UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA Controle e Instrumentao de Processos - Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 1 MALHA DE CONTROLE POR REALIMENTAO Uma malha de controle por realimentao tem a sua representao em blocos dada por: Controlador Elemento finalde controle Processo Elemento de +_ SP EPMC Medio C m Processo:representaoprocessocontrolado(porexemploumtanque).Traduzo impactosobreoprocesso(representadopelasuasadacontrolada)davarivelde estmulo manipulada pelo controlador. Comparador:Determinaodesvioentreavarivelcontroladaeoseuvalorde referncia. Controlador:produzumsinaldesada(P) baseado no sinal de erro(E=SP-M) para corrigirodesvioentreavarivelcontroladaeseuvalordereferncia(set-point, SP). Estedesvioreferidocomoerroderealimentaoportersidorealimentadodo processo (asada do processo decorrente da ao do controlador realimentada ao controlador). ElementoPrimrio:Oelementodemedioligadoaoprocesso(sensor)eo transmissor,quepadronizaosinalmedido(parapadropneumtico,analgicoou digital). ElementoFinaldeControle(ouatuador):elementoatuandodiretamentesobreo processo(quasesempreumavlvula),deacordocomosinalprovenientedo controlador(P).Asadadoatuadoravariveldeestmuloparaoprocesso (freqentemente uma vazo), M. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA Controle e Instrumentao de Processos - Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 2 O sensor, transmissor e elemento final de controle esto, normalmente localizados no campo enquanto o controlador localizado na sala de controle. INSTRUMENTAO DOS SISTEMAS DE CONTROLE Sistema de Medio: Avarivelcontroladaprecisasermedidaparaqueumaaodecontrolepossaser tomada, j que s se pode controlar o que se pode medir. Esta tarefa executada por umtransdutor.Esteconsistedeumelementosensoraliadoaumacionadorque converteagrandezamedidadoprocessoemumsinalpadronizadoenviadoao controlador (transmissor). Umsensorestdefinidopeloprincpiofsicodemedio,pelasfaixasepeloseu comportamento dinmico. Sinais de Transmisso: Os sinais transmitidos pelo transdutor e recebidos pelos demais elementos da malha de controle devem estar padronizados. O padro mais antigo utilizado industrialmente opneumtico,nafaixade3a15psig.Atualmente,osprojetosutilizamsinais eletrnicos padronizados na faixa de 4 a 20 mA (analgicos) ou 0 a 5 V (digitais). Terminologia de Controle: Utiliza-se frequentemente a seguinte terminologia: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA Controle e Instrumentao de Processos - Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 3 alcance (range): limites mximo e mnimo de variveis de processo. Exemplo: 50C-250C. faixa (span): intervalo entre os limites mximo e mnimo do alcance. Do exemplo anterior, 200C. sensibilidade (ganho): razo da variao no sinal de sada (leitura) para variao no sinal de entrada, aps atingir estado estacionrio. repetibilidade: obteno do mesmo valor de sada para leituras repetidas do mesmo sinal de entrada calibrao: conjunto de testes para determinao dos valores de sada correspondentes a vrios valores de entrada, dentro do alcance dos instrumentos, gerando uma curva de calibrao. xx xxmVCK erro: diferena algbrica entre a leitura e o valor real do sinal de medida. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA Controle e Instrumentao de Processos - Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 4 erro percentual: erro relacionado faixa de medio do instrumento, em relao entrada ou sada. dado fornecido pelo fabricante. sinal do faixavalor valorerroideal real % linearidade: grau de afastamento da curva de calibrao da linha reta. desejvel em qualquer instrumento por implicar em ganho constante. correooucompensao:diferenaentreovalorlidoemcondiesde processo e o valor calibrado em T e P padro. caractersticasdinmicas: o tempo de resposta do instrumento (dado fornecido pelo fabricante) sofre influncia de caractersticas de construo, do fluido medido(fase e velocidade), do tipo de proteo e material. t(min)63.2%isolado, com juno soldadasem soldaTermopar 1 14 t(min)63.2% lquido em movimento ar em movimento 0.2 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA Controle e Instrumentao de Processos - Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 5 t(min)63.2%sem poocom poo em ao0.62.0 tempo de resposta (min)velocidade do fluido (ft/min)20400.120.04 Elementos de Medio: Soinstrumentosparamedioon-linedevariveisdeprocesso.Atabelaabaixo resume os principais sensores empregados na indstria qumica/petroqumica: VARIVEL DE PROCESSO SENSOR SMBOLO TEMPERATURA termopares, termorresistncias, etc TT PRESSO tubos de bourdon, foles, diafragmas PT NVEL bias, dispositivos de deslocamento LT VAZO placas de orifcio, Venturi, turbinas, ultrassom, etc. FT UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA Controle e Instrumentao de Processos - Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 6 COMPOSIO cromatgrafos, UV, IV, paramagnticos, potenciometros, condutmetros, pHmetros, espectrmetros, etc. AT Transmissores: umdispositivoquetraduzoseusinaldeentradaemsinalpadroparaa instrumentao(pneumtico,analgicooudigital),comdinmicadesprezvel.a interfaceentreocontroleeoprocesso.Convertemosinaldossensores(milivolt, movimento mecnico, etc) em sinal de controle (3 a 15 psig, 4 a20 mA, 1a 5 V, etc), comdinmicaquasesempredesprezvel,sendoconsideradoapenascomoum ganho. O ganho de um transmissor de presso, por exemplo, : psipsipsig psigpsig psigK500120 5003 15EntradaSada 50C 4 mA 150C20 mA 50 150420Tm (mA)T(C)zerospan/faixa UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA Controle e Instrumentao de Processos - Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 7 ) (16 . 0 ) (4 ) ( * 16 . 0 ) (16 . 050 1504 204 ) 50 ( ) (C T mA TmA C TCmAmA TCmAKmA T K mA Tmm m + + Aplicando Transformada de Laplace: mK 16 . 0(s) T(s) Tm Soconsiderados,nascondiesdeoperao,lineares.Umexemplodeum transmissor no linear est esquematizado abaixo: 50 150420Tm (mA)T(C)Km1Km2Km3 Conversores: So dispositivos para converter o sinal analgico em pneumtico, normalmente utilizados para acionamento de vlvulas. mApsigKP I75 . 04 203 15/DIAGRAMA P&I A simbologia adotada na representao dos instrumentos segue padronizao da ISA. A Tabela a seguir apresenta os principais smbolos empregados na construo destes diagramas: LT TT FT PT AT LC TC FC PC AC Sensor de Nvel Controlador de Nvel Sensor de Temperatura Sensor de Vazo Sensor de Presso Sensor de Composio Controlador de Temperatura Controlador de Vazo Controlador de Presso Controlador deComposio UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 1/17 AES DE CONTROLE Aaodocontroladorfeedbackpodesercompostaporcombinaesdetrsaes: proporcional, integral e derivativa. FT FC Transmissor Controlador P (Ao) C (varivel controlada,medida) R (Set point) m C (varivel controlada) C=vazo Os controladores de 3 aes respondem pela maioria das malhas de controle industrial, tendo sido introduzido no mercado nos anos 40, na verso pneumtica. O APNDICE 3 um artigo de Astrom et al., 2001 que apresenta este controlador ainda como o mais usado em controle de processos. .Ao Proporcional Atua assim que identifica o sinal de erro: r controlado do ganho Kbias Pt E K P t Pt C t R t Ecsc sm

