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Matemática

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MINISTERIO DA EDUCAÇAO

Autores.: Danilo; Rubens; Tayná; Wellington; Werveson; Wilson

Araguatins-ToFevereiro de 2012

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO TOCANTINS – CAMPUS ARAGUATINS DISCIPLINA: Matemática PROFESSOR: Claudio Galvão

Matemática

Trabalho desenvolvido em grupo, apresentado Ao IFTO campus Araguatins, na disciplina “Matemática” Ministrada pelo professor “Claudio Galvão”Como parte integrante da nota parcial do 4º bimestre.

Araguatins-ToFevereiro de 2012

Matemática

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Apresentação

Trabalho apresentado ao curso de graduação em técnico em agropecuária integrado ao ensino médio do “Instituto Federal de Educação Ciências e Tecnologia do Tocantins Campus Araguatins”, com o requisito para a obtenção de grau de conhecimento necessário para subir na hierarquia social.

Araguatins-ToFevereiro de 2012

Dedicatória

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Dedicamos este trabalho primeiramente a DEUS, poissem ele, nada seria possível e não estaríamos aquireunidos, desfrutando, juntos destes momentos quenos, são de suma importância.Aos nossos pais, pelo esforço, dedicação e compreensão,Em todos os momentos desta e de outras caminhadas.

Araguatins-To

Fevereiro de 2012

Agradecimentos

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Á Deus, pois o que seria de nós sem a fé que temos nele. Aos nossos pais, irmãos, e a todas as nossas famílias que, com muito carinho e apoio, não mediram esforços para que nós chegássemos até essa etapa de nossas vidas.

Ao professor “Claudio Glavão” pela paciência na orientação e incentivo que tornou possível a conclusão deste trabalho. A todos os professores do IFTO-CAMPUS ARAGUATINS, que foram e são tão importantes nas nossas vidas acadêmicas e no desenvolvimento deste trabalho e a todos os amigos e colegas, pelo incentivo e pelo apoio constante.

Araguatins-To

Fevereiro de 2012

Epígrafe

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“O futuro pertence àqueles que acreditam na beleza de seus sonhos.”

( Elleanor Roosevelt )

Araguatins-To

Fevereiro de 2012

ConteúdoCone.............................................................................................................................................8

O conceito de cone...................................................................................................................8

Elementos do cone...................................................................................................................8

Classificação do cone................................................................................................................9

Observações sobre um cone circular reto............................................................................9

Cones Equiláteros...............................................................................................................10

Fórmulas.................................................................................................................................11

Tronco de cone...........................................................................................................................12

Fórmulas do tronco do cone:.................................................................................................12

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Setor circular..........................................................................................................................12

Fórmulas:...............................................................................................................................12

Tronco de cone de bases paralelas.........................................................................................13

Seção meridiana e cone equilátero........................................................................................19

Cone circular..........................................................................................................................19

Elementos :............................................................................................................................19

Cone circular reto...................................................................................................................20

Cone equilátero......................................................................................................................20

Seção meridiana do cone circular reto...................................................................................22

Atividades...............................................................................................................................23

Referências.................................................................................................................................26

Cone

O conceito de coneConsidere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

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Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Elementos do coneEm um cone, podem ser identificados vários elementos:

1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.

2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.

6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.

7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do coneAo observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

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Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A área lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

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A(lateral) =π.r.g

A área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = π.r.g + π.r² = π.r.(g+r)

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:

A(base) = π r²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:

h = r

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) π r3

Como a área lateral pode ser obtida por:

A(lateral) = π.r.g = π.r.2r = 2. π r²

então a área total será dada por:

A(total) = 3 π r²

FórmulasO volume, V, de um cone de altura, h, e base com raio, r, é 1/3 do volume do cilindro com as

mesmas dimensões, ou seja, . O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo, a 1/4 da distância da base ao eixo.

A área da superfície de um cone A é dada por A = πr(r + s), onde seria a altura lateral do cone. O primeiro termo na área da fórmula, πr2, é a área da base; enquanto que o segundo termo, πrs, é a área da superfície inclinada.

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Desenvolvendo, então, a área total é a área lateral mais a área da base:

.

