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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB

14 de maio de 2013

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB



INTRODUÇÃO

Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Expressões polinomiais;Expressões racionais;Radiciação.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria no Nos livros indicados na Bibliografia.

BOM ESTUDO!




IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Qaundo temos soma ou diferença de termos semelhantes,podemos usar a propriedade distributiva. Assim, temos asidentidades:

19x3 − 34x3 = (19 − 34) · x3 = −15x3

5x9 + 12x9 = (5 + 12) · x9 = 17x9

4x5y6 − 6x5y6 = (4 − 6) · x5y6 = −2x5y6

O ideal é evitar a igualdade internediária nos cálculos acima,ou seja, escrever diretamente o último membro.





As identidades a seguir envolvem termos não-semelhantes. Ocuidado a ser tomado é considerar os termos semelhantes, eefetuar as operações sobre eles.

1 (6x3+2x2−3x+1)+(2x3−4x2+2x−2) = 8x3−2x2−x−1.2 (3x4 − 2x2 + x − 1) + (x4 − x3 + 5x − 12) =

4x4 − x3 − 2x2 + 6x − 13.3 (x5 − 3x2 + 2) − (4x5 + x3 − 4x2 + 2) =

x5 − 3x2 + 2 − 4x5 − x3 + 4x2 − 2 = −3x5 − x3 + x2.

4 23x5 − 3x2 + 7y − y3 + 3 + 9y − 4y3 + x5 = 23x5 + x5 −3x2 +7y +9y − y3 −4y3 +3 = 24x5 −3x2 +16y −5y3 +3.





EXERCÍCIOS: Simplifique a expressão, em cada caso:1 (5x − 3x2) + (4 − 5x) − (6x2 − 4x − 5) + (4 − 4x)2 −6(x − 1 + x2) − (5x2 + x − 2) − 63 8x2 − (10 − 5x + x2) − 3[x − (2 + x2)]

4 4u + 3[u − (2v + 3u) − 3v ] − 6v




IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO

Exemplos:

3t2(4t3−12t+3) = 3t2·4t3+3t2·(−12t)+3t2·3 = 12t5−36t3+9t2

(4a + b)(9a − 7b + 2) = 4a · (9a − 7b + 2) + b · (9a − 7b + 2) =

= 4a · 9a + 4a · (−7b) + 4a · 2 + b · 9a + b · (−7b) + b · 2 =

= 36a2 − 28ab + 8a + 9ab − 7b2 + 2b =

= 36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b.





Você pode, se preferir, dispor os cálculos como umamultiplicação entre números, como segue:

3t2·(4t3−12t+3) = 3t2·4t3+3t2·(−12t)+3t2·3 = 12t5−36t3+9t2

4t3 − 12t + 33t2

12t5 − 36t3 + 9t2





(4a + b) · (9a − 7b + 2)

9a − 7b + 24a + b

36a2 − 28ab + 8a9ab − 7b2 + 2b

36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b




IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO

O teorema que fala sobre a divisão de inteiros positivos é oseguinte:Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado,(q, r) de núumeros inteiros tal que a = bq + r , com 0 6 r < b.q e r são chamados quociente e resto, respectivamente, dadivisão euclidiana de a por b. Neste contexto, a e b sãochamados dividendo e divisor, respectivamente.Exemplo:Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5, e resto 3, pois23 = 4 · 5 + 3. Da igualdade anterior resulta

234

= 5 +34





Em geral,dividendo

divisor= quociente +

restodivisor

Existe um teorema análogo que diz respeito à divisão de umaexpressão polinomial por outra.Exemplo: 2x3 − 3x − 2 tem grau 3, x4 − 1 tem grau 4. Umaexpressão polinomial constante, isto é, formada apenas pelotermo constante, tem grau 0.Existe um algoritmo para efetuar a divisão de duas expressõespolinomiais, análogo ao da divisão de números.