" ") ( ) () ( ) ( ) (+ Para obter-se a funo de transferncia, define-se: sP t P t P ) ( ) (

No h necessidade de definir desvio do erro pois o erro no estado inicial zero. Logo: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 2/17 cKs Es P) () ( O sinal do ganho determinar a aodo controlador. Para ganhos positivos, o controlador ditodeaoreversa(asadadocontroladoraumentacomareduodosinalda varivel medida). Em caso contrrio, o controlador dito de ao direta. A sada do controlador em funo do erro tem o comportamento ideal limitado por efeitos de saturao do controlador. COMPORTAMENTO IDEAL:COMPORTAMENTO REAL: P s E(t) P(t) P s E(t) P(t) P max P min Porsuasimplicidade,semprequeadequadoemprega-seocontroladorproporcional. Contudo,estecontroleapresentaadesvantagemdenoanularosinaldeerro restringindo o seu emprego. .Ao Integral muitoempregadapelasuacapacidadedeeliminarosinaldeerro,pois,enquanto persistir o sinal de erro, haver mudana da ao: ' ) ' (1) (0dt t E P t PtIs + UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 3/17 Esta ao, ao contrrio da proporcional, no pode ser usada isoladamente pois a sada do controladorssersignificativaapsoerropersistirporumcertointervalodetempo. Conseqentemente,aaointegralusadacomaaoproporcionaleaformamais comum de controladores feedback, conhecida como controle PI: } ' ) ' (1) ( { ) (0dt t E t E K P t PtIc s + A funo de transferncia do controlador PI : )11 () () (sKs Es PIc+ Asadadocontroladormudaassimquefordetectadavariaonoerrodevidoao proporcional.QuandotI ,aaointegralter"repetido"aaoproporcional.Esta terminologiausadaemalgunscontroladorescomerciaisquetmaaointegral sintonizada como "repeties por min". E(t) t K c K c t I P(t) t .Ao Derivativa Aaoderivativacontribuiparaasadadocontroladorsemprequehouvervariaono erro (derivada do erro com o tempo). Esta caracterstica torna inapropriado o seu uso em sinaiscomrudos(aexemplodesinaisdenveledevazo).Poroutrolado,muito UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 4/17 usadaemvariveislentas como temperatura e composio, j que antecipa a sada do controlador. Estaaousadajuntocomaaoproporcional(controlePD)oucomaao proporcional e integral (controle PID), quando tem a seguinte expresso matemtica: }) (' ) ' (1) ( { ) (0dtt dEdt t E t E K P t PDtIc s+ + A funo detransferncia do controlador PID : )11 () () (ssKs Es PDIc+ + Em diagrama de blocos: 1t sIDKct sE ( s )P ( s )+++1 Observa-sepelafunodetransfernciaqueaaoderivativaidealnofisicamente realizvel.Oscontroladorescomerciaisaproximamaaoderivativausandoaseguinte funo de transferncia: 0.2 < < 0.05 ),11)(11 () () ( +++ sssKs Es PDDIc Na expresso acima, as trs aes so aplicadas em srie: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 5/17 1sI1 ++ 1 sDcD s+ 1 E(s) P(s) .Aes e Sintonia Aadiodaaoproporcionalatuanosentidodecorrigiroerro.Quantomaioroganho menor o desvio permanente ouoff-set sem, contudo, conseguir anul-lo. A ao integral garanteeliminarooff-setmasintroduzoscilaonosistema.Finalmente,aao derivativareduzasoscilaeseaceleraaresposta.Oefeitodasaesapresentado graficamente abaixo: PPI PIDSEM Na ao proporcional, o efeito do ganho reduzir o off-set: Kcy(t)toff-set NasintoniadocontroladorPI,umaumentodeKcintroduzmaisoscilaonosistema enquantoaceleraaresposta.Paraummesmoganho,areduodaconstanteintegral UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 6/17 aumenta a ao integral do controladoracentuando a caracterstica oscilatria ao mesmo tempo que acelera