contabilidade social carmen feijó … [et al.] –4ª...

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS ÍNDICES

Professor Rodrigo Nobre Fernandez

Pelotas2014

Contabilidade SocialCarmen Feijó … [et al.] – 4ª edição

Introdução

• Este capítulo apresenta a teoria básica dos números-índice

• Se procura estabelecer as ligações entre essas formulações e as operaçõesdas contas nacionais a preços correntes e constantes

• Veremos também os procedimentos necessários para a mudança da base decompração de uma série de números-índice

• Assim busca-se desenvolver as formulações necessárias ao cálculo dosnúmeros-índice e destacar alguns conceitos básicos e de ordem mais práticaque são necessários a uma compreensão mais completa das equaçõessubsequentes

Prof. Rodrigo Nobre FernandezUFPel - DECON – 2015/2

2

Conceitos Básicos

Um número-índice é uma medida que sintetiza, em uma expressãoquantitativa, a variação média, entre duas situações, de todos os elementosde um conjunto

As comparações podem se dar em períodos de tempo, regiões geográficasou conjunto de pessoas

Por exemplo: a produção da industrial é composta de uma diversidade deprodutos, medidos em diferentes unidades. Logo é necessário desenvolverprocedimentos que possibilite adicionar quantidades diferentes: número-índices.

UNIDADES MONETÁRIAS VALOR

UNIDADES FÍSICAS QUANTIDADE

VALOR UNITÁRIO PREÇO

VALOR = QUANTIDADE X PREÇO


3

Conceitos Básicos

Vamos utilizar a teoria do consumidor para termos uma definição precisa deum índice de custo de vida. Imagine que do período 0 para o 1 o sistema depreços passe de (p10, p20) pra (p11, p21). Seja R0 a renda inicial doconsumidor e R1 a renda que ele precisaria obter ao sistema de preços final omesmo nível de utilidade.

Então definimos o índice de custo de vida como a razão entre R1 /R0.

Para simplificar nossos cálculos suponha que o consumidor possuia a seguintefunção de utilidade :

Por simplicidade considere que a+b=1.

Ao resolvermos o problema de otimização do consumidor encontraremos que:


4

baxxxxU 2121,

ba

a

p

mx

1

1 ba

a

p

mx

1

1

Conceitos Básicos

Inserindo os valores das quantidades ótimas na função de utilidade temosque:

Logo a renda indireta é dada por:


5

baba

p

b

p

am

ba

a

p

m

ba

a

p

mmpV

2121

,

ba

b

p

a

pmpVm

21,

Conceitos Básicos

Usaremos os conceitos de e . Note que se os preçosevoluem de (p10, p20) para (p11, p21) a relação das rendas nominais quemantém o consumidor sobre o mesmo nível de indiferença é dada por:

Essa expressão é o verdadeiro custo de vida do consumidor. Trata-se de um índicegeométrico, isto é, da média geométrica das relações de preços do período 1 com operíodo 0, com os pesos iguais a “a” e “b”.


6

00 mR 11 mR

ba

p

p

p

p

R

RI

20

21

10

11

0

110

Produto

A primeira questão é identificar o que queremos medir o valor, o preço ou aquantidade

Em economia eles estão associados a bens e serviços transacionados,chamados genericamente de produtos

Derivam-se da produção, consumo intermediário, consumo final, estoque,exportação, importação e etc

Exemplo: o valor da produção de uma empresa é calculado pela soma dovalor dos produtos que produz, ou seja, o valor da produção de umaatividade não é uma variável que possa ser mensurada diretamente


7

Período de Coleta

Um número-índice apresenta a variação de preços, quantidade ou valor deum conjunto de produtos entre dois períodos de tempo

Podem ser realizadas dois tipos de coletas:

No mesmo dia: todos os dados são coletados em um mesmo dia.Assim a variação é obtida por um vetor de dados (por produto)referenciado a um dia com um outro vetor referenciado a um diaanterior. Esse índice é chamado ponto a ponto.

Ao longo: dados coletados durante um período, por exemplo umasemana ou um mês. Para se obter um vetor de dados, calcula-se amédia dos dados para cada período e a comparação é feita entre essesvetores.


