O USO DOS CONCEITOS DE PERÍMETRO, ÁREA, VOLUME E ÂNGULO NA

CONSTRUÇÃO DE UMA EDIFICAÇÃO DE ALVENARIA

1Autora: Rosita Aparecida Bueno

2Orientador: Airton Kist

Resumo

O presente estudo apresenta, dentro da proposta de resolução de problemas, uma

forma diferente de trabalhar a construção do conhecimento. Nela, o aluno é

estimulado - através de atividades práticas dentro e fora da sala de aula - a levantar

hipóteses e encontrar soluções para determinados problemas do seu cotidiano,

investigando e vivenciando os conceitos de perímetro, área, ângulos e escalas.

Conceitos estes, muito utilizados pelos profissionais da construção civil.

Palavras – chave: Resolução de problemas; construção do conhecimento; edificação

de alvenaria.

Introdução

Nas mais diversas formas de organização de nossa vida em sociedade, seja

qual for o ramo de atividade que desempenhamos, sempre nos deparamos com

situações problema onde há a necessidade de medir e de contar.

O cotidiano está repleto de atividades que envolvem conhecimentos e

habilidades matemáticas, nas quais se utilizam ferramentas materiais e intelectuais

1 Professora da rede pública estadual do Paraná no Colégio Estadual Irênio Moreira Nascimento. 2 Professor do Departamento de Matemática e Estatística da Universidade Estadual de Ponta Grossa.

que são próprios de cada ramo, que são repassadas através das gerações de forma

não acadêmica, mas sociais e familiares.

O ensino da matemática busca proporcionar uma aplicação prática neste

cotidiano, levantando hipóteses para a solução de uma situação problema, a partir

de suas próprias deduções. Foi com o intuito de aproximar a matemática da vida

cotidiana, que se desenvolveu o estudo contido neste artigo, utilizando-se do ramo

da construção civil como exemplo para esta aproximação.

Na construção civil, em todas as etapas envolvidas numa obra, muitos são os

conteúdos matemáticos que podem ser vivenciados na prática. Para fazer esta

demonstração, foram feitas visitas em obras, em lojas de materiais de construção e

ainda, desenvolvidas atividades em grupo, direcionadas à compreensão dos

conceitos de proporção, perímetro, área, volume e ângulos.

No decorrer das atividades propostas, os alunos observaram que durante a

construção de uma edificação de alvenaria, os profissionais desenvolvem um modo

próprio de raciocinar e de se expressar. É o caso do termo “esquadrejar” ou “tirar o

esquadro”, expressões utilizadas para designar o ato de marcar e conferir um ângulo

reto entre paredes, utilizando o teorema de Pitágoras, sem dominar a formalidade do

conteúdo.

Além disso, os alunos do 9º ano do Colégio Irênio Moreira Nascimento de

Tibagi/PR perceberam e entenderam a relação da matemática de sala de aula com a

matemática aplicada na construção civil.

A vivência deste aprendizado certamente ficará incorporada ao conhecimento

adquirido pelos alunos, haja vista que foram além de meros espectadores, onde

puderam exercer sua criatividade espírito investigativo.

Desenvolvimento

Atualmente, os alunos ao enfrentarem uma sala de aula encontram situações

em que não são submetidos a construírem sua interpretação sobre o conteúdo ou

fato vivido, recebem conteúdos prontos e de forma fragmentada. Tal atitude tende a

desestimular a apropriação do saber matemático, fazendo com que o aluno não

precise pensar ou desenvolver hipóteses diversas para a mesma situação problema.

Deve-se ter em mente que ensinar não é apenas transferir conhecimentos, mas sim

criar uma possibilidade para a sua construção por parte daqueles que desejam

aprendê-los.

Nas palavras de MARASINI,

[...] não é, entretanto, promover apenas a habilidade de desenvolver cálculos, treinar a memória ou memorizar fórmulas e conceitos. Significa desenvolver uma matemática que seja capaz de levar o aluno a pensar, analisar, estabelecer relações, justificar e produzir seu próprio significado, isto é, criar. (MARASINI, 2000, p.126).

Alguns professores abordam os conceitos matemáticos sem preocupar-se em

adaptá-los a realidade do aluno. Deve-se aguçar a curiosidade dos alunos e com ela

construir maneiras diferentes e atraentes de aprender os conteúdos relacionados

com a matemática.

