Matemática

#ConquistaNoEstudo Semana12 Etapa2 Ensino Médio 1a. SÉRIE

Neste Guia, você vai estudar sobre o Teorema de Tales.

Pág. 35 do Módulo 4

Profa. Conceição Longo

TEOREMA DE TALESTales de Mileto (624-558 a.C.) foi um filósofo, matemático e astrônomo grego, considerado um dos mais importantes representantes da primeira fase da filosofia grega, chamada de Pré-Socrática, ou Cosmológica.Considerado o “pai da filosofia”, Tales preocupou-se em entender e explicar o universo, em vez de simplesmente curvar-se diante de seus mistérios. Segundo alguns historiadores, Tales foi comerciante, o que lhe rendeu recursos suficientes para dedicar-se às suas pesquisas. Ele provavelmente viajou para o Egito e à Babilônia, entrando em contato com astrônomos e matemáticos. Depois de aposentado, passou a dedicar-se à matemática, estabelecendo os fundamentos da geometria.Texto adaptado de: <https://www.ebiografia.com/tales_de_mileto/>©

Wik

imed

ia C

omm

ons/

Wilh

elm

Mey

er

ENTENDENDO O TEOREMA DE TALES

Considere a figura a seguir e reflita: O QUE É UM FEIXE DE PARALELAS?

Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas distintas de um plano e que são paralelas entre si. Na figura a seguir, o feixe de retas paralelas está representado pelas retas r, s e t.

O QUE SÃO RETAS TRANSVERSAIS?Retas transversais ao feixe de retas paralelas são retas do plano do feixe que intersectam (cruzam/cortam) todas as retas do feixe. Na figura a seguir, as retas transversais estão representadas pelas retas a e b.

OUTRAS DENOMINAÇÕES

A e A’ são denominados pontos correspondentes. B e B’, C e C’, D e D’ também.AB e A’B’ são denominados segmentos correspondentes. BC e B’C’, AC e A’C’, BD e B’D’ (...) também.

TEOREMA DE TALES

Feixes de retas paralelas intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes.

Se duas retas transversais intersectam um feixe de retas paralelas, então a razão (divisão) entre quaisquer dois segmentos de uma transversal será igual à razão dos segmentos correspondentes da outra transversal.

ou ainda

TEOREMA DE TALES

Feixes de retas paralelas intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes.

ABCD

A’B’C’D’

=

Assim, podemos concluir a seguinte relação, que segue, de acordo com o Teorema de Tales, uma PROPORÇÃO:

a b

r

s

t

A

B

C

A’

B’

C’

uD D’

Feixes de retas paralelas intersectadas porsegmentos transversais formam segmentosde retas proporcionalmente correspondentes.

Assim, podemos concluir a seguinte relação, que segue, de acordo com o Teorema de Tales,

uma PROPORÇÃO:

TEOREMA DE TALES

ABCD

A’B’C’D’

=

TEOREMA DE TALES

Feixes de retas paralelas intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes.

Assim, podemos concluir a seguinte relação, que segue, de acordo com o Teorema de Tales, uma PROPORÇÃO:

ACAB

A’C’A’B’

=

a b

r

s

t

A

B

C

A’

B’

C’

uD D’

Feixes de retas paralelas intersectadas porsegmentos transversais formam segmentosde retas proporcionalmente correspondentes.

TEOREMA DE TALES

Assim, podemos concluir a seguinte relação, que segue, de acordo com o Teorema de Tales,

uma PROPORÇÃO:

ACAB

A’C’A’B’

=

TEOREMA DE TALES

Feixes de retas paralelas intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes.

Assim, podemos concluir a seguinte relação, que segue, de acordo com o Teorema de Tales, uma PROPORÇÃO:

ACBC

A’C’B’C’

=

a b

r

s

t

A

B

C

A’

B’

C’

uD D’

Feixes de retas paralelas intersectadas porsegmentos transversais formam segmentosde retas proporcionalmente correspondentes.

TEOREMA DE TALES

Assim, podemos concluir a seguinte relação, que segue, de acordo com o Teorema de Tales,

uma PROPORÇÃO:

ACBC

A’C’B’C’

= (...)

O TEOREMA DE TALES PODE SER OBSERVADO EM SITUAÇÕES COTIDIANAS:

©Sh

utte

rsto

ck/F

abric

iouz

©Sh

utte

rsto

ck/P

hoto

grap

hee.

eu

©Sh

utte

rsto

ck/M

yfot

opro

m©

Shut

ters

tock

/Dan

iel m

ckay

EXEMPLOS

1. Qual o valor de x, sabendo que r//s//t.

Pelo Teorema de Tales, temos:5𝑥𝑥 =

412

4𝑥𝑥 = 5.124𝑥𝑥 = 60𝑥𝑥 = 60

4𝑥𝑥 = 15

2. Descubra quanto vale x, sabendo que r//s//t.

Pelo Teorema de Tales, temos:𝑥𝑥8 =

32𝑥𝑥

2𝑥𝑥. 𝑥𝑥 = 3.82𝑥𝑥2 = 24𝑥𝑥𝑥 = 24

2𝑥𝑥2 = 12𝑥𝑥 = 12

𝑥𝑥 = 2 3

EXEMPLOS

3. Durante a instalação elétrica de um edifício, Mauro observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central, demonstrados por a, b, c e d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura. Obs.: os fios da rede central são paralelos.

Aplicando o teorema, temos que:10𝑥𝑥 = 15

6

15 𝑥𝑥 = 10 . 6

15 𝑥𝑥 = 60

𝑥𝑥 = 4 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑥𝑥8 =

6𝑦𝑦 ⇒

48 =

6𝑦𝑦

4 𝑦𝑦 = 8 . 6

4 𝑦𝑦 = 48

𝑦𝑦 = 12 𝑐𝑐𝑐𝑐

Sua vez! Resolva e confira suas respostas

1. A figura a seguir mostra duas ruas que partemde um mesmo ponto A e cortam duas avenidasparalelas. Na primeira rua, os quarteirõesdeterminados pelas avenidas paralelas tem 80 me 90 m de comprimento, respectivamente. Nasegunda rua, um dos quarteirões determinadosmede 60 m. Qual o comprimento do outroquarteirão? R: x = 67,5 m

2. A figura a seguir mostra três lotes deterreno com frente para a rua Alfa e para arua Beta. As divisas dos lotes sãoperpendiculares à rua Alfa. As frentes doslotes 1, 2 e 3 para a rua Alfa medem,respectivamente, 15 m, 20 m e 25 m. Afrente do lote 2 para a rua Beta mede 28 m.Calcule a medida da frente para a rua Betados lotes 1 e 3. R: x = 21cm; y = 35cm

Sua vez! Resolva e confira suas respostas