8

Conceito de Relativo :Percentual, Multiplicador e Número-Índice

Suponha que um produto tenha no período t = 0 o preço de $500 / ton e noperíodo seguinte, t = 1, $800 / ton. A variação de preços do exercícios, podeser representada como:

Uma variação percentual: (1,60 – 1) x 100 = 60%

Um número índice: 1,60 x 100 = 160

Um multiplicador: 1,60


60,1500

800

0

1

t

t

P

PP

9

Conceito de RelativoPercentual, Multiplicador e Número-Índice

Genéricamente:

variação percentual = [(p2/p1)-1]x100

número índice = variação percentual + 100

número índice = multiplicador x 100

multiplicador = (variação percentual/100) +1


10

Conceito de RelativoExemplo 2 e 3

Suponha que o preço de um produto aumentou de $ 5.000,00 / un para $97.000,00 / un entre dois períodos. Calcule a variação percentual, onúmero-índice e o multiplicador que representam essa variação

Sabendo que um produto teve aumento de 435% entre dos períodos e queseu preço no período inicial era de $ 720,00 / un, calcule o preço no períodofinal

435%: multiplicador de (435 / 100) + 1 = 5,35

Preço no período final: 720,00 x 5,35 = 3.852


4,195000

97000

0

1

t

t

P

PP

11

Relativos

O conceitos de relativos está associado à variação do valor, preço ouquantidade de único produto para uma dada operação econômica, entredois períodos. Por ser a variação de um único produto, pode ser feitodiretamente pela razão dos valores entre o período final e o inicial

Variação nos preços

Variação nas quantidades

multiplicador número-índice


i

iti

tpp

pM

0

,0

i

iti

tqq

qM

0

,0 1000

,0 i

iti

tq

qQ

Mp0,t = multiplicador do produto i entre os períodos 0 e t

p0 = preço do produto i no período 0

pt = preço do produto i no período t

12

Período-base

É o período ao qual todos os relativos de uma série estão associados

Um série com base fixa em 0 é escrita como:

p01 – número-índice entre o período 0 e 1



...

p0n – número-índice entre o período 0 e n


13

Período-base

Quando se trabalha com relativos, a variação em valor pode ser obtida deduas maneiras:

Pela razão entre o valor dos produtos nos dois períodos

Multiplicador número –índice

Pelo produto do índice de preço pelo de quantidade

Multiplicador

Número –índice


i

iti

tvv

vM

0

,0 1000

,0 i

iti

tv

vv

itq

itp

itv MMM ,0,0,0

100,0,0,0 itq

itp

it MMv

14

Período-baseExemplo


Seja o conjunto de informações sobre a quantidade e o preço decomputadores em um período de quatro anos. Escolhendo 1985 comobase, calcule os número-índices para valor, preço e quantidade

Calculando número-índice para preços:

85 (2/2) x 100 = 100 86 (3/2) x 100 = 150

87 (9/2) x 100 = 450 88 (29/2) x 100 = 1450

Período Preço ($/un) Quantidade (un) Valor ($)

85 2 2 4

86 3 5 15

87 9 7 63

88 29 15 435

15



Repetindo o precedimento para as três variáveis, tem-se:

O cálculo correto da variação de valor é realizado com os multiplicadores:


85 100 100 100

86 150 250 375

87 450 350 1.575

88 1.450 750 10.875

75,1085,75,14

)100/750()100/450.1(

88,85

88,85

iv

iv

M

M

16



Suponha agora que o período base seja mudado de 1985 para 1987,calcule a nova série de relativos

A mudança pode ser feita como no caso anterior, partindo das informaçõesoriginais ou utilizando a série de números-índices base 1985 já calculada

Basta dividir toda a série pelo número-índice do novo ano-base

85 (100/450) x 100 = 22,22 88 (1.450/450) x 100 = 322,22


85 22,22 28,57 6,35

86 33,33 71,43 23,81

87 100 100 100

88 322,22 214,29 690,48

17

Elos de relativos e relativos em cadeia


Seja uma sequência de relativos de preços, expressos como índices, emintervalos sucessivos:

Cada uma dessas variações é chamada de elo relativo

A variação entre o período 4 e o período 1 pode ser calculada peloencadeamento dos elos (encadeamento da série). Assim:

Exemplo: são conhecidos os seguintes números-índices: q13 e q23 . Calculea variação de quantidade entre 1 e 2

1,5645342312 ,........,,,,, jjpppppp

)( 34231214 IpIpIpIp

18

Elos de relativos e relativos em cadeia


1002312

13

IqIqIq

10012

23

13 IqIq

Iq

19

Base de uma série de números-índice


Uma série de números-índices pode ter como referência (base) um períodofixo ou um período móvel.