a resposta: Kcy(t)ty(t)tI No controlador PID, o efeito do tempo derivativo acelerar a resposta: y(t)tD Emresumo,umaumentodoganhoaceleraarespostaereduzooff-set(desvio permanente).Sesintonizadomuitoaltofararespostamuitooscilatria(indesejvel) levando,inclusive,instabilidade.Poroutrolado,oaumentodotempointegraltornao controle mais "conservador" (lento) (aumento da constante integral equivale a reduo da aointegral).Porltimo,aaoderivativareduz o "overshoot", o grau de oscilao e o tempo de resposta mas, em contra-partida, amplifica os rudos de medio. A escolha do conjuntodevaloresassumidosporestesparmetroschamadodesintoniado controlador e determina o comportamento dinmico da malha. .Aplicao das Aes As aes so determinadas pela aplicao, como apresentado no quadro a seguir: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 7/17 PROPRIE-DADE VAZO E PRESSO DE LQUIDO PRESSO DE GS NVELTEMPERATURACOMPOSIO Tempo mortoNoNoNoVarivelConstante Tempo1-10 segzero1-10 segmin - hrmin - hr RudoSempreNoSempreNoFreqente Proporcional50-200%0-5%5-50%10-100%100-1000% Integral (75 % das malhas) EssencialDesneces-sria Rara-mente SimEssencial DerivativaNoDesneces-sria NoEssencialAconselhvel .Controle ON-OFF UmcasolimitedocontroladorproporcionalocontroleON-OFF(oubang-bang), equivalenteaumganhoinfinito.Socontroladoresbaratosusados,normalmente,em termostatos. Matematicamente, descrito como: ) 0 ) ( () 0 ) ( ( ) (minmax t E Pt E P t P usadopelasuasimplicidademasoferecedesvantagenscomoproduzirumciclo contnuo na resposta e o desgastar o elemento final de controle. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 8/17 P(t) C(t) E E min max P P max min C med Os controladores PID so, normalmente, de uma das trs formas mostradas na Figura a seguir(Kcoganho,IaconstantedetempointegraleDaconstantedetempo derivativa): Algoritmosutilizadosemcontroladorescomerciaispodemserobtidosnosite http://bestune.50megs.com.(reproduzido nas pginas 12 a 7 deste documento). UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 9/17 DINMICA DE MALHA FECHADA Arespostadinmicadeumamalhadecontroleexemplificadacomtanquedenvel representado a seguir: hLCq3q1q2 1) () () (1) () () (: e :) () () ( ) ( ) () (1233 2 1+ + + sKs Qs Hs GsKs Qs Hs Gse TemR K RADefinindoRt ht qt q t q t qdtt dhAppLpppp p Asduasfunesdetransfernciasoidnticaspoisoefeitonaalturaomesmopara qualquer das duas entradas. O diagrama de blocos para o processo : UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 10/17 +-G (s)cG (s)vG (s)pG (s)mH(s)H(s)+ +G (s)LQ(s)1~KmH(s)^^(m) (psi) (psi)(psi) (psi)(psi)E(s) P(s)^ Q(s)3H(s)^m Para: v vm mK s GK s G) () ( eum controlador puramente proporcional, um problema servo ter a seguinte funo de transferncia: c p v m mama mamac p v mc p v mspK K K K KK KKKondesKs K K K Ks K K K Ks Hs H++++ ++ 1 11 ) 1 /( 1) 1 /() () (1 111 Amalhafechadaumsistemadeprimeiraordemcom 1 < .Ouseja,osistema controlado responde mais rapidamente que o sistema sem controle. Para uma perturbao degrau no set-point de magnitude M, tem-se: ) 1 ( ) ( ) 1 () ( 1/111 te M K t hs sKs H + O off-set, definido como o erro de estado estacionrio, ser: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 11/17 maspKMM K M h h set off+ 1) () (1 ou seja, a ao proporcional no anula ooff-set. A mesma anlise pode ser desenvolvida para um problema regulador. QuandoutilizadoumcontroladorPInoproblemaregulador,obtm-seaseguintefuno de transferncia: 0 )} / 1 sen(1{ lim 01 2) (1) (