Exemplo:

8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 ‖ 2x2 + x − 3−8x4 − 4x3 + 12x2 ‖ 4x2 − 3x + 7

0 − 6x3 + 11x2 + 16x − 216x3 + 3x2 − 9x0 14x2 + 7x − 21

− 14x2 − 7x + 210

De acordo com o resultado acima, podemos escrever aidentidade em R

8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 = (2x2 + x − 3)(4x2 − 3x + 7) + 0Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB




Exemplo:

5x3 + 0x2 − 3x + 4 ‖ x2 − x + 1−5x3 + 5x2 − 5x ‖ 5x + 5

0 + 5x2 − 8x + 4 ‖− 5x2 + 5x − 5 ‖

0 − 3x − 1

Como a expressão obtida −3x − 1 tem grau 1, menor que ograu 2 do divisor x2 − x + 1, devemos parar aqui. Portanto, oquociente é 5x + 5 e o resto é −3x − 1. Então,

5x3 − 3x + 4x2 − x + 1

= (5x + 5) +−3x − 1

x2 − x + 1




EXERCÍCIOS

Divida (isto é, dê o quociente e o resto)

1 4x2 − 3x + 6 por x + 22 x4 + x3 + 2x + 15 por 2x2 − 6x + 43 64x6 − 16x3 + 1 por 4x2 − 4x + 14 11x4 + 3x5 + 7x + 9 − 15x2 por x2 + 2x − 15 x3 − 3 por x2 + x − 3




EXPRESSÕES RACIONAIS

Exemplo: Efetue 2x2−1 − 5x4

x2+2x+1Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores:

x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

Daí,

2x2 − 1

−5x4

x2 + 2x + 1=

2(x + 1)(x − 1)(x + 1)2 −

5x4(x − 1)(x − 1)(x + 1)2 =

=2(x + 1) − 5x4(x − 1)

(x − 1)(x + 1)2 =2x + 2 − 5x5 + 5x4

(x − 1)(x + 1)2 .




EXPRESSÕES RACIONAIS

Exemplos: Efetue 2x + 1

x2 − xx3−2x2 + 3

x2−2xFatorando denominadores a expressão fica:2x + 1

x2 − xx2(x−2) +

3x(x−2)

O mmc dos denominadores é: x2(x − 2). Portanto, temos que

2x+

1x2 −

xx2(x − 2)

+3

x(x − 2)=

=2x(x − 2)x2(x − 2)

+1(x − 2)x2(x − 2)

−x

x2(x − 2)+

3xx2(x − 2)

=

=2x2 − 4xx2(x − 2)

+x − 2

x2(x − 2)−

xx2(x − 2)

+3x

x2(x − 2)=

=2x2 − 4x + x − 2 − x + 3x

x2(x − 2)=

2x2 − x − 2x2(x − 2)

.




EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE

Exemplos:

12x − 1x2 + 1

· xx + 1

=(2x − 1)x

(x2 + 1)(x + 1)

2

2x − 1x2 + 1

xx + 1

=2x − 1x2 + 1

· x + 1x

=(2x − 1)(x + 1)

(x2 + 1)x

OBSERVAÇÃO: A identidade em 1 é em R− {1}, e a identidadeem 2 é em R− {0}.





Vamos aproveitar a ocasião para exercitarmos mais emfatoração. Exemplo:Efetue e simplifique

x2 − 16x2 + 2x + 1

· x + 1x2 − 5x + 4

=

=

(x − 4)::::::

(x + 4)

(x + 1)2:::::::

·x + 1:::::

(x − 1)(x − 4)::::::

=x + 4

(x + 1)(x − 1)





Exemplo: Efetue e simplifique

x3 − 1x2 + 1x2 − 1

x4 + 2x2 + 1

=x3 − 1x2 + 1

· x4 + 2x2 + 1x2 − 1

=

(x − 1)(x2 + x + 1)x2 + 1

· (x2 + 1)2

(x − 1)(x + 1)=

(x2 + x + 1)(x2 + 1)x + 1




EXERCÍCIOS

Efetue e simplifique:

1x − 5

x2 + 5x· x2

25 − 5x

2

4x − 8x + 7

3x2 − 122x2 − 98

3x

x + 3+

x2

x2 − 9

42

x − 1−

3x + 1

+5 − x1 − x2

52x − 6

x2 − x − 2−

x + 2x2 + 4x + 3

+

+x − 1

x2 + x − 6

6x

x2 − 4−

2x2 − 5x + 6




RADICIAÇÃO

PropriedadesValem as seguintes propriedades, para n, p, m inteiros, n > 1,m > 1:

1 n√

ab = n√

a n√

b

2 n

√ab=

n√

an√

b(b 6= 0)

3 ( n√

a)m = n√

am

4 p√

n√

a = pn√

a

Exemplos:1 3 7√

5 + 2 7√

5 − 7√

5 = (3 + 2 − 1) 7√

5 = 4 7√

5.2 5√

4 · 5√

6 = 5√

4 · 6 =5√

24.

3

7√

367√

6= 7

√366

= 7√

6.

4 ( 9√

8)2 =9√

82 = 9√

64.5

3√

4√

2 =12√

2.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB



RADICIAÇÃO

ATENÇÃO. Muitos gostariam de acrescentar às propriedadesacima o seguinte:

n√

a + b 6= n√

a +n√

b

Veja:√9 + 16 =

√25 = 5 e

√9 = 3,

√16 = 4. Claramente,√

9 + 16 6=√

9 +√

16.3√

1 +3√

1 = 1 + 1 = 2 e 3√

1 + 1 =3√

2. Claramente 2 6= 3√

2, ouseja, 3

√1 +

3√

1 6= 3√

1 + 1.




RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO

Para facilitar cálculos, às vezes quer-se eliminar radicais queaparecem no denominador de uma fração. Esta operação éconhecida como RACIONALIZAÇÃO.

Para racionalizar 1/√

2, multiplicamos numerador edenominador por

√2:

1√2=

1√2·√

2√2=

√2

(√

2)2=

√2

2




RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO

Para racionalizar 1/(√

11 +√

5), multiplicamos numeradore denominador por 1/(

√11 −

√5), chamado de conjugado

de 1/(√

11 +√

5). Lembrando quea2 − b2 = (a − b)(a + b), vem:

1√11 +

√5=

1√11 +

√5·√

11 −√

5√11 −

√5=

√11 −

√5

(√

11)2 − (√

5)2=

=

√11 −

√5

11 − 5=

√11 −

√5

6.




RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

Vamos definir ar como sendo q√

ap, ou seja,

apq =

q√

ap

onde a > 0 é um número real, e r um racional. Destacamos ocaso particular em que r = 1/n, n > 1, inteiro:

a1n = n√

a

Exemplos: 27/8 =8√

27, 31/5 = 5√

3, 74/20 = 71/5 = 5√

7.




RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL

Exemplos:4√

x · 4x · 5√

x · x−2/3 = x1/4 · 4x · x1/5 · x−2/3 =4x(1/4+1+1/5−2/3) = 4x47/60

9√

x2 + 5 7√

x3

5√

x4=

x2/9 + 5x3/7

x4/5 =x2/9

x4/5 +5x3/7

x4/5 =

x(2/9−4/5) + 5x(3/7−4/5) = x(−26/45) + 5x(−13/35)

(4√

2)1/8 = (21/4)1/8 = 2(1/4)·(1/8) = 21/32 =32√

2( 8√

x · 5√

y2)40 = (x1/8 · y2/5)40 = x(1/8)·40 · y(2/5)·40 =x40/8 · y80/5 = x5 · y16




EXERCÍCIOS

Simplifique:

1 x 3√

x + 4x4/3 − 5 3√

x4

2

3√

x2 ·√

x3 − 2x2 6√

x6√

x13

3

5√

x · x2 · x1/3 − (15√

x2)2 · x15√

x19

4 ( 3√

5 · a2/3)9

5

4√

3 3√

33√

3




BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - SãoPaulo: MAKRON Books, 1999.




OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!

BOM ESTUDO!



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