De acordo com os PCNs:

Muitos professores consideram que é possível trabalhar com situações do cotidiano ou de outras áreas do currículo somente depois de os conhecimentos matemáticos envolvidos nessas situações terem sido amplamente estudados pelos alunos. Como esses conteúdos geralmente são abordados de forma linear e hierarquizada, apenas em função de sua complexidade, os alunos acabam tendo poucas oportunidades de explorá-los em contextos mais amplos. Mais ainda, as situações-problema raramente são colocadas aos alunos numa perspectiva de meio para a construção de conhecimentos. [...]

Além de construir, o professor deve ensinar os alunos, desde as séries

iniciais, a lerem a matemática através de sua linguagem, ou seja, interpretar a

escrita da alfabetização matemática para que os mesmos consigam compreender de

uma maneira mais fácil e transformar fatos matemáticos em realidade.

Segundo a teoria psicogenética de Piaget a construção do conhecimento

ocorre por meio de um processo de equilibração que começa a partir de uma

necessidade de uma situação problema, causando um desequilíbrio, um conflito

cognitivo que faz com que o sujeito busque solução para o problema através do

levantamento de hipóteses. Defende que o ensino deve formar o raciocínio pausado

na compreensão e não na memorização, desenvolvendo um espírito criativo e não

repetitivo. O professor deve criar situações que conduzam o aluno a encontrar as

soluções corretas de acordo com o seu nível de desenvolvimento psicogenético,

através de atividades práticas em grupo ou individuais, e nas interações do

professor com o aluno.

As autoras ONUCHIC e ALLEVATO, comentam que na resolução de

problemas as “tarefas precisam ser planejadas ou selecionadas a cada dia,

considerando a compreensão dos alunos e as necessidades do currículo”. Para

complementar, as autoras dizem que há boas razões para se fazer esse esforço,

[...] Resolução de problemas desenvolve a crença de que os alunos são

capazes de fazer Matemática e de que Matemática faz sentido; Resolução

de problemas provê dados de avaliação contínua que podem ser usados

para tomar decisões instrucionais, ajudar os alunos a ter sucesso e informar

os pais; é gostoso! (ONUCHIC E ALLEVATO, 2004, p.223).

Com o objetivo de proporcionar aos alunos situações em que sejam capazes

de raciocinar e criar hipóteses para a solução de problemas cotidianos, é que foi

desenvolvido o estudo objeto deste artigo.

Desde a antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada

um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Em Gênesis, livro do Antigo

Testamento da Bíblia Sagrada, no capítulo 14, versículo 17, encontra-se um dos

mais antigos registros da história da humanidade sobre essas unidades-padrão.

Neste trecho, Deus pede à Noé que construa uma arca de trezentos côvados de

comprimento, cinquenta de largura e trinta de altura.

O côvado era uma unidade-padrão da região da Mesopotâmia, onde vivia

Noé. A medida de um côvado era de três palmos, o equivalente a 66 cm se

comparada com a medida de um palmo que corresponde a 22 cm, como se pode

observar na tabela a seguir

O pé, a polegada, a milha, a braça e a jarda são unidades não pertencentes

ao sistema métrico decimal. Estas são utilizadas em países de língua inglesa. As

medidas correspondentes no sistema métrico decimal são:

Pé 30,48 cm

Polegada 2,54 cm

Jarda 91,44 cm

Milha terrestre 1.609 m

Milha marítima 1.852 m

Braça 2,20 m

Palmo 22,00 cm

Ao longo do desenvolvimento das civilizações, os relatos históricos

comprovam a evolução das maneiras de medir (necessidade do homem de medir e

de contar). Com o desenvolvimento do comércio ficava cada vez mais difícil a troca

de informações nas negociações com tantas medidas diferentes. Foi assim, que em

1971, na época da Revolução Francesa, um grupo de representantes de vários

países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas.

Quando se inicia o estudo do sistema métrico em sala de aula, é comum os

alunos questionarem o porque desse assunto ou mesmo para que serve ou onde

este será utilizado. Para responder à estas perguntas foram propostas algumas

atividades em sala de aula, onde os alunos puderam perceber a diferença entre as

medidas do sistema métrico decimal, sem a utilização de nenhum instrumento de

medida, ou seja, mediram objetos utilizando apenas partes do corpo – pé, palmo e

braça.

