conhecimentos prévios revelados por estudantes de sexto e ... lucia da... · joÃo e pedro: suas...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Regina Lucia da Silva

Conhecimentos Prévios Revelados por Estudantes de

Sexto e Sétimo anos do Ensino Fundamental Relativos à

Proporcionalidade

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

2013

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Regina Lucia da Silva

Conhecimentos Prévios Revelados por Estudantes de

Sexto e Sétimo anos do Ensino Fundamental Relativos à

Proporcionalidade

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como

exigência parcial para obtenção do título de MESTRE

PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA,

sob a orientação da Professora Doutora Célia Maria

Carolino Pires.

São Paulo

2013

Banca Examinadora

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

Assinatura ______________________________ Local e Data _______________

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, pois, sem sua ajuda, nada teria sido possível.

À querida professora Dra. Célia Maria Carolino Pires, por aceitar

a orientação deste estudo, com muita sabedoria e paciência.

À professora Dra. Barbara Lutaif e à professora Dra. Cristina

Dalva Van Berghem Motta, pelas valiosas sugestões, na banca de

qualificação.

Aos meus sobrinhos Bruna e Wesley, pelo apoio e paciência.

Às professoras amigas Vera, Sandra e Simone, pelas palavras de

incentivo.

À direção da escola Padre Aristides e aos alunos pela colaboração

e participação deste trabalho.

Agradeço também à Secretaria de Educação do Estado de São

Paulo pela concessão da Bolsa Mestrado.

A Autora

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo investigar as conexões que podem ser

estabelecidas entre conhecimentos prévios dos alunos, suas hipóteses e o plano

de atividades proposto pelos professores em relação à proporcionalidade, como

elemento vital para o desenvolvimento curricular. Este assunto permeia ideias

presentes na exploração de diferentes conteúdos matemáticos ao longo da

Educação Básica. A investigação é de natureza qualitativa, caracteriza-se como

estudo de caso e baseia-se nas resoluções de situações-problema realizadas por

dois alunos de escola pública estadual paulista. Como resultados, destacamos: os

alunos pesquisados mostraram capacidade de: estabelecer relações, de analisar

e sintetizar as informações, de organizar os dados para a solução dos problemas;

evidenciaram, ainda, bom domínio da linguagem natural, bom domínio numérico,

sendo capazes de identificar operações adequadas, fazendo uso de cálculos

mentais ou escritos, exatos ou aproximados. As dificuldades apresentadas se

relacionaram aos números racionais e aos conceitos envolvendo grandezas e

medidas.

Palavras-Chave: Educação Matemática. Conhecimentos Prévios.

Proporcionalidade.

ABSTRACT

This work aims to investigate the connections which can be established between

the students’ previous knowledge, their hypothesis and the activity plan suggested

by the professors, regarding the proportionality as a vital element to the curricular

development. This topic pervades ideas that are presented in the exploring of

different mathematical subjects throughout Basic Education. The investigation has

a qualitative nature, is characterized as a case study and is based upon problem-

situation solving by two students from a São Paulo state public school. As for the

results, we highlight: the students researchers displayed the capacity to: establish

relations, analyze and synthetize information, organize data targeting the

resolution of the problems; they demonstrated, as well, considerable skill in natural

language, good numerical abilities, being able to identify operations adequately,

making use of mental or written calculations, exact or approximated. The

difficulties presented related to rational numbers and to the concepts involving

quantities and measurements.

Keywords: Mathematics Education. Previous Knowledge. Proportionality.

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO DO TRABALHO ........................................................................ 13

I. Inserção deste trabalho no projeto de pesquisa ............................................... 13

II. A proporcionalidade nos currículos prescritos e apresentados ........................ 15

III. Pesquisas em outros trabalhos ....................................................................... 22

VI. Objetivo do nosso trabalho ............................................................................. 27

V. Escolhas metodológicas .................................................................................. 28

IV. Cenário da Pesquisa ....................................................................................... 30

VII. Os sujeitos de pesquisa ................................................................................. 33

VIII. As sessões realizadas .................................................................................. 35

XI. A análise, sistematização e apresentação dos resultados ............................. 36

X. Estruturação do trabalho ................................................................................. 37

CAPÍTULO 1 ............................................................................................................. 39

FUNDAMENTOS TEÓRICOS CONSIDERADOS ............................................... 39

1.1 Formas de uma Aprendizagem Significativa ................................................. 39

1.2 Distinções dos tipos de Aprendizagem Receptiva Significativa .................... 44

1.2.1 Algumas Particularidades dos três tipos de Aprendizagem Receptiva

Significativas ........................................................................................

44

1.3 Aprendizagem por Descoberta ...................................................................... 46

1.4 Processos que surgem no Percurso da Aprendizagem Significativa ............ 47

1.5 O Papel dos Organizadores Prévios ............................................................. 48

1.6 As Possibilidades para uma Programação Facilitadora Pedagógica na

Introdução do Conteúdo ...............................................................................

49

1.7 Síntese de Fatores que Influenciam a Aprendizagem .................................. 50

1.8 Outros Teóricos Descrevendo sobre Aprendizagem Significativa ................ 54

1.8.1 Complementaridade entre Memorização e Significados ...................... 58

1.9 Características dos Conhecimentos Prévios ................................................. 60

1.10 A Abordagem do Conteúdo numa Perspectiva, Conceitual, Procedimental

e Atitudinal ...................................................................................................

65

1.10.1 Conteúdo de Fatos e Conceitos .............................................. ......... 67

1.10.2 Procedimental ................................................................................... 68

1.10.3 Atitudinal ........................................................................................... 68

CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 71

AS ATIVIDADES PROPOSTAS .......................................................................... 71

Situação 1 ............................................................................................................ 72

Situação 2 ............................................................................................................ 73

Situação 3 ............................................................................................................ 74

Situação 4 ............................................................................................................ 75

Situação 5 ............................................................................................................ 77

Situação 6 ............................................................................................................ 78

Situação 7 ............................................................................................................ 79

Situação 8 ............................................................................................................ 81

Situação 9 ............................................................................................................ 82

Situação 10 .......................................................................................................... 82

CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 85

JOÃO E PEDRO: SUAS ATITUDES E PROCEDIMENTOS ............................... 85

3.1 Análise de resultados da situação 1 .............................................................. 85

3.2 Análise de resultado da situação 2 ............................................................... 88





3.7 Análise do resultado da situação 7 ............................................................... 107


3.9 Análise de resultados da situação 9 .............................................................. 115

3.10 Análise de resultado da situação 10 ........................................................... 122

CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 129

SISTEMATIZANDO OS DADOS COLETADOS .................................................. 129

Análise dos procedimentos dos alunos ................................................................ 130

CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................... 139

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 145

ANEXOS ................................................................................................................... 149

Anexo A - Instrumento de coleta de dados .......................................................... 149

Anexo B - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ..................................... 158

LISTA DE QUADROS

Quadro 1. Os fatos e os Conceitos como Conteúdos da Aprendizagem ................... 59

Quadro 2. Diferenças entre Fatos e Conceitos sob o ponto de vista da

Aprendizagem ..........................................................................................

67

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Condições da Aprendizagem Construtiva ................................................... 56

Figura 2. Protocolo da Situação 1-a de João ............................................................. 86

Figura 3. Protocolo da Situação 1-a-b-c de Pedro ..................................................... 87

Figura 4. Protocolo da Situação 1-b de João ............................................................. 87

Figura 5. Protocolo da Situação 1-c de João ............................................................. 88

Figura 6. Protocolo da Situação 2-a-b-c-d-e de Pedro ............................................... 89

Figura 7. Protocolo da Situação 2-a de João ............................................................. 90

Figura 8. Protocolo da Situação 2-b de João ............................................................. 91

Figura 9. Protocolo da Situação 2-c de João ............................................................. 91

Figura 10. Protocolo da Situação 2-d de João ........................................................... 91

Figura 11. Protocolo da Situação 2-d. Segunda explicativa de João ......................... 92

Figura 12. Protocolo da Situação 3 de João .............................................................. 93

Figura 13. Protocolo da Situação 3 de Pedro ............................................................ 94

Figura 14. Protocolo da Situação 4-a de João ........................................................... 95

Figura 15. Protocolo da Situação 4-a-b-c-d-e-f-g de Pedro ....................................... 96

Figura 16. Protocolo da Situação 4-b de João ........................................................... 96

Figura 17. Protocolo da Situação 4-c de João ........................................................... 97


Figura 19. Protocolo da Situação 4-e de João ........................................................... 97

Figura 20. Protocolo da Situação 4-f de João ............................................................ 98

Figura 21. Protocolo da Situação 4-g de João ........................................................... 98

Figura 22. Protocolo explicativo da Situação 4 de João ............................................ 99

Figura 23. Protocolo da Situação 5-a de Pedro ......................................................... 100


Figura 25. Protocolo da Situação 5-b de Pedro ......................................................... 100


Figura 27. Protocolo da Situação 5-c de Pedro ......................................................... 101

Figura 28. Protocolo da Situação 5-c de João ........................................................... 101

Figura 29. Protocolo da Situação 5-d de Pedro ......................................................... 102


Figura 31. Protocolo da Situação 5-e de Pedro ......................................................... 102

Figura 32. Protocolo da Situação 5-e de João ........................................................... 103

Figura 33. Protocolo da situação 6-a de Pedro .......................................................... 104




Figura 37. Resposta da Situação 6-c de Pedro ......................................................... 106

Figura 38. Protocolo da Situação 6-c De João ........................................................... 106

Figura 39. Protocolo da Situação 6-d de Pedro ......................................................... 106


Figura 41. Protocolo da situação 7-1 de Pedro .......................................................... 108

Figura 42. Protocolo da Situação 7-1 de João ........................................................... 109

Figura 43. Protocolo da questão 7-1 e questão 7-2 de João na linguagem escrita ... 109

Figura 44. Protocolo da questão 7-2 de Pedro .......................................................... 110

Figura 45. Protocolo da questão 7-2 de João ............................................................ 110

Figura 46. Protocolo da Situação 8-a de Pedro ......................................................... 112




Figura 50. Protocolo da Situação 9-1 de Pedro ......................................................... 116








Figura 58. Protocolo da Situação 10-1 de Pedro ....................................................... 124

Figura 59. Protocolo da Situação 10-1 de João ......................................................... 125

Figura 60. Protocolo da Situação 10-2a de Pedro ..................................................... 125

Figura 61. Protocolo da Situação 10-2a de João ....................................................... 126

Figura 62. Protocolo da Situação 10-2b de Pedro ..................................................... 126

Figura 63. Protocolo da Situação 10-2b de João ....................................................... 127

13

APRESENTAÇÃO DO TRABALHO

I. Inserção deste trabalho no projeto de pesquisa

Durante meus estudos no Ensino Médio, já sentia predileção por

Matemática, sendo assim, escolhi o curso de Licenciatura em Matemática, no qual

ingressei no ano de 1989, concluindo-o em 1992. Em junho de 1993, fui

convidada a ministrar aula para o Ensino Fundamental em uma escola pública

estadual paulista. Em alguns anos, também trabalhei em escola particular

concomitantemente com a escola pública; hoje, porém, continuo lecionando

somente em uma escola pública, como professora efetiva. Atualmente, ministro

aulas de Matemática para cinco classes, pertencentes ao 2º ano do Ensino Médio.

Com relação à trajetória de aprimoramento profissional, por algum tempo

ficou estagnada, pois não havia uma oportunidade de voltar aos estudos. Mas, em

2006, surgiu uma abertura para reiniciar novos estudos e, assim, fiz o curso de

Especialização em Educação Matemática para Professores de Matemática na

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Novamente, houve

outra interrupção e, embora durante esse intervalo, a ideia de procurar novos

conhecimentos persistisse, somente tive oportunidade de voltar em 2011, para

ingressar no Mestrado Profissional em Educação Matemática na PUC-SP.

Ao longo de meu percurso profissional, alguns questionamentos foram

surgindo, como por exemplo: Quais são as diferentes possibilidades

metodológicas para ensinar a Matemática? Qual a melhor forma de abordar um

determinado conteúdo?

14

Provavelmente, como vários de meus colegas professores, esperava

conhecer algumas sugestões, de preferência infalíveis, que levassem meus

alunos a aprender Matemática, a ficarem motivados por ela, a minimizar as

dificuldades deles (de aprender) e as minhas (de ensinar).

De certo modo, essas inquietações e o desejo de buscar outras pessoas

para discutir minha preocupação com elas, levaram-me a buscar um curso em

nível de pós-graduação, particularmente o Mestrado Profissional em Ensino de

Matemática. No curso, certifiquei-me de que as sugestões para melhorar a

aprendizagem dos alunos não são infalíveis, e que seria preciso aprender a

construí-las.

Mais do que apenas atender às minhas necessidades de atuação

profissional, aprendi, cursando as disciplinas e, especialmente, participando do

grupo de estudos, pois que a produção de conhecimentos didáticos é um

processo em construção, e que eu deveria, ao realizar meu trabalho de

conclusão, também contribuir para a compreensão do processo de ensino e

aprendizagem da Matemática nas salas de aula, no meu caso, do Ensino

Fundamental.

Já a partir do primeiro semestre do curso comecei a fazer parte das

reuniões do Grupo de Pesquisa “Desenvolvimento Curricular em Matemática e

Formação de Professores”, liderado pela Profa. Dra. Célia Maria Carolino Pires. O

grupo desenvolve diferentes projetos de pesquisa e dentre eles, pude me inserir

no projeto denominado “Estudos sobre conhecimentos prévios de estudantes em

relação a conceitos e procedimentos matemáticos: implicações curriculares”.

Esse projeto tem como objetivo investigar as conexões que podem ser

estabelecidas entre conhecimentos prévios dos alunos, suas hipóteses e o plano

de atividades proposto pelos professores em relação a diferentes conteúdos

matemáticos, como elemento vital para o desenvolvimento curricular.

Toma, como ponto de partida, a concepção ausubeliana, segundo a qual, a

aprendizagem significativa é o processo em que uma nova informação recebida

pelo sujeito interage com uma estrutura de conhecimento específica, orientada

por conceitos relevantes, os conceitos subsunçores – ou conceitos

15

incorporadores, integradores, inseridores, âncoras – determinantes do

conhecimento prévio que ancora novas aprendizagens.

Nosso trabalho focaliza os conhecimentos prévios de alunos do sexto ano

e sétimo ano do ensino fundamental relativos à proporcionalidade.

O motivo de escolha da proporcionalidade reside no fato de que esse tema

estabelece conexões matemáticas com outros conteúdos matemáticos, por tratar-

se de uma ideia comum, transversal ao currículo de matemática, que aparece no

tratamento de problemas do campo multiplicativo, da porcentagem, da

probabilidade, como também em problemas geométricos ligados à semelhança de

figuras, entre outros mais.

II. A proporcionalidade nos currículos prescritos e apresentados

Documentos curriculares oficiais como os Parâmetros Curriculares

Nacionais do Ensino Fundamental destacam que o tema proporcionalidade

permite fazer ligações com situações da vida cotidiana e que as suas leis

estimulam o desenvolvimento do raciocínio proporcional, sendo úteis para a

interpretação de fenômeno do mundo real.

Um aspecto a ser considerado no processo de aprendizagem é que nossos

alunos, ao adquirirem as habilidades e os conhecimentos, saibam transferir as

teorias adquiridas para outros contextos. Segundo os Parâmetros Curriculares

Nacionais+,

A necessária articulação entre as disciplinas da área do

conhecimento para as competências gerais certamente inclui o

desenvolvimento de instrumentos de investigação comuns, como

conceitos e procedimentos partilhados pelas várias ciências, na

investigação e compreensão de diferentes processos naturais (por

exemplo: escala). (BRASIL, 2002, p. 28).

Em 2011, ministrando aulas nos 1º anos do Ensino Médio, antes de

introduzir o conteúdo Funções, buscamos o assunto proporcionalidade com

atividades selecionadas que envolviam Grandezas Diretamente e Inversamente

16

Proporcionais. Verificamos que a única possibilidade de análise feita pelos alunos

abrangia “aumentar e diminuir”. Questionados sobre o significado de uma

constante de proporcionalidade nenhum aluno conseguiu explicar, caracterizando

o pouquíssimo conhecimento sobre o conteúdo “proporção”.

Trouxemos para a sala de aula algumas questões contidas no Caderno do

aluno, 7º ano / 3º bimestre, do Estado de São Paulo (2008) e constatamos muitas

dificuldades, principalmente quando, no contexto, existem situações em que a

variação numérica envolve proporcionalidade, mas que, na realidade, não são

viáveis ou possíveis. Portanto, surge a ideia de investigar o conhecimento de

proporcionalidade de alguns alunos do Ensino Fundamental, para ter alguns

indícios sobre o que ocorre na introdução desse assunto.

Neste caso, resolvemos consultar os Parâmetros Curriculares Nacionais na

área de Matemática (Ensino de 1ª a 4ª série) e, neste documento, já enuncia a

relevância de estudar proporcionalidade, além de outro aspecto envolvendo o

ensino e a aprendizagem que é o de levar-se em conta o que o aluno já sabe, ou

seja, os seus conhecimentos prévios.

Destacamos um trecho dos Parâmetros Curriculares Nacionais (Ensino de

1ª a 4ª série) (1997, p. 29) com referência ao aluno e o saber matemático:

As necessidades cotidianas fazem com que os alunos

desenvolvam uma inteligência essencialmente prática, que

permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações,

tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade

para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é

potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor

resultado.

Com o destaque do trecho citado, podemos comentar que, ao ensinar um

conteúdo de Matemática, o professor deve obter informações sobre os

conhecimentos informais que os alunos já possuem, para poder direcionar suas

práticas pedagógicas.

Segundo o PCN (1997), quando a atividade tem significado para o aluno,

este estabelece conexões, dentro da própria disciplina e com outras áreas do

conhecimento. O documento também relata que, ao relacionar ideias matemáticas

17

entre si, princípios gerais podem ser reconhecidos, como por exemplo, a

proporcionalidade.

Esse Parâmetro (1ª a 4ª séries) refere-se à relevância de selecionar os

conteúdos; assim, reproduzimos esta descrição com relação ao tema

proporcionalidade:

Também algumas ideias ou procedimentos matemáticos, como

proporcionalidade, composição e estimativa, são fontes naturais e

potentes de inter-relação e, desse modo, prestam-se a uma

abordagem dos conteúdos em que diversas relações podem ser

estabelecidas.

A proporcionalidade, por exemplo, está presente na resolução de

problemas multiplicativos, nos estudos de porcentagem, de

semelhança de figuras, na matemática financeira, na análise de

tabelas, gráficos e funções. O fato de que vários aspectos do

cotidiano funcionam de acordo com leis de proporcionalidade

evidencia que o raciocínio proporcional é útil na interpretação de

fenômenos do mundo real. Ele está ligado à inferência e à

predição e envolve métodos de pensamento qualitativos e

quantitativos (Essa resposta faz sentido? Ela deveria ser maior ou

menor?). Para raciocinar com proporções é preciso abordar os

problemas de vários pontos de vista e também identificar

situações em que o que está em jogo é a não proporcionalidade.

(BRASIL, 1997, p. 38)

No documento citado, também verificamos como são apresentadas as

Orientações Didáticas nesses dois primeiros ciclos e, em particular, a abordagem

com os Números naturais envolvendo a multiplicação e a divisão, pois que são as

bases para o conceito de proporcionalidade.

Segundo esse Parâmetro (1997), a multiplicação não pode ser apresentada

somente como soma de parcelas iguais. Tal abordagem não é suficiente, pois

existem outras situações relacionadas à multiplicação.

O documento (1997, p. 72-73) relata que existem quatro grupos, em que as

situações se relacionam à multiplicação e divisão:

1º grupo: situações associadas ao que se poderia denominar

multiplicação comparativa. Exemplo: Pedro tem R$ 5,00 e Lia tem o

dobro dessa quantia. Quanto tem Lia?

18

2º grupo: situações associadas a comparar entre razões, que, portanto,

envolvem a ideia de proporcionalidade. Os problemas que envolvem

essa ideia aparecem bastante nas situações cotidianas do aluno e,

assim, favorecem uma melhor compreensão. Exemplo: Marta vai

comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto

ela vai pagar pelos três pacotes? (A ideia de proporcionalidade: 1 está

para 8, assim como 3 está para 24). Cita-se, também, que a partir de

algumas situações de proporcionalidade existe uma maneira de se

relacionar com a divisão, associadas às ações “repartir (igualmente)” e

“determinar quanto cabe”.

3º grupo: situações associadas à configuração retangular. Exemplo:

Num pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8

colunas. Quantas cadeiras há no auditório?

4º grupo: situações associadas à ideia de combinatória. Exemplo: Tendo

duas saias – uma preta (P) e uma branca (B) – e três blusas – uma rosa

(R), uma azul (A), e uma cinza (C) –, de quantas maneiras diferentes

posso me vestir? Aqui está representado um conceito, o produto

cartesiano. Na ideia de combinação, existem situações relacionadas

com a divisão.

Na Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2010), o tema “proporção”

tem seu destaque. Menciona-se que a ideia de proporcionalidade é fundamental,

quando abordamos frações, noção de semelhança, nas grandezas diretamente

proporcionais, nas funções, entre outras. Também temos o fato de que a ideia de

proporcionalidade que se encontra no mundo físico é base para apoiar o estudo

de outras disciplinas como a Geografia, a Física, a Biologia e outras, estando em

conexão com outras áreas do conhecimento. Sendo assim, esta Proposta

Curricular apresenta ideias de proporcionalidade que têm início no Ensino

Fundamental, e amplia-se no Ensino Médio, mostrando a sua extrema

importância.

Em nossa consulta ao Caderno do professor (2008, p. 9), 6ª série / 3º

bimestre, no material didático que integra a Proposta Curricular do Estado de São

Paulo, existe a seguinte descrição: “Tradicionalmente, o ensino da

19

proporcionalidade era feito de forma pragmática e descontextualizada,

privilegiando o uso da regra de três e a formalização algébrica das relações de

proporcionalidade”.

Desse mesmo texto, destacamos um parágrafo sobre nova proposta

relatada pelos autores: “propomos uma abordagem que prioriza a construção da

noção de proporcionalidade pelo aluno, incentivando sua capacidade de

interpretar problemas e identificar o tipo de proporcionalidade envolvida”.

Quanto aos conteúdos revelados nesse caderno, o quadro geral é

composto de oito unidades: 1) Explorando a noção de proporcionalidade; 2)

Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa; 3) Problemas envolvendo

variação diretamente ou inversamente proporcional; 4) A razão de

proporcionalidade; 5) Principais tipos de razão (escala, probabilidade, velocidade,

densidade demográfica, PIB per capita); 6) A porcentagem como razão; 7)

Razões na geometria (razão entre a diagonal e o lado do quadrado ou a razão

entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro); 8) Gráficos de setores e

porcentagem.

Ressaltamos que, para este 3º bimestre, é feita uma sugestão com a

proposta de quatro Situações de Aprendizagem: Situação 1- A noção de

proporcionalidade; Situação 2- Razão e proporção; Situação 3- Razões na

Geometria; Situação 4- Gráficos de setores e proporcionalidade.

Existe, também, o tempo previsto em semanas para cada situação, mas os

colaboradores descrevem que cabe ao professor dimensioná-lo segundo a

necessidade.

Consideramos, ainda, em nossas leituras, o uso do livro didático, uma vez

que este instrumento, de modo geral, é uma das opções didáticas consultadas

pelo professor em sala de aula. A primeira sondagem nossa foi identificar qual o

livro adotado, que chamaremos de livro A, pela Escola na qual nossos sujeitos de

pesquisas estudavam e, em seguida, questionamos os professores que

ministravam aula a esses alunos, qual o outro livro – que denominamos de livro B

– eles mais utilizam para a retirada de atividades. Ao examinar o teor do conteúdo

20

desses livros, nossa intenção foi verificar de que forma o tema em questão é

apresentado.

Na estrutura do livro A, no capítulo sobre proporção do 7º ano, o autor

apresenta um texto que descreve a obra de Leonardo da Vinci, enfatizando que o

pintor usou a “proporção áurea” ou “divina proporção”. Em seguida, faz menção à

“grandeza diretamente proporcional” por meio de uma situação-problema que está

dentro do contexto social da criança, como por exemplo, a quantidade de alimento

(grandeza massa em gramas) e o preço (grandeza valor monetário em reais).

Com essa situação de aprendizagem, o autor, procura fazer com que o aluno

observe a variação entre as grandezas e estabeleça uma relação entre elas.

Este elaborador menciona que podem existir exemplos em que as

grandezas não são proporcionais. O escritor procura mostrar mais atividades para

que os alunos resolvam com assuntos aproximados ao cotidiano. Em uma

atividade ele aborda sobre razão entre duas grandezas. Logo após, surgem

“grandezas inversamente proporcionais”, continuando a enfatizar as relações

multiplicativas que envolvem as relações proporcionais, mas observamos que

possui somente cinco atividades. O tópico “Escala” é iniciado com o desenho de

uma quadra de vôlei, utilizando a multiplicação para a solução do problema e o

autor não entra em detalhes sobre o tema. Finaliza seu trabalho desenvolvendo o

procedimento convencional com a “regra de três simples” dividida em duas

etapas: “Regra de três e grandezas diretamente proporcionais” e “Regra de três e

grandezas inversamente proporcionais”.

As situações-problema demonstram relações com a vida diária dos alunos.

Com a observação que realizamos sobre o livro A, percebemos que o tema

“Proporção” é introduzido com base em procedimentos não convencionais e,

somente após problemas que envolvem “Grandezas diretamente proporcionais” e

“Grandezas inversamente proporcionais” é que o autor traz o procedimento

convencional à “Regra de Três”.

Quanto ao livro B, inicialmente o autor apresenta situação do cotidiano para

fazer explicações sobre “Razão”, na qual cita um exemplo envolvendo a escola,

com o assunto relação de candidatos por vagas. A próxima abordagem

exemplifica a razão entre duas grandezas por meio de uma situação na qual a

21

comparação é feita com grandezas de mesma natureza e, logo após, apresenta

atividades já resolvidas sobre o tema mencionado. O terceiro tópico explicita

“Razões Especiais” como “escala”, “velocidade média” e “densidade”; todos estes

conceitos começam com uma situação-problema e, em seguida, têm suas razões

definidas. As atividades que se seguem trazem assuntos com proximidade ao dia

a dia do aluno.

Próximo tópico “Proporção”: a situação apresentada envolve as razões

entre suco concentrado e água. Ao continuar a sequência desse assunto, o autor

indica a Propriedade fundamental das proporções, exemplificando-a com uma

situação-problema e colocando a seguinte descrição: “Numa proporção, o produto

dos extremos é igual ao produto dos meios”. No item cinco, registra “Grandezas

Proporcionais” referindo-se à análise da relação entre a variação das medidas de

duas grandezas, trazendo uma situação-problema (quantidade de café (kg) e

preço (R$)) traduzida na representação de uma tabela; define “Grandezas

diretamente proporcionais” e transforma os dados da tabela para outra

representação, o gráfico.

