........................................................... 116

Tabela 5.31 Coordenadas dos pilares para o pavimento Trreo 01 ........................... 118

Tabela 5.32 Determinao do centro de rigidez e do centro de massa e das

excentricidades para o pavimento Trreo 01 ............................................................ ....119

Tabela 5.33 Valores das cargas atuantes nos pilares na direo X e Y no

pavimento Trreo 01 ................................................................................................. ....121

Tabela 5.34 Valores das parcelas de carga atuantes nos pilares do pavimento

Trreo 01 ................................................................................................................... ....122

Tabela 5.35 Comparativo entre os cortantes em cada pilar e os valores mximos

da NBR6118 (ABNT, 2007) ..................................................................................... ....123

B.F.R. CUNHA JR LISTA DE SMBOLOS

LISTA DE SMBOLOS

SMBOLOS ROMANOS

a Amplitude da funo harmnica.

A Matriz auxiliar para determinao da matriz de amortecimento.

As rea de cisalhamento.

0A - rea de referncia.

iA - rea de influncia correspondente coordenada i.

b Base da seo transversal.

b e p - Coeficientes da NBR6123 relativos rugosidade do terreno.

kc - Amplitude de cada funo harmnica do Mtodo do Vento Sinttico.

rcc - Amplitude do harmnico ressonante do Mtodo do Vento Sinttico corrigida.

rc - Amplitude do harmnico ressonante do Mtodo do Vento Sinttico.

1rcc - Amplitude corrigida do harmnico posterior ao ressonante.

1rcc - Amplitude corrigida do harmnico anterior ao ressonante.

ic - Coeficientes da matriz de amortecimento.

C Matriz de amortecimento.

CMx e CMy Coordenadas do centro de massa.

CRx e CRy Coordenadas do centro de rigidez.

zC e yC - Fatores de decaimento exponencial.

kC - Coeficiente para clculo das amplitudes de cada harmnico do Mtodo do Vento

Sinttico.

aiC - Coeficientes de arrasto.

d Distncia da armadura transversal at a face mais tracionada.



ex e ey Excentricidades.

E - Mdulo de Elasticidade. Valor mdio.

f - Frequncia natural da estrutura.

fcd Resistncia minorada do concreto

fck Resistncia caracterstica do concreto.

kf - Frequncia de cada funo harmnica.

kaf e

kpf - Limites de integrao do espectro de potncia.

f - Frequncia que relaciona a frequncia da rajada e a velocidade mdia.

HF - Coeficiente para clculo da parcela flutuante.

flutF - Fora flutuante.

G Mdulo de elasticidade transversal

h Altura da seo transversal. Altura total da edificao.

heq Espessura equivalente para as lajes.

I - Inrcia flexo.

ik - Coeficientes da matriz de rigidez.

K Matriz de rigidez.

L - Altura dos pilares.

Mi - Massa modal. Massas dos elementos estruturais.

0m - Massa de referncia.

M Matriz de massa.

M Massa discreta correspondente coordenada i. Momento fletor.

n - nmero de graus de liberdade. Para estruturas com um plano de simetria, n

corresponde tambm ao nmero de divises da estrutura.

N Nmero de ondas harmnicas.

3p - Presso do vento referente velocidade da rajada de vento.



600p - Presso do vento referente velocidade mdia.

p'(t) - Presso flutuante do vento.

P - Funo harmnica.

Pi(t) Fora aplicada no i-simo pavimento.

q Deslocamento em uma coordenada generalizada.

q0 Presso dinmica

Q - Harmnico de fora.

r - Frequncia fundamental da estrutura.

kr - Frequncia de cada harmnico.

R Nmero do harmnico ressonante.

Rx(t) Valor da auto-correlao

1S - Fator da NBR6123 que depende das condies topogrficas do terreno.

3S - Fator da NBR6123 que depende do tipo de edificao.

t Tempo.

T Momento toror.

RT - Perodo do harmnico ressonante do Mtodo do Vento Sinttico.

kT - Perodo de cada harmnico do Mtodo do Vento Sinttico.

Ux e Uy Graus de liberdade translacionais.

V Esforo cortante.

0V - Velocidade bsica do vento.

VN Volume da laje nervurada real.

VT Volume da laje macia equivalente.

Vrd2 Esforo cortante mximo resistente segundo a NBR6118.

pV - Velocidade do vento de projeto.

10V - Velocidade mdia do vento medida em um intervalo de 10 minutos.



3V - Velocidade do vento em um intervalo de tempo de 3 s.

600V - Velocidade do vento em um intervalo de tempo de 600 s.

picoV - Velocidade da rajada do vento.

mediaV - Velocidade mdia do vento.

x - Vetor de aceleraes.

x - Vetor de velocidades.

x - Vetor de deslocamentos.

ix - Deslocamento correspondente coordenada i; Coeficientes do vetor de

deslocamentos. Variao entre os centros de rigidez na direo X.

ix - Coeficientes do vetor de acelerao.

ix - Coeficientes do vetor de velocidade.

x - Coordenada do baricentro.

iX - Carregamento total de vento. Deslocamento correspondente coordenada i.

iX - Parcela mdia do carregamento de vento.

iX - Parcela flutuante do carregamento de vento.

nX - Amplitude da funo harmnica.

iy - Variao entre os centros de rigidez na direo Y.

y - Coordenada do baricentro

y1, y2 Coordenadas verticais dos dois pontos considerados na face da estrutura.

iz - Altura do elemento i sobre o nvel do terreno.

rz - Altura de referncia.

wix e wiy Participaes do pilar i para resistir carga lateral externa.

wix e wiy Cargas introduzidas no pilar i pelas translaes.

wix e wiy Cargas introduzidas no pilar i pelas rotaes.



SMBOLOS GREGOS

i - Coefiente para clculo da parcela flutuante.

i - Coeficientes de amplificao dinmica. Taxa de amortecimento crtico.

- Matriz Modal.

- Fator de correo da rigidez

- Expoente da forma modal.

)( fm - Admitncia mecnica.

)( fa - Admitncia aerodinmica.

- Instante de tempo em uma srie temporal.

- Frequncia de excitao da funo harmnica.

i - Frequncia natural do i-simo modo de vibrao.

conc- Densidade do concreto armado.

T- Densidade equivalente da laje macia.

- Velocidade de cisalhamento do vento.

x 2 - Varincia.

k - ngulos de fase gerados aleatoriamente no Mtodo do Vento Sinttico.

z Grau de liberdade rotacional.

kz - Tamanho da rajada.

i - Relao entre massas para clculo da parcela flutuante.

SMBOLOS MATEMTICOS

coh(d , f) - Funo de autocorrelao.

2~F - Varincia do carregamento.

xS (f) - Densidade espectral da varincia.



Rx - Funo de autocorrelao.

2~r - Varincia da resposta.

(f)SV - Espectro de velocidade do vento.

(f)SF - Espectro de foras.

(f)Sr - Espectro da resposta.

2~v - Varincia da velocidade.