)+ 1(21= : 1 2) 1 /( )11 ( 1) 1 /() () (2 /23332331I3 332333 + + + ++ + ++ t eKset offes sKs Hss Q paraK K K K KKKKK K KKondes ss KssK K K Ks Ks Hs Httc p v m mamaImamam v cIIc p v mpsp Logo, a ao integral elimina o off-set (tanto para problemas servo quanto reguladores). UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 12/17 PID Controllers in BESTune ThefollowingPIDcontrollerscanbeoptimizedbyusingtheexcellentPIDauto-tuningsoftwareBESTune(seehttp://bestune.50megs.comfordetails). Theoretically, BESTune is able to optimize any PID controllers, as long as the PID equations implemented in them are known. In order to include more PID controllers in BESTune, I am asking you to give me more information about other well-known brandsofindustrialPIDcontrollers(brandnames,PIDequationsimplemented, units of the three PID constants, etc). Your help will be very much appreciated. TheactualPIDequationsthatareimplementedinsidethesePLCsareallin discretetimeordigitalform.Oneexampleofthediscretetimeformof"Allen BradleyLogix5550IndependentPID"canbefoundonthewebpage http://bestune.50megs.com/typeABC.htm. Allen Bradley Logix5550 Independent PID where Kp:Proportional gainNo unit Ki:Integral gain(1/second) Kd:Derivative gain(seconds) Allen Bradley Logix5550 Dependent PID where Kc:Proportional gainNo unit Ti:Reset time(min/rep) Td:Rate time(min) UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 13/17 Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using Integer Blocks where Kp:Proportional gain(0.01) Ki:Integral gain(0.001/ second) Kd:Derivative gain(seconds) Allen Bradley PLC5 Independent PID - Using PD Blocks where Kp:Proportional gainNo unit Ki:Integral gain(1/ second) Kd:Derivative gain(seconds) Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using Integer Blocks where Kc:Proportional gain(0.01) Ti:Reset time(0.01min/rep) Td:Rate time(0.01min) Allen Bradley PLC5 ISA PID - Using PD Blocks where Kc:Proportional gainNo unit Ti:Reset time(min/rep) UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 14/17 Td:Rate time(min) Allen Bradley SLC5/02,SLC5/03 and SLC5/04 ISA PID where Kc:Proportional gain(0.1) Ti:Reset time(0.1min/rep) Td:Rate time(0.01min) Bailey Function Code FC19 with K=1 where K:Gain multiplierNo unit Kp:Proportional gainNo unit Ki:Integral reset1/min Kd:Derivative rate actionMin Bailey Function Code FC156 Independent Form with K=1 where K:Gain multiplierNo unit Kp:Proportional gainNo unit Ki:Integral resetResets/min Kd:Derivative rate actionMin Concept PID1 - PID Controller UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 15/17 where Gain:Proportional gainNo unit TI:Reset time(milliseconds) TD:Derivative Action time (milliseconds) Concept PID1P - PID Controller with parallel structure where KP:Proportional gainNo unit KI:Integral rate(1/milliseconds) KD:Differentiation rate (milliseconds) Fischer & Porter DCU 3200 CON Ideal with KP = 1 If Kp = 1, the above equation reduces to: where KC:Gain constantNo unit TR:Reset time(min/rep) TD:Derivative term(min) Fischer & Porter DCU 3200 CON Parallel KP variable with KC=1 If KC=1, the above equation reduces to: UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 16/17 where KP:Proportional gainNo unit TR:Reset time(min/rep) TD:Derivative term(min) GE Fanuc Series 90-30 and 90-70 Independent Form PID where Kp:Proportional gain(0.01) Ki:Reset time(0.001rep/second) Kd:Derivative gain(0.01 seconds) Hartmann & Braun Freelance 2000 PID where CP:Proportional correction valueNo unit TR:Reset time(milliseconds) TD:Rate time(milliseconds) Honeywell TDC 3000 APM Non - Interactive PID where K:GainNo unit T1:Integral time constant(min/rep) T2:Derivative time constant(min) UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO ESCOLA DE QUMICA EQE-594 - Profa. Oflia de Q.F. Arajo - ofelia@eq.ufrj.br 17/17 Modicon 984 PLC PID2 Equation wherePB:Proportional bandNo unit K2:Integral mode gain constant(0.01min/rep) K3:Derivative mode gain constant(0.01min) Siemens S7 PB41 CONT_C PID where Gain:Proportional gain No unit TI:Reset time(seconds) TD:Derivative time(seconds) Yokogawa Field Control Station (FCS) PID where PB:Proportional bandNo unit Ti:Integral time(seconds) Td:Derivative time(seconds) Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 1/1 Exemplo ) (8 8 12 68) (2 3s LK s s ss CC+ + + +( )2281 1+ sG G G GL P M V C CK s G ) ( . Seja CK s s s s B 8 8 12 6 ) (2 3+ + + + Se KC=1 ( )( ) ( )( )( ) j s j s s s s s s B 3 1 3 1 4 4 2 4 ) (2 + + + + + + + Lembrem-se:

