Conjuntos numéricos

Prof.ª: Aline Figueirêdo Nascimento

Introdução

É indiscutível que os números exercem influência marcante no dia a dia dos seres humanos.

Na economia global, por exemplo, os indicadores de índices e porcentagens nos permitem fazer a leitura e a análise dos resultados alcançados e, consequentemente, prever possíveis mudanças econômicas e sociais em nosso planeta.

Retomando os conjuntos dos números naturais,

inteiros e racionais(Pág. 4)

Os conjuntos numéricos já estudados são...

Relações aplicadas aos conjuntos numéricos

• Relação de pertinência

• Relação de inclusão

Conjuntos numéricos

Fração geratriz de uma dízima periódica

São chamados de dízimas periódicas os números decimais não exatos que apresentam, na parte decimal, algarismos que se repetem periodicamente e infinitamente.

Por exemplo:

Fração geratriz de uma dízima periódica

Denomina-se fração geratriz a fração que gera ou dá origem a uma dízima periódica.

Exemplos:

Exemplo:

Nem sempre a parte decimal apresenta apenas os algarismos do período. Então, o que deve ser feito quando a dízima apresentar outros algarismos que não os do período na parte decimal?

É fácil! Basta estabelecer uma equação e resolvê-la, conforme os exemplos:

Exemplos:

a) 0,1555...

Algarismo do período: 5

Algarismo não periódico: 1

Fração geratriz procurada: x

x= 0,1555...

Procedimentos:

Exemplos:

b) 3,2111...

Algarismo do período:1

Algarismo não periódico: 2

Fração geratriz procurada: x

x= 3,2111...

Procedimentos:

Exemplos:

c) 0,12333...

Algarismo do período:3

Algarismo não periódico: 1 e 2

Fração geratriz procurada: x

x= 0,12333...

Procedimentos:

O número de ouro: curiosidade ou coincidência?

Durante anos o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram então o retângulo de ouro. Era um retângulo, com proporções: o lado maior dividido pelo lado menor e a partir dessa proporção tudo era construído. Assim eles fizeram o Parthenon. A proporção do retângulo que forma a face central e lateral, a profundidade dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618.

Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides: cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3.ª fileira e assim por diante. Durante milénios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O retângulo de ouro era padrão, mas depois de muito tempo - veio a construção gótica com formas arredondadas, que não utilizavam o retângulo de ouro grego.

Mas no ano 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos, criou aquela que é provavelmente a mais famosa sequência matemática, a série Fibonacci. A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência, onde um número é igual à soma dos dois números anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Aí entra a 1.ª "coincidência": a proporção de crescimento média da série é 1,618. Os números variam, um pouco acima às vezes, em outras um pouco abaixo, mas a média é 1,618 - exatamente a proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção, a ponto de os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

Por exemplo: - A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de 1,618. - A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618. - A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de 1,618. - A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que subimos de altura é de 1,618.

E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618. Por isso, o número phi ficou conhecido como a divina proporção.

Por que é que os historiadores religiosos descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo?

Por volta de 1500, com o retorno do Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda.

Michelangelo e, principalmente Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe: ele, como cientista, usava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a divina proporção do que o corpo humano, obra prima de Deus.

Por exemplo:

- Meça a sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão: o resultado é 1,618.

- Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo: o resultado é 1,618.

- Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra: o resultado é 1,618.

- Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão. O resultado é 1,618.

- A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da cabeça dá 1,618.

- Da sua cintura até a cabeça e depois divida só pelo altura do tórax: o resultado é 1,618.

Considere sempre erros de medida da régua ou fita métrica, que não são objetos acurados de medição.

Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela divina proporção. Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, arte e o homem, coisas teoricamente diferentes, são todas ligadas numa proporção em comum. Encontramos ainda o número phi em famosas sinfonias como a 9.ª de Beethoven, e em outras diversas obras. Então, tudo isto, seria uma mera coincidência?"

O número de ouro: curiosidade ou coincidência?

O número de ouro é representado pela letra fi (ϕ) e é um número irracional. Todo

número cuja representação decimal é infinita e não periódica é chamada de

número irracional.

O número de ouro: φ

O número de ouro: φ

Um número irracional especial

Um número é denominado de irracional e pertencerá ao conjunto dos números

irracionais, quando não for possível representá-lo como quociente entre dois números inteiros

a e b, com b ≠ 0.

Exemplo: Todas as raízes quadradas de números naturais que não são quadrados perfeitos:

7; 3; 21; √32.

Algumas raízes cúbicas, quartas, entre outras:

33

; 23

; 73

; 5;4

74

.

Um número irracional especial: 𝝅

Dentre os números irracionais, o mais famoso é o “pi”, representado pela letra grega 𝝅 , que tem o seu valor expresso por 3,1415926535...

Números reais

A reunião entre os elementos do conjunto dos números racionais ( ℚ ) e os elementos do conjunto dos números irracionais (𝕀) resulta em um novo conjunto: o conjunto dos números reais, representado por ℝ.

Números reais

Simbolicamente: ℝ = ℚ ∪ 𝕀.

Referências

• BONJORNO. AYRTON. Matemática Fazendo a Diferença, 7ª Série. Editora FTD, 2008.

• GIOVANNI. CASTRUCI. GIOVANNI JR. A Conquista da Matemática, 7ª Série. São Paulo; ed. FTD, 2008.

• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade, 7ª série. São Paulo; ed. Atual, 2010.