B.F.R. CUNHA JR SUMRIO

SUMRIO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE SIMBOLOS

1. INTRODUO ........................................................................................................ 22 1.1. METODOLOGIA UTILIZADA ............................................................................. 25 1.2. MOTIVAO E OBJETIVOS ............................................................................... 25 1.3. PLANO DA DISSERTAO .................................................................................. 26

2. REVISO BIBLIOGRFICA ................................................................................ 27

3. FORMULAO MATEMTICA ......................................................................... 35 3.1. PRTICO DE VIGAS RGIDAS - TIPO SHEAR BUILDING ............................. 35 3.1.1. Anlise da Vibrao Livre ................................................................................. 39 3.1.2. Matriz modal e Ortogonalidade entre os modos .............................................. 40 3.1.3. Desacoplamento Modal ..................................................................................... 42 3.1.4. Matriz de Amortecimento ................................................................................. 43 3.1.5. Rigidez dos Pilares ............................................................................................. 44 3.1.6. Distribuio do esforo cortante entre os pilares ............................................. 44 3.2. ANLISE PELO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................ 48 3.3. EXEMPLOS NUMRICOS .................................................................................... 50 3.3.1. Prtico Plano de dois pavimentos ..................................................................... 50 3.3.2. Prtico espacial de vinte pavimentos ................................................................ 54

4. CARREGAMENTO DEVIDO AO VENTO ........................................................... 60 4.1. MODELO DISCRETO DA NBR6123 (ABNT, 1988) ............................................. 65 4.2. MTODO DO VENTO SINTTICO ..................................................................... 70 4.3. EXEMPLO DE APLICAO DA NBR6123 (ABNT, 1988) ................................ 76 4.4. EXEMPLO DE APLICAO DO MTODO DO VENTO

SINTTICO ............................................................................................................. 78

D0063E12 Contribuio ao estudo dos efeitos de vento em edifcios altos... 21

B.F.R. CUNHA JR SUMRIO

5. ESTUDO DE CASO ................................................................................................. 81 5.1. GEOMETRIA E LOCALIZAO DA EDIFICAO ........................................ 81 5.2. ANLISE MODAL DO EDIFCIO ........................................................................ 85 5.3. ANLSE DINMICA DO EDIFICIO .................................................................... 93 5.3.1. Mtodo dos Elementos Finitos ........................................................................... 94 5.3.1.1. Carregamento gerado com a NBR6123 (ABNT, 1988) ....................................... 94

5.3.1.2. Carregamento gerado com o Mtodo do Vento Sinttico ................................... 100

5.3.2. Modelo shear building ...................................................................................... 111 5.3.2.1. Distribuio do esforo cortante entre os pilares ............................................... 117

6. CONCLUSES E PROPOSTAS .......................................................................... 126

7. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS .................................................................. 130

ANEXO A ...................................................................................................................... .....133

B.F.R. CUNHA JR CAPTULO 1

CAPTULO 1

INTRODUO

Um dos grandes desafios do engenheiro estrutural a busca pela representao do

comportamento das estruturas com a utilizao de modelos matemticos para anlise e

dimensionamento. Diversos so os modelos matemticos utilizados para analisar

estruturas como, por exemplo, prticos planos e espaciais, trelias planas e espaciais,

vigas contnuas e prticos espaciais com grelha equivalente. Estes modelos so

idealizaes da estrutura real nos quais os componentes estruturais so substitudos por

elementos capazes de representar seus comportamentos e suas geometrias. Quanto aos

apoios da estrutura, estes so substitudos por apoios tericos no modelo matemtico. A

escolha da representao mais adequada depende das caractersticas geomtricas, das

condies de carregamento e das condies de contorno da estrutura.

At o sculo XIX, os edifcios eram estruturados essencialmente em paredes espessas.

Na medida em que foi surgindo a necessidade de verticalizao destas edificaes as

paredes em alvenaria de pedra foram ficando cada vez mais robustas a ponto de

prejudicar o espao til interno. Consequentemente, alguns materiais como o concreto

armado e o ao-carbono tiveram sua utilizao incrementada por propiciarem a

diminuio das dimenses das peas estruturais.

A partir do sculo XX observa-se a utilizao crescente do concreto armado desde os

primeiros edifcios de dois e trs pavimentos at os edifcios de moderada altura. Para

garantir a estabilidade e a economia dos arranjos estruturais destes edifcios,

comearam-se a conceb-los como uma sucesso e combinao de prticos.

Associados ao indiscutvel avano computacional iniciado no sculo XX pode-se

mencionar o avano na tecnologia dos materiais utilizados na engenharia, que garante

resistncias cada vez mais elevadas, e o avano do conhecimento na rea de mecnica

das estruturas que vem possibilitando a crescente utilizao de mtodos numricos de

anlise estrutural via computador. Esse conjunto de avanos proporciona maior

liberdade e confiana ao engenheiro para projetar estruturas mais arrojadas, com vos

cada vez maiores e elementos estruturais cada vez mais esbeltos.



No sculo XXI, observa-se que na medida em que os edifcios esto ficando cada vez

mais altos, os arranjos estruturais vm passando por alteraes de concepo contando

com elementos estruturais cada vez mais esbeltos e o sistema aporticado, em alguns

casos, passa a no ser mais vantajoso economicamente e tecnicamente por exigir uma

elevada quantidade de pilares internos.

Comparando as estruturas recentes com as mais antigas, observa-se que as atuais so

mais sensveis s aes externas como, por exemplo, o vento e aos efeitos no-lineares

que so mais severos devido elevada esbeltez dos elementos e reduo do

amortecimento estrutural. O desafio do engenheiro civil em utilizar e desenvolver

modelos que representem as estruturas com suas variadas condies de carregamento

em toda sua complexidade crescente com o passar dos anos.

No Brasil e em diversos pases o carregamento proveniente da ao do vento sobre uma

determinada edificao tratado, em geral, de forma esttica. Esta hiptese

simplificadora largamente utilizada, pois a anlise considerando o vento como um

carregamento aleatrio e dependente do tempo complexa. De acordo com a norma

brasileira NBR6123 Foras devido ao vento em edificaes (ABNT, 1988), esta

prtica aceitvel para anlise de estruturas com frequncias naturais acima de 1 Hz,

sendo os modelos presentes na norma aplicveis a anlises deste tipo de estrutura.

Para estruturas altas e esbeltas, esta simplificao impede que alguns efeitos dinmicos

importantes sejam analisados, visto que a ao do vento em estruturas um fenmeno

intrinsecamente dinmico. Como exemplo, citam-se as oscilaes excessivas que podem

causar desconforto ao usurio e prejudicar a habitabilidade de edifcios altos. Neste

contexto a norma NBR6118 Projetos de Estruturas de Concreto Procedimento

(ABNT, 2007) indica a verificao do Estado Limite de Servio Vibraes Excessivas

(ELS-VE).

