1 Conceitos Básicos e Definições

1.1 Introdução

A expressão escoamento multifásico será utilizada neste texto para caracterizar qualquer

escoamento de fluido consistindo de mais de uma fase ou componente. Os escoamentos aqui

considerados possuem um nível de separação das fases ou componentes numa escala muito

superior àquela encontrada no nível molecular. Escoamentos multifásicos acontecem em toda

parte e a todo instante no ambiente natural como em chuvas, ciclones, tufões, poluição

atmosférica, poluição de rios e mares, sendo igualmente parte importante de inúmeros processos

industriais e biológicos como plantas de geração de energia convencional e nuclear, motores de

combustão interna, ebulição, condensação e evaporação de líquidos, sistemas de propulsão,

transporte e produção de óleo e gás, indústria química, indústria de alimentos, indústria de papel

e celulose, processos metalúrgicos, cavitação, processos de pinturas e impressoras de jatos de

tinta. Sistemas biológicos raramente contêm líquidos puros; fluidos como sangue e leite são

multifásicos, contendo uma variedade de células, partículas ou gotículas em suspensão. É comum

classificar esses escoamentos de acordo com o estado de cada fase ou componente, referindo-se

aos mesmos como escoamento gás-líquido, gás-sólido, líquido-sólido, líquido-líquido, em bolha,

em névoa, et cetera. Nesta introdução apresentamos algumas definições de termos e conceitos

freqüentemente encontrados nas análises de escoamentos multifásicos. Detalhes mais

aprofundados sobre esses tópicos podem ser obtidos na literatura sugerido na bibliografia.

Sistema Termodinâmico 1. O termo sistema é utilizado neste texto para designar um

certa quantidade de matéria, normalmente limitada por alguma superfície fechada. A superfície

pode ser real, como as paredes de um tanque contendo um gás, ou imaginária, como o contorno

de uma certa massa de fluido escoando no interior de um duto e acompanhada no seu

deslocamento. O volume contido pela superfície pode ser móvel ou deformável.

1 É comum em termodinâmica definir sistemas em algumas categorias. Um sistema isoladoé um que não troca massa nem energia com seu ambiente externo. Um sistema fechado pode trocarsomente energia, enquanto um sistema aberto troca qualquer um dos dois, massa e/ou energia. Nestetrabalho sistema é o que se define classicamente como sistema fechado.

1.1

Substância Pura. É uma substância consistindo de uma única espécie molecular, tal

como H2, He, O2 e H2O, com composição química invariável e homogênea. Uma substância pura

pode existir em mais de uma fase, todavia sua composição química é a mesma em todas as fases.

Vapor. É o estado de uma fase gasosa que se encontra em contato com a fase líquida,

ou prestes a se condensar.

Gás. É um vapor superaquecido, normalmente a baixas pressões, quando seu estado de

equilíbrio termodinâmico encontra-se distante do estado de saturação.

Gás Ideal. É assim definido quando suas moléculas não sofrem os efeitos de atração e

repulsão molecular, sendo modelado pela clássica equação de estado PV= RT.

Mistura e Componente. Mistura, Drew et al.2 , pode ser definido como um conjunto

de partículas ou substâncias que ocupam regiões do espaço simultaneamente. Exemplos de

mistura são ar (nitrogênio, oxigênio e outras substâncias) e poeira, uma mistura multi

componente de sólidos e ar. Certas misturas simples são denominadas soluções; nesses casos os

componentes não são fisicamente distintos, ou seja, a mistura dos materiais ocorre no nível

molecular. Escoamentos com esse tipo de mistura não serão objeto de análise neste texto.

Componentes são os diversos elementos que fazem parte da mistura. Note que estes podem ser

simples partículas sólidas, como detritos em suspensão no ar, ou espécies químicas diversas,

como num hidrocarboneto, composto por metano, etano, butano e outros elementos químicos.

