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Conjuntos e Intervalos

Teoria de Conjuntos

A teoria de Conjuntos associa-se a idéia de uma coleção de objetos que

possuem ao menos uma característica ou propriedade em comum. É

possível caracterizar um conjunto de três maneiras:

Enumeração: V= {a,e,i,o,u}

Propriedade: V= {x/x é uma vogal}

Diagrama de Venn:

Símbolos Matemáticos

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo

: não está contido : conjunto vazio

: contém N: conjunto dos números naturais

: não contém Z: conjunto dos números inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos números

irracionais

: se, e somente se R: conjunto dos números reais

Obs.: Os símbolos , , e são usados apenas em comparações

de conjuntos para conjuntos.

Subconjuntos

Dados dois conjuntos quaisquer A e B, dizemos que A é um subconjunto de

B se, e somente se, todo x pertencente ao conjunto A também pertencer ao

conjunto B.

Indicamos por A c B e lê-se A é subconjunto de B, ou A está contido em B.

Também podemos dizer que A é uma parte de B.

A c B {x/x ∈ A x ∈ B} ou B A (B contém A)

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Partes de um Conjunto

São todos os subconjuntos que se pode formar a partir de um conjunto.

P(A) -> Partes de A

A= {1,2,5}

P(A)= { , {1},{2},{5},{1,2},{1,5},{2,5},{1,2,5}}

O conjunto vazio e o próprio conjunto são subconjuntos do conjunto A.

A relação dos subconjuntos com a parte é de pertinência, por exemplo,

{1} ∈ P(A).

Determina-se o número de subconjuntos da parte com a Fórmula:

Na qual n é o número de elementos do conjunto.

Operações

União: Sejam dois conjuntos A e B. União é a soma dos elementos de A

com os elementos de B.

A U B -> A união B

A U B = {x/x ∈ A ou x ∈ B}

A= {1,2,3} B= {2,3,5}

A U B = {1,2,3,5}

Interseção: Sejam dois conjuntos A e B. Interseção é composta pelos

elementos que pertence a esses dois conjuntos.

A ∩ B -> A interseção B

A ∩ B = {x/x ∈ A e B}

A= {1,2,3} B= {2,3,5}

A ∩ B = {2,3}

Diferença: Sejam dois conjuntos A e B, diferença é quando os elementos

pertencem apenas a um dos conjuntos.

A – B -> diferença entre A e B.

A – B = {x/x ∈ A e x ∉ B}

A = {1,2,3} B = {1,2,5}

A – B = {1}

Complemento: Sejam dois conjuntos A e B. A diferença entre esses

conjuntos (A – B), quando B é um subconjunto de A (B c A), é o conjunto

complementar de B em relação a A.

B’ -> complemento de B

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B’ = {x/x ∉ B}

A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,}

B = {1,3,5,7}

B’ ou CAB= {0,2,4,6,8}

Intervalos

O conjunto dos números reais (R) possui subconjuntos, denominados

intervalos, os quais são classificados em:

Intervalos abertos: quando os números indicados não pertencem ao

intervalo. Representamos na reta real com bolinhas abertas (sem cor).

{x ∈ R/ -2 < x < 3}, ]-2;3[ ou (-2;3)

Intervalos fechados: quando os números indicados pertencem ao

intervalo. Representamos na reta real com bolinhas fechadas (com cor).

{x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 2}, [-3;2]

Intervalos tendendo ao infinito: quando os intervalos são infinitos em

uma direção da reta numérica. Os intervalos tendendo ao infinito possuem a

mesma representação dos intervalos abertos.

{x ∈ R/ x > -3}, ]-3;+∞[ ou (-3;+∞)

{x ∈ R/ x ≤ 2}, ]-∞;2] ou (-∞;2]

Exemplo: Calcule a interseção de [2;4] com ]1;3[

Portanto, [2;4] ∩ ]1;3[ = [2;3[

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Exercícios

01. Sendo x e y números naturais quaisquer, assinale V ou F conforme as

afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:

a) ( ) x + y é um número natural.

b) ( ) x . y é um número natural.

c) ( ) √x é um número natural.

d) ( ) x – y é um número natural.

e) ( ) x : y é um número natural.

f) ( ) 2 . x é um número natural.

g) ( ) x/2 é um número natural.