Alm disso, estes efeitos podem provocar deslocamentos maiores que os previstos por

uma anlise esttica, incrementando o valor dos esforos solicitantes, comprometendo,

inclusive, a segurana da estrutura. Em outros casos, uma anlise dinmica pode

conduzir a estruturas mais econmicas do que quelas projetadas com a adoo de

coeficientes de majorao superpostos a anlises com modelos simplificados, evitando

assim a inviabilidade econmica do empreendimento.



O modelo simplificado presente na norma de vento NBR6123 (ABNT, 1988) considera

que a presso do vento pode ser calculada como uma superposio do seu valor mdio

com a amplitude mxima da parcela flutuante. Consequentemente, estes modelos

possuem coeficientes que majoram as aes com o intuito de contemplar de forma

simplificada situaes como o efeito de rajadas isoladas ou sucessivas e a interferncia

das construes situadas na vizinhana da edificao na distribuio das presses de

vento sobre esta.

Segundo Li et al. (2010), existem basicamente trs mtodos para estudar o efeito do

vento em edificaes altas: ensaios em tnel de vento; anlise de dados da estrutura e do

vento coletados em campo; e a utilizao de mtodos numricos para a simulao

computacional do comportamento destas estruturas. O ensaio em tnel de vento, que

consiste em simular a edificao, o ambiente onde ela est inserida e as caractersticas

do vento natural, utiliza modelos em escala reduzida e um mtodo largamente

utilizado em pesquisas e em projetos de grandes estruturas submetidas ao efeito do

vento. A principal desvantagem desse mtodo a dificuldade de reproduzir com

fidelidade as condies de campo como, por exemplo, a intensidade da turbulncia e a

rugosidade do terreno.

A coleta de dados realizada em campo com o uso de acelermetros e anemmetros tem

apresentado resultados confiveis e, com a evoluo dos equipamentos de medio, essa

tcnica tem sido utilizada em grandes projetos, servindo tambm para calibrar os

ensaios em tnel de vento e as anlises computacionais. Apesar de fornecer informaes

precisas, a coleta de dados no um mtodo indicado para a fase de projeto j que h a

necessidade de o edifcio estar totalmente construdo para ser aparelhado, ou seja, na

fase de projeto o engenheiro no conta com essas informaes.

Neste contexto, a simulao computacional de estruturas tem se desenvolvido

rapidamente para avaliao numrica dos efeitos do vento em edifcios altos. Este tipo

de abordagem vem sendo bastante utilizada por engenheiros projetistas pela

possibilidade de submeter a estrutura a uma grande variedade de condies de

carregamento em tempo hbil. Entretanto, segundo Li et al. (2010), sua preciso s

vezes inadequada na predio das presses flutuantes do vento nas superfcies das

edificaes.



1.1. METODOLOGIA UTILIZADA

Neste trabalho o carregamento de vento gerado de duas formas distintas, a saber:

atravs do modelo discreto da NBR6123 (ABNT, 1988) e atravs do Mtodo do Vento

Sinttico. Primeiramente, um prtico plano de dois pavimentos simulado como um

shear building utilizando o programa de lgebra simblica MAPLE 12, e pelo mtodo

dos elementos finitos no programa SAP2000 V10. Em ambos os casos so comparadas

as frequncias naturais e os deslocamentos no topo da estrutura. Esta mesma

metodologia aplicada, em seguida, a uma estrutura tridimensional idealizada de um

edifcio de vinte pavimentos.

Na sequncia, a estrutura de um edifcio real, localizado na cidade de Goinia,

modelada via mtodo dos elementos finitos atravs do programa SAP2000 V10 e por

um modelo matemtico do tipo shear building e, a seguir, submetida ao carregamento

do vento sinttico considerando vrios ngulos de incidncia do vento a fim de

encontrar a situao mais crtica para esta estrutura. So ento avaliadas as frequncias

naturais, os deslocamentos no topo da estrutura, os esforos solicitantes na base dos

pilares e em diversas vigas ao longo da altura do edifcio. Para estabelecer um estudo

comparativo dos referidos parmetros, esta mesma estrutura carregada utilizando o

carregamento proveniente do modelo discreto da NBR6123 (ABNT, 1988).

1.2. MOTIVAO E OBJETIVOS

O estudo dos efeitos de vento em edifcios torna-se necessrio, pois as edificaes esto

cada vez mais altas e os elementos estruturais mais esbeltos. A suscetibilidade destas

estruturas ao carregamento de vento est cada vez maior visto que as frequncias

naturais destas estruturas esto cada vez menores. Portanto, o tratamento do

carregamento de vento como uma carga dinmica torna-se imprescindvel para avaliar

os procedimentos descritos nas normas que tratam o vento como um carregamento

esttico e para obter respostas coerentes com a realidade da estrutura.

Este trabalho tem como objetivo geral analisar uma edificao real localizada na cidade

de Goinia, submetido ao carregamento de vento gerado pelo Mtodo do Vento

Sinttico, utilizando dois modelos matemticos, a saber: o modelo de shear building e o

Mtodo dos Elementos Finitos.



Como objetivos especficos tem-se a utilizao dos mtodos de gerao do

carregamento de vento sendo eles o modelo discreto da NBR6123 (ABNT, 1988) e o

Mtodo do Vento Sinttico. Posteriormente comparam-se os valores de deslocamentos e

de esforos solicitantes nos modelos estudados.

1.3. PLANO DA DISSERTAO

No captulo 2 pretende-se estabelecer a fronteira do conhecimento com a reviso

bibliogrfica.

No captulo 3 so apresentadas as formulaes matemticas dos modelos estruturais

utilizados nas anlises. Apresentam-se as consideraes realizadas ao adotar cada um

dos modelos atravs de exemplos numricos.

Mais adiante, no captulo 4, so definidos os modelos para a gerao do carregamento

de vento que excitar a estrutura em estudo. Inicialmente a teoria aleatria de gerao

de carregamentos e alguns conceitos de probabilidade e estatstica so descritos. Na

sequncia, o carregamento de vento gerado por dois mtodos diferentes, a saber: o

modelo discreto da NBR6123 (ABNT, 1988) e o Mtodo do Vento Sinttico.

No captulo 5 modela-se a estrutura de um edifcio de 47 pavimentos, localizado na

cidade de Goinia, submetida aos esforos de vento, pelo shear building e pelo Mtodo

dos Elementos Finitos utilizando o programa SAP2000 V10, sendo que o vento

modelado a partir do Mtodo do Vento Sinttico. Os valores das frequncias naturais da

estrutura, dos deslocamentos e dos esforos solicitantes so comparados com as

respostas obtidas quando se utiliza o modelo discreto da NBR6123 (ABNT, 1988).

Finalmente no captulo 6 so apresentadas as concluses dos resultados observados nas

anlises anteriores.


CAPTULO 2

REVISO BIBLIOGRFICA

Neste captulo so apresentados alguns estudos e resultados de trabalhos relacionados

ao efeito dinmico do vento em edifcios altos bem como as concluses dos respectivos

autores sobre o objeto de suas pesquisas que direcionam as simulaes numricas e

anlises paramtricas conduzidas no presente trabalho.