Em seguida, as mesmas medições foram feitas com a utilização de

instrumentos tais como: réguas e trenas. Executando as questões das atividades

propostas, os alunos fizeram comparações entre os resultados obtidos com as

unidades baseadas em partes do corpo e entre os resultados obtidos através da

medição feita com as réguas e trenas.

Esta atividade foi de fácil entendimento, haja vista que os grupos

apresentavam alunos com tamanhos de pés e polegares variados. Foi claramente

percebido neste exercício a dificuldade existente nesse tipo de medição, pois os

indivíduos possuem características diferentes.

Como a matemática é utilizada como ferramenta nos diversos ramos do

conhecimento, foi escolhido o ramo da construção civil para o desenvolvimento

deste estudo. A construção civil, é uma atividade econômica em expansão que

associa conceitos matemáticos rotineiros da vida escolar e que poderá se tornar

uma opção de trabalho para muitos educandos, uma vez que muitos pais, irmãos,

parentes ou amigos dos alunos são serventes, pedreiros ou mestre de obras.

Para quem não seguirá no ramo, fica o conhecimento que em algum

momento poderá ser utilizado, seja na construção, aquisição ou reforma de um

imóvel.

Entendido o sistema métrico, o estudo teve seu início, com a apresentação da

“planta baixa”, que consta no anexo I deste documento, de uma edificação de

alvenaria, que abriu um leque de possibilidades para a reformulação de conceitos

como: ângulos, escala, figuras geométricas, perímetro, área e volume.

Através da observação dos desenhos contidos no projeto arquitetônico, os

alunos perceberam que escala nada mais é, que a proporção entre o desenho e a

dimensão real do objeto. Para ilustrar e motivar esta atividade, foi utilizado um

projetor multimídia para apresentar aos estudantes, de forma on-line, as opções de

mapas disponíveis na internet e neles verificar como são representadas as escalas.

O site utilizado foi o Google maps acessado através do link

http://maps.google.com.br/.

Na sequência, utilizando o escalímetro, e manuseando mapas rodoviários,

calcularam distâncias entre dois pontos distintos.

Esta foi uma atividade bem significativa para o entendimento do uso de

escalas e da noção de proporcionalidade. Porém, ela precisou ser repetida para uma

melhor fixação por ser pré-requisito para outros exercícios.

Dando continuidade ao processo de aprendizagem matemática com base na

construção civil, os alunos foram divididos em grupos, que de posse dos projetos

arquitetônicos já apresentados, mediram os cômodos e anotaram as medidas, as

quais foram utilizadas para cálculo de área e de perímetro.

Estes conceitos, são encontrados em relatos do Egito Antigo, quando as

terras eram divididas a fim de que fossem cultivadas. A demarcação se fazia

necessária para que pudesse ser calculado o valor do tributo a ser pago ao faraó.

Aqui teve início o estudo da geometria, que veio para solucionar alguns problemas

deste povo. Segundo Boyer, no Papiro de Ahmes encontram-se situações

problemas que utilizavam o cálculo da medida de área através do uso da

composição e decomposição de figuras, que comumente fazemos ao nos

depararmos com figuras irregulares.

Como os livros didáticos do ensino fundamental trazem um número reduzido

de atividades relacionadas ao conceito de área de figuras planas, neste trabalho, se

construiu o conceito, considerando como medida padrão – o metro quadrado. A

Partir daí, os alunos confrontaram o formato das figuras existentes no projeto,

permitindo que cada um dos participantes desenvolvesse os cálculos de perímetro e

de área de cada um dos cômodos.

Além do cálculo da área, ainda calcularam a quantidade necessária de tijolos

(foram apresentados os tipos e as dimensões dos tijolos) para a construção da

residência. Esta atividade foi realizada com apoio de um mestre de obras numa

visita feita pelos alunos à um canteiro, que explicou como o cálculo é feito.

