conjunto1

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB

27 de abril de 2013

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB



INTRODUÇÃO

Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Teoria dos Conjuntos.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre oassunto descrito acima, porém, é interessante que você estudeantes a teoria no Nos livros indicados na Bibliografia.

BOM ESTUDO!




CONJUNTO - ELEMENTO - PERTINÊNCIA

Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição,isto é, são consideradas noções primitivas:

1 conjunto;2 elemento;3 pertinência entre elemento e conjunto.

Um Conjunto é uma coleção, ou agrupamento, ou uma classede elementos.

1 conjunto de vogais: a, e, i, o, u;2 conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M;3 conjunto dos números ímpares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, ...;4 conjuntos dos núumeros primos positivos: 2, 3, 5, 7, 11, ....





Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número,um nome, etc. É importante notar que um conjunto pode serelemento de outro conjunto. Por exemplo, o conjunto dasseleções que disputam um campeonato mundial de futebol éum conjunto formado por equipes que, por sua vez, sãoconjuntos de jogadores.Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula,A, B, C, ..., e um elemento com uma letra minúscula, a, b, c,d, x, y, ... .Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence aoconjunto A, escrevemos: x ∈ A.Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos:x 6∈ A.





É habitual representar um con-junto pelos interiores a umalinha fechada e não entrela-çada. Assim, na representaçãoao lado temos:

a ∈ A,b ∈ A,d 6∈ A.Figura: Diagrama de Euler-Venn.




DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO: Pela citação dos elementos

Quando um conjunto é dado pela enumeração de seuselementos, devemos indicá-lo escrevendo seus elementosentre Chaves.

1 conjunto de vogais: {a,e, i ,o,u};2 conjunto dos algarismos romanos: {I,V ,X ,L,C,D,M}.3 conjunto dos números ímpares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, ...;4 conjuntos dos núumeros primos positivos: 2, 3, 5, 7, 11, ....

Esta notação também é empregada quando o conjunto éinfinito: escrevemos alguns elementos que evidenciem a leide formação e em seguida colocamos reticências.

1 conjunto dos números ímpares positivos: {1,3,5,7,9, · · · };2 conjuntos dos núumeros primos positivos:

{2,3,5,7,11, · · · }.Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB



DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO: Por uma propriedade

Quando queremos descrever um conjunto A por meio de umapropriedade de característica P de seus elementos x,escrevemos:

A = {x |x tem a propriedade P}

e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem apropriedade P".Exemplos:

1 {x |x e ′ Estado da Regiao Nordeste Brasil} é uma maneirade indicar o conjunto: {Paraiba,Pernambuco,Bahia}

2 {x |x e ′ divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar oconjunto: {1,−1,3,−3}




CONJUNTO UNITÁRIO - CONJUNTO VAZIO

Chama-se Conjunto Unitário aquele que possui um únicoelemento. Exemplos:

conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1};conjunto das soluções da equação: 3x + 1 = 10: {3};conjunto dos Estados brasileiros que fazem fronteira como Uruguai: {Rio Grande do Sul }.

Chama-se Conjunto Vazio aquele que não possui elementoalgum. O símbolo usual para o conjunto vazio é: { } ou ∅.Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjuntopor meio de uma propriedade P logicamente falsa.Exemplos:

{x |x 6= x} = ∅;{x |x é impar e múltiplo de 2} = ∅




CONJUNTO UNIVERSO - U

Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática,admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencemtodos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U

recebe o nome de Conjunto Universo. Assim, se procurarmosas soluções reais de uma equação, nosso conjunto universo éR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo umproblema cuja solução vai ser um número inteiro, nossoconjunto universo é Z (conjunto dos números inteiros). Quasesempre a resposta para algumas questões depende douniverso U em que estamos trabalhando.Portanto, quando vamos descrever um conjunto A através deuma propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto universo U

em que estamos trabalhando, escrevendo:

A = {x ∈ U|x tem a propriedade P}




EXERCÍCIOS: Dê os elementos dos seguintes conjuntos:1 A = {x |x é letra da palavra matemática}2 B = {x |x é cor da bandeira brasileira}3 C = {x |x é nome de Estado que começa com a}

Solução:1. A = {m,a, t ,e, i , c}2. B = {branco,azul ,amarelo, verde}3. C = {Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas}.




EXERCÍCIOS: Descreva por meio de uma propriedadecaracterística dos elementos cada um dos conjuntos seguintes:1 A = {0,2,4,6,8, ...}2 B = {I, II, III,X , IX ,XV , ...,L}3 C = {Brasília, Rio de Janeiro, Salvador }

Solução:1. A = {x | é inteiro, par e não negativo}2. B = {x | x é algarismo romano}3. C = {x | x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}




CONJUNTOS IGUAIS

Dois conjuntos A e B são conjuntos iguais quando todoelemento de A pertence a B, reciprocamente, todo elemento deB petence a A. Em símbolos:

A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A⇐⇒ x ∈ B)

Exemplos:

{a,b, c,d } = {d , c,b,a}{1,3,5,7,9, ...} = {xvert x é inteiro, positivo e ímpar}{x |2x + 1 = 5} = {2}

Observemos que na definição de igualdade entre conjuntosnão intervém a noção de ORDEM entre elementos; portanto:

{a,b, c,d } = {d , c,b,a} = {b,a, c,d }




SUBCONJUNTOSUm subconjunto A é subcon-junto de um conjunto B, se e so-mente se, todo elemento de Apertence também a B. Com anotação A ⊂ B indicamos que"A é subconjunto de B"ou "Aestá contido em B"ou "A é partede B". O símbolo ⊂ é denomi-nado sinal de inclusão.Em símbolos, a definição fica:

A ⊂ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A =⇒ x ∈ B)

Exemplos:{a,b} ⊂ {a,b, c,d }{x |x é inteiro e par} ⊂ {x |x é inteiro}




SUBCONJUNTOS

Quando A 6⊂ B indicamos que"A não está contido em B", istoé, a negação de A ⊂ B.É evidente que A 6⊂ B somentese existe ao menos um ele-mento de A que não pertence aB.

Exemplos:

{a,b, c} 6⊂ {b, c,d ,e}{x |x é inteiro e par} 6⊂ {x |x é inteiro e primo}




PROPRIEDADES DA INCLUSÃO

Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintespropriedades:

1 ∅ ⊂ A2 A ⊂ A (reflexiva)3 (A ⊂ B e B ⊂ A) =⇒ A = B (anti-simétrica)4 (A ⊂ B e B ⊂ C) =⇒ A ⊂ C (transitiva)




CONJUNTO DAS PARTES

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A -notação P(A) - aquele que é formado por todos ossubconjuntos de A. Em símbolos

P(A) = {X |X ⊂ A}

Exemplos:

Se A = {a}, os elementos de P(A) são ∅ e {a}, isto é:P(A) = {∅, {a}}.Se A = {a,b}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b} e {a,b},isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a,b}}.Se A = {a,b, c}, os elementos de P(A) são∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a, c}, {b, c} e {a,b, c}, isto é:P(A) = {∅, {a}, {b}, {a,b}, {b, c}, {c,a}, {a,b, c}}.




EXERCÍCIOS: Dados A = {1,2,3,4} e B = {2,4}.

1 escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos asseguintes sentenças:

1 3 é elemento de A2 1 não está em B3 B é parte de A

4 B é igual a A

5 4 pertence a B

2 classifique as sentenças anteriores em falsa ouverdadeira.

Solução:

1 3 ∈ A (V)2 1 6∈ B (V)

3 B ⊂ A (V)4 B = A (F)

5 4 ∈ B (V)




EXERCÍCIO: Sendo A = {1,2}, B = {2,3}, C = {1,3,4} eD = {1,2,3,4}, classifique em V ou F cada sentença abaixo ejustifique.