Observam-se colocações sobre a razão constante, chamada fator de

proporcionalidade; ao tratar de “grandezas inversamente proporcionais” utiliza-se

da mesma apresentação (situação-problema, tabela, gráfico, fator de

proporcionalidade e a definição). Na sequência das atividades, nos deparamos

com a representação de tabelas em quase todos os exercícios e, em apenas uma

das atividades, o autor faz menção à construção de gráfico. Para finalizar, o

elaborador expõe a necessidade de utilizar a regra de três para resolver alguns

problemas, e mostra duas atividades resolvidas, empregando essa regra de três.

Mediante nossas observações em relação aos livros em análise,

verificamos que ambos procuram contemplar o estudo de razão e

proporcionalidade, iniciando a introdução com situação-problema de forma que

esses problemas estão presentes no dia a dia dos alunos e em conexão com

outras áreas do conhecimento. Sendo assim, tais livros contemplam o eixo

organizador (resolução de problemas) do processo de ensino e aprendizagem de

Matemática estabelecida pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.

22

O documento descreve que um dos princípios relacionados à situação-

problema considera este eixo, como ponto de partida a ser explorado para a

introdução de um tema matemático. Podemos citar outros aspectos vistos nesse

livro A, relacionados às atividades: os estudantes são induzidos a interpretar os

problemas; existe uma preocupação em justificar de que forma foi efetuado um

procedimento convencional (regra de três). Quanto às atividades proporcionadas

no livro B observamos que a grande maioria não possui questionamentos para

análise na qual o aluno seja levado a refletir sobre as suas resoluções.

Salientamos que os autores deste livro ficam mais atentos para uma conceituação

de uma maneira mais formal, ao abordar a proporcionalidade.

Ao alicerçar os estudos sobre o tema do nosso trabalho, estes orientaram a

nossa opção. Assim sendo, dentro de uma sala de aula, na qual estamos

presentes, necessitamos adquirir respostas sobre quais as possibilidades para

melhor ensinar e assim iluminar a nossa prática de atuação profissional visando

uma aprendizagem significativa para o nosso aluno. Desse modo estabelecemos

os nossos objetivos.

III. Pesquisas em outros trabalhos

Neste subcapítulo, o objetivo é conhecer quais as dissertações que

discutem a introdução à Proporcionalidade e os conceitos relacionados aos

Conhecimentos Prévios de nossos alunos.

No período de desenvolvimento desta pesquisa, fizemos um levantamento

de trabalhos científicos realizados na área de Educação Matemática, a respeito

dos temas já citados. Este levantamento bibliográfico foi efetivado com base em

dissertações publicadas no Programa de Estudos de Pós-Graduados em

Educação Matemática da Pontifícia Católica de São Paulo (PUC-SP).

O motivo da escolha dessa fonte de pesquisa foi por temos localizado

dissertações que compreenderam pesquisas realizadas em Educação Matemática

no Brasil com o tema proporcionalidade. A justificativa para eleger esse material

foi o fato de termos encontrado um trabalho que contém o nosso aporte teórico e

23

seu foco em conhecimentos prévios dos alunos, além de fazer parte da primeira

publicação do trabalho de nosso grupo de pesquisa; a outra dissertação de que

vamos apresentar uma síntese, já fez uma varredura em todos os programas que

estão voltados para a área de Educação Matemática até o ano de 2007, sobre o

conteúdo proporção; e o terceiro trabalho procura analisar Situações de

Aprendizagem contidas no material elaborado pela Secretaria de Educação do

Estado de São Paulo.

Dentre os trabalhos selecionados, realizaremos uma síntese desses

estudos. Com o intuito de compreender e direcionar os nossos estudos

enfatizamos os trabalhos de Miranda (2009), Paula (2009) e Ribeiro (2011). O

primeiro trabalho, de Miranda (2009), intitulado “Pensamento proporcional: uma

metanálise qualitativa de dissertações” teve por objetivo o enfoque em fazer uma

síntese de investigações, que focalizam as expressões matemáticas, geradas (ou

reflexos) da manifestação e desenvolvimento do pensamento proporcional.

Segundo Miranda (2009), o objeto de seu estudo está baseado em

atividades realizadas e explicitadas em dissertações de mestrado produzidas no

Estado de São Paulo, que visam melhorar o ensino e aprendizagem de aspectos

do pensamento proporcional.

Quanto à sua metodologia, a pesquisa, é um estudo documental

denominado metanálise qualitativa. A autora descreve que essa metodologia

procura fazer uma revisão sistemática de um conjunto de pesquisas, visando à

produção de novos resultados, ou síntese. Sendo assim, a opção foi por uma

abordagem qualitativa.

A elaboradora expõe que o primeiro momento para a realização de sua

pesquisa, constituiu-se de um levantamento de dissertações e teses em

Educação Matemática no Brasil, cujos títulos continham o termo raciocínio

proporcional, ou o termo proporcionalidade ou, ainda, proporções ou proporção,

nas listagens do Banco de teses da Edumat da Faculdade de Educação da

Universidade Estadual de Campinas (FE-UNICAMP) publicadas na revista

Zetetiké.

24

O período abrangido por esse levantamento foi de 1971 a 2007, com total

de 22 pesquisas produzidas no Brasil sobre proporcionalidade. Houve uma

seleção para este trabalho, que incluiu seis dissertações e uma tese para os

estudos pertinentes.

Para responder a questão de pesquisa: Quais questões têm sido colocadas

nas dissertações e teses do Estado de São Paulo nesse tema? A autora no

resumo aponta os seguintes resultados:

Como resultados de nossa pesquisa, verificamos que a realização

de atividades propostas em duas dissertações do Estado de São

Paulo favoreceu a expressão desenvolvimento do pensamento

proporcional em estudantes, e os aspectos privilegiados foram os

que tiveram como objetivo representar situações proporcionais por

meio de gráficos, tabelas, símbolos, desenhos ou diagramas;

utilizar ideias centrais associadas aos sentidos do número

racional, ou de relações e operações entre eles, além de suas

representações, para resolver problemas envolvendo funções ou

ideias associadas às funções e suas representações e utilizar

multiplicação ou divisão para resolver problemas envolvendo

ideias de razão ou proporção.

O outro trabalho que vamos mencionar tem como titulo: “Proporcionalidade:

uma análise do caderno do professor – 7º ano (antiga 6ª série) – da proposta

implementada pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, no ano de

2008”, cujo objetivo é realizar uma análise do caderno do professor do 3º bimestre

do 7º ano (antiga 6ª série) do Estado de São Paulo no ano de 2008, enfocando o

tema proporcionalidade.

Segundo Paula (2009), a metodologia do trabalho é de cunho documental e

bibliográfico. O embasamento teórico para as análises está contido na Teoria dos

Campos Conceituais das Estruturas Multiplicativas, proposta por Gérard

Vergnaud (1991).

A autora afirma que, para realizar a pesquisa, foram feitos os seguintes

estudos: dados do SARESP/2008 (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar),

leitura dos Parâmetros Curriculares Nacionais Ciclo II, leitura das propostas

Curriculares do Estado de São Paulo de 1986 e 2008, e levantamento

25

bibliográfico, com o propósito de verificar as contribuições de outros pesquisas

sobre o tema proporcionalidade.

Segundo Paula (2009) após esses levantamentos, selecionou as atividades

contidas no Caderno do professor, já mencionado, as Situações de Aprendizagem

1 e 2. A autora relata que, para as análises destas Situações de Aprendizagem,

foram criadas seis categorias.

Nas conclusões finais, Paula (2009) descreve em relação às questões de

pesquisa:

1- Questão: “O caderno do professor de 7º ano (antiga 6ª série) do 3º

bimestre privilegia todos os tipos de problemas multiplicativos?”. Na

Situação de Aprendizagem 1, notamos uma diversidade de problemas

multiplicativos (isoformismo e produtos de medidas). Quanto à Situação

de Aprendizagem 2, observamos o envolvimento com problemas

multiplicativos (produtos de medidas).

2- Questão: “O objetivo proposto pelos autores em cada Situação de

Aprendizagem foi atingido através do desenvolvimento das atividades

propostas?” A autora afirma que o objetivo foi atingido na Situação de

Aprendizagem 1, nas cinco primeiras atividades, tendo, porém, a sexta

atividade ficado desarticulada das demais. Com relação à Situação de

Aprendizagem 2, o objetivo não foi atingido no desenvolvimento das

atividades, pois se tratava do cálculo de razão e proporção. A autora

relata que apenas uma atividade evidencia o cálculo de proporção,

enquanto as outras evidenciaram o cálculo de razão.

3- Questão: “Os tipos de problemas propostos aos alunos possuem qual

tipo de abordagem?” Paula (2009) refere-se à Situação de

Aprendizagem 1, cujo trabalho está voltado para grandezas diretamente

proporcionais e inversamente proporcionais, enquanto que, na Situação

de Aprendizagem 2 observamos a abordagem de razão e proporção

como objeto de estudo, segundo a análise realizada por Bernal (2004).

26

Encerramos, apresentando o trabalho de Ribeiro (2011): “Possibilidades e

dificuldades no desenvolvimento de situações de aprendizagem envolvendo

funções trigonométricas”.

O objetivo de sua pesquisa, relatado por Ribeiro (2011), foi o de

compreender as possibilidades e as dificuldades em utilizar o material distribuído

aos alunos da rede pública do Estado de São Paulo, focando os conhecimentos

prévios desses estudantes, em relação ao conteúdo funções trigonométricas e

identificar dificuldades que possam surgir durante a execução dessas atividades e

verificando as necessidades de intervenção, para a promoção da construção de

conhecimento relativo ao tema.

Segundo Ribeiro (2011), as questões de pesquisa seriam: Quais as

possibilidades e as dificuldades em utilizar o caderno do aluno, em uma

perspectiva construtivista, em relação ao conteúdo Funções trigonométricas? A

partir desta surgiram outras questões:

Quais são os conhecimentos prévios revelados por um grupo de

estudantes em relação ao conteúdo Funções trigonométricas?

Quais são as dificuldades que esse grupo de estudantes apresenta no

estudo das Funções Trigonométricas?

Que intervenções do professor podem promover a construção de

conhecimentos relacionados às Funções Trigonométricas, visando a

uma aprendizagem significativa?

Quanto à metodologia utilizada nessa pesquisa, ela é qualitativa, cuja

estratégia emprega um estudo de caso. O trabalho foi realizado com três alunos

do 2º ano do ensino médio, que estudam em uma escola pública estadual.

Com relação ao material utilizado para a pesquisa, a autora selecionou dez

atividades do Caderno do aluno: Matemática, Ensino Médio – 1º ano, 2º

bimestre/Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. Além disso, outras

seis atividades foram proporcionados aos estudantes dessa pesquisa.

Nas considerações finais, Ribeiro (2011), ao retomar as suas questões de

pesquisa, afirma que são muitas as possibilidades de trabalho que o caderno do

27

aluno oferece ao professor, pelo motivo de as atividades não apresentarem um

modo sequencial. Com esta característica o professor poderá enfatizar

superficialmente ou aprofundar esse conteúdo, mas, deverá levar em

consideração os conhecimentos prévios dos alunos.

Ribeiro (2011) descreve que, quanto às dificuldades, elas estão

relacionadas à compreensão do professor sobre a perspectiva construtivista. A

maioria dos conhecimentos prévios identificados, está relacionada ao conteúdo de

fatos e de conceitos. Quanto às dificuldades, constatou-se que se relacionam com

conteúdos de procedimentos e de atitudes.

Em síntese, na dissertação de Miranda (2009) foram investigadas sete

pesquisas com o foco em atividades, cujo tema é o pensamento proporcional,

enquanto a dissertação de Paula (2008) envolvia atividades com o conteúdo

proporcionalidade e o trabalho de Ribeiro (2011) discute os conhecimentos

prévios, relacionados a funções trigonométricas.

VI. Objetivo do nosso trabalho

Tendo em vista a relevância do tema proporcionalidade, ao estudar

conhecimentos prévios de alunos de 6º e 7º anos do Ensino Fundamental, em

relação ao assunto, temos como objetivo investigar uma contribuição para um

melhor entendimento sobre o objeto de nosso estudo (conhecimentos prévios).

O nosso trabalho guia-se pela seguinte questão norteadora: Quais são as

possibilidades e as dificuldades encontradas na introdução de situações de

aprendizagem, elaboradas com base em propostas apresentadas nos anos

iniciais e propostas que os professores de 7º ano (antiga 6ª série) costumam

oferecer a seus alunos, numa perspectiva ausubeliana, em relação às noções de

proporcionalidade?

28

Essa questão desdobra-se em outras mais específicas, a saber:

(I) Quais conhecimentos prévios podemos identificar em alguns

estudantes, em relação às noções de proporcionalidade?

(II) Que procedimentos os estudantes utilizam para resolver situações-

problema que envolvem ideia de proporcionalidade?

(III) Que atitudes os estudantes revelam nas resoluções de situações-

problema mobilizando conhecimentos prévios?

Reiteramos que esta pesquisa tem a intenção de revelar alguns

conhecimentos prévios dos estudantes em relação a proporcionalidade.

Acreditamos que, ao diagnosticar quais os conhecimentos prévios que nossos

alunos possuem sobre proporcionalidade, os professores que ensinam

Matemática passem a refletir um pouco mais sobre a relevância de construir

novos conhecimentos em cima de etapas prévias já adquiridas pelos estudantes,

e com isso, facilitar a criação de condições de aprendizagens significativas.

V. Escolhas metodológicas

Nossa investigação utiliza uma metodologia qualitativa, já que

necessitamos averiguar todo o processo com riqueza de descrição. Conforme

Bodgan e Bidklen (1994, p. 47-51) expõem, a investigação qualitativa possui cinco

características:

1. Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o

ambiente natural, constituindo o investigador o instrumento

principal.

2. A investigação qualitativa é descritiva.

3. Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo

processo do que simplesmente pelos resultados ou produtos.

4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados

de forma indutiva.

5. O significado é de importância vital na abordagem qualitativa.

29

Uma qualidade sobre o estudo de caso, citada por André (2008, p. 34):

Os estudos de caso também são valorizados pela sua capacidade

heurística, isto é, por jogarem luz sobre o fenômeno estudado, de

modo que o leitor possa descobrir novos sentidos, expandir suas

experiências ou confirmar o que já sabia. Espera-se que o estudo

de caso ajude a compreender a situação investigada e possibilite

a emersão de novas relações variáveis, ou seja, que leve o leitor a

ampliar suas experiências. Espera-se também que revele pistas

para aprofundamento ou para futuros estudos.

Na visão de Ludke e André (2005, p. 17), com relação ao estudo de caso

descrevem: “Quando queremos estudar algo singular, que tenha um valor em si

mesmo, devemos escolher o estudo de caso”.

Algumas colocações já evidenciaram, sobre estudo de caso, em nosso

trabalho; entretanto, encontramos uma proposta de André (1984, p. 52), que

contribui para organizar o nosso entendimento sobre como utilizar o estudo de

caso em nosso trabalho.

Sendo assim, destacamos, a seguir, as características associadas a esse

tipo de estudo:

1. Os estudos de caso buscam descobertas.

2. Os estudos de caso enfatizam a interpretação em contexto.

3. Estudos de casos procuram representar diferentes e, às vezes,

conflitantes pontos de vista presentes numa situação social.

4. Os estudos de caso usam uma variedade de fontes de

informação (estratégia de triangulação).

5. Os estudos de caso revelam experiência vicária e permitem

generalizações naturalísticas (desenvolvimento no âmbito do

individuo e em função do seu conhecimento pessoal).

6. Os estudos de casos procuram retratar a realidade de forma

completa e profunda (focalizam o todo, mas com detalhes).

7. Os relatos de estudo de caso são elaborados numa linguagem

e numa forma mais acessível do que os outros tipos de

relatórios de pesquisa (estilo informal, citações, exemplos e

descrições).

A partir dessas colocações, informamos que a base das coletas de dados

de nossos estudos será constituída por meio dos seguintes instrumentos que

30

envolverão nossas análises: a) observação; b) protocolos; c) registros em áudio

(entrevista com os alunos); d) registros escritos pela pesquisadora durante a

entrevista.

Tendo por base as afirmações citadas, realizamos o nosso trabalho no

âmbito de uma escola, lugar de ocorrência dos fundamentos do ensino e

aprendizagem, havendo uma interação aluno e conhecimento. Assim, nossa

pesquisa situa-se na metodologia estudo de caso, que vem ao encontro de nosso

interesse em investigar, com detalhes, os conhecimentos prévios dos estudantes.

De forma coerente com a opção pela pesquisa qualitativa, não temos a intenção

de generalizar os resultados citados nesta pesquisa e sim utilizar a reflexão que

envolve certas situações, sinalizando as possibilidades de analogias que podem

acontecer com as diversas realidades.

IV. Cenário da Pesquisa

Nosso estudo de caso foi realizado em uma escola da rede pública

estadual de São Paulo, situada no município de Santo André. Essa unidade

escolar oferece Ensino Fundamental e Ensino Médio, funcionando em três turnos,

sendo 02 turnos diurnos e 01 noturno. A escola no Ensino Fundamental possui

912 alunos com 26 classes em funcionamento. Com relação ao Ensino Médio são

693 alunos com 20 classes. Até a data de 25/01/2012 essa unidade escolar tinha

um total geral de 1605 alunos matriculados, com 46 classes em funcionamento.

Os recursos físicos são compostos de: 26 salas de aula; 02 laboratórios; 01

sala de leitura; 02 auditórios; 01 sala de vídeo; 01 quadra coberta; 02 quadras; 01

teatro; 01 refeitório e 01 “acessa” (sala de computadores dirigidas por pessoas

contratadas pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo).

Identificamos que o local de nossos estudos possui os seguintes Índices de

Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo-IDESP: em 2011 o 9º ano

do Ensino Fundamental ficou em 2,57; o Ensino Médio atingiu uma meta de 2,09.

As metas a serem alcançadas no ano de 2011 eram: o 9º ano seria 2,95 e o

Ensino Médio com 2,31. Comparando os resultados obtidos pela escola e as

31

metas definidas pela Secretaria da Educação esta unidade escolar ficou abaixo

das metas a serem atingidas e o fator que mais pesou para não atingir a meta em

2011 foi a evasão escolar.

A direção da escola também nos informou que, ao aplicar um questionário

com a finalidade de obter dados para um Projeto intitulado “Projeto Jovem do

Futuro”, os alunos responderam ter escolhido estudar nessa escola por considerá-

la boa; que gostam de ler e que as disciplinas com que mais têm afinidade são

Português e Matemática.

Essa opinião que os estudantes têm sobre a escola “boa” advém de

julgamentos revelados por irmãos, tios e até pais que ali já estudaram. Observou-

se, ainda, que 60% dos alunos são moradores da cidade de São Paulo, portanto,

não moram nas proximidades da escola. Quanto ao perfil familiar: a grande

maioria dos pais possui Ensino Médio, em torno de 54%; a renda familiar,

segundo os alunos, varia de R$ 1.500,00 a R$ 3.000,00; muitos possuem casa

própria; a mão de obra está qualificada no setor industrial.

Quanto ao corpo Docente é constituído por 76 professores. Nota-se,

também, que os educadores que ministram aula no Ensino Médio já estão na

escola por um período compreendido entre 5 a 20 anos. O quadro de professores

dessa unidade escolar é completo. Constatamos que, em relação às aulas, estas

são regularmente ministradas pelos docentes e as faltas decorrentes dos

professores estão relacionadas com o abono de ponto.

A escolha dessa escola deveu-se tanto ao fato de que realizar nossos

estudos neste lugar seria de fácil acesso para a pesquisadora, pois trabalha neste

local, quanto para a escolha dos alunos para a pesquisa. Há também outro

motivo: a pesquisadora tem um bom relacionamento com os alunos e os

professores, tendo a possibilidade de pedir que nos auxiliassem em nosso

trabalho de pesquisa caso houvesse necessidade.

Conversamos com a direção e com professores da escola, apresentamos

nossa pesquisa e pedimos a colaboração de todos. Solicitamos aos professores

de Matemática da escola que nos indicassem alunos que pudessem participar de

nossos estudos.

32

As professoras fizeram o convite e explicavam o motivo dele. Também

pediram o telefone das residências desses estudantes para que pudéssemos

entrar em contato com os responsáveis e explicar-lhes o objetivo do trabalho e a

importância de seus filhos fazerem parte desse projeto, além de pedir a

permissão para que os alunos dele participassem.

A princípio, seis pais garantiram que gostariam que seus filhos fizessem

parte desta pesquisa, conforme o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido,

que se encontra em anexo no final deste trabalho. Consideramos isso satisfatório,

pois no planejamento do projeto havíamos proposto selecionar alunos em função

de algumas características. De inicio, pretendíamos trabalhar com um grupo de

alunos de 6º ano e outro grupo de alunos de 7º ano, variando o gênero e seu

desempenho em Matemática na avaliação de seus professores.

No entanto, o grupo previsto não se constituiu. Como precisávamos realizar

as entrevistas em horário especial, foram muitas as dificuldades para obter

autorização dos pais, a fim de que os alunos ficassem na escola em outro período

que não o das aulas. Alguns dos responsáveis entraram em contato por telefone e

disseram que ficaria difícil levar os seus filhos, fora do horário escolar.

Começamos com quatro estudantes, mas já a partir do terceiro encontro

tínhamos apenas dois – a quem chamaremos de João e Pedro (nomes fictícios).

Fizemos novas tentativas para convidar outros alunos, mas não conseguimos

mais adesões.

Destacamos que a pesquisa teve a permissão da Direção, pois nossas

reuniões foram feitas em uma sala de aula pertencente a esse domínio escolar.

João, com 11 anos de idade no período da pesquisa, cursava o 6º ano do

Ensino Fundamental de nove anos. Pedro, com 12 anos de idade no período da

pesquisa cursava o 7º ano do Ensino Fundamental. Ambos estudavam no período

vespertino, das 13h às 18h20min, e se reuniram conosco, antes do horário das

aulas.

Com relação ao tema Proporcionalidade, João não havia estudado

formalmente com o tópico do currículo geralmente identificado como Razões e

33

Proporções. Pedro ao contrário, já havia estudado este tópico de maneira

intencional.

Na sequência, descrevemos algumas características desses alunos que

podem exercer uma influência no desempenho de cada um.

VII. Os sujeitos de pesquisa

No primeiro encontro, pedimos a João que nos contasse sobre a sua

trajetória na escola e assim transcrevemos a nossa conversa: João conta que

passou por várias escolas. E contou que os colegas o “xingavam” de orelhudo,

por isso mudou-se para outras escolas, em torno de três ou quatro vezes. Mas,

depois, com o tempo ele não se importava mais. Com essa experiência, ele veio

estudar na escola na qual se encontra atualmente e que, segundo ele, é boa.

João acha que a escola é um caminho para conseguir um trabalho bom. Ele diz

que na Matemática se sai bem, pois quando vai ao mercado com os pais efetua

os cálculos e, geralmente, consegue chegar próximo do valor em dinheiro de que

o pai dispõe.

Ele continua: As contas são feitas na minha cabeça. A Matemática é a

matéria mais usada na minha vida diária. Ah, Ciências, eu também utilizo, eu

expliquei para o meu primo o que ocorre com os vulcões, pois a professora havia

explicado em uma de suas aulas.

João relata que em sua casa ele estuda às quartas, quintas e sextas-feiras.

E conta que a mãe o lembra para estudar, pois podem ocorrer algumas provas

surpresas. Estudando, ele já se prepara para a prova antes de surgirem as

avaliações.

João nos conta ainda: as aulas de Matemática eu entendo bem, mas se eu

tenho alguma dúvida, pergunto para a professora. As professoras sempre estão

dizendo que ele é bom aluno. Esta característica “bom aluno” utilizado pelos

professores traz uma afetividade que auxilia a sua aprendizagem.

34

Ao longo das sessões de trabalho, João mostra-se tranquilo e seguro em

suas colocações sobre a escola. Apesar de constantes mudanças nesta trajetória

escolar, isso não afetou o seu interesse pelos estudos, visto que no decorrer

deste trabalho não faltou em nenhum encontro estabelecido por esta

pesquisadora.

Em relação à disciplina Matemática, João manifesta uma “Matemática

auxiliadora”, como podemos notar em sua fala: “sou eu que faço os cálculos”;

“uso na vida diariamente”. João estabelece uma ponte entre a disciplina

Matemática e as possibilidades de ser inserido no campo profissional e poder

utilizar os conhecimentos adquiridos nesta disciplina. João traz a ideia de ter uma

vida com sucesso, no qual a escola é um meio para obter uma trajetória vitoriosa.

Quanto ao aluno Pedro, veio ao segundo encontro agendado e nos

pareceu tímido, pois suas respostas foram curtíssimas em nossa entrevista.

Pedi para que o aluno falasse sobre sua pessoa, então ele começou a

monologar: eu tenho doze anos, estou no Brasil há dois anos, sou chileno, gosto

de Matemática, de tecnologia (computadores e celulares); andar de skate; gosto

de videogame; jogar bola e andar de bicicleta. Perguntei se ele tinha um

determinado tempo para estudar, assim ele respondeu: “quando eu chego da

escola, vou fazer lição. A minha mãe sempre me manda estudar”, revelando que

estuda em torno de uma hora e meia por dia. Pedro afirma que gosta de

Matemática utilizando o termo “tenho que usar a cabeça”. Quando fez referência à

disciplina de Matemática ele disse: “uso quando eu saio com meus amigos, eu

divido a conta” e em alguns momentos com a mãe, ela pede para ele fazer contas

de dividir e de multiplicar.

Com base em nossos diálogos percebemos que a Matemática faz parte do

cotidiano de Pedro, verificamos isto em sua fala: “quando saio com os meus

amigos divido a conta e tem que dar justinho a conta”. Também podemos relatar

que, segundo sua professora de Matemática, ele apresenta um bom nível de

desenvolvimento nessa disciplina.

35

VIII. As sessões realizadas

Os estudos com os alunos já mencionados ocorreram na escola em uma

sala de aula tranquila, às quintas-feiras, no período das 11h30min às 12h45min,

antes do horário de aula.

Em cada encontro semanal pretendíamos explorar duas atividades. Mas

verificamos que não era possível, pois deveríamos falar sobre as resoluções

efetuadas pelos alunos no mesmo encontro e o tempo escolhido foi curto. Por

isso apresentamos uma atividade por semana. Os momentos de realização dos

estudos totalizaram dez encontros.

Os dias deste trabalho foram planejados em etapas. Na primeira etapa, a

pesquisadora propôs aos alunos que lessem e respondessem a situação-

problema que envolve o tema proporcionalidade. Na segunda etapa, os

questionamentos sobre os procedimentos que cada aluno realizou em suas

atividades.

As atividades foram desenvolvidas sem tempo determinado e procuramos

deixá-los à vontade dizendo a eles que não estávamos preocupados com o acerto

ou erro das questões. Explicamos que a nossa intenção seria estudar as suas

ideias e compreender os pensamentos que seriam mobilizados para as soluções

dessas tarefas e com estes estudos auxiliar a aprendizagem de outros alunos.

Em relação ao material a ser utilizado para a pesquisa, esse foi impresso e

entregue aos alunos, conforme o modelo elaborado que se encontra na parte

anexa deste trabalho.

A partir da definição de objetivos de aprendizagem, organizamos uma

sequência de atividades que foi previamente apresentada aos alunos e discutida

com minha orientadora e com colegas do grupo de pesquisa.