,_

+atea s1

Logo A resposta ao degrau se a soma de exponenciais negativos SeKC=27 ( )( ) ( )( )( ) j s j s s s s s s s s s B 3 3 1 3 3 1 8 28 2 8 224 12 6 ) (2 2 3 + + + + + + + O ganho do controlador afetou as razes da malha fechada. Off-set para perturbao de cargass L1) ( : C CsCK Ks sY t ys K s s ss C++ + + + +118 88) ( lim ) (18 8 12 68) (02 3 Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 2/2 Com KC grande,0 ) ( t ymas no atinge zero.H offset com o controlador proporcional, que pode ser bastante grande se um aumento de KC estiver limitado por problemas de instabilidade. PID (ideal):

,_

+ + ssK s GDIC C11 ) ( No gera offset; Ajustar KC , Ie D , para obter resultados satisfatrios. Anlise das razes da Equao Caracterstica uma forma de estudar o comportamento da malha, e definir regio de estabilidade. 0 1 +M P V CG G G GDe acordo com a posio das razes no plano Re x Im, diferentes padres de respostas dinmicas so alcanados. Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 3/3 Regra heurstica: A resposta de malha fechada se torna menos oscilatria e mais estvel diminuindo-seKC ou aumentando I . Consideraes de estabilidade:Controle Feedback pode resuoltar em malhas fechadas oscilatrias e at mesmo instveis. Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 4/4 Comportamento tpico(para diferentes valores de KC) Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 5/5 ESTABILIDADE Estabilidade BIBO Hvriasdefiniesdeestabilidadedeumsistemadinmico,umamuitoutilizadaade estabilidade BIBO (Bounded Input Bounded Output), isto , um sistema dinmico dito ESTVEL seumaperturbaofinitaproduzumasadafinita,independentedoseuestadoinicial.Uma perturbao finita aquela que sempre permanece entre um limite superior e um limite inferior (e.g. senide e degrau). Critrio de Estabilidade de Routh Aestabilidadedoprocessopodesertestadasemquesejanecessrioresolveraequao caracterstica para obteno dos polos. O mtodo de Routh indicar a existente de polos positivos, e aplicveltantoamalhasfechadasquantoabertas,bastando,apenas,utilizaraequao caracterstica apropriada. Para um processo de ordem N, tem-se a seguinte equao caracterstica: a s a s a s aNNNN+ + + 111 00 ... onde aN positivo. Uma condio necessria (mas no suficiente) para estabilidade do processo que todos os coeficientes na equao caracterstica sejam positivos e no nulos. Caso esta condio seja obedecida, constri-se a MATRIZ DE ROUTH ({n+1} linhas): a a aa a ab b bc cn n nn n nb 2 41 3 51 21 2............ ...... ondeba a a aacb a a bbn n n nnn n:11 2 3111 3 1 21

Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 6/6 ba a a aacb a a bbetcn n n nnn n21 4 5121 5 1 31

