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Conteúdo

1 INTRODUÇÃO 9

1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Organização da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 COLAPSO PROGRESSIVO 12

2.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Ronan Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Causas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.3 Aspetos técnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.4 Pós-colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Sampoong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Causas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Ponte I-35W Mississipi River . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.1 Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.2 Causas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 LAJES FUNGIFORMES 18

3.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Mecanismo de Rotura por Punçoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Mecanismo de Resistência ao Punçoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Fatores que in�uenciam a resistência ao punçoamento . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Avaliação da resistência ao punçoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 SEGURANÇA ESTRUTURAL 24

4.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Métodos de análise de segurança estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Requisitos de dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3.1 Requisitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Princípios de dimensionamento de estados limites . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4.1 Estados limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4.1.1 Estados limites últimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4.1.2 Estados limites de serviço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4.2 Situações de dimensionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

CONTEÚDO CONTEÚDO

4.5 Princípios de modelação da incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5.1 Variáveis básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.5.2 Tipos de incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6 Modelos descritivos do comportamento físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6.1 Modelos de ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6.2 Modelos de materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6.3 Modelos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6.4 Modelos mecânicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6.4.1 Modelos para a fadiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.7 Fiabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.7.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.7.2 Metodologia para de�nição da �abilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.7.3 Índice de �abilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.7.4 Fiabilidade de um elemento e �abilidade de um sistema . . . . . . . . 31

4.7.5 Método para o cálculo e análise de �abilidade . . . . . . . . . . . . . . 32

4.7.6 Descrição das distribuições de probabilidades utilizadas . . . . . . . . 33

4.7.7 Fiabilidade objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.8 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.8.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.8.2 Quanti�cação da Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 ANÁLISE DETERMINÍSTICA DA SEGURANÇA 38

5.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 De�nição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 Modelo de elementos �nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Modelo dos materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.5 Ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.6 Descrição dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Avaliação da estrutura intacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.7.1 Comportamento Elástico Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.7.2 Comportamento Elastoplástico com Amolecimento . . . . . . . . . . . 45

5.7.3 Comportamento Elastoplástico Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.7.4 Comparações entre os comportamentos estudados . . . . . . . . . . . . 50

5.8 Avaliação da estrutura dani�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.8.1 Ligação ao pilar de canto PC1, dani�cada . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.8.2 Restantes ligações dani�cadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.9 Avaliação da estrutura intacta vs estrutura dani�cada . . . . . . . . . . . . . 63

2

CONTEÚDO CONTEÚDO

6 ANÁLISE PROBABILÍSTICA DA SEGURANÇA 66

6.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.1.1 De�nição do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2 Metodologia empregue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3 De�nição das ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4 Descrição dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Avaliação da estrutura intacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.5.1 Comportamento Elastoplástico Perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.5.2 Comportamento Elastoplástico com Amolecimento . . . . . . . . . . . 69

6.5.3 Comportamento Elástico Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.6 Estrutura dani�cada (Pilar de canto PC1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.7 Análise da robustez das estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7 CONCLUSÃO 74

7.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2 Estudos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bibliogra�a 74

A ARMADURAS SUPERIORES E INFERIORES DA LAJE 78

B RESULTADOS OBTIDOS NAS RESTANTES ESTRUTURAS DANIFI-CADAS 82

B.1 Ligação ao pilar de bordo PB1,1, dani�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.1.1 Comportamento elástico linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.1.2 Comportamento elastoplástico com amolecimento . . . . . . . . . . . . 84

B.1.3 Comportamento elastoplástico perfeito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87









B.4 Ligação ao pilar de bordo PI1,1, dani�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97




3

CONTEÚDO CONTEÚDO

B.5 Ligação ao pilar de bordo PI2,1, dani�cada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102




4

Lista de Figuras

2.1 Esquema da linha de rotura e posicionamento da tubagem de gás . . . . . . . 13

2.2 Torre Ronan Point após colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Pormenor da ligação entre as paredes resistentes e o pavimento . . . . . . . . 13

2.4 Localização do pilar fragilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Escombros do centro comercial Sampoong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Queda de escombros durante o colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Ponte I-35W Mississippi River . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Ponte I-35W Mississippi River . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9 Pormenor de Gusset dani�cado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1 Rotura da laje por punçoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Desenvolvimento das fendas durante o processo de punçoamento . . . . . . . 19

3.3 Mecanismo de resistência ao Punçoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Primeiros perímetros de controlo para áreas carregadas junto a um bordolivre ou a um canto [21] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5 Perímetros de controlo reduzidos para pilares de canto e de bordo [21] . . . . 22

3.6 Distribuição de tensões tangenciais devidas a um momento transferiddo entrea laje e um pilar interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Função estado limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Função probabilidade cumulativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Custo vs. Segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1 Representação da estrutura analisada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.2 Esquema dos pilares analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Comportamento Elástico Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 Comportamentos adotados nas diferentes análises . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.5 Evolução dos esforços nas conexões pilares com a carga aplicada na laje . . . 44

5.6 Deslocamento máximo na laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.7 Evolução dos esforços nos pilares com a carga aplicada na laje . . . . . . . . . 46







5

LISTA DE FIGURAS LISTA DE FIGURAS



5.16 Comportamento da estrutura com o efeito de alavanca . . . . . . . . . . . . . 59


B.1 Evolução dos esforços nas conexões pilares com a carga aplicada na laje . . . 83

B.2 Deslocamento máximo na laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84





























6

Lista de Tabelas

3.1 Valores de κ para áreas carregadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.1 Índice de �abilidade para estados limites últimos . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Índice de �abilidade para estados limites de serviço reversíveis . . . . . . . . . 37

5.1 Coe�cientes parciais majorativos e minorativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Esforços atuantes e resistentes de punçoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Carga de rotura e esforços axiais em cada ligação laje-pilar (a negrito estãoindicados os esforços de punçoamento dos pilares que atingem a rotura) . . . 44

5.4 Gradiente de esforços em cada conexão laje-pilar . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.5 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados osesforços de punçoamento dos pilares que atingem a rotura) . . . . . . . . . . 46

5.6 Gradiente de carga entre cargas de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.7 Cargas de rotura parciais e total e esforços axiais em cada pilar (a negritoestão indicados os esforços de punçoamento dos pilares que atingem a cedência) 48

5.8 Cargas de rotura parciais e total e esforços axiais em cada pilar . . . . . . . . 49

5.9 Relações entre os diferentes modelos analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.10 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados osesforços de punçoamento dos pilares que atingem a cedência) . . . . . . . . . 52

5.11 Variação de esforços entre cargas de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.12 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados osesforços de punçoamento dos pilares que atingem a cedência) . . . . . . . . . 55

5.13 Variação de esforços entre cargas de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.14 short title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.15 Relações entre os diferentes modelos analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.16 short title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.17 short title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.18 short title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1 Modelos de cálculo das ações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 short title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3 short title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4 Probabilidades de falha e índices de �abilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


6.6 short title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71



7

LISTA DE TABELAS LISTA DE TABELAS

6.9 Índice de robustez e margem de segurança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B.1 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento ElásticoLinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

B.2 Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elástico Linear 83

B.3 Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento Elasto-plástico com Amolecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B.4 Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elastoplásticocom Amolecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

















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1INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

Ao longo do tempo as técnicas de dimensionamento e construção de estruturas foram evo-luindo no sentido de melhorar as soluções de problemas recorrentes em engenharia civil.Esse melhoramento deve vir acompanhado de uma especial atenção com fatores ambientaise de qualidade sem nunca descuidar os custos associados. Um dos resultados dessa evoluçãoforam as lajes fungiformes, cujas primeiras patentes foram criadas por Turner (E.U.A. 1907)e Maillart (Suiça) [33], e que apresentam as seguintes vantagens:

� Construção com menor espessura do piso e consequentemente menor custo;

� Tetos planos facilitando não só os processos de cofragem e descofragem mas tambéma instalação de condutas;

� Facilidade de colocação de divisórias;

No entanto, a utilização destes sistemas requer especial atenção no que concerne à:

� Concentração de esforços nos apoios (�exão e punçoamento);

� Concentração de deformação nos apoios e deformabilidade em geral;

� Flexibilidade às ações horizontais.

Existem três metodologias para análise de estruturas: métodos empíricos/analíticos, mé-todos experimentais e métodos numéricos. Os regulamentos existentes, para a análise dopunçoamento, baseiam-se essencialmente em métodos empíricos e analíticos que têm vindoa ser desenvolvidos desde o início do século XX. Contudo a concordância nesta matéria nãoé uma realidade devido ao uso de diferentes parâmetros em diferentes países.

Os ensaios experimentais de punçoamento são dispendiosos e portanto os métodos numéricosde análise, fundamentalmente baseados no método dos elementos �nitos, tornaram-se umaferramenta importante na continuação de recolha de informação e de análise da informaçãojá existente.

No presente estudo, analisa-se o comportamento de lajes fungiformes com o auxilio do mé-todo dos elementos �nitos. Este foca a análise de robustez de uma laje fungiforme atra-vés da introdução localizada de defeitos, sendo a robustez aferida através da comparaçãodo índice de �abilidade. O comportamento da ligação laje-pilar é modelado considerandotrês comportamentos idealizados: elástico linear, elastoplástico perfeito e elastoplástico comamolecimento.

É importante que a realização de uma análise numérica seja acompanha por algum outro tipode análise supracitada, especialmente uma análise experimental, que corrobore os resultadosobtidos.

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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1.2 Objetivos

Esta dissertação de mestrado tem como objetivo de�nir o índice de �abilidade associado àsprobabilidades de rotura total e parcial de uma estrutura dani�cada. A simulação numéricafoi efetuada recorrendo ao programa OPENSEES - software opensource criado no seio doPEER (Paci�c Earthquake Engineering Center). Este programa permite aos utilizadorescriarem estruturas com recurso a elementos �nitos para serem posteriormente analisadas[34].

Com o programa supracitado pretende-se simular diversos cenários, o primeiro pretende re-presentar uma situação em que a estrutura cumpre os requisitos para que foi dimensionadae os restantes pretendem simular estruturas com defeitos em diversas ligações laje-pilar.Para cada uma das estruturas analisadas foram utilizados modelos numéricos. Pretendeu-secom isso entender o comportamento de uma laje fungiforme quando a ligação ao pilar decanto de uma laje fungiforme contém um defeito. Com o estudo desse comportamento épossível, através de um número su�ciente de ensaios, de�nir-se o índice de �abilidade associ-ado às probabilidades de rotura total e parcial da estrutura dani�cada para posteriormentede�nir-se o respetivo fator de redundância que dará a indicação sobre a sua redundância e�abilidade.

1.3 Organização da Dissertação

Em seguida apresenta-se a estrutura desta dissertação, que é constituída por 8 capítulos.

Relativamente ao segundo capítulo são apresentados alguns acidentes originados por umarotura por punçoamento, dando especial relevância à sua capacidade propagativa.

No capítulo terceiro procura-se apresentar uma informação mais detalhada sobre o com-portamento de lajes fungiformes relativamente ao punçoamento. Apresenta-se o mecanismode rotura por punçoamento assim como o mecanismo de resistência ao punçoamento e osfatores que o condicionam. Ainda neste capítulo está patente a forma de como pode seravaliada a resistência ao punçoamento deste tipo de estruturas.

O quarto capítulo pretende descrever de uma forma mais detalhada o conceito de segurançaestrutural. Tendo em conta que durante este documento se fala de modelação numéricaé imprescindível descrever os modelos descritos do comportamento físico e as incertezasassociadas a estes modelos. Em engenharia civil, o termo �segurança estrutural� aparecequase sempre associado ao de �abilidade que é descrito na última secção deste capítulo.Além disso, será apresentado o método de Monte Carlo que será bastante útil especialmentenos últimos capítulos.

No capítulo quinto apresenta-se uma análise determinística da segurança de lajes fungifor-mes. Serão apresentados os modelos numéricos que descrevem as características dos elemen-tos e das ações para serem posteriormente modelados através do programa OPENSEES. Osmodelos podem ser divididos em dois grandes grupos: um grupo, em que a estrutura nãoapresenta qualquer tipo de danos e em que a resistência dos pilares é igual à resistência quefoi dimensionada, e um segundo grupo, em que uma das ligações entre laje-pilar contém umdefeito que impede que desenvolvam a totalidade da sua capacidade resistente.

A análise probabilística da segurança de lajes fungiformes é apresentada no sexto capítulo.Tal como acontecia na secção anterior, serão de�nidos os modelos dos elementos e das ações,só que através de variáveis aleatórias. Posteriormente, usando a metodologia de Monte Carlo,serão avaliadas as probabilidades de rotura para as duas situações consideradas: estruturadani�cada e estrutura não dani�cada.

É no último capítulo que serão apresentadas as conclusões relativamente à análise efetuada,assim como os estudos futuros que se consideram relevantes.

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CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

n

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2COLAPSO PROGRESSIVO

2.1 Generalidades

O colapso progressivo tem tido um papel importante na enfatização de problemas estruturaisde menor dimensão, gerando efeitos catastró�cos quando comparados com a causa inicial.Naturalmente, os acidentes que ocorreram ao longo da história representam bons casos deestudo e de prevenção, por esses motivos, devem ser analisados por forma a evitar novosepisódios desastrosos.

2.2 Ronan Point

Alguns acidentes ao longo dos anos ilustram este acontecimento, como é o caso do colapsoparcial do edifício Ronan Point em Londres, 1968 [7].

Como resposta ao crescimento populacional, os lideres municipais no Reino Unido, numatentativa de �xar os habitantes nos seus municípios, apostam na construção de residênciassociais. Utilizando subsídios disponíveis, que eram distribuídos de forma a incentivar aconstrução de edifícios com mais de cinco andares, esta política social começa a tomar forma,e durante os anos 60, houve um pico na construção de grandes blocos de habitações. Assim,em 1966 inicia-se a construção do edifício Ronan Point, uma torre com vinte e dois andaressituada em Newham, recorrendo a uma técnica conhecida como Large Panel System (LPS)que consiste na fabricação de peças de betão em fábricas especializadas e transportadaspara o local da obra onde são posicionados e montados com recurso a gruas. Uma dasgrandes vantagens desta técnica é a rapidez do processo construtivo que, sendo aproveitada,proporcionou a �nalização do edifício a 11 de Março de 1968.[1]

2.2.1 Colapso

No dia 16 de Maio de 1968, uma explosão devida a uma fuga de gás ocorreu num apartamentolocalizado no canto do 18º piso, tal como indica a �gura 2.1. A intensidade do acidente foisu�ciente para criar uma rotura nas paredes suportantes exteriores deixando sem apoio alaje. A falta destes elementos estruturais fez ceder os quatro apartamentos superiores cujosescombros acabaram por cair e sobrecarregar os pisos imediatamente abaixo. A presençade uma nova sobrecarga, maior do que aquela para que terá sido dimensionada a estrutura,foi condição su�ciente para que os pisos inferiores adjacentes colapsassem, produzindo umefeito em cadeia que acabou por levar à rotura a parte sudoeste do edifício.

Este acidente fez ruir parte da sala de jantar deixando os quartos intactos, à exceção dosapartamentos localizados entre os pisos 17 e 22, tal como indica a �gura 2.2, onde estavam

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CAPÍTULO 2. COLAPSO PROGRESSIVO

Figura 2.1: Esquema da linha de rotura e posicionamento da tubagem de gás

as vítimas mortais (devido à hora, os habitantes desses apartamentos ainda se encontravama dormir) [18].

(a) Vista geral do edifí-cio

(b) Pormenor dos últi-mos pisos

(c) Pormenor do 18º piso

Figura 2.2: Torre Ronan Point após colapso

2.2.2 Causas

Figura 2.3: Pormenor da li-gação entre as paredes resisten-tes e o pavimento

Uma equipa de investigação formada pelo governo chegou à con-clusão que não foi utilizada uma porca de bronze standard parafazer a ligação entre ao painel de parede e o painel de solo.Fazendo testes exaustivos ao tipo de porca utilizada �cou pa-tente que a pequena espessura da �ange e o invulgar ângulodo encaixe (chamfer) diminuíram a sua capacidade resistente(ver �gura 2.3). Por isso, foi assumido que a porca já estariafraturada devido a um aperto excessivo durante a instalação dosistema de gás o que permitiu o escape do gás.

As evidências sugerem que a explosão não foi muito forte, istoporque a residente do apartamento não sofreu danos de audiçãoindicando que a pressão libertada na explosão foi inferior a 69kPa. No entanto, os testes demonstraram que seria su�cienteuma pressão de 21 kPa para mobilizar as paredes exteriores do edifício, uma pressão menosde três vezes inferior à que ocorreu.

A equipa de investigação chegou à conclusão que o colapso progressivo ocorreu devido àfalta de mecanismos de segurança e de caminhos de carga alternativos. Sem um sistemaestrutural os pisos superiores �caram desprovidos de apoio, fracturando-se, despoletando epropagando a destruição até ao piso térreo [18].

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2.2.3 Aspetos técnicos

As investigações supramencionadas também revelaram que ventos fortes ou até mesmo osefeitos provocados por um incêndio seriam su�cientes para causar o colapso progressivo daestrutura.

Os edifícios a serem construídos na altura era projetados com base em códigos com cerca dequinze anos de existência que não tinham em conta os efeitos do vento em edifícios de grandealtura. Além disso, um incêndio poderia impor deformações ao pavimento promovendodeslocamentos ou rotações nas ligações das peças pré-fabricadas [18].

2.2.4 Pós-colapso

Apesar dos notáveis estragos, o edifício foi reconstruido parcialmente usando soluções re-forçadas, no entanto, a simbiose entre os problemas sociais e a diminuta con�ança nascapacidades resistentes do edifício, após a ocorrência do acidente, levaram à sua demoliçãoem 1986.

O desmantelamento do edifício foi feito piso a piso de forma a poderem ser inspecionadas asjuntas entre as peças da laje e as peças da paredes. O relatório da inspeção indica claramenteque as juntas tinham vazios que permitiam a acumulação de lixo, mas o mais preocupanteseriam os ganchos utilizados nas ligações que evidenciavam a negligência durante o processoconstrutivo. A �gura 2.3 indica os principais problemas encontrados.[7]

2.3 Sampoong

Em meados dos anos 80, a Coreia do Sul encontra-se em pleno crescimento tanto a nívelindustrial como a nível de infraestruturas. No entanto, um pico mais acentuado surge quandoSeul é a cidade eleita para organizar os jogos Olímpicos em 1988, dinamizando o comércioe fazendo aumentar signi�cativamente o número de edifícios construídos.

Um grupo de executivos, aproveitando-se do desenvolvimento económico que o país sofria,decide construir um edifício que funcionará como escritórios. Prevendo uma maior fontede rendimento decidem alterar o projeto inicial e transformar o espaço num centro comer-cial com um �uxo de visitantes de cerca de quarenta mil pessoas por dia. A empresa deconstrução decide abandonar o projeto de construção por não concordar com as alteraçõespropostas a nível estrutural, nem com a construção de um novo piso para suster uma pistade patinagem. Ainda assim, os donos da obra decidem avançar com o projeto contratandouma outra empresa. A última alteração no projeto é efetuada quando a pista de patinagemé substituída por um restaurante típico coreano e a construção termina em 1989 [5].

2.3.1 Colapso

O maior acidente em tempo de paz na Coreia do Sul acontece a 29 de Junho de 1995 em Seulquando ao �nal da tarde desse dia o centro comercial Sampoong rui após o aparecimento devárias falhas (�guras 2.5 e 2.6).

Os indícios de que a estabilidade do edifício está fragilizada surgem quando o segurançanoturno informa o gerente que, durante a noite, foram ouvidos ruídos estranhos vindos dacobertura. Nessa mesma manhã foram encontradas �ssuras de grandes dimensões no pilar5E na zona onde tinha sido construído o restaurante.

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Figura 2.4: Localização do pilar fragilizado

Ao longo do dia vários ruídos foramouvidos acompanhados por pequenasvibrações. O gerente, pensando queesses sintomas eram provenientes dosistema de ar-condicionado instaladona cobertura, decide desligá-lo. Porvolta das 16 horas locais, o gerentedecide informar o seu superior do su-cedido até então dando indicações deque as �ssuras no pilar 5E aumenta-ram para cerca de 10 cm desde essamanhã. O engenheiro de estrutu-ras, também presente nessa reuniãoaconselha-o a fechar o centro comer-cial, mesmo assim, o gerente superior

recusa-se. Até à hora do acidente vários sons indiciando um colapso foram ouvidos e igno-rados até que por volta das 18 horas uma vibração violenta é sentida em todo o edifício ea cobertura cai. Os escombros depositados no quinto piso aumentaram substancialmentea carga aplicada fazendo com que este também ruísse. Este processo repetiu-se nos pisossubjacentes e o colapso progressivo deu-se em menos de 20 segundos [6].