02. O que é um número natural primo? Escreva os 20 menores números

naturais que são primos.

03. Escreva os 10 menores múltiplos naturais dos números: 12 e 30. E em

seguida encontre todos os divisores naturais desses mesmos números.

04. Sendo x um número natural, qual a condição para que:

a) √x seja um número natural?

b) x/2 seja um número natural?

c) x/5 seja um número natural?

05. Sendo x e y números inteiros quaisquer, assinale V ou F conforme as

afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:

a) ( ) x + y é um número inteiro.

b) ( ) x . y é um número inteiro.

c) ( ) √x é um número inteiro.

d) ( ) x – y é um número inteiro.

e) ( ) x : y é um número inteiro.

f) ( ) 2 . x é um número inteiro.

g) ( ) x/2 é um número inteiro.

06. Responda as seguintes questões:

a) Todo número natural possui sucessor?

b) Todo número inteiro possui sucessor?

c) Todo número natural possui antecessor natural?

d) Todo número inteiro possui antecessor inteiro?

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07. Sendo x e y números racionais quaisquer, assinale V ou F conforme as

afirmações sejam verdadeiras ou falsas, respectivamente:

a) ( ) x + y é um número racional.

b) ( ) x . y é um número racional.

c) ( ) √x é um número racional.

d) ( ) x – y é um número racional.

e) ( ) x : y é um número racional.

f) ( ) 2 . x é um número racional.

g) ( ) x/2 é um número racional.

08. Determine as frações que geram as dízimas abaixo:

a) 6,22222...

b) 0,33333...

c) 6,010101...

d) 7,2414141...

e) 1,712712712...

09. Assinale V ou F, conforme as afirmações a seguir sejam verdadeiras ou

falsas, respectivamente:

a) ( ) A soma de dois números irracionais é um número racional.

b) ( ) O produto de dois números irracionais pode dar um número racional.

c) ( ) O produto de dois números reais é um número real.

d) ( ) A soma de dois números reais é um número real.

10. (FATEC-SP) Se A= 0,666..., B= 1,333... e C= 0,141414..., então AB-¹ +

C é igual a:

a) -74/99 b) 127/198 c) 80/99 d) 187/30 d) 67/30

11. (FATEC-SP) Sejam a e b números irracionais quaisquer.

Das afirmações:

I) ab é um número irracional;

II) a + b é um número irracional;

III) a – b pode ser um número racional;

Pode-se concluir que:

a) as três são falsas.

b) as três são verdadeiras.

c) somente I e II são verdadeiras.

d) somente I é verdadeira.

e) somente I e II são falsas.

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12. (FUVEST-SP) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por:

a) 1/125 b) 1/8 c) 8 d) 12,5 e) 80

13. Represente, discriminando entre chaves, os elementos dos conjuntos:

a) A= {x ∈ N/ 5 ≤ x ≤ 11}

b) B= {x ∈ Q/ x² - 16= 0}

c) C= {x ∈ I/ x² - 25= 0}

d) D= {x/x é um número natural primo menor que vinte}

e) E= {x/x é um número natural quadrado perfeito menor que 100}

f) F= {x/x = 2n, sendo n ∈ N}

g) G= {x/x = 2n + 1, sendo x ∈ N}

14. Classifique como V ou F as afirmações:

a) ( ) {0} c { }

b) ( ) {3} c {1;2;3}

c) ( ) Z c R

d) ( ) Q c R

e) ( ) I c R

f) ( ) { } c { }

15. Obtenha todos os subconjuntos dos conjuntos:

a) A= {1}

b) B= {0;3}

c) C= {1;2;4}

16. Complete, sendo A um conjunto e n(A) a quantidade de elementos de A:

a) Se n(A)= 0, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.

b) Se n(A)= 1, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.

c) Se n(A)= 2, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.

d) Se n(A)= 3, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.

e) Se n(A)= 4, então o conjunto A admite ___ subconjuntos.