. O Critrio de Estabilidade de Routh uma condio necessria e suficente para que todas as razes daequaocaractersticaseencontremnoSPE.Estacondioquetodososelementosda1 coluna da Matriz de Routh sejam positivos. Exemplo C C M V L PK G G GsG G + 1) 2 (83 Equao caracterstica para) () (s Ls C 0 1 +M P V CG G G G0 8 8 12 60 8 ) 2 (0) 2 (812 333 + + + + + +++CCK s s sK ss Queremos saber que valor de KC causa instabilidade ( )( )0 8 8068 8 1 ) 12 ( 68 8 63 12 1CCCKKKn++ + Condies de estabilidade: ( )1 0 8 88 0 8 8 72 > > +< > + C CC CK KK K A restrio mais importante KC < 8. Qualquer KC 8 causar instabilidade. Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 7/7 (Fonte: Seborg) Mtodo da Substituio Direta Oeixoimaginrioafronteiraentreasregiesdeestabilidade(SPEeSPD).Esteeixo correspondeas=i.Logo,substituindosporinaequaocaractersticadoprocesso fornece o limite de estabilidade para e outros parmetros (e.g. ganho do controlador) de Escola de Qumica da UFRJ Profa. Oflia de Q.F. Arajo ofelia@eq.ufrj.br 8/8 formaasatisfazerasequaesresultantesdasubstituio.OApndice12ilustratantoo Critrio de Routh quanto o Mtodo da Substituio Direta na anlise de estabilidade de um sistema. Exemplo Voltando ao mesmo exemplo utilizado com Routh 0 8 8 12 60 8 8 12 60 8 ) 2 (0) 2 (812 32 333 + + + + + + + + +++CCCK wi w iwK s s sK ss Parte Real = 0 0 8 8 62 + + CK w (1) Parte Imaginria = 0 0 123 + w w (2) De (2): w = 3.4641rad/s Substituindo em (1): KC,CRTICO = 8 (confirmando o resultado obtido anteriormente). Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br SINTONIA DE CONTROLADORES 1. Mtodo da Sensibilidade Limite (Mtodo do Ganho Limite) Omtodo,propostoporZieglereNicholsem1942,baseia-seemencontraroLIMITEDE ESTABILIDADE da malha,KC,LIM,isto,ovalordoganhoproporcionalquepromoveaoscilaocom amplitudesustentadadavarivelcontroladaemrespostaaumaperturbao(deSPoudecarga),como controlador dotado exclusivamente de ao proporcional. Oprocedimento consiste em: a)Com a planta no estado estacionrio, remover a ao integral (I =) e derivativa (D =0) b)Escolher um valor para KC c)Perturbar o sistema (degrau de SP ou de carga) d)Observarotransiente.Searespostaseapresentarsubamortecida,aumentarKCeretornar etapa c. Repetir o procedimento at atingir oscilao sustentada, como mostrado na Figura 1 . Para este valor de Kc, o KC limite de estabilidade, registrar o perodo de oscilao (PLIM). ComKC,LIM ePLIM ,determina-seosparmetrosdesintoniadocontroladorutilizando-seas Correlaes de Ziegler-Nichols: KCI D PKC,LIM /2-- PIKC,LIM /2,2PLIM /1.2- PIDKC,LIM /1,7PLIM /2PLIM /8 Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br Figura 1 Oconjuntodeparmetrosobtidospromoveumarazodedecaimentode.Ressalta-se que,antesdoexperimento,deve-sedeterminarseaaoproporcionaldeveserpositivaou negativa. Omtodo,seexperimentalmenteconduzido,demorado(precisaserestabelecidoo estado estacionrio antes de voltar a perturbar), arriscado (atinge-se o limite de estabilidade); e algunsprocessos no apresentam ganho limite. Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br 2. Mtodo da Curva de Reao TambmpropostoporZiegler-Nichols,baseia-seemtestecomcontroleemmodomanual,aps estabelecido estado estacionrio. Curva de Reao o grfico CM(t) x t, a resposta do processo a uma perturbao da sada do controlador (em modo manual). Caracteriza-se por dois parmetros: s (inclinao no ponto de inflexo) e (tempo em que a tangente intercepta o eixo t). Assume-se que o processo possa ser representado por modelo dede primeira ordem com tempo morto (CM(s)/P(s)): 1) (+sKes GPs. Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br Seja s* = s /P Ziegler-Nichols definiram as seguintes correlaes de sintonia: KCI D P1 / ( / s*)-- PI0,9 / ( / s*)3,3- PID1,2 / (/s*)20,5 Omtodoapresentaavantagemdes necessitar de um teste mas tem a desvantagem de serexecutadoemmalhaaberta.Logo,processosinstveisemmalhaabertanopodemser sintonizadosporesteprocedimento.Comooutradesvantagem,tem-seadificuldadeem determinar s. Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br 3. Mtodo Cohen-Coon O mtodo, proposto em 1953, usado como alternativa ao mtodo Ziegler-Nichols. um procedimentoemmalhaaberta,comoodaCurvadeReao.Assumeprocessodeprimeira ordem com tempo morto: 1) (+sKes GPs. KCI I P ( ) [ ]311+PK -- PI ( ) [ ] 083 . 0 9 . 01+PK ( ) [ ]( )2 . 2 0 . 133 . 0 33 . 3++ - PID ( ) [ ] 270 . 0 35 . 11+PK ( ) [ ]( )8 136 32++ ( )2 . 0 0 . 137 . 0+ Os parmetros so funo do grupo adimensional . Quanto maior mais rpida poder ser a sintonia. Quanto menor o KP, maio poder ser o KC. Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br Sumrio das Relaes de Sintonia 1.KC inversamente proporcional a KPKVKM 2.KCdecresce com o aumento de 3. Ie Daumentam como aumento de (tipicamente, I D 25 . 0 ) 4.Reduzir KC, quando aumentar a ao integral; aumentar KCquando adicionar ao derivativa 5.Para reduzir oscilaes, diminuir KC e aumentar I Disvantagens das Correlaes de Sintonia 1.Ignora problemas de interaes entre as malhas de controle (que diminuem o limite dde estabilidade) 2.A Ao derivativa normalmente dependente do controlador comercial empregado; 3.As correlaes adotam modelo de primeira ordem com tempo morto que podem ser inapropriados para o processo em questo. 4. P PK ,podem variar 5.Resoluo dos equipamentos e erros de medio podem diminuir as margens de estabilidade 6.Razo de decaimento de decay ratio no um padro conservador: muito oscilatrio Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br 3. Sintonia de Controlador Baseada em Resposta Transiente Caractersticas Desejveis do Controlador 1.Resposta Rpida 2.Rejeio adequada a perturbaes 3.Insensvel a erros de modelagem e erros de medio 4.Evitar ao de controle excessiva 5.Adequado sob uma larga faixa de condies operacionais Como j visto anteriormente, algunsdestes objetivos so conflitantes, exigindo uma sintonia de compromisso entre estes 5 objetivos. Esta sintonia pode ser conduzida de acordo com: 1.Correlaes para sintonia, limitadas a modelos de primeira ordem com tempo morto (Mtodos 2 e 3) 2.Anlise de estabilidade da funo de transferncia de malha fechada. Porm assegurar estabilidade no garante a qualidade do controle.3.Simulaes sucessivas 4.Resposta Freqencial 5.Sintonia no campo Sntese de Controladores no Domnio do Tempo 1.Critrios baseados em alguns pontos da curva de resposta: tempo de subida, razo de decaimento (c/a), tempode acomodao (ts), tempo de subida (tr), etc. Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br 2.Critrios baseados na totalidade dos pontos da curva de resposta: buscam-se os parmetros dos controladores que minizem critrios de desempenho (integrais do erro). a)Integral do erro quadrtico (Integral of square error - ISE): conduz a tempo de acomodao maior. [ ]02) ( dt t e ISEb)Integral do erro absoluto (Integral of absolute value of error - IAE): permite maiores desvios e, consequente, implica em menores overshoots. 0) ( dt t e IAEc)Integral do erro absoluto ponderado pelo tempo (ITAE):penaliza mais fortemente os erros que ocorrem mais tarde, i.e., penaliza off-set. 0) ( dt t e t ITAEEscola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br Na Figura abaixo, a rea o IAE, para um determinado conjunto , , K . Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br Ref: Seborg 4. Sntese Direta de Controlador Seja P CP CG GG GRC+1 (fazendo GMGV=1), o mtodo especifica a resposta em malha fechada desejada dRC