Dez alunos de cada vez, percorreram a obra, conversaram com os

profissionais que estavam trabalhando e receberam atenção especial do mestre de

obras, que explicou sobre o assentamento de tijolos, sobre ângulo reto – Teorema

de Pitágoras - sobre área de paredes e sobre o volume de concreto a ser colocado

no piso da residência.

Em sala de aula, na conclusão desta atividade, os alunos perceberam a

necessidade de comprar pelo menos 5% a mais de tijolos que a quantidade

calculada, pois há quebra deste material no transporte, armazenamento e até

mesmo em seu manuseio.

Como todos os grupos participaram da explicação sobre o volume de

concreto a ser colocado no piso da construção, iniciaram a conceituação de metro

cúbico e a construção de um cubo cujas medidas representam um metro cúbico,

utilizando apenas palitos de sorvete. Em seguida, tentaram fazer medições, mas não

conseguiram pelo fato de não conseguirem transportar os cubos. Muitas questões

foram levantadas com relação a medida em metros cúbicos. As discussões sobre o

assunto foram além do previsto na intervenção. No momento em que surgiu o

assunto “caixa de água é redonda e o valor da água é cobrado em m³” as

discussões aumentaram. Para sanar esta e outras curiosidades apontadas pelos

grupos, uma visita foi feita à uma loja de materiais de construção. Na visita, os

vendedores demonstraram como se mede o volume de areia e pedra a ser vendida.

Com 250 pás, temos um metro cúbico de areia ou pedra. Para quantidades maiores,

é necessário fazer o cálculo do tamanho do caminhão – comprimento x largura x

altura da carroceria – para se determinar o volume a ser carregado. Após a visita,

cada grupo calculou o volume de concreto a ser colocado em cada um dos cômodos

do projeto em estudo.

Durante todas as atividades desenvolvidas, os educandos foram estimulados

a analisar os problemas levantados, para que através dos conhecimentos já

adquiridos fossem capazes de encontrar soluções rápidas e claras. Pois, segundo

Marasini, ensinar matemática significa desenvolver uma matemática que seja capaz

de levar o aluno a pensar, analisar e estabelecer relações, justificar e produzir seu

próprio significado (2000, p.1236). Partindo desse princípio e aproveitando as

explicações dadas pelo mestre de obras, foi abordado o conceito de ângulo.

Para que uma edificação seja executada em conformidade com o projeto, é

necessário que os construtores sejam capazes de interpretar e realizar no canteiro

de obras as marcações do projeto com precisão.

Com relação aos ângulos, existe grande preocupação em garantir que as

suas medidas estejam corretas. Para isso, os profissionais fazem uso de algumas

ferramentas como o transferidor e o esquadro, que tanto servem para marcar como

para conferir as medidas dos ângulos.

Durante toda a obra, desde a marcação até o acabamento, é percebida a

utilização do ângulo reto, que mede 90º. O profissional da construção civil faz uso de

um recurso muito parecido com aquele utilizado pelos egípcios para garantir que os

ângulos formados entre as paredes, seja um ângulo reto.

Os egípcios precisam marcar e remarcar terrenos constantemente, devido às

inundações no Rio Nilo. Estes terrenos geralmente eram irregulares. Então,

pegavam uma corda e faziam treze nós equidistantes (12 espaços iguais), esses

espaços entre cada nó era tomado como a unidade de medida. Com essa corda,

fixando estacas no 1º e 13º nós, no 5º e no 8º nó, forma um triângulo retângulo

conforme figuras a seguir.

Figura 21: Corda com 13 nós

Fonte: CAMBIRIBA

Figura 22: Triângulo formado pela corda com 13 nós e as estacas

Fonte: CAMBIRIBA

Mais tarde, Pitágoras, juntamente com seus alunos, demonstrou e formalizou

a relação existente entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Essa

relação é: “em todo e qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. Esta relação

ficou conhecida como o “Teorema de Pitágoras”.

O primeiro passo na locação da obra é a montagem de um “gabarito”, como é

chamado na linguagem dos construtores. O gabarito é feito utilizando estacas de

madeira, pregos e linha de nylon. Para iniciar a marcação, estica-se uma linha

paralela a frente do terreno. Em seguida, estica-se uma linha perpendicular à

primeira, provisoriamente. Então, se crava uma estaca a três metros na primeira

linha e outra a quatro metros dessa, sobre a linha provisória. Medindo a distância

entre as duas estacas, o valor deverá ser de cinco metros. Se a medida for maior ou

menor que cinco metros, a segunda estaca terá que ser mudada até que se consiga

a medida correta.