Para triângulos equiláteros

A área da base do cone é:

A(base) = πr2

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)2 = h2 + r2, logo h2 = 4r2 − r2 = 3r2, assim:

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

Como a área lateral pode ser obtida por:

então a área total será dada por:

A(total) = 3πr2

Tronco de cone

Fórmulas do tronco do cone:Al = pk (r + R)

At = Al + b + B

V = kp (R2 + Rr + r2)

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Setor circular

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R: raio

l: comprimento do arco

a: medida do ângulo central

Fórmulas:Comprimento do arco da circunferência

L = aRp ®a em graus

180o

L = aR ®a em radianos

Asetor = l . R

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Descrições:

SL - Área lateral do tronco de cone

V - Volume do tronco de cone

R - Raio da base maior

r - Raio da base menor

h - Altura do tronco de cone

L - Comprimento do lado do tronco de cone

Tronco de cone de bases paralelas Um tronco de cone com bases paralelas é um cone circular reto por um plano paralelo a base, que gera assim um novo tronco.

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Figura representativa do cone com bases paralelas:

1) (r)= representa o raio da base menor.

2) (R)= representa o raio da base maior.

3) (h)= representa a altura do tronco de cone.

4) (g) = representa a geratriz do tronco do cone.

5-) A secção meridiana do tronco de um cone é o trapézio (que tem dois lados iguais) de bases 2r e 2R e altura h.

6-) O triangulo retângulo hachurado possui como catetos (h e R – r) e como hipotenusa (g). Assim:

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7) base menor:

8) base maior:

9) superfície lateral:

10) superfície total:

11) volume:

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Área da Base

Área Lateral

Área Total

Volume

A área total de um cone é a soma da área lateral

com a área da base.

O volume do cone é igual a um terço do produto da área

da base pela altura do cone.

Considera um cone e um cilindro com bases e alturas iguais. Qual é a relação entre os seus volumes?

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Cone

Cilindro

A razão entre os volumes destes dois sólidos é de um para três.

Planificação de um Cone

Área da base

Para calcularmos a área de base de um cone circular reto de raio R, temos:

Área lateral: Al

A superfície lateral de um cone é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e é indicada por Al.

A superfície lateral de um cone circular reto, de geratriz g e raio da base r, planificada, é um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é 2r (perímetro da base).

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O raio do setor é g, e o comprimento do arco do setor é 2r.

Assim, podemos estabelecer a regra de três:

Comprimento do arco área do setor

Área total: At

A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A área dessa superfície é chamada área total e é indicada por At.

At = Al + Ab

Substituindo-se Al = r g e Ab = r2, vem:

Volume: V

O volume de um cone é obtido da mesma forma que se obtém o volume da pirâmide:

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Seção meridiana e cone equiláteroSeção meridiana de um cone reto é a interseção dele com um plano que contém o eixo.

A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.

Cone equilátero é um cone cuja seção meridiana é um triângulo equilátero.

Para obtenção da área lateral, área total e volume de um cone equilátero, procedendo às adaptações e substituições, deduzimos:

Cone circular

Elementos :a) Vértice = ponto V.

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b) Base do cone = círculo y.

c) Altura = distancia (h).

d) Raio da base = círculo y.

e) Geratriz = ponto V somado a base.

Cone circular retoO cone circular é considerado reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o ponto central da base. Ele pode ser chamado de também de cone de revolução, por ser formado pela rotação de um triangulo retângulo em volta de um de seus catetos.

Altura do cone = representado por VO=h.

Raio da base = representado por OB= R.

Geratriz = representado por VB=g.

O triângulo VOB se torna retângulo em O.

Cone equiláteroCone equilátero é um cone circular reto, do qual a secção meridiana é um triângulo que denominamos cone equilátero. Observe:

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Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado num plano, e um ponto V fora dele. Chama-se cone circular, ou cone, a reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra em um ponto do círculo.

a) o ponto V é o vértice do cone;

b) o círculo de raio r é a base do cone;

c) os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base são as geratrizes do cone;

d) a distância do vértice ao plano da base é a altura do cone.

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Seção meridiana do cone circular retoSeção meridiana de um cone cilindro circular reto é um triângulo que tem dois lados iguais com um plano que inclua o eixo.

Consideremos que a medida do raio da base seja (R), a altura de um cone circular reto (h), a área de secção meridiana Asm será representada por:

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Atividades

Notação: Usaremos a notação R[3] para representar a raiz quadrada de 3.

1. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

Como sen(60o)=h/20, então

(1/2) R[3] = h/20

h = 10 R[3] cm

Como V = (1/3)×(A(base).h, então:

V = (1/3)π .r²h

V = (1/3) π.10².10 R[3]

V = (1/3) 1000.R[3]. π cm³

Se r=10cm; g=20cm e A(lateral)= π.r.g, escreveremos:

A(lateral) = π.r.g = π.10.20 = 200. π cm²

A(total) = A(lateral) + A(base)

= π.r.g + π i.r² = π.r.(r+g)

= π.10.(10+20) = 300 π cm²

2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um cone. Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:

R[3]/2 = r/2

r = 3 cm

Substituindo os valores de g e de r, na relação g²=h²+r², obtemos

h = 1cm

V = (1/3).A(base).h = (1/3) π.r²h

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= (1/3). π.3 = π cm³

3. Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 π m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4. Como a área da base é dada por A(base)= π.r²= π.c², temos que

V = 16 π = (1/3) π c² b

c = 12 m

4. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

Se

h(prisma) = 12

A(base do prisma) = A(base do cone) = A

V(prisma) = 2×V(cone)

assim:

A×h(prisma) = 2(A h)/3

A 12 = (2/3)A h

h = 18 cm

5. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

V = V(cilindro) - V(cone)

= A(base).h - (1/3) A(base).h

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= π.r².h - (1/3). π.r².h

= (2/3) π.r².h cm³

1) O raio da base de um cone equilátero mede 5 cm. Calcular a medida g da geratriz e a medida h da altura

Resolução: Se o cone é equilátero temos:

g = 2R -> g = 2 . 5

g = 10 cm

g2 = h2 + r2 -> 100 = h2 + 25

h = 5 3 cm

Resposta: g = 10cm e h = 5 3 cm

2) Desenvolvendo no plano a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio 5cm e um ângulo central de 72º. Calcular a área lateral (Sl) a a área total (St) do cone.

Resolução: Sabendo–se que 72º= 2 π /5 rad, vem: l= 2 π R = a . g -> 2 π R = 2 π /5 . 5 -> R = 1cm

Cálculo da área lateral (Sl)

Sl = π rg -> Sl = π. 1 . 5 -> Sl = 5 π cm2

Cálculo da área da base (Sb)

Sb = π r2 -> Sb = π . 12 -> Sb = π cm2

Cálculo da área total(St)

St = Sl + Sb -> St = 5 π + π -> St = 6 π cm2

Resposta: A área lateral é 5 π cm2 e a área total é de 6 π cm2

3) Um tronco tem bases de raios 6cm e 4cm. Sabendo que a geratriz do tronco mede 5cm, calcular a área lateral e a área total do cone.

Resolução:

Cálculo da área lateral (Sl)

Sl = π G (r + R) -> Sl = π 5 (6 + 4) -> Sl = 50 π cm2

Cálculo da área total (St)

SB = π R2 -> SB = π p 62 -> SB = 36 π cm2

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Sb = π r2 -> Sb = p 42 -> Sb = 16 π cm2

St = SB + Sb + Sl -> St = 36 π + 16 π + 50 π -> St =102 π cm2

Resposta:

A área lateral é 50 π cm2 e a área total é 102 π cm2

4) Os raios de um tronco circular reto são 3 m e 2 m . Sabendo – se que a altura do tronco é 6m, calcular o volume do tronco.

Resolução

V = k π /3 (R2 + Rr + r2)

V = 6 π (32 + 3.2 + 22) -> V = 38 π m3

Resposta: V = 38π m3

Referências

http://www.mundovestibular.com.br/articles/4902/1/Cone-Tronco-de-Cone-e-Setor-Circular/Paacutegina1.html

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cone

http://www.webcalc.com.br/frame.asp?pag=http://www.webcalc.com.br/matematica/tronco_cone.html

http://www.colegioweb.com.br/matematica/tronco-de-cone-de-bases-paralelas-.html

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm24/cone.htm l

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http://www.colegioweb.com.br/matematica/volume.html

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cone/cone.html

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