Para compreender melhor o comportamento de um edifcio de 70 pavimentos em Hong

Kong durante a passagem do tufo Sally em 1996, Fang et al. (2000) instalaram

equipamentos de medio neste edifcio para obteno de dados como as velocidades,

as aceleraes e as direes do vento.

Segundo Jeary et al.1 apud Fang et al. (2000) as velocidades do vento obtidas utilizando

as prescries da norma de vento de Hong Kong apresentavam distores em relao

aos valores reais colhidos em campo o que estimulou a execuo de vrias medies

para calibragem do modelo presente nesta norma. A partir da anlise espectral e

utilizando transformaes wavelet da acelerao, os autores concluram que a resposta

da estrutura induzida pelo vento est essencialmente relacionada aos dois primeiros

modos de vibrao translacionais e que h um acoplamento entre estes modos de

vibrao. Alm disso, concluram que a intensidade da turbulncia diminui na medida

em que a velocidade do vento no topo do edifcio aumenta.

Carril Jr (2000) investigou numrica e experimentalmente o efeito das foras de vento

em torres metlicas treliadas, avaliando as respostas ressonante e no-ressonante e o

fator resposta de rajada. Para sua pesquisa, o autor primeiramente dimensionou, de

acordo com os padres brasileiros de projeto, uma torre metlica com 100 metros de

altura submetida a carregamentos de vento gerados por quatro mtodos distintos:

Davenport, NBR6123 (ABNT, 1988), Mtodo do Vento Sinttico e Mtodo do Vento

1 Jeary, A. P., Chiu, A. N. L. The importance of Bank of China Building, Hong Kong, to an understanding

of the response to wind of tall building in hilly terrain. Proceedings of International Workshop on

Technology for Hong Kong Infrastructure Development, pp 81-91, 1992.



Sinttico Modificado. O autor concluiu, a partir dos resultados obtidos pelo Mtodo de

Davenport, que a resposta ressonante menos importante que a resposta no-ressonante

embora a torre possusse freqncia natural abaixo de 1 Hz.

Seqencialmente em seu trabalho, Carril Jr (2000) utilizou o modelo discreto da

NBR6123 (ABNT, 1988), que tem por base o processo estatstico de Davenport,

decompondo o deslocamento em uma parcela mdia e outra flutuante. O autor observou

que os valores obtidos com a norma NBR6123 (ABNT, 1988) so diferentes dos valores

obtidos com o modelo de Davenport devido diferena entre os valores das variveis

utilizadas no clculo como, por exemplo, a velocidade mdia do vento que no modelo

de Davenport considerada com seu valor horrio e pela norma NBR6123 (ABNT,

1988) considerada como a mdia em um intervalo de tempo de 10 minutos.

Aplicando o Mtodo do Vento Sinttico para simulao do carregamento aleatrio do

vento, Carril Jr. (2000) concluiu que houve grandes diferenas entre o Mtodo do Vento

Sinttico Modificado e os mtodos de Davenport e da NBR6123 (ABNT, 1988)

propondo a realizao de futuros estudos para verificar a aderncia do mtodo com

outros procedimentos. Entre os valores da resposta mdia encontrados pelo modelo

discreto da NBR6123 (ABNT, 1988) e pelo Mtodo de Davenport a diferena foi de

17%, porm os valores da resposta final foram pouco diferentes entre os dois mtodos.

Para Carril Jr (2000) os motivos para tais diferenas so: a forma de determinao da

amplificao dinmica e a considerao da velocidade mdia como horria e como

mdia em um intervalo de 10s.

Lazanha (2003) desenvolveu um modelo numrico para anlise de estruturas planas

submetidas a um carregamento aleatrio de vento considerando a no-linearidade fsica

do material. A excitao aleatria induzida pelo vento foi simulada pelo Mtodo do

Vento Sinttico utilizando uma funo de densidade espectral de velocidade com o

objetivo de gerar uma srie de funes harmnicas de carregamento.

Com o objetivo de validar o algoritmo desenvolvido em sua pesquisa, Lazanha (2003)

estudou inicialmente um prtico do tipo shear building com um grau de liberdade

submetido a um carregamento harmnico como proposto por Clough e Penzien (1993),

considerando o material como linear e, na sequncia, como no-linear.

Ao comparar a variao dos deslocamentos ao longo do tempo obtidos por Clough;

Penzien (1993) com os resultados obtidos pelo programa ADEEMEV, o autor concluiu



que as respostas foram coincidentes quando o material foi modelado com

comportamento elstico linear e apresentaram respostas ligeiramente diferentes com a

considerao da no-linearidade fsica do material.

Em seguida Lazanha (2003) idealizou uma estrutura de um reservatrio elevado

tambm pelo modelo de prtico tipo shear building admitindo que a massa das paredes

do reservatrio est concentrada no topo do modelo. Para a simulao do carregamento

de vento, o autor utilizou o Mtodo do Vento Sinttico, considerando o comportamento

elstico do material, e concluiu que a resposta tende a assumir um carter praticamente

permanente vibrando com amplitude quase constante. Com a considerao do material

elasto-plstico e o aparecimento e o desaparecimento de rtulas plsticas, foi notado o

acrscimo de um dano cada vez que uma rtula formada e a estrutura no vibra em

torno de apenas uma configurao.

No terceiro exemplo de seu trabalho, Lazanha (2003) estudou um prtico plano de

quinze pavimentos cada um com altura igual a 3,5 metros. O carregamento de vento

tambm foi simulado pelo Mtodo do Vento Sinttico. Com os mesmos procedimentos

do exemplo anterior foram geradas vinte sries de carregamento com ngulos de fase

gerados aleatoriamente. O autor observou que tanto no exemplo com apenas um grau

de liberdade quanto no exemplo com vrios graus de liberdade, o padro de resposta foi

o mesmo e que a alterao dos ngulos de fase, que so gerados aleatoriamente, afeta

mais a resposta da estrutura quando seu material modelado com comportamento

elasto-plstico.

Carpeggiani (2004) estudou a resposta torcional de estruturas submetidas a efeitos

estticos da ao do vento, utilizando modelos reduzidos que foram ensaiados em tnel

de vento. Os resultados obtidos experimentalmente por estes modelos, diferenciados por

suas configuraes arquitetnicas, foram comparados com os obtidos utilizando os

procedimentos para determinao do vento esttico constantes na norma brasileira

NBR6123 (ABNT, 1988), na norma canadense NBCC (1990) e na norma alem DIN-

1055 (1977). O autor analisou ainda o efeito da presena de edificaes vizinhas na

distribuio das presses do vento bem como as alteraes provocadas no

comportamento da estrutura.

Carpeggiani (2004) observou que para todas as situaes nas quais os modelos se

encontravam isolados, os valores dos momentos torores obtidos no ensaio de tnel de

vento foram maiores que os fornecidos pela NBR6123 (ABNT, 1988). J para os casos



nos quais havia edificaes situadas na vizinhana do modelo em estudo, os resultados

experimentais foram menores do que os calculados utilizando a norma brasileira. Em se

tratando da norma canadense os valores do momento toror obtidos com seus

procedimentos foram sempre inferiores aos do ensaio em tnel de vento. Quando os

momentos torores foram determinados utilizando o procedimento da norma alem,

estes apresentaram sempre valores inferiores aos do ensaio experimental com exceo

de um dos modelos analisados. Alterando o ngulo de incidncia do vento, em 67% dos

casos analisados o autor constatou que a fora de arrasto preponderante foi aquela cujos

ngulos de incidncia do vento eram oblquos s faces dos edifcios.

Chen e Kareem (2005) avaliaram o carregamento esttico equivalente de vento que

utilizado em anlises simplificadas. Os autores alertam que a utilizao da carga esttica

equivalente, obtida por meio de uma distribuio de presso similar ao carregamento

mdio de vento, pode conduzir a erros nas respostas obtidas. Uma boa alternativa que

poderia ser incorporadas a muitas normas de vento de vrios pases, segundo Chen e

Kareem (2005), determinar a carga esttica equivalente em funo da resposta

flutuante do vento e da fora de inrcia.

Os autores realizaram um estudo do efeito do carregamento dinmico do vento em

edificaes com sistemas estruturais complexos com centros de massa e centros de

rigidez no coincidentes, o que pode gerar movimentos tridimensionais acoplados. De

acordo com Chen e Kareem (2005), as edificaes com sistemas estruturais mais

complexos podem apresentar frequncias naturais muito prximas o que pode conduzir

a um acoplamento modal tridimensional quando submetidas ao carregamento de vento.

Manfrim e Bertolino (2006) realizaram anlises numricas utilizando o mtodo dos

elementos finitos, por meio do programa ANSYS 9.0, de edifcios industriais cujas

coberturas so do tipo duas guas com inclinao de 15. Nas simulaes numricas os

autores consideraram a interao fluido-estrutura na qual o fluido o ar. Foram

estudadas diferentes geometrias e os coeficientes de presso obtidos foram comparados

com os prescritos na norma NBR6123 (ABNT, 1988). Os autores observaram que os

coeficientes de presso determinados, utilizando o ANSYS 9.0, foram coerentes com os

valores da norma brasileira, apesar de que, para uma relao entre as dimenses em

planta e altura igual a dois, o valor prescrito na norma NBR6123 (ABNT, 1988) foi

17% menor.



Chvez e De Paula (2006) avaliaram os deslocamentos e as aceleraes em edificaes

altas submetidas a presses aleatrias do vento. O edifcio estudado estruturado em

concreto armado com resistncia caracterstica de 35 MPa e com altura de 102 metros

acima do terreno, possuindo dois ncleos estruturais e pilares bastante rgidos nas

fachadas. Os autores utilizaram o programa de elementos finitos ANSYS 9.0 para a

construo dos modelos computacionais e realizaram anlises dinmicas no domnio do

tempo. Os autores adotaram um espectro de vento bem como o Mtodo do Vento

Sinttico para simulao do carregamento de vento, a resposta da estrutura foi obtida

aps uma avaliao estatstica dos resultados.

Os valores dos deslocamentos e das aceleraes obtidos foram comparados com os

calculados utilizando as prescries da norma NBR6123 (ABNT, 1988) avaliando,

ainda, os nveis de conforto dos usurios. A anlise modal por elementos finitos revelou

frequncias naturais discrepantes com o modelo da norma, sendo o valor da frequncia

fundamental do modelo da norma mais de duas vezes superior. Quanto aos

deslocamentos, a diferena entre os dois modelos foi de 0,85% maior pela NBR6123

(ABNT, 1988). Uma grande diferena tambm foi percebida entre os valores das

aceleraes, pois pela simulao por elementos finitos a amplitude da acelerao foi

cerca de dez vezes menor em relao NBR6123 (ABNT, 1988). Os autores atribuem

utilizao de uma equao aproximada para a estimativa da frequncia natural na

NBR6123 (ABNT, 1988) a causa desta discrepncia.

Chvez (2006) analisou a estrutura de um edifcio de concreto armado com 34

pavimentos e 102 metros acima do nvel do terreno. Neste trabalho foram estudados

dois mtodos de clculo da resposta dinmica de estruturas quando submetidas a ao

das rajadas de vento: o Mtodo Simplificado da NBR6123 (ABNT, 1988) e o Mtodo

do Vento Sinttico. A autora avaliou o comportamento da estrutura utilizando o

programa ANSYS. Comparando os valores dos deslocamentos no topo do edifcio

obtido pelos dois mtodos com os valores obtidos pela anlise esttica, percebeu-se que

o resultado do Mtodo do Vento Sinttico apresentou uma diferena de 4,05% a mais

que o da anlise dinmica simplificada e 3,62% a mais que o da anlise esttica.

Comparando as aceleraes em um ponto no topo da estrutura, Chvez (2006) constatou

uma grande discrepncia entre os valores obtidos com a anlise dinmica simplificada e

com o Mtodo do Vento Sinttico. O valor obtido pelo primeiro mtodo que foi 1,21

m/s sugere a necessidade de um reforo substancial na estrutura por estar



excessivamente acima dos limites normativos. Com o Mtodo do Vento Sinttico a

autora concluiu que o valor da acelerao obtido por este mtodo se aproxima da

realidade por estar prximo do limite de 0,1 m/s da NBR6123 (ABNT, 1988). Para os

esforos solicitantes em uma determinada viga a anlise esttica culminou em valores

maiores, cerca de 18%, do que os valores obtidos para a mesma viga pelos dois outros

mtodos.

Kim et al. (2007) investigaram o acrscimo que ocorre na resposta dinmica de

edificaes altas, devido atuao do vento, atravs de ensaios em tnel de vento.

Foram analisadas quatro torres pertencentes ao complexo residencial TPD1 localizado

na Coria do Sul, sendo que uma possua 66 pavimentos, duas possuam 59 pavimentos

e a outra possua 42 pavimentos. O tnel de vento do tipo aberto e os autores mediram

as aceleraes no topo de cada edifcio nas direes longitudinal, transversal e torcional

ao vento. Os autores concluram que, na presena de edificaes vizinhas, o valor root

mean square da acelerao torcional sofreu um acrscimo de 82%, para a acelerao na

direo do fluxo do vento o acrscimo foi de 55% e na direo transversal ao vento o

acrscimo foi de 36%.

Ribeiro (2007) efetuou anlises estticas e dinmicas de cinco torres treliadas estaiadas

de seo quadrada com alturas de 10, 30, 50, 70 e 90 metros e comparou os resultados

obtidos pelos programas computacionais desenvolvidos na pesquisa com os resultados

obtidos com o auxlio do programa de elementos finitos SAP2000.

Primeiramente, o autor conduziu diversas anlises com o carregamento de vento

atuando de forma esttica conforme a norma NBR6123 (ABNT, 1988), procedendo, na

sequncia, a anlise modal de cada uma das torres, objetivando determinar as dez

primeiras frequncias naturais e seus respectivos modos de vibrao. A resposta

dinmica da estrutura foi avaliada considerando o Mtodo do Vento Sinttico para

simulao da parcela flutuante do carregamento de vento em um tempo mximo de

seiscentos segundos. Na anlise esttica linear das torres o autor comparou os

deslocamentos nodais e as reaes de apoio obtidas pelo programa AETEQ (Anlise

Esttica de Torres Estaiadas Quadradas), de sua autoria, com os obtidos pelo programa

SAP2000.

Os deslocamentos nodais e as reaes de apoio no apresentaram diferenas

significativas, cerca de 1%. Ribeiro (2007) realizou anlises modais das torres e

comparou as frequncias naturais obtidas pelo programa FMVTEQ (Anlise Modal de



Torres Estaiadas Quadradas), tambm de sua autoria, que utiliza uma formulao

matemtica no-linear para cabos tensionados, com os resultados do SAP2000.

O autor observou que os resultados das frequncias naturais do programa FMVTEQ

apresentaram valores maiores pelo fato de que a anlise modal no SAP2000 procedida

de forma linear. Para a anlise dinmica o autor comparou os resultados para a torre

estaiada de trinta metros de altura, pois esta a mais adequada por requerer menor

esforo computacional e necessitar, consequentemente, menos tempo de processamento.

O autor comparou os deslocamentos mximos no topo da torre bem como os esforos

axiais mximos nos montantes da base da torre estaiada com os valores obtidos

utilizando o programa SAP2000, concluindo que houve uma boa concordncia entre os

valores.

Chaves (2009) realizou um estudo comparativo entre algumas tipologias de

contraventamento treliado de uma edificao de trinta pavimentos e outra de cinqenta

pavimentos ambas com p-direito de 2,85 metros, simuladas numericamente utilizando

o programa de elementos finitos SAP2000. As estruturas das duas edificaes foram

discretizadas em elementos finitos retos de dois ns que permitem deslocamentos e

deformaes finitas considerando-se apenas a rigidez axial.

Inicialmente Chaves (2009) determinou o carregamento esttico do vento de acordo

com as prescries da norma NBR6123 (ABNT, 1988) e procedeu a uma anlise modal

das estruturas para conhecer suas frequncias naturais e os modos de vibrao. Uma

anlise dinmica linear no domnio do tempo, simulando o carregamento de vento pelo

Mtodo do Vento Sinttico, foi conduzida utilizando os dez primeiros modos vibrao

extrados da anlise modal. Para o edifcio de trinta pavimentos, o autor observou que a

presena de contraventamentos em forma de X, V e V invertido diminuram

consideravelmente o perodo fundamental de vibrao da estrutura, tornando-a mais

rgida. Para o modelo de cinquenta pavimentos o autor observou que a presena do

contraventamento tambm elevou o valor do perodo fundamental da estrutura, porm a

diferena de valores entre os tipos de contraventamento foi menor que no modelo de 30

pavimentos no qual ela foi mais significativa.

Chaves (2009) concluiu que o contraventamento em formato de X foi o mais eficiente

na reduo dos deslocamentos no topo dos edifcios e que para a edificao de

cinquenta pavimentos esta eficincia foi menor, indicando que este tipo de

contraventamento, para edificaes mais altas, pode no ser o mais adequado.



Li et al. (2010) conduziram medies de campo para investigar as vibraes induzidas

pelo vento no maior edifcio do mundo, inteiramente estruturado em concreto armado,

durante a passagem do tufo Damrey em Hong Kong em 2005. Os dados foram

colhidos utilizando anemmetros ultrassnicos e acelermetros de baixa frequncia os

quais forneceram uma base para a estimativa da taxa de amortecimento da estrutura. As

caractersticas dinmicas como frequncias naturais e modos de vibrao foram

comparadas com as obtidas por um modelo discretizado em elementos finitos. Os

autores tambm compararam os deslocamentos e as aceleraes medidos em campo

com os correspondentes valores obtidos pelas prescries da norma de vento de Hong

Kong.

Li et al.(2010) observaram uma diferena significativa de 30% entre a frequncia

natural obtida com as medies em campo e a calculada com o modelo da norma de

vento de Hong Kong. Para a acelerao no topo do edifcio medida na direo do vento,

a diferena foi de 9,6% a mais quando calculada utilizando as prescries normativas da

AS 1170 (Australian Standard for Wind Loads) e, na direo transversal ao vento, esta

diferena foi de 36%. Segundo os autores, as discrepncias supracitadas podem ser

atribudas a vrios fatores como, por exemplo, a interferncia aerodinmica das

edificaes localizadas no entorno do edifcio em estudo que no considerada no

modelo simplificado da norma.

Quanto ao desempenho em servio desta estrutura, as aceleraes medidas em campo e

as aceleraes determinadas pelo modelo discretizado em elementos finitos estavam

abaixo dos valores limites constantes na norma de vento de Hong Kong, propiciando

uma garantia de conforto do usurio em relao a vibraes excessivas.


CAPTULO 3

FORMULAO MATEMTICA

Diversos modelos estruturais matemticos tm sido desenvolvidos para fornecer ao

engenheiro ferramentas que possibilitem a analise das estruturas de forma cada vez mais

precisa. As formulaes matemticas destes modelos tm se tornado cada vez mais

refinadas e complexas devido possibilidade de se utilizar computadores com maior

capacidade de processamento. Como consequncia disto, vm sendo desenvolvidos

programas computacionais que possibilitam realizar anlises estticas e dinmicas de

estruturas com um grande nmero de graus de liberdade.

No presente captulo pretende-se primeiramente apresentar a formulao matemtica

utilizada para anlise dinmica de um modelo de prtico plano com vigas rgidas,

denominado shear building e, na sequncia, descrever a formulao terica envolvida

na modelagem de estruturas pelo mtodo dos elementos finitos.

3.1. PRTICO DE VIGAS RGIDAS - SHEAR BUILDING

Nem sempre o comportamento de estruturas reais pode ser avaliado utilizando um

modelo com apenas um grau de liberdade, o que possvel somente se a estrutura

assumir uma nica forma durante seu movimento. Associada a este fato, a anlise de

uma estrutura como um corpo contnuo exige um procedimento matemtico mais

complexo pelo qual a soluo analtica da estrutura determinada aps a soluo de

suas equaes diferenciais parciais de movimento.

Uma alternativa bastante atraente, segundo Paz (1985), a anlise por meio do modelo

de prtico de vigas rgidas, conhecido como shear building, que facilita a modelagem

de uma estrutura composta por vrios pavimentos, pois reduz a quantidade de graus de

liberdade que ser coincidente com a quantidade de pavimentos da estrutura.

Segundo Paz (1985), a modelagem de uma estrutura como um shear buiding est

embasada em trs hipteses bsicas para que seu comportamento seja corretamente

analisado. Primeiramente assume-se que as massas das vigas, dos pilares e das lajes



referentes a um dos pavimentos estejam concentradas em um nico ponto no nvel deste

pavimento, o que define claramente os graus de liberdade translacionais do modelo

estrutural. Uma segunda hiptese de no haver graus de liberdade rotacionais nos ns

e que as lajes sejam infinitamente rgidas se comparadas rigidez dos pilares. Por fim, a

terceira hiptese imposta que a deformao axial dos pilares desprezada, no

afetando a deformao da estrutura como um todo e garantindo que as lajes

permaneam horizontais durante o movimento.

O modelo shear building, visualizado na Figura 3.1, permite a representao de

estruturas com diversos pavimentos bem como com vos mltiplos. Alternativamente, o

mesmo modelo pode ser representado por um sistema de mltiplas massas conectadas

por molas e amortecedores que representam, respectivamente, a rigidez e o

amortecimento da estrutura, como ilustrado na Figura 3.2 que representa o diagrama de

corpo livre de cada pavimento da Figura 3.1.

Figura 3.1 Representao de um shear building com um vo e trs pavimentos

Partindo do diagrama de corpo livre de cada pavimento da Figura 3.1, o seguinte

sistema de equaes diferenciais ordinrias de movimento pode ser obtido, obedecendo

condio de equilbrio das foras horizontais:

(t)P)x(xk)xx(cxkxcxm 1122122111111

(t)P)x(xkxxc)x(xkxx(cxm 223323312212222 )() (t)P)x(xkxxcxm 323323333 )(

(3.1)



Onde: im , ic , ik e )(tPi so, respectivamente, a massa, o amortecimento, a rigidez e a

fora aplicada do i-simo pavimento; ix , ix , ix so, respectivamente, as aceleraes, as

velocidades e os deslocamentos do i-simo pavimento.

Figura 3.2 Representao com mltiplas massas e molas Paz (1985)

Considerando os pilares biengastados o coeficiente de rigidez k de cada pilar pode ser

calculado como:

3112

LEIk (3.2)

Assim, o sistema de equaes (3.1) pode ser escrito na seguinte forma matricial:

Px Kx Cx M (3.3)

Onde, M a matriz de massa, C a matriz de amortecimento, K a matriz de rigidez,

P o vetor de carregamento, x o vetor das aceleraes, x o vetor das velocidades e

x o vetor dos deslocamentos. Estas matrizes e vetores, para um sistema de trs graus

de liberdade, esto representadas nas equaes (3.4) at (3.8) com exceo da matriz de

amortecimento que ser apresentada na seo 3.1.4.

3

2

1

000000

mm

mM

(3.4)



32

2211

11

0

0

kkkkkk

kkK

(3.5)

3

2

1

xxx

x

(3.6)

3

2

1

xxx

x

(3.7)

3

2

1

xxx

x

(3.8)

As formas genricas das matrizes e vetores apresentados esto apresentadas nas

equaes (3.9) at (3.13) com exceo da matriz de amortecimento que ser apresentada

na seo 3.1.4.

n

i

m

m

mm

m

...0...000.....................0......000.....................0...0...000...0...000...0...00

3

2

1

M

(3.9)

nnn

iiii

kkk

kkkk

kkkkkkkk

kk

11

11

3322

2211

11

...000000......................................................0......000......................................................00...00000...00000...0000

K

(3.10)



nx

xxx

...3

2

1

x (3.11)

nx

xxx

...3

2

1

x

(3.12)

nx

xxx

...3

2

1

x

(3.13)

3.1.1. Anlise da vibrao livre

A anlise da estrutura em vibrao livre fundamental para a determinao das

propriedades dinmicas bsicas da estrutura como a frequncia natural e os modos de

vibrao. Assim, considerando uma estrutura com vrios graus de liberdade, e em

vibrao livre, no-amortecida, o sistema de equaes diferenciais (3.3) pode ser

reescrito conforme a equao 3.14:

0x Kx M (3.14)

Sabendo que a soluo dessa equao diferencial ordinria do tipo )( tsenax ii , e

substituindo esta soluo na equao (3.14) chega-se a um problema de autovalor e

autovetor como mostrado na equao (3.15).

0a M-K )( 2 (3.15)

Onde representa as frequncias naturais e a o vetor das amplitudes dos

deslocamentos.



A resoluo deste problema de autovalor e autovetor fornecem as frequncias naturais

da estrutura bem como os valores das amplitudes que compem a matriz modal,

correspondentes aos modos de vibrao da estrutura.

3.1.2. Matriz Modal e Ortogonalidade entre os modos

Utilizando as frequncias naturais obtidas a partir da soluo do problema de autovalor

e autovetor dado pela equao (3.15) possvel conhecer os modos de vibrao de

acordo com as amplitudes determinadas. Na Figura 3.3 est ilustrado um modo de

vibrao de uma estrutura com a indicao das amplitudes que compem a matriz

modal.

Figura 3.3 Representao de um modo de vibrao de uma estrutura

A matriz modal montada a partir dos i modos de vibrao como na equao (3.16):

nn aaaa 121 ... (3.16)

De forma que substituindo cada modo de vibrao por seus valores, a matriz fica:

nnn

n

aa

aa

............

...

1

111

(3.17)



A propriedade de ortogonalidade entre os modos utilizada para soluo de problemas

dinmicos de vrios graus de liberdade, sendo aplicada matriz das massas e a matriz

das rigidezes. A equao de movimento em vibrao livre pode ser reescrita como na

equao (3.18) (TEDESCO et al., 1999).

aMaK .. 2i (3.18)

Desde que o deslocamento modal possa ser qualquer amplitude, conveniente substituir

a por , para todos os modos. Dessa forma, considerando dois pares distintos de

solues i2, i e j2, j, pode se reescrever a equao (3.18) da seguinte forma:

02 iii MK (3.19)

02 jjj MK (3.20)

Multiplicando os dois lados da equao (3.19) e (3.20) por jT e iT, respectivamente,

tm-se:

02 iTjii

Tj

MK (3.21)

02 jTijj

Ti MK (3.22)

Admitindo que K e M so matrizes simtricas, ento, K=KT e M=MT. Sendo assim, a

equao pode ser transposta e reescrita da seguinte forma a partir da equao (3.22):

02 jTjjj

Tj MK (3.23)

A equao (3.21) pode ser subtrada pela equao (3.23), assim:

0)( 22 iTjji M (3.24)

Para modos com frequncias naturais distintas, i j, necessrio:



0iTj M , sendo i j (3.25)

A equao (3.25) pode ser substituda na equao (3.21), para mostrar que o modo i e o

modo j so tambm ortogonais com relao matriz de rigidez:

0iTj K (3.26)

Sendo que uma matriz normalizada, seguindo a equao (3.27).

M

Tn

(3.27)

3.1.3. Desacoplamento Modal

O desacoplamento modal feito para que o sistema de equaes de uma estrutura de n

graus de liberdade tenha n equaes independentes, ou seja, desacopladas. Esse

desacoplamento feito a partir de uma mudana de varivel, utilizando o vetor q que

corresponde ao deslocamento generalizado como ilustrado na Figura 3.4.

Figura 3.4 Representao do processo de desacoplamento de um sistema

qx qx qx (3.28)

P(t)qKqCqM (3.29)



P(t)qKqCqM TTTT (3.30)

PrqKrqCrqMr (3.31)

Sendo Mr a matriz das massas desacoplada, Cr a matriz dos amortecimentos

desacoplada, Kr a matriz das rigidezes desacoplada e Pr a matriz das cargas externas

desacoplada, dadas por:

MMr T (3.32)

CCr T (3.33)

KKr T (3.34)

Desta forma, utilizando da equao de movimento desacoplada possvel se determinar

o valor de q e, consequentemente, determinar o vetor de deslocamentos x.

3.1.4. Matriz de Amortecimento

Segundo Paz (1985), a considerao do amortecimento em uma anlise dinmica a torna

mais complexa no somente pela adio de termos na equao diferencial de

movimento como tambm pelo fato de o desacoplamento entre as equaes ser possvel

apenas sob certas condies. Para solucionar o sistema de equaes diferenciais as

equaes de movimento foram desacopladas, considerando a propriedade de

ortogonalidade entre os modos de vibrao. A matriz C , portanto, dada pela equao

(3.35).

1 AC T (3.35)

onde a matriz A definida por:



333

222

111

200020002

mm

mA (3.36)

na qual i so as taxas de amortecimento crtico para cada modo de vibrao, mi so as

massas modais.

3.1.5. Rigidezes dos Pilares

Segundo Pozo e Farina (1991), a equao (3.2) no recomendada quando se modela

pilares de grandes dimenses utilizando elementos de barra, pois estes pilares esto

sujeitos a deformaes por cisalhamento. Para esta situao deve-se aplicar as equaes

(3.37) e (3.38), para a determinao dos coeficientes de rigidez corrigidos.

3)1(12

LEIk

(3.37)

212

LGAEI

s

(3.38)

Onde, um fator de correo da rigidez, G o mdulo de elasticidade transversal e As

a rea de cisalhamento que para sees retangulares pode ser determinada pela

equao (3.39).

bhAs 65

(3.39)

Para pilares de pequenas dimenses o fator muito menor que a unidade e, portanto

pode ser desprezado, ou seja, a equao (3.2) pode ser perfeitamente utilizada.

3.1.6. Distribuio do esforo cortante entre os pilares

No modelo shear building, a fora cortante que atua no pilar idealizado que tem rigidez

total relativa soma das rigidezes dos pilares do pavimento. Porm, para se analisar

como o esforo cortante atua em um pavimento necessrio conhecer a carga atuante

em cada um dos pilares.



importante saber se os pilares foram submetidos a cargas maiores que as cargas de

limite de runa calculadas com a equao (3.40) presente na NBR6118 (ABNT, 2007).

Nesta verificao da compresso diagonal do concreto admite-se o modelo I da

NBR6118 (ABNT, 2007) no qual as diagonais de compresso so inclinadas a 45 em

relao ao eixo longitudinal do elemento estrutural. Sendo assim, determinam-se as

foras cortantes atuante em cada um dos pilares na direo da menor inrcia.

wwcdvrd dbfV 22 27,0 (3.40)

250

12 ckv f (3.41)

Onde: fck a resistncia caracterstica do concreto; fcd a resistncia minorada do

concreto, considerando os coeficientes de minorao para aes excepcionais; bw a

base da seo transversal do pilar; dw a distncia da face comprimida armadura

transversal; hw a altura da seo transversal; e, d distncia da armadura transversal

at a face tracionada.

Segundo esse mtodo, a carga atuante em cada um dos pilares dada por uma parcela

oriunda da inrcia translacional e uma parcela fornecida pela inrcia rotacional. O

calculo da fora em cada um dos pilares dado pelas equaes (3.42) e (3.43) conforme

Park e Paulay (1986).

'''ixixix www (3.42)

'''iyiyiy www (3.43)

Onde:

wix, wiy so as participaes do pilar i para resistir a carga lateral externa na direo x e

y, respectivamente;

'ixw , 'iyw so as cargas introduzidas no pilar i pela inrcia devido translao na direo

x e y respectivamente;

''ixw , ''iyw so as cargas introduzidas no pilar i pela inrcia devido toro na direo x e

y, respectivamente;



As cargas introduzidas no pilar pelas translaes 'ixw e 'iyw so determinadas pelas

equaes (3.44) e (3.45), respectivamente, enquanto que, as cargas dependentes das

rotaes, so dadas pelas equaes (3.46) e (3.47), respectivamente.

iy

xiyix I

wIw' (3.44)

ix

yixiy I

wIw' (3.45)

xyiixi

iyiix weIyIx

Iyw

iy

)( 22'' (3.46)

yxiixi

ixiiy weIyIx

Ixwiy

)( 22

'' (3.47)

Onde:

wx, wy so as cargas externas que atuam nos pilares na direo x e y, respectivamente;

Iix, Iiy so os momentos de inrcia do pilar i na direo x e y, respectivamente;

xi, yi so as variaes entre os centros de rigidez, obtidas pela diferena entre as

coordenadas do centro de rigidez de todos os pilares e as coordenadas correspondentes

ao centro de rigidez de cada pilar;

ex, ey so as excentricidades obtidas pela diferena do centro de massa em uma direo

pelo centro de rigidez da mesma direo;

Os valores de xi e yi so determinados com o uso das equaes (3.52) e (3.53), sendo

esses valores a diferena entre o centro de rigidez do pavimento e o centro de rigidez de

cada um dos pilares. Para determinar a excentricidade feita a diferena entre as

coordenadas do centro de massa e do centro de rigidez do pavimento. O centro de massa

e o centro de rigidez do pavimento podem ser determinados pelas equaes (3.48) a

(3.51).

Finalmente, conhecendo as coordenadas do centro de massa e rigidez do pavimento

possvel encontrar as excentricidades como mostrado nas equaes (3.54) a (3.55). A



Figura 3.5 ilustra a determinao das incgnitas necessrias para a obteno dos valores

das foras cortantes em cada um dos pilares.

Figura 3.5 Determinao do centro de massa e centro de rigidez da estrutura

AxA

CMx iix (3.48)

AyA

CMy iiy (3.49)

p

iix

IxI

CRx (3.50)

p

iiy

IyI

CRy (3.51)

ii xCRxx (3.52)

ii yCRyy (3.53)

CRxCMxex (3.54)



CRyCMyey (3.55)

Onde:

Ip o momento de inrcia total de todos os pilares do pavimento;

ix e iy so as coordenadas do centro de rigidez de cada um dos pilares;

A a rea correspondente soma da seo transversal de todos os pilares do pavimento;

Aix, Aiy so as reas da seo transversal do pilar i nas direes x e y, respectivamente;

CMx, CMy so as coordenadas do centro de massa de todos os pilares nas direes x e y,

respectivamente;

CRx, CRy so as

contribuicao ao estudo dos efeitos dos ventos

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