BASE FIXA: a série de números-índices é toda referenciada ao mesmoperíodo (fixo)

BASE MÓVEL: o período de referência (base) muda para cada elo relativocalculado

nvvvvvv 00504030201 ,........,,,,,

nnpppppp ,14534231201 ,........,,,,,

20

Critérios de avaliação de um número-índice


Os critérios são utilizados para avaliar as qualidades e deficiências de umnúmero-índice, foram desenvolvidos por Irving Fisher

IDENTIDADE

PROPORCIONALIDADE quando todos os produtos tiverem

variação constantes e igual a

MUDANÇA DE UNIDADE é invariante à mudanças na unidade demedida adotada

100ou0,1, aaI

baI ,

baI ,

21



REVERSIBILIDADE

CIRCULAR

CIRCULAR MODIFICADA

EXEMPLO

Prove os critérios de números-índices para a seguinte série de preços

100ou0,1,, baab II

100ou0,1,,, accbba III

dadccbba IIII ,,,,

Períodos 85 86 87 88

Preços 2 3 9 29

22



Identidade:

Proporcionalidade:

Admitindo uma mudança de unidade em 1986, com p86=4

Portanto esse índice não é invariante.

12

2

85,85

85,8585,85

Ip

IpIp

23

2

3

85

8686,85

p

pIp

2

3

2

4

85

8686,85

p

pIp



Reversibilidade:

Circularidade:

24

19

2

3

9

2

3

87

85

86

87

85

8685,8787,8686,85

p

p

p

p

p

pIpIpIp

13

2

2

3

86

85

85

8685,8686,85

p

p

p

pIpIp


Essa propriedade estabelece que a variação em valor de determinadavariável poderia ser obtida diretamente a partir da sua variação de preçomultiplicada por sua variação de quantidade, ambas calculadas pelo mesmonúmero-índice

Exemplo: uma indústria vendeu, em 1987, 17.000 ton de seu produto a umpreço médio, no ano, de 1,5 $/ton. No ano seguinte, suas vendas foram de19.500 ton com um preço médio de 6,0 $/ton. Analise a evolução dasvendas dessa empresa sabendo que nesse período a inflação foi de 600%

IvIqIp

VQP

Decomposição das Causas

25



26

1987 1988 Índice (x100)

Q 17.000 19.500 114,7

P 1,5 6,0 400,0

V=pxq 25.500 117.000 458,8

Analisando o índice médio da economia 700 (NÍndice= var% + 100) com o índice do setor temos que: (400/700) = 0,57 ou seja o preço do setor cresceu 43% abaixo da média.

As vendas aumentaram em termos reais em 14,7%

O valor das receitas aumentou de um índice de 458,8, isto é, em termos percentuais 358,8%

88,8788,8788,87 MqMpMv



27

Para compensar a queda nos preços, quanto deveriam crescer as vendasreais?

Para que pelo menos as receitas acompanhassem a inflação, o índice devalor da empresa deveria ser igual a inflação, deste modo:

7 = 4 x Mq -> Mq = 1,75 ou Iq = 1,75 x 100 = 175

Portanto, somente um aumento de 75% nas vendas equilibraria esseperíodo em relação à média de preços na economia.

O cálculo de variações de preços e quantidades pode ser realizadodiretamente quando está utilizando apenas um produto

Quando há a nacessidade de se calcular variações de um conjunto deprodutos utilizamos a média, como uma forma de sintetizar a variação detodos os produtos em uma única variação

Os métodos mais usuais para captar variações na média são os índicesagregativos simples (Índice de Bradstreet)

Outros índices que utilizam base de ponderação, apresentando pesosdiferenciados para cada produto também serão visto

Índices de Laspeyres e Índice de Paasche


Emprego das médias para cálculo do número-índice

28

A primeira proposta foi simplesmente calcular a razão entre a médiaaritmética dos preços ou quantidades para cada período

Seja um conjunto com n produtos, de acordo a proposição de Bradstreet, osnúmeros índices de preços e quantidades seriam calculados, para i = 1, 2,3, ...,

Preços Quantidades


Índice Agregativo Simples (Bradstreet)

n

i

i

n

i

it

n

i

i

n

i

it

pt

p

p

n

p

n

p

I

10

1

10

1

,0

n

i

i

n

i

it

n

i

i

n

i

it

qt

q

q

n

q

n

q

I

10

1

10

1

,0

29

A restrição a essa formulação é o fato de adicionar unidades de medidadiferentes

Obtemos um resultado não invariante em relação à unidade de medidaadotada

Exemplo:

Pela tabela 1: (150+400)/(100+200)=1,83 ou 183,33 ou 86,33%

Pela tabela 2: (150.000+400)/(100.000+200)= 1,501 ou 150,1

Uma simples alteração na unidade pode influenciar o resultado em 22%(1,833/1,501)-1.