Optamos por registrar a coleta de informações fazendo gravações,

registros pessoais, com os quais, posteriormente, ao transcrever as entrevistas,

acabamos fazendo um confronto com estes outros dois instrumentos. Além disso,

ao observar os protocolos das tarefas realizadas pelos estudantes, procuramos

36

questionar os alunos sobre suas estratégias para melhor compreender suas

soluções.

XI. A análise, sistematização e apresentação dos resultados

Mesmo com razoável experiência profissional como professora, pudemos

sentir o grande desafio de analisar as produções dos alunos. Estamos sempre

preocupados com a quantidade de acertos e não fazemos nenhuma análise dos

porquês dos erros. Seria melhor refletir sobre os erros como um começo para

iniciar um novo planejamento sobre o tema avaliado.

Podemos relatar que, a partir da segunda atividade deste estudo, passou a

existir uma proximidade entre a pesquisadora e os sujeitos de pesquisa que se

tornou natural, pois nossas conversas sobre as soluções realizadas por João e

Pedro não tinham critérios rígidos de questionamentos. À medida que surgiram as

questões, João e Pedro já se dispuseram a explicar suas ações, com o intuito de

nos ajudar a compreender suas estratégias.

Acreditamos que essa ligação pesquisador-aluno deveu-se à clareza do

objetivo do nosso trabalho e à liberdade de expressar verbalmente sem críticas e

à valorização dos pensamentos de Pedro e João. É importante registrar que, em

nossa última atividade, estávamos os três, em pé, diante do quadro negro,

discutindo sobre a resolução das atividades. Após o término desta décima sessão

tivemos a certeza que as nossas concepções sobre ensinar se tornaram cada vez

mais críticas.

Assim sendo, por meio de nossos diálogos, tentamos entender as ações

realizadas na prática por Pedro e João, com o apoio de nossos estudos vindos do

aporte teórico. Ao considerar os nossos questionamentos e observações

buscamos identificar os conhecimentos prévios dos alunos e qual a melhor forma,

após identificar as dificuldades, de fornecer um apoio para conceber a construção

do tema proporção, para que o autor deste conhecimento seja o próprio aluno.

37

Por intermédio do processo de estudo empregado, para as análises dos

resultados tentamos organizar algumas categorias que foram retiradas, após

nossas descrições dos procedimentos da resolução utilizadas por João e Pedro.

Portanto temos as seguintes categorias:

Características dos conhecimentos prévios

Análise de estratégias realizadas pelos estudantes

Dificuldades que surgiram durante a realização das tarefas

Inicialmente, pensamos em organizar tabelas com as categorias de análise

para simplificar a visualização e, assim, auxiliar os nossos propósitos para as

análises. A primeira tabela, por exemplo, em sua apresentação, contém acertos e

erros que foram constatados nos protocolos de nossos sujeitos de pesquisa que

vamos expor no capítulo 4. Para a construção dessas tabelas resolvemos xerocar

todas as atividades de João e Pedro e colocar as atividades lado a lado,

montando um quadro geral para podermos observar melhor os procedimentos

realizados por esses alunos. Desse modo, fizemos um mapeamento de quais

conhecimentos prévios, estratégias, atitudes e dificuldades surgiram no

desenvolvimento desse trabalho, para assim esclarecer as perguntas que

incitaram a nossa pesquisa. Portanto, no capítulo 4, utilizaremos uma síntese dos

detalhes observados em nossa pesquisa.

X. Estruturação do trabalho

Para apresentar os resultados de nossos estudos e investigações,

organizamos o presente texto em cinco capítulos.

Nosso trabalho inicia-se com um relato sobre o percurso profissional desta

pesquisadora; a inserção deste trabalho no projeto de pesquisa e os motivos que

nos levaram a investigação deste estudo. Além disso, são descritas algumas

considerações sobre o posicionamento do objeto matemático Proporção dentro do

currículo prescrito e apresentado. Também neste espaço são mostrados os

objetivos que guiaram esta pesquisa, as pontuações que são envolvidas no

38

planejamento e na execução deste trabalho, análise, sistematização e a

apresentação dos resultados.

No Capítulo 1, é descrito o “aporte teórico” que sustentou a pesquisa, no

qual apresentamos em linhas gerais as concepções dos autores Ausubel, Pozo e

Coll, sobre aprendizagem significativa. Procurou-se, também, dar ênfase às

características dos conhecimentos prévios dos alunos, nos quais se concentraram

nossas observações para responder aos questionamentos deste trabalho.

Com referência ao segundo capítulo houve o detalhamento das dez

situações-problema que organizamos para a coleta de dados.

No terceiro capítulo trazemos a apresentação descritiva de algumas pré-

análises das dez sessões, com destaque às observações relativas a atitudes e

procedimentos de João e Pedro.

No capítulo 4, é apresentada a sistematização dos dados coletados de uma

forma mais simples com relação ao objeto de estudo, para traçar um caminho

para as conclusões finais.

Completamos o nosso trabalho, apresentando as conclusões e

considerações finais, nas quais se ponderam os resultados, mantendo a conexão

com o referencial teórico e as questões que direcionaram este estudo.

39

CAPÍTULO 1

FUNDAMENTOS TEÓRICOS CONSIDERADOS

As considerações teóricas formadas neste capítulo envolvem,

primeiramente, a Teoria de Ausubel: a Teoria da Aprendizagem Significativa da

qual apresentaremos pontos relevantes e as condições para que ocorra uma

aprendizagem significativa.

Ausubel procura estudar o conhecimento que o aluno adquire, ponderando

a maneira pela qual o indivíduo interage com o meio físico e social e as causas

que têm importância nas organizações das estruturas cognitivas. Com a

amplitude de ideias que constam na Teoria de Ausubel, relacionadas ao processo

de ensino-aprendizagem, a sua teoria tornou-se uma forte influência no contexto

educacional. Por isso, optamos por ela como referência para o desenvolvimento

do nosso trabalho, e estará em conjunto com outras ideias que auxiliam a área da

Educação e, em particular, da Educação Matemática.

1.1 Formas de uma Aprendizagem Significativa

Em nossas leituras, tivemos a noção de que uma das contribuições da

teoria ausubeliana foi a de esclarecer a distinção entre aprendizagem significativa

e a aprendizagem mecânica e, além disso, enfatizar que grande parte da

aprendizagem ocorre de forma receptiva. A aprendizagem em sala de aula,

40

salientam Ausubel e seus colaboradores (1980), possui duas dimensões

independentes: a dimensão automática – significativa, e a dimensão receptiva –

descoberta.

Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 6) citam que, no passado, existiu

uma confusão entre toda a aprendizagem receptiva, a qual estava baseada no

ensino expositivo, ao considerá-la como automática, ao mesmo tempo em que

toda aprendizagem por descoberta seria significativa. Mas os autores, na mesma

página, afirmam que essas duas aprendizagens podem ser significativas, a partir

de algumas características:

(1) se o estudante utilizar o acervo de aprendizagem significativa

(uma tendência a relacionar novas informações aprendidas

significativamente à sua estrutura de conhecimento existente), e

(2) se a tarefa de aprendizagem em si mesma for potencialmente

significativa (se ela própria consiste de material plausível ou

sensível e se pode estar relacionada de uma forma não arbitrária

e essencial à estrutura cognitiva de um estudante em particular).

Na aprendizagem receptiva (automática ou significativa), segundo os

autores, o foco principal está no conteúdo apresentado ao aluno, requerendo dele

apenas que relacione esse conteúdo aos enfoques proeminentes de sua estrutura

cognitiva e o integre à aprendizagem de novos conhecimentos. Quanto cita a

aprendizagem receptiva significativa, a matéria apresentada ao aluno é

potencialmente significativa, durante o processo de internalização. Na

aprendizagem receptiva automática, no entanto, não existe potencial significativo

e tampouco se torna significativa no processo de internalização.

Citando os autores (1980, p. 20):

Grande parte da confusão nas discussões de aprendizagem

escolar tem origem na deficiência de se reconhecer que as

aprendizagens automática e significativa não são completamente

dicotomizadas. Embora sejam qualitativamente descontínuas em

termos dos processos psicológicos subjacentes a cada uma e,

portanto, não possam estar situadas em polos opostos do mesmo

contínuo, há dois tipos intermediários de aprendizagem que

compartilham algumas das propriedades, tanto da aprendizagem

automática como da significativa (por exemplo, a aprendizagem

representacional ou aprendizagem de nomes de objetos, eventos

e conceitos). Além disto, ambos os tipos de aprendizagem podem

ocorrer concomitantemente na mesma tarefa de aprendizagem.

41

Ao descrever sobre a aprendizagem por descoberta, Ausubel, Novak e

Hanesian (1980) relatam que o conteúdo principal a ser aprendido não é dado,

deverá ser descoberto pelo aluno. Afirmam os autores (1980, p. 21) que, neste

caso, o processo por descoberta é bem diferente da aprendizagem receptiva,

alegando:

O aluno deve reagrupar informações, integrá-las à estrutura

cognitiva existente e reorganizar e transformar a combinação

integrada, de tal forma que dê origem ao produto final desejado ou

à descoberta entre meios e fins. Concluída a aprendizagem por

descoberta, o conteúdo descoberto torna-se significativo, da

mesma forma que o conteúdo apresentado torna-se significativo

na aprendizagem receptiva.

Logo, podemos inferir que, para existir uma aprendizagem receptiva

significativa, além de implicar uma aquisição de novos conceitos, deverá existir

uma apresentação para o aluno de um material potencialmente significativo. Esse

material não deve ser arbitrário, tem que haver interação com os conhecimentos

já existentes na estrutura cognitiva do aluno, através da qual o sujeito estabeleça

uma ponte com as novas informações.

1.2 Distinções dos tipos de Aprendizagem Receptiva Significativa

Os autores da teoria ausubeliana mencionam que a aprendizagem receptiva

significativa, no processo de obtenção de informações, provoca modificações em

ideias que estão presentes na estrutura cognitiva. Sendo assim vamos mencionar

os três tipos três aprendizagem receptiva significativa:

Aprendizagem representacional (significado de palavras ou símbolos

unitários). Ocorre ao estabelecer uma equivalência de significado entre

os símbolos arbitrários e seus correspondentes referentes (objetos,

exemplos, conceitos), que passam, então, a remeter o aluno ao mesmo

significado.

42

Aprendizagem de conceitos. Nessa aprendizagem, os atributos

essenciais segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 47) “são

adquiridos por meio de experiência direta e através de estágios

sucessivos de formulação de hipóteses, teste ou generalização”.

Aprendizagem proposicional (significado de ideias expressas por grupos

de palavras combinadas em proposições ou sentenças) pode ser:

subordinativa ou superordenada ou combinatória. Citaremos a definição

de Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 33):

A aprendizagem subordinativa ocorre quando uma proposição

“logicamente” significativa de uma determinada disciplina

(plausível, mas não necessariamente válida lógica ou

empiricamente, no sentido filosófico) é relacionada

significativamente a determinadas proposições superordenadas

(ou sobreordenadas) na estrutura cognitiva do aluno. Esta

aprendizagem pode ser derivativa se o material de aprendizagem

simplesmente exemplifica ou reforça a ideia já existente na

estrutura cognitiva. É chamada de correlativa se for uma

extensão, elaboração, modificação, ou qualificação de

proposições anteriormente adquiridas.

A aprendizagem proposicional superordenada (ou sobreordenada)

ocorre quando uma nova proposição pode ser relacionada a

determinadas ideias subordinadas na estrutura cognitiva existente;

mas é relacionável a um conjunto amplo de ideias geralmente

relevantes que podem ser subordinadas a elas. Finalmente, a

aprendizagem proposicional combinatória refere-se aos casos em

que uma proposição potencialmente significativa não pode ser

relacionada às ideias superordenadas nem às subordinativas na

estrutura cognitiva do aluno, mas é relacionável a um conjunto de

conteúdos relevantes a essa estrutura.

Segundo os autores, a aprendizagem subordinativa, superordenada e a

combinatória são processos cognitivos. Vamos citar outra explicação que

Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 57) descrevem sobre aprendizagem

subordinativa, superordenada e a combinatória:

43

1- Aprendizagem Subordinativa:

1.a. Subordinação derivativa

Nesta aprendizagem, a informação nova (d) está ligada à ideia

superordenada (D) e representa outro exemplo ou extensão de D. Os atributos

essenciais do conceito D não sofreram modificações, mas os novos exemplos são

considerados relevantes.

1.b. Subordinação correlativa

A Aprendizagem Subordinativa Correlativa, a nova informação (c) está

ligada à ideia (C), mas não é uma extensão, modificação ou quantificação de C.

Os atributos essenciais do conceito subordinativo podem ser ampliados ou

modificados com a nova subordinação correlativa.

2- Aprendizagem Superordenada:

Nesta aprendizagem superordenada, as ideias que já estão presentes na

estrutura cognitiva do aluno são consideradas como exemplos mais específicos

da nova ideia de A e passam a associar-se a A. A ideia superordenada A é

definida por um novo conjunto de atributos essenciais que abrange as ideias

subordinativas.

3- Aprendizagem Combinatória:

Quando ocorre aprendizagem combinatória, a nova ideia A é vista como

relacionada às ideias existentes X, Y e Z, mas não é mais abrangente nem mais

específica do que as ideias X, Y e Z. Portanto, considera-se que a nova ideia A

tem alguns atributos em comum com as ideias preexistentes.

44

1.2.1 Algumas Particularidades dos Três Tipos de Aprendizagem Receptiva

Significativas

Quanto se trata de aprendizagem representacional, temos que levar em

consideração o desenvolvimento da capacidade de uma criança para a

aprendizagem, ou seja, qual o significado que as palavras isoladas representam

para uma criança? Assim, citamos um exemplo em que Ausubel, Novak e

Hanesian (1980, p. 39) destacam:

“Por exemplo, quando a criança aprende pela primeira vez que o

significado da palavra “cachorro”, o objetivo é que o som da

palavra (que é potencialmente significativo, mas que ainda não

possui significado para a criança) represente, ou seja, equivalente

a um objeto-cachorro particular que está sendo percebido naquele

momento e, portanto, significa a mesma coisa (uma imagem

desse objeto-cachorro) que o objeto propriamente dito”.

Os elaboradores (1980, p. 47) apresentam que:

O tipo de processo cognitivo significativo envolvido na

aprendizagem representacional é nitidamente básico e

responsável pela aprendizagem de estruturas significativas em

qualquer sistema simbólico. Além disso, é somente na medida em

que o significado de palavras isoladas pode ser aprendido dessa

forma que, através da combinação de tais significados, torna-se

possível gerar verbalmente conceitos e proposições que, por sua

própria natureza, são menos arbitrários e consequentemente

podem ser adquiridos de forma mais significativa.

Conforme esclarecem os autores (1980, p. 33), a aprendizagem

representacional é significativa:

porque as proposições da equivalência representacional podem

ser relacionadas (de forma não arbitrária), enquanto exemplos, a

uma generalização presente na estrutura cognitiva de quase todas

as pessoas, em torno do primeiro ano de vida – tudo tem um

nome e o nome significa aquilo que seu referente significa para

uma determinada pessoa.

A aprendizagem de conceitos é um caso particular de aprendizagem

representacional, ou seja, o conceito definido por Ausubel, Novak e Hanesian

(1980, p. 47): “são objetos eventos, situações ou propriedades que possuem

45

atributos essenciais comuns que são designados por algum signo ou símbolo”. Os

autores descrevem que existem dois métodos de aprendizagem de conceito:

(1) formação de conceito, que ocorre primordialmente em crianças

em idade pré-escola; (2) assimilação de conceito, que é a forma

dominante de aprendizagem de conceito em crianças em idade

escolar e adultos.

Os autores expõem que, na formação de um conceito, as características

principais advêm de experiência direta e de estágios sucessivos de formulação de

hipóteses, teste ou generalização. Eles afirmam que, com o aumento do

vocabulário, os novos conceitos surgem pelo processo de assimilação de

conceitos.

Ao fazer uma referência sobre assimilação de conceitos Ausubel, Novak e

Hanesian (1980, p. 82) citam: [...] “assimilação de conceito é, em geral,

caracterizada por um processo ativo de relação, diferenciação e integração com

os conceitos relevantes existentes”.

Segundo Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 82), aprender um conceito:

“depende, em alguma medida, das propriedades da estrutura cognitiva existente e

do estado geral do desenvolvimento e capacidade intelectual do aluno, tanto da

natureza do conceito propriamente dito e da forma pela qual é apresentado”.

Na obtenção de aprendizagem proposicional Ausubel, Novak e Hanesian

(1980, p. 48) descrevem:

[...] a tarefa da aprendizagem, ou uma proposição potencialmente

significativa, consiste de uma ideia composta expressa

verbalmente numa sentença contendo tanto um sentido denotativo

como um conotativo e as funções sintáticas e relações entre

palavras. O conteúdo cognitivo diferenciado resultante do

processo de aprendizagem significativa, e constituindo seu

significado, é um produto interacional da maneira particular pela

qual o conteúdo da nova proposição é relacionado ao conteúdo de

ideias relevantes estabelecidas na estrutura cognitiva.

Os autores descrevem que, quando se relaciona a informação de um

conteúdo a outro elemento que já existe na estrutura cognitiva, a isso se chama

de aprendizagem subordinada. Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 49)

argumentam que: “Isso implica a subordinação de proposições potencialmente

46

significativas a ideias mais gerais e abrangentes na estrutura cognitiva existente,

e isto, por sua vez, resulta na organização hierárquica da estrutura cognitiva”.

Consideramos, também, que na relação superordenada ao aprender uma

nova proposição, esta será a origem de várias outras ideias. Citando palavras dos

autores, quando a aprendizagem significativa de proposições novas não

apresentar particularidades com a relação subordinativa e superordenada que já

estão na estrutura cognitiva, ou seja, quando não podem condicionar novas

ideias, estará originando um significado combinatório.

1.3 Aprendizagem por Descoberta

Quando se trata de uma aprendizagem por descoberta, Ausubel, Novak e

Hanesian (1980) afirmam que esta se enquadra na aprendizagem proposicional.

Segundo os autores (1980, p. 51), a diferença principal entre aprendizagem

proposicional, considerada, por um lado, como aprendizagem receptiva e, por

outro lado, como situação de aprendizagem por descoberta seria assim analisada:

Se o conteúdo principal do material a ser aprendido vai ser

apresentado ao aluno, ou pode ser descoberto por ele. Na

aprendizagem receptiva esse conteúdo é apresentado sob a

forma de uma proposição que não exige raciocínio e que

necessita apenas ser compreendida ou memorizada. Na

aprendizagem por descoberta, por sua vez, o aluno deve

primeiramente descobrir este conteúdo através de produção de

proposições que representem ou a solução para problemas

sugeridos ou a sequência de etapas para a sua solução.

Outro aspecto citado por Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 21) sobre a

primeira fase da aprendizagem por descoberta, diz que:

O aluno deve reagrupar informações, integrá-las à estrutura

cognitiva existente e reorganizar a combinação integrada, de tal

forma que dê origem ao produto final desejado ou à descoberta.

Ausubel e seus colaboradores explicam que a característica essencial da

aprendizagem por descoberta, seja a formação de conceitos ou a solução

47

automática do problema, estabelece que o conteúdo a ser aprendido pelo

educando não é exposto; este será descoberto pelo aluno, antes que possa ser

significativamente incorporado à sua estrutura cognitiva.

1.4 Processos que surgem no percurso da Aprendizagem

Significativa

Podemos entender que, dentro da Teoria da Aprendizagem Significativa,

uma nova informação que está relacionada ao conteúdo ou proposição sofre

modificações. O autor relata que esse processo de inclusão, que ocorre uma ou

mais vezes, determina a diferenciação progressiva do conceito ou da proposição

que engloba novas informações.

Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 104) defendem que:

Na aprendizagem sobreordenada ou combinatória, as ideias

estabelecidas na estrutura cognitiva podem tornar-se

reconhecíveis enquanto relacionadas, no curso da nova

aprendizagem. Consequentemente, adquire-se a nova informação

e os elementos existentes da estrutura cognitiva podem assumir

uma nova organização e, portanto, novo significado. Esta

recombinação dos elementos existentes na estrutura cognitiva

denomina-se reconciliação integradora.

Os autores exemplificam, comparando o tomate e a ervilha que os alunos

ordenam como vegetais, mas em biologia são classificados como frutos.

Somente para uma maior compreensão, citaremos as definições sobre

Reconciliação Integrativa e Diferenciação progressiva, segundo Ausubel e seus

colaboradores (1980, p. 523 e p. 526):

Diferenciação progressiva: parte do processo da aprendizagem

significativa, da retenção e da organização que resulta numa

elaboração hierárquica anterior de conceitos ou proposições na

estrutura cognitiva do “topo para baixo”.

Reconciliação integrativa; parte do processo da aprendizagem

significativa que resulta na delineação explícita de semelhanças e

diferenças entre ideias relacionadas.

48

Com base nos esclarecimentos relacionados aos processos da

aprendizagem significativa, interpretamos que é mais fácil construir o

conhecimento, quando uma ideia mais geral e inclusiva da disciplina é

apresentada em primeiro lugar.

1.5 O papel dos Organizadores Prévios

Muitas vezes pensamos: O que fazer para introduzir um conteúdo, sabendo

que os nossos alunos não possuem ancoragem para um novo conhecimento?

Para responder a esta questão, temos suporte nas ideias de Ausubel, Novak e

Hanesian (1980), que relatam a principal estratégia para manipular a estrutura

cognitiva e assim facilitar introdução de novas ideias: o uso de “organizadores

prévios”. Esses organizadores aparecem, em primeira instância, antes do próprio

material de aprendizagem, com o objetivo de facilitar o estabelecimento de uma

disposição significativa para a aprendizagem.

Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p. 143) especificam que:

Com o objetivo de funcionar para uma variedade de aprendizes,

cada qual com uma estrutura cognitiva um tanto idiossincrática, e

de fornecer ideias de esteio num nível superordenado, os

organizadores são apresentados num nível de abstração mais

elevado, maior generalidade e inclusividade, do que o novo

material a ser aprendido.

Colocando mais um conceito dos autores (1980, p. 144) em relação à

função dos organizadores:

A função do organizador é oferecer uma armação para a

incorporação estável e retenção do material mais detalhado e

diferenciado que se segue no texto a aprender. Outra função é

aumentar a discriminalidade entre este último material e ideias

similares ou ostensivamente conflitantes na estrutura cognitiva.

Assim sendo, o principal objetivo dos organizadores prévios é manipular as

ideias pré-existentes na estrutura cognitiva do aluno de tal forma que o novo

material tenha sentido para ele.

49

1.6 As Possibilidades para uma Programação Facilitadora

Pedagógica na lntrodução do Conteúdo

Ao nos apropriarmos da teoria ausubeliana, relatamos os facilitadores

pedagógicos que auxiliam a apresentação de uma nova informação. Neste caso

eles estariam dispostos das seguintes maneiras:

(1) Diferenciação progressiva. Os assuntos são planejados no primeiro

momento de ideias mais gerais e mais inclusivas. Ausubel, Novak e

Hanesian (1980, p. 159) alegam que:

Uma maneira mais explícita de apresentar a mesma proposição é

afirmar que as novas ideias e informações são aprendidas e

retidas mais eficientemente quando ideias mais inclusivas e

especificamente relevantes já estão disponíveis na estrutura

cognitiva para desempenhar um papel subordinador ou para

oferecer esteios ideacionais. Os organizadores, naturalmente,

exemplificam o princípio da diferenciação progressiva e

preenchem esta função em relação a qualquer tópico ou subtópico

com o qual são usados.

(2) Reconciliação integrativa. Ocorre uma reorganização na estrutura

cognitiva.

(3) Organização Sequencial. Os autores declaram que, sempre que for

possível, a relevância da ordem dos tópicos terá importância, pois

algumas vezes a compreensão de um determinado tópico é

estabelecida por outro tópico anterior. Sendo assim, esta variável é

decisiva na aprendizagem sequencial. Para Ausubel, Novak, Hanesian

(1980, p. 164): “A organização sequencial das tarefas de aprendizagem

se apoia, em parte no efeito facilitador geral da disponibilidade das

ideias de esteio relevantes na estrutura cognitiva sobre a aprendizagem

significativa e a retenção”.

(4) Consolidação. Os mesmos autores (1980) expõem que uma nova

informação somente deveria ser dada após averiguar, se todas as

etapas prévias tivessem sido dominadas pelo aluno. Referindo-se à

consolidação Ausubel e seus colaboradores (1980, p. 165): “A

consolidação, naturalmente, se obtém mediante a confirmação,

50

correção, clarificação, prática diferencial e revisão no decurso da

exposição repetida, com retroalimentação, ao material de

aprendizagem”.

1.7 Fatores que também Influenciam a Aprendizagem

Os autores também procuram descrever a existência de fatores que

influenciam a aprendizagem, que classificaram em categorias cognitivas e afetivo-

sociais. As categorias cognitivas incluem os fatores intelectuais relativamente

objetivos e as afetivo-sociais incluem os determinantes subjetivos e interpessoais

(fatores internos do aluno) da aprendizagem. A primeira categoria considera as

variáveis da estrutura cognitiva, o desenvolvimento do estágio do funcionamento

intelectual, o êxito para o aluno aprender as matérias para as quais depende de

algumas aptidões e a prática e os instrumentos de ensino. A segunda categoria

está envolvida com as variáveis motivacionais e atitudinais (vontade de saber,

envolvimento do ego, atenção, persistência, concentração), fatores da

personalidade, fatores sociais e grupais, e características do professor.

Podemos citar um trecho na qual Ausubel, Novak, Hanesian (1980, p. 26)

descrevem sobre as variáveis que podem influenciar no processo de

aprendizagem escolar:

A aprendizagem escolar não se dá num vácuo social, mas

somente em relação a outros indivíduos que geram reações

emocionais pessoais, ou serve como representações impessoais

da cultura. Durante o curso do desenvolvimento da personalidade,

o individuo adquire também uma orientação motivacional

característica para a aprendizagem. Isto afeta não somente o

modo de aquisição de novos valores pessoais, mas também a

amplitude, profundidade e eficácia do processo de aprendizagem.

Todavia, para fins de análise teórica ou investigação empírica,

grupos de fatores podem variar sistematicamente.

51

Ausubel, Novak e Hanesian (1980) declaram que os fatores cognitivos

influenciam na aprendizagem, mas que podem ser manipulados de diversas

maneiras práticas, procurando facilitar a aprendizagem em sala de aula. Neste

caso, estamos fazendo referência às áreas da teoria de ensino e da metodologia.

Mas, eles procuram mostrar que as características motivacionais de

personalidade, de grupos sociais e do professor têm uma relativa importância na

aprendizagem escolar.

Ausubel, Novak, Hanesian (1980, p. 331) salientam que:

A motivação, embora não indispensável à aprendizagem limitada

a curto prazo, é absolutamente necessária para o tipo de

aprendizagem continuada envolvida na tarefa de dominar o tema

de uma dada disciplina. Seus efeitos são amplamente mediados

através de variáveis intervenientes tais como focalização da

atenção, persistência e crescente tolerância à frustração.

Os autores afirmam que, apesar de a motivação ter um peso considerável,

por facilitar a aprendizagem, ela não é uma condição indispensável, considerando

que, à medida que as crianças vão crescendo, a aprendizagem se torna menos

trabalhosa, devido ao desenvolvimento da capacidade cognitiva. Os autores

fazem a colocação de que a motivação tem relevância para a aprendizagem de

recepção significativa (particularmente em bases não organizadas a curto prazo).