1 A ⊂ D2 A ⊂ B

3 B ⊂ C4 D ⊃ B

5 C = D6 A 6⊂ C

Solução:

1 V, pois 1 ∈ A, 1 ∈ D, 2 ∈ A e2 ∈ D;

2 F, pois 1 ∈ A e 1 6∈ B;3 F, pois 2 ∈ B e 2 6∈ C;

4 V, pois 2 ∈ B, 2 ∈ D, 3 ∈ Be 3 ∈ D;

5 F, pois 2 ∈ D e 2 6∈ C;6 V, pois 2 ∈ A e 2 6∈ C.




REUNIÃO DE CONJUNTOS

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B oconjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

A ∪ B = {x |x ∈ A ou x ∈ B}

O conjunto A ∪ B (lê-se "A reu-nião B"ou "A u B") é formadopelos elementos que perten-cem a pelo menos um dos con-juntos A e B. Notemos que x éelemento de A∪B se ocorrer aomenos uma das condições se-guintes:

x ∈ A ou x ∈ BProf. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB



INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

Dados dois conjuntos A e B, chama-se Interseção de A e B oconjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B.

A ∩ B = {x |x ∈ A e x ∈ B}

O conjunto A ∩ B (lê-se "A interB") é formado pelos elementosque pertencem aos dois conjun-tos A e B simultaneamente.Se x ∈ A ∩ B, isso significa quex pertence a A e também x per-tence a B. O conectivo e colo-cado entre as duas condiçõessignifica que elas devem ser ob-decidas ao mesmo tempo.




DIFERENÇA DE CONJUNTOS

Dados conjuntos A e B, chama-se Diferença entre A e B oconjunto formado pelos elementos de A que não pertencem aB.

A − B = {x |x ∈ A e x 6∈ B}

EXEMPLOS

{a,b, c}− {b, c,d ,e} = {a}{a,b, c}− {b, c} = {a}{a,b}− {c,d ,e, f } = {a,b}{a,b}− {a,b, c,d ,e} = ∅




COMPLEMENTAR DE B EM A

Dados dois conjuntos A e B, taisque B ⊂ A, chama-se Comple-mentar de B em relação a A oconjunto A − B, isto é, o con-junto dos elementos de A quenão pertencem a B.Com o símbolo {B

A ou B indicamos o complementar de B emrelação a A. Notemos que {B

A só é definido para B ⊂ A, e aí

temos: {BA = A − B

EXEMPLOS:

Se A = {a,b, c,d ,e} e B = {c,d ,e}, então: {BA = {a,b}

Se A = {a,b, c,d } = B, então: {BA = ∅

Se A = {a,b, c,d } e B = ∅, então: {BA = {a,b, c,d } = A




Questão 01: Dados os conjuntos A = {3,5,7,9}, B = {7,9} eC = {5,7,9}, determine (A∩B)∪C, (B∪C)∩A, ({B

C)∩A e {(B∩C)A .

Solução:

(A ∩ B) = {7,9}.Daí, teremos (A ∩ B) ∪ C = {7,9} ∪ {5,7,9} = {5,7,9} = C(B ∪ C) = {5,7,9}, logo(B ∪ C) ∩ A = {5,7,9} ∩ {3,5,7,9} = {5,7,9} = CSabemos que {B

C = C − B = {5}. Assim, temos que({B

C) ∩ A = {5} ∩ {3,5,7,9} = {5}.

{B∩CA = A − (B ∩ C) = {3,5,7,9}− {7,9} = {3,5}




Questão 02: Determine o conjunto A tal queA ∪ {a,b, c,d } = {a,b, c,d ,e}, A ∪ {c,d } = {a, c,d ,e} eA ∩ {b, c,d } = {c}.

Solução:De acordo com a primeira igualdade, podemos concluirque os possíveis elementos do conjunto A são a,b,c,d oue. Porém, a única certeza é que e ∈ ADa segunda igualdade, concluimmos que b /∈ A e tambémque a ∈ ADa terceira igualdade, segue que c ∈ A e d /∈ APortanto, o conjunto A = {a, c,e}




Questão 03: Dados os conjuntos A = {n,u,m,e, r ,o} eB = {z,e, r ,o}, quantos são os subconjuntos de(A ∪ B) − (A ∩ B)?

Solução: Observe que:(A ∪ B) = {n,u,m,e, r ,o, z} e(A ∩ B) = {e, r ,o}. Então(A ∪ B) − (A ∩ B) = {n,u,m, z} possui quatro elementos.Portanto, o número de subconjuntos de (A ∪ B) − (A ∩ B)será 24 = 16 subconjuntos.




BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - SãoPaulo: MAKRON Books, 1999.




OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!

BOM ESTUDO!



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