Outras medidas de lados de triângulos retângulos podem ser utilizadas, desde

que, respeitem a relação do Teorema de Pitágoras. Os mais utilizados são 30 cm,

40 cm e 50 cm, ou 60 cm, 80 cm e 100 cm (um metro).

Marcar um ângulo reto na linguagem utilizada pelos profissionais, diz-se

“colocar no esquadro” ou “esquadrejar”. Nesse processo o construtor, pode também

fazer uso de uma ferramenta chamada esquadro, que além de auxiliar na construção

do ângulo reto, serve para conferir, em outras etapas da construção, se os ângulos

estão no “esquadro”, ou seja, estão retos.

Nesta ocasião, os alunos foram separados em grupos de quatro elementos,

onde cada grupo, fazendo uso de réguas e trenas, fez a conferência de "esquadro".

Verificaram os ângulos das paredes da sala de aula, dos móveis, e dos ângulos

existentes entre o piso e as paredes. Esta foi uma atividade bem dinâmica e também

bastante questionada pelos participantes.

Para o desenvolvimento deste estudo, foram realizados dezesseis encontros,

cada um deles com duas horas-aulas de duração com atividades desenvolvidas

dentro e fora da sala de aula, com saídas para visitas em obras e loja de materiais

de construção civil.

Todos os exercícios propostos foram acatados e resolvidos da melhor forma

possível, levando sempre em consideração a compreensão, o raciocínio e as

hipóteses formuladas pelos alunos, já que, a aprendizagem depende da

compreensão e não da memorização dos conhecimentos. A cada etapa do projeto,

percebia-se a curiosidade e a intenção dos envolvidos em "saber mais". Alguns

alunos demonstraram interesse em saber mais sobre as profissões de mestre de

obras, engenharia e arquitetura. Muitos farão destas atividades, um trampolim para

uma profissão futura, levando esses conhecimentos para seu cotidiano onde

poderão com isso ajudar a melhorar a condição de renda da família.

Considerações Finais

O objetivo principal do Projeto Arquitetônico de uma Edificação é a execução

da obra idealizada por um Engenheiro ou Arquiteto.

Harmonizar os elementos da construção com os da natureza em função do

homem é a função de um construtor, qualquer que seja seu posto na ordem dos

trabalhos.

É parte da tarefa do professor proporcionar aos alunos uma nova perspectiva

frente a utilização da matemática acadêmica com relação à matemática do dia-a-dia.

Assim como o Engenheiro idealiza suas obras, o professor também idealiza alunos

preparados para solucionar os mais diversos problemas que são apresentados no

decorrer de cada história.

Os alunos que participaram deste estudo tiveram oportunidade de vivenciar a

aplicação da matemática na prática, seja na visita em obra onde puderam observar o

exercício da profissão do mestre de obras, seja em sala de aula onde manipularam o

projeto arquitetônico, manusearam mapas e escalímetro. A partir destas atividades

alguns alunos despertaram interesse nas profissões da área de exatas, pois

apresentaram questionamentos a respeito.

Com isso foi possível observar que o objetivo principal deste estudo, de

vivenciar os conceitos de perímetro, área, volume, capacidade, ângulos e

proporções são utilizados na pratica diária dos construtores na execução de uma

edificação de alvenaria, foi atingido, pois notoriamente os alunos desenvolveram as

atividades, sanaram suas dúvidas e solucionaram as situações problemas propostas

em cada etapa da implementação.

Alunos com pensamento independente, raciocínio lógico e com criatividade,

são capazes conduzir suas vidas, superando todas as barreiras encontradas em

seus caminhos. E, para o desenvolvimento de todas estas habilidades, cada

professor, neste caso em especial, o de matemática, deverá voltar-se para a

realidade de seus educandos, para que possa transmitir o conhecimento de modo

que todos que a ele estão ligados sejam capazes de vivenciar este conhecimento

em seu cotidiano.

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ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6492. Representação de

projetos de arquitetura. Rio de Janeiro. 1994

ANEXO I

PROJETO ARQUITETÔNICO