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. Com um modelo do processo, GP, resolve-se para GC :

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ddPCRCRCGG11 Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br 4.1. PI Introduzindo-se a ao integral (PI), e processo de 2a. ordem. Dado ( )( ) 1 1) (2 1+ +s sKs GP e ( )

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+ +sKss Ks GICII CC 111) ( . Seleciona-se, por convenincia, 1 I (e 2 1 > ), e obtm-se: ( )CCKK s sKKRC+ +12 1 . Para C/R de segunda ordem, i.e. 1 212 2+ +

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s s RCd , tem-se CKK2 1 e CKK2121 . Seleciona-se KC que fornea5 , 0 4 , 0 . 4.2. Processo com Tempo Morto 1) (1+sKes Gs Escola de Qumica UFRJ Profa. Oflia de Queiroz Fernandes Arajo ofelia@eq.ufrj.br Utiliza-se aproximao de Pad: sses2121+, tal que sssKs G21211) (1++ . Deseja-se que a malha fechada tenha funo de transferncia 121+ ,_

ssRCc d. Pela sntese direta, tem-se: ( )( )( )( )( )( )s Ks ssssss Ks sRCRCGGcccddC++ +11111]1

++11]1

+ +

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221 12111212121 111 1 1 1111]1

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+ +sKsK K s Ks sGc c cC1212222212 21112 1 Com

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+cCKK221;

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+cICKK 21;

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+221KKD C, temos um PID!