Tabela 1. $/kg Tabela 2. $/tonelada

Período 0 1 Período 0 1

Produto A 100 150 Produto A 100.000 150.000

Produto B 200 400 Produto B 200 400

30

Para contornar o problema de adicionar unidades diferentes, Sauerbeckpropôs que os números-índice fossem obtidos pela média aritmética dosrelativos de cada produto

O cálculo das variações individuais elimina o problema da unidade demedida, pois as variações são adimensionais

Preços Quantidades


Índice Agregativo Simples

n

p

n

p

p

I

n

i

it

n

ii

it

pt

1

,01 0

,0n

q

n

q

q

I

n

i

it

n

ii

it

qt

1

,01 0

,0

31

As fórmulas apresentadas calculam índices entre um período inicial 0 e umperíodo final t, t=1,...n, ou seja, formam uma série base fixa no períodoinicial 0 com índices até o período n. Para calcular uma série base móvel,período contra período anterior, basta considerar períodos sucessivos naaplicação das fórmulas:



n

p

n

p

p

I

n

i

itt

n

iit

it

ptt

1

,1

1 1,1

32

Exercício

Calcule os índices Agregativo Simples e de Sauerbeck para os dadosapresentados na tabela a seguir. Prove se o critério da circularidade éatendido pelos dois métodos.



Produto t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

1 1,5 2,0 1,8 3,0

2 2,0 2,0 3,0 4,0

3 5,0 3,0 6,0 6,0

33

Calcule os índices Agregativo Simples:

Ip(1,2) = (2+2+3)/(1,5+2+5)=7/8,5= 0,8235

Ip(1,3) = (1,8+3+6)/(1,5+2+5)=10,8/8,5= 1,27

Ip(2,3)= (1,8+3+6)/(2+2+3)=1,543

Temos que:

Ip(1,2) x Ip(2,3) = Ip(1,3)

0,8235x1,543 = 1,27

Isto indica que o índice de bradstreet atende a propriedade de circularidade.



34

Usando a equação temos que:

Verificando a circularidade:


Índice de Sauerbeck

35

78,975

3

2

2

5,1

2

3

12,1

pI 130

5

6

2

3

2

8,1

3

13,1

pI

67,1463

6

2

3

2

8,1

3

13,2

pI

2,1

3,2

3,1p

p

pI

I

I 886,0

67,146

130

Índice de médias simples desconsideram a importância relativa de umproduto em um conjuntos de n bens

A maneira de calcular os números índices deve superar problemas como:análise da evolução dos preços em uma economia sem ponderar aimportância de um automóvel e quilos (toneladas) de feijão

A ponderação proposta pelos métodos mais utilizados é a participação dovalor de cada produto no valor total da operação realizada, comoprodução, consumo, vendas, compras, etc

Assim, temos:


Números-Índice PonderadosBase de Ponderação

n

i

it

it

it

it

n

i

it

iti

t

qp

qp

v

v

11

36

Exemplo: dados os preços e quantidades para três produtos transacionadosnos períodos 0 e 1, calcule a base de ponderação para esses produtos emcada período

Este é o modo como o IBGE pondera os índices de preço ao consumidor. Érealizado através de entrevista domiciliares que levantam o peso de cadaproduto no consumo da família


Números-Índice PonderadosBase de Ponderação

p0 q0 p1 q1 p0 x q0 p1 x q1 ω0 ω1

Alimentação 7 2 8 2 14 16 0,438 0,286

Vestuário 3 1 4 2 3 8 0,093 0,143

Transporte 5 3 8 4 15 32 0,469 0,571

Total 32 56 1,0 1,0

37

A metodologia do índice de Laspeyres propõe que os números-índicessejam calculados pela média aritmética ponderada das variações de cadaproduto

O índice adota o período inicial para cálculo dos pesos, logo para umconjunto de n bens, temos

Preços Quantidades


Índice de Laspeyres

n

i

ii

n

i

iit

pt

qp

qp

L

100

10

,0

n

i

ii

n

i

iit

qt

pq

pq

L

100

10

,0

38

Seja um conjunto de n bens e o período de 0 a t, temos que:


Índice de LaspeyresDerivação do índice de preços

n

i

ii

n

ii

itii

n

i

i

n

ii

iti

pt

qp

p

pqp

p

p

L

100

1 0

00

10

1 0

0

,0

n

i

iit

nnttttt

n

ntnntt

n

ii

itii

qpqpqpqpqpqp

p

pqp

p

pqp

p

pqp

p

pqp

100

40

430

320

210

1

0

0020

220

201

0

110

10

1 0

00

...

...

Logo, obtemos...

resolvendo o numerador...

n

i

ii

n

i

iit

pt

qp

qp

L

100

10

,0

39

11

0

n

i

i



Índice de LaspeyresDerivação do índice de quantidades

n

i

ii

n

ii

itii

n

i

i

n

ii

iti

qt

pq

q

qpq

q

q

L

100

1 0

00

10

1 0

0

,0

n

i

iit

nnttttt

n

ntnntt

n

ii

itii

pqpqpqpqpqpq

q

qpq

q

qpq

q

qpq

q

qpq

100

40

430

320

210

1

0

0020

220

201

0

110

10

1 0

00

...

...

resolvendo o numerador...

Logo, obtemos...

n

i

ii

n

i

iit

qt

pq

pq

L

100

10

,0

40

A metodologia do índice de Paasche utiliza a média harmônica ponderadapara o cálculo dos números-índice e adota o período final como referênciapara a base de ponderação

Para um conjunto de n bens, temos

Preços Quantidades

Responde a seguinte questão: de quanto $ a preços correntes um indivíduonecessita para comprar uma cesta de bens e serviços no ano corrente,dividido pelo custo de aquisição da mesma cesta a preços do ano-base?


Índice de Paasche

n

i

it

i

n

i

it

it

pt

qp

qp

P

10

1,0

n

i

iit

n

i

it

it

qt

qp

qp

P

10

1,0

41



Índice de PaascheDerivação do índice de preços

n

iit

iit

n

i

it

it

n

iit

iit

n

i

it

pt

p

p

qp

p

pP

1

0

1

1

0

1,0

n

i

it

int

ntttt

nt

nnt

nt

t

tt

t

tt

n

iit

iit

qpqpqpqpqpqp

p

pqp

p

pqp

p

pqp

p

p

100

440

330

220

110

02

2022

1

1011

1

0

...

...

Logo, obtemos... Note que o peso será w1

n

i

it

i

n

i

it

it

pt

qp

qp

P

10

1,0

42



Índice de PaascheDerivação do índice de quantidades

n

iit

iit

n

i

it

it

n

iit

iit

n

i

it

qt

q

q

qp

q

qP

1

0

1

1

0

1,0

n

i

iit

nnttttt

nt

nnt

nt

t

tt

t

tt

n

iit

iit

qpqpqpqpqpqp

q

qqp

q

qqp

q

qqp

q

q

100

40

430

320

210

1

02

2022

1

1011

1

0

...

...

Logo, obtemos...

resolvendo o denominador...

n

i

iit

n

i

it

it

qt

qp

qp

P

10

1,0

43

Os índices de Laspeyres e Paasche apresentam relações interessantes,uma vez que utilizando a média ponderada, preços e quantidades para suasrespectivas metodologias

O índice de Paasche é maior do que o de Laspeyres se os preços equantidades tenderem a se mover na mesma direção entre os períodos 0 et

O índice de Laspeyres é maior se os preços e quantidades tenderem a semover em direções contrárias


Relação entre Laspeyres e Paasche

0

0

,,

,0,,0

,,,0

,,0

qpqpt

qpt

qpqpt

qpt

PL

LP

44


Relação entre Laspeyres e Paasche

qp

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

qp

qpCOV

qqpp

qqpp

,

1

2

1

2

1,

45

Para formar o índice de Laspeyres é exigido sempre a ponderação peloperíodo inicial, obrigando sempre o cálculo de uma nova estrutura deponderação

Ao se alterar essa estrutura para cada período, a referência para a sériesde índices, faz com que a série encadeada não seja circular

A solução para essa questão é estabelecer uma estrutura de ponderaçãofixa qualquer que seja o período calculado

A vantagem do LM é garantir que:

LM0,2 = LM0,1 x LM1,2


Laspeyres modificado

i

t

it

n

i

iptt

p

pLM

110,1

i

t

it

n

i

iqtt

q

qLM

110,1

46


Interpretação econômica dos Índices de Laspeyres e Paasche

Os índices de Laspeyres e Paasche podem ser interpretados comoindicadores que fazem a passagem de valores nominais para valores reais

Valor nominal: é o valor das transações econômicas calculado com aquantidade transacionada e seu preço no mesmo período

Valor constante: é o valor das transações econômicas calculado com asquantidades transacionadas no período considerado (t), porém os preçosadotados no cálculo do valor fixados em um ponto do período (1).

Exemplo: uma família compra uma única vez a carne, feijão que consumirádurante um mês. Para analisar crescimento do consumo, temos:

p1 q1 p2 q2 p3 q3

Carne 100 2,0 190 1,5 130 2,3

Feijão 55 1,0 60 1,8 70 2,5

47



Valor nominal dos gastos mensais com carne:

Mês 1 100 x 2,0 = 200

Mês 2 190 x 1,5 = 285 crescimento: (285/200) = 1,425 ou 42,50%


Nota-se que ocorreu um aumento dos GASTOS no mês 2 e uma queda nomês 3. Porém, somente com dados nominais nada mais pode ser dito

Analisa-se a variação REAL dos gastos estabelecendo o mês 1 comoreferência:

Mês 1 100 x 2,0 = 200

Mês 2 100 x 1,5 = 150 decréscimo: (150/200) = 0,75 ou -25%


48



Análises econômicas necessitam de informações que permitam identificar,nas variações em valor nominal, o papel das variações de preço e dequantidade

Assim, podemos estabelecer as seguintes relações, considerando 0 períodoinicial e 1 período final...

Valor nominal em 0 x índice de quantidade entre 0 e 1 = valor real em 1

Valor real em 1 x índice de preço 0,1 = valor nominal em 1

)1(11

01,001

0i

n

i

iqin

i

i qpIqp

)2(11

11,011

0i

n

i

ipin

i

i qpIqp

49



Podemos reescrever (1), como:

Reescrevendo (2), temos:

)3(,0

01

0

10

01

0

11

0

1,0qt

in

i

i

it

n

i

i

in

i

i

in

i

i

q L

qp

qp

qp

qp

I

)4(,0

10

1

11

0

11

1

1,0pt

it

n

i

i

it

n

i

it

in

i

i

in

i

i

p P

qp

qp

qp

qp

I

50



Podemos perceber que as relações nos levam a um índice de quantidadede Laspeyres e índice de preços de Paasche

Assim, verifica-se que o índice de valor, entre os períodos 0 e 1, é obtidopela multiplicação de um índice de quantidade de Laspeyres por um índicede preço de Paasche

Temos, então:

IMPORTANTE: os índices de Laspeyres e Paasche não atendem aoprincípio de decomposição das causas, pois:

pqvqpv PLIouPLI 1,01,01,01,01,01,0

qpvqp PPILL 1,01,01,01,01,0

51


Índice de Fischer

Também chamado de índice ideal, o índice de Fischer foi proposto paratentar diminuir as distorções entre os índices de Laspeyres e Paasche. Paratal, foi definido como a média geométrica desses dois índices

Este índice não atende ao critério da circularidade, mas atende àdecomposição das causas, que era o objetivo central de sua formulação

Desvantagens:

Há necessidade de se calcular previamente os índices de Laspeyres ePaasche, provocando aumento nos custos e no tempo necessário paraseus cálculos e divulgação

Não é um índice de compreensão fácil

qt

qt

qt

pt

pt

pt PLFPLF ,0,0,0,0,0,0

52


Exercício

Uma pesquisa sobre gastos das famílias obteve os seguintes dados paratrês períodos

Calcule as estruturas de ponderação

Calcule o índice de Laspeyres (0,1) preço e quantidade pela estrutura de ponderação efórmula geral

Calcule Laspeyres preços para 0,2 – 0,1 e 1,2 verifique se o critério de circularidade éatendido

Calcule Paasche quantidade e preço para o período 1,2

q0 p0 q1 p1 q2 p2

Alimentação 5,0 1,0 6,0 1,2 4,5 1,7

Vestuário 0,5 3,0 1,0 3,0 0,5 4,0

Energia 1,0 0,5 0,8 0,8 1,0 1,2

Transporte 3,0 1,0 2,0 1,5 3,0 1,8

53


Exercício

Produção V0 V1 V2 w0 w1 w2

Alimentação 5,0 7,2 7,65 0,50 0,52 0,47

Vestuário 1,5 3 2,0 0,15 0,22 0,12

Energia 0,5 0,64 1,2 0,05 0,04 0,08

Transporte 3,0 3 5,4 0,30 0,22 0,33

Total 10 13,84 16,25 1 1 1

54


Exercício

55

1281

5,13,0

5,0

8,005,0

3

315,0

1

2,15,01,0

PL

710,11

8,13,0

5,0

2,105,0

3

415,0

1

7,15,02,0

pL

354,15,1

8,122,0

8,0

2,104,0

3

422,0

2,1

7,152,02,1

PL

Note que o critério da circularidade não é atendido:PPP LLL 2,01,02,1


Exercício

56

343,15,1

8,13,0

8,0

2,105,0

3

415,0

2,1

7,15,02,1

PL

Deste modo o critério é atendido.

Utilizando o Índice de Laspeyres modificado:

O Índice de Paasche de quantidade direta e implicitamente para o período 1-2:

8662,08,122,18,0417,16

8,132,1145,07,15,42,1

QP

Calculando implicitamente:

8672,0354,1

1741,1

354,1

84,13

25,16

354,11

2

2,1

2,12,1

V

V

L

IP

P

vQ


Índice de Volume

Um índice de volume é uma média de variações relativas nas quantidadesde um determinado conjunto de bens e serviços entre dois períodostemporais

Seja o exemplo: uma indústria automobilística com dois tipos de automóvel,o popular e o luxo,e os dados de preço e quantidade produzida, em doisperíodos, são apresentados na tabela a seguir

Calculando para automóvel...

Índice de preço (8/2,5) x 100 = 320

Índice de quantidade (100/100) x 100 = 100

Índice de valor (8x100)/(2,5x100) x 100 = 320

p0 q0 p1 q1

Popular 1 50 2 0

Luxo 4 50 8 100

Automóvel 2,5 100 8 100

57


Índice de Volume

No caso de serem disponíveis informaçõe detalhadas, é necessário utilizaras equações de Laspeyres e Paasche

Índice preço – Paasche

Índice quantidade - Laspeyres

200100100401

100802

10

11,0

n

i

it

i

n

i

it

it

p

qp

qp

P

160100450150

410010

100

10

1,0

n

i

ii

n

i

iit

q

pq

pq

L

58


Índice de Volume

Índice de valor

Dessa forma, as variações do produto automóvel, calculadas por umagregado ou por dados mais detalhados, têm o mesmo resultado para ovalor, porém há uma mudança quando se consideram quantidade e preço

Apesar das quantidades permanecerem inalteradas em seu total, há umaumento do valor adicionado por cada veículo ao parar de produzir um bempopular para se concentrar em um de luxo

Assim, o índice de Laspeyres quando temos informações detalhadas,calcula não a variação da quantidade mas sim a variação de volume, ouseja, um aumento real no valor adicionado por cada bem chamadoautomóvel

3201006,10,21,01,01,0 qpv LPI

59


A escolha de um período para base de comparação de uma série denúmeros-índice de ve considerar, principalmente:

Períodos considerados normais

Proximidade entre as bases de ponderação e comparação

Qualquer que seja a base de ponderação adotada para um índice deLaspeyres a sua base permanece inalterada

A mudança de uma base consiste em recalcular a série com um novoperíodo como referência. Consideram-se três mudanças:

Base móvel para base fixa

Base fixa para base fixa

Base fixa para base móvel

Mudança da base de comparação em uma sériede números-índice

60


Seja a seguinte série de índices base móvel

A mudança é feita admitindo-se que o critério de circularidade seja atendidopela série considerada, assim uma base fixa no período 0 seria calculadapor


ttIIII ,13,22,11,0 ...

tttttt IIIIIII

IIII

III

II

,11,0,13,22,11,0,0

3,22,11,03,0

2,11,02,0

1,01,0

...

...

61


Supondo agora uma nova série com base diferente de 0, ou seja, em umperíodo genérico i no meio da série, temos

Para perído anterior a base Para período posterior


1

.../1

.../1

.../1

,

,12,11,,

,13,22,1,1

,12,11,0,0

ii

iijjjjij

iii

iii

I

IIII

IIII

IIII

ttiiiiti

iiiiii

iiii

IIII

III

II

,12,11,,

2,11,2,

1,1,

...

...

62


A passagem de uma série base fixa para uma outra base fixa resume-se àmudança do período de referência através de uma regra de três. Seja aseguinte série com base no período 0

Uma série base fixa no período 3 ficaria

Supondo conhecida a série no período 0, sua mudança para uma série combase fixa no período 3 ficaria

Base fixa para base fixa

tIIIII ,03,02,01,00,0 ...

tIIIII ,34,33,32,31,3 ...

3,04,04,3

3,03,03,3

3,02,02,3

3,01,01,3

III

III

III

III

A passagem de uma base fixa para outraresume-se a simplesmente dividir a sérieinicial pelo valor do multiplicador no novoperíodo-base e depois multiplicar por 100

63


Seja uma série de multiplicadores para uma série base fixa no período 0

Uma base móvel período contra período anterior é calculada por

Base fixa para base móvel

tIIIII ,03,02,01,00,0 ...

1,0,0,1

2,03,03,2

1,02,02,1

1,01,0

/

...

/

/

tttt III

III

III

IIPeríodo 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

Índice 100 107 98 102 115

Para 0,1 é o mesmo índice

Para 1,2 (98/107) = 0,9159 91,59

Para 2,3 (102/98) = 1,0408 104,08

Para 3,4 (115/102) = 1,1275 112,75

64


O cálculo do valor adicionado para cada atividade econômica é realizadopela diferença entre o seu valor da produção e o seu consumo intermediário

São três os procedimentos recomendados no System of National Accountscomo os de maior confiabilidade

(i) Dupla deflação: consiste em deflacionar o valor da produção e oconsumo intermediário através de índices de preços específicos

Cálculo do valor adicionado a preços constantes

n

j

tij

n

j

tij

ti uvy

11

y = valor adicionado pela atividade i no tempo t

v = valor da produção do produto j na atividade ino tempo t

u = valor do consumo intermediário total(nacional mais importado) do produto j pelaatividade i no tempo t

65


Rearrajando para valores constantes sempre ao preço do ano anterior

y = valor adicionado pela atividade i no tempo t a preços de t-1

Ip = índice de preços ao produtor entre t e t-1 para o produto j

Ic = índice de preços ao consumidor entre t e t-1 para o produto j


n

j j

tij

n

j j

tijtt

iIc

u

Ip

vy

11

1

66


(ii) Índice de Laspeyres para o volume: o valor adicionado de t a preços t-1é obtido pela multiplicação do valor adicionado a preços correntes de t peloseguinte índice de volume

Assim...


n

j

n

j

tij

tj

tij

tj

n

j

n

j

tij

tj

tij

tj

VAq

uqPcvqPp

uqPcvqPp

L

1 1

1111

1 1

11

L = índice de Laspeyres de volume para o VAentre t-1 e t

vq = quantidade do produto j produzida naatividade i no período t

uq = quantidade do produto j cosumida naatividade i no período t

Pp = preços de produção do produto j noperíodo t

Pc = preço ao consumidor (intermediário) doproduto j no período t

VAq

ttt Lyy 11

67


(iii) Índice de Paasche para preços: o valor adicionado de t a preços de t-1 éobtido pelo deflacionamento de valor adicionado a preços correntes de t peloseguinte índice de preços

Assim...


n

j

n

j

tij

tj

tij

tj

n

j

n

j

tij

tj

tij

tj

VAp

uqPcvqPp

uqPcvqPp

P

1 1

11

1 1

1

VAp

ttt

P

yy 1

P = índice de Paasche de preços para o valoradicionado entre t-1 e t

68


Recomendações

A forma mais correta de se calcular variações em volume do PIB éatravés de um índice de Fischer entre dois períodos consecutivos; asvariações para períodos mais longos são obtidas pelo encadeamentodesses índices (elos da cadeia)

A forma mais correta de se calcular inflação anual que afeta o PIB éatravés do índice de preço de Fischer; as variações de períodos maislongos são obtidas pelo encadeamento dos elos

Os índices em cadeia que utilizam os índices de volume de Laspeyrespara medir as variações anuais do PIB em volume e os índices depreços de Paasche para medir a inflação anual consistem alternativasaceitáveis aos índices de Fischer


69

contabilidade social carmen feijó … [et al.] –4ª...

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