Ausubel e seus colaboradores consideram três componentes na situação

escolar relacionados com a motivação:

O primeiro componente é o “impulso cognitivo” (o desejo de

conhecimento, de saber e compreender de formular e resolver

problemas) seria o mais importante tipo de motivação dentro de uma

aprendizagem significativa. Esse componente, possivelmente, deriva de

tendências de curiosidade e com predisposição a elas relacionada para

explorar, manipular e compreender. Sendo assim, os fatores

motivacionais e de atitudes ativam os campos de aprendizagem. Este

componente está ligado à “orientação para a tarefa”.

52

O segundo componente, denominado “engrandecimento do ego”, tem

como característica o interesse no status conquistado. Seria a forma

como o individuo se sente (autoestima), tendo envolvimento relacionado

com a obtenção de realização ou prestigio acadêmicos. Podemos

esclarecer que a aprovação dos professores é uma fonte para alimentar

o “engrandecimento do ego”.

O terceiro componente é o “afiliativo” e está orientado para a realização,

na qual o individuo garante a aceitação de determinada pessoa ou um

grupo com quem se identifica e com o qual tenha alguma dependência.

Enfatizamos que esse componente não é determinado pelo nível de

realização, mas pelo nível de aceitação. O impulso afiliativo tem

predominância na infância, pois está baseado na dependência dos pais

e na sua aceitação. Nesta fase, como a realização acadêmica possui

uma reflexão da expectativa dos pais, os indivíduos lutam para ter a

aprovação de seus genitores. Portanto, quando surge a ameaça da

retirada dessa aprovação, com base em um desempenho desfavorável,

o individuo tende a trabalhar mais, para recuperar aquela aprovação.

Durante a fase final da infância e na adolescência, esse impulso afiliativo

vai decrescendo e o indivíduo estará voltado, agora, para os colegas da

mesma faixa etária.

Ausubel e seus colaboradores citam que os fatores cognitivos e os afetivos

têm uma responsabilidade sobre as atitudes positivas e negativas das pessoas. O

ponto é que a escola deverá transmitir aos alunos os valores principais que

envolvem a cultura, tais como a igualdade social de todas as pessoas

independente de sua raça, religião e origem étnica. A justificativa deve-se a que o

aluno tenderá a uma assimilação de valores, em que está delineado o

desenvolvimento para a motivação.

A atitude em relação à escola esta pautada com o “material” em relação ao

qual o aluno pode ter uma atitude favorável, estabelecendo ideias claras, estáveis

para atuar sobre o material novo.

53

Partindo de uma das orientações da motivação, na qual os pais aceitam e

valorizam a criança, ou seja, amando-a por si própria, essa criança adota uma

atitude de satélite em relação a eles. Ausubel, Novak e Hanesian (1980, p.360)

descrevem: “Não fica, pois, na dependência de sua competência relativa ou

habilidade de desempenho para sentimentos de autoestima”. Tendo dessa forma,

um desejo de se destacar com um bom aproveitamento na escola, pois aceita os

valores dos pais de modo não crítico. Caso aconteça de uma forma desfavorável,

o aluno terá um sentimento de culpa e deslealdade, por isso incluirá o valor de

bom desempenho na escola.

Mas, quando a motivação de engrandecimento do ego é mais forte que a

motivação de afiliação, não tem sua base na lealdade pessoal para com os pais e

os professores. Essas crianças possuem uma ansiedade neurótica, vivendo uma

situação nada agradável, pois, ao fracassar, têm a sua autoestima deteriorada.

Isso poderá ocorrer, quando o aluno perceber que sua aprendizagem está

ameaçada, pois ele não consegue resolver um problema. Sua autoconfiança para

realizar novas tarefas fica abalada, resultando num desempenho desfavorável.

As variáveis de personalidade às quais Ausubel e seus colaboradores dão

relevância são: a orientação motivacional para a aprendizagem, o nível de

ansiedade, o dogmatismo, o autoritarismo, a tendência para o conformismo e o

ajustamento da personalidade.

Outro aspecto, que os autores procuram apontar, é o de que a

aprendizagem também está relacionada a fatores sociais e grupais. Ausubel,

Novak e Hanesian (1980) relatam que as variações sociais e grupais, devem ser

consideradas na aprendizagem escolar, pois, certamente, influenciam a

aprendizagem da matéria, dos valores e das atitudes. Esta influência que ocorre

na aprendizagem da matéria é largamente mediada por variáveis motivacionais.

Em citação dos autores (1980, p. 386)

Uma vez que a aprendizagem escolar tem lugar num contexto

social, os professores obviamente devem se preocupar com

fatores sociais e de grupo que colidem com o processo de

aprendizagem. Uma vez que os alunos são membros de um grupo

de sala de aula, sua motivação para aprender, as espécies de

motivações apresentadas e seu comportamento social, o

desenvolvimento de sua personalidade e os valores e atitudes que

54

aprendem são afetados por seu relacionamento com o professor e

com outros alunos.

Sendo assim, Ausubel, Novak e Hanesian (1980) descrevem que, em sala

de aula, existem muitas variações que podem influenciar na aprendizagem, tais

como: trabalhar com e na presença de indivíduos da mesma idade, cooperação e

competição, conformidade a normas de grupo, receptividade relativa a seus

semelhantes versus expectativas adultas, e clima emocional social da sala de

aula. Segundo os autores (1980), estes fatores exercem influência, indiretamente,

afetando o grau e o tipo de motivação dos alunos, danificando o grau e o tipo de

motivação para obter o conhecimento da matéria, e sua maneira de assimilar

normas e valores culturais.

1.8 Outros Teóricos descrevendo sobre Aprendizagem Significativa

Com os estudos realizados, enfatizamos que uma aprendizagem

construtiva necessita de um conteúdo que tenha um significado para que nossa

memória estabeleça uma ligação lógica e conceitual, no momento em que tiver

que ser ativada. Segundo Pozo, temos que formar uma “ideia” geral sobre o

conteúdo. Em citação sobre “ideia” o autor (2002, p. 126) descreve: “Essa ideia

deverá ser extraída de sua bagagem conceitual de conhecimentos prévios”.

O autor observa, e ainda, que:

Essa é a ideia central da aprendizagem construtiva: trata-se de

um processo em que o que aprendemos é o produto da

informação nova interpretada à luz de, ou a através do que, já

sabemos. Não se trata de reproduzir informação, mas de assimilá-

la ou integrá-la em conhecimentos anteriores. Somente assim

compreendemos e somente assim adquirimos novos significados

ou conceitos. De alguma forma, compreender é traduzir algo para

as próprias ideias ou palavras. Aprender significados é mudar

minhas ideias como consequência de sua interação com a nova

informação. (2002, p. 126).

55

Podemos citar uma passagem em que Coll (1994, p. 127) se refere à

distinção que Ausubel (1968; 1973) faz entre aprendizagem significativa e

aprendizagem repetitiva:

No contexto de uma tentativa de construir uma teoria da

aprendizagem escolar, concerne ao vínculo entre o novo material

de aprendizagem e os conhecimentos prévios do aluno: se o novo

material de aprendizagem relaciona-se de forma substantiva e não

cognoscitiva, estamos na presença de uma aprendizagem

significativa; se, pelo contrário, esta relação não se estabelece,

estamos na presença de uma aprendizagem memorística,

repetitiva ou mecânica.

Ao refletir sobre as citações acima referidas, entendemos que é preciso

atentar ao escolher situações de aprendizagem, pois estas têm que estabelecer

uma ponte para a introdução de uma nova informação nesse processo do

aprender.

Existem condições para gerar as aprendizagens construtivas, aplicadas a

uma concepção de entendimento que requer mais exigência do aluno.

Reproduzimos abaixo um quadro, encontrado em “Aprendizes e Mestres” (POZO,

2002, p. 127), baseado nas ideias de Ausubel, Novak e Hanesian (1978).

Observamos que o material utilizado, precisa ter uma estrutura cujo conceito e

vocabulário têm que se apresentar de um modo compreensível para o educando.

56

Figura 1. Condições da Aprendizagem Construtiva

Fonte: Pozo (2000, p. 127)

Pozo (2002, p. 62) salienta que, “Em geral, a aprendizagem construtiva

tende a produzir resultados mais estáveis ou duradouros, e, portanto, segundo

critérios estabelecidos, melhores aprendizagens”.

Sendo assim, o desejo do saber colabora para uma aprendizagem

construtiva, pois aluno estabelece um sentido ao que faz e para o que faz.

Pozo (2002, p. 60) descreve: “Para a Teoria construtivista, a ideia de partir

das aprendizagens anteriores é ainda mais central, já que a aprendizagem é

concebida, precisamente, como uma reestruturação dos conhecimentos e

comportamentos presentes no aprendiz”. Então, vamos nos atrever a conjecturar

que, se o aluno tiver um conceito estruturado sobre as ideias multiplicativas, por

exemplo, não sentirá muitas dificuldades para assimilar um novo conteúdo à

proporção, pois conseguirá associar e reconstruir este novo conceito.

Podemos considerar a descrição de Mauri (1996, p. 88): “A aprendizagem,

entendida como construção de conhecimento, pressupõe entender tanto sua

57

dimensão como produto quanto sua dimensão como processo, isto é, o caminho

pelo qual os alunos elaboram pessoalmente os conhecimentos”. Concordamos

com Mauri, pois os educadores devem estar cientes de que o aluno tem que estar

apto para fazer, pensar, compreender e continuar neste processo de

aprendizagem que é contínuo e possui um caráter pessoal. O aluno tem sua

própria construção e maneira de desenvolver a aquisição de seu conhecimento.

Sendo assim, entendemos que os conteúdos escolares, assimilados pelos

alunos estão vinculados a um processo de construção pessoal dos mesmos.

Outro ponto sobre aprendizagem citado por Solé e Coll (1996, p. 19):

A aprendizagem contribui para o desenvolvimento na medida em

que aprender não é copiar ou reproduzir a realidade. Para a

concepção construtivista, aprendemos quando somos capazes de

elaborar uma representação pessoal sobre um objeto da realidade

ou conteúdo que pretendemos aprender. Essa elaboração implica

aproximar-se de tal objeto ou conteúdo com a finalidade de

aprendê-lo; não se trata de uma aproximação vazia, a partir do

nada, mas a partir das experiências, interesses e conhecimentos

prévios que presumivelmente, possam dar conta da novidade.

Em nosso ponto de vista, é um desafio constante ensinar, porque o motivo

para processar um conhecimento de uma maneira significativa nunca termina,

pois dependerá, sempre, das condições que certas atividades para o aprendizado

são apresentadas; se o momento para esta tarefa é adequado; se ela traz

elementos que possam mobilizar aprendizagens anteriores para facilitar a

compreensão de um novo conteúdo. Percebemos que o sentido de aprender de

nossos alunos, tem que estar em função de critérios presentes em suas

experiências que os conduzirão ao caminho de um novo conhecimento.

Ao observarmos uma descrição de Pires (2000, p. 138):

A escola não pode, desse modo, deixar de considerar que

compreender é aprender o significado. Mais que isso, deve levar

em conta que aprender o significado de um objeto ou de um

acontecimento é vê-lo em suas relações com outros objetos ou

acontecimentos. Ou seja, os significados constituem feixes de

relações. Essas relações se articulam em teias, em redes,

construídas socialmente e individualmente, e estão em

permanente estado de atualização. Enfim, seja em nível individual

ou social, a ideia de conhecer assemelha-se à de enredar.

58

Entendemos que a educação escolar tem que promover uma

aprendizagem significativa na qual o aluno possa construir, transformar, ordenar,

ou seja, fazer um diagrama no qual se entrelacem as informações adquiridas

pelos aprendizes.

Com a necessidade de fazer um paralelo entre uma aprendizagem

memorística e uma aprendizagem significativa, por se tratar de um processo

importante na educação do aluno, iremos sintetizar estas duas aprendizagens em

nossa visão de pesquisadora.

1.8.1 Complementaridade entre Memorização e Significados

Segundo Coll et al. (2000), os conceitos estão relacionados com os

conhecimentos prévios que os alunos já adquiriram. Sendo assim, os conceitos

estão baseados na compreensão. Mas para a aquisição de dados e fatos existe o

enquadramento na memorização.

Coll et al. (2000, p. 27) relatam que:

Isso faz com que o ensino de fatos factuais possa ser feito sem

levar muito em conta os conhecimentos prévios; no entanto, o

ensino de conceitos somente será eficaz se partir dos

conhecimentos prévios dos alunos e conseguir ativá-los e vinculá-

los adequadamente com o material de aprendizagem.

Ao expor as diferenças entre essas duas aprendizagens, podemos

entender que a memorística está preocupada de uma forma quantitativa “sabe-se

ou não se sabe”, e que a significativa delineia “como se compreende”.

Reproduzimos um quadro, em que os autores apresentam um resumo das

diferenças existentes entre Aprendizagem de Fatos (Memorística) e

Aprendizagem de Conceitos (Significativa):

59

Quadro 1. Os fatos e os Conceitos como Conteúdos da Aprendizagem

Aprendizagem de fatos Aprendizagem de conceitos

Consiste em... Cópia literal Relação com conhecimentos

anteriores

É alcançada por... Repetição (aprendizagem

memorística)

Compreensão (aprendizagem

significativa)

É adquirida... De uma só vez Gradativamente

É esquecida Rapidamente sem revisão Mais lenta e gradativamente

Fonte: Coll et al. (2000, p. 27)

Verificamos, nesta síntese, que toda a compreensão com sentido caminha

de uma maneira gradativa; isto nos remete a entender que a cada momento de

estudo, temos um entendimento diferente sobre o que é ensinado. Sendo assim,

o conteúdo conceitual deverá ser abordado com uma relevância que o currículo

deve privilegiar.

Segundo Coll et al. (2000, p. 28), “os fatos e conceitos não diferem

somente na sua aprendizagem, mas também no seu esquecimento”. O autor

explica que algo visto sem entendimento, o conteúdo, ao ser abandonado acaba

caindo no esquecimento pelos alunos. Mas o assunto, abarcado no entendimento,

deixa um teor de qualidade, sendo mais fácil o resgate do tema quando solicitado.

De certa forma, os profissionais da educação sempre ficam em um dilema

“decorar” ou “não decorar”, mas selecionamos um parágrafo no qual Coll et al.

(2000, p. 29) trazem um ponto esclarecedor sobre esta dúvida [...] “a

aprendizagem factual e a aprendizagem conceitual não têm motivo para serem

incompatíveis, mas podem ser complementares”. Contudo não é fácil estabelecer

em que momento se deve memorizar.

Coll et al. (2000, p. 29) fazem referência ao assunto, em um trecho

interessante sobre o dilema memorizar ou não:

Da mesma forma, nas séries iniciais, os alunos devem aprender a

multiplicar, o que envolve uma aprendizagem dupla: uma

aprendizagem conceitual (compreender a multiplicação) e uma

aprendizagem de dados (memorizar a tabuada). Terá pouca

utilidade para a criança saber esta última se não compreender em

que consiste multiplicar; mas tampouco servirá de muito tal

60

compreensão se ignorar os resultados das operações

multiplicativas básicas. Assim, se uma criança compreende

(conceito) que quatro vezes cinco é igual a 4 x 5, mas ignora o

produto dessa operação (dado), deverá limitar-se a somar e não

multiplicar. O problema é determinar até que número a criança

deverá aprender a tabuada de multiplicar. A resposta deve ser

guiada por critérios pragmáticos. A aprendizagem de dados deve

restringir-se àqueles casos nos quais facilite uma posterior

compreensão ou ajude na utilização de procedimentos.

Os autores mencionam, ainda, que uma das dificuldades para diferenciar

Fatos e Conceitos depende das condições de aprendizagem, pois existirão

momentos em que a informação será adquirida como dado ou como conceito.

Eles exemplificam, mencionando a tabela periódica, que é um sistema conceitual,

mas que a grande maioria dos alunos acaba decorando, por não obter os

conceitos necessários para a compreensão dos dados ali organizados. Citamos a

reflexão de Coll et al. (2000, p. 30): “Quando as condições para a aprendizagem

significativa de conceitos não são cumpridas em uma situação escolar, os alunos,

ao invés de compreenderem, tendem a aprender literalmente a informação”.

Estando os conhecimentos prévios, como objeto de estudo deste trabalho,

ligados à aprendizagem significativa, vamos assinalar as suas características.

1.9 Características dos Conhecimentos Prévios

Na perspectiva de Teixeira e Sobral (2010, p. 669):

Os conhecimentos prévios podem ser considerados como produto

das concepções do mundo da criança, formuladas a partir das

interações que ela estabelece com o meio de forma sensorial,

afetiva e cognitiva, ou ainda, como resultado de crenças culturais

e que, na grande maioria das vezes, são de difícil substituição por

um novo conhecimento.

Sempre que aprendemos um tema novo, vamos buscar uma ideia que

poderá ser retirada dos conceitos assimilados anteriormente, ou seja, buscamos

os conhecimentos prévios que estão armazenados em nossa memória. Trata-se

da concepção fundamental da aprendizagem significativa: o fruto de um novo

61

conhecimento é entendido mediante aquilo que já se sabe. Citamos Coll et al.

(2000, p. 39):

[...] os conhecimento prévios dos alunos em cada uma dessas

áreas diferem não somente no conteúdo ao qual fazem referência,

mas também na sua natureza (alguns conhecimentos são mais

conceituais e outros mais procedimentais; uns mais descritivos e

outros mais explicativos; uns mais gerais e outros, mais

específicos, etc.). Além disso, esses fatores podem variar

segundo a idade e a instrução prévia dos alunos. Apesar da

diversidade, podemos tentar extrair alguns dos traços mais

característicos dos conhecimentos prévios dos alunos, embora

devamos entender que se trata de uma generalização limitada e

pouca precisa.

Outro aspecto especificado por Coll et al. (2000, p. 40):

Portanto, vemos que, se entendemos a aprendizagem de

conceitos com um processo baseado pelo menos parcialmente, na

mudança e na evolução dos conhecimentos prévios dos alunos, é

preciso saber como se formam esses conhecimentos prévios.

Assim sendo, enfatizaremos, segundo Coll et al. (2000, p. 39-40) as

características dos conhecimentos prévios:

Construções pessoais dos alunos, ou seja, os conhecimentos foram

elaborados de modo mais ou menos espontâneo na sua interação

cotidiana com o mundo;

São compartilhados por outras pessoas que proporcionam

conhecimento para decodificar os seus desejos, intenções e sentimentos

percebidos pelos alunos;

Bastante estáveis e resistentes à mudança os alunos, em sua

maioria, têm a sua intuição sobre algum tema e quando vão à escola e

aprendem de uma forma mais científica não modificam suas ideias;

Procuram a utilidade mais que a “verdade”, por exemplo, se um objeto

se movimenta tudo bem, não há necessidade de entender as

propriedades que o fazem movimentar-se;

62

Possuem coerência do ponto de vista do aluno, não do ponto de

vista cientifico. Na sala de aula, os conhecimentos são gerais,

enquanto que suas ideias e conhecimentos prévios são específicos.

Nesse caso, o aluno não consegue transferir este conhecimento escolar

para a sua realidade, como por exemplo, o arquét ipo, “peixes respiram,

portanto têm pulmões”;

Possuem um caráter implícito. São descobertos nas atividades ou

previsões dos alunos, constituindo teorias ou ideias “em ação”.

Sobre a origem de tipos de ideias ou concepções prévias que os alunos

adquirem, dizem Coll et al. (2000, p. 41):

Desde o predomínio do perceptivo, ou o uso de um raciocínio

causal simples, até a influência da cultura e da sociedade,

canalizada especialmente através da linguagem e dos meios de

comunicação, sem esquecer os efeitos indesejados do ensino

que, às vezes, não somente não modifica as ideias dos alunos,

mas, além disso, gera novas ideias cientificamente errôneas.

Verificamos que o nosso pensamento está em constante mudança, pois

existem informações que surgem de várias formas e vão sendo guardadas. Esses

registros precisam ser analisados e utilizados, a fim de que sejam agregados a

mudanças que auxiliem o bom funcionamento dos processos de aprendizagem.

Citado em Pozo (2002, p. 130) sobre conhecimentos prévios:

Esses conhecimentos prévios são, em sua imensa maioria, se não

em sua totalidade, resultado de aprendizagens anteriores,

abarcando toda a gama de aprendizagens sejam elas:

Aprendizagem de fatos e comportamentos; Aprendizagem Social;

Aprendizagem Verbal e Conceitual; Aprendizagem de

Procedimentos. A maior parte desses conhecimentos prévios tem

uma natureza implícita, mais que explicita (POZO et al.,1991,

1992: RODRIGO, 1994b).

Com o destaque selecionado acima sobre conhecimentos prévios,

sintetizamos as aprendizagens citadas pelo autor:

63

Aprendizagem de fatos e Comportamentos: a aprendizagem de fatos

é elementar, ancestral, uma habilidade cognitiva muito antiga. Segundo

Pozo (2000), essa aprendizagem baseia-se em associar fatos, permite

que o aprendiz antecipe certas situações a partir de estímulos que

costumam antecedê-los. O autor cita um exemplo, desse tipo de

aprendizagem: aprender a nos emocionar é outra resultante de associar

fatos (o aluno antecipa ansiedade frente ao exame, quando o coração

dispara ao ver o professor entrar na sala carregando as provas); a

aprendizagem de comportamento baseia-se em quatro variedades de

condicionamento instrumental: recompensa quando o comportamento

aumenta a probabilidade de obter um prêmio (se a criança come toda a

sopa, lhe contamos uma história antes de dormir), castigo (ex: avançar o

sinal causa multa de 500 reais), omissão (ex: se a criança vira o prato de

sopa fica sem história antes de dormir) e finalmente a aprendizagem de

evitação aumentará a probabilidade de que efetuemos os

comportamentos que impedem ou terminam um castigo.

O autor descreve sobre aprendizagem de comportamento mencionando,

que o aluno deve interiorizar: sua autoestima, além, de considerar seus esforços

para aprender.

Aprendizagem Social todas as aprendizagens são sociais ou

culturalmente mediadas, pois estão inseridas nas relações familiares, na

escola, no ambiente de trabalho e profissionais. Segundo Pozo (2002), a

forma mais simples da aprendizagem social é, possivelmente, a

aquisição de habilidades sociais. Exemplos: solicitar um favor; integrar-

se num grupo de iguais.

Habilidades Sociais são adquiridas de modo implícito. Ao estarmos em

sociedade, temos modelos (pais, professores, personagens célebres e outros)

dos quais adquirimos habilidades sociais e nos espelhamos nelas;

64

Aprendizagem de Atitudes exemplificando dentro do contexto escolar,

citando Coll et al. (2000, p. 148) “Assim, um aluno pode considerar que o

seu papel o obriga a obter boas qualificações, mas não a mostrar-se

participativo em aula ou a procurar manter uma relação de cooperação

com seus colegas”. Na visão do autor, mais importante do que o papel

do aluno está em sua responsabilidade. Pois, se ele argumentar que

está na escola por obrigação, o que está dizendo, é que este o libera de

toda responsabilidade pelo seu rendimento e pelas qualificações que

venha a obter.

Não poderíamos deixar de enfatizar que um clima afetivo nas aulas traz

uma interação professor-aluno que favorece um bom relacionamento e a

consequência é adquirir o gosto pela Matemática, por exemplo.

Aprendizagem Verbal e Conceitual segundo Pozo (2002, p. 205):

“Quase todas as nossas aprendizagens, sejam mais ou menos

explícitas, ou mais ou menos sociais, costumam implicar também a

aquisição de informação, que, na maior parte dos casos, é de natureza

verbal”. A informação verbal possui as seguintes características: incide

em uma cópia literal; estudo por repetição; adquire-se de uma vez;

avalia-se tudo ou nada; esquece-se rapidamente sem repetição. Quanto

à aprendizagem de conceitos, o autor, afirma que os conceitos são

aprendidos relacionando-os com os conhecimentos prévios que cada um

possui.

Pozo (2002, p. 210) cita as particularidades da aprendizagem conceitual:

relação com conhecimentos anteriores; aprende-se por compreensão

(aprendizagem significativa); adquire-se gradualmente; avalia-se por muitos níveis

intermediários; esquece-se mais lenta e gradualmente.

Aprendizagem de Procedimentos descreve Pozo (2002, p. 228): “Os

procedimentos se diferenciam do conhecimento verbal, pois implicam

saber fazer algo, não apenas dizê-lo ou compreendê-lo”. Segundo Coll

et al. (2000, p. 77) “O conjunto de ações ou decisões que compõem a

65

elaboração ou a participação é o que chamamos de procedimento”.

Citando Coll et al. (2000, p. 77), “Trabalhar os procedimentos significa,

então, revelar a capacidade de saber fazer, de saber agir de maneira eficaz”.

A partir de estudos realizados nesta pesquisa sobre a Aprendizagem

Significativa, compreendemos que essa aprendizagem é adquirida por meio de

conhecimentos que são individuais e possui um intercâmbio com o meio físico e

social. Ausubel e seus colaboradores (1980) relatam que o aluno tem um papel

ativo e criativo o processo dessa aprendizagem; com esse sentido, obter o

conhecimento também é de sua responsabilidade. Espera-se que o estudante se

esforce para assimilar os novos conhecimentos.

Nessa perspectiva, não poderíamos deixar de ressaltar que o conteúdo

significativo tem início na sua exposição, ou seja, na aprendizagem receptiva

verbal. Segundo os autores (1980), essa aprendizagem ocorre, quando o

conteúdo verbal potencialmente significativo é relacionado e incorporado pela

estrutura cognitiva, por meio de produção de um conteúdo cognitivo novo e

diferenciado.

Já que o desenvolvimento humano não se situa no vazio, mas dentro de

um contexto, existe a necessidade de ampliar a nossa compreensão sobre

algumas dimensões do conteúdo, para entender o que ocorre com a

aprendizagem na escola.

1.10 A abordagem do Conteúdo numa Perspectiva, Conceitual,

Procedimental e Atitudinal

Para a abertura deste subtítulo selecionamos a descrição de Pires (2000,

p. 58) com relação a uma das mudanças na área de Matemática, que constam

nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1988):

66

Um aspecto inovador diz respeito à necessidade de explorar os

conteúdos não apenas em sua dimensão conceitual (saber o

conceito de adição, de fração...), mas também na dimensão de

procedimentos (saber fazer uma estimativa, a medição de um

comprimento, o traçado de uma reta paralela...) e de

desenvolvimento de atitudes (ser perseverante na busca de

soluções, ter espírito de colaboração etc.) Procedimentos e

atitudes são interpretados como “conteúdos” que precisam ser

trabalhados de forma sistemática em sala de aula.

É significativo fazer algumas considerações com referência aos conteúdos

escolares. O que sempre ocorre é uma importância, com certo grau de excesso,

envolvendo o tipo de conteúdo relativo a fatos e conceitos. Assim sendo, tem que

haver uma proporcionalidade em considerar os outros tipos de conteúdos (os

procedimentos e as atitudes). Este pensamento está em concordância com relato

de Coll et al. (2000, p. 15):

Tudo ocorre acreditando-se implicitamente que, ao contrário do

que acontece com os fatos e conceitos, os alunos possam

aprender os procedimentos e os valores, as atitudes e as normas

por si mesmos, sem necessidade de uma ajuda pedagógica

planejada. Tal crença, nem é preciso dizer, carece totalmente de

justificativa teórica e de apoio empírico. Com a diferenciação e a

inclusão dos três tipos de conteúdos nas propostas curriculares,

pretende-se combater essa falsa crença.