Fase. Fase é um sistema, ou a parte de um sistema, composto de qualquer número de

constituintes químicos satisfazendo as seguintes condições: (i) ser homogêneo; (ii) possuir um

contorno bem definido, cf., Zemansky 3. Uma fase não precisa ser constituída por uma única

substância química, ou componente, podendo ser uma mistura de várias substâncias, tal como

uma mistura de gases, uma solução, ou uma solução de sólidos cristalizados. Gases podem ser

misturados em qualquer proporção; portanto, um sistema composto de gases distintos

(componentes) pode constituir uma única fase gasosa. Além disso, a fase gasosa pode ser

contínua ou dispersa. O escoamento gás/gotículas é um exemplo de fase contínua, enquanto

bolhas no escoamento líquido/bolhas é um exemplo de fase dispersa. O escoamento multifásico

refere-se ao escoamento de uma mistura de fases como gás (bolhas) em líquido, líquido (gotas)

em gás ou sólido (poeira) em gás, e assim sucessivamente. O escoamento bifásico é o mais

simples dos escoamentos multifásicos. Como acabamos de ver, componentes podem existir em

2 Drew, A.D., Passman, S.L., Theory of Multicomponent Fluids, Springer Verlag, Inc. Cap.5 e 6, 1999.

3 Zemansky, F. W., Heat and Thermodynamics, McGraw-Hill Co., 5a. Ed, 1968.

1.2

qualquer uma das fases, normalmente na líquida e na gasosa. Na indústria de petróleo é comum

tratar o escoamento de gás, óleo e água como trifásico onde componentes diversos (metano,

etano, butano etc) estão presentes nas três fases, ou seja, no gás, no óleo e na água.

Fase Dispersa e Fase Contínua. Fase dispersa é aquela constituída por elementos

discretos, tal como gotas em um gás, ou bolhas em um líquido. Os elementos discretos não são

interconectados. Por outro lado, a fase contínua é definida por elementos tal que a passagem de

um ponto para outro possa se dar sempre através do mesmo contínuo. Não podemos passar de

um elemento para outro numa fase dispersa sem passar pela fase contínua. No escoamento de

bolhas em um líquido, as bolhas constituem a fase dispersa, enquanto o líquido representa a fase

contínua.

Escoamento Separado. Num escoamento separado, as fases (normalmente duas) são

separadas por superfícies de contato, ou interfaces. Uma forma simples de ocorrência de

separação, ou estratificação, é no escoamento horizontal, onde os efeitos da gravidade induzem

os componentes mais pesados manterem-se separados na parte inferior de um duto. Por outro

lado, o escoamento anular é também separado (estratificado) por ser constituído por um filme

líquido na parede do duto e um núcleo gasoso na parte central.

Escoamento Gás-Líquido. Este tipo de escoamento ocorre em inúmeras situações como:

atomização para gerar gotículas para combustão em sistemas de geração de energia, formação

e impactação de sprays na indústria de processo, escoamento de água e vapor em dutos e

trocadores de calor em plantas de geração de energia por combustível fóssil e nuclear, produção

e transporte de hidrocarbonetos em dutos. O escoamento de gás-líquido em dutos pode assumir

diferentes configurações geométricas, desde o escoamento em bolhas dispersas, até o anular,

neste caso com a formação de um filme líquido na parede do duto e um núcleo central gasoso.

Escoamento Líquido-Sólido. Neste caso, partículas sólidas são transportadas pelo

líquido, sendo comumente referido como escoamento em pasta (slurry flow) 4. Ocorre em

importantes áreas de aplicação industrial, incluindo o transporte de carvão, minério e lamas em

dutos. É amplamente utilizado no processo de perfuração de poços de petróleo, como lamas e

transporte de cascalhos produzidos pela perfuração. O escoamento é também classificado como

escoamento em fase dispersa, despertando grande interesse de pesquisa nos últimos anos.

4 No setor de minério de ferro utiliza-se a expressão “polpa” de minério de ferro, ou iron oreslurry; em geral para concentrações entre 50 e 75% em peso. Para concentrações mais elevadas, 90%ou superiores, é empregado a expressão “pasta”.

1.3

Escoamento Gás-Sólido. São normalmente considerados como o transporte de

partículas sólidas muito finas por um gás. Nesta categoria destacam-se o transporte pneumático,

o escoamento em leitos fluidizados, a combustão de carvão em plantas de combustível fóssil,

ciclones separadores, precipitadores eletrostáticos e a exaustão de propelente sólido de foguetes.

Escoamento Líquido-Líquido. Esta situação ocorre freqüentemente quando líquidos

são não-miscíveis. São comuns em reservatórios de petróleo quando água e óleo estão presentes

na matriz porosa (rocha). Ocorrem também quando esses escoam no poço e nas linhas de

produção de petróleo. Quando não formam uma emulsão os dois líquidos podem caracterizar um

mistura homogênea, ou não. Em certas circunstâncias o escoamento é estratificado, segregado

pelo efeito da gravidade. Apesar da sua importância, este tipo de escoamento ainda é pouco

compreendido; em geral não é possível, por exemplo, definir a priori uma fase dispersa ou

contínua, exceto para o caso particular de emulsões.

Acabamos de ver que nos escoamentos multifásicos é usual identificar o escoamento em

duas topologias; ou seja, escoamentos dispersos e escoamentos separados. Enquanto o

escoamento disperso consiste de partículas finitas, gotas ou bolhas (fase dispersa), distribuídas

num volume conexo da fase contínua (elementos discretos não são interconectados), no

escoamento separado duas ou mais correntes contínuas de fluidos são separados por interfaces.

No escoamento separado, admite-se que as fases escoam lado-a-lado. Equações de conservação

são escritas para cada fase e a interação entre essas são consideradas.

Por outro lado, alguns escoamentos multi-componentes (em geral líquido-líquido)

consistem basicamente de uma única fase mas são denominados de multifásicos onde as fases

são identificadas como componentes contínuos, ou descontínuos.

Uma vez que as modelagens matemáticas utilizadas para descrever os escoamentos

multifásicos ou multicomponentes são as mesmas, não importa que definição utilizamos, por esse

motivo as duas expressões serão tratadas como sinônimos na maioria dos desenvolvimentos deste

texto.

1.1.1 Modelos de Escoamento Multifásico

Modelagem e previsão de comportamento constituem temas centrais nos estudos de escoamentos

multifásicos. Como no caso de escoamentos monofásicos, essas análises são normalmente

realizadas de três formas:(i) experimentalmente; (ii) teoricamente e (iii) por modelos

computacionais. Embora em muitos casos estudos de laboratórios possam ser realizados,

1.4

freqüentemente problemas de escala dificultam a generalização das observações para outras

escalas. Em certas situações, modelos de laboratório são impossíveis de serem construídos.

Associado à enorme capacidade dos computadores modernos, a compreensão dos

fenômenos físicos, a previsão de resultados de escoamentos multifásicos dependem cada vez

mais de modelos teóricos e computacionais, o que torna esses estudos um desafio fantástico para

os engenheiros e pesquisadores de hoje. Pode ser que num futuro distante (talvez não muito

distante) a solução das equações de Navier-Stokes venham ser resolvidas numericamente para

cada fase ou componente, para cada detalhe do escoamento multifásico. Por enquanto

simplificações são fundamentais nos estudos desses escoamentos.

Nos escoamentos dispersos dois tipos de modelos são amplamente utilizados: modelo

de trajetória e modelo de dois-fluidos. No modelo de trajetória, o movimento da fase dispersa

é considerado seguindo as partículas individualmente e integrando as equações de conservação

de forças e quantidade de movimento. Considerações de ordem térmica podem ser igualmente

incorporadas. No modelo de dois-fluidos a fase dispersa é tratada como uma segunda fase

contínua, interagindo com a fase contínua. Equações de conservação (de massa, quantidade de

movimento e energia) são escritas para os dois fluidos em movimento; isto inclui a modelagem

de termos para a troca de massa, quantidade de movimento e de energia entre os fluidos. As

equações são então resolvidas teoricamente ou numericamente. Portanto, o modelo de dois-

fluidos desconsidera efeitos devidos à natureza discreta da fase dispersa, aproximando esses

efeitos na fase contínua. Inerente à este procedimento está a obtenção de médias espaciais e

temporais para propriedades e parâmetros para a fase dispersa, o que envolve grandes

dificuldades no procedimento matemático.

Em contrapartida, escoamentos separados (estratificados) são mais simples de serem

abordados. Em teoria pode-se resolver as equações unifásicas do escoamento em duas correntes,

acoplando-as por condições cinemáticas e dinâmicas apropriadas na interface.

1.1.2 Nomenclatura

Dada as peculiaridades do escoamento multifásico, algum detalhamento da nomenclatura se faz

necessário para uma boa compreensão do texto. A notação utilizada neste texto é semelhante

àquela descrita por Wallis 5 e Brennen 6. Parâmetros do escoamento podem conter subscritos e

superscritos. Subscritos associados a uma propriedade consiste de um grupo de subscritos

5 Wallis, G.B., One-Dimensional Two-Phase Flow, McGraw-Hill, 1969.6 Brennen, C.E., Fundamentals of Multiphase Flow, Cambridge U. Press, 2005.

1.5

maiúsculos e minúsculos. Os subscritos minúsculos (i, j, ij etc) são utilizados na convenção

tradicional para representar elementos de vetores ou tensores. Um subscrito maiúsculo simples

(N) refere-se à propriedade de uma fase ou componente. Em certos contextos, subscritos

genéricos N= A, B são utilizados para generalidade. Por outro lado, em outras ocasiões, certas

letras específicas são empregadas para simples clareza, como: C= fase contínua, D= fase

dispersa, L= líquido, G= gás, V= vapor, S= sólido. Além disso, dois subscritos maiúsculos

juntos implica na diferença entre as propriedades associadas aos dois subscritos individuais; vg.,

öAB = öA - öB. Propriedades específicas são utilizadas conforme indicado a seguir.

Contínuo, Densidade e Fração de Volume

Ao analisar certos problemas de mecânica é desejável introduzir o conceito de contínuo, ou seja,

que a matéria possa ser considerada contínua, sem buracos ou espaços vazios. A hipótese de

contínuo permite definir propriedades em qualquer ponto, a despeito do fato da matéria ser

descontínua no nível molecular. Propriedades, variáveis e derivadas de variáveis são definidas

num volume Vo, suficientemente grande para conter um número de moléculas de tal forma que

todas as variáveis e suas derivadas possuam valores estacionários. Analiticamente isso implica

que a teoria do contínuo está associada à Análise (em matemática), em particular à teoria de

limites. Assim sendo, todas as propriedades são consideradas funções de ponto, tendo a

continuidade como base para o desenvolvimento matemático. Ou seja, elementos de um volume

diferencial devem ser suficientemente grandes para conter um número mínimo de moléculas que

garanta um comportamento molecular uniforme no espaço e no tempo. Portanto, para uma

pequena variação de volume, a média deve permanecer invariável. Por exemplo, um mole de gás

na condição padrão ocupa um volume aproximado de 22 litros e contém 1023 moléculas. Para

termos uma média estacionária necessitamos de algo como105 moléculas, que ocupa uma esfera

de 0,3 mícrons de diâmetro (d= 0,3×10-6 m). Este volume pode ser considerado um ponto se esta

dimensão for muito menor do que as dimensões do escoamento. Como veremos adiante, no caso

de escoamento multifásico este limite tende a ser muito superior a este valor. Isto é, no

escoamento multifásico, o volume mínimo que define um ponto no espaço é, freqüentemente,

algumas ordens de grandeza superior àquele requerido para o escoamento monofásico similar.

Para um contínuo a massa específica num ponto é definida como

(1.1.1)

1.6

onde äm é massa do volume äV. Ou seja, a massa específica no ponto P é definida como o limite

da média da massa específica à medida que o volume encolhe no ponto P. É admitido que tal

limite exista em cada ponto do sistema.

Para o escoamento disperso a massa específica (densidade) de um componente-N é

definida por

onde äVo é o volume que garante certa uniformidade, medido num intervalo de tempo äto.

Com a massa específica define-se o volume específico, inverso daquela, i.e.

Portanto, enquanto a unidade da massa específica é kg/m3, a do volume específico é m3/kg.

A fração de volume de uma fase-N é definida como

onde äVN é o volume da fase-N dentro do volume äV. A fração volumétrica da fase dispersa áD

é algumas vezes denominada fração de vazio (void fraction em inglês). Na indústria de petróleo,

nos escoamentos de óleo e gás, é comum denominar a fração volumétrica da fase líquida de

liquid holdup. Por definição, no escoamento bifásico gás-líquido, tem-se

Neste caso identificamos: void fraction= áG e liquid holdup= áL.

Outros Parâmetros

Vazão volumétrica e vazão de massa

Vazão volumétrica é representada pelo símbolo Q (m3/s). Fases individuais são representadas por

QA , QB , ... Assim a vazão volumétrica total Q é a soma das vazões das fases

(1.1.2)

(1.1.3)

(1.1.4)

(1.1.5)

(1.1.6)

1.7

Vazão de massa é definida por W= ñQ (kg/s), enquanto as vazões de massa individuais são

representadas por WA , WB , ... a vazão de massa total W é

Fluxo volumétrico (velocidade superficial) e fluxo de massa

Fluxos volumétricos (por unidade de área) são indicados por jA, jB , . . . (m3/m2-s). Este parâmetro

é também conhecido como velocidade superficial da fase (m/s). Portanto, o fluxo volumétrico

total j (j é a velocidade média) é (A representa a área da seção transversal)

Fluxos de massa (por unidade de área) são igualmente denominados por GA , GB , ou G (kg/m2-s).

Se as massas específicas das fases são ñA e ñB (kg/m3), então

Velocidade in situ

Velocidades in situ das fases são denominadas por uA, uB ou, em geral, uN (m/s). A velocidade

relativa entre duas fases A e B é denominada por uAB

Definido a fração volumétrica podemos associar a velocidade superficial (fluxo volumétrico por

unidade de área) com a velocidade in situ, ou seja

e

(1.1.7)

(1.1.8)

(1.1.9)

(1.1.10)

(1.1.11)

(1.1.12)

1.8

Título volumétrico, fração de massa e fração de fluxo de massa (título)

No contexto do escoamento unidimensional duas outras propriedades associadas às frações das

fases são importantes.

O título volumétrico (volumetric quality) yN é definido como a razão da velocidade superficial

da fase para o fluxo volumétrico total

onde o índice foi ignorado por estarmos tratando somente de escoamento unidimensional, onde

jN e j referem-se à quantidades médias na seção reta do duto.

Fração de massa ÷A de uma fase-A, ou componente-A, é definido como

Por outro lado o título (quality), ou fração de fluxo de massa xA de uma fase-A, é definido como

a razão do fluxo de massa da fase para o fluxo de massa total

Quando tratamos de escoamentos bifásicos torna-se redundante o uso de subscritos para as

frações volumétricas e para os títulos uma vez que áA= 1 - áB , yA= 1 - yB e xA= 1 - xB. Portanto,

nesses casos, podemos utilizar simplesmente os parâmetros sem os respectivos subscritos, ou

seja, á, y e x.

Velocidade e fluxo de deslizamento

Além das velocidades relativas entre as fases, são utilizadas duas outras medidas de movimento

relativo.

Velocidade de deslizamento (drift velocity) u*N, é a diferença entre a velocidade in situ e o fluxo

volumétrico total j (velocidade média)

(1.1.13)

(1.1.14)

(1.1.15)

(1.1.16)

1.9

Fluxo de deslizamento (drift flux) j*N, representa o fluxo volumétrico da fase relativo à superfície

deslocando-se com a velocidade volumétrica j

De novo, da condição especial para escoamento bifásico, de (1.1.17)

levando j= jA+jB em (1.1.18) e utilizando a definição jA= áAuA

ou seja, no escoamento bifásico, o fluxo de deslizamento da fase-A é igual ao fluxo de

deslizamento da fase-B com sinal trocado. Portanto, a soma dos fluxos volumétricos é nula. Esta

simetria é uma importante propriedade nas modelagens de escoamentos bifásicos. Substituindo

a definição de jA e jB, (1.1.11) em (1.1.19)

Portanto, o fluxo de deslizamento é proporcional à velocidade relativa.

Para facilitar a compreensão desses conceitos essas equações estão resumidas a seguir

para escoamento unidimensional monofásico, fases identificadas por A e B.

(1.1.17)

(1.1.18)

(1.1.19)

(1.1.20)

1.10

Nos escoamentos multifásicos certas propriedades de mistura são utilizadas nos modelos

matemáticos. Algumas dessas são mostradas aqui, como a massa específica de mistura ñm

De forma análoga, a entalpia específica hm e a entropia específica sm são definidas para unidades

de massa (ambas são associadas à massa, quantidade de matéria, da substância)

Outras propriedades, como viscosidade e condutividade térmica, não podem ser determinadas

por expressões tão simples. Veremos igualmente que a massa específica de mistura requer, em

certas circunstâncias, outras expressões mais complexas do que aquela sugerida por (1.1.22).

(1.1.21)

(1.1.22)

(1.1.23)

1.11

1.2 Acoplamento de Fases

Um conceito importante nos escoamentos multifásicos diz respeito ao acoplamento entre as

fases. Se o escoamento de uma fase afeta o da outra, sem que haja algum efeito reverso, o

escoamento é dito unidirecionalmente acoplado. Por outro lado, se existir um efeito mútuo entre

os escoamentos este é denominado bidirecionalmente acoplado. Introduzimos a seguir alguns

conceitos sobre acoplamento entre fases dispersa e contínua.

1.2.1 Tempos de Resposta

O tempo de resposta, ou tempo de relaxação, de uma partícula, gotícula ou bolha, para modificar

a velocidade ou a temperatura num escoamento é um parâmetro importante no processo de

caracterização do escoamento. Dois desses são os tempos de relaxação de quantidade de

movimento e de energia.

O tempo de resposta de quantidade de movimento de uma partícula, (doravante

representando tanto partículas sólidas quanto bolhas ou gotículas) refere-se ao tempo requerido

para a partícula responder a uma mudança na velocidade. Ignorando efeitos gravitacionais e de

flutuação, a equação de movimento para uma partícula esférica num fluido genérico é dada por

onde uC e uD são as velocidades da fase contínua e dispersa, respectivamente, dp o diâmetro da

partícula, ñC a massa específica da fase contínua e Cd o coeficiente de arraste partícula-fluido.

Aqui o subscrito C refere-se à fase contínua, enquanto D refere-se à fase dispersa. Definindo o

número de Reynolds da fase dispersa Rer (baseado na velocidade relativa entre as fases) como

a Eq.(1.2.1) pode ser escrita como

A razão do coeficiente de arraste Cd para o coeficiente de arraste de Stokes (24/Red),

Eq. (1.2.29), define o fator de arraste fd

(1.2.1)

(1.2.2)

(1.2.3)

1.12

O primeiro fator de (1.2.3) tem dimensão inversa de tempo e define o tempo de resposta de

quantidade de movimento ôm

e a Eq. (1.2.3) torna-se

Para a condição limite de baixo número de Reynolds (escoamento de Stokes), o fator de arraste

fd é aproximadamente igual a 1, e a solução de (1.2.6) é

Portanto, o tempo de resposta de quantidade de movimento é o tempo necessário para que uma

partícula, partindo da velocidade uDini, atinja 63% (=1-1/e) da diferença de velocidade da fase

contínua para a velocidade inicial uDini. Assim, obtemos que o tempo de resposta de uma gotícula

de água de 0,1mm de diâmetro no ar sob condição padrão é de 0,03s.

A Fig. 1.2.1 mostra a resposta da velocidade uD(t) com o tempo. Observe que a linha OB

é tangente à curva na origem, t=0. O ponto A produz a velocidade da partícula no tempo de

relaxação, t= ôm.

Figura 1.2.1 Razão de velocidades de fases (dispersa/contínua) versus tempo.

(1.2.4)

(1.2.5)

(1.2.6)

(1.2.7)

1.13

Por outro lado, o tempo de resposta térmico relaciona a rapidez com que uma partícula responde

a mudanças na temperatura da fase contínua. A equação de balanço de energia, admitindo

temperatura uniforme na partícula, é

onde TC e TD são as temperaturas das fases contínua e dispersa, respectivamente, dp o diâmetro

da partícula, kC a condutividade térmica da fase contínua e Nu= hdp/kC o número de Nusselt. Ou

ainda

Definindo o fator de transmissão de calor ft

O segundo fator tem dimensão inversa de tempo e define o tempo de resposta de temperatura

e a equação de energia torna-se

Para número de Reynolds baixos ft aproxima-se de 1 e a solução é

De novo, este é o tempo para uma partícula chegar a 63% de um salto de temperatura entre a fase

contínua e a fase discreta. Para uma gotícula de água com 0,10mm de diâmetro no ar, este tempo

é de 0,15s, cerca de cinco vezes o tempo de relaxação de quantidade de movimento.

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

(1.2.11)

(1.2.12)

(1.2.13)

1.14

A Fig. 1.2.2 mostra a resposta da temperatura TD(t) com o tempo. Como no exemplo da

velocidade, a linha OB é tangente à curva na origem, t=0. O ponto A produz a temperatura da

partícula no tempo de relaxação, t= ôt.

Dividindo os tempos de respostas obtém-se

Para gases o número de Prandtl Pr= ìC cpC /kC é da ordem da unidade; portanto, os tempos

de resposta das fases são da mesma ordem de grandeza. Todavia, para líquidos, o número de

Prandtl pode ser da ordem de 100, ou superior, o que significa que, nestes casos, o equilíbrio

entre as velocidades é atingido muito mais rapidamente do que para as temperaturas.

Figura 1.2.2 Razão de temperaturas de fases (dispersa/contínua) versus tempo.

1.2.2 Número de Stokes

Dado um tempo característico para o escoamento ôs, define-se o número de Stokes como a

relação

O número de Stokes é um parâmetro importante no escoamento envolvendo partículas, bolhas

ou gotículas. Por exemplo, o tempo característico no escoamento em um duto pode ser ôs= D/U,

onde D é o diâmetro e U a velocidade média. Neste caso, o número de Stokes é

(1.2.14)

(1.2.15)

1.15

Se St << 1, o tempo de resposta da partícula é muito menor do que o tempo característico

associado ao escoamento; a partícula terá tempo suficiente para se ajustar a mudanças na

velocidade do fluido, indicando que as velocidades da partícula e do fluido devem ser muito

próximas. Por outro lado, se St >> 1, a partícula não terá praticamente tempo para responder a

mudanças na velocidade do fluido, ocorrendo uma considerável diferença nas velocidades das

duas fases. O limite St 6 4 indica velocidade de partícula nula, significando que a velocidade

desta não é afetada pela do fluido.

1.2.3 Acoplamento

O acoplamento de fases pode ocorrer por transferência de massa, quantidade de movimento ou

de energia entre as fases. O acoplamento de massa ocorre pela adição de massa. por evaporação

ou pela retirada desta por condensação. O acoplamento de quantidade de movimento é o

resultado da força de arraste ou de sustentação entre as fases dispersa e contínua. Acoplamento

de quantidade de movimento se dá também pela adição ou subtração de quantidade de

movimento devido à transferência de massa. O acoplamento de energia acontece pela

transferência de calor entre as fases. Energia cinética e térmica podem também ser transferidas

entre as fases como conseqüência da transferência de massa.

Como podemos observar da situação descrita seguir, a análise do acoplamento

unidirecional é bastante direta e mais simples do que o bidirecional. Consideremos a situação em

que partículas quentes são injetadas num gás frio escoando num duto. Admitamos que a fração

volumétrica de gás seja alta, próximo da unidade. É possível calcular a trajetória e a história

térmica das partículas pelo conhecimento do campo de temperatura do gás. A temperatura das

partículas tenderá a cair para o valor da temperatura do gás, enquanto a velocidade dessas tenderá

a crescer até atingir a velocidade do gás. O acoplamento unidirecional implica que a presença das

partículas não afeta o campo de escoamento do gás, enquanto este é responsável pelas mudanças

na velocidade e na temperatura das partículas.

Se o efeito das partículas sobre o gás for incluído, obtém-se um acoplamento bidirecional.

A temperatura do gás aumenta e a densidade decresce, resultando num aumento da velocidade

do gás. Portanto, o resfriamento das partículas será reduzido devido à menor diferença de

temperaturas (gás mais quente), enquanto as partículas ganham velocidade. A aceleração e o

(1.2.16)

1.16

aumento da velocidade das partículas provoca ainda um aumento na perda de carga no duto, ou

seja, um aumento na queda de pressão.

Consideraremos a seguir alguns fundamentos sobre o acoplamento de massa, quantidade

de movimento e de energia.

1.2.4 Acoplamento de Massa

Acoplamento de massa pode ocorrer por vários mecanismos como condensação, evaporação,

sublimação ou reação química (combustão, por exemplo).

1.2.4.1 Evaporação e Condensação

Evaporação ou condensação consiste na transferência de massa de vapor entre a superfície de

uma gotícula e o fluido que a transporta. A força geradora da evaporação (condensação) é a

diferença de concentração entre a superfície da gotícula e o meio exterior. Em geral admite-se

que o processo ocorre numa mistura binária (somente duas espécies químicas distintas). Por

exemplo, água evaporando numa corrente de nitrogênio. É prática comum admitir ar como uma

única espécie (embora não o seja), e considerar vapor de água como uma mistura binária.

Lei de Fick

A equação de transferência de massa por difusão é conhecida como lei de Fick. Para a

transferência de uma espécie A numa mistura binária de A e B (água e ar, por exemplo), a lei de

Fick para uma situação unidimensional pode ser expressa na forma

onde jA é a o fluxo difusivo volumétrico da espécie A por unidade de área (m3/s-m2), DAB o

coeficiente de difusividade de massa (m2/s) da mistura e ùA a fração de massa da espécie A na

mistura (ùA = ñA/ñm). Observe que jA= QA/A, foi definido em (1.1.11).

Para uma gota de diâmetro dp o fluxo de massa (por unidade de área) é proporcional à

diferença entre as frações de massa na superfície e na corrente de fluido, ou seja

(1.2.17)

(1.2.18)

1.17

onde Sh= hmdp/DAB é o número de Sherwood hm é o coeficiente de filme de transferência de

massa e ñm é a massa específica da mistura na superfície da gota. O sinal da diferença entre as

frações volumétricas indica a existência de evaporação ou condensação. Para evaporação ùAs >

ùA4, enquanto para condensação ùAs < ùA4.

Por outro lado, a equação de conservação de massa para a gota é dada pela expressão

ou

Figura 1.2.3 Evaporação de gotícula numa corrente de fluido.

Para uma gota que evapora com simetria radial, sem efeitos de convecção, o número de

Sherwood é igual a 2, Fig. 1.2.3, enquanto a fração de massa na superfície da gota pode ser

estimada se a temperatura for conhecida.

O efeito da velocidade relativa entre a gota e o fluido de transporte é aumentar a taxa de

evaporação ou de condensação. Este efeito pode ser obtido, por exemplo, pela correlação de

Ranz-Marshall 7, ver também detalhes em Incoprera e DeWitt 8

(1.2.19)

(1.2.20)

(1.2.21)

7 Crowe, C.T., Ed., Multiphase Flow Handbook, