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matematicaconcursos.blogspot.com Professor: Rômulo Garcia

Email: [email protected]

Conteúdo Programático: Problemas envolvendo torneiras e misturas

“Há homens que lutam um dia e são bons. Há outros que lutam um ano e são melhores. Há os que lutam muitos anos, e são muito bons.

Mas há os que lutam toda a vida, esses são os imprescindíveis.”

Bertold Brecht

Estudaremos os clássicos problemas das torneiras. Solicitamos atentar bem para a estrutura que apresentaremos na solução de cada um dos

exercícios resolvidos, pois vários outros problemas poderão ser resolvidos aplicando a mesma estrutura.

Módulo 1 – Torneiras

Exercícios resolvidos 1) Uma torneira enche um tanque em 12 horas; uma outra torneira enche-o em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras no mesmo instante, em quanto tempo ficará cheio?

Em 1h, a 1ª torneira despeja 1

12da capacidade do tanque.

Em 1h, a 2ª torneira despeja 1

15 da capacidade do tanque.

Em 1h, as duas torneiras abertas no mesmo instante, despejarão:

1 1 5 4 9 3

12 15 60 60 20

++ = = =

Para despejarem água até encher o tanque, isto é, para despejarem os 3

20será necessário que fiquem abertas durante:

20 3 20 20

: . 6 40 min20 20 20 3

h= =

Observação: Para o caso de duas torneiras há um método "prático" de resolver (provaremos isso no último exemplo). Basta dividir o produto pela soma

dos tempos que as duas torneiras isoladamente gastam para encher o tanque.

12 15

12 15

x

+ =

180:9

27:9 =

20

3h = 6h 40min.

2) Um reservatório é alimentado por duas torneiras que enchem em 6 horas. Se a primeira, sozinha, enche-o em 10 horas, em quanto tempo a segunda, funcionando só, deixará o reservatório cheio?

Em 1h, as duas torneiras juntas despejarão 1

6 da capacidade do reservatório.

Em 1h, a 1ª torneira, sozinha, despeja 1

10 da capacidade do reservatório.

Em 1h, a 2ª torneira, funcionando só, despejará:

1

6-

1

10=

5 3

30

−=

1

15

Para encher os 15

15 do reservatório, ela levará:

15

15:

1

15=

15

15•

15

1=

15

1= 15 horas.

Observação: Aplicando o método "prático" a solução, no caso, seria: 10.6

10 6−

= 60

4

= 15 horas.

3) Uma caixa d'água contem 3 torneiras. A 1ª despeja 3

84

litros por minuto; a 2ª 3

95

litros por minuto e a 3ª 3

128

litros por minuto. A

capacidade total da caixa d'água é de 6.145 litros. Abrindo-se as 3 torneiras, simultaneamente , em quanto tempo ficará cheia? Em 1 minuto as três torneiras abertas, simultaneamente, despejarão:

38

4 +

39

5 +

312

8 = 8 + 9 + 12 +

3

4 +

3

5 +

3

8

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= 29 + + +30 24 15

40 =

6929

40

=29 40 69+ +

40=

+1.160 69

40=

1.229

40 litros.

O tempo que gastarão para encher a caixa d'água, isto é, para despejar os 6.145 litros é igual a:

4) Quatro torneiras foram instaladas para encher um tanque. A primeira demoraria 15 horas para encher sozinha; a segunda, 20; a terceira, 30 e a quarta, 60 horas. Depois de abrir, simultaneamente, as quatro torneiras e elas ficarem funcionando em conjunto durante 5 horas, fecharam-se as duas primeiras. Quanto tempo demorarão as outras duas para terminar de encher o tanque?

Em 1h, a 1ª torneira encherá 1








Em 1h, as quatro torneiras, juntas encherão:

1

15+

1

20+

1

30+

1

60=

4 3 2 1+ + +

60=

10

60=

1

6 da capacidade do tanque.

Em 5h elas encherão 5 •1

60 =

5


Parte do tanque que faltará para acabar de encher: 6

6-5

6=

1

6

Em 1h as duas torneiras que não foram fechadas, juntas, isto é, a 3ª e a 4ª, despejarão:

1

30+

1

60=

2 1+

60=

3

60=

1

20

Assim, o tempo necessário para que eles acabem de encher o tanque é:

1

6:

1

20=

10

3h = 3h 20min

5) Três fontes correm para um tanque. A primeira e a segunda, correndo simultaneamente, enchem-no em 5

523

h; a primeira e a terceira em

55

7h; a segunda e a terceira em

48

7h. Cada uma das fontes, correndo só, em que tempo encherá o tanque?

Em 1h, a 1ª e a 2ª fontes enchem1 1 23

5 120 1205

23 23

= =

+

do tanque.


5 40 405

7 7

= =

+

do tanque.


4 60 608

7 7

= =

+

do tanque.

6.145: 40

229.1= 6.145 •

1.229

40 = 200 min. = 3h 20min.


Sejam x, y e z os números de horas em que cada uma das fontes, correndo só, enche o tanque. A primeira fonte em 1h encherá 1

x, a segunda

1

y e a

terceira 1

z.

Temos, o seguinte sistema:

1

x +

1

y=

23

120

1

x +

1

z =

7

40

1

y +

1

z =

7

60

Somando membro a membro essas equações, temos:

2

x +

2

y +

2

z =

23

120 +

7

40 +

7

60

2 1

x +

1

y +

1

z =

23 21 14+ +

120

1

x +

1

y +

1

z =

29

120

Subtraindo dessa equação, cada uma das três do sistema, vem:

1

x +

1

y +

1

z -

1

x +

1

y =

29

120 -

23

120

1

x +

1

y +

1

z -

1

x +

1

z =

29

120 -

7

40

1

x +

1

y +

1

z -

1

y +

1

z =

29

120 -

7

60

1

z=

6

120, ou seja, z = 20

1

y =

8

120, ou seja, y = 15

1

x =

15

120, ou seja, x = 8

Portanto, a primeira fonte encherá o tanque em 8 horas; a segunda em 15 e a terceira , em 20.

7) Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

Tomemos V como o volume total do recipiente, assim temos:

A vazão da torneira que enche pode ser dada por:2

v

A vazão da torneira que esvazia pode ser dada por:10

v

Quando abrimos as duas temos a seguinte equação que gera o tempo para tal recipiente fique totalmente cheio:


1 1 1 10 2 18 20 2,5

2 10 2 10 2.10

v v vx x

x x x

−− = ∴ − = ∴ = ∴ = ∴ =

Assim em 2h30min o recipiente estará totalmente cheio.

8) Uma torneira enche um tanque em t hora e uma outra em t’ horas. Estando o mesmo vazio e abrindo-as simultaneamente, em quantos minutos enchê-lo-ão? Tomemos V como o volume total do recipiente, assim temos:

A vazão da primeira torneira pode ser dada por v

t

A vazão da segunda torneira pode ser dada por '

v

t

Quando juntamos as duas temosv

T

Então temos:

1 1 1 ' 1 '

' ' ' '

v v v t t t tT

t t T t t T t t T t t

+ ×+ = ∴ + = ∴ = ∴ =

× +

Então podemos usar tal fórmula para definir o tempo que as duas juntas podem encher o recipiente.

Exercícios:

1. Um tanque é alimentado por duas torneiras. A primeira enche-o em 6 horas e a segunda em 4. Funcionando juntas, quanto tempo levarão para

encher o tanque?

2. Um reservatório tem capacidade de 360 litros de água. Uma torneira o enche em 15 horas e outra o esvazia em 20 horas. Abrindo-se as duas

torneiras ao mesmo tempo, em quantas horas o reservatório ficará cheio?

3. Duas torneiras enchem um reservatório em 15 horas. Sabendo-se que a torneira menos gasta 16 horas a mais que a torneira maior para encher

sozinha o mesmo reservatório, calcular o tempo da torneira menor.

4. Um reservatório de água possui uma torneira capaz de enchê-lo em 4h; possui também, um escoadouro capaz de esvaziá-lo totalmente em 6h.

Estando o reservatório vazio e funcionando juntos a torneia e o escoadouro, em quanto tempo estará cheio?

5. Num reservatório há duas torneiras alimentadoras; a 1ª enche-o em 3h e a 2ª em 6; há, também, um sifão que o esvazia em 12h. Funcionando

conjuntamente as torneiras e o sifão, em quanto tempo o reservatório, suposto vazio, se encherá?

6. Uma caixa d'água é alimentada por 3 torneiras, capaz de enchê-la, respectivamente, em 4, 6 e 18h, havendo um escoadouro contínuo, capaz de

esvaziá-la em 72h. Depois de a 2ª e a 3ª torneiras terem funcionado durante 3h foram fechadas e foi ligada a 1ª durante 1 hora. Em quanto tempo a

caixa d'água ficará vazia?

7. Um reservatório pode ser alimentado por duas torneiras. A 1ª pode enchê-lo em 18 horas e a 2ª , em 15 horas. Abrem-se simultaneamente as duas

torneiras e depois de 5 horas fecha-se a 1ª. Em quanto tempo a 2ª acabará de encher o reservatório?

8. Uma torneira pode encher um reservatório em 9h e outra pode enchê-lo em 12h; se essas duas torneiras funcionam juntas e com elas mais uma

terceira, o reservatório ficaria cheio em 4h. Em quanto tempo a terceira torneira, funcionando sozinha, encheria o reservatório?

9. Um reservatório pode ser alimentado por 2 torneiras: a 1ª, que pode enchê-lo em 10h, ficou aberta durante 3h; a 2ª, que pode enchê-lo em 15h, ficou

aberta durante 2h. Retiraram-se, então, 300 litros d'água e foram abertas as duas torneiras, que encheram o resto do reservatório em 4h. Qual a

capacidade do tanque?

10. O reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira gasta o dobro do tempo da segunda para enchê-lo. As duas torneiras funcionando juntas,

enchem o reservatório em 40 minutos. Determinar o tempo necessário para que cada uma encha o reservatório, funcionando só.

Gabarito

1. 2h 24min.

2. 60 horas.

3. 40 horas.

4. 12 horas.

5. 2h 24min.

6. 62 horas.

7. 5h 50min

8. 18 horas.

9. 3000 litros

10. 1h e 2h.

matematicaconcursos.blogspot.com 1. Uma torneira enche um tanque em 1 hora e uma outra em 3 horas. Estando o mesmo vazio e abrindo-as simultaneamente, em quantos minutos

enchê-lo-ão?

2. Um registro esvazia um tanque em 2 horas e um outro em 4 horas. Estando cheio e abrindo-as simultaneamente, determine o tempo em que o nível

da água atingirá 1

4 do mesmo.

3. Duas torneiras enchem um tanque em 1h 12min. Sabendo-se que uma delas o enche em 2 horas, em quantas horas a outra, separadamente, o

encherá?

4. Uma torneira enche certo tanque em 5 horas e uma outra o esvazia em 3 horas. Supondo o mesmo cheio e abrindo-as simultaneamente, em quanto

tempo (horas e minutos) será esvaziado?

5. Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda em 12 horas. Que fração deste reservatório as

duas encherão em 1 hora?

6. Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. Uma delas, sozinha, enchê-lo-ia em 7 horas. Em quanto tempo a outra, sozinha, encheria o mesmo?

7. Uma torneira enche um tanque em 15 minutos e uma outra em 7 minutos e 30 segundos. Se forem abetas simultaneamente, em quantos minutos

enchê-lo-ão?

8. Uma torneira enche um tanque em 15 horas e uma segunda em 10 horas. Se a primeira for conservada aberta durante 40 minutos e a segunda durante

30 minutos, que fração do tanque ficará cheia?

9. Uma torneira A leva 12 minutos para encher um tanque e uma torneira B leva 18 minutos. Primeiramente abrimos a torneira A, e decorrido algum

tempo, fechamos a torneira A e abrimos a torneira B. Depois de 3 minutos que a torneira B ficou aberta o tanque encheu. Quantos minutos a torneira A

ficou aberta?

10. Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta

durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

11. Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora.Trabalhando juntas, em quanto

tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

12. Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará

completamente cheio ?

Gabarito:

1-45min

2-1h

3-3h

4-7h 30min

5-3

20

6-9h 20min

7-5min

8-7

60

9-10min

10- 17/180

11- 1/6 h ou 10 min

12- 1/4 h ou 15 min

Módulo 2 – Misturas

Neste módulo trabalharemos com misturas de soluções, para tal estudo vamos observar os exemplos.

Exercícios resolvidos 1) Um barril (B) com 40% de uma solução é misturado a outro barril (B’), com 50%, para formar uma solução com 45%. Determine a

razão .

Temos a seguinte equação:


( )30 50 45 30 50 45 45

' ' ' '100 100 100 100 100 100 100

50 45 45 30 5 15' ' ' 3

100 100 100 100 100 100 '

B B B B B B B B

BB B B B B B

B

+ = + ∴ + = + ∴

∴ − = − ∴ = ∴ =

Assim temos que a razão entre B e B’ é igual a 3.

2) Determine quantos litros de um suco de acerola a 5%, que deve ser acrescentado a um suco de laranja a 10%, para obtermos 10 litros de um suco de laranja com acerola a 8%.

Temos as seguintes equações:

5 10 8.10

100 100 100

10

A L

A L

+ =

+ = Resolvendo o sistema temos:

( )5. 10 10 80 50 5 10 80 5 30 6L L L L L L− + = ∴ − + = ∴ = ∴ =

Com isso temos:

4A =

3) Considere-se um soro glicosado a 5% quando para cada 100ml de soro tem-se 5ml de glicose.Com dois soros x e y, respectivamente, glicosados a 5% e 23%, deseja-se obter 3 litros de uma mistura co 8% de glicose. Portanto, necessita-se, em litros, de um volume soro X igual a: a) 2,5 b) 2,3 c) 2,1 d) 2,0 e) 1,8

Temos as seguintes equações:

5% 23% 8%3

3

X Y

X Y

+ =

+ = Então:

5 23 8.3

3

X Y

X Y

+ =

= − Temos:

( )5. 3 23 24 15 5 23 24 18 9 0,5Y Y Y Y Y Y− + = ∴ − + = ∴ = ∴ =

Logo:

2,5X =

4) Uma solução possui 75% de ácido puro. Determinar o número de gramas de ácido puro que deve ser acrescentada a 48 gramas da solução, para que a nova solução contenha 76% de ácido puro.

Podemos escrever que:

75% de 48 = 36

Então temos 36 gramas de ácido puro, adicionando x gramas de ácido temos:

Total:

48 + x

Total de ácido puro:

36 + x

Temos a seguinte equação:

76%.(48 + x) = 36 + x x = 2

Exercícios:

1. Quantos gramas de água devem ser evaporados de 50 gramas de uma solução com 3% de sal, para que a mesma tenha 5% de sal?

2. Quantos litros de uma solução de ácido a 40% devem se misturar com uma solução a 15%, para obtermos 30 litros de uma solução a 20%?

a)4 b)2 c)6 d)7 e)10

3. Uma argila contém 45% de sílica e 10% de água. Determine o percentual de sílica e de argila em uma base seca.

4. Tem-se disponível 60 litros de uma solução com 50% de glicerina e água. Quantos litros de água devem ser acrescentados, para reduzir a

concentração de glicerina a 12%?

5. Um carvão contém 2,4% de água. Após secar, a mistura livre contém 71% de carbono. Determine o percentual de carbono na base molhada.

matematicaconcursos.blogspot.com 6. Em 1 litro existem 75% de álcool e 25% de água. Quantos litros de água devem ser acrescentados à mistura, para obtermos um volume de 45% de

álcool e 55% de água?

7. Numa experiência científica, você está tentando separar açúcar de uma solução, através de aquecimento e evaporação da água. A massa da solução é

2 kg contendo 90% de água e 10% de açúcar. Qual será a massa da solução, se depois de algum tempo você tem 85% de água?

8. Um tanque de 100 litros contém 50 litros de uma solução com 25% de soro. Quantos litros de uma solução com 75% de soro você necessita

acrescentar ao tanque, para obter uma solução com 30% de soro?

9. X litros de uma solução com 20% de ácido puro são misturados com 4 litros de ácido puro, resultando uma nova mistura com 25% de ácido.

Quantos litros do total (X) tinham na solução original, antes que o ácido puro fosse adicionado?

a)15 litros b)24 litros c)60 litros d)80 litros e)95 litros

10. Uma solução contém 20% de cobre e 5% de latão. Quantos gramas de cobre e de latão devem ser misturados a 100 g dessa liga, para produzir outra

liga, contendo 30% de cobre e 10% de latão?

11. O coquetel preferido de João tem 15% de álcool e é uma mistura de tequila e cerveja. No bar, onde pediu que lhe preparasse esse coquetel, a

tequila e a cerveja tinham, respectivamente, 40% e 5% de álcool. Calcule a razão entre os volumes de tequila e cerveja usada nessa mistura.

12. Um químico necessita de 12 litros de uma solução ácida, para um solvente em um laboratório. O lugar de estoque tem 40% de 80% de solução

ácida que o químico necessita, para produzir 50% da solução. Quantos litros da solução a 80% o químico vai necessitar?

13. Uma liga de ouro e cobre contém 9 partes de ouro para 12 de cobre. Outra liga, também de ouro e cobre, tem 60% de ouro. Para se obter uma liga

com 36 gramas em partes iguais de ouro e cobre, devemos tomar das ligas iniciais:

a)12 g da 1ª e 24 g da 2ª; b)24 g da 1ª e 12 g da 2ª; c)8 g cada uma;

d)21 g da 1ª e 15 g da 2ª; e)16 g da 1ª e 20 g da 2ª;

14. Uma loja de jardinagem possui estocada uma solução com 7% de herbicida e outra com 15%. Quantos galões da solução a 7% devem ser

misturados com a solução a 15%, para produzir 40 galões de uma solução a 12%?

a)5 galões b)6 galões c)7 galões d)8 galões e)9 galões

Gabarito: 1. 20 g

2. C

3. 50%

4. 190 L

5. 69,296%

6. 2/3 L

7. 4/3 g

8. 50/9

9. C

10. 17,5 g de cobre e 7,5 g de latão

11. 2/5

12. 8 L

13. D

14. C

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