2.3.2 Causas

Figura 2.5: Escombros do centrocomercial Sampoong

Após o colapso, foi iniciado um processo de análise das cau-sas do acidente. O primeiro facto que mereceu especial aten-ção foi a construção com recurso a lajes fungiformes conheci-das pela capacidade de suportar cargas sem recurso a vigas,o que condiciona a redistribuição e a retransmissão de car-gas.

Posteriormente foi analisada a zona onde o centro comercialtinha sido fundado e os materiais utilizados. As fundaçõesestavam apoiadas em rocha sólida e não sofreram danos.A composição do betão também foi posta em causa masos resultados das análises mostraram que a qualidade eraadequada, o que levou os peritos a rever os projetos.

Figura 2.6: Queda de escombrosdurante o colapso

Os projetos revelaram grandes problemas a nível estrutural.A conversão num centro comercial, do que tinha sido inicial-mente projetado como um conjunto de escritórios, começoupor ser feita criando várias aberturas nas lajes para a ins-talação de escadas rolantes, criando pontos de fraqueza. Ospilares do piso térreo também foram alterados, tendo sidoreduzido o seu diâmetro de 85 centímetros para cerca de 60centímetros. Além disso, o espaçamento entre pilares era deaproximadamente 11 metros, uma distância excessiva parao tipo de soluções adotadas [6].

Contudo, o quinto piso foi crucial durante o colapso, que, com o peso adicional, sobrecarregousubstancialmente os elementos suportantes (não somente devido à construção propriamentedita, mas também à alteração para uma zona de restauração). Nos restaurantes tradicionaiscoreanos, os clientes sentam-se no chão. Por forma a tornar o ambiente mais confortável, opavimento incorporava um sistema de aquecimento com recurso a tubagens de água quenteaumentando consideravelmente os esforços no pavimento. Somado a todos estes erros, os

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pilares no quinto piso que não estariam alinhados com os subjacentes levando à existênciade zonas com graves problemas de punçoamento [6].

A cobertura, local onde foi instalado o sistema de ar-condicionado, mostrou ter uma espes-sura quatro vezes inferior à requerida.

Apesar de todos os problemas mencionados até então, o que fez despoletar o acidente foia movimentação dos aparelhos de ar condicionado. Como foi previamente mencionado,os aparelhos de ar-condicionado encontravam-se na cobertura para evitar ruídos elevados,mas ainda assim houveram queixas dos donos dos edifícios vizinhos. Por forma a diminuiros ruídos produzidos pelos equipamentos, estes foram arrastados ao longo da coberturapromovendo o aparecimento de fendas de enormes dimensões, não só no pavimento, mastambém no pilar 5E. As constantes vibrações das unidades de ar-condicionado aumentaramas fendas existentes e provocaram uma rotura por punçoamento.

Este foi o incidente que provocou o maior número de mortos (mais de 500) por falha naconstrução/projeto [6].

2.4 Ponte I-35W Mississipi River

Figura 2.7: Ponte I-35W MississippiRiver

A problemática do colapso progressivo não está apenasrelacionada com edifícios. Existem enumeras estruturasque colapsam pelo mesmo processo, sendo exemplo co-nhecido o da ponte I-35W Mississippi River (�gura 2.7).

A ponte, o�cialmente designada por Ponte 9340, surgecom a necessidade de fazer uma ligação entre o centro dacidade de Minneapolis e os grandes centros habitacionaisna periferia. A ponte era composta por catorze vãos queperfaziam cerca de 580 metros. Nove dos catorze vãosforam construídos com recurso a vigas em aço onde as-sentaria o tabuleiro, os três vãos principais foram elaborados através de um sistema treliçadoem aço e os restantes dois eram lajes de betão armado. Sendo o rio Mississippi utilizadopor embarcações, optou-se por não se colocarem pilares no canal de navegação, por isso,para que se vencesse um vão de cerca de 140 metros, o centro da ponte seria construído comrecurso a um arco em treliça que descarregaria os esforços em dois pilares de betão armadoposicionados nas margens do rio. A obra inicia-se em 1964 e termina três anos depois [11].

2.4.1 Colapso

No dia 1 de Agosto de 2007, cerca das dezoito horas, a ponte encontrava-se totalmentepreenchida por automóveis que se seguiam em marcha lenta devido à grande a�uência deveículos. Sem pré-aviso o vão central da ponte cai, seguindo-se uma queda em cadeia dosrestantes vãos (ver �gura 2.8).

2.4.2 Causas

As ligações do vão central aos pilares nas margens do rio foram efetuadas com recurso agussets de aço que seriam determinantes no processo de colapso. A agência de investigaçãodescobriu que estes elementos foram �cando desadequados quando comparados com a cargaatuante na altura do acidente, carga essa que foi aumentando ao longo do tempo provocando

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(a) Vista geral da estru-tura

(b) Pormenor de um dos apoios (c) Pormenor do sistema tre-liçado

Figura 2.8: Ponte I-35W Mississippi River

uma fratura nesses elementos de ligação. Os arquivos de prévias inspeções mostram clara-mente que os gussets já se encontravam corroídos, tal como indica a �gura 2.9, e curvados .Além desses fatores, um erro nos cálculos ou na própria construção indicam que houve umadiminuição na espessura de cerca de treze milímetros, a colocação de 51 milímetros de betãono tabuleiro da ponte aumentando o peso próprio em cerca de 20% e a presença de gelo ematerial de construção no ponto mais fraco da estrutura.[11]

Figura 2.9: Pormenor de Gusset dani�cado

A limpeza dos destroços foi feita rapidamente e uma nova ponte foi construída no mesmolocal da anterior. A nova ponte denominada I-35W Saint Anthony Falls Bridge foi construidaem betão armado e abriu ao público no dia 18 de Setembro de 2008.[27]

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3LAJES FUNGIFORMES

3.1 Generalidades

A utilização de lajes fungiformes tem vindo a tomar uma posição muito relevante na constru-ção civil devido, não somente, às suas vantagens económicas mas também às suas vantagensde carácter funcional. No entanto, a sua aparência simples não é sinónimo de simplicidadecomportamental e a análise de esforços toma outra dimensão com a aparição de esforçoselevados e concentrados nas zonas de apoio. Estes esforços criam fendas, e numa proporçãomaior, levar à rotura parcial da laje. O histórico da investigação de soluções com betão ar-mado evidencia o fenómeno do punçoamento como um dos problemas com maior di�culdadeem termos de dimensionamento de estruturas. Embora a rotura por punçoamento seja umfenómeno localizado, em alguns casos pode dar inicio a uma rotura progressiva e ao colapsototal da estrutura.

3.2 Mecanismo de Rotura por Punçoamento

O punçoamento diz respeito a uma falha gerada por esforços de corte e de �exão distribuídosao longo de uma região da laje na periferia dos pilares. Este mecanismo, de colapso local,está associado, em geral, a uma rotura repentina com ausência de ductilidade - rotura frágil- e é caracterizado pela ocorrência de fendas sem o desenvolvimento prévio de mecanismosde deformação permanente com intensidade apreciável. É a união progressiva dessas microfendas no betão que originam fendas propagativas. No limite do desenvolvimento dessasfendas propagativas dá-se a rotura formando um elemento tronco-cónico.

Este mecanismo pode ser analisado em quatro momentos distintos [20]:

1. Comportamento elástico linear dos materiais: esta fase é caracterizada pela ausênciade fendas no betão e o aço da armadura ordinária está sujeita a tensões muito baixas.

2. Aparecimento de fendas de �exão: surgem as primeiras fendas, na face superior dalaje, tangentes às faces do pilar, tal como indica a �gura 3.2a. Com o incremento dacarga perpendicular ao plano da laje surgem fendas radiais centradas no pilar (�gura3.2b).

3. Aparecimento de fendas de corte: a partir deste ponto deixam de se formar fendasde �exão (radiais e tangenciais), embora as já existentes continuem a sua evolução,aumentando de largura. Esta evolução promove o aparecimento de fendas de corte(circunferenciais) ao longo da espessura da laje que levam à rotura por punçoamento(�gura 3.2c).

18

CAPÍTULO 3. LAJES FUNGIFORMES

4. Separação do sistema pilar-laje (�gura 3.1): o betão da laje sofre uma rotura ao longoda fenda de corte que faz com que a laje se separe em duas partes unidas entre si,somente devido à armadura que atravessa a fenda.

(a) Superfície tronco-cónica (b) Superfície tronco-cónica (pormenor)

Figura 3.1: Rotura da laje por punçoamento

Note-se que, genericamente, estas são as fases que compõem o mecanismo de rotura porpunçoamento e que podem ser facilmente identi�cadas à exceção das fases de aparcimentode fendas em que a transição entre a manifestação de fendas de �exão e de corte pode nãoser tão evidente [20].

(a) Fendas tangenciais (b) Fendas radiais (c) Fendas circunferen-ciais

Figura 3.2: Desenvolvimento das fendas durante o processo de punçoamento

3.3 Mecanismo de Resistência ao Punçoamento

O mecanismo de resistência ao punçoamento, representado na �gura 3.3, pode ser entendidocomo um leque de respostas que a estrutura fornece para contrariar as cargas verticaisque desencadeiam este mecanismo. Estas respostas são dadas através de esforços que sevão gerando na periferia do pilar devido às interações entre materiais (betão-aço e inertes-inertes) e entre a estrutura e as cargas aplicadas. As interações supracitadas podem serclassi�cadas como [3]:

Figura 3.3: Mecanismo de resistência ao Punçoamento

1. Componente vertical da compressão radial.

2. Componente vertical da força de atrito entre os inertes na fenda circunferencial;

19


3. Componente vertical do efeito de ferrolho: Força de corte transferida através dasarmaduras de �exão que atravessam a fenda de punçoamento.

3.4 Fatores que in�uenciam a resistência ao punçoamento

Pela análise de resultados obtidos através de testes experimentais, quer sejam baseados emmodelos físicos ou com recurso ao método dos elementos �nitos, foram evidenciados doisgrandes grupos de propriedades que desempenham um papel fundamental na resistência aopunçoamento [31]:

� Parâmetros geométricos: A este grupo pertencem, por um lado, as dimensões daslajes (espessura, altura útil e vão) e por outro as dimensões e localização dos pilares(esbelteza, pilar interior, pilar de bordo ou pilar de canto);

� Propriedades dos materiais: No que diz respeito às propriedades dos materiais, aresistência à compressão do betão e a resistência à tração do aço da armadura ordinária,da armadura especí�ca de punçoamento ou da armadura de pré-esforço são os fatoresmais importantes.

3.5 Avaliação da resistência ao punçoamento

O punçoamento resulta da aplicação de uma carga numa área relativamente pequena, talcomo acontece no pilares de lajes fungiformes. Nesse caso, a resistência ao punçoamentodeve ser veri�cada na face do pilar e no primeiro perímetro de controlo. No caso de sernecessária uma armadura resistente, deverá determinar-se um outro contorno a partir doqual já não seja necessária armadura de punçoamento. A seguinte secção refere-se a regrasde dimensionamento propostas no Eurocódigo 2 [21].

É condição su�ciente, para estar veri�cada a resistência ao punçoamento, que a tensãoresistente seja superior à tensão atuante no primeiro perímetro de controlo:

vEd ≤ vRd (3.1)

vEd = βVEdu1d

≤ vRd = max

{CRd,c × k × (100× ρl × fck)1/3

0, 035× k2/3fck1/3

(3.2)

Em que:u1- Primeiro perímetro de controlo a uma distância 2d da face do pilar;

β - Coe�ciente que tem em conta a contribuição do momento atuante (β = 1 + κMEd

V Edu1

W 1);

[21]

V Ed- Esforço axial de cálculo de punçoamento;

d - Altura útil da secção transversal da laje;

CRd,c- Coe�ciente que depende do facto parcial relativo ao betão (CRd,c= 0.12);

k - Coe�ciente que depende da altura útil da laje (k = 1 +√

200d ≤ 2, 0 com d em mm);

ρl- Percentagem de armadura longitudinal (ρl =√ρlx × ρly)

ρlx,ρly - Armaduras de tração aderentes nas direções x e y, respetivamente. Estes valoresforam calculados como valores médios numa largura de laje igual à largura do pilar acrescidade 3d para cada lado;

20


W 1 - Calculado para o primeiro perímetro de controlo,

MEd- Valor de cálculo do momento de dimensionamento;

κ - Coe�ciente que depende da relação entre as dimensões do pilar, c1 e c2; o seu valoré função da proporção do momento não equilibrado transmitido por forças de corte nãouniformes e por �exão e torção (ver Tabela 3.1); [21]

f ck- Valor característico da resistência à compressão do betão.

Para uma área carregada localizada junto a um bordo livre ou a um canto, o perímetrode controlo deverá ser considerado conforme representado na �gura 3.4, desde que o seuperímetro (excluindo os bordos livres) seja inferior a u1;

Figura 3.4: Primeiros perímetros de controlo para áreas carregadas junto a um bordo livre ou a um canto[21]

No caso de ligações de pilares de canto, em que a excentricidade é dirigida para o interiorda laje, admite-se que o esforço de punçoamento é uniformemente distribuído ao longo doperímetro de controlo reduzido, u1∗, como de�nido na Figura 3.5. O valor de β poderá serentão considerado a β = u1/u1∗.

No caso de ligações de pilares interiores pode ser utilizado um valor aproximado de β= 1.15.

No caso de ligações de pilares de bordo em que existe excentricidade nas duas direçõesortogonais, β poderá ser determinado pela seguinte expressão:

β =u1

u1∗+ κ

MEd

V Ed

u1

W 1(3.3)

No caso de ligações de pilares de bordo, em que a excentricidade na direção perpendicularao bordo da laje é dirigida para o interior e não há excentricidade na direção paralela aobordo, poderá considerar-se o esforço de punçoamento uniformemente distribuído ao longodo perímetro de controlo, u1∗, como representado na �gura 3.5. [21]

21


Figura 3.5: Perímetros de controlo reduzidos para pilares de canto e de bordo [21]

Tabela 3.1: Valores de κ para áreas carregadas retangulares

c1/c2 ≤0,5 1,0 2,0 ≥3κ 0,45 0,60 0,70 0,8

Figura 3.6: Distribuição de tensões tangenciais devidas a um momento transferiddo entre a laje e um pilarinterior

22


n

23

4SEGURANÇA ESTRUTURAL

4.1 Generalidades

A incerteza, associada ao comportamento de estruturas, advém da utilização de diversosfatores, durante a fase de dimensionamento estrutural, tais como as ações que a estruturaestará sujeita durante toda a sua existência, a geometria, hipóteses simpli�cadas utilizadas,condições ambientais e as propriedades dos materiais utilizados, que não podem ser previstoscom precisão, estando por isso associadas diversas fontes de incerteza. Por esse motivo todasessas variáveis devem ser cuidadas de forma a prever valores não esperados, minimizando orisco associado à incerteza, tendo sempre presente que a segurança absoluta é inexistente.

Em 1971, o Liaison Committee, que coordenava as atividades de cinco associações inter-nacionais no ramo da engenharia civil (CEB, CIB, FIP, IABSE e RILEM), criou o JCSS,(Joint Committee on Structural Safety), com o objetivo de aprofundar o conhecimentos so-bre segurança estrutural. Para isso decidiu criar um modelo que juntasse, de uma formaconsistente, algumas das regras, regulamentos e explicações que são necessárias para o di-mensionamento de estruturas de um ponto de vista probabilístico. Este modelo está descritonum documento, Probabilistic Model Code [22], constituído por três partes:

1. Bases de dimensionamento - aborda os princípios gerais para um dimensionamentoprobabilístico de estruturas;

2. Modelos de Ações - trata, mais detalhadamente, os aspetos relacionados com a descri-ção das ações;

3. Modelos de Resistência - trata, mais detalhadamente, os aspetos relacionados com adescrição das resistências;

Em seguida abordar-se-á cada uma destas secções, tendo sempre presente que este capítulofoi baseado neste documento.

De forma a correlacionar os fatores referidos e o seu impacto ao longo do tempo previsto deutilização, surge o conceito de �abilidade estrutural que pode ser de�nido como a capacidadede uma estrutura ou elemento estrutural veri�car os requisitos de segurança durante a suavida útil. Se se conseguir obter a probabilidade de cumprimento de um desses requisitos,previamente de�nidos, indispensável para que a rotura não aconteça ao longo da vida útil,pode-se então circunscrever a probabilidade de rotura que servirá para de�nir a segurançade uma estrutura de forma probabilística.

24

CAPÍTULO 4. SEGURANÇA ESTRUTURAL

4.2 Métodos de análise de segurança estrutural

De uma forma geral, os métodos de análise da segurança estrutural dividem-se em quatrogrupos tendo em conta a sensibilidade considerada relativamente à variabilidade das açõesou da resistência [37]:

� Métodos de Análise Determinísticos - Consiste na redução da incerteza associada aapenas um coe�ciente de segurança global, assumindo, que esse coe�ciente é su�cientepara representar a inconstância das ações e da resistência. Atualmente considera-seeste método inadequado para representar a realidade principalmente devido à ina-dequabilidade de um único coe�ciente ter a capacidade de traduzir duas grandezastotalmente distintas;

� Métodos de Análise Semí-probabilísticos - O procedimento é praticamente igual aoanterior, a diferença está na substituição de um único coe�ciente global por várioscoe�cientes parciais que advêm da dispersão da respetiva variável aleatória. Note-se que as várias grandezas são todas consideradas independentes ou perfeitamentedependentes entre si. Assim, existirão tantos coe�cientes parciais quantas ações eresistências que serão representadas por valores característicos ou nominais. A normaem vigor em Portugal, Eurocódigo CEN [16], - está baseada neste tipo de métodos;

� Métodos de Análise Probabilísticos Simpli�cados - As variáveis aleatórias são descritasatravés de curvas de densidade de frequência utilizando a sua média e desvio padrão ea relação entre elas através da covariância. Neste tipo de análise a segurança é de�nidaem termos de situações desfavoráveis, de�nidas a partir da função estado limite, quetoma valores positivos, se não for ultrapassado o máximo aceitável, e negativos, nocaso contrário.

� Métodos de Análise Puramente Probabilísticos - Este é o método que trata mais pro-fundamente a temática da variabilidade das grandezas considerando que estas resultamde distribuições estatísticas obtidas através de observações realizadas. O grande en-trave à utilização deste método é o difícil manuseamento da informação.

4.3 Requisitos de dimensionamento

4.3.1 Requisitos básicos

Todos as estruturas e elementos estruturais devem ser projetados, construídos e mantidosdurante a sua vida útil de forma a que sejam adequados às necessidades para os quais foramdimensionados, conferindo-lhes uma dimensão económica real. Tal pode ser conseguido sepreencherem os seguintes requisitos: [22]

� Devem ser ajustados ao uso para o qual foram idealizados (veri�cação dos estadoslimites de serviço).

� Devem resistir a ações extremas e/ou repetidas frequentemente (veri�cação dos estadoslimites últimos).

� Não devem ser dani�cadas por cargas acidentais (fogo, explosões, etc.) numa extensãodesproporcional quando comparadas com o evento causador desse dano (veri�cação darobustez).

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4.4 Princípios de dimensionamento de estados limites

4.4.1 Estados limites

O desempenho estrutural de estruturas, ou de elementos estruturais, deve ser de�nidobaseando-se num conjunto de estados limites que podem ser divididos em duas categoriasapresentadas nas secções adjacentes.

Note-se que a excedência de um estado limite pode ser irreversível ou reversível. No pri-meiro caso, os danos causados irão manter-se até a estrutura ser reparada, enquanto queno segundo, os danos estarão presentes apenas durante a atuação da sua causa, ou seja,assim que a causa dos danos desaparece, a estrutura volta a estar dentro dos pressupostosdo estado limite previamente excedido.

4.4.1.1 Estados limites últimos

Estes estados limites têm em conta as capacidades máximas de carregamento assim como amáxima deformação suportada e podem corresponder às seguintes situações [21]:

� Perda de equilíbrio da estrutura, ou parte desta, considerado como um corpo rígido ;

� Violação da capacidade resistente máxima de secções, elementos ou ligações por roturaou deformação excessiva;

� Rotura de elementos ou ligações casada por efeitos cíclicos instabilizadores (ex. fadiga);

� Alteração do sistema estrutural.

4.4.1.2 Estados limites de serviço

Estes estados limites consideram cargas e deslocamentos mais prováveis durante a vida útilda estrutura que podem corresponder às seguintes situações [21]:

� Danos locais que podem reduzir a durabilidade da estrutura ou afetar a e�ciência e/ouaparência dos elementos;

� Deformações exageradas que afetem a e�ciência e/ou aparência dos elementos e/ouequipamentos;

� Vibrações excessivas que afetem elementos não-estruturais e/ou o funcionamento deequipamentos ou causem desconforto de pessoas.

Se existirem danos permanentes ou existirem deformações permanentes não aceitáveis, aexcedência do estado limite de serviço é irreversível. Caso contrário, a excedência do estadolimite de serviço é reversível. Os limites para este tipo de estados limites devem ser de�nidosde acordo com a utilização da estrutura.

4.4.2 Situações de dimensionamento

As ações, assim como a in�uência do meio ambiente e as propriedades do materiais, podemvariar durante a vida útil da estrutura. Essas variações devem ser tidas em conta atravésde diferentes situações que representem, num determinado intervalo de tempo, limites es-truturais, condições e perigos. De acordo com a sua duração, estas situações podem serclassi�cadas como [21]:

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� Situações persistentes - referem-se a condições normais de uso da estrutura;

� Situações transitórias - referem-se a condições temporárias da estrutura;

� Situações acidentais - referem-se a condições excecionais da estrutura.

4.5 Princípios de modelação da incerteza

4.5.1 Variáveis básicas

O modelo de cálculo para cada estado limite considerado deve conter um número especi�cadode variáveis que descrevam os requisitos que a estrutura deve cumprir, ou seja, quantidadesque o caracterizem, que sejam ações, materiais e geometrias. Estes parâmetros de�nem-secomo variáveis básicas e são responsáveis por transmitir toda a informação para o modelode cálculo.

4.5.2 Tipos de incerteza

As fontes de incerteza no dimensionamento podem resultar, em situações extremas, emdesvios signi�cativos da realidade e condicionar a avaliação da segurança. Essas fontes deincerteza podem ser classi�cadas da seguinte forma [37]:

� Incerteza do modelo - resulta da aproximação do comportamento real da estrutura e/ouações a um ou vários modelos simpli�cados permitindo a análise e o dimensionamento.Esta incerteza pode ser minimizada adicionando um parâmetro de correlação entre asituação real e a simulada.

� Incerteza física ou mecânica - advém da variabilidade das propriedades dos materiaise da geometria, entre outros. Pode ser reduzida recorrendo a bases de dados e a umcontrolo de qualidade, embora não possa ser anulada.

� Incerteza estatística - resulta da interpretação de dados recorrendo a métodos pro-babilísticos para a extrapolação de determinados parâmetros. Esta extrapolação estáassociada à limitação de informação existente.

� Incerteza humana - associa o facto de imperfeição humana durante o dimensionamento,construção e utilização da estrutura. Pretende ter em conta os erros que podem surgirdurante as fases mencionadas, no entanto, devido à sua própria natureza, é bastantedifícil de quanti�car, podendo ser reduzida recorrendo a �scalização.

4.6 Modelos descritivos do comportamento físico

Os modelos de cálculo devem descrever a estrutura e o seu comportamento tendo em conta asações relevantes e as in�uências do ambiente em que a estrutura estará inserida e devem serconsiderados como simpli�cações que têm apenas em conta os fatores decisivos, ignorandoos menos importantes. Normalmente são considerados os seguintes modelos que descrevemo comportamento físico da estrutura:

� Modelos de ações;

� Modelos de materiais;

� Modelos geométricos;

� Modelos mecânicos.

27


4.6.1 Modelos de ações

Um modelo completo que pretenda representar uma ação deve descrever a sua magnitude,posição, direção, duração, etc.

A magnitude g de uma ação pode ser descrita através de dois tipos diferentes de variáveisda seguinte forma:

g = f(g0, F ) (4.1)

em que:

f - função descritiva da magnitude;

g0 - ação básica que varia no tempo e no espaço (aleatoriamente ou não) que é geralmenteindependente da estrutura;

F - variável (aleatória ou não) que pode depender das propriedades da estrutura e quepermite relacionar g com g0.

4.6.2 Modelos de materiais

Para a de�nição de materiais utilizam-se relações entre a tensão e a extensão, ou seja,utilizam-se relações constitutivas. As quantidades que de�nem essas relações são o módulode elasticidade, extensão máxima, tensão última, etc. que normalmente são consideradasvariáveis aleatórias que podem variar do tempo e/ou no espaço e que quase sempre sãorelacionáveis.

4.6.3 Modelos geométricos

Uma estrutura pode, geralmente, ser descrita por um modelo que contém elementos unidi-mensionais (pilares, vigas, etc.), elementos bidimensionais (lajes, paredes, etc.) e elementostridimensionais (sapatas).

Os parâmetros geométricos que são incorporados no modelo dizem respeito a valores no-minais, isto é, dados de desenhos, descrições, etc. De uma forma geral, as quantidadesgeométricas de uma estrutura real diferem dos seus valores nominais, ou seja, a estruturacontém imperfeições geométricas. Se essas imperfeições condicionam o comportamento daestrutura, estas devem ser tidas em conta no modelo (um exemplo ilustrativo destas imper-feições são os efeitos de segunda ordem num pilar).

4.6.4 Modelos mecânicos

Os modelos mecânicos são os que descrevem o comportamento da estrutura quando sujeitaa determinadas ações. Estes podem ser classi�cados em:

� Modelos de resposta estática;

� Modelos de resposta dinâmica;

� Modelos de fadiga;

28


Na esmagadora maioria dos cálculos de dimensionamento assumem-se relações elásticas entreforças ou momentos e deformações. Estas considerações podem variar dependendo do tipoe objetivos dos cálculos embora a mais utilizada seja a relação elástica.

A teoria da elasticidade pode ser vista como uma simpli�cação de uma teoria mais geral epode ser utilizada quando as forças e os momentos estão limitados a valores onde o compor-tamento da estrutura pode ser considerado elástico. No entanto, esta teoria também podeser aplicada noutros casos como uma aproximação conservativa.

Geralmente, uma análise dinâmica utiliza-se se se pretender obter a resposta da estruturaquando submetida a variações de magnitude, posição ou direção das ações. Deve-se terpresente que uma alteração repentina da rigidez ou resistência de um elemento estruturaltambém pode originar um comportamento dinâmico.

Os modelos para uma resposta elástica consistem em:

� modelos de rigidez;

� modelos de amortecimento;

� modelos de inércia.

4.6.4.1 Modelos para a fadiga

Os modelos para a fadiga são utilizados para a descrição de roturas geradas por cargas�utuantes (rotura por fadiga). Existem dois tipos de modelos que podem ser utilizados:

� modelo S-N baseado em ensaios;

� modelo de mecanismos de fratura.

4.7 Fiabilidade

4.7.1 Generalidades

Fiabilidade estrutural é um conceito que pode ser de�nido como a capacidade de uma deter-minada estrutura desempenhar os requisitos funcionais de�nidos sob condições especí�casdurante o período de vida útil para o qual a estrutura é dimensionada. Como �cou patenteanteriormente, a segurança estrutural é um problema probabilístico, e portanto, utilizaro termo �estrutura segura� pode não signi�car que o colapso não advirá, já que a análiseapoia-se em dados cujo valor exato não pode ser conhecido [22].

4.7.2 Metodologia para de�nição da �abilidade

O uso da teoria da �abilidade impõe, para que seja corretamente posta em prática, a de�niçãode quatro grandes aspetos:

� De�nição dos critérios de rotura (requisitos de desempenho) - Estudo das possíveisformas de rotura, para um determinado carregamento considerado, sendo a roturaestrutural entendida como o abandono da função para que uma determinada peça foidimensionada, que pode levar a uma rotura total ou parcial. Deverão também ser tidosem conta as alterações que poderão ocorrer não só durante a fase de utilização mastambém durante a fase de execução, como por exemplo, o armazenamento incorretodos materiais, má vibração do betão, etc.

29


� Determinação do período de tempo em que a estrutura se encontrará em serviço (re-quisitos temporais).

� Determinação da probabilidade de rotura (nível de �abilidade) - Podem ser adotadosdiferentes níveis de �abilidades para diferentes estruturas ou estados limite. A tomadade decisão dos níveis de �abilidade a considerar num determinado problema deve terem conta, essencialmente, fatores de ordem social e económica e a sua relação coma rotura. Alguns fatores que devem ser ponderados na escolha dos níveis mínimosde �abilidade estrutural podem ser: causas e/ou modo como a rotura é atingida,consequências da rotura (económicas e sociais), frequência de utilização da estrutura,exigências políticas, consequências da rotura na opinião publica e custos associados àredução do risco de colapso.

� Condições especí�cas (limitação das incertezas associadas aos potenciais usos e funci-onalidades).

4.7.3 Índice de �abilidade

Sumariamente, pode-se a�rmar que a aplicação da teoria da �abilidade pode ser traduzidaatravés da consideração de duas funções de densidade de probabilidade, sendo que umadelas representa as resistências, R, e a outra o efeito das ações, S. Quando a função querepresenta as ações apresenta valores superiores à função que representa as resistênciasdenomina-se zona de rotura. A distribuição destas variáveis está intimamente relacionadocom três parâmetros essenciais:

1. Tipo de distribuição probabilística - Facto que interfere na forma que as curvas tomam;

2. Valor médio - Valor que in�uencia a distância relativa entre as duas curvas, podendo,deste modo, aumentar ou diminuir a zona de rotura;

3. Desvio Padrão - Montante que intervém na dispersão em torno do valor médio, in�u-enciando também a dimensão da zona de rotura.

Por forma a transformar o conceito de �abilidade estrutural num instrumento mais fácil demanusear, recorre-se ao conceito de função de estado limite g(x). Esta função reúne todasas características das resistências e das ações, combinando-as de tal forma a que permitainterpretar se determinada estrutura veri�ca ou não a segurança. Portanto, a quanti�caçãoda probabilidade de rotura pode ser obtida aplicando a teoria da �abilidade que a�rma quea probabilidade de rotura pode ser de�nida como a probabilidade da função estado limiteassumir valores iguais ou inferiores a zero: [35]

Pf = P (R ≤ S) = P (R− S ≤ 0) = P (Z ≤ 0) = P (g(x) ≤ 0) (4.2)

em que R caracteriza as resistências e S o efeito das ações. A diferença entre estas (R-S )denomina-se margem de segurança (Z). Se as duas variáveis, R e S fossem conhecidas comabsoluta precisão, a estrutura seria segura sempre que Z fosse maior que zero, caso contrário arotura ocorreria. No entanto, estas duas variáveis dependem das propriedades dos materiais,das ações a que a estrutura está sujeita, da geometria, etc., por isso a margem de segurançasó pode ser conhecida totalmente após a construção da estrutura, havendo a necessidade deutilizar métodos probabilísticos que envolvam estas incertezas. Assim denomina-se zona desegurança a região onde a função estado limite assume valores positivos e zona de roturatoda a região da função estado limite que apresente valores nulos ou negativos. A �gura 4.1pretende ilustrar a função estado limite e a posição da região de segurança e de insegurança[33].

30


Figura 4.1: Função estado limite

O modo de quanti�car o conceito de �abilidade foi materializado através de um índice de�abilidade (β), relacionado com a probabilidade de rotura (P f ) por:

β = −Φ−1(Pf ) (4.3)

em que P f representa a probabilidade de rotura e Φ−1 a função inversa da distribuiçãonormal.

A probabilidade P f deve ser calculada com base na distribuição normalizada conjunta dasvariáveis básicas e tendo em conta os formalismos de tratamento da incerteza do modelo eda incerteza estatística. No entanto existem muitas situações em que podem ser utilizadasdistribuições não normais para a caracterização das variáveis aleatórias. [35]

4.7.4 Fiabilidade de um elemento e �abilidade de um sistema

A �abilidade de um componente é a �abilidade de um único elemento estrutural com ummodo dominante de falha.

A �abilidade de um sistema é a �abilidade de um sistema estrutural composto por umnúmero de componentes ou de um único componente que tem vários modos de falha. Deacordo com o tipo de falha os sistemas podem ser classi�cados em:

� Sistemas redundantes: são sistemas onde o comportamento de um dos elementos nãoresulta de uma forma direta na falha da estrutura;

� Sistemas não-redundantes: são sistemas onde a falha local de um componente conduzrapidamente a uma rotura da estrutura.

O dimensionamento probabilístico estrutural está primariamente focado no comportamentode um elemento mas é o comportamento do sistema estrutural o mais preocupante porquenormalmente é o que leva à falha estrutural. No entanto, a probabilidade que o colapso daestrutura aconteça devido à rotura inicial de um componente também deve ser estudada.Assim, é necessário determinar as características do sistema relativamente à tolerância aodano ou robustez no que diz respeito a eventos acidentais. Os requisitos para a determinaçãoda �abilidade de um componente do sistema devem-se basear também nas característicasglobais do sistema.

31


Uma análise probabilística do sistema deve ser realizada para indicar a sua redundância (for-mas alternativas de distribuição de cargas) e o estado e complexidade da estrutura (modosmúltiplos de falha).

4.7.5 Método para o cálculo e análise de �abilidade

O valor numérico da medida de �abilidade deve ser obtido através de um método de calculoe da análise de �abilidade do sistema estrutural. O método escolhido deve ser capaz deproduzir uma análise sensitiva que inclui todos os fatores importantes de parâmetros incertos.A escolha do método deve ser justi�cada através de outro método computacional relevanteou por referencia em literatura apropriado.

Método de Monte Carlo

A probabilidade de rotura de um determinado sistema estrutural pode ser calculada atravésdo método de simulação de Monte Carlo. Esta ferramenta permite a repetição de diversasanálises de dado acontecimento, produzindo vários resultados que após tratamento estatísticoconstituirão a resolução do problema, sempre com um erro associado. A utilização destemétodo permite analisar sistemas mais complexos que de outra forma não seria possível, eassim, um número grande de ocorrências pode ser agrupado de acordo com a propriedade quese deseja analisar e esses grupos serem posteriormente utilizados para descrever o sistemacomo um todo [8].

Metodologia utilizada

A metodologia de aplicação do método de Monte Carlo pode variar, mas tende a seguir umdeterminado padrão descrito em seguida [8]:

� De�nição do problema

Primeiramente há que identi�car todos os modelos utilizados para a descrição da estruturaem análise. Em seguida deve-se de�nir quais os modelos que estão associados a incertezas. Aanálise presente neste documento considera que o modelo geométrico é de�nido baseando-seem valores determinísticos e que os modelos de ações e de materiais são de�nidos baseando-seem valores aleatórios. Nesta primeira etapa também se devem de�nir as variáveis aleató-rias e as suas características probabilísticas, que podem ser descritas através de funções dedensidade de probabilidade. Para a a análise probabilística apenas foram considerados par

� Geração de N conjuntos de valores aleatórios

Quando se completa o primeiro passo devem-se gerar N valores aleatórios para cada parâ-metro aleatório de�nido previamente.

� Avaliação determinística de N modelos

Cada um dos valores gerados anteriormente será utilizado para construir o modelo global doproblema. Tendo em conta que cada conjunto de variáveis aleatórias geradas (utilizadas parade�nir o modelos de ações e o modelos de materiais) associadas ao modelo geométrico formamum modelo global do problema, então tem-se N modelos globais descritivos do sistemaestrutural. Cada um destes modelos globais deve ser analisado de uma forma determinística,fornecendo a informação de que se existiu rotura total ou parcial do sistema.

32


� Analise probabilística dos resultados

Os N resultados obtidos podem ser agrupados de acordo com a característica que se pretendeanalisar, isto é, se houve rotura parcial ou total do sistema estrutural e cada um dos gruposformados pode ser expresso através de probabilidades.

4.7.6 Descrição das distribuições de probabilidades utilizadas

Distribuição normal

A distribuição normal, também conhecida como Distribuição Gaussiana ou de Gauss , per-mite de descrever uma série de fenómenos físicos e �nanceiros e pode ser utilizada na aproxi-mação de fenómenos cujo numero de observações tende para in�nito. Esta a�rmação baseia-se no teorema do limite central que assegura que a soma de um número su�cientementeamplo de variáveis aleatórias independentes, com a mesma distribuição de probabilidade,tende a seguir uma distribuição normal [10]. É caracterizada por moda igual à média e temfunção de densidade de probabilidade igual a:

fx(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 , −∞ < x < +∞, σ > 0 (4.4)

A expressão 4.4 é relativamente complexa e, frequentemente, pode-se recorrer a uma distri-buição normal padrão, Z, desde que seja efetuada a transformação dada pela expressão:

Z =X − µσ

(4.5)

Resultando na seguinte função densidade de probabilidade da distribuição normal padrão:

fx(x) =1√2πe−

x2

2 , −∞ < x < +∞, σ > 0 (4.6)

Sendo uma formula padrão o seu valor é apresentado em tabelas, assim como o valor da suafunção de probabilidade cumulativa.

Em engenharia civil, a distribuição Gaussiana tem uma grande utilização na modelaçãode propriedades de materiais e de ações, como é o caso do peso próprio dos materiais oudo módulo de elasticidade do betão. A sua aplicação está condicionada em determinadosproblemas porque o seu domínio engloba valores que �sicamente não têm signi�cado, porexemplo, não poderá existir �sicamente um módulo de elasticidade do betão negativo.

A distribuição normal tem duas propriedades fundamentais para a análise da �abilidadeestrutural:

� O produto de uma variável aleatória normal por uma constante é uma variável aleatórianormal, isto é:

X ∼ N(µ, σ)⇒ Z = a.X ∼ N(a.µ, k.σ) (4.7)

� A soma de n variáveis aleatórias independentes com distribuição normal, também segueuma distribuição normal. Assim, sejam Xium conjunto de variáveis estatisticamenteindependentes, com média µie desvio padrão σi,resulta:

33


Z = a0 +

n∑i=1

ai.Xi (4.8)

com média e desvio padrão iguais a:

µz = a0 +

n∑i=1

ai.µi

σz =

√n∑i=1

a2i .σ

2i

(4.9)

Neste documento, a distribuição de Gauss foi utilizada para de�nir a resistência à compressãodo betão, o peso próprio da estrutura e as restantes cargas permanentes.

Distribuição exponencial

Este tipo de distribuição pode ser aplicada a dados com forte assimetria e representada porum único parâmetro λ. A respetiva função densidade de probabilidade é dada por:

fx(x) =

{λe−λx, x ≥ 0,

0, x ≤ 0.(4.10)

e a função distribuição acumulada:

Fx(x) =

{1− e−λx, x ≥ 0,

0, x ≤ 0.(4.11)

(a) Função probabilidade cumu-lativa de uma variável aleatóriacontínua

(b) Função probabilidade cumu-lativa de uma variável aleatóriadiscreta

Figura 4.2: Função probabilidade cumulativa

Repare-se que existe uma família de distribuições exponenciais, e não apenas uma, comin�nitos parâmetros λ caracterizadas pela esperança, E[X], e pela variância, Var[X]:

E[X] =1

λ(4.12)

V ar[X] =1

λ2(4.13)

Esta distribuição estatística possui a propriedade da falta de memória, isto é, a probabilidadesobre a ocorrência de valores de uma variável aleatória não é afetada pelo conhecimento daocorrência de valores anteriores, ou seja:

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P (X > s+ t|X > s) = P (X > t)∀s, t ≥ 0 (4.14)

A distribuição exponencial foi utilizada para de�nir os valores aleatórios da sobrecarga naestrutura.

A precisão do método de calculo da �abilidade está ligado à sensibilidade na de�nição dasdimensões estruturais e das propriedades dos materiais.

4.7.7 Fiabilidade objetivo

Em termos da teoria da �abilidade o critério de risco aceitável corresponde a um mínimode�nido como �abilidade alvo. Os requisitos para a segurança de uma estrutura são por issoexpressos em função do mínimo indicie de �abilidade aceitável ou máxima probabilidade defalha aceitável.

Numa análise racional a �abilidade alvo pode ser considerada como um parâmetro que podeser otimizado. O propósito de um engenheiro é obter uma estrutura que cumpra os requisitospara o qual foi prevista associando-lhe o menor custo possível. Se a este custo se adicionaro custo de falha, obtém-se uma probabilidade de rotura que está associada ao menor custototal. Este tipo de análise, denominada análise de risco, é fundamental em grandes projetostais como plataformas o�-shore ou centrais nucleares. Se se considerar o custo medido pelorisco, então facilmente chega-se à conclusão que a estrutura ideal é a de menor custo total,como apresentado na �gura 4.3.

Figura 4.3: Custo vs. Segurança

A principal di�culdade desta metodologia prende-se com a de�nição de custo de falha, já queé necessário contabilizar perdas de vidas humanas, custos de reconstrução e custos sociais epolíticos.

Numa aproximação prática a �abilidade requerida para um tipo de estruturas pode sercontrolado por:

� Um número de suposições acerca da garantia da qualidade e da qualidade das medidasde supervisão;

� Requisitos de probabilidade de rotura, condicionadas por essas suposições, de�nidaspor valores-objectivo para as diversas classes de estruturas e componentes estruturais.

Os níveis e �abilidade mínimos serão representados nas tabelas seguintes, normalizadosatravés e processos de otimização e considerando que as estruturas sofrerão processos demanutenção ou reparação. [35]

35


Estados limites últimos

Os valores na tabela 4.1 resultam de uma análise baseada na relação custo vs. benefício.Tabela 4.1: Índice de �abilidade para estados limites últimos

Custo relativo dasmedidas desegurança

Consequênciasreduzidas

Consequênciasmoderadas

Consequências graves

Elevado β=3.1 (P f≈10−3) β=3.3 (P f≈10−4) β=3.7 (P f≈10−4)

Normal β=3.7 (P f≈10−4) β=4.2 (P f≈10−5) β=4.4 (P f≈5×10−6)

Reduzido β=4.2 (P f≈10−5) β=4.4 (P f≈10−6) β=4.7 (P f≈10−6)

Também pode ser feita uma análise baseada na análise de risco onde se de�ne um coe�cienteρ que é de�nido através do quociente ente o custo total (custo da construção e custos defalha) e os custos da construção:

� Classe 1 - Consequências reduzidas (ρ < 2) - O risco de perda de vidas humanas éreduzido assim como as consequências económicas (por exemplo, estruturas agrícolas,silos, etc.);

� Classe 2 - Consequências moderadas (2≤ ρ <5) - O risco de perda de vidas humanasé médio ou as consequências económicas são consideráveis (por exemplo, escritórios,apartamentos etc.);

� Classe 3 - Consequências elevadas (5≤ ρ ≤10) - O risco de perda de vidas huma-nas e levado ou as consequências económicas são signi�cativas (por exemplo, pontes,hospitais, etc.)

Se ρ for maior que 10 as consequências resultantes podem ser extremas e uma análise decusto vs. benefício mais extensa é recomendada. A conclusão pode ser que a estrutura nãotem condições para ser construída.

O projetista também deve ter especial atenção ao facto de que as consequências dependemdo tipo de rotura da estrutura que pode ser:

� Rotura dúctil com capacidade de absorção de incrementos de carga;

� Rotura dúctil sem capacidade de absorção de incrementos de carga:

� Rotura frágil.

Consequentemente um elemento estrutural com uma rotura repentina (comportamento frá-gil) deve ser utilizado em conjunto com um maior nível de �abilidade enquanto que elementosestruturais com um comportamento dúctil devem ser adotados em estruturas com menoresíndices de �abilidade de forma a evitar consequências mais representativas.

Estados limites de serviço

Quando se tenta de�nir os níveis de �abilidade pretendidos para os estados limite de serviçoé importante distinguirem-se entre estado limite reversível e irreversível. Para o primeirocaso, encontra-se na tabela 4.2 os valores mínimos do índice de �abilidade (com uma variaçãode 0.3). Para estados limites de serviço irreversíveis não são conhecidos valores.

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Tabela 4.2: Índice de �abilidade para estados limites de serviço reversíveis

Custo relativo dasmedidas desegurança

Consequências reduzidas

Elevado β=1.3 (P f≈10−1)

Normal β=1.7 (P f≈5×10−2)

Reduzido β=2.3 (P f≈10−2)

4.8 Robustez

4.8.1 Generalidades

A robustez de�ne a capacidade da estrutura em suster danos localizados, sem consequênciasdesproporcionadas [23]. Esta de�nição é bastante geral, não dando informação sobre ade�nição de um estado aceitável de robustez porque a sua quanti�cação é ainda desconhecida.

4.8.2 Quanti�cação da Robustez

Sendo a robustez considerada uma propriedade estrutural, existe a necessidade de a quanti�-car. Os métodos de análise baseados em normativas não descrevem na totalidade o problemada robustez de estruturas, no entanto foram apresentadas diversas metodologias, baseadasem análises probabilísticas, que pretendem aprofundar esse conhecimento.Neste documentoserá mencionado o modelo apresentado por Lind [30]. Este modelo propõe o cálculo doíndice de robustez através da análise da redundância dos sistemas. Assim, será consideradoum fator que mede a redundância de um sistema, baseado no aumento da probabilidadede falha resultante da ocorrência de um determinado dano. O fator de robustez proposto éapresentado pela seguinte expressão:

Irob = Φ−1

(PintactPdamaged

)(4.15)

em que Pintact corresponde à probabilidade de falha do sistema intacto e Pdamaged corres-ponde à probabilidade de falha do sistema dani�cado. Os valores de Irob podem variar entreum e in�nito, sendo que valores maiores indicam uma maior robustez.

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5ANÁLISE DETERMINÍSTICA DA

SEGURANÇA

5.1 Generalidades

A análise apresentada pretende estudar o comportamento de uma estrutura composta poruma laje fungiforme e as ligações aos pilares. Nesta secção serão apresentados e analisadosdiferentes resultados considerando que as propriedades dos materiais e ações são conhecidase não estão associados a qualquer incerteza.

5.2 De�nição do problema

A estrutura resistente é composta por 20 pilares com secção transversal quadrada de 0,5×0,5m2 com 3 metros de altura, encastrados na base, quatro dos quais de canto, dez de bordoe os restantes interiores onde se apoia a laje de dimensões 0,23×24×18 m3. Os vãos entrepilares é de 6m.

Figura 5.1: Representação da estrutura analisada

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CAPÍTULO 5. ANÁLISE DETERMINÍSTICA DA SEGURANÇA

Figura 5.2: Esquema dos pilares analisados

5.3 Modelo de elementos �nitos

Para a análise do problema recorreram-se a modelos planos, utilizando o programa de cálculoOPENSEES, de�nidos da seguinte forma:

� Lajes - modeladas através de elementos �nitos de casca (Shell) com 0,5 m de lado eespessura igual a 0,23 m perfazendo um total de 1728 elementos;

� Pilares - os pilares modelados recorrendo a vinte elementos sem dimensão (zerolength),um por cada pilar, de�nidos por dois pontos com a mesma posição. Estes pontos estãoligados através de múltiplos materiais uniaxiais (três para representar a relação força-deformação segundo as três direções e três para de�nir a relação momento-curvaturano caso dos dois momentos segundo duas direções e um momento torsor).

5.4 Modelo dos materiais

Tendo em conta que o pretendido é analisar o comportamento da estrutura quando asligações aos pilares têm algum defeito, atribuir-se-á à laje um comportamento elástico linearsem limite de tensão. O seu comportamento é representado na �gura 5.3 onde se evidenciao módulo de Young igual a 30 GPa. Além disso, considerou-se um coe�ciente de Poissonigual a 0,2.

Figura 5.3: Comportamento Elástico Linear

Para as ligações laje-pilar foram utilizados três modelos diferentes, dependendo da situaçãoque se pretende analisar. Cada modelo pretende representar um tipo de ligação que pode sermais ou menos frágil dependendo da quantidade de armadura resistente ao punçoamento.Assim, uma ligação laje-pilar em que a quantidade de armadura seja abundante terá umcomportamento mais dúctil, representado pelo modelo constitutivo elastoplástico perfeito.Se a quantidade de armadura for menor, o seu comportamento também será afetado porque

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com uma percentagem de armadura menor a rotura total ocorrerá para menores desloca-mentos dando à ligação um comportamento menos dúctil que o primeiro mencionado. Noentanto se a quantidade de armadura resistente ao punçoamento for inexistente ou bastantereduzida a rotura por punçoamento dar-se-á sem que os deslocamentos no perímetro de con-trolo sejam tão signi�cativos como nos restantes modelos e, a melhor relação constitutivaque representa esse cenário é a elástica perfeita.

� Material Elastoplástico Perfeito

O diagrama tensão-deformação de um material elastoplástico perfeito é apresentado na Fi-gura 5.4a. A curva apresentada descreve um ramo inicial, linear, descrito pela relação EA/L= 2.5 GN/m (em que E corresponde ao módulo de elasticidade do betão que é igual a 30MPa, A que é constante e igual a 0.25 m2 e diz respeito à área dos pilares e L é o comprimentodos pilares, que neste caso se considerou 3m), onde a extensão é proporcional à deformaçãoaté que atinge a máxima capacidade de carga (σ+,σ-), e um segundo troço de reta ondea extensão aumenta sem o aumento da carga (tramo plástico). Este tramo distingue-se doprimeiro porque produz deformações permanentes.

� Material Elástico Linear

Este modelo constitutivo coincide com o primeiro tramo do material supracitado. A grandediferença está na ausência total de ductilicade, ou seja, a rotura ocorre para uma extensãoigual à máxima deformação proporcional (�gura 5.4b).

� Material Elastoplástico com Amolecimento

A curva apresentada na �gura 5.4c mostra a relação constitutiva de um material elasto-plástico com amolecimento. Nesta �gura podem distinguir-se três regiões com propriedadesdiferentes. Uma primeira região com um comportamento elástico não linear até se atingira capacidade máxima de carga (σ-) com uma extensão εu1=|εu2|. Depois pode-se observarum fenómeno conhecido como amolecimento, ou seja, perda de capacidade de carga com oaumento da extensão. Por �m segue-se um comportamento plástico, isto é, um aumento daextensão com aplicação de carga constante.

(a) Comportamento elasto-plástico perfeito

(b) Comportamento ElásticoLinear

(c) Comportamento Elasto-plástico com Amolecimento

Figura 5.4: Comportamentos adotados nas diferentes análises

Para representar esta relação entre momentos e as respetivas curvaturas foi utilizado apenasum modelo linear em todos os casos analisados. Para os momentos �etores essa relaçãoé descrita por um tramo linear com um declive igual à rigidez de �exão (EI = 156.260MN.m2). O momento torsor é descrito por um comportamento similar mas onde a relaçãoentre o momento torsor e a sua rotação é dada pelo módulo de rigidez de torção (GJ =109.145 MN.m2).

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5.5 Ações

As ações foram estabelecidas tendo em atenção, nomeadamente, os Eurocódigo EN 1990e EN 1991. Foram tidas em conta apenas ações com a mesma direção da da gravidadeaplicadas em cada vértice do elemento de casca, considerando:

� Peso Próprio - PP 25 kN/m3

� Restantes cargas permanentes - RCP 3 kN/m2

� Sobrecarga - SC 3 kN/m2

A sobrecarga considerada no cálculo é as estipuladas na EN 1991 para a categoria B (escri-tórios).

Os coe�cientes parciais aplicados às ações têm os seguintes valores:

Tabela 5.1: Coe�cientes parciais majorativos e minorativos

Ações Efeito favorável Efeito desfavorável

PermanentesPP 1,35 1,00RCP 1,35 1,00

Variáveis SC 1,50 0,00

5.6 Descrição dos modelos

Os resultados apresentados na próxima secção foram obtidos através de simulações recor-rendo aos programas SAP2000 e OPENSEES. O programa SAP2000 foi utilizado apenaspara o dimensionamento da estrutura e como termo de comparação com os resultados obti-dos no programa de análise não-linear OPENSEES.

A estrutura foi dimensionada de acordo com as indicações do Eurocódigo EN 1992 e que fo-ram descritas na secção 3.5. Calcularam-se os esforços, auxiliando-se do programa SAP2000,e as armaduras longitudinais que veri�cavam os estados limites últimos da laje. O projetodas armaduras longitudinais da laje é apresentado no Anexo A. Estas foram projetadas pararesistir aos momentos �etores que surgem pela interação dos esforços com a laje. Para algunspilares, a armadura longitudinal calculada considerando apenas a �exão não era su�cientepara que a resistência ao punçoamento fosse veri�cada, donde foi necessário incrementaresta armadura como se apresenta na tabela 5.2.

Os valores obtidos na tabela 5.2 foram considerados como a resistência das ligações laje-pilar nos modelos descritos nas secções 5.3 e 5.4. Seguidamente utilizou-se o programaOPENSEES para realizar uma análise incremental da modelo. Para os modelos com com-portamento elastoplástico perfeito e elastoplástico com amolecimento foi considerada aná-lise por incrementos de deslocamento. No caso do comportamento elástico linear perfeitoconsiderou-se um análise por incrementos de carga, devido a di�culdades de convergênciaquando se utiliza controlo de deslocamentos.

As restrições nos apoios foram aplicadas na análise através do comando Plain. Este co-mando apenas permite manusear restrições �xas, num único ponto ou em diversos pontos.Isto signi�ca que as restrições não permitem deslocamentos ou rotações relativas. Por essemotivo, a matriz de restrição é igual à matriz identidade. Por forma a construir um sistemaesparso de equações simétrico, que utiliza o método row-oriented solution para a obtenção

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dos resultados, foi utilizado o comando SparseSYM . Este método permite a resolução dosistema de equações, através da utilização de submatrizes, tornando a solução mais rápida.

Através do comando LoadControl de�niu-se que a análise da estrutura seria efetuada comcontrolo dos deslocamentos, isto é incrementando carga de 1 N/m2. Quando se utilizacontrolo de deslocamentos, utiliza-se o comando DisplacementControl com incrementos va-riáveis.

O algoritmo utilizado para a resolução das equações lineares foi o algoritmo de Newton-Rapson. Este método é o mais utilizado para a resolução de algébricas não lineares.

Por forma a veri�car a convergência do método em cada iteração foi utilizado o teste in-cremental de energia que utiliza o produto escalar entre o vetor da solução e a norma doparte direita da matriz de equações para determinar se a convergência foi alcançada. Osigni�cado físico dessa quantidade depende se a análise foi efetuada através do controlo dedeslocamentos ou de cargas. A convergência é veri�cada sempre que o sistema é equilibrado.

Existem dois critérios para de de�nir se houve um colapso, quer seja parcial, quer sejatotal. O colapso local de uma ligação laje-pilar é atingido quando não forem cumpridas ascaracterísticas apresentadas na secção 5.4. A laje como tem um comportamento elásticolinear, considerar-se-á que não colapsa. O colapso total é considerado quando não houvercapacidade de absorção de esforços por parte de mais nenhuma ligação.

Foram considerados dois cenários correspondentes à estrutura intacta e assumindo a exis-tência de defeitos que reduzem a resistência dos pilares. No primeiro caso considerou-se quetodos os pilares tinham a totalidade da capacidade resistente ao punçoamento realizando-se três análises em que o comportamento das ligações da laje às colunas foi consideradoelastoplástico perfeito, elastoplástico com amolecimento e elástico linear. Para a estruturadani�cada considerou-se que um dos pilares da estrutura tinha um defeito que lhe reduziapara metade a sua capacidade resistente, resultado, por exemplo, de uma construção defeitu-osa ou de um dimensionamento mal efetuado. Sabendo que o modelo em estudo é constituídopor 20 pilares e tem dois eixos de simetria (segundo o eixo xx e o eixo yy) basta analisar seispilares com defeito e estarão contemplados todos os casos de estudo deste modelo (ver �gura5.2). Além disso a análise estrutural foi realizada considerando cada modelo constitutivo(modelo elastoplástico perfeito, elástico linear e elastoplástico com amolecimento).

5.7 Avaliação da estrutura intacta

Nesta secção são apresentados os resultados para o modelo intacto. Aqui pretende-se fazeruma análise da estrutura, em que todas as ligações laje-pilar se apresentam sem defeitos,com as diferentes relações explicitadas anteriormente. Serão apresentadas tabelas

5.7.1 Comportamento Elástico Linear

Na tabela 5.3 são apresentados os esforços atuantes nas ligações laje-pilar associados a umaanálise elástica linear. Pode a�rmar-se que os restantes modelos constitutivos são iguais aeste na fase inicial e que este comportamento é o mais frágil dos supramencionados. Nestecenário dá-se o colapso progressivo de toda a estrutura após a rotura do primeiro grupo deligações, PB2,i, que atingem a rotura quando a carga aplicada na laje é de 15.359 kN/m2.

Como se viu, a ligação que atinge a sua capacidade máxima resistente, para uma carga nalaje de 15.359 kN/m2, é a ligação ao pilar PB2,i, mas também é evidente que as ligações

42


Tabela

5.2:Esforçosatuanteseresistentesdepunçoam

ento

Pilar

Perím

etro

decontrolo

u1[m

]

Perím

etro

decontrolo

redu

zido

u1∗[m]

Coe�cienteque

tem

emcontaa

contribu

ição

domom

ento

atuante

β

Esforço

Normal

atuantenos

pilares

NEd[kN]

Tensãoatuante

noperím

etro

decontrolo

vEd[kPa]

Coe�ciente

quedepende

daaltura

útilda

laje

k

Arm

adura

longitud

inal

segund

ox

ρlx

Canto

1.631

1.128

1.443

112

496

20.0042

Bordo

12.757

2.257

1.252

264

600

20.0066

Bordo

22.757

2.257

1.222

239

530

20.0058

Bordo

32.757

2.257

1.258

260

593

20.0070

Interior

14.513

-1.150

700

892

20.0213

Interior

24.513

-1.150

612

780

20.0154

Pilar

Arm

adura

longitud

inal

segund

oy

ρly

Arm

adura

longitud

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total

ρl

Tensão

resistente

noperím

etro

decontrolo

vRd[kPa]

Esforço

depu

nçoamento

resistente

VRd[kN]

Canto

0.0042

0.0042

526.768

119

Bordo

10.0063

0.0065

606.545

267

Bordo

20.0032

0.0043

530.638

240

Bordo

30.0064

0.0067

614.742

270

Interior

10.0213

0.0213

903.538

709

Interior

20.0155

0.0154

810.548

636

43


aos pilares de bordo adjacentes, PB1,i, tendo um esforço atuante de 239 kN, estão bastanteperto de atingirem a sua capacidade máxima resistente que é igual a 240 kN. Com isto,pode-se constatar que o colapso progressivo está iminente: se as ligações aos pilares PB2,i

atingirem a rotura, basta apenas que as conexões aos pilares de bordo adjacentes aumentemcerca de 2.5% os esforços nas suas ligações para que estes também atinjam o colapso e assimsucessivamente até à rotura total da estrutura. Esta constatação indica que, se a estruturaestiver intacta, ocorrendo a rotura de uma ligação, não existe a possibilidade de haver umaredistribuição de esforços que equilibre a carga aplicada na laje, ou seja, o colapso total éde�nido pelo colapso da primeira ligação a romper.Tabela 5.3: Carga de rotura e esforços axiais em cada ligação laje-pilar (a negrito estão indicados osesforços de punçoamento dos pilares que atingem a rotura)

Carga[kN/m2]Esforço de Punçoamento [kN]

PB2,i PB1,i PC,i PB3,i PI1,i PI2,i

15.359 240 260 109 257 626 574

A �gura 5.5 ilustra a relação entre a carga aplicada na laje e os esforços atuantes nas conexõesaos pilares. Este grá�co mostra a existência de três grupos bastante distintos: o grupo dasligações com esforços atuantes maiores, que são as ligações interiores, o grupo das ligações aospilares de bordo, que apresentam valores de esforços axiais atuantes intermédios e o grupodas ligações de canto que apresentam um valor de esforço axial menor. Outra diferençadestes três grupos, para além da capacidade resistente, reside na absorção de esforços como aumento de carga distribuída, onde se pode veri�car que as ligações interiores absorvemmais rapidamente os incrementos de carga distribuída que as conexões aos pilares de bordoou de canto, como se apresenta na Tabela 5.4.

Figura 5.5: Evolução dos esforços nas conexões pilares com a carga aplicada na laje

Tabela 5.4: Gradiente de esforços em cada conexão laje-pilar

Intervalo deCargas [kN/m2]

∆N∆q -Variação dos esforços por unidade de carga aplicada

PB2,i PB1,i PB3,i PC,i PI1,i PI2,i

0 a 15.359 +15.6 +17.0 +16.8.8 +7.1 +40.8 +37.5

Na �gura 5.6 está representada a evolução dos pontos com maiores deslocamentos na laje.A �gura mostra que o deslocamento varia linearmente com a carga aplicada, sendo o deslo-camento último igual a 5.9×10−3m. Por cada incremento de carga de 1kN/m2, estes pontos,têm uma variação de 3.8×10−4 m. Deve-se ter em atenção que os deslocamentos medidossão obtidos em função do modelo comportamental da laje, dependendo essencialmente das

44


suas relações constitutivas, em particular da relação momento �etor vs. curvatura, por issoquando a laje tem um outro comportamento estes deslocamentos também serão outros.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]

Deformação -∆L [m]

Figura 5.6: Deslocamento máximo na laje

Se se de�nir como índice de redundância o quociente entre a carga de rotura de toda aestrutura e a carga de rotura da primeira ligação laje-pilar, neste caso, seria igual a 1porque a carga última é igual à carga de rotura da primeira ligação pilar-laje.

5.7.2 Comportamento Elastoplástico com Amolecimento

Este comportamento pretende representar uma ligação entre os pilares e a laje com umamaior ductilidade, relativamente ao comportamento analisado na secção anterior. Por isso,os resultados presentes na tabela 5.5 evidenciam que, mesmo durante o processo de amoleci-mento da primeira ligação laje-pilar a atingir o valor máximo de resistência ao punçoamento,existe a capacidade de redistribuição de esforços para as restantes ligações que ainda nãoatingiram 100% da sua capacidade resistente.

Até ser atingida uma carga distribuída igual a 15.4 kN/m2, o comportamento da laje e da sualigação aos pilares é similar ao modelo elástico linear, cujos resultados foram apresentadosna secção anterior. A partir desse valor inicia-se o processo de amolecimento das ligaçõesaos pilares PB2,i - redução da capacidade da capacidade resistente com o aumento de cargana laje. No entanto, os incrementos de carga podem ser absorvidos pelas restantes ligações,mas, quando se atinge uma carga de 15.6 kN/m2 as ligações adjacentes (ligações aos pilaresPB1,i) também atingem ao seu valor máximo resistente, o que signi�ca que também irãoiniciar o processo de amolecimento. Basta apenas um incremento de 150 N/m2 para quesejam as ligações aos pilares de canto a atingir o seu valor máximo e, tal como nos restantespilares, iniciar o processo de amolecimento. Quando as três ligações supracitadas estão asofrer um processo de redução do valor da resistência a estrutura deixa de ter capacidadede suportar aumentos de carga.

Esta tabela também reforça a constatação apresentada no capitulo anterior, isto é, se nestecaso basta uma redução de 2.6 kN na resistência ao punçoamento da ligação aos pilaresPB2,i para que as ligações aos pilares de bordo adjacentes, PB1,i, atinjam a sua capacidadesuportante máxima, no caso em que o comportamento é elástico linear, se as ligações aospilares PB2,i deixam de funcionar, existe o fenómeno de colapso progressivo porque a reduçãoé de 239.5 kN (muito maior que 2.6 kN).

45


Tabela 5.5: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados os esforços depunçoamento dos pilares que atingem a rotura)



15.359 239.5 261.6 258.4 109.2 626.9 576.5

15.633 236.9 267.1 262.1 110.5 635.8 588.7

15.639 234.7 264.8 269.5 112.0 638.1 591.3

15.744 222.2 254.4 259.7 118.89 652.3 607.8

Na �gura 5.7 apresenta-se a relação entre a carga aplicada e os esforços nos pilares. Estascurvas indicam primeiramente um aumento linear dos esforços até carga aplicada na lajeser igual a 15.359 kN/m2, tal como acontecia com o modelo elástico linear. Entre 15.359kN/m2 e 15.633 kN/m2a variação também é linear mas mais rápida, isto é, há uma maiorvariação de esforços com o aumento da carga distribuída. A partir de 15.639 kN/m2, eporque existem dois grupos de ligações em cedência, os esforços nos pilares que estão nafase elástica aumentam muito rapidamente devido ao facto de já estarem duas ligações noprocesso de amolecimento invés de apenas uma. Também é interessante veri�car que ocolapso total acontece antes que as ligações atinjam o patamar plástico.

Figura 5.7: Evolução dos esforços nos pilares com a carga aplicada na laje

Em termos de deslocamentos, a �gura 5.8, que representa o deslocamento vertical máxima dalaje com o aumento progressivo de carga, evidencia que enquanto as conexões aos pilares seencontram na fase linear a sua variação é idêntica à apresentada na �gura 5.6. Mesmo depoisdas primeiras ligações entrarem em cedência, o deslocamento máximo continua a variar namesma proporção. No entanto, existe uma variação brusca no deslocamento máximo quandoo terceiro grupo de conexões entra em cedência, conferindo à estrutura um comportamentomais dúctil, ou seja, o deslocamento último é 7.140×10−3m, cerca de 21.594% maior que nocaso em que as ligações têm um comportamento elástico linear.

46


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



Para complementar a informação supracitada, é apresentada em seguida uma tabela com avariação de esforços em cada uma das situações analisadas. A partir de 15.633 kN/m2 já secomeçam a veri�car gradientes bastante altos quando comparados com os iniciais.

Tabela 5.6: Gradiente de carga entre cargas de rotura


∆N∆q -Variação dos esforços por unidade de Carga aplicada


0 a 15.359 +15.593 +17.032 +16.825 +7.111 +40.814 +37.534

15.359 a 15.633 -9.591 +19.996 +13.602 +5.007 +32.734 +44.577

15.633 a 15.639 -416.333 -381.167 +1226.500 +213.500 +377.333 +425.000

15.639 a 15.744 -116.210 -98.752 -93.429 +65.619 +135.676 +157.600

Se as ligações entre os pilares e a laje tiverem um comportamento deste tipo o índice deredundância será 1.025, mostrando apenas um aumento de 0.025 relativamente ao com-portamento elástico linear. Para comportamentos deste tipo, o índice de redundância dasestruturas pode ser aumentado se o processo de amolecimento for mais lento que o con-siderado neste documento. Quando se de�niu o comportamento elastoplástico com amo-lecimento considerou-se que o processo de amolecimento terminaria quando a capacidaderesistente diminuísse até 50% e o deslocamento correspondente fosse 3×10−2. Se se conside-rar o deslocamento �nal deste processo maior, mais tardiamente entrarão em amolecimentooutras ligações e, no limite em que esse deslocamento tende para in�nito o comportamentoelastoplástico com amolecimento tende para o comportamento elastoplástico perfeito.

5.7.3 Comportamento Elastoplástico Perfeito

Este comportamento pretende representar uma ligação entre os pilares e a laje com a maiorductilidade dos três cenários analisados. Por isso, os resultados presentes na tabela 5.7evidenciam que, mesmo durante o algumas ligações tenham atingido o valor máximo de re-sistência ao punçoamento, existe a capacidade de redistribuição de esforços para as restantesligações que ainda não atingiram 100% da sua capacidade resistente.

Como se pode veri�car pela a análise da tabela 5.7 o primeiro grupo de conexões aos pilaresa atingir o patamar plástico são as posicionadas segundo os maiores lados da laje, maisconcretamente as ligações entre a laje e os pilares PB2,i. Para que tal aconteça é necessário

47


que a carga aplicada na laje seja igual a 15.359 kN/m2. Com um incremento de carga nalaje igual a 0.289 kN/m2 dá-se a rotura das ligações aos pilares de bordo adjacentes, PB1,i,que atingem o patamar de cedência quando a carga aplicada na laje é igual a 15.648 kN/m2.O próximo grupo de ligações a entrar em cedência é o grupo das ligações aos pilares de cantoPC,i, que ocorre para uma carga uniformemente distribuída na laje igual a 16.195 kN/m2,ao contrário do que acontecia com o comportamento elastoplástico com amolecimento emque o terceiro grupo de ligações a ceder seriam aquelas posicionadas sobre os pilares PB3,i.Note-se que a maior diferença de carga entre plasti�cação de pilares de grupos diferentesocorre entre os pilares PB1,i e PC,i sendo igual a 0.547 kN/m2. Com o progressivo aumento decarga, até 16.228 kN/m2, a estrutura periférica suportante da laje atinge a totalidade da suacapacidade resistente com a plasti�cação dos pilares de bordo situados nos lados menores dalaje. A partir deste momento, com o aumento da tensão sobre a laje, as únicas possibilidadesque existem para absorção de esforços encontram-se nos pilares interiores sendo o grupo PI1,i

a ceder, para uma carga igual a 16.677 kN/m2, e posteriormente os pilares PI2,i para umacarga igual a 16.690 kN/m2 com a consequente rotura do sistema.

Aqui realça-se um acontecimento que até este ponto não foi possível veri�car: até 16.228kN/m2, os resultados obtidos poderiam indicar que seriam as ligações aos pilares PI1,ias ulti-mas a atingir a cedência, porque a diferença entre o valor atuante e o valor de punçoamentoresistente é maior, no entanto, após a plasti�cação das ligações entre a laje e os pilarespresentes no bordo menor, PB3,i, os pilares PI1,i têm 5 das 8 ligações adjacentes na faseplástica, enquanto que apenas 3 das 8 ligações adjacentes aos pilares interiores PI2,iestãona cedência. Este cenário signi�ca que as ligações adjacentes aos pilares PI2,i, sendo umnúmero maior na fase elástica, poderão suportar mais incrementos de carga, fazendo comque as ligações aos pilares PI2,i tenham um gradiente de carga menor. Esta é a explicaçãoque dá a resposta ao facto dos pilares PI1,i plasti�carem primeiro que os pilares PI2,i.

Dos três comportamentos analisados para as diferentes ligações, é neste caso que a estru-tura apresenta uma maior capacidade de absorção de cargas. Isto signi�ca que a estruturacomposta por ligações deste tipo sofre o colapso total da estrutura para cargas aplicadasna laje superiores veri�cando-se um aumento de 8.7% de carga suportada relativamente aocomportamento elástico linear e 6.0% relativamente ao comportamento elastoplástico comamolecimento.

Tabela 5.7: Cargas de rotura parciais e total e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados osesforços de punçoamento dos pilares que atingem a cedência)



15.359 239.491 260.390 108.75 257.187 625.593 574.198

15.648 239.491 267.078 110.598 261.939 637.007 587.205

16.195 239.491 267.078 118.872 268.721 666.549 616.152

16.228 239.491 267.078 118.872 269.505 668.465 617.904

16.677 239.491 267.078 118.872 269.505 709.202 633.298

16.690 239.491 267.078 118.872 269.505 709.202 636.213

A �gura 5.9 corresponde à representação grá�ca da tabela 5.7. Estas curvas indicam pri-meiramente um aumento linear dos esforços até carga aplicada na laje ser igual a 15.359kN/m2, tal como acontecia com o modelo elástico linear. No entanto até 16.228 kN/m2, eapesar dos pilares PB2,i, PB1,ie PC,i já terem atingido o patamar plástico, o comportamentodas restantes ligações mantém-se similar com apenas pequenas alterações. É apenas quandose começa a dar a plasti�cação das ligações mais afastadas dos bordos maiores que as altera-ções mais signi�cativas ocorrem, ou seja, estas ligações começam a suportar incrementos de

48


esforços bastante maiores, progredindo a estrutura mais rapidamente para o colapso total.


A partir do momento em que o primeiro grupo de ligações atinge o patamar plástico começama existir alterações nas distribuições de esforços fazendo com que as ligações mais próximasdaquelas que já plasti�caram absorvam maiores esforços para o mesmo incremento de carga eas menos próximas sofram uma diminuição do gradiente de esforços. Para valores superioresa 16.228 kN/m2existem variações de esforços por unidade de carga aplicada bastante maiores.

Tabela 5.8: Cargas de rotura parciais e total e esforços axiais em cada pilar


∆N∆q

-Variação dos esforços por unidade de carga aplicada


0 a15.359 15.593 16.954 7.081 16.745 40.731 37.385

15.359 a 15.648 0 23.142 6.394 16.443 39.495 45.007

15.648 a 16.195 0 0 15.126 12.399 54.007 52.920

16.195 a 16.228 0 0 0 23.758 58.061 53.091

16.228 a 16.677 0 0 0 0 90.728 34.285

16.677 a 16.690 0 0 0 0 0 224.231

Na �gura 5.10 está representada a evolução dos deslocamentos máximos da laje em funçãoda carga aplicada. A �gura mostra que o deslocamento varia linearmente com a cargaaplicada, enquanto o comportamento das ligações é elástico linear, sendo o deslocamentoúltimo igual a 1.011×10−2m, o que signi�ca que este é o cenário que oferece à estruturauma maior ductilidade, para a mesma capacidade de absorção. A diferença é de 172.173%relativamente ao cenário em que o comportamento é elástico linear e 141.597% relativamenteao cenário em que o comportamento das conexões aos pilares segue uma relação constitutivado tipo elastoplástico com amolecimento.

49


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



Se as ligações entre os pilares e a laje tiverem um comportamento elastoplástico perfeito oíndice de redundância será 1.087, mostrando um aumento de 0.087 relativamente ao com-portamento elástico linear. Para comportamentos deste tipo, o índice de redundância dasestruturas não pode ser aumentado sem que sejam aumentados os valores resistentes aopunçoamento.

5.7.4 Comparações entre os comportamentos estudados

A tabela 5.9 compara os resultados obtidos nas secções anteriores onde se pode observar quea resistência da estrutura é praticamente a mesma qualquer que seja a relação constitutivanas ligações já que a diferença entre as cargas de rotura é de apenas 385 N/m2. A maiordiferença diz respeito ao modelo que descreve um comportamento elastoplástico onde severi�cou um aumento de 8.7% da capacidade resistente. Em todos os casos apresentadosdá-se o colapso progressivo da estrutura, quando a carga última é atingida, de uma formasimétrica, segundo os dois eixos de simetria que a estrutura apresenta. Embora as diferençasentre resistências sejam pequenas, no caso dos deslocamentos da laje estas já são substanciaspois, por exemplo o deslocamento último é 21.6% maior caso em que o comportamento dasligações é do tipo elastoplástico perfeito quando se compara com o comportamento elásticolinear.

Tabela 5.9: Relações entre os diferentes modelos analisados

Comportamentodas ligações

Carga de roturada primeira ligação

laje-pilar - q1[kN/m2]

Carga última - qu[kN/m2]

Índice deredundância - qu

q1

[%]

Elástico Linear 15.359 15.359 100.000

ElastoplásticoPerfeito

15.359 15.744 102.507

Elastoplástico comamolecimento

15.359 16.690 108.666

Os resultados apresentados nas secções prévias também deixam claros os fatores que in�u-enciam o desenvolvimento da estrutura ao punçoamento:

� Posição dos pilares - A posição dos pilares é importante para de�nir o tramo elásticolinear das ligações. Como se pôde ver nas �guras 5.9, 5.7 e 5.5, o primeiro declive diz

50


respeito ao quociente entre os esforços nas ligações aos pilares e a carga distribuídaaplicada na laje. Mas como a variação dos esforços nas ligações é função da posiçãodos pilares, então, a posição dos pilares é o que de�ne a variação dos esforços.

� Esforço resistente ao punçoamento - Este parâmetro serve apenas para de�nir o �naldo comportamento elástico da estrutura. Quanto maior for o valor da resistência aopunçoamento mais tarde se terminará a fase elástica.

� O comprimento do troço não elástico - Este valor de�ne se o comportamento pós-elástico é também signi�cativo. Como se viu no modelo constituído pelo modelo elas-toplástico linear, não foi atingido o �nal do patamar de amolecimento, indicando umaredução máxima, nas ligações aos pilares PB2,i, de 36.2% do valor máximo resistenteao punçoamento. Por isso, para valores de amolecimento iguais ou superiores a 36.2%não é necessário ter um patamar plástico porque este nunca será atingido.

� Inclinação do troço não elástico - Esta inclinação de�ne o comportamento pós elástico,isto é, quanto menor for o ângulo α, maior será o deslocamento vertical nas ligaçõesconferindo uma maior ductilidade nestas ligações. Além disso, este valor, tambémpode in�uenciar na ordem de rotura das ligações. No caso extremo em que α é igual azero, não só temos o valor máximo de ductilidade como também não existirá o processode amolecimento, sendo o patamar pós elástico totalmente plástico.

Note-se ainda que, para além destes parâmetros apresentados, as relações constitutivas dasligações durante a fase elástica tem implicações no deslocamento vertical da estrutura, talcomo as relações constitutivas dos próprios painéis de laje. Além disso existem outros parâ-metros associados à própria laje, que saem fora do âmbito deste trabalho, que in�uenciamtambém o comportamento global da estrutura, como sejam o módulo de elasticidade da laje,o espaçamento entre pilares, etc..

5.8 Avaliação da estrutura dani�cada

Nesta secção pretende-se avaliar a estrutura quando alguma das ligações laje-pilar apresentaalgum defeito devido a, por exemplo, uma construção defeituosa ou a um dimensionamentomal efetuado. A partir deste ponto serão estudados seis das vinte ligações existentes na laje.

São considerados seis cenários de dano, correspondentes à redução da resistência ao punço-amento da ligação laje-pilar para 50% do seu valor de dimensionamento. Os seis cenárioscorrespondem a danos nos pilares PC1, PB1,1, PB2,1, PB3,1, PI1,ie PI2,1, respetivamente. Paracada um destes cenários consideram-se três modelos de comportamento da ligação: elásticolinear, elastoplástico com amolecimento e elastoplástico perfeito.

5.8.1 Ligação ao pilar de canto PC1, dani�cada

Comportamento Elástico Linear

Nesta secção será avaliado o comportamento da estrutura quando a ligação ao pilar de cantoPC1 apresenta um defeito que reduz a sua capacidade resistente ao punçoamento para 50%.

Na tabela 5.10 são apresentados os esforços atuantes nas ligações laje-pilar associados auma análise elástica linear. Tal como acontecia com a estrutura intacta, os resultadosapresentados apresentados evidenciam que os restante modelos constitutivos são iguais aeste na fase inicial e que este comportamento é o mais frágil dos supramencionados. Paraeste caso dá-se o colapso progressivo de toda a estrutura após a rotura da ligação ao pilar

51


PB1,1, que rompe quando a carga aplicada na laje é de 12.015 kN/m2. Esta constataçãoindica que para este caso, se ocorre a rotura de um pilar, após a rotura do pilar dani�cado,não existe a possibilidade de haver uma redistribuição de esforços que equilibre a cargaaplicada na laje, ou seja, o colapso total é de�nido pelo colapso do segundo pilar a romper.

Quando a estrutura está intacta, e os pilares são dotados de um comportamento elásticolinear, carga máxima suportada é de 15.359 kN/m2, para esta situação é apenas de 12.015kN/m2 evidenciando uma diminuição de 21.8%. A carga de rotura do primeiro pilar tambémsofreu uma diminuição de 45.2%, deixando de ser 15.359 kN/m2 quando a estrutura estáintacta para ser 8.4 kN/m2 quando a estrutura apresenta este defeito.Tabela 5.10: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados os esforços depunçoamento dos pilares que atingem a cedência)

Carga[kN/m2]Esforço Axial [kN]

PC1 PB1,1 PB2,1 PB1,1 PC2

8.419 59.4 142.8 131.4 142.8 59.4

12.015 0 267.0 177.8 204.9 85.0


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.419 141.1 342.5 314.8 342.5 141.1

12.015 265.7 471.9 443.4 489.8 201.4


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.419 141.1 342.5 314.8 342.5 141.1

12.015 191.7 483.0 450.5 488.9 201.4



8.419 59.4 142.8 131.4 142.8 59.4

12.015 86.0 204.6 187.7 203.914 85.1

Na �gura 5.12 estão representadas as ligações aos pilares que sofrem maiores alterações apóso colapso do pilar de dani�cado. As restantes ligações não sofreram alterações signi�cativasrelativamente à estrutura intacta, por esse motivo não serão representadas. Com esta repre-sentação torna-se mais fácil entender o comportamento da estrutura e �ca mais evidente umfenómeno, que também acontece quando a estrutura está intacta: as ligações mais próximasabsorvem as cargas que a ligação ao pilar de canto deixou de absorver e os pilares (nestecaso os pilares PB1,1 e PB3,1) , juntamente com a laje, formam uma �alavanca� fazendo comque a ligação ao pilar PI1,1, imediatamente após a rotura tenha uma diminuição no valor dopunçoamento atuante.

52



A tabela 5.11 indica a variação da carga de punçoamento absorvida em cada ligação. Éinteressante observar que as conexões aos pilares de bordo adjacentes, após a rotura daligação de canto dani�cada, têm incrementos de esforços de punçoamento maiores. Estatabela indica que apenas as ligações, segundo os bordos da laje, mais próximas à ligação quecolapsou, recebem maiores incrementos de esforços (PB1,1, PB2,1, PB3,1 e PB3,3), enquantoque as restantes ligações têm uma evolução mais lenta dos esforços de punçoamento com oaumento da carga distribuída na laje.

Tabela 5.11: Variação de esforços entre cargas de rotura


∆N∆q



0 a 8.419 7.0 16.9 15.5 16.9 7.0

8.419 a 12.015 0.0 24.2 16.1 16.6 6.9


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.419 16.7 40.7 37.3 40.7 16.7

8.419 a 12.015 24.3 40.2 36.0 39.7 16.3


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.419 16.7 40.7 37.3 40.7 16.7

8.419 a 12.015 17.0 39.2 36.6 39.7 16.3


∆N∆q



0 a 8.419 7.0 16.9 15.5 16.9 7.0

8.419 a 12.015 6.9 16.6 15.2 16.5 6.9

53


Na �gura 5.12 está representada a evolução dos deslocamentos máximos na laje em função dacarga aplicada. A �gura mostra que o deslocamento varia linearmente com a carga aplicada,durante o período em que a relação constitutiva e do tipo elástico linear. Quando ocorrea falha da ligação ao pilar de canto existe uma variação brusca igual a 1.083×10−2 m. Apartir deste momento continua a existir uma relação de linearidade entre a carga aplicada e odeslocamento na laje, onde o deslocamento aumenta mais rapidamente com o incremento decarga do que na primeira fase linear. O deslocamento último antes da rotura é 1.996×10−2

m.

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0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02

Car

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istr

ibuí

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je -

q [k

N/m

2 ]



Como seria de esperar, o pilar que atinge a sua capacidade máxima resistente, para umacarga na laje de 12.015 kN/m2, é o pilar PB1,1, mas também é evidente que a ligação aopilar de bordo adjacente, PB3,1, está bastante perto de atingir a sua capacidade máximaresistente. Com isto, pode-se constatar que o colapso progressivo está iminente: se o pilarPB1,1 atingir a rotura, os esforços nas restantes ligações superam a capacidade resistente eassim surge o colapso progressivo da estrutura.

Se se de�nir como índice de redundância o quociente entre a carga de rotura de toda aestrutura e a carga de rotura da primeira ligação laje-pilar, neste caso, seria igual a 1.427.

Comportamento Elastoplástico com Amolecimento

Os seguintes resultados dizem respeito à análise de uma estrutura em que as suas ligaçõesforam modeladas através de um comportamento elastoplástico com amolecimento. Estecomportamento apresenta características entre o comportamento elástico linear e o compor-tamento elastoplástico perfeito. Através da análise da Tabela 5.12 e da Figura 5.13 veri�ca-seque antes do colapso total existem três ligações que iniciam o processo de amolecimento.Primeiramente o pilar dani�cado (o pilar de canto PC1) que atinge a capacidade resistentemáxima quando a carga aplicada na laje é 8.397 kN/m2. Em seguida é a ligação ao pilarPB1,1 que atinge o valor máximo resistente quando a carga na laje é 13.624 kN/m2. Como ocomportamento dos pilares PB1,1 e PB3,1são bastante similares, basta apenas um incrementode 0.103 kN/m2 para que a ligação ao pilar ao pilar PB3,1também ceda. A partir deste mo-mento as variações nos esforços são muito mais rápidas, bastando apenas um incremento de0.378 kN/m2 na laje para que a rotura total ocorra. A partir de 14.002 kN/m2 a estruturadeixa de ter capacidade para resistir a aumentos e cargas e atinge o colapso total. Não existenenhuma ligação que atinja o patamar plástico antes da rotura total da estrutura.

54


Tabela 5.12: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar (a negrito estão indicados os esforços depunçoamento dos pilares que atingem a cedência)



8.419 59.4 142.8 131.4 142.8 59.4

13.624 48.0 267.0 208.0 231.6 96.4

13.707 47.2 264.4 210.3 232.3 96.8

14.002 32.1 230.3 239.4 234.4 99.4


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.419 141.1 342.5 314.8 342.5 141.1

13.624 265.4 545.8 505.9 554.6 228.3

13.707 267.5 550.2 507.5 556.6 229.2

14.002 236.5 654.5 503.0 568.5 234.9


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.419 141.1 342.5 314.8 342.5 141.1

13.624 222.7 550.5 510.0 554.1 228.4

13.707 223.3 552.0 511.8 556.3 229.3

14.002 251.4 548.0 519.8 570.4 234.7



8.419 59.4 142.8 131.4 142.8 59.4

13.624 97.0 231.6 212.7 231.7 96.5

13.707 97.4 232.5 213.6 232.0 96.8

14.002 97.1 237.4 219.4 237.6 99.1

55



Quando se analisa a variação de esforços de punçoamento nas ligações (ver tabela 5.13), emcada intervalo de cargas onde acontece a cedência parcial, pode-se veri�car que as ligaçõescom maiores alterações são aquelas posicionadas segundo o menor e o maior bordo da lajeque convergem no pilar de canto com a conexão dani�cada. Além disso, os pilares interioresPI1,1, PI2,1, PI3,1e PI2,2 sofrem grandes variações após a cedência da segunda ligação (aligação entre a laje e o pilar PB1,1). As ligações aos pilares PI2,1e PI1,1chegam mesmo adiminuir o gradiente, �cando negativo, indicando que a partir da cedência da terceira ligação(ao pilar PB3,1) o efeito de alavanca faz com que estas ligações tenham menores esforçosde punçoamento atuantes. As restantes conexões não sofrem alterações signi�cativas nogradiente de esforços.

Tabela 5.13: Variação de esforços entre cargas de rotura


∆N∆q



0 a 8.419 7.0 16.9 15.5 16.9 7.0

8.419 a 13.624 -2.1 23.6 14.7 17.0 7.0

13.624 a 13.707 -9.4 -33.1 44.0 13.0 13.0

13.707 a 14.002 -54.2 -118.2 97.8 5.3 5.3


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.419 16.7 40.7 37.3 40.7 16.7

8.419 a 13.624 23.8 39.0 36.0 40.7 16.7

13.624 a 13.707 40.4 84.4 30.5 38.2 17.1

13.707 a 14.002 -119.8 363.8 -21.9 36.5 17.4

56



∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.419 16.7 40.7 37.3 40.7 16.7

8.419 a 13.624 15.6 39.9 37.5 40.6 16.7

13.624 a 13.707 10.3 29.5 35.4 40.9 16.8

13.707 a 14.002 100.7 -20.2 22.4 43.7 16.6


∆N∆q



0 a 8.419 7.0 16.9 15.5 16.9 7.0

8.419 a 13.624 7.1 17.0 15.6 16.9 7.0

13.624 a 13.707 7.7 18.0 16.1 17.0 7.0

13.707 a 14.002 -2.6 14.2 18.1 17.0 7.0

No caso dos deslocamentos máximos na laje, apresentados na �gura 5.14, nota-se uma dife-rença signi�cativa relativamente ao cenário anterior, pois deixou de ocorrer a variação bruscano deslocamento quando se dá a cedência da ligação ao pilar de canto. Neste caso, devidoà capacidade da conexão ao pilar dani�cado absorver cargas, a variação do deslocamentodá-se de uma forma mais suave. No entanto, a partir da cedência do terceiro pilar, quandoa carga distribuída na laje é de 13.727 kN/m2, a variação dos deslocamentos máximos nalaje aumenta signi�cativamente representando, em apenas uma variação de carga de 0.275kN/m2, cerca de 54.334% do deslocamento último. Antes do colapso da estrutura o desloca-mento máximo medido é 2.754 ×10−2 m, que traduz um aumento de 37.976% relativamenteao cenário anterior. O indicador da robustez aumentou relativamente ao cenário anterior,ou seja, a relação entre a carga de rotura global e a carga de rotura da primeira ligação éde 1.663.

0

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14

0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03

Car

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istr

ibuí

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je -

q [k

N/m

2 ]



Comportamento elastoplástico perfeito

Dos três cenários estudados considerando um defeito no pilar de canto, a consideração de umarelação constitutiva do tipo elastoplástico perfeito conduz a um comportamento estrutural

57


mais complexo, tal como mostra a �gura 5.15. Ao longo do processo foram-se veri�candoalterações importantes no modelo estrutural que serão descritas em seguida:

Numa primeira fase, o comportamento é elástico até a ligação ao pilar de canto atingir asua capacidade resistente, quando a carga na laje é 8.419 kN/m2, que é igual aos casosanteriores.

As próximas três conexões a atingirem o patamar plástico são aquelas que estão na periferiado pilar dani�cado (PB1,1,PB3,1e PB2,1, para cargas distribuídas na laje de 14.053 kN/m2,14.177 kN/m2 e 15.009 kN/m2, respetivamente). No entanto, a quinta ligação a atingir opatamar plástico é aquela que liga a laje ao pilar PB2,2, quando a carga aplicada na lajeé 15.352 kN/m2. A rotura desta ligação afastada daquelas que já colapsaram tem que vercom a ordem de rotura da estrutura intacta, isto é, quando a estrutura não tem qualquerdefeito são as ligações aos pilares que estão no centro do maior lado da laje, PB2,2, queatingem primeiramente o patamar plástico. Este facto denuncia que estão a haver duasroturas com origens diferentes, uma primeira por causa do defeito do pilar de canto e umasegunda porque seria o grupo de pilares a entrar em cedência se a estrutura não tivessenenhum defeito. A partir deste ponto, a ordem de plasti�cação das restantes ligações dá-sealternadamente entre as ligações adjacentes ao primeiro mecanismo de rotura, iniciado pelacedência do pilar de canto, e este segundo iniciado pela ligação à coluna PB2,2.


Tal como se pode veri�car pela Figura 5.15 e pela Tabela 5.14, quando se dá a plasti�cação daconexão pilar PB2,2 (18º na ordem de plasti�cação) surgem novamente o efeito de �alavanca�,mencionado anteriormente. Neste caso este efeito é su�ciente para que as conexões aos pilaresPB3,2e PB3,4 deixem de ter um comportamento plástico e voltem a ter um comportamentoelástico, devido à diminuição da carga de punçoamento. A explicação pode ser entendidaatravés da �gura 5.15, onde estão representados os esforços de punçoamento em cada conexãopara duas cargas distintas (16.467 kN/m2 e 16.484 kN/m2), no alinhamento dos PB3,3 ePB3,4. Note-se que as ligações que atingiram o patamar plástico estão apenas representadospela sua capacidade resistente enquanto que aquelas que se apresentam no patamar elásticoestão representadas com apoios e com o esforço de punçoamento atuante. É devido ao efeitosupramencionado que a carga última não é igual à carga de cedência do 20º pilar, porquedevido ao efeito de alavanca, a ligação ao pilar PB3,4 ainda retorna a ter capacidade deabsorção de esforços.

58


Figura 5.16: Comportamento da estrutura com o efeito de alavanca

Tabela 5.14: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar

Pilar Carga [kN/m2] Esforço de Punçoamento [kN]

PC1 8.4 59.4

PB1,1 14.0 267.0

PB3,1 14.1 269.5

PB2,1 15.0 239.4

PB2,2 15.3 239.4

PB1,2 15.4 267.0

PB3,3 15.5 269.5

PB1,3 15.6 267.0

PB1,4 15.6 267.0

PI1,1 15.8 709.2

PC3 16.0 118.8

PC2 16.1 118.8

PC4 16.1 118.9

PB3,2 16.2 269.5

PB3,4 16.2 269.5

PI2,1 16.2 636.2

PI1,3 16.3 709.2

PI2,2 16.4 636.2

PI1,2 16.5 709.2

PI1,4 16.5 709.2

Sendo este o comportamento mais dúctil, a laje sofre maiores deslocamentos antes da roturatotal. Assim, quando as ligações aos pilares têm uma relação deste tipo o deslocamentoúltimo antes da rotura é 3.810×10−2 m, o que signi�ca a um aumento de 90.882% rela-tivamente ao comportamento elástico linear e 38.344% relativamente ao comportamentoelastoplástico com amolecimento.

59


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0 0.008 0.016 0.024 0.032 0.04

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a la

je -

q [k

N/m

2 ]



Comparação entre comportamentos

Quando a estrutura apresenta um pilar de canto dani�cado, os três cenários apresentam-sebastante distintos, não só em termos de deslocamentos máximos mas também em termosde redundância do sistema. A tabela 5.15 indica os valores da carga distribuída na lajenecessários para que ocorra a rotura da primeira ligação e a rotura total do sistema. Aocontrário do que acontece com a estrutura intacta, o índice de redundância é bastante maioro que indica que após a rotura do pilar dani�cado, a estrutura continua a ter uma capacidadede redistribuir as cargas (tem um grande poder de redundância). A análise da estrutura comesta ligação dani�cada indica que o desempenho após rotura dos pilares pode aumentar acapacidade de resistência da estrutura cerca de 37.761% e aumentar o deslocamento últimoda estrutura cerca de 90.882%



Carga de cedênciada primeira ligação


Carga última - qu[kN/m2]

Índice deredundância - qu

q1

[%]

Elástico Linear 8.4 12.0 142.7


8.4 14.0 166.3

Elastoplástico comamolecimento

8.4 16.6 196.6

5.8.2 Restantes ligações dani�cadas

De uma forma geral, o estudo efetuado indica que, a estrutura tem um comportamentosimilar quando as ligações resistentes ao punçoamento estão defeituosas. Por forma a tornara leitura dos resultados mais simples, serão apresentados no anexo B os resultados obti-dos obtidos através da análise determinista, e nesta secção serão analisados comparandocaracterísticas entre comportamentos e as diferentes ligações analisadas.

A tabela 5.16 indica que sempre que se dá a rotura de uma ligação defeituosa (que é sempre aprimeira a atingir a cedência), em todos os cenários, existe a possibilidade de redistribuição

60


de cargas entre as restantes ligações. Tal como foi analisado para a ligação ao pilar PC1, aestrutura tem uma maior redundância quanto mais dúctil for o comportamento das ligações,por isso, o cenário em que todas as ligações são providas de um comportamento elástico linearé aquele que apresenta o valor menor do índice de redundância, ao contrário do que acontececom o cenário em que o comportamento dos pilares é do tipo elastoplástico linear, em que oíndice de redundância é maior. Assim, o índice de redundância apresenta-se mínimo quandoo pilar PB3,1é defeituoso e a relação constitutiva dos esforços de punçoamento é do tipoelástico linear sendo igual a 111.717%, indicando que após a primeira rotura, a estruturatem apenas uma capacidade de suporte de um incremento de carga na laje igual a 1.032kN/m2. Ainda dentro do cenário elástico, a estrutura que apresenta a ligação ao pilarPB2,1dani�cada é a que que é provida de uma maior redundância, com um índice igual a145.761%. Embora estes sejam os valores máximos mínimos do índice de redundância, nãosigni�ca que sejam essas ligações a cederem para menores cargas distribuídas, ou seja, apesarde ser a estrutura com a ligação ao pilar PB3,1 a que tem um menor índice, esta conexãoapenas atinge a rotura para uma carga 8.808 kN/m2 enquanto que se a ligação dani�cadafosse a que liga o pilar PB1,1esta colapsaria para uma carga distribuída na laje de 7.862kN/m2.

O cenário em que as ligações seguem uma relação constitutiva do tipo elastoplástico perfeitoapresenta, não só índices de redundância maiores, mas também cargas de cedência bastantesimilares ao caso em que a estrutura não tem qualquer dano ou defeito em que a diferençadiz respeito apenas à perda de resistência da ligação fragilizada. Por isso, a diferença entrecarga última entre a estrutura intacta e dani�cada é maior nas estruturas com ligaçõesmais resistentes ao punçoamento (pilares interiores) e menor nas estruturas em que ligaçõesaos pilares de canto sejam as dani�cadas (porque têm uma menor capacidade resistenteao punçoamento). Nesta situação que o índice de redundância está intimamente ligado àprimeira carga de cedência da estrutura dani�cada, sendo maior quando a ligação ao pilarPB1,1 tem uma capacidade resistente de 50% (menor carga de cedência da primeira ligação)e menor quando a ligação ao pilar interior PI1,1 apresenta defeitos (maior carga de cedênciada primeira ligação).

No anexo B também é interessante aferir que a partir da rotura da décima ligação, quandoa relação constitutiva da conexão é do tipo elastoplástico perfeito, a estrutura e bastanteinstável o que signi�ca que bastam pequenos incrementos de carga na laje para as ligaçõescederem.


Ligaçãodefeituosa ao

pilar


Carga de cedênciada primeira ligação


Cargaúltima - qu[kN/m2]

Índice deredundância

quq1

[%]

PB1,1



7.9 16.4 208.3

Elastoplásticocom

amolecimento

7.9 13.5 171.3

PB2,1



7.9 16.4 206.5

61


Elastoplásticocom

amolecimento

7.9 14.2 178.6

PB3,1



8.8 16.3 186.0

Elastoplásticocom

amolecimento

8.8 13.5 153.7

PI1,1



8.9 15.7 177.0

Elastoplásticocom

amolecimento

8.9 13.3 149.9

PI1,2



8.8 15.9 180.4

Elastoplásticocom

amolecimento

8.8 14.2 160.9

Relativamente aos deslocamentos pode-se a�rmar que aumentam consideravelmente quandocomparados com aqueles que se desenvolvem durante a fase elástica. De uma forma geral,o deslocamento máximo na laje é tanto maior quanto mais dúctil é o comportamento nospilares, embora tal não se veri�que nos pilares interiores, pois o máximo deslocamentona laje é menor no cenário em que as ligações foram modeladas com um comportamentoelastoplástico com amolecimento do que na situação em que foram modeladas com umarelação constitutiva do tipo elástico linear.

Em todas as situações veri�ca-se que o deslocamento máximo na fase elástica é proporcionalà carga de cedência da primeira ligação. A estrutura com defeito com um comportamentomais dúctil é aquela em que as conexões aos pilares apresentam uma relação constitutiva dotipo elastoplástico e a ligação ao pilar PB2,1 apresenta um defeito. Isto é, neste cenário, alaje apresenta um deslocamento último igual a 7.923×10−2m. Os resultados dos restantescenários analisados estão na tabela 5.17.


Ligaçãodefeituosa ao

pilar


Deslocamentomáximodurante afase elástica

∆L1[m]

Deslocamentomáximoúltimo∆Lu

[kN/m2]

Índice deDeformabilidade

∆Lu∆L1[%]

PB1,1

Elástico Linear 3.1×10−3 1.5×10−2 481.3


3.1×10−3 5.0×10−2 1566.9

62


Elastoplásticocom

amolecimento

3.1×10−3 2.6×10−2 830.1

PB2,1

Elástico Linear 2.9×10−3 1.5×10−2 529.6


2.9×10−3 3.0×10−2 1044.1

Elastoplásticocom

amolecimento

2.9×10−3 1.9×10−2 658.5

PB3,1

Elástico Linear 3.0×10−3 1.5×10−2 498.0


3.0×10−3 4.8×10−2 1578.9

Elastoplásticocom

amolecimento

3.066×10−3 2.5×10−2 820.2

PI1,1

Elástico Linear 3.3×10−3 1.4×10−2 439.8


3.3×10−3 7.9×10−2 2332.3

Elastoplásticocom

amolecimento

3.3×10−3 1.3×10−2 408.0

PI1,2

Elástico Linear 3.2×10−3 1.2×10−2 387.4


3.2×10−3 4.0×10−2 1244.3

Elastoplásticocom

amolecimento

3.9×10−3 4.1×10−3 129.8

5.9 Avaliação da estrutura intacta vs estrutura dani�-cada

A tabela 5.18 são comparadas as diferentes estruturas através de diferentes índices quedão a informação sobre o comportamento dos diferentes tipos de estruturas dani�cadasrelativamente à estrutura intacta. Através da análise da tabela veri�ca-se que apesar deexistir uma diminuição da capacidade resistente ao punçoamento para metade, a carga ecedência da primeira ligação nunca é metade daquela que gerou a cedência da primeiraligação no cenário em que a estrutura está intacta. Tal como indica o primeiro índice, ovalor da carga distribuída rotura da primeira ligação a ceder varia entre 51.188% (ligaçãoao pilar PB1,1 dani�cada) e 58.038% (ligação ao pilar PI1,1 dani�cada). Relativamente aostrês cenários diferentes veri�cou-se que houve em média uma diminuição da capacidaderesistente de 30.894%, 12.342% e 2.675% quando a relação constitutiva é do tipo elásticolinear, elastoplástico com amolecimento e elastoplástico perfeito, respetivamente.

Ao contrário do que acontece com as cargas últimas, o deslocamento último aumenta quandoa estrutura apresenta defeitos. Assim, o deslocamento último aumenta, em média 166.065%,272.530% e 372.915% quando o comportamento das ligações é elástico linear, elastoplásticocom amolecimento e elastoplástico perfeito, respetivamente. Note-se também que um fe-

63


nómeno ocorre quando se avaliam os valores dos deslocamentos das estruturas com pilaresinteriores dani�cados: os modelos em que as ligações foram modeladas com um comporta-mento elastoplástico com amolecimento têm um deslocamento máximo ultimo menor do queos modelos em que as conexões foram modeladas com um comportamento elástico linear.


Ligaçãodefeituosa aopilar


q1,intq1,dan

[%]

qu,intqu,dan

[%]

∆Lu,int∆Lu,dan

[%]

PC1



54.8 99.2 376.8

Elastoplásticocom

amolecimento

54.8 88.9 385.7

PB1,1



51.2 98.1 494.5

Elastoplásticocom

amolecimento

51.2 85.5 371.0

PB2,1



51.7 98.3 306.1

Elastoplásticocom

amolecimento

51.7 90.2 273.3

PB3,1



57.3 98.1 478.8

Elastoplásticocom

amolecimento

57.3 86.0 352.2

PI1,1



58.0 94.5 783.6

Elastoplásticocom

amolecimento

58.0 84.8 194.1

PI1,2



57.5 95.5 397.4

Elastoplásticocom

amolecimento

57.5 90.3 158.7

64


n

65

6ANÁLISE PROBABILÍSTICA DA

SEGURANÇA

6.1 Generalidades

No seguinte capítulo pretende-se analisar a robustez de uma estrutura composta por uma lajefungiforme e as ligações aos pilares. Nesta secção serão apresentados e analisados diferentesresultados considerando que as propriedades dos materiais e das ações são descritas atravésde variáveis aleatórias.

6.1.1 De�nição do problema

Neste capítulo é analisada, de uma forma probabilística, a estrutura apresentada no capítulo5. Os modelos de elementos �nitos mantêm-se, as únicas diferenças dizem respeito aosvalores de resistência de punçoamento das ligações, que dependem do valor característico deresistência à compressão do betão, e das ações aplicadas na laje, que serão gerados atravésfunções densidade de probabilidade descritas nas próximas secções. Serão analisados doismodelos com os diferentes valores aleatórios gerados que dizem respeito à estrutura intactae à estrutura com um pilar de canto dani�cado. Assim, recorrendo à metodologia de MonteCarlo, foram calculadas as probabilidades de falha total ou parcial da estrutura.

6.2 Metodologia empregue

A metodologia empregue nesta secção foi baseada no modelo de Monte Carlo. Inicialmente,de�niu-se que as variáveis com propriedades aleatórias signi�cativas para esta análise seriamaquelas relacionadas com o valor da resistência à compressão do betão, que será utilizadopara a construção dos modelos constitutivos, e das ações. Após terem sido de�nidas estasvariáveis aleatórias foram calculados 20 valores da resistência à compressão do betão corres-pondentes ao valor médio obtido através divisão da função densidade de probabilidade em20 secções com igual probabilidade de ocorrência. Depois, foram analisadas vinte estruturascom resistência ao punçoamento calculadas através do valores previamente calculados. Aanálise consistiu em aplicar incrementos de deslocamento verticais à estrutura e veri�carque cargas distribuídas na laje produziriam esses deslocamentos. O resultado da análiseforam as cargas de rotura das diferentes ligações. Em seguida com o auxilio do programaMATLAB foram geradas aleatoriamente 108 cargas uniformemente distribuídas e compa-radas com aquelas que produziram as roturas nas estruturas supramencionadas analisadas.Os resultados obtidos foram agrupados tendo em conta a rotura parcial e total do sistemaestrutural. Cada um dos valores agrupados dizem respeito a diferentes probabilidades queforam utilizadas posteriormente para calcular o índice de robustez.

66

CAPÍTULO 6. ANÁLISE PROBABILÍSTICA DA SEGURANÇA

6.3 De�nição das ações

Um modelo, que de�na completamente as ações em estruturas, deve descrever diferentespropriedades das ações, tal como a sua magnitude, posição, variação, direção, etc.. Assim,as ações foram estabelecidas tendo em conta apenas ações com a mesma direção da gravidadeaplicadas em cada vértice do elemento de casca.

Distribuição

P.P. ∼N(5.75;0.575)R.C.P. ∼N(3;0.3)

Sobrecarga ∼exp(0.7669)

Tabela 6.1: Modelos de cálculo das ações

Para a descrição do peso próprio da estrutura foi uti-lizada uma distribuição Normal com média igual a5.75 kN/m2, correspondente ao peso do volume debetão distribuído uniformemente na área de laje comum coe�ciente de variação igual a 0.1. No caso dasrestantes cargas permanentes, que dizem respeito aorevestimento do pavimento da estrutura, considerou-se uma distribuição Normal com média igual a 3kN/m2 e desvio padrão igual a 0.3 kN/m2. A dis-

tribuição exponencial foi utilizada para a determinação da sobrecarga da estrutura. O parâ-metro que de�ne esta distribuição foi calculado tendo em conta a categoria de utilização daestrutura (escritórios). Sabendo que o valor característico corresponde ao quantilho de 98%é 3 kN/m2 [26], foi de�nida uma distribuição exponencial que respeitasse esta condição. Ascaracterísticas destas funções de distribuição estão apresentadas na tabela 6.1.

A combinação de ações considerada no cálculo é dado pela soma dos valores obtidos no su-pramencionado. Sendo valores característicos, e estando perante uma análise probabilística,não é necessário que sejam multiplicados por coe�cientes majorativos.

6.4 Descrição dos modelos

Os resultados apresentados na próxima secção foram obtidos através de simulações recor-rendo aos programas MATLAB e OPENSEES.

Na secção 5.5 a capacidade resistente dos pilares foram calculados considerando que a resis-tência do betão à compressão seria de 25 Mpa. Tendo em conta que neste ponto estamosperante uma análise probabilística, assumiu-se que o valor da resistência à compressão dobetão segue uma distribuição Normal que foi de�nida tendo em conta que o valor caracte-rístico deverá corresponder ao quantilho de 5%. Assim, sabendo que o valor correspondenteao quantilho de 5% é igual a 25 MPa, e que o coe�ciente de variação é de 0.1 calculou-sea média e o desvio padrão desta distribuição, resultando 29.9 MPa o valor médio e 3 MPade desvio padrão. Tal como foi mencionado anteriormente, a função densidade de probabili-dade foi repartida em vinte secções, em que cada uma engloba uma probabilidade de 5%, econsiderados os valores médios dessas secções resultando nos seguintes valores representadosna tabela :

Tabela 6.2: Valor médio das secções consideradas

Valor médio da secçãoconsiderada [MPa]

Probabilidade deocorrência do valor médio

24.1 0.025

25.6 0.075

26.5 0.125

27.1 0.175

27.7 0.225

67


28.1 0.275

28.6 0.325

29.0 0.375

29.4 0.425

29.7 0.475

30.1 0.525

30.5 0.575

30.9 0.625

31.3 0.675

31.7 0.725

32.2 0.775

32.7 0.825

33.4 0.875

34.2 0.925

35.8 0.975

Em seguida calcula-se o esforço resistente ao punçoamento para cada um dos pilares (talcomo foi indicado na secção 3.5), tendo como referência os valores gerados através destadistribuição, dando origem a vinte modelos diferentes, cada um com capacidades resistentesao punçoamento diferentes.

6.5 Avaliação da estrutura intacta

Nesta secção são apresentados os resultados para os modelos intactos, construidos através dosgrupos de valores gerados através do apresentado anteriormente. Aqui pretende-se fazer umaanálise probabilística da estrutura, em que todas as ligações laje-pilar se apresentam semdefeitos. Neste caso considerou-se que todos os pilares tinham a totalidade da capacidaderesistente ao punçoamento fazendo-se três análises em que o comportamento das colunasfoi um comportamento elastoplástico perfeito, elastoplástico com amolecimento e elásticolinear.

Os resultados apresentados nesta subsecção serão apresentados em forma de tabelas ondeserão descritas as diferentes probabilidades de falha para cada pilar e os respetivos índicesde �abilidade. Deve-se ter em atenção que as probabilidades apresentadas dizem respeitoexclusivamente à rotura de um pilar ou de um determinado grupo de pilares, isto é, asprobabilidades apresentadas dizem respeito à rotura do primeiro pilar (um pilar), do primeiroe do segundo pilar (dois pilares), etc. Por vezes, também são apresentadas variações nasprobabilidades, isto é, para cargas menores obterem-se maiores probabilidades de rotura.Este fenómeno tem que ver com a diferença de cargas entre roturas. Por exemplo, a análisedeterminística, quando a estrutura apresenta o pilar de canto dani�cado, indicou que o asquatro primeiras ligações romperiam para cargas distribuídas na laje iguais a 8.42 kN/m2,14.05 kN/m2, 14.18 kN/m2 e 15.01 kN/m2. No entanto, apesar da probabilidade da terceiraligação romper ser maior que a probabilidade das outras duas antecedentes, a probabilidadede serem exatamente três é maior, porque a diferença entre a carga de rotura da terceira equarta ligações é de 0.832 kN/m2 enquanto que a carga de rotura de exatamente duas ligações

68


varia entre 14.05 kN/m2 e 14.18 kN/m2, representando uma diferença de 0.12 kN/m2. Istoquer dizer que se o intervalo para determinada ligação colapsar é reduzido, a probabilidadeda carga estar nesse intervalo também é menor.

6.5.1 Comportamento Elastoplástico Perfeito

Dos três cenários estudados, a consideração de uma relação constitutiva do tipo elastoplás-tico perfeito conduz a um comportamento estrutural mais complexo, tal como analisadoanteriormente. Tendo em conta que este comportamento tende mais lentamente para o co-lapso da estrutura é possível obterem-se probabilidades de falha de rotura de cada grupo depilares que serão apresentados na tabela 6.3. Note-se que a rotura desta estrutura dá-se deuma forma simétrica, por isso os resultados apresentados dizem respeito a grupos de pilaressimétricos segundo os dois eixos de simetria.

A probabilidade de falha total ou parcial de uma estrutura deste tipo é bastante baixa.Tal tem que ver com as regras do EC2 que utilizam, para o dimensionamento de estruturas,valores de ações com uma probabilidade de ocorrência menor ou igual a 2% . A probabilidadede falha total da estrutura é 8.54×10−4 estando associado um índice de �abilidade de 4.30,tal como indicado na tabela 6.3. A análise determinística, efetuada na secção

Tabela 6.3: Probabilidades de falha e índices de �abilidade - Comportamento Elastoplástico com amoleci-mento

Número de pilares em rotura Pf β

2 6.91×10−6 4.44

6 4.43×10−6 4.44

10 8.13×10−6 4.31

14 1.63×10−7 5.11

18 7.98×10−6 4.44

20 8.54×10−6 4.30

6.5.2 Comportamento Elastoplástico com Amolecimento

A análise determinística, efetuada anteriormente, permite a compreensão dos seguintes re-sultados obtidos através da análise probabilística, considerando um comportamento elas-toplástico com amolecimento nas ligações laje-pilar. As concordâncias entre as diferentesanálises indicam que o número de ligações que cedem antes da rotura total é a mesma.

Tal como acontece na análise probabilística em que o comportamento das ligações laje-pilarfoi modelado considerando um comportamento elastoplástico perfeito, a probabilidade derotura total ou parcial é baixa. No entanto, como a diferença de cargas entre rotura depilares é menor, então a probabilidade de rotura também será menor, tal como apresentadona Tabela 6.4. Como a capacidade total de absorção de esforços é mais baixa, a probabilidadede rotura de uma estrutura deste tipo aumenta de 8.54×10−6 para 1.22×10−5, continuandoa ser bastante baixa.

69


Tabela 6.4: Probabilidades de falha e índices de �abilidade

Número depilares emrotura

2 6 10 20

Pf 4.02×10−6 2.00×10−8 2.96×10−6 1.22×10−5

β 4.46 4.61 4.53 4.22

6.5.3 Comportamento Elástico Linear

A análise determinística da estrutura intacta, quando o comportamento das ligações é dotipo elastoplástico linear, indicou que o colapso total é condicionado pelo colapso do primeiropilar. A análise probabilística efetuada corrobora essa constatação, por isso a probabilidadede rotura apresentada na Tabela 6.5 diz apenas respeito à rotura total da estrutura. Assim,quando os pilares do modelo têm uma relação constitutiva do tipo elástico linear, a estruturatem um comportamento bastante mais frágil. Por isso a análise probabilística evidenciaapenas a probabilidade de falha total igual a 3.756×10−4. Neste caso não existem roturaslocais porque a partir da cedência de um pilar desencadeia-se um colapso progressivo levandotoda a estrutura à rotura.



20

Pf 3.76×10−4

β 3.96

6.6 Estrutura dani�cada (Pilar de canto PC1)

Nesta análise considerou-se que uma das ligações aos pilares da estrutura, mais concreta-mente a ligação ao pilar de canto PC1, contem um defeito que lhe amputava metade dasua capacidade resistente resultado, por exemplo, de uma construção defeituosa ou de umdimensionamento mal efetuado. O procedimento seguido é igual ao apresentado na secçãoanterior, no entanto, no caso da ligação ao pilar de canto, foram considerados valores deresistência ao punçoamento metade daquele que deveria ter.

Comportamento Elastoplástico Perfeito

Os resultados análise determinística desta estrutura, considerando um comportamento elas-toplástico perfeito e que a ligação ao pilar de canto com um defeito que lhe diminui 50%da capacidade resistente, será apresentada na tabela 6.6. A análise determinística evidenciaque a carga de rotura da primeira ligação diminuiu cerca de 45.19%. Por esse motivo aprobabilidade de rotura dessa ligação aumentou. Assim, no caso em que a estrutura estáintacta a probabilidade de rotura das primeiras ligações (porque no caso em que a estru-tura se apresenta intacta são duas as ligações a atingir a cedência) é de 6.91×10−6 e nestasituação a probabilidade de falha é de 0.505. O caso mais improvável é acontecer a roturade catorze pilares que corresponde a uma probabilidade de ocorrência de 1.60×10−7. Tal

70


probabilidade é menor do que a probabilidade de rotura de toda a estrutura, porque se seobservar a tabela 5.12 veri�ca-se que o tramo que surge após a rotura de catorze pilaresé praticamente inexistente evidenciando que a probabilidade de se ter uma carga aplicadana laje e uma resistência que reúnam as condições para que a estrutura se encontre nesseestado é bastante baixa.


Número de pilares em rotura Pf β

1 0.51 -0.01

2 2.64×10−5 4.04

3 1.40×10−4 3.63

4 2.52×10−5 4.05

5 1.23×10−5 4.22

6 1.56×10−6 4.66

7 3.99×10−6 4.47

8 7.30×10−7 4.82

9 3.92×10−6 4.47

10 7.69×10−6 4.32

11 5.80×10−7 4.86

12 1.76×10−6 4.64

13 1.07×10−5 4.25

14 1.60×10−7 5.11

15 6.80×10−7 4.83

16 2.53×10−6 4.56

17 1.38×10−6 4.69

18 1.80×10−7 5.09

19 6.20×10−7 4.85

20 9.87×10−6 4.29

Comportamento Elastoplástico com Amolecimento

Os seguintes resultados dizem respeito à análise de uma estrutura em que as suas ligaçõesforam modeladas através de um comportamento elastoplástico com amolecimento. Estecomportamento apresenta características entre o comportamento elástico linear e o compor-tamento elastoplástico perfeito. Esta tabela vem evidenciar que se a estrutura apresentaralgum defeito em algum pilar de canto, PCi, essa será a primeira ligação a romper com umaprobabilidade de 49%. Como este comportamento é menos dúctil que o comportamentoelastoplástico perfeito, e como �cou patente na análise determinística, a partir da cedên-cia do terceiro pilar acontece o fenómeno de colapso progressivo, por isso as três primeirasprobabilidades apresentadas na tabela 6.7 dizem respeito apenas à cedência de três pilaresantes da rotura total (rotura das vinte ligações), sendo que o último valor é maior que oobtido na análise anterior.

71




1 2 3 20

Pf 0.49 5.91×10−5 1.68×10−4 1.49×10−4

β 0.02 3.85 3.70 3.62

Comportamento Elástico

Na tabela 5.3 são apresentados os esforços atuantes nas ligações laje-pilar associados a umaanálise elástica linear. Pode a�rmar-se que os restantes modelos constitutivos são similaresa este na fase inicial e que este comportamento é o mais frágil dos supramencionados. Nestecenário dá-se o colapso progressivo de toda a estrutura após a rotura da segunda ligaçãoque ocorre com uma probabilidade de 2.83×10−4. No entanto a probabilidade de rotura daprimeira ligação é similar às analisadas anteriormente sendo, neste caso igual a 0.48.



1 20

Pf 0.48 2.83×10−4

β 0.04 3.45

6.7 Análise da robustez das estruturas

Aplicando o método de Lind, descrito na secção 4.8.2, pretende-se, em seguida, de�nir eanalisar o índice de robustez da estrutura, que fornecerá a informação sobre a robustez daestrutura dani�cada. Os valores apresentados indicam que se o comportamento das ligaçõesin�uenciam na robustez das estruturas quando a estrutura apresenta um defeito no pilarde canto. Assim, o índice de robustez, que compara a probabilidade de falha da estruturaintacta com a estrutura dani�cada, indica que a estrutura é mais robusta se o comporta-mento das ligações for mais dúctil e menos robustas se o comportamento das ligações formais frágil. O valor de βseg dá a indicação sobre a margem de segurança garantida pelaredundância da estrutura. Estes valores foram obtido através do quociente entre os índicesde �abilidade calculados através da probabilidade de falha total da estrutura dani�cada eda probabilidade de falha da primeira ligação. A margem de segurança fornece a informaçãosobre o comportamento entre da estrutura entre a rotura do primeiro elemento e de toda aestrutura. Quando o comportamento das ligações é do do tipo elastoplástico perfeito, tem-seum βseg igual a 355.67, isto signi�ca que desde que ocorre o primeiro colapso, a estruturaainda tem uma grande capacidade para suportar cargas distribuídas uniformemente, ou seja,a estrutura tem uma grande capacidade de redundância. No entanto, essa capacidade di-minui com a diminuição da ductilidade do comportamento das ligações, por esse motivo, amargem de segurança, calculada para o comportamento elastoplástico linear nas ligações,é menor, indicando uma menor capacidade de suporte de cargas após a rotura do primeiroelemento.

72


Tabela 6.9: Índice de robustez e margem de segurança

Estrutura Comportamento das ligações Irob βseg

Dani�cadaComortamento elastoplástico perfeito 4.15 355.67

Comportamento elastoplástico com amolecimeno 4.06 209.08

Comportamento elástico linear 3.78 88.64

73

7CONCLUSÃO

7.1 Generalidades

Baseando-se nos resultados obtidos pela análise numérica pode-se concluir que os índices de�abilidade resultantes da análise da estrutura intacta evidenciam que as estruturas que sãodimensionadas segundo o EC2 têm uma probabilidade de falha bastante elevada para todosos comportamento analisados. A principal diferença tem que ver com a rapidez da progressãodo colapso. No caso em que o comportamento dos pilares segue um regime elastoplásticoperfeito, a carga última é maior e a cedência dos pilares dá-se de uma forma mais lentaenquanto que no caso do comportamento dos pilares ser do tipo elástico linear a rotura deum pilar signi�ca a rotura total por colapso progressivo.

Quando o pilar de canto tem algum defeito, a probabilidade da estrutura permanecer intactaé mais baixa. No entanto dependendo do tipo de comportamento das ligações laje pilar aestrutura dani�cada apresenta índices de robustez altos. Estes índices variam proporcional-mente com a fragilidade das ligações, isto é, quanto mais frágeis forem as ligações, menorserá o índice de robustez da estrutura e menor será a margem de segurança.

7.2 Estudos futuros

Neste documento não está contemplado todo o trabalho que deve ser feito relativamente aotema do punçoamento. Outros estudos poderão ser feitos considerando que a própria lajetem um comportamento que não é linear (que é o que acontece na realidade). A aproximaçãodos modelos à realidade poderá denunciar outras formas de colapso através do aparecimentode momentos negativos/positivos em zonas da laje que foram projetadas apenas para resistira apenas um dos casos. Além disso podem ser introduzidos modelos mais completos ondepossam ser introduzidas vigas de bordadura, capitéis, armaduras de colapso progressivo earmaduras de colapso local como o caso de armaduras resistentes ao punçoamento.