Isto nos traz uma conscientização de que, para construir o conhecimento

escolar, tem que haver o apoio do profissional do ensino, não só quando se trata

de fatos e conceitos, mas também com relação aos procedimentos e atitudes. O

educador tem que procurar trabalhar os diversos tipos de conteúdos. Segundo

Zabala (1996), as ideias que envolvem a aprendizagem significativa, os vários

conteúdos, têm a necessidade de ser desenvolvidos de forma que se entrelacem,

constituindo uma grande conexão entre eles. Portanto, faremos algumas

pontuações sobre estes três tipos de conteúdos, já que poderão auxiliar nos

processos de análises de nosso trabalho.

67

1.10.1 Conteúdo de Fatos e Conceitos

Coll et al. (2000) relatam que todo conhecimento em qualquer área

(científica ou da vida diária), requer informação. Estas informações consistem em

dados ou em fatos representados algumas vezes por datas, nomes, símbolos.

Coll et al. (2000, p. 20) afirmam: “o que caracteriza a aprendizagem de fatos ou

dados é que eles devem ser lembrados ou devem se reconhecidos de modo

literal”.

Quando entendemos, por estabelecermos relações significativas sobre um

determinado conceito com outros conceitos, estamos trabalhando uma

aprendizagem conceitual. É claro que ambos os conteúdos fazem parte do nosso

conhecimento. Vejamos um quadro em que estabelecemos algumas diferenças

entre Fatos e Conceitos, exposto por Coll et al. (2000):

Quadro 2. Diferenças entre Fatos e Conceitos sob o ponto de vista da Aprendizagem

Fatos Conceitos

Caráter Reprodutivo Relacionar (conceitos)

Processo Repetição Assimilação

Nível de entendimento Única vez Gradativa

Fonte: própria pesquisadora

Coll et al. (2000) explicam que, muitas vezes, existe uma confusão entre

conceitos e procedimentos, pois estes dois conteúdos acabam tendo um grau de

dependência bastante próximo. Essa dependência possui uma caracterização, em

vista de a utilização de um determinado procedimento já adquirido, induzir à

obtenção dos conceitos.

Assim sendo, podemos citar os verbos “conceituais” especificados por Coll

et al. (2000): descrever, conhecer, explicar, relacionar, lembrar, analisar, inferir,

interpretar, tirar conclusões, enumerar, resumir, entre outros.

Outra consideração citada por Coll et al. (2000, p. 91): “Os conteúdos

referentes a fatos, conceitos e princípios designam conjuntos de objetos,

68

acontecimentos e símbolos com características comuns ou definem relações

entre conceitos”.

1.10.2 Procedimental

Com relação aos conteúdos procedimentais, Coll et al. (2000, p. 92)

apontam que eles: “designam conjuntos de ações, de formas de agir e de chegar

a resolver as tarefas. Trata-se de conhecimentos referentes ao saber fazer coisas

(com as coisas ou sobre as coisas, as pessoas, a informação, as ideias, os

números, a natureza, os símbolos, os objetos, etc.)”.

O autor também seleciona os verbos “procedimentais” que seriam:

manejar, usar, construir, aplicar, coletar, observar, experimentar, elaborar,

simular, demonstrar, planejar, compor, avaliar, representar, entre outros.

Entendemos que a consequência dessa aprendizagem de conteúdo

procedimental significa às ações para solucionar problemas, atingir objetivos, e,

assim, obter novas aprendizagens.

1.10.3 Atitudinal

Começamos descrevendo a definição de atitudes por Coll et al. (2000, p.

122): “as atitudes como tendências ou disposições adquiridas e relativamente

duradouras a avaliar de um modo determinado um objeto, pessoa, acontecimento

ou situação e a atuar de acordo com essa avaliação”.

Para complementar o trabalho de formação do aluno, as atitudes e valores

têm a sua importância no conhecimento. Coll et al. (2000, p. 135-136) reportam:

Os novos currículos introduzem as atitudes como conteúdo

educacional concreto. E, da mesma forma que ocorre com os

conceitos e os procedimentos, os planos educacionais se referem

tanto ao ensino como à aprendizagem pelos alunos.

Como conteúdo de ensino, as atitudes, do mesmo modo que os

conceitos e os procedimentos, não constituem uma disciplina

separada, mas são partes integrantes de todas as matérias de

aprendizagem. Ou seja, em cada uma das matérias exige-se a

69

aprendizagem de uma série de atitudes que, em alguns casos,

serão comuns a todas as disciplinas – como, por exemplo, o

respeito pelo material, a participação em aula ou nas atividades

recreativas, a atitude de diálogo e debate, etc. – enquanto que em

outros serão específicas de uma matéria concreta – como, por

exemplo, o interesse pelas contribuições da ciência à sociedade.

Dentre os valores e atitudes, podemos enfatizar a iniciativa para buscar

informações, demonstrar responsabilidade, ter segurança ao argumentar suas

ideias, além de compreender que a Matemática procura trazer vários benefícios

ao aluno, inclusive subsídios para a sua leitura e interpretação da sua realidade e,

assim, auxiliá-lo com um preparo adequado para a sua introdução no universo do

trabalho e da informação. Além de tudo, podemos citar que a importância da

Matemática como uma disciplina acaba estimulando a formação geral dos alunos

quanto à capacidade de raciocinar, formular conjecturas, observar regularidades,

incentiva a curiosidade e o espírito de investigar entre outras.

Após termos tentado expor alguns pontos sobre Aprendizagem Significativa

envolvendo Ausubel e seus colaboradores, Pozo e Coll e o ponto de partida da

aprendizagem significativa, os conhecimentos prévios, reiteramos que a

orientação destes estudos está respaldada na Teoria de Ausubel, que tem na sua

ideia central a aprendizagem significativa, por isso o nosso trabalho permeia

atividades elaboradas possivelmente dentro de um contexto significativo para o

aluno.

71

Capítulo 2

AS ATIVIDADES PROPOSTAS

Neste capítulo, apresentamos as atividades propostas a João e Pedro ao

longo das 10 sessões de trabalho. Optamos por oferecer 10 situações-problema,

cada uma com objetivo de identificar certo tipo de conhecimento que envolvesse a

ideia de proporcionalidade. Procuramos usar contextos possivelmente familiares

aos alunos, para que o desconhecimento da situação não se tornasse um

possível impedimento para a realização da tarefa. Também buscamos formular as

questões de forma simples e com o uso de termos mais comuns.

As quatro primeiras situações foram inspiradas em propostas apresentadas

aos alunos dos anos iniciais, quando trabalham com problemas do campo

multiplicativo, em casos que envolvem a ideia de proporcionalidade.

As seis situações finais buscam aproximar-se das propostas que os

professores de 7º ano (antiga 6ª série) costumam oferecer a seus alunos, quando

tratam de razões e proporções, abordando grandezas diretamente ou

inversamente proporcionais. Para não estender demais as sessões realizadas

com os estudantes, não incluímos a análise de situações envolvendo grandezas

que não fossem diretamente ou inversamente proporcionais.

Como nosso propósito era mais o de identificar o raciocínio dos alunos ao

resolverem as situações e não seu domínio de estratégias de cálculo, buscamos

72

trabalhar com números que facilitassem o cálculo, podendo ser acionado o

cálculo mental para obter grande parte das respostas.

Passamos a apresentar as situações organizadas para a coleta de dados.

Situação 1

A primeira situação tratava de um problema do campo multiplicativo,

envolvendo a ideia de proporcionalidade. Sabendo o preço de 1 ingresso para

entrar no Horto, era preciso saber quanto seria pago por um grupo de 33 e outro

de 36 alunos. Sabendo que o aluguel de um ônibus para 36 passageiros custava

360 reais, era preciso saber o que aconteceria se esse valor fosse rateado entre

33 alunos. Esperava-se que os alunos respondessem algumas perguntas usando

o cálculo mental e outras, usando cálculo escrito. Os cálculos envolviam números

inteiros. A situação formulada está apresentada na sequência:

Situação 1 - Fazendo cálculos para uma excursão

Objetivo: identificar procedimentos de solução em situação que envolve a

análise, interpretação e solução de uma situação-problema do campo

multiplicativo com a ideia de proporcionalidade.

Fazendo cálculos para uma excursão

Algumas turmas do sétimo ano de uma escola decidiram fazer uma

excursão ao Horto. As primeiras providências foram marcar as datas, ver preço de

ingresso, ver o preço dos ônibus para levar os alunos da escola ao Horto e trazê-

los de volta.

73

Os alunos que irão à excursão são de duas turmas. Observe a tabela com

o número de alunos de cada turma:

Para entrar no Horto, cada estudante deve pagar R$ 5,00.

O aluguel de um ônibus para 36 passageiros custa R$ 360,00

Cada turma vai alugar 1 ônibus.

Agora, responda às perguntas.

a) Quanto será gasto com ingresso da turma da Professora Regina?

b) Quanto cada aluno da Professora Regina terá que pagar para o aluguel

do ônibus?

c) Cada um dos alunos da Professora Tereza vai gastar mais ou menos

que os da Professora Regina para alugar o ônibus? Por quê?

Situação 2

A segunda situação também explorava um problema do campo

multiplicativo, envolvendo a ideia de proporcionalidade. Nesse caso, era

apresentado em uma tabela, o preço de determinadas quantidades de mudas de

árvores, solicitando-se nas questões, que eles fizessem uma leitura de dados da

tabela, calculassem preços de quantidades não explicitadas na tabela e, também,

quantas mudas poderiam comprar com certa quantia em dinheiro. Esperava-se

que os alunos respondessem as perguntas usando o cálculo mental,

preferencialmente. Os cálculos envolviam números inteiros.

Situação 2 - Fazendo cálculos para o plantio de árvores



multiplicativo, com a ideia de proporcionalidade, a partir da leitura de dados

apresentados numa tabela.

74

Fazendo cálculos para o plantio de árvores

No Horto, as crianças ficaram sabendo que, num bairro da cidade de São

Paulo, a população organizou um movimento para plantar árvores nas ruas.

Fizeram uma campanha para arrecadar dinheiro e compraram as mudas. Veja a

tabela de preços das mudas vendidas no horto.

Responda às questões de acordo com a tabela:

a) Qual o preço de cada muda de árvores?

b) E de 6 mudas?

c) Quanto deve pagar quem comprar 12 mudas?

d) Quantas mudas podem ser compradas com R$ 150,00?

e) Quantas mudas podem ser compradas com R$ 6,00?

Situação 3

A terceira situação, mais uma vez explorava um problema do campo

multiplicativo, envolvendo a ideia de proporcionalidade. Desta vez, tratava-se de

escolher a situação mais vantajosa na compra de goiabas, um contexto frequente

nas situações de compra e venda do comércio. Os cálculos envolviam números

75

racionais na forma decimal. Esperava-se que os alunos usassem cálculo mental.

A situação formulada está apresentada na sequência.

Situação 3 - Fazendo cálculos na barraca de frutas




Fazendo cálculos na barraca de frutas

Na saída do Horto, havia uma lanchonete e uma barraca de frutas. Na

barraca de frutas, estavam afixadas as placas:

O que você nota no preço de seis goiabas, comparando-o com o preço de

três? O que é mais vantajoso comprar? Por quê?

Situação 4

A quarta situação também explorava um problema do campo multiplicativo,

envolvendo a ideia de proporcionalidade. Desta vez, tratava-se de calcular o

gasto de um grupo hipotético de alunos numa lanchonete, conhecendo preços

unitários apresentados numa tabela. Os cálculos envolviam números racionais, na

forma decimal. Esperava-se que os alunos usassem cálculo mental. Nesta

atividade o aluno terá a possibilidade de encontrar soluções variadas. A situação

formulada está apresentada na sequência.

76

Situação 4 - Fazendo cálculos na lanchonete




Fazendo cálculos na lanchonete

Alguns alunos foram à lanchonete. Um grupo sentou à mesa e pediu a

tabela de preços.

Eles pediram: 2 sanduíches de queijo, 3 sanduíches de atum e 4

sanduíches mistos. Pediram também 3 águas, 3 sucos de fruta e 3 refrigerantes.

a) Quanto pagaram pelos sanduíches de queijo?

b) E pelos sanduíches mistos?

c) E pelos sanduíches de atum?

d) Quanto pagaram pelos sucos de frutas?

e) E pelos refrigerantes?

f) E pelas águas?

g) André pediu um sanduíche misto e um suco de frutas. Ele gastou o

dobro do que gastou Camila. O que Camila deve ter pedido?

77

Situação 5

A quinta situação pretendia verificar como os alunos fazem para identificar

em situações-problema grandezas diretamente proporcionais como, por exemplo,

o tempo gasto para percorrer uma distância, mantendo-se a mesma velocidade,

Os cálculos envolviam números inteiros e alguns fracionamentos do tempo.

Esperava-se que os alunos usassem cálculo mental. A situação formulada está

apresentada na sequência.

Situação 5 - Fazendo cálculos para o ciclista

Objetivo: identificar procedimentos de solução de situações-problema que

incluem grandezas diretamente proporcionais, por meio de estratégias pessoais.

Fazendo cálculos para o ciclista

Na volta da excursão, os alunos foram para tomar um lanche, numa

lanchonete que fica bem na saída do horto. Lá, eles encontraram com um atleta

de ciclismo que estava treinando nessa estrada, para uma competição, saindo do

Marco Zero. Ele foi explicando:

Nas ruas e estradas paulistas, as placas indicativas da quilometragem

marcam a distância do Marco Zero, que fica na Praça da Sé, no centro de São

Paulo até esse local.

Se estivermos, por exemplo, no km 60 da Rodovia Bandeirantes, que liga

São Paulo a Campinas, isso da significa que estamos a 60 km da Praça da Sé.

78

Agora leia com atenção.

O atleta contou que, ao iniciar o treino, acionou o cronômetro e, durante o

trajeto, marcou o tempo gasto para cumprir determinados trechos da estrada.

Veja a tabela e resolva as questões:

Se o ciclista mantiver o mesmo ritmo de corrida (quer dizer, a mesma

velocidade) e as condições da estrada também permanecerem boas:

a) Quanto tempo levará para passar pelo marco 30 km?

b) Quanto tempo levará para passar pelo marco 60 km?

c) E para chegar ao marco que fica a 90 km de São Paulo?

d) Qual será a posição desse ciclista 1 hora e 30 minutos após sua partida?

e) E depois de 3 horas?

Situação 6

A sexta situação pretendia verificar como os alunos fazem para relacionar

duas grandezas como espaço percorrido e tempo gasto, traduzindo-a numa

grandeza derivada que é a velocidade. Os cálculos envolviam números inteiros e

alguns fracionamentos do tempo. Esperava-se que os alunos usassem cálculo

mental. A situação formulada está apresentada na sequência.

Situação 6 - Fazendo cálculos da velocidade do ônibus


incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, por

meio de estratégias variadas.

79

Fazendo cálculos da velocidade do ônibus

Depois de ter conversado bastante com o ciclista Paulo, que é muito

curioso, fez várias perguntas ao motorista do ônibus.

a) Por que o motorista respondeu que “depende”?

b) Se ele levar 1 hora como previu, qual a velocidade média do ônibus

durante o percurso?

c) O que aconteceria se o motorista fizesse o percurso a 80 km por hora?

Aumentaria ou diminuiria o tempo?

d) E se, por causa do trânsito, ele desenvolvesse uma velocidade média de

50 km por hora? Aumentaria ou diminuiria o tempo?

Situação 7

A sétima situação pretendia verificar se e como os alunos fazem distinção

entre grandezas diretamente proporcionais como a quantidade de produtos

vendidos e o preço pago por eles e grandezas inversamente proporcionais como

o número de pintores que pintam uma dada metragem de parede e o tempo gasto

para fazê-lo. Os cálculos envolviam números inteiros e alguns fracionamentos do

tempo. Esperava-se que os alunos usassem cálculo mental. A situação formulada

está apresentada na sequência.

80

Situação 7 - Fazendo cálculos na escola

Objetivo: identificar procedimentos de solução de situações problema que

incluem grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais, por

meio de estratégias variadas.

Fazendo cálculos na escola

No dia seguinte ao do passeio no Horto, na turma da Professora Regina

foram propostas as seguintes tarefas na aula de Matemática.

1) Na tabela abaixo, foram anotadas as quantidades vendidas e o valor

recebido pela venda de um mesmo produto. Mas alguns valores não

foram registrados. Preencha a tabela sabendo que o valor unitário do

produto se mantém independente da quantidade vendida.

2) Se um pintor demora, em média, 2 horas para pintar uma parede de 10

m2, qual o tempo gasto nas outras situações apresentadas na tabela?

81

Situação 8

A oitava situação pretendia verificar como os alunos resolveriam uma

situação-problema com grandezas diretamente proporcionais, novamente

envolvendo a quantidade de produtos vendidos e o preço pago por eles, desta

vez apresentados por meio de números racionais na forma decimal. Esperava-se

que os alunos usassem cálculo mental ou registros escritos. A situação formulada

está apresentada na sequência.



incluem grandezas diretamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.


Na turma da Professora Tereza, foram propostas as seguintes tarefas na

aula de Matemática.

1) Seu Aquiles é dono da padaria da esquina. Ele faz a seguinte tabela

para indicar o preço a ser pago pela compra dos pãezinhos.

a) Qual o preço de 4 pãezinhos? E de 39?

b) Quantos pães são possíveis comprar com R$ 6,58? E com R$ 4,14?

82

Situação 9

A nona situação envolvia resolução de problemas, geralmente

apresentados em livros didáticos e em avaliações, com situações diversas de

exploração de grandezas diretamente proporcionais.


Objetivo: identificar procedimentos de solução de situações problema que



Na turma da Professora Célia, foram propostas as seguintes tarefas:

1) Os cofres de Tiago e Miguel estavam vazios. Tiago começou hoje a

colocar 3 reais, diariamente e Miguel, 5 reais. Quando Tiago tiver 21

reais, quanto terá o Miguel?

2) Joana usou exatamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras.

Quantas cadeiras podem ser pintadas com 20 latas de tinta?

3) Dois bilhetes de ônibus intermunicipais custam 16 reais. Quanto custam

6 bilhetes? E 7?

4) Quinze alunos pintaram 35 m2 da parede do ginásio da escola. Sabendo

que cada aluno pinta a mesma área, quantos metros quadrados de

parede serão pintados no mesmo tempo por uma turma de 27 alunos?

Situação 10

A décima situação também envolvia resolução de problemas geralmente

apresentados em livros didáticos e em avaliações, com situações diversas de

exploração de grandezas diretamente proporcionais.

Situação 10 - Fazendo cálculos com Alice



83

Fazendo cálculos com Alice

1. Alice fez 36 salgados. Ela está em dúvida quanto às embalagens que vai

usar para guardá-los. Se escolher embalagens em que cabem 2

salgados, de quantas ela vai precisar? E se usar embalagens de três?

Para responder, preencha a tabela:

2. Alice fez um bolo para oito pessoas, e sua receita incluiu três xícaras (de

chá) de açúcar e seis ovos.

a) Se ela quiser fazer esse bolo para quatro pessoas, quantas xícaras

de açúcar e quantos ovos ela usará?

b) E se fizer para doze pessoas?

85

Capítulo 3

JOÃO E PEDRO: SUAS ATITUDES E PROCEDIMENTOS

Neste capitulo, apresentamos uma descrição e algumas análises

preliminares do que ocorreu ao longo das dez sessões, destacando nossas

observações relativas a atitudes e procedimentos de João e Pedro nos momentos

do desenvolvimento e da entrevista.

3.1 Análise de resultados da situação 1

Observação de atitudes

Ao entregar esta atividade aos alunos, pedimos que eles a resolvessem da

forma como soubessem e achassem melhor e que, não apenas colocassem os

resultados, mas também deixassem registrados no papel os cálculos realizados.

Observamos que:

João, no decorrer desta atividade, optou pelo silêncio, resolveu as

questões sem perguntar nada. Podemos afirmar que o aluno é participativo,

característica essa que fica comprovada em nossas discussões, pois o aluno

sempre esteve disposto a explicar o seu ponto de vista sobre as atividades

propostas. João demonstrou perseverança, quando realizou as tarefas,

procurando sempre resolver toda a atividade não deixando nenhuma questão sem

86

responder e revelando uma atitude positiva em relação à aprendizagem. Percebe-

se que João buscou estratégias mesmo não encontrando soluções adequadas.

Pedro também não fez nenhum questionamento sobre a atividade.

Procurou resolver sozinho; percebe-se nele uma concentração para realizar a

tarefa. Em seu protocolo, houve pouquíssimas explicações, ou seja, ele não

utilizou o registro para calcular, portanto, ele faz uso do cálculo mental para obter

os resultados. Citamos que, nesse dia, Pedro declarou não estar se sentindo

bem.

Observação de procedimentos

Itens a, b, c

Para responder a questão – “Quanto será o gasto com ingressos da turma

da Professora Regina”, João imediatamente passou a fazer o cálculo 36 x 5, por

meio da técnica operatória, mostrando usar a ideia de proporcionalidade do preço

de 5 ingressos em relação a 1 ingresso e, também, o domínio de fatos básicos e

de uma técnica operatória da multiplicação.

Figura 2. Protocolo da Situação 1-a de João

Pedro, ao responder – “Quanto será gasto com ingressos da turma da

Professora Regina?”, acaba se confundindo, pois responde: R$ 360,00, se 36

passageiros custam R$ 360,00. Neste caso não utiliza nenhuma descrição sobre

alguma técnica operatória em todo o seu protocolo. O item “b” escreve R$ 5,00.

No item “c” ele expressa: vai gastar a mesma coisa, porque não faz diferença.

Sua colocação sobre o item “d” faz a mesma referência do item anterior: vai

gastar a mesma coisa, porque não faz diferença.

87

Figura 3. Protocolo da Situação 1-a-b-c de Pedro

Ao questionar o aluno sobre a questão “a”, Pedro disse que inverteu as

respostas desta solução. Denota-se que Pedro neste dia, realmente não estava

muito bem e por isso não deu importância a esta atividade, em vista do que não

conseguimos obter um diálogo sobre as questões; decidimos, então, obter

informações no decorrer de nossas pesquisas. Mas em razão de sua resposta

relativa à questão “c”, pudemos notar que o aluno somente considerou uma única

variável o preço do ônibus para cada aluno, não considerou a quantidade de

alunos, na qual houve uma variação. Isto está qualificado em sua escrita: “vai

gastar a mesma coisa, porque não faz diferença”.

No caso da pergunta – “quanto cada aluno da Professora Regina terá que

pagar para o aluguel do ônibus?”, João escreveu R$ 10,00, obtendo esse

resultado por meio do cálculo mental e caracterizando o uso da ideia de

proporcionalidade no qual utiliza o valor unitário: se 36 têm que pagar 360 reais,

então 1 tem que pagar 10 reais.

Figura 4. Protocolo da Situação 1-b de João

Em relação à questão – “Cada um dos alunos da Professora Tereza vai

gastar mais ou menos que os da Professora Regina para alugar o ônibus? Por

quê?”, podíamos esperar que eles respondessem apenas que os alunos da

88

professora Tereza gastariam mais que os da professora Regina, porque eram

menos alunos a pagar a mesma quantidade.

João explica esse fato corretamente, o que seria suficiente. Mas registra o

cálculo 360: 33 e não o cálculo 360: 36, o que poderia ser usado por ele para

mostrar o que afirmava. No cálculo registrado, podemos observar que ele faz uso

de uma técnica operatória, embora não chegando ao resultado correto.

Figura 5. Protocolo da Situação 1-c de João

3.2 Análise de resultado da situação 2


João, ao receber a atividade, faz uma leitura silenciosa, demonstra

interesse ao resolver a atividade e logo escreve sobre a sua solução. João é

bastante atento ao nosso pedido, pois faz uso da escrita para justificar os

procedimentos.

Pedro faz a leitura e logo começa a resolver as questões. Antes de

dialogar, percebemos que o aluno resolveu as questões com facilidade,

mostrando um bom desempenho.

89


Itens A, B, C, D (respostas de Pedro)

Pedro revela o mesmo pensamento de João respondendo: R$ 1,50 cada

muda, na tabela está escrito 1 muda corresponde a R$ 1,50. Traz consigo a

competência leitora, ao interpretar os dados apresentados na tabela.

Figura 6. Protocolo da Situação 2-a-b-c-d-e de Pedro

No registro do item b, – “E de 6 mudas?” Pedro escreve, 6 mudas = 9,00.

Em seu Registro, há existência de falhas: uma, em relação ao não colocar o cifrão

na frente de 9,00 e o outro relacionado ao sinal de igual (6 mudas = 9,00,

representação incorreta). Essa falha com relação ao significado do “sinal de igual”

ocorre outras vezes neste protocolo. Na questão c, – “Quanto deve pagar quem

comprar 12 mudas?”, Pedro, utiliza a operação de adição no caso possui uma

característica a decomposição, sendo representado por ele, 10 + 2 = 12, antes ele

registra “R$ 18,00, 10 mudas correspondem a R$ 15,00 e 2 mudas = R$ 3,00”.

Pedro tem o seu pensamento apoiado na tabela: já que 10 mudas correspondem

ao preço de R$ 15,00 e 2 mudas correspondem a R$ 3,00, ele adiciona 15,00

mais 3,00 resultando em R$ 18,00. Nesse momento, ele prefere utilizar a técnica

de adição, pois, segundo Pedro é mais fácil.

90

Na questão “d” – “Quantas mudas podem ser compradas com R$ 150,00?”,

Pedro responde:

100 mudas = R$ 150,00, 15,00 X 10 = 150,00, 10 X 10 = 100.

Pedro faz uso de seu raciocínio relacionado com o conteúdo, múltiplos de 10.

Em relação ao item e ”Quantas mudas podem ser compradas com R$ 6,00,

ele escreve: 4 mudas, 2 mudas = R$ 3,00

4 mudas = R$ 6,00 x 2

Na questão “e” quando Pedro simboliza “x 2”, conduz o seu raciocínio

relacionando com o “dobro” de um número. Nesta sua colocação estabelece a

relação de grandezas, dobrando o número de mudas também dobrara o preço,

indicando um pensamento proporcional que aparece em todas as resoluções das

questões apresentadas, cujas grandezas são diretamente proporcionais. Neste

processo de resolução, Pedro evidencia em suas estratégias as técnicas

operatórias envolvendo a adição e multiplicação. Não podemos deixar de

enfatizar que ele faz a utilização de sua habilidade em cálculo mental, pois em

seu protocolo não constam cálculos.

Item A

João, em relação à questão – “Qual o preço de cada muda de árvores?”,

escreve R$ 1,50 revelando sua competência para fazer uma leitura adequada dos

dados da atividade que estão contidos na tabela.


Item B

Voltando para os procedimentos de João, em relação ao item b “E de 6

mudas?” João, realiza sua interpretação de leitura tomando por base as

91

informações que aparecem na tabela, respondendo: R$ 9,00, pois o valor também

já esta na tabela.


Item C

Quanto à questão c – “Quanto deve pagar quem comprar 12 mudas?”,

João descreve qual a sua opção para solucionar este item, revelando que a

adição é o primeiro pensamento que surge para obter o resultado adequado.


Item D

Em relação ao “item d” desta situação: – “Quantas mudas podem ser

compradas com R$ 150,00?” João já sabe, mesmo antes de efetuar a divisão,

que aparece em seu protocolo que dez vezes 15 é cento e cinquenta. Neste caso,

João utiliza as técnicas operátorias da multiplicação somente para registrar o seu

pensamento, pois nesse momento, é a única técnica que tem proximidade de

seus conhecimentos e resulta em uma resposta apropriada para a sua resolução.

Deduzimos que João possui um pensamento pertinente à proporcionalidade. Ele

também mostra uma organização de pensamentos, quando relaciona o número

de mudas com o preço e faz relação com os múltiplos de 10.

Figura 10. Protocolo da Situação 2-d de João

92

João, ao solucionar o item “e” –“Quantas mudas podem ser compradas

com R$ 6,00?”, afirma por meio do processo multiplicativo, 4 mudas. A sua

explicação reside no fato de que se 2 mudas custam R$ 3,00, ou seja se o preço

dobra dobra-se, portanto, a quantidade de mudas. Em sua explicação, está

conectada a noção de proporcionalidade.

Figura 11. Protocolo da Situação 2-d. Segunda explicativa de João



João demorou um pouco mais do que habitualmente em comparação com

as outras tarefas. No caso, registramos que a entrega da atividade foi feita

às11h40min e João devolveu às 12h10min. Notamos que a expressão facial de

João traduz uma maior atenção na leitura dessa tarefa, pois a escrita não

caminhou rapidamente como o usual. Com a abertura para a discussão da

questão, João, utiliza a expressão “eu acho”, deixando transparecer dúvidas

relacionada às suas conclusões na situação 2.

Pedro também prolongou o tempo dessa atividade em relação às outras

atividades resolvidas em outros dias. Foi entregue a atividade ao Pedro por volta

das 11h37min e ele a devolveu às 12h13mim. Nesse momento temos a

confirmação, com base no tempo utilizado por Pedro, de que a atividade provocou

grandes dúvidas. Fazemos essa observação porque Pedro tem facilidade para

raciocinar rapidamente.


João, ao responder – “O que você nota no preço de seis goiabas,

comparando com o preço de três? O que é mais vantajoso comprar? Por quê?”, o

93

seu pensamento possui uma relação com sua prática ao utilizar a palavra

“vendedor”; emprega o cálculo para comprovar a sua resposta; a sua

representação interpretativa faz referência com os dados apresentados nas

placas e responde: O vendedor aumenta o número de goiabas e abaixa o preço; 6

goiabas. Porque você gasta menos e compra mais. Nesta questão João, tentou

fazer a sua justificativa de uma maneira própria, por meio da escrita. João realça

o seu pensamento usando o conhecimento técnico operatório, por meio da divisão

e a multiplicação:

Figura 12. Protocolo da Situação 3 de João

Quanto a Pedro, –“O que nota de seis goiabas, comparando-o com o preço

de três? O que é mais vantajoso comprar? Por quê?”, a sua resposta é: ela é

mais barata, a de seis goiabas, porque ela tem um desconto de R$ 0,30. Pedro

faz o cálculo mentalmente, pois consegue verificar que o preço de 6 goiabas

deveria ser R$ 1,50, fazendo uso da técnica da subtração, ou seja, R$ 1,50

menos R$ 1,20 resultando em uma diferença de R$ 0,30.

94

Figura 13. Protocolo da Situação 3 de Pedro



João sempre está tranquilo. Hoje, ao apresentar a tarefa, procurou ler com

atenção e resolver imediatamente a proposta. Ele demonstra segurança ao

resolver este problema. Acreditamos que João não sentiu nenhuma dificuldade na

interpretação dessa situação.

Pedro demonstra uma quietude na entrega da tarefa, mas faz uma leitura

rápida e começa a registrar os seus pensamentos. Deduzimos que a tarefa possui

clareza na proposta, tornando-se fácil sua compreensão por Pedro.

Neste dia Pedro e João resolveram esta situação rapidamente, por isso

logo começamos a nossa conversa.


Item A

João, quando faz referências à questão – “Quanto pagaram pelos

sanduíches de queijo?” rapidamente faz uso de a técnica operatória multiplicar:

95


Pedro, na questão “a”, – “Quanto pagaram pelos sanduíches de queijo?”,

procurou somente registrar o valor R$ 16,00. Mas ele pensou em utilizar a

quantidade de sanduíche que faz correspondência com o preço: se 1 sanduíche

custa R$ 8,00, 2 sanduíches custaram R$ 16,00. Pedro ao responder sobre o item

“c”: “E pelos sanduíches de atum?” considera que 1 sanduíche corresponde R$

7,00 portanto, Pedro conclui que 3 sanduíches correspondem a R$ 21,00. Pedro,

neste item “c”, percebe a existência do fator multiplicador 7. No item “d” –“Quanto

pagaram pelos sucos de frutas?” ele traz o mesmo pensamento de

proporcionalidade: se um suco de frutas custa R$ 7,00 deduzo que iremos pagar

por três sucos o valor R$ 21,00. Com a observação em seu protocolo, Pedro

apenas registra os valores numéricos nas questões “e”, “f”. Quando questionado o

sobre o resultado da questão “e” Pedro disse que fez quatro vezes três e a

questão “f” eu fiz três vezes um e cinquenta (R$ 1,50) que é igual a quatro e

cinquenta (R$ 4,50).

Pedro, ao mencionar sobre a questão “g” diz: eu somei dez mais sete que é

igual a dezessete, quantidade que o André gastou e dividi por dois que é igual a

oito e cinquenta. Pedro conclui: metade do que ele tinha gastado. Em seguida,

perguntado sobre o que Camila pediu afinal? Rapidamente respondeu: atum e

água. Em nossa conversa perguntamos por que ele não havia registrado o seu

pensamento em relação a – “O que Camila deve ter pedido”?, ele respondeu que

não havia observado. Fizemos esse questionamento quando olhamos o protocolo

dele e estavam apenas registrados dois cálculos envolvendo a adição. Nota-se,

ainda, que ao representar 8,50 + 8,50 = 17,00, entende-se que o aluno apenas

fez uma confirmação do seu cálculo mental, uma vez que a metade de dezessete

é 8,50.

96

Figura 15. Protocolo da Situação 4-a-b-c-d-e-f-g de Pedro

Item B

Agora voltamos a indagar João quanto à pergunta: – “E pelos sanduíches

mistos?” Ele faz representação formal da multiplicação. Em nossa conversa ele

relata que é “só multiplicar dez mistos por 4 que é igual a quarenta”.


Item C

Com relação à questão “c” João menciona que todas as contas são de

multiplicação. Portanto, ele representou a técnica operatória que constitui a

multiplicação.

97


Na questão “d”, João diz que pegou sete vezes três que é igual a vinte um

reais, fazendo referência à tabuada.

Item D


Item E

Quanto à questão “e” sua menção também se aplica a uma mu ltiplicação:

ele somente responde que três vezes quatro é igual a doze reais.

Figura 19. Protocolo da Situação 4-e de João

Item F

Ao ser questionado sobre o item “f” João responde: fiz um e cinquenta

vezes três que é igual a quatro e cinquenta. Nesse protocolo, João faz referência

ao número decimal, assinalando a vírgula no lugar correto.

98

Figura 20. Protocolo da Situação 4-f de João

Item G

Protocolo de João em relação ao item “g”, destina-se a dez mistos mais

sete sucos resultando dezessete, dividido por dois que deu oito e cinquenta. João

demonstra que teve mais atenção com este item, pois respondeu mencionando

que o sanduíche de atum é sete e a água, um e cinquenta. Com isto, ele faz uma

argumentação sobre sua resposta usando os valores numéricos que constam na

tabela.

Figura 21. Protocolo da Situação 4-g de João

João, nesse momento, faz um comentário: esta atividade é bem fácil.

Estava tudo na tabela. Poderíamos descrever que João possui clareza em sua

comunicação, quando conversamos sobre a atividade. Ele também foi capaz de

encontrar as soluções corretamente. Em seu protocolo na escrita, existe certa

organização, pois do lado do cálculo da soma ele escreveu André. Observamos,

então, que a resposta pertence à pergunta sobre o que Camila pediu. Para

auxiliar as nossas análises João procura justificar como foram feitos os seus

99

cálculos por meio da escrita, e notamos que ele procurou apoiar-se nos cálculos

para fazer sua análise.

Vejamos o protocolo de João:

Figura 22. Protocolo explicativo da Situação 4 de João



Como sempre, fomos encontrar os meninos e, em seguida, dirigimo-nos à

sala onde costumamos ministrar aula todos os dias. Deveria ser perto das

11h40min. Conversamos para saber se estava tudo bem e a seguir foi-lhes

passada a tarefa. Passaram-se 15 minutos. Os meninos começaram a ler a nossa

proposta sem fazer qualquer pergunta e isso aconteceu durante toda a nossa

trajetória de investigação, pois já tínhamos conversado que a pesquisadora não

iria intervir na resolução das atividades. Pedro terminou a sua tarefa às 12h07min;

deduzimos que para ele a atividade era de entendimento fácil. João finalizou às

12h10min, confirmando, portanto a facilidade em resolver as questões.

Observação de Procedimentos

João é quem começa a nossa conversa dizendo que a atividade foi fácil,

estava na tabela, continua dizendo que só usou a adição. Posiciona-se afirmando:

tem que saber horas, pois se não soubesse dificultaria a resolução.

Item A

A pesquisadora pede para Pedro explicar a questão “a” – “Quanto tempo

levará para passar pelo marco 30 km?”, Sendo assim, ele responde: estava na

100

tabela quanto tempo, olha até 30 km e chega em 2h e meia. Em seu protocolo

está escrito “2h e meia”

Figura 23. Protocolo da Situação 5-a de Pedro

João por sua vez, faz a mesma referência que Pedro sobre – “Quanto

tempo levará para passar pelo marco 30 km?”, “tá na tabela e em seu registro a

escrita é 2h e meia”.


Item B

Mencionando o item “b” – Quanto tempo levará para passar pelo marco 60

km? Questionamos Pedro e ele disse que, na tabela, ele procurou 60 km.

Figura 25. Protocolo da Situação 5-b de Pedro

João ao responder o item “b” – “Quanto tempo levará para passar pelo

marco 60 km?” ele registra em seu trabalho 5h, ou seja, faz sua leitura

observando a tabela.


101

Item C

Pedro na questão “c”, que pergunta: – “E para chegar ao marco que fica a

90 km de São Paulo?” afirma: é noventa, 30 km soma 3 vezes, caracterizando

uma soma de parcelas iguais: adição. Então ele associa 2h e meia que

corresponde a 30 km, contido na tabela, e conclui que também é três vezes o

tempo. Ao observarmos o cálculo 2,30 + 2,30 + 2,30 = 7,30, Pedro traz em seu

relato que soma 30 + 30 = 60, explicando que corresponde à 1 hora e depois volta

a somar 30 resultando em 1 hora e 30 minutos. Chegando ao valor correto 7

horas e 30 minutos. Portanto, no registro de Pedro existe um problema (2,30 +

2,30 + 2,30), que merece uma intervenção.

Figura 27. Protocolo da Situação 5-c de Pedro

João revela neste item “c” – “E para chegar ao marco que fica a 90 km?”

Ele soma 60 km mais 30 km cujo resultado é 90 km e associa com os valores da

tabela (60 km corresponde 2 h e meia; 30 km corresponde 5 horas resultando 7h

e meia).


Item D

Quanto ao item “d” – “Qual será a posição desse ciclista 1 hora e 30

minutos após a partida?” Pedro explica que: se 1 hora corresponde a 12 km, 30

minutos será 6 km então 12 km mais 6 km é igual a 18 km.

102

Figura 29. Protocolo da Situação 5-d de Pedro

Ao conversarmos com João, sobre o item “d” – “Qual será a posição

desse ciclista 1 hora e 30 minutos após sua partida?” Ele revela que o seu olhar

esteve na tabela cujos valores seriam correspondentes. Dessa forma: 1 hora são

12 km e meia hora são 6 km, concluindo que 12 km mais 6 km é igual a 18 km.


Item E

Pedro nos traz em sua fala as seguintes conclusões em relação ao item “e”

– “E depois de 3 horas?” Se 2 horas e meia são 30 km e meia hora são 6 km aí

2h30min mais 30 min. é igual a 3 horas, aí tem 36 km”. Observa-se em seu

protocolo uma representação inadequada (2,30 + 0,30). Ele tem a ideia de que as

grandezas horas e distância possuem uma relação, mas sua análise está contida

na tabela.

Figura 31. Protocolo da Situação 5-e de Pedro

103

João traduz outro procedimento observado na tabela com relação ao item

“e” E depois de 3 horas? Ele utiliza a relação 2 horas - 24 km e 1 hora - 12 km no

qual se utiliza da técnica operatória da adição, ou seja, 24 km mais 12 km

resultando em 36 km. Nesse caso, João relaciona a grandeza horas com a

distância de forma diferente se comparada com a resolução de Pedro. Sendo

assim, podemos observar que ambos possuem caminhos de resolução diferentes,

mas chegam a um resultado adequado.

Figura 32. Protocolo da Situação 5-e de João

Nesta atividade, procuramos fazer alguns questionamentos, por exemplo,

se eles observaram o que acontecia com o tempo. João, no começo, manifestou-

se, dizendo que multiplicou por 2, exemplificando 0,30 x 2 = 1 hora. Novamente

se constata que a sua ideia está correta e o registro incorreto. Mas João também

diz que tirou algo da tabela no momento de 12 para 24. Perguntei novamente a

João e a Pedro sobre o que acontece com o tempo. E João diz: ele está andando

0,30 minutos. Pedro logo faz outra observação sobre a tabela: de 0 vai para 12,

18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60. Ele diz que tinha a ver com a tabuada do 6.



São agora, 11h40min. Nossa reunião começa tranquila e somente com a

presença de João. Ele, como sempre, concentra-se na atividade e leva 15

minutos para efetuar a sua tarefa. Perguntando a sua opinião sobre a atividade,

João comentou que para fazer a “questão b” foi difícil, pois tinha que resolver uma

conta de dividir e os valores eram altos, por isso demorou um pouco.

104

Quanto a Pedro realizamos esta atividade no encontro seguinte; em nossa

entrevista, disse que a atividade foi fácil e rápida, por isso terminou logo.

Nesta atividade, João cita que não tinha noção de velocidade, menciona

que o símbolo km já havia visto no carro, mas não entendia o que significava.

Enquanto que Pedro comenta que sua noção de velocidade vinha de quando ele

andava de carro e olhava as placas nas estradas.


Item A

Agora, ao verificarmos os protocolos dos nossos sujeitos de pesquisa

relacionados com “Fazendo cálculos da velocidade do ônibus”, citamos que

Pedro, na questão “a” – Por que o motorista respondeu que “depende”? Pedro

escreve: “porque pode ser que tenha muito trânsito e demora mais”.

Figura 33. Protocolo da situação 6-a de Pedro

O aluno João refere-se à questão “a” – “Por que o motorista respondeu

que “depende”?” Citando, “pois talvez tenha trânsito”. Em nossa conversa João

disse que: só isto veio à minha cabeça. E completa: Quando tem trânsito reduz a

velocidade, vai demorar mais para chegar.


Item B

Em relação a “questão b” – “Se ele levar 1 hora como previu, qual a

velocidade média do ônibus durante o percurso?” Pedro responde: 70 kh.

105

Perguntando a ele como chegara a esse resultado ele disse: – no problema já tem

a velocidade de 70 quilômetros por hora. Em seguida, perguntei por que escreveu

kh, ele simplesmente respondeu que sabia que o símbolo é km apenas se

confundiu.


João, na “questão b” – “Se ele levar 1 hora como previu, qual a velocidade

média do ônibus durante o percurso?” Ele escreve: “100 kh”. Eu dividi 70 por 60

que deu numa quilometragem aproximada de 100. Nota-se em nossas conversas

com João, que ele não tem conhecimento sobre velocidade média. Ao iniciar um

cálculo, de divisão comete um erro na segunda casa decimal (valor zero), no qual

não obtém o valor correto do cálculo, e também não consegue relacionar a

velocidade com o tempo. Ainda relatando nossa conversa, diz que esta atividade

é média, pois comenta que ficaria mais fácil quando se retira o zero e com isto

poderia usar a tabuada do 6 ou do 7. Perguntando a João se ele não havia

compreendido alguma coisa em sua leitura, ele responde duas coisas: “em torno

de” e “km por hora”. Nesta questão, no final dos questionamentos, foi-lhe dado um

auxílio depois, relendo o texto calmamente com João e explicando o significado

de km por hora. Antes fizemos nosso aprendiz pensar se ele nunca havia visto

este símbolo “km/h”. E logo se recordou do velocímetro do carro de seu pai onde

existe essa notação.


106

Item C

Pedro, ao discutirmos o “item c” – “O que aconteceria se o motorista

fizesse o percurso a 80 km por hora? Aumentaria ou diminuiria o tempo?” Pedro

escreve: diminuiria. Porque se ele andar mais rápido ele demoraria menos.

Figura 37. Resposta da Situação 6-c de Pedro

Na descrição de João, no “item c” – “O que aconteceria se o motorista

fizesse o percurso a 80 km por hora? Aumentaria ou diminuiria o tempo?” Esse

nosso aluno escreve: aumentaria. Na verdade diminuiria, pois ele andaria mais

rápido.

Figura 38. Protocolo da Situação 6-c De João

Quando tratamos do item “d” – “E se por causa do trânsito ele

desenvolvesse uma velocidade média de 50 km por hora. Aumentaria ou

diminuiria?” Pedro registra: aumentaria, porque se ele andar mais devagar ele

demora mais.

Figura 39. Protocolo da Situação 6-d de Pedro

107

João, neste item “d”–“E se por causa do trânsito ele desenvolvesse uma

velocidade média de 50 km por hora. Aumentaria ou diminuiria?” Ele anota:

aumentaria. Pois o ônibus andaria mais devagar.


3.7 Análise do resultado da situação 7


Nesta reunião perguntamos a João e Pedro se eles estavam bem. Cada

um deles respondeu que estava bem. Como sempre, foram distribuídas as folhas

com a situação-problema para que eles resolvessem a nossa proposta.

Percebemos que a leitura durou cerca de dois minutos, pois sempre olhamos no

relógio para ter uma ideia de tempo de leitura e interpretação de ambos os

alunos. Assim, observamos que é imediata a escrita para solucionar essa

questão. Pedro começa a resolver um pouquinho antes de João as questões

propostas. João, além de resolver por meio de cálculos, também procura detalhar

os seus registros, anotando seu raciocínio, para o que se utiliza da linguagem

escrita e, por isso, termina alguns minutos depois de Pedro. Percebemos que

Pedro somente faz algumas observações em seu protocolo. Não se preocupa em

escrever da mesma forma que João, ou seja, com pormenores. Pedro é bem

objetivo no uso da escrita.

Questão 1

Nossas observações começam com o Pedro. Esta situação solicita: –

“Preencha a tabela sabendo que o valor unitário do produto se mantém

independente da quantidade vendida.” Na tabela, foram anotadas as quantidades

108

vendidas e o valor recebido pela venda de um mesmo produto. Mas alguns

valores, no entanto, não foram registrados.

Pedro mostra por meio de setas (registro ao lado da tabela) o número pelo

qual chegou ao resultado e descreve: é diretamente, eu fui multiplicando cada um

deles para dar o resultado. Também registra um cálculo que traduz a técnica

operatória no campo multiplicativo.

Figura 41. Protocolo da situação 7-1 de Pedro

Com referência à questão 1, já mencionada acima, João preenche a

tabela, representa os cálculos utilizando-se da técnica operatória no campo

multiplicativo. E procura descrever o seguinte: – Eu percebi que o resultado

estava na tabuada do 3, então quando já se tinha o valor em reais eu dividi por 3

e quando se tinha a quantidade eu multiplicava.

109

Figura 42. Protocolo da Situação 7-1 de João

Protocolo abaixo faz menção a escrita de João com relação à questão 1 e

à questão 2.

Figura 43. Protocolo da questão 7-1 e questão 7-2 de João na linguagem escrita

Questão 2

Vamos verificar o protocolo da questão 2, envolvendo o Pedro, cuja

questão envolve a pergunta: “Se um pintor demora, em média, 2 horas para pintar

uma parede de 10 m2 qual o tempo gasto nas outras situações apresentadas na

110

tabela?” Pedro preenche a tabela, indicando os números que faltam e explica que:

nessa daqui eu só fui raciocinando na minha cabeça.

Figura 44. Protocolo da questão 7-2 de Pedro

João, ao responder a pergunta: – “Se um pintor demora, em média, 2

horas para pintar uma parede de 10 m2, qual o tempo gasto nas outras situações

apresentadas na tabela?” Ele registra os números descreve: Na cabeça eu fiz as

contas que se um pintor pinta a parede em 2 h, para ele pintar 2 demorará o

dobro e se 2 pintores forem pintar 1 parede vão demorar metade do tempo de 1

pintor. Nessa tabela, a característica do procedimento de João foi fazer os

cálculos mentalmente.

Figura 45. Protocolo da questão 7-2 de João

111



Nossa reunião começou às 11h35min. No caso, é sempre perguntado se

tudo está bem e os nossos alunos demonstram que está tudo bem. Questionamos

se eles estavam estudando e quem se manifesta primeiro é Pedro: – Eu fiz prova

de Matemática e acho que tirei dez. Perguntando a Pedro, qual a matéria da

prova, ele pensou... e disse: é aquela “três”. Insistimos: Pedro, não seria “Regra

de Três”? Ele responde: é isso, professora. Em seguida as tarefas são entregues

as tarefas, por volta das 11h45min. João e Pedro fazem o que habitualmente tem

ocorrido em todos os encontros: uma leitura e a escrita. Alguns minutos depois,

perguntamos a João se ele havia terminado, pois ele já não estava escrevendo.

Ele respondeu que já havia resolvido as questões. Olhando para o relógio, esse

marcava 12h02min. Em seguida, Pedro também diz que terminou, naquele

momento era 12h03min. Deduzimos que João e Pedro encontraram os resultados

com facilidade.


Item A

Antes de verificar o protocolo de Pedro o item “a” – “Qual o preço de 4

pãezinhos? E de 39?” Mas, antes de discutirmos a nova questão, Pedro faz uma

observação com relação a essa atividade: ele diz que pulou alguns números na

tabela e cita alguns números 4, 6, 9, 8, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19. Em seu

protocolo, registra: É de R$ 0,56, é de R$ 4,86. No caso, Pedro multiplica 0,14 por

4, e encontra R$ 0,56 mentalmente. Quanto aos 39 pãezinhos ele escreve: eu tirei

R$ 0,14 de R$ 5,60, ou seja, retira da tabela o valor de 40 pãezinhos que

corresponde a R$ 5,60 e subtrai o valor de 1 pãozinho cujo valor é de R$ 0,14.

112

Figura 46. Protocolo da Situação 8-a de Pedro

Quanto a João, neste item “a”, – “Qual o preço de 4 pãezinhos? E de 39?”,

João escreve: 4 pãezinhos são R$ 0,56 e 39 pãezinhos são R$ 5,46. Eu usei a

multiplicação em ambas as contas vendo o preço de um pão e a quantia de pães

que se pedia. Além disso, João utiliza as técnicas operatórias no campo

multiplicativo para realçar suas respostas.


Item B

Na resposta de Pedro, no item “b” – “Quantos pães são possíveis comprar

com R$ 6,58? E com R$ 4,14?” Pedro descreve: É possível comprar 47 pães, dá

113

pra comprar 29 pãezinhos e sobra R$ 0,08 (refere-se a 4,14 menos 4,06). Neste

item b Pedro usa dois tipos de cálculos para expressar o seu pensamento, nos

quais a representação está no campo aditivo e multiplicativo. No cálculo 0,14 x

29, ele utiliza o valor de 1 pãozinho, observando-se que este estudante não utiliza

o cálculo na posição vertical. Quanto à somatória, repete o valor 2,10 três vezes e

depois soma novamente o valor 0,28. Ele explica que seria mais fácil para somar

este número e descobrir que faltavam 0,28. Em seguida ele relaciona o nº de

pães (15 e 2) respectivamente com o preço (R$ 2,10 e R$ 0,28).


114

No item “b”, – “Quantos pães são possíveis comprar com R$ 6,58? E com

R$ 4,14?”, João coloca em sua escrita: com R$ 6,58 dá pra comprar 46 pães e

com R$ 4,14 da para se comprar 29 pães. Nas duas contas eu dividi o valor em

dinheiro pelo preço de um pão. Existem dois registros que estão no campo

multiplicativo, sendo que o cálculo de 6,58 : 0,14 está incorreto.

Vamos ver agora protocolo de João.


115

3.9 Análise de resultados da situação 9


Nesse dia, a reunião, começou às 12h46min, os meninos estavam com

uma aparência tranquila e isto se confirmou após a nossa conversa de uma

maneira informal, sobre se eles estavam gostando de participar de nosso

trabalho. Pedro cita que é bom, pois discutimos sobre as atividades e com isso

eles procuravam ler e reler as atividades para entender as questões. Após essa

conversa, recebem nossa atividade 9. Nossa percepção sobre João e Pedro é a

de que sempre estão dispostos a resolver as questões para realizar os debates

sobre as soluções das propostas apresentadas. Nesse dia, foi possível descobrir

por que Pedro não emprega algumas vezes a técnica operatória de divisão. Pedro

explica que: “quando era pequeno sempre eu errava e tirava nota vermelha, aí

quando resolvi usar multiplicação eu acertei, agora só multiplico”.


Questão 1

Na abordagem da questão 1: – “Os cofres de Tiago e Miguel estavam

vazios. Tiago Começou hoje a colocar 3 reais, diariamente e Miguel, 5 reais.

Quando Tiago tiver 21 reais, quanto terá o Miguel?” Pedro registra em seu

protocolo a multiplicação em uma disposição horizontal. E quando questionado

sobre a sua solução, ele diz que foi sorteando, foi escolhendo as opções dizendo

da seguinte maneira 3 vezes 5 igual 21 não deu: 3 vezes 6 não deu 21; 3 vezes 7

ai deu 21. No caso, Pedro escreveu como resposta: terá R$ 35,00.

116

Figura 50. Protocolo da Situação 9-1 de Pedro

Em se tratando da resposta de João, na questão 1: – “Os cofres de Tiago e

Miguel estavam vazios. Tiago Começou hoje a colocar 3 reais, diariamente e

Miguel, 5 reais. Quando Tiago tiver 21 reais, quanto terá o Miguel?” Ele descreve:

Miguel terá 35 reais. Antes eu vi quantos dias Tiago ficou colocando dinheiro no

cofre numa conta de divisão, depois multipliquei essa quantia de dias por 5. Pedro

também utiliza as técnicas operatórias da divisão e multiplicação.


Questão 2

Quanto à questão 2: “Joana usou exatamente 15 latas de tinta para pintar

18 cadeiras. Quantas cadeiras podem ser pintadas com 20 latas de tinta? Pedro

117

anota: dá para pintar 24 cadeiras.” Em sua representação numérica, ele privilegia

a técnica “regra de três” e efetua os cálculos envolvendo a multiplicação e a

divisão.


Na representação de João, relacionada à questão 2: “Joana usou

exatamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras. Quantas cadeiras podem ser

pintadas com 20 latas de tinta?” Ele relata que: Joana pintará 24 cadeiras. Eu

dividi 18 por 15 para saber quantas latas se usa para pintar uma cadeira e depois

multipliquei essa quantia por 20. Neste caso tem a ideia do valor unitário que

permeia a noção de proporcionalidade. João em sua folha de respostas enfatiza o

algoritmo da divisão e multiplicação.

118


Questão 3

Ao verificarmos a questão 3: – “Dois bilhetes de ônibus intermunicipais

custam 16 reais. Quanto custam 6 bilhetes? E 7?”, Pedro decidiu utilizar a técnica

“regra de três” e os outros cálculos foram representados pela multiplicação e

divisão. Em sua escrita, representa a multiplicação no primeiro momento, sendo

que essa multiplicação se encontra na horizontal. As suas respostas são: 6

bilhetes é R$ 48,00 e 7 bilhetes é R$ 56,00.

119

Quando Pedro vai calcular o valor de 7 bilhetes, ele utiliza a mesma técnica

“regra de três” representada acima, mas não descreve todo o processo.

Abaixo, a representação de alguns cálculos para auxiliar as suas

respostas.


120

A representação de João na questão 3: – “Dois bilhetes de ônibus

intermunicipais custam 16 reais. Quanto custam 6 bilhetes?” João responde: 6

bilhetes custam R$ 48,00 e 7 bilhetes custam R$ 56,00. Eu dividi o valor de dois

bilhetes por dois para saber o valor de um e depois multipliquei pelos valores

pedidos. Em seus registros constam as operações de divisão e multiplicação.


Questão 4

A análise da questão 4: – “Quinze alunos pintaram 35 m2 da parede do

ginásio da escola. Sabendo que cada aluno pinta a mesma área, quantos metros

quadrados de parede serão pintados no mesmo tempo por uma turma de 27

alunos?” Pedro escreve a técnica da “regra de três” e coloca ao lado os cálculos

envolvendo a divisão e a multiplicação.

121

Representação de alguns cálculos:


122

João, por sua vez, na questão 4: – “Quinze alunos pintaram 35 m2 da

parede do ginásio da escola. Sabendo que cada aluno pinta a mesma área,

quantos metros quadrados de parede serão pintados no mesmo tempo por uma

turma de 27 alunos?” João responde: 26 m2 e em seu protocolo usa a técnica da

divisão. Ele procura utilizar o mesmo valor referente à área (35 m2) tanto para a

quantidade de 15 alunos como para quantidade de 27 alunos. Nesse caso, João

não tinha a ideia de relação entre essas duas grandezas; segundo ele, não

entendia o significado de área.



Observação de atitude

Esse foi o nosso último encontro para realizar as nossas atividades. Pedro

e João estavam, como sempre, dispostos em colaborar com os estudos propostos

e durante toda a nossa pesquisa. Eles demonstraram interesse em resolver as

atividades que foram parâmetros para as análises dos objetivos mencionados

neste trabalho, envolvendo os conhecimentos prévios. O caminho para obtenção

de informações sempre começa com uma conversa informal, perguntando se eles

estão bem; eles respondem tudo bem e, em seguida, recebem a nossa tarefa.

123

Pode-se perceber que a leitura da tarefa por parte de Pedro e de João

demonstra, em seus rostos, uma satisfação em resolver a atividade selecionada.

Nesta atividade, João e Pedro levaram em torno de 10 minutos para solucionar a

questão, cujo tempo foi cronometrado no relógio. Segundo Pedro e João, a

característica dessa atividade é a de ser fácil, pois pelas palavras deles “na tabela

descobrimos os três primeiros números e descobriremos os três que vêm”. João

relata que a parte de baixo é idêntica à de cima, só que ela corta a parte 18 x 2

pois é o final”. Paulo observa que 6 divide a tabela ao meio “crescendo em cima e

diminuindo em baixo”, segundo palavras dele.


Questão 1

Na questão 1: – “Alice fez 36 salgados. Ela está em dúvida quanto às

embalagens que vai usar para guardá-los. Se escolher embalagens em que

cabem 2 salgados, de quantas ela vai precisar?”, Pedro completa a tabela com os

valores que são reflexo de suas técnicas operatórias decorrentes da multiplicação

e divisão. Pedro efetua todos os cálculos, usando o número total de salgados 36,

sendo o dividendo 36, que é comum para todos os divisores apresentados na

tabela (2, 3, 4, 6, 9, 12).

124


João, ao responder a questão 1, mostra-nos a técnica de divisão, na qual

visualizamos vários cálculos, cujo fator que se repete em todas as divisões é o

dividendo 36, que representa o total de salgados feitos por Alice.

Desta forma, João preenche a tabela e, ao lado, ele mostra seus cálculos:

125


Questão 2

Em relação à questão 2: – “Alice fez um bolo para oito pessoas, e sua

receita inclui três xícara (de chá) de açúcar e seis ovos”, item “2.a” se ela quiser

fazer esse bolo para quatro pessoas, quantas xícaras de açúcar e quantos ovos

ela usará?”Pedro somente escreve: 2 xícaras, 3 ovos. Depois, em nossa

conversa, ele percebeu que sua resposta foi inadequada em relação à quantidade

de açúcar.

Figura 60. Protocolo da Situação 10-2a de Pedro

João, nesta questão “2.a”: – “Se ela quiser fazer esse bolo para quatro

pessoas, quantas xícaras de açúcar e quantos ovos ele usará?” João escreve 1,5

xícaras de açúcar e de 3 ovos. Além disso, mostra os cálculos envolvendo

divisão. Ele constata que a receita foi reduzida pela metade quando dividiu por

dois a quantidade de açúcar e a quantidade de ovos. Estabelece uma relação de

proporcionalidade entre as grandezas.

126

Vejamos os seus cálculos e protocolo:

Figura 61. Protocolo da Situação 10-2a de João

Com relação ao item “2.b”: – “E se fizer para doze pessoas?”, Pedro

escreve: 10 xícaras, 9 ovos. Não apresenta nenhum cálculo para justificar sua

resposta.

Figura 62. Protocolo da Situação 10-2b de Pedro

No protocolo de João, quando resolve a questão “2.b”: –“ E se fizer para

doze pessoas?” Ele registra: 4,5 xícaras de açúcar e 9 de ovos. Mas faz as suas

127

justificativas por meio de cálculos que envolvem a multiplicação, 1,5 x 3 = 4,5 e 3

x 3 = 9. Neste caso ele percebe o fator 3.

Figura 63. Protocolo da Situação 10-2b de João

129

CAPÍTULO 4

SISTEMATIZANDO OS DADOS COLETADOS

Neste capítulo, apresentaremos uma sistematização dos dados coletados,

relacionados com procedimentos na resolução de situações-problema que foram

apresentadas no capítulo anterior, o desempenho individual e global de João e

Pedro, organizando, também, nossas considerações finais e conclusões.

Inicialmente vamos organizar os acertos e erros dos dois alunos.

130

Ao observar a tabela anterior, podemos afirmar que o desempenho de

ambos os estudantes em termos de acertos e erros é bom, pois nas respostas

apresentadas por João e Pedro, existe um grande número de acertos. Mas o

desempenho individual de João se sobressai em relação ao desempenho

individual de Pedro. João obteve mais acertos. Sendo assim, podemos observar

que esses alunos possuem vários subsunçores dentro de sua estrutura cognitiva,

com a capacidade de: estabelecer relações; analisar e sintetizar as informações;

organizar os dados possibilitando a solução dos problemas; domínio de

linguagem; certo domínio numérico; identificar técnicas operatórias que favorecem

a solução; cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) que envolvem

operações com números naturais e racionais. Quanto aos poucos erros que

ocorreram, podem estar associados a um conhecimento conceitual deficiente no

campo multiplicativo, relacionado aos números racionais e também no campo de

Grandezas e Medidas (reconhecimento de grandezas como comprimento e

velocidade) que acabam dificultando o caminho para um procedimento correto.

Análise dos procedimentos dos alunos

Lembramos que as quatro primeiras situações foram inspiradas em

propostas apresentadas aos alunos dos anos iniciais, quando trabalham com

problemas do campo multiplicativo, nos casos que envolvem a ideia de

proporcionalidade.

A situação 1 apresentada, tem o objetivo de identificar procedimentos de

solução em situação que envolve a análise, interpretação e solução de uma

situação problema do campo multiplicativo com a ideia de proporcionalidade.

Sendo assim, João, por meio de técnicas operatórias que estão presentes

em sua estrutura cognitiva, teve subsídios para analisar e solucionar o problema

corretamente, indicando um pensamento de proporcionalidade. O aluno traz um

procedimento de cálculo escrito que lhe proporciona uma escolha favorável para

resolver a situação-problema.

131

Quanto a Pedro, sua resposta foi incorreta. O aluno interpreta que não há

uma relação entre o valor do aluguel do ônibus e o número de alunos que o

ocupariam. Existe a possibilidade de Pedro não estar atento às informações

apresentadas na situação-problema. Em nossa conversa, lembramos que,

naquele dia, Pedro admite não estar bem.

Com relação à situação 2, essa expõe o objetivo de identificar

procedimentos de solução em situação que envolve a análise, interpretação e

solução de uma situação-problema do campo multiplicativo, com a ideia de

proporcionalidade, a partir da leitura de dados apresentados numa tabela.

João acerta as respostas da situação 2. O aluno apresenta um subsunçor

relacionado à capacidade de ler e interpretar adequadamente. Essa observação

está declarada em seu protocolo, com a seguinte afirmação: R$ 1,50, pois a

tabela já havia revelado isso. Constatamos, em nossas conversas, que trabalhar

com tabelas já fazia parte do seu conhecimento. Acreditamos que o sucesso

dessa situação deveu-se ao fato de o aluno ter uma estrutura cognitiva

organizada, por isso conseguiu vincular a sua análise com os procedimentos

adequados que envolvem as operações de multiplicação e divisão. Em seu

protocolo, quando o analisamos, verifica-se que o aluno exibe o conceito sobre

múltiplos que fazem parte do raciocínio multiplicativo. Podemos dizer que existe

uma harmonia entre o conhecimento existente em sua estrutura cognitiva e a

informação nova – a proporcionalidade – ou seja, o aluno possui um ancoradouro

para a introdução desse novo conceito, no qual haverá uma reestruturação em

suas futuras etapas de aprendizagem.

Quanto à observação sobre Pedro, ele resolve corretamente a situação 2.

O aluno faz uma leitura correta da tabela, obtendo sucesso na resolução dessa

situação. Notamos que a nossa expectativa com relação à técnica que implica o

cálculo mental aparece neste aluno, o que auxilia bastante para a construção e

seleção de um procedimento apropriado para solucionar os itens apresentados.

Essa constatação sobre o cálculo mental vem de nossas observações, quando

realizadas as reuniões, e em seu relato quando nos disse que nos anos iniciais do

Ensino Fundamental sua professora sempre insistiu nesse procedimento. O

procedimento lhe deu possibilidade de analisar e interpretar, favorecendo uma

132

resolução satisfatória e mais rápida. Sendo assim, constatamos a relevância de

uma aprendizagem significativa, cujas análises de uma situação-problema estão

vinculadas a aspectos existentes na estrutura cognitiva da criança, e que ampliam

a sua avaliação perante a abordagem de uma resolução.

Ao referir à situação 3, o objetivo proporciona identificar procedimentos

de solução em situação que envolve a análise, interpretação e solução de uma

situação-problema do campo multiplicativo com a ideia de proporcionalidade.

Nesta situação, João acerta o questionamento. A resposta correta consiste

na possibilidade de estar relacionado a um aspecto caracterizado em sua vivência

pessoal, expressa na palavra “vendedor” registrado em seu protocolo. Neste

caso, podemos citar Coll et al. (2000), descrevem que uma das características

dos conhecimentos prévios são construções que cada aprendiz realiza com

significado idiossincrático. João traz uma informação que está contida em seu

ambiente do cotidiano, no qual busca semelhança com a situação apresentada no

ambiente escolar.

Pedro, na situação 3, responde corretamente. O aluno apresenta um

subsunçor presente em sua estrutura cognitiva com a capacidade de reconhecer

uma escolha razoável e efetuar uma boa união com as técnicas operatórias no

campo aditivo. Nesta situação 3, caberia a citação de Coll et al. (2000): quando

uma atividade é apresentada aos alunos, eles a decodificam com o apoio em

conhecimentos anteriores. Ressaltamos novamente a ideia de Ausubel, Novak e

Hanesian (1980), relatam que a aprendizagem significativa tem por base

considerar os conhecimentos que o aluno já traz consigo. Portanto. Pedro e João

realizam suas soluções mediante seus conhecimentos prévios, obtendo sucesso.

Ao analisarmos a situação 4, o objetivo situa-se em identificar

procedimentos de solução, em situação que envolve a análise, interpretação e

solução de uma situação-problema do campo multiplicativo com a ideia de

proporcionalidade.

Essa situação 4, João responde corretamente. O nosso aluno faz uma

análise advinda da leitura de uma tabela, na qual reconhece uma proporção cujo

procedimento está ligado à técnica de um valor unitário. Quando se trata do

133

conteúdo de proporção, chamamos o valor unitário de constante de

proporcionalidade, por isso identificamos em nosso aluno a ideia de

proporcionalidade. João, nessa situação, deixa prevalecer o saber da contagem,

buscando apoio na tabuada e por meio deste amparo o aluno tem uma boa

habilidade em cálculos. Em seu protocolo, está presente a técnica operatória da

adição simbolizada por um procedimento de cálculo escrito.

Pedro, na situação 4, também responde corretamente. O aluno não

registra seus cálculos por meio da escrita, caracterizando o procedimento do

cálculo mental. Percebemos a existência que envolve o valor unitário, portanto

indícios da ideia de proporcionalidade. Aplica uma técnica operatória (adição) na

resolução do item “g”, assinalando um cálculo escrito.

Nosso julgamento, diante do sucesso da situação 4, nos permite colocar

que aconteceu pelo fato de selecionarmos um material com potencial, que foi

buscar os conhecimentos preexistentes na estrutura cognitiva de nossos

estudantes. Recordamos que Ausubel, Novak e Hanesian (1980) fazem menção

ao fato de que a tarefa de aprendizagem tem que ter um potencial significativo, ou

seja, deve revelar ao aluno algo familiar que motive este aluno a buscar uma

estratégia que seja correspondente e, assim, realizar o seu procedimento para

uma solução adequada.

As próximas seis situações buscam aproximar-se das propostas que os

professores de 7º ano / antiga 6ª séries costumam oferecer a seus alunos,

quando tratam de razões e proporções.

Ao examinar a situação 5, o objetivo é identificar procedimentos de

solução de situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais

por meio de estratégias pessoais.

João responde corretamente a situação 5. O aluno corresponde a nossas

expectativas, privilegiando a técnica do cálculo mental. Faz uma boa leitura na

tabela. Percebe-se que João tem essa compreensão quanto é trabalhado o

fracionamento da unidade de tempo, que está evidenciada em seu cálculo escrito

e em sua fala “tem que saber horas, pois se não soubesse dificultaria a

resolução”. Sendo assim, notamos a existência de um subsunçor, que se

134

encontra em sua estrutura cognitiva, capaz de reconhecer a utilização de

unidades de tempo usuais. Em sua representação escrita, aparece a técnica

operatória da adição. Nota-se que em sua interpretação, João faz uma relação

entre grandezas (tempo e distância).

Com relação à solução apresentada por Pedro na situação 5, sua

resposta também é correta. O aluno faz menção ao procedimento do cálculo

mental. Utiliza a técnica operatória da adição, cujos valores aparecem com uma

repetição relacionada ao fator multiplicador 3 (30 + 30 + 30 no qual é a grandeza

distância e para a sua resposta final utiliza a repetição 2,30 + 2,30 + 2,30 que é a

grandeza tempo). Notamos que, por meio dos cálculos descritos, Pedro

estabelece a relação entre grandezas e consegue demonstrar o seu

conhecimento em relação à fragmentação do tempo. Mas, nesta situação,

reiteramos que o registro (2,30 + 2,30 + 2,30) está incorreto, pois se trata da

grandeza tempo. Nesse caso, ele deveria ter registrado 2,5 + 2,5 + 2,5 para poder

realizar uma somatória correta, quando a grandeza tempo é “horas”.

A partir dos resultados que foram expressos por João e Pedro nessa

situação cinco, pode-se inferir que os alunos apresentam subsunçores

relacionados à habilidade de identificar a natureza da variação de duas grandezas

diretamente proporcionais, por meio de procedimentos não convencionais, ou

seja, utilizam meios aritméticos, cujo procedimento é construído cada qual a sua

maneira, ou seja, fizeram uso de estratégias pessoais.

Com relação à situação 6 o objetivo é identificar procedimentos de


ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

João acerta os itens a, c, d, mas quanto ao item b não obtém sucesso.

Notamos em seu protocolo, no “item c”, que o aluno tem dúvidas com a resposta,

pois escreve “diminuiria” e sobrescreve a palavra, mudando para “aumentaria”.

Neste caso consideramos a resposta como correta, pelo motivo que, ao

questionarmos João, ele explica que o tempo deveria diminuir e volta a

argumentar com a expressão que consta no protocolo: e ele andaria mais rápido.

Pode-se entender que João não apresenta, em sua estrutura cognitiva,

subsunçores relacionados com a formação do conceito de velocidade. O fato está

135

enfatizado em nossa entrevista, quando: Perguntando a João se ele não

compreendeu alguma coisa em sua leitura, ele responde que foram duas coisas:

“em torno de” e “km por hora”. Notamos que, para as suas respostas corretas,

utiliza a Matemática prática, que se faz presente em seu dia a dia. Também

citamos que, em nossa conversa, acabamos por fazer uma intervenção sobre o

conceito de velocidade. Perante a curiosidade de João, foi-lhe explicado o

significado de velocidade, começando esse conteúdo ao solicitar ao aluno, se ele

não havia visto esse símbolo “km/h”, que logo o fez recordar-se do velocímetro do

carro de seu pai, onde existe tal notação.

Pedro, na situação 6, responde corretamente. Com as respostas

expressas pelo aluno pode-se inferir que Pedro apresenta ideias organizadas que

lhe proporcionam estabelecer relação entre grandezas. O seu procedimento ao

responder as questões tem por base a Matemática prática, exemplificada em seu

protocolo com as palavras: trânsito; andar mais rápido ligado com demoraria

mais; andar mais devagar unido com demora mais.

Na análise da situação 7, pretende-se verificar se e como os alunos fazem

distinção entre grandezas diretamente proporcionais como a quantidade de

produtos vendidos e o preço pago por eles e grandezas inversamente

proporcionais como o número de pintores que pintam uma dada metragem de

parede e o tempo gasto. O objetivo é identificar procedimentos de solução de

situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais ou

inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

João, responde corretamente a situação 7. A nossa análise conclui que o

aluno tem conhecimentos prévios suficientes que dão suporte para reconhecer a

diferença entre os tipos de grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

Podemos observar que, em relação ao valor unitário que está entre grandezas

(quantidade vendida e valor recebido) na questão 1, cujo valor é 3, seu

julgamento busca apoio na tabuada. Tais conclusões têm por base descrições

expressas da seguinte maneira por João: quando eu já tinha o valor em reais eu

dividia por 3 e quando se tinha a quantidade eu multiplicava. Também podemos

reproduzir mais elementos que estão contidos na questão 2 para justificar nossa

conclusão, que seriam: se um pintor pinta a parede em 2h, para ele pintar 2

136

demorar o dobro e se 2 pintores forem pintar 1 parede vão demorar metade do

tempo de 1 pintor.

Pedro, por sua vez, acerta as questões dessa situação; então entendemos

que Pedro apresenta os conhecimentos prévios necessários que fazem distinção

entre os tipos de grandezas (diretamente e inversamente proporcionais). Pela

primeira vez, ele demonstra indícios de uma aprendizagem proporcionada pela

escola ao escrever em seu protocolo “é diretamente” na questão 1 e representa o

operador na tabela da mesma questão. A observação que podemos inferir na

questão 2, é quanto ao procedimento, Pedro, ao descrever os valores na tabela,

utiliza-se do cálculo mental ultrapassando as nossas expectativas.

A apreciação da situação 8 tem por objetivo identificar procedimentos de


por meio de estratégias variadas.

João responde essa situação com acertos e erros. Em relação aos acertos,

faz uso da leitura na tabela que já lhe fornecia o valor unitário. O aluno possui

conceitos relacionados com os números racionais, seus procedimentos estão

envolvidos com técnicas de calcular, levando a um relativo sucesso ao obter os

resultados. No item “b” (Quantos pães é possível comprar com R$ 6,58?), apesar

de optar por uma técnica convencional correta, acaba cometendo um erro ao

efetuar a divisão (6,58 : 0,14), ou seja, a habilidade de trabalhar a operação de

divisão no campo numérico dos racionais não foi bem sucedida.

Pedro, na situação 8, também tem acertos e erros. Na estrutura cognitiva

de nosso aluno, está presente um subsunçor que estabelece um apoio para

reconhecer um número racional por isso, auxilia nos significados das operações

que resultaram em uma boa escolha, com estratégias pessoais para solucionar

esta questão. Neste caso, podemos exemplificar, Pedro representa dois

procedimentos diferentes

(5,60 + 0,98 = 6,58 e 2,10 + 2,10 + 2,10 = 6,30 + 0,28 = 6,58)

para obter os resultados. No entanto com relação ao erro pode-se inferir que

quando vai calcular o preço de 39 pães fez uma troca de valores. Na troca de 39

137

pães por 29, apesar de perceber seu equívoco, faz a tentativa de concertar o

cálculo por meio do cálculo mental, mas não obtém sucesso.

Nossa expectativa com a situação 9 tem por objetivo: identificar

procedimentos de solução de situações-problema, os quais incluem grandezas

diretamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

O aluno João, tem três acertos e um erro nessa situação 9 que contém

quatro questões. O aluno resolve os problemas mobilizando conceitos

relacionados a valores monetários (reais). Em seu procedimento, percebe-se que

os cálculos estão apoiados na tabuada, pois procura estabelecer a relação de um

para muitos que está caracterizada na “questão 2” quando representa 18 dividido

por 15. Quanto ao erro que ocorreu na “questão 4” pode-se concluir que os

conceitos que envolvem a questão não estão armazenados na sua estrutura

cognitiva, por isso não lhe forneceram dados suficientes para obtenção do

sucesso. Com os resultados expostos pelo aluno, concluímos a não presença de

conhecimentos prévios pertinentes à medida de comprimento e a utilização da

unidade m2.

Pedro, na situação 9, responde corretamente todas as quatro questões.

Confirma-se nesta situação que Pedro possui conhecimentos conceituais

relacionados à proporcionalidade. Ele escolheu uma técnica que lhe trouxe êxito

em relação aos diferentes problemas apresentados, mas cujo conteúdo é o

mesmo. Além de demonstrar conhecimento das técnicas operatórias no campo

multiplicativo, Pedro utiliza um procedimento convencional para resolver as

“questões 3 e 4”: a regra de três. Nesse caso, caracteriza uma aprendizagem

adquirida na escola.

Percebemos, nesta questão, que o aluno busca elementos que estão

disponíveis em sua estrutura cognitiva para avaliar e determinar a melhor

estratégia para solucionar a situação-problema. A observação nos permite

descrever que o processo de aprender está vinculado a uma aprendizagem

significativa. Para esta explanação, podemos citar uma descrição de Coll (1994,

p. 128): “A significância de aprendizagem está muito diretamente vinculada com a

sua funcionalidade”. Sendo assim, quanto mais ricos forem os conhecimentos que

o aluno tiver aprendido, mais rica a funcionalidade da aprendizagem, pois ele

138

conseguirá fazer ligações com um grau de amplitude que atingirá as novas

situações e os próximos temas a serem conhecidos.

A situação 10 tem o objetivo de identificar procedimentos de solução de

situações-problema que incluem grandezas diretamente proporcionais por meio

de estratégias variadas.

João responde corretamente a situação 10, formada por duas questões.

Os subsunçores existentes em sua estrutura cognitiva estão ancorados em

operações no campo multiplicativo. Tal situação mostra a possibilidade de

trabalhar as duas situações, com abordagens no trabalho com a multiplicação e a

divisão. Isto ficou comprovado por João, quando trabalha paralelamente as duas

operações já mencionadas, traduzindo uma compreensão mais ampla sobre

multiplicação. Estes conhecimentos prévios permitirão mais facilidade ao aluno

quando houver a formalização da proporcionalidade, pois já existem

ancoradouros. Citamos, ainda, que João utiliza o cálculo escrito para representar

seus conhecimentos com os números racionais, e isto está exposto na “questão

2” desta situação.

O nosso aluno Pedro, nesta situação 10, composta de duas questões,

acerta a 10-1 e erra a 10-2a e 10-2b. O aluno possui em sua estrutura cognitiva

subsunçores relacionados aos números naturais que deram suporte para uma

estratégia que o levou a um procedimento de cálculo escrito cuja operação de

divisão prevaleceu. Quanto ao erro ocorrido na questão10-2a e na 10-2b, temos

que fazer uma colocação: em relação à grandeza quantidade de ovos, cuja

representação se encontra no conjunto dos números naturais, Pedro acertou. Mas

com relação à grandeza quantidade de açúcar no qual os valores estão

representados com números racionais cometeu erros. Como não há registros

escritos que façam menção a essa questão, a sua tentativa para realizar a

solução foi com base no cálculo mental. Mas, vamos elucidar que a divisão com

números racionais realizados por este aluno apresentou dificuldades. Depois, em

nossas discussões sobre essa situação, o aluno analisou novamente e faz suas

reflexões descobrindo o seu erro.

139

CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao concluir nosso trabalho, em primeiro lugar gostaríamos de relatar que

em nosso pensamento permeava a ideia que os alunos não seriam capazes de

resolver situações-problemas com o conteúdo proporcionalidade, sem antes obter

a formalização sobre esse tema. No decorrer desta pesquisa, notamos o nosso

equívoco. João nos surpreendeu com a sua maneira espontânea ao resolver as

atividades propostas. Ele foi capaz de apresentar soluções com base nas quatro

operações que havia aprendido nas séries iniciais. Ao comparar as atividades de

Pedro e João, percebemos que as soluções de João possuem mais acertos, fato

que fortalece a relevância de se conhecer as ideias que nossos alunos possuem e

assim valorizar suas estratégias pessoais, pois, por meio de procedimentos não

convencionais, existe a possibilidade de solucionar um problema obtendo sucesso

e isto está revelado pelos estudantes em nosso trabalho.

Relatamos, também, que agora, com a necessidade de critérios para as

análises deste estudo, percebemos o quanto nosso pensamento examinou

pouquíssimas vezes o trabalho dos nossos alunos durante os anos que

lecionamos.

A crença de que os alunos não sabem nada, entendemos que vem da

dificuldade que sentimos ao analisar os protocolos. Efetuando as correções das

provas de nossos alunos, observávamos as análises voltadas paras as técnicas e

não para as estratégias, preocupando-nos com os cálculos e não com o processo.