17. Sendo A e B dois conjuntos não vazios quaisquer, assinale V ou F

conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas:

a) ( ) A U A= A

b) ( ) A ∩ A= A

c) ( ) A ∩ { }= A

d) ( ) A U { }= { }

e) ( ) A – B= B – A

f) ( ) n(A U B)= n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

18. Considere os conjuntos:

A= {-2;-1;0;1;2;3;4;5}

B= {0;1;3}

C= {3;4;5;6;7}

Obtenha o que se pede:

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a) A U B

b) A ∩ B

c) A – B

d) B – A

e) (A U B) ∩ C

f) A ∩ B ∩ C

g) C – A

h) A ∩ C

19. Em relação aos conjuntos A, B e C, do exercício anterior, faça um

diagrama relacionando os elementos.

20. Assinale com V ou F, para as seguintes afirmações:

a) ( ) N U Z= Z e) ( ) (R – I) c Q

b) ( ) N ∩ Z= { } f) ( ) Q – I= N

c) ( ) (Z – N) c Z g) ( ) R= Q U I

d) ( ) (R – Q)= I h) ( ) Q ∩ I c R

21. Sendo A= {1;2;3;4} e B= {1;2;3;4;5;6;7}, obtenha:

a) B – A c) CBA

b) A – B d) CAB

22. No diagrama ao lado, estão representados três

conjuntos A, B e C. Em cada região do diagrama estão

indicados números de I a VII, que relacionam os conjuntos.

Escreva, para cada região, a relação entre os conjuntos que

a corresponde:

23. Sendo A= {x ∈ Z/ (3x + 9)(2x + 4)x(x – 1) = 0} e B= {x ∈ N/ x² - 7x =

- 12}, substitua os espaços corretamente pelos símbolos ∈, ∉ , c ou .

a) 0 ___ A d) 3 ___ B

b) 0 ___ B e) B ___ Z

c) 3 ___ A f) A ___ N

24. Dado o diagrama abaixo, assinale a região que representa:

a) (A ∩ B) – C

b) A U (B ∩ C)

c) A – (B U C)

d) A ∩ B ∩ C

25. Dados A= {0,1,2,3}, B= {1,2,3} e C= {2,3,4,5}. Determine:

a) A – B c) CA(B ∩ C)

b) (A – C) ∩ (B – C) d) ( - B) U (B – C)

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26. Considerando o diagrama abaixo, determine:

a) n(A)

b) n(B)

c) n(C)

d) n(A ∩ B)

e) n(A ∩ C)

f) n(A – B)

g) n[(A U B) – C]

27. (FATEC-SP) Seja n um número natural. Se A= {x ∈ N/ x= 2n} e B= {x ∈

N/ x= 2n + 1}, então:

a) B – A= {1}

b) A U B= N

c) A U B= {0;10}

d) A ∩ B= A

e) A U B= {x ∈ N/ x é par}

28. (FCMSC-SP) Um conjunto A possui n elementos e um conjunto B possui

um elemento a mais do que A. Sendo x e y os números de subconjuntos de A

e B, respectivamente, tem-se que:

a) y é o dobro de x.

b) y é o triplo de x.

c) y= x/2 + 1.

d) y= x + 1.

e) y pode ser igual a x.

29. (PUC-RJ) Num universo de 800 pessoas, é sabido que 200 delas gostam

de samba, 300 de rock e 130 de samba e rock. Quantas não gostam nem de

samba e nem de rock?

a) 800 b) 730 c) 670 d) 560 e) 430

30. (UFV-MG) Sabe-se que os conjuntos A e B têm, respectivamente, 64 e 16

subconjuntos. Se A U B tem 7 elementos, então A ∩ B tem:

a) nenhum elemento.

b) três elementos.

c) dois elementos.

d) um elemento.

e) quatro elementos.

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31. (FATEC-SP) Se A= {x ∈ R/ 0 < x < 2} e B= {x ∈ R/ -3 ≤ x ≤ 1}, então o

conjunto (A U B) – (A ∩ B) é:

a) [-3;0] U ]1;2[

b) [-3;0[ U [1;2[

c) ]-∞;-3[ U [2;+∞[

d) ]0;1]

e) [-3;2[

32. (FGV-SP) Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou

que muitos deles mantinham convênio com duas empresas particulares de

assistência médica, A e B, conforme o quadro:

O número de filiados simultanea-

mente às empresas A e B é:

a) 30 b) 40 c) 25 d) 50

33. (FATEC-SP) O conjunto A tem 20 elementos, A ∩ B tem 12 elementos e A

U B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é:

a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52

34. (FAAP-SP) Foi feita uma pesquisa com todos os alunos de uma escola e

constatou-se que 56 lêem a revista A, 21 as revistas A e B, 106 apenas uma

das revistas e 66 não lêem a revista B. Qual o número de alunos dessa

escola?

35. (FAAP-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos

acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100

acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

36. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir 3 diferentes

catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns

produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página

inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais

de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40

páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2

terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6, C2 e C3 terão 5, das quais 4

também estarão em C1. Nessas condições, o fabricante, para a montagem

dos 3 catálogos, necessitará de quantos originais de impressão?

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37. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B.

Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que

todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que

lêem ambos é:

a) 48% b) 140% c) 60% d) 80% e) 40%

38. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de 3 marcas: A, B e

C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados:

A=48% B=45% C=50% A e B=18% B e C=25% A e C=15% Nenh.= 5%

a) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem as 3 marcas?

b) Qual a porcentagem dos entrevistados que consomem uma e apenas uma

das 3 marcas?

39. (UNESP-SP) Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as

publicações: Helena, Senhora, A Moreninha. Para isso pesquisou o mercado e

concluiu que, em cada 1000 pessoas consultadas.

600 haviam lida A Moreninha

- 400 haviam lido Helena

- 300 haviam lido Senhora

- 100 haviam lido Senhora e Helena

- 150 haviam lido A Moreninha e Senhora

- 200 haviam lida A Moreninha e Helena

- 20 haviam lido as três obras

Com estas informações calcule:

a) O número de pessoas que leram somente uma das três obras.

b) O número de pessoas que não leram nenhuma das três obras.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

40. (Mackenzie-SP) Sabe-se que:

A U B U C= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 10}

A ∩ C= {2,7}

A U B= {n ∈ N/ 1 ≤ x ≤ 8}

A ∩ B= {2,3,8}

B ∩ C= {2,5,6}

Determine o conjunto C.

41. (PUC-PR) Era um levantamento com 100 vestibulandos da PUC, verificou-

se que o número de alunos que estudou para as provas de matemática, física

e português foi o seguinte:

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- Matemática, 47;

- Física, 32;

- Português, 21;

- Matemática e Física, 7;

- Matemática e Português, 5;

- Física e Português, 6;

- As três matérias, 2;

Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram

nenhuma das três matérias?

42. (UFMG-MG) Os conjuntos A, B e A U B têm, respectivamente, 10, 9 e 15

elementos. O número de elementos de A ∩ B é:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8

43. (UFPE) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores

sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da

pesquisa indicaram que:

- 310 pessoas compraram o produto A.

- 200 pessoas compraram o produto B.

- 110 pessoas compraram os produtos A e B.

- 510 pessoas não compraram nenhum dos dois produtos.

Indique o número de consumidores entrevistados, divididos por 10.

44. (UFV-MG) Uma academia de ginástica possui 150 alunos; 40% deles

fazem musculação; 20%, musculação e natação; 22% natação e capoeira;

18% musculação e capoeira; e 12%, as três atividades. O número de pessoas

que faz natação é igual ao número de pessoas que faz capoeira. Pergunta-se

a) Quantas fazem capoeira e não fazem musculação.

b) Quantas fazem natação e capoeira e não fazem musculação.

45. (FUVEST-SP) Durante uma viagem choveu cinco vezes. A chuva caía pela

manhã ou à tarde, nunca o dia todo. Houve seis manhãs e três tardes sem

chuva. Quantos dias duraram a viagem?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10