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AARMADURAS SUPERIORES E

INFERIORES DA LAJE

As plantas apresentadas em anexo foram calculadas seguindo a metodologia apresentadaanteriormente e tendo em conta as seguintes características dos materiais:

Betão C25/30

Aço em armaduras ordinárias: A500NR

Escala: 1/100

78

ANEXO A. ARMADURAS SUPERIORES E INFERIORES DA LAJE

n

79


n

80


n

81

BRESULTADOS OBTIDOS NAS RESTANTES

ESTRUTURAS DANIFICADAS

B.1 Ligação ao pilar de bordo PB1,1, dani�cada

B.1.1 Comportamento elástico linear

Tabela B.1: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento Elástico Linear



7.862 55.454 133.539 122.840 133.539 55.454

9.9794 118.872 0 221.544 156.846 79.180


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

7.862 120.172 405.729 287.390 405.729 120.172

9.9794 149.784 505.261 358.106 392.744 164.886


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

7.862 120.172 405.729 287.390 405.729 120.172

9.9794 160.059 381.190 361.182 399.184 164.235



7.862 55.454 133.539 122.840 133.393 55.454

9.979 69.034 167.636 153.601 166.601 69.340

82

ANEXO B. RESULTADOS OBTIDOS NAS RESTANTES ESTRUTURASDANIFICADAS

Figura B.1: Evolução dos esforços nas conexões pilares com a carga aplicada na laje

Tabela B.2: Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elástico Linear


∆N∆q



0 a 7.862 7.053 16.985 15.625 16.985 7.053

7.862 a 9.979 8.066 -16.985 12.555 2.965 3.018


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 7.862 15.285 51.606 36.554 51.606 15.285

7.862 a 9.979 3.766 12.660 8.995 -1.652 5.687


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 7.862 15.285 51.606 36.554 51.606 15.285

7.862 a 9.979 5.073 -3.121 9.386 -0.832 5.605


∆N∆q



0 a 7.862 7.053 16.985 15.625 16.967 7.053

7.862 a 9.979 1.727 4.337 3.913 4.224 1.766

83


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]


Figura B.2: Deslocamento máximo na laje

B.1.2 Comportamento elastoplástico com amolecimento

Tabela B.3: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento Elastoplástico com Amo-lecimento



7.862 55.454 133.539 122.840 133.393 55.454

12.567 118.872 113.048 237.511 207.682 89.506

12.611 117.776 112.390 239.491 208.290 89.826

13.468 77.097 81.379 204.693 254.448 92.257


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

7.862 120.172 405.729 287.390 405.729 120.172

12.567 202.071 575.505 465.203 507.740 211.123

12.611 204.316 578.854 466.546 509.428 211.864

13.468 269.478 687.884 542.914 535.447 224.369


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

7.862 120.172 405.729 287.390 405.729 120.172

12.567 208.201 500.845 466.896 511.632 210.735

12.611 208.581 502.129 468.454 513.421 211.468

13.468 209.623 512.867 487.676 546.181 226.291

84




7.862 55.454 133.539 122.840 133.393 55.454

12.567 89.364 214.122 196.655 213.275 89.007

12.611 89.709 214.910 197.351 214.015 89.315

13.468 97.191 231.874 212.173 228.952 95.388


Tabela B.4: Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elastoplástico com Amolecimento


∆N∆q



0 a 7.862 7.053 16.985 15.625 16.967 7.053

7.862 a 12.567 13.479 -4.355 24.372 15.789 7.237

12.567 a 12.611 -24.909 -14.955 37.364 13.818 7.273

12.611 a 13.468 -47.467 -36.186 -40.212 53.860 2.837


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 7.862 15.285 51.606 36.554 51.606 15.285

7.862 a 12.567 17.407 36.084 37.792 21.681 19.331

12.567 a 12.611 51.023 76.114 30.523 38.364 16.841

12.611 a 13.468 76.035 127.223 89.111 30.361 14.592

85



∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 7.862 15.285 51.606 36.554 51.606 15.285

7.862 a 12.567 18.710 20.216 38.152 22.509 19.248

12.567 a 12.611 8.636 29.182 35.409 40.659 16.659

12.611 a 13.468 1.216 12.530 22.429 38.226 17.296


∆N∆q



0 a 7.862 7.0534 16.9854 15.6245 16.9668 7.0534

7.862 a 12.567 7.2072 17.1271 15.6886 16.9781 7.1313

12.567 a 12.611 7.8409 17.9091 15.8182 16.8182 7.0000

12.611 a 13.468 8.7305 19.7946 17.2952 17.4294 7.0863

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.006 0.012 0.018 0.024

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



86


B.1.3 Comportamento elastoplástico perfeito


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]








7.950 54.285 130.146 119.746 130.146 54.285

11.588 74.352 267.505 0 267.505 74.352


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

7.950 128.501 311.826 286.772 311.826 128.501

11.588 189.915 463.001 537.374 463.001 189.915

87



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

7.950 128.501 311.826 286.772 311.826 128.501

11.588 195.043 466.172 416.443 466.172 195.043



7.950 54.285 130.146 119.746 130.146 54.285

11.588 82.113 197.347 182.369 197.247 82.113




∆N∆q



0 a 7.950 6.828 16.371 15.062 16.371 6.828

7.950 a 11.588 2.524 17.217 -15.062 17.217 2.524


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 7.862 16.164 39.223 36.072 39.223 16.164

7.862 a 9.979 7.725 19.016 31.522 19.016 7.725


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 7.862 16.164 39.223 36.072 39.223 16.164

7.862 a 9.979 8.370 19.415 16.311 19.415 8.370

88



∆N∆q



0 a 7.862 6.828 16.371 15.062 16.371 6.828

7.862 a 9.979 3.500 8.453 7.877 8.440 3.500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]




Tabela B.7: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento Elastoplástico com Amo-lecimento



7.950 54.285 130.146 119.746 130.146 54.285

13.302 89.7151 266.791 101.29 266.791 89.7151

14.142 115.876 234.019 84.4794 234.019 115.876

14.159 118.872 232.836 83.7265 232.836 118.872

14.202 116.710 229.226 81.4438 229.226 116.710


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

7.950 128.501 311.826 286.772 311.826 128.501

13.302 223.498 538.033 487.606 538.033 223.498

14.142 225.581 615.265 639.419 615.265 225.581

14.159 225.638 618.881 634.645 618.881 225.638

14.202 224.554 629.819 629.941 629.819 224.554

89



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

7.950 128.501 311.826 286.772 311.826 128.501

13.302 223.498 538.033 487.606 538.033 223.498

14.142 235.965 561.523 505.596 561.523 235.965

14.159 236.102 561.671 506.962 561.671 236.102

14.202 236.53 562.153 511.055 562.153 236.53



7.950 54.285 130.146 119.746 130.146 54.285

13.302 94.263 226.169 208.576 226.169 94.263

14.142 100.493 241.476 223.034 241.476 100.493

14.159 100.613 241.712 223.156 241.712 100.613

14.202 100.98 242.444 223.55 242.444 100.98


Tabela B.8: Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elastoplástico com Amolecimento


∆N∆q



0 a 7.950 6.828 16.371 15.062 16.371 6.828

7.950 a 13.302 6.620 25.532 -3.448 25.532 6.620

13.302 a 14.142 31.144 -39.014 -20.013 -39.014 31.144

14.142 a 14.159 43.588 -69.588 -44.288 -69.588 43.588

14.159 a 14.202 52.419 -83.953 -53.086 -83.953 52.419

90



∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 7.950 16.164 39.223 36.072 39.223 16.164

7.950 a 13.302 17.750 42.266 37.525 42.266 17.750

13.302 a 14.142 2.480 91.943 176.894 91.943 2.480

14.142 a 14.159 3.353 212.706 -91.294 212.706 3.353

14.159 a 14.202 -25.209 254.372 -109.395 254.372 -25.209


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 7.950 16.164 39.223 36.072 39.223 16.164

7.950 a 13.302 17.750 42.266 37.525 42.266 17.750

13.302 a 14.142 14.842 27.964 21.417 27.964 14.842

14.142 a 14.159 8.059 8.706 80.353 8.706 8.059

14.159 a 14.202 9.953 11.209 95.186 11.209 9.953


∆N∆q



0 a 7.950 6.828 16.371 15.062 16.371 6.828

7.950 a 13.302 7.470 17.942 16.598 17.942 7.470

13.302 a 14.142 7.417 18.223 17.212 18.223 7.417

14.142 a 14.159 7.059 13.882 7.176 13.882 7.059

14.159 a 14.202 8.535 17.023 9.163 17.023 8.535

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



91




0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.006 0.012 0.018 0.024 0.03

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]








8.808 56.114 134.291 123.576 134.291 56.114

9.840 118.872 152.652 149.441 167.653 69.6226


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.808 132.352 322.107 295.979 322.107 132.352

9.840 0 506.575 350.688 402.061 164.806

92



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.808 132.352 322.107 295.979 322.107 132.352

9.840 232.185 391.132 362.824 401.132 164.868



8.808 56.114 134.291 123.576 134.291 56.114

9.840 62.230 162.857 154.369 167.004 69.679




∆N∆q



0 a 8.808 6.371 15.246 14.030 15.246 6.371

8.808 a 9.840 60.797 17.792 25.063 32.328 13.090


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.808 15.026 36.570 33.603 36.570 15.026

8.808 a 9.840 -128.247 178.748 53.013 77.475 31.448


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.808 15.026 36.570 33.603 36.570 15.026

8.808 a 9.840 96.738 66.885 64.772 76.575 31.508

93



∆N∆q



0 a 8.808 6.371 15.246 14.030 15.246 6.371

8.808 a 9.840 5.926 27.680 29.838 31.699 13.144

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]




Tabela B.11: Cargas de rotura e esforços axiais em cada pilar - Comportamento Elastoplástico comAmolecimento



8.808 56.114 134.291 123.576 134.291 56.114

12.667 118.872 206.52 195.301 215.355 89.6888

13.001 109.838 225.16 239.491 221.849 92.2256

13.112 108.846 227.203 198.325 239.419 92.5029

13.541 83.0497 266.944 197.142 231.691 95.7585


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.808 132.351 322.107 295.979 322.107 132.352

12.667 114.563 578.134 463.518 516.269 212.289

13.001 109.111 605.808 472.983 531.483 218.317

13.112 108.511 608.841 474.015 533.146 218.976

13.541 88.0627 676.333 475.582 554.401 226.731

94



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.808 132.351 322.107 295.979 322.107 132.352

12.667 252.198 509.903 470.636 515.73 212.324

13.001 266.656 521.95 483.585 530.603 218.378

13.112 269.505 523.278 484.997 532.229 219.039

13.541 240.901 577.917 493.126 552.771 226.85



8.808 56.114 134.291 123.576 134.291 56.114

12.667 85.3211 212.499 198.231 214.974 89.7213

13.001 86.9266 218.142 204.007 221.118 92.2862

13.112 87.1072 218.757 204.638 221.79 92.5665

13.541 107.169 218.819 210.724 230.117 95.886


Tabela B.12: Variação de esforços entre cargas de rotura - Comportamento Elastoplástico com Amoleci-mento


∆N∆q



0 a 8.808 6.371 15.246 14.030 15.246 6.371

8.808 a 12.667 16.263 18.717 18.586 21.006 8.700

12.667 a 13.001 -27.045 55.808 214.901 19.443 7.595

13.001 a 13.112 -8.937 18.405 -619.396 158.288 2.498

13.112 a 13.541 -60.131 92.636 -2.758 -18.014 7.589

95



∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.808 15.026 36.570 33.603 36.570 15.026

8.808 a 12.667 -4.609 66.345 43.415 50.314 20.714

12.667 a 13.001 -16.323 82.856 28.338 45.551 18.048

13.001 a 13.112 -5.405 27.324 9.297 14.982 5.937

13.112 a 13.541 -47.665 157.324 3.653 49.545 18.077


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.808 15.026 36.570 33.603 36.570 15.026

8.808 a 12.667 31.056 48.664 45.260 50.174 20.724

12.667 a 13.001 43.287 36.069 38.769 44.530 18.126

13.001 a 13.112 14.072 11.964 12.721 14.649 5.955

13.112 a 13.541 -63.676 127.364 18.949 47.883 18.207


∆N∆q



0 a 8.808 6.371 15.246 14.030 15.246 6.371

8.808 a 12.667 7.569 20.266 19.346 20.908 8.709

12.667 a 13.001 4.807 16.895 17.293 18.395 7.679

13.001 a 13.112 1.627 5.541 5.685 6.054 2.525

13.112 a 13.541 46.764 0.145 14.186 19.410 7.738

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



96




0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



B.4 Ligação ao pilar de bordo PI1,1, dani�cada





8.914 61.792 148.501 136.281 148.501 61.792

10.341 62.1383 267.978 156.914 173.836 75.4882


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.914 146.726 353.667 327.006 353.667 146.726

10.341 256.012 0.000 527.116 409.09 178.687

97



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.914 146.726 353.667 327.006 353.667 146.726

10.341 168.340 562.506 391.485 423.479 177.819



8.914 61.792 148.501 136.281 148.501 61.792

10.341 70.602 162.847 160.090 179.842 74.849




∆N∆q



0 a 8.914 6.932 16.659 15.288 16.659 6.932

8.914 a 10.341 0.243 75.503 14.459 17.754 9.598


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.914 16.460 39.675 36.685 39.675 16.460

8.914 a 10.341 76.584 -247.840 140.231 38.839 22.397


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.914 16.460 39.675 36.685 39.675 16.460

8.914 a 10.341 15.146 146.348 45.185 48.922 21.789

98



∆N∆q



0 a 8.914 6.932 16.659 15.288 16.659 6.932

8.914 a 10.341 6.174 10.053 16.685 21.963 9.150

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]







8.914 146.726 353.667 327.006 353.667 146.726

12.822 84.5522 267.078 196.428 214.92 91.2466

12.849 87.1862 263.303 200.371 214.328 91.4485

13.278 118.872 244.081 223.365 218.174 94.8478

13.336 118.029 241.417 226.527 218.645 95.3089


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.914 146.726 353.667 327.006 353.667 146.726

12.822 267.173 310.36 555.842 511.243 216.003

12.849 269.505 308.553 559.181 511.331 216.413

13.278 250.252 287.835 603.100 522.804 224.135

13.336 247.55 284.961 609.092 524.355 225.181

99



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.914 146.726 353.667 327.006 353.667 146.726

12.822 210.728 596.622 478.137 518.577 215.555

12.849 210.635 599.493 478.549 519.312 215.912

13.278 233.602 644.063 491.051 535.626 223.272

13.336 236.786 650.166 492.751 537.833 224.269



8.914 146.726 353.667 327.006 353.667 146.726

12.822 88.6805 209.318 197.873 218.109 90.9132

12.849 88.7635 209.4 198.123 218.466 91.0557

13.278 88.8254 212.047 204.038 225.921 94.0864

13.336 88.8218 212.393 204.835 226.931 94.4974




∆N∆q



0 a 8.914 16.460 39.675 36.685 39.675 16.460

8.914 a 12.822 -15.909 -22.162 -33.413 -35.503 -14.196

12.822 a 12.849 97.556 -139.074 146.037 -21.926 7.478

12.849 a 13.278 64.902 -44.807 53.599 8.965 7.924

13.278 a 13.336 66.241 -45.931 54.517 8.121 7.950

100



∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.914 16.460 39.675 36.685 39.675 16.460

8.914 a 12.822 30.821 -11.082 58.556 40.321 17.727

12.822 a 12.849 71.222 -66.926 123.667 3.259 15.185

12.849 a 13.278 -43.925 -48.294 102.375 26.744 18.000

13.278 a 13.336 -46.586 -49.552 103.310 26.741 18.034


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.914 16.460 39.675 36.685 39.675 16.460

8.914 a 12.822 16.377 62.169 38.672 42.198 17.612

12.822 a 12.849 -3.444 106.333 15.259 27.222 13.222

12.849 a 13.278 53.536 103.893 29.142 38.028 17.156

13.278 a 13.336 54.897 105.224 29.310 38.052 17.190


∆N∆q



0 a 8.914 16.460 39.675 36.685 39.675 16.460

8.914 a 12.822 -14.853 -36.937 -33.043 -34.687 -14.282

12.822 a 12.849 3.074 3.037 9.259 13.222 5.278

12.849 a 13.278 0.144 6.170 13.788 17.378 7.065

13.278 a 13.336 -0.062 5.966 13.741 17.414 7.086

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



101




0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.016 0.032 0.048 0.064 0.08

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]



B.5 Ligação ao pilar de bordo PI2,1, dani�cada





8.840 60.3981 144.699 133.481 144.699 60.3981

9.921 66.8711 162.582 239.491 162.582 66.8711


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.840 142.935 347.444 317.530 347.444 142.935

9.921 152.901 532.819 0 532.819 152.901

102



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.840 142.935 347.444 317.53 347.444 142.935

9.921 162.915 402.559 492.544 402.559 162.915



8.840 60.3981 144.699 133.481 144.699 60.398

9.921 71.2951 165.035 142.146 165.035 71.2951




∆N∆q



0 a 8.840 6.832 16.369 15.100 16.369 6.832

8.840 a 9.921 5.988 16.543 97.260 16.543 5.988


∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.840 16.169 39.304 35.920 39.304 16.169

8.840 a 9.921 9.219 171.485 -293.737 171.485 9.219


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.840 16.169 39.304 35.920 39.304 16.169

8.840 a 9.921 18.483 50.985 161.900 50.985 18.483

103



∆N∆q



0 a 8.840 6.832 16.369 15.100 16.369 6.832

8.840 a 9.921 10.080 18.812 8.016 18.812 10.081

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.003 0.006 0.009 0.012

Car

ga d

istr

ibuí

da n

a la

je -

q [k

N/m

2 ]







8.840 60.3981 144.699 133.481 144.699 60.398

12.571 87.1862 210.113 239.491 210.113 87.1862

14.208 94.4573 267.078 210.152 267.078 94.4573

14.216 96.6707 262.228 204.503 262.228 96.6707

14.226 100.782 254.687 193.937 254.687 100.782


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

8.840 142.935 347.444 317.530 347.444 142.935

12.571 203.745 574.294 285.415 574.294 203.745

14.208 224.037 683.298 261.311 683.298 224.037

14.216 269.505 692.294 259.378 692.294 269.505

14.226 219.965 708.329 255.731 708.329 219.965

104



PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

8.840 142.935 347.444 317.53 347.444 142.935

12.571 208.668 509.927 529.329 509.927 208.668

14.208 234.832 573.323 624.699 573.323 234.832

14.216 234.667 572.218 626.312 572.218 234.667

14.226 269.505 570.133 629.18 570.133 269.505



8.840 60.3981 144.699 133.481 144.699 60.398

12.571 89.3855 211.264 189.636 211.264 89.3855

14.208 101.235 237.841 211.217 237.841 101.235

14.216 101.342 238.00 211.168 238.00 101.342

14.226 101.512 238.214 211.002 238.214 101.512




∆N∆q



0 a 8.840 6.832 16.369 15.100 16.369 6.832

8.840 a 12.571 7.180 17.533 27.778 17.533 7.180

14.208 a 14.208 4.442 34.293 -16.473 34.293 4.442

12.849 a 14.216 276.675 -502.750 -706.125 -502.750 276.675

14.216 a 14.226 411.130 -754.100 -1056.60 -754.100 411.130

105



∆N∆q


PB3,1 PI1,1 PI2,1 PI1,2 PB3,2

0 a 8.840 16.169 39.304 35.920 39.304 16.169

8.840 a 12.571 16.299 60.801 -8.608 60.801 16.299

14.208 a 14.208 12.396 66.588 -14.724 66.588 12.396

12.849 a 14.216 -178.625 1124.500 -241.625 1124.500 -178.625

14.216 a 14.226 -264.300 1603.500 -364.700 1603.500 -264.300


∆N∆q


PB3,3 PI1,3 PI2,2 PI1,4 PB3,4

0 a 8.840 16.169 39.304 35.920 39.304 16.169

8.840 a 12.571 17.618 43.549 56.767 43.549 17.618

14.208 a 14.208 15.983 38.727 58.259 38.727 15.983

12.849 a 14.216 -20.625 -138.125 201.625 -138.125 -20.625

14.216 a 14.226 -38.500 -208.500 286.800 -208.500 -38.500


∆N∆q



0 a 8.840 6.832 16.369 15.100 16.369 6.832

8.840 a 12.571 7.769 17.841 15.051 17.841 7.769

14.208 a 14.208 7.239 16.235 13.183 16.235 7.239

12.849 a 14.216 13.375 19.875 -6.125 19.875 13.375

14.216 a 14.226 17.000 21.400 -16.600 21.400 17.000

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.0008 0.0016 0.0024 0.0032 0.004

Car

ga d

istr

ibíd

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laje

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[kN

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106




0

2

4

6

8

10

12

14

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0 0.0075 0.015 0.0225 0.03 0.0375

Car

ga d

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2 ]



107

conteúdo - sites fct/unlsites.fct.unl.pt/flat/files/rebelo_2011.pdf · 2.9 pormenor de gusset dani...

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