Nunca havíamos feito análises baseadas em compreender os porquês dos erros.

Com os estudos realizados acreditamos que, o ponto-chave deste nosso

trabalho, está em refletir sobre “o praticar ouvir”, por nós, professores. Faz-se

140

necessário saber ouvir o que nossos alunos tenham a nos dizer sobre os seus

conhecimentos adquiridos em sua vida. Essa prática, presente em nosso trabalho

de campo, nos apontaram os saberes em relação à disciplina de matemática. A

partir deste momento de comunicação identificamos algumas lacunas existentes

na estrutura cognitiva de João e Pedro. Juntando as observações dos protocolos

e as entrevistas com os alunos é que conseguimos entender quais as dificuldades

que permeiam os seus pensamentos. Julgamos ser esse caminho fundamental

para a prática de ensino, pois será ele que permitirá novas reformulações para

outras atividades que se relacionem com a defasagem e o conteúdo a ser

aprendido.

A nossa sugestão é a de que o professor procure situações-problemas

que casem essas duas situações. Em nosso caso, pensando em João e Pedro, as

dificuldades notadas estão no campo dos números racionais com a operação da

divisão, poderíamos, então, privilegiar situações-problemas, cujo conteúdo é

proporcionalidade, envolvendo as soluções com essa operação, podendo intervir

no momento que se fizer necessário, com uma abordagem que tenha

significados, ou seja, o conceito de divisão.

A partir das pesquisas realizadas por nós e das observações que faço no

meu ambiente de trabalho, detectando que nós professores, somente discutimos

sobre o que os alunos não sabem fazer e nunca que caminho pode-se orientar

estes estudantes para facilitar uma aprendizagem significativa. Verificamos que é

muito difícil para o professor dialogar e entender o raciocínio dos alunos, por isso,

sugerimos algumas reflexões: Por que os professores não têm a prática de saber

ouvir? O que fazer a partir do momento em que diagnosticamos as dificuldades de

nossos alunos? Quais os tratamentos que uma equipe escolar, na disciplina de

Matemática, deveria pôr em prática diante das dificuldades apresentadas pelos

alunos?

Retomando as seguintes questões que nortearam os nossos estudos:

Quais são as possibilidades e dificuldades na introdução de situações de

aprendizagem elaboradas com base em propostas apresentadas nos anos

iniciais e propostas que os professores de 7º ano (antiga 6ª série)

costumam oferecer a seus alunos, numa perspectiva ausubeliana, em

relação às noções de proporcionalidade?

141

Podemos perceber que a seleção de atividades de aprendizagem tem que

procurar facilitar uma aprendizagem significativa. De acordo com Ausubel e seus

colaboradores (1980), de todas as condições possíveis de aprendizado, o que

mais pode afetar a estrutura cognitiva é a organização do material de ensino.

Para isto, essas atividades têm que se conectar com as ideias existentes na

estrutura cognitiva dos alunos e, assim, conseguir realizar uma ponte para um

novo conceito.

Portanto, se os objetivos não estiverem claros para o professor, isso pode

tornar-se um obstáculo para a orientação da aprendizagem, pois é ele quem

organiza as atividades. Notamos que foi possível resolver a grande maioria das

situações-problema envolvendo proporcionalidade, por meio das quatro

operações aprendidas nas séries iniciais. As dificuldades estão relacionadas com

a operação de divisão no conjunto dos números racionais, e o campo envolvendo

grandezas e medidas (área e velocidade).

Quais foram os conhecimentos prévios que pudemos identificar em alguns

estudantes, em relação às noções de proporcionalidade?

Identificamos alguns conceitos, entre eles as quatro operações

representadas no conjunto dos números naturais e racionais, mais especialmente,

as que estão no campo multiplicativo de ambos os conjuntos, pois são os

ancoradouros para uma nova informação em relação à proporcionalidade.

Que procedimentos os estudantes utilizam para resolver situações-problema

que envolvem ideia de proporcionalidade?

Os dados evidenciam que nas situações 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9-1 e 10 os

procedimentos utilizados pelos alunos têm por base as técnicas operatórias

representadas no cálculo escrito. Podemos identificar, por exemplo, que na

situação 1-a João utiliza o algoritmo convencional, caracterizado pela

disposição vertical, situação em que se utiliza a operação de multiplicação.

Ainda com relação ao cálculo escrito, Pedro é quem traz o procedimento

convencional na situação-problema 9-2; 9-3 e 9-4: a técnica “regra de três” que

está presente na proporcionalidade adquirida na aprendizagem escolar.

142

Outro aspecto que podemos citar está localizado na situação-problema 2-d,

em que os dois alunos trabalham com os múltiplos de 10. Nessa mesma situação,

no item “e”, destacamos que os resultados estão iguais e corretos, mas as

representações escritas por Pedro têm a sua preferência pelos valores numéricos

e João apresenta sua justificativa de resposta, descrevendo o seu pensamento.

Destacamos que, sendo as atividades selecionadas situações-problemas,

Pedro e João apresentaram: suas habilidades de leitura e interpretação de

textos; habilidades de leitura e interpretação de dados expressos nas

tabelas (evidenciadas nas situações 2, 4, 5, 7 e 8); argumentação de suas

ideias que surgiram em nossos diálogos quando realizamos as entrevistas e

estabelece relação entre grandezas (surgem nas situações 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9

e 10) outra característica de proporcionalidade.

Nas situações-problema 4, 7, 9 e 10, por exemplo, destacamos um bom

desempenho, pois em seus protocolos estão valores numéricos vinculados à

“tabuada”, caracterizando um processo memorístico.

Quanto às situações-problema relativas ao cálculo escrito, que não

possuem desempenho satisfatório, nossas observações centram-se nas técnicas

operatórias da divisão situadas no campo dos números racionais. Na situação-

problema 8 (6,58 : 0,14) João tem falhas nessa técnica operatória. Observamos,

também, que Pedro tem um bloqueio em utilizar a técnica de divisão e declarou,

em nossas conversas, que ao fazer uso da divisão em anos anteriores, errava os

cálculos, por isso, preferiu buscar alternativas e estratégias que algumas vezes

não permeiam o caminho da divisão. Segundo os Parâmetros Curriculares

Nacionais (1998) é importante que os alunos compreendam as regularidades das

multiplicações de números racionais na forma decimal por 10, 100, 1000,...

Notamos que, Pedro e João não têm esse domínio de conhecimento, o que causa

uma dificuldade para desenvolver o procedimento de cálculo envolvendo, por

exemplo, números citados acima, na situação 8.

Sendo assim, compartilhamos com Ausubel e seus colaboradores (1980),

ao descrever sobre Consolidação, que um material novo na sequência, nunca

deveria ser introduzido até que todas as etapas prévias tivessem sido

completamente dominadas. João apresenta mais uma dificuldade notada nas

143

situações 6 e 9-4 situada no campo de Grandezas e Medidas. João não tem o

conceito que envolve as áreas: uma geométrica (aplicação da unidade no

comprimento a ser medido) e outra aritmética (contagem de quantas unidades

couberam) além da compreensão de velocidade. Ele não entende este conceito

que relaciona tempo, espaço e velocidade. Segundo Nunes e Bryant (1997),

estudos indicam que as crianças possuem dificuldade quando aparecem

quantidades intensivas (quando quantidades se referem às relações em vez de à

quantidade real) tanto em tarefas de comparação como de adição.

Os dados mostraram dificuldades em evidenciar seus conhecimentos

também ocorridos na situação-problema 2, que está representado no protocolo de

Pedro, por exemplo, 1 muda = R$ 1,50 a sua análise está correta mas a forma de

registro está errada. Notamos também que Pedro, na situação-problema 5-c faz

outro registro indevido relacionado a horas (2,30 + 2,30 + 2,30 = 7,50). A

representação correta deverá ser 0,5 da hora e não 0, 30, pois, 0,5 da hora = 30

minutos.

Ao identificar falhas na resolução 10-2b de Pedro tivemos a certeza de que

a comunicação entre professor-aluno é muito importante. Em especial, nessa

última atividade, ficou claro que saber ouvir tem que permear o ambiente do

saber. Relatamos esse ponto, pois assim que Pedro, João e a pesquisadora

começaram a discutir sobre esta questão, Pedro logo se manifestou identificando

o seu erro na solução da situação abordada.

Outra observação está relacionada com o cálculo mental. Pedro é o nosso

aluno que mais utiliza este procedimento, por exemplo, na situação-problema 4,

não aparecem os registros escritos somente os resultados. Também nesta

atividade, destacamos o uso de parcelas iguais (8,50 + 8,50) no item 4-g e na

situação-problema 5-c. Paulo também se utiliza do cálculo mental, evidenciado na

situação-problema 7-2. E em seus registros ele menciona: “Na cabeça eu fiz as

contas...”.

Outra evidencia observada nos protocolos das situações 8 e 10 tanto de

Paulo como o de Pedro mostra o cálculo exato.

144

Que atitudes os estudantes revelam nas resoluções de situações-problema

mobilizando conhecimentos prévios?

Uma das atitudes que notamos foi a curiosidade revelada por João, em

uma das situações em que aparecia o conceito sobre velocidade. Esta ideia foi

questionada por ele; a atitude com respeito à Matemática fica demonstrada nas

entrevistas, os estudantes sentem-se motivados para estudar Matemática, não

apenas como uma disciplina, mas a Matemática lhes oferecerá oportunidades no

campo profissional e pessoal; a atitude com relação à aprendizagem

Matemática, neste caso, verificou que esses alunos buscam “compreender”,

nota-se essa atitude na busca em resolver as situações-problemas; atitude de

perseverança, Pedro e João não deixaram nenhuma questão em branco; atitude

de cooperação, os alunos não faltaram a nenhuma reunião; atitude de

participação, os estudantes estavam sempre prontos para expor os seus

pensamentos, pois sabiam da relevância de nossa pesquisa cujo objetivo era

investigar os pensamentos dos estudantes.

Segundo Pozo e Crespo (2009, p. 36), auxiliando-nos sobre a atitude de

curiosidade colocam que:

[...] essa atitude de indagação e curiosidade já existe nas

crianças, de fato, desde que elas são muito pequenas e, portanto,

tudo o que é preciso fazer é mantê-la viva e enriquecê-la com o

ensino de métodos adequados de aproximação à realidade.

Finalizando este trabalho, ressaltamos que esta investigação nos fez

adquirir compreensões relacionadas a vários conhecimentos, possibilitando-nos

um desenvolvimento profissional, além de colocar reflexões para que esta

pesquisa não se encerre aqui. Gostaríamos que os trabalhos de pesquisa

tivessem um campo maior de divulgação e que chegassem aos ambientes

escolares. Quem sabe os professores pudessem fazer uma leitura desses

trabalhos e, assim, ter mais subsídios que possam direcionar uma aprendizagem

com resultados significativos.

145

REFERÊNCIAS

ANDRÉ, M. E. D. A. Estudo de caso em Pesquisa e Avaliação Educacional.

Brasília: Liber Livro Editora. 3ª ed., 2008. 68p. (Série Pesquisa; v. 13).

_____________. Estudo de caso: seu Potencial em educação. Caderno, de

Pesquisa, n. 49, p. 51-54, maio 1984. Disponível em:

http://educa.fcc.org.br/pdf/cp/n49/n49a06.pdf. Acesso em: 14 Maio 2012.

AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D.; HANESIAN, H. Psicologia Educacional. Rio de

Janeiro, Ed. Interamericano, 1980.

BODGAN, R. C.; BIKLEN, S. K. Investigação Qualitativa em Educação: uma

Introdução à Teoria e aos Métodos. Tradutores: Maria João Alvarez, Sara Bahia

dos Santos e Telmo Mourinho Baptista. Portugal: Porto Editora Ltda, 1994, 335p.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais. Matemática: Ensino de quinta a oitava série. Brasília: MEC/SEF,

1998.

_____________. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros

Curriculares Nacionais. Matemática: Ensino de primeira à quarta série. Brasília:

MEC/SEF. 1997. Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 10 out. 2012.

_____________. Ministério da Educação. Lei de Diretrizes e Bases. Lei nº 9394,

de 20 de dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da Educação

Nacional Brasileira. Brasília, DF, 1996.

146

_____________. Ministério da Educação. PCN+: Ensino Médio. Orientações

Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais.

2002. Disponível em:

http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf. Acesso em: 01

maio 2011.

COLL, C. et al. Os Conteúdos na Reforma: Ensino e Aprendizagem de

Conceitos, Procedimentos e Atitudes. Tradução de Beatriz Affonso Neves. Porto

Alegre: Editora Artes Médicas, 2000. 182p.

COLL, C. Aprendizagem Escolar e Construção do Conhecimento. Tradução:

Emília de Oliveira Dihel. Porto Alegre: Editora Artes Médicas Sul Lada, 1994.

159p.

LUDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: abordagens

qualitativas. São Paulo: EPU, 2005. xii, 99p.

MAURI, T. O que faz com que o aluno e a aluna aprendam os conteúdos

escolares? Construtivismo na sala de aula. Tradução: Claudia Sclilling. São

Paulo: Editora Ática, 1996. p. 79-121.

MIRANDA, M. R. Pensamento proporcional: uma metanálise qualitativa de

dissertações. 2009. 132f. Dissertação (Mestrado Profissional em Educação

Matemática). Pontifícia Universidade Católica, São Paulo, 2009. Disponível em:

http://www.sapientia.pucsp.br./tde_busca/arquivo.php?codArquivo=10194. Acesso

em: 05 jan. 2012.

NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Tradução: Sandra

Costa. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997. 244p.

PAULA, M. B. Proporcionalidade: Uma Análise do Caderno do Professor – da

proposta implementada pela Secretária de Educação do Estado de São Paulo no

ano de 2008. 2009. 123f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de

Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009.

Disponível em: http://www.sapientia.pucsp.br/tde_busca/arquivo.php?CodArquivo =10693.

Acesso em: 10 fev. 2012.

147

PIRES, C. M. C. Currículos de Matemática: da Organização Linear à Ideia de

Rede. São Paulo: Editora FTD S.A, 2000. 223p.

POZO, J. I. Aprendizes e Mestres: a nova cultura da aprendizagem. Tradução de

Ernani Rosa. Porto Alegre: Editora Artmed, 2002. 296p.

POZO, J. I.; CRESPO, M. A. G. A aprendizagem e o ensino de ciências: do

conhecimento cotidiano ao conhecimento científico. Tradução: Naila Freitas. Porto

Alegre: Artmed, 2009. 296p.

PROJETO IMLNA. Universidade de Lisboa. O desenvolvimento do Conceito de

proporcionalidade Directa pela exploração de regularidades. Tarefas para o

1º e 2º ciclos do Ensino Básico. Materiais de Apoio ao Professor. Autores: João

Pedro da Ponte; Ana I. Silvestre; Cristina Garcia; Sara Costa. Set. 2010.

Disponível em: http://www.apm.pt/files/_Marteriais_Proporcionalidade_(IMLNA)_

4cfc0dcb29b46.pdf. Acesso em: 07 set. 2011.

RIBEIRO, M. R. P. C. Possibilidades e dificuldades no desenvolvimento de

situações de aprendizagem envolvendo funções trigonométricas. 2011. 119f.

Dissertação (Mestrado em Educação matemática). Pontifícia Universidade

Católica São Paulo, São Paulo, 2011. Disponível em:

http://www.sapientia.pucsp.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=13554. Acesso

em: 01 jul. 2012.

SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e

Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas: 7ª série. Versão preliminar.

São Paulo: SE/CENP, 1997. 375p.

_____________. Caderno do professor: ensino fundamental - 6ª série, 3º

bimestre/São Paulo: SEE, 2008. 54p. Proposta Curricular do Estado de São

Paulo: Matemática/ (Ensino Fundamental e Médio). Coord. Fini, M.I.II. São Paulo:

SEE, 2008.

_____________. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas

tecnologias/Secretaria da Educação; coordenação de área, Nilson José Machado.

– São Paulo: SEE, 2010.

148

SÃO PAULO (MUNICÍPIO). Secretaria da Educação. Caderno de apoio e

Aprendizagem: Secretária Municipal do Estado de São Paulo; Matemática, 8º

ano. Fundação Padre Anchieta, 2010.

SOLÉ, I. ; COLL, C. Os professores e a concepção construtivista.

Construtivismo na Sala de Aula. Tradução de Claudia Sclilling. São Paulo. Editora

Ática, 1996. P. 10-29.

TEIXEIRA, F. M.; SOBRAL, A. C. B. Como novos conhecimentos podem ser

construídos a partir dos conhecimentos prévios: um estudo de caso. Ciência &

Educação. Bauru, v. 16, n. 3, p. 667-677, dez. 2010.

ZABALA, A. Os enfoques didáticos. Construtivismo na Sala de Aula. Tradução

de Claudia Sclilling. São Paulo: Editora Ática, 1996. p. 153-195.

149

ANEXOS

Anexo A - Instrumento de coleta de dados

Situação 1 - Fazendo cálculos para uma excursão.

Algumas turmas do sétimo ano de uma escola decidiram fazer uma

excursão ao Horto. As primeiras providências foram marcar as datas, ver preço de

ingresso, ver o preço dos ônibus para levar os alunos da escola ao Horto e trazê-

los de volta.

Os alunos que irão à excursão são de duas turmas. Observe a tabela com

o número de alunos de cada turma;

150

Para entrar no Horto cada estudante deve pagar R$ 5,00.

O aluguel de um ônibus para 36 passageiros custa R$ 360,00

Cada turma vai alugar 1 ônibus.

Agora, responda às perguntas.

a) Quanto será o gasto com ingressos da turma da Professora Regina?

b) Quanto cada aluno da Professora Regina terá que pagar para o aluguel

do ônibus?

c) Cada um dos alunos da Professora Tereza vai gastar mais ou menos

que os da Professora Regina para alugar o ônibus? Por quê?

Situação 2 - Fazendo cálculos para o plantio de árvores

No Horto, as crianças ficaram sabendo que num bairro da cidade de São

Paulo a população organizou um movimento para plantar árvores nas ruas.

Fizeram uma campanha para arrecadar dinheiro e compraram as mudas. Veja a

tabela de preços das mudas vendidas no horto.

Número de mudas Preço (em R$)

1 1,50

2 3,00

6 9,00

10 15,00

151

Responda às questões de acordo com a tabela:

a) Qual o preço de cada muda de árvores?

b) E de 6 mudas?

c) Quanto deve pagar quem comprar 12 mudas?

d) Quantas mudas podem ser compradas com R$ 150,00?

e) Quantas mudas podem ser compradas com R$ 6,00?

Situação 3 - Fazendo cálculos na barraca de frutas

Na saída do Horto havia uma lanchonete e uma barraca de frutas. Na

barraca de frutas, estavam afixadas as placas:

Goiabas

COMPRE 3

Por R$ 0,75

Goiabas

COMPRE 6

Por R$ 1,20

O que você nota no preço de seis goiabas, comparando-o com o preço de

três? O que é mais vantajoso comprar? Por quê?

Situação 4 - Fazendo cálculos na lanchonete

Alguns alunos foram à lanchonete. Um grupo sentou-se a uma mesa e

pediu a tabela de preços.

152

Lanchonete do Horto

Sanduíches Preço

De queijo R$ 8,00

De atum R$ 7,00

Misto R$ 10,00

Bebidas Preço

Suco de frutas R$ 7,00

Refrigerante em latas R$ 4,00

Água R$ 1,50

Eles pediram: 2 sanduíches de queijo, 3 sanduíches de atum e 4

sanduíches mistos. Pediram também 3 águas, 3 sucos de fruta e 3 refrigerantes.

a) Quanto pagou pelos sanduíches de queijo?

b) E pelos sanduíches mistos?

c) E pelos sanduíches de atum?

d) Quanto pagou pelos sucos de frutas?

e) E pelos refrigerantes?

f) E pelas águas?

g) André pediu um sanduíche misto e um suco de frutas. Ele gastou o

dobro do que gastou Camila. O que Camila deve ter pedido?

Situação 5 - Fazendo cálculos para o ciclista

Na volta da excursão, os alunos foram para tomar um lanche, numa

lanchonete que fica bem na saída do Horto. Lá, eles encontraram com um atleta

de ciclismo que estava treinando nessa estrada para uma competição, saindo do

Marco Zero. Ele foi explicando:

153

Nas ruas e estradas paulistas, as placas indicativas

da quilometragem marcam a distância do Marco Zero,

que fica na Praça da Sé, no centro de São Paulo até

esse local.

Se estivermos, por exemplo, no Km 60 da rodovia

Bandeirantes, que liga São Paulo a Campinas, isso

da significa que estamos a 60 km da Praça da Sé.

Agora leia com atenção.

O atleta contou que ao iniciar o treino, acionou o cronômetro e, durante o

trajeto, marcou o tempo gasto para cumprir determinados trechos da estrada.

Veja a tabela e resolva as questões:

Tempo (em horas)

0 Meia hora

1 hora 2 horas 2h e meia

5 horas

Distância (em Km)

0 6 12 24 30 60

Se o ciclista mantiver o mesmo ritmo de corrida (quer dizer, a mesma

velocidade) e as condições da estrada também permanecerem boas:

a) Quanto tempo levará para passar pelo marco 30 km?

b) Quanto tempo levará para passar pelo marco 60 km?

c) E para chegar ao marco que fica a 90 km de São Paulo?

d) Qual será a posição desse ciclista 1 hora e 30 minutos após sua partida?

e) E depois de 3 horas?

Situação 6 - Fazendo cálculos da velocidade do ônibus

Depois de ter conversado muito com o ciclista Paulo, que é muito curioso,

fez várias perguntas ao motorista do ônibus.

154

Quantos quilômetros há da escola ao horto?

Deve dar uns 70 km

Quantos tempos vão levar até lá?

Depende. Mas acho que em torno de uma hora.

a) Por que o motorista respondeu que “depende”?

b) Se ele levar 1 hora como previu, qual a velocidade média do ônibus

durante o percurso?

c) O que aconteceria se o motorista fizesse o percurso a 80 km por hora?

Aumentaria ou diminuiria o tempo?

d) E se por causa do trânsito ele desenvolvesse uma velocidade média de

50 km por hora. Aumentaria ou diminuiria o tempo?


No dia seguinte ao do passeio no Horto, na turma da Professora Regina

foram propostas as seguintes tarefas na aula de Matemática.

1) Na tabela abaixo, foram anotadas as quantidades vendidas e o valor

recebido pela venda de um mesmo produto. Mas alguns valores não

foram registrados. Preencha a tabela sabendo que o valor unitário do

produto se mantém independente da quantidade vendida.

Quantidade vendida Valor recebido

(em reais)

10 30

15

1 3

7

42

140

155

2) Se um pintor demora, em média, 2 horas para pintar uma parede de 10

m2, qual o tempo gasto nas outras situações apresentadas na tabela?

Número de pintores 1 1 2 2

Nº de paredes de 10 m2 1 2 1 2

Tempo gasto (horas) 2 ? ? ?


Na turma da Professora Tereza foram propostas as seguintes tarefas na

aula de Matemática.

1) Seu Aquiles é dono da padaria da esquina. Ele faz a seguinte tabela

para indicar o preço a ser pago pela compra dos pãezinhos

Nº de

pães 1 2 3 5 7 10 15 20 25 40

Preço

(R$) 0,14 0,28 0,42 0,70 0,98 1,40 2,10 2,80 3,5 5,6

a) Qual o preço de 4 pãezinhos? E de 39?

b) Quantos pães são possíveis comprar com R$ 6,58? E com R$ 4,14?

156


Na turma da Professora Célia, foram propostas as seguintes tarefas:

1) Os cofres de Tiago e Miguel estavam vazios. Tiago começou hoje a

colocar 3 reais, diariamente e Miguel, 5 reais. Quando Tiago tiver 21

reais, quantos reais terá o Miguel?

2) Joana usou exatamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras.

Quantas cadeiras podem ser pintadas com 20 latas de tinta?

3) Dois bilhetes de ônibus intermunicipais custam 16 reais. Quanto custam

6 bilhetes? E 7?

4) Quinze alunos pintaram 35m2 da parede do ginásio da escola. Sabendo

que cada aluno pinta a mesma área, quantos metros quadrados de

parede serão pintados no mesmo tempo por uma turma de 27 alunos?

Situação 10 - Fazendo cálculos com Alice

1. Alice fez 36 salgados. Ela está em dúvida quanto às embalagens que vai

usar para guardá-los. Se escolher embalagens em que cabem 2

salgados, de quantas ela vai precisar? E se usar embalagens de três?

Para responder, preencha a tabela:

Número de salgados por embalagem

2 3 4 6 9 12

Número de embalagens necessárias

157

2. Alice fez um bolo para oito pessoas, e sua receita usava três xícaras (de

chá) de açúcar e seis ovos.

a) Se ela quiser fazer esse bolo para quatro pessoas, quantas xícaras

de açúcar e quantos ovos ela usará?

b) E se fizer para doze pessoas?

158

Anexo B - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

Senhores responsáveis pelo aluno (a) _________________________________________

Seu (Sua) filho (a) está sendo convidado (a) a participar da pesquisa

Conhecimentos prévios de um grupo estudantes do Ensino Fundamental relacionados

com noção de proporcionalidade que está sendo realizada pela mestranda Regina Lucia

da Silva, do curso de mestrado profissional em Educação Matemática da Pontifícia

Universidade Católica de São Paulo.

A finalidade deste estudo é contribuir com as pesquisas em Educação

Matemática, auxiliando os professores de Matemática na identificação de conhecimentos

prévios dos alunos, considerando a história de conhecimento já percorrida por eles.

Participarão deste estudo a mestranda citada, sua orientadora Professora Doutora

Célia Maria Carolino e mais cinco alunos da escola na qual serão realizadas as

pesquisas. Serão efetuadas filmagens e gravações durante a execução das atividades

selecionadas para abordagem destes estudos.

Esses encontros ocorrerão em uma sala de aula da E. E. ___________________,

às quintas-feiras, no período das 11h30min às 12h45min. Serão realizados no mínimo

dez encontros. As filmagens e gravações destes encontros ficarão sob a custódia da

mestranda e estarão disponíveis para consulta dos participantes da pesquisa (os alunos

envolvidos), dos seus responsáveis e dos interessados no estudo, ou seja, orientador e

professores doutores da banca examinadora.

A participação de seu (sua) filho (a) no estudo é voluntária. Ele (a) pode escolher

não fazer parte do estudo, ou pode desistir a qualquer momento. Em caso de dúvida

poderá entrar em contato com a pesquisadora pelo telefone _______________ ou ainda

pelo e-mail ______________.

Declaro que li e entendi este formulário de consentimento e todas as minhas

dúvidas foram esclarecidas e que sou voluntária a tomar parte neste estudo.

Desde já agradeço a sua colaboração para a realização este trabalho.

Assinatura do (a) voluntário (a) e data:_________________________________________

Assinatura da pesquisadora e data:___________________________________________

RG: ________________________ CPF: ________________________________

Assinatura do responsável pelo (a) voluntário (a) e data: __________________________

RG: ________________________ CPF: ________________________________

conhecimentos prévios revelados por estudantes de sexto e ... lucia da... · joÃo e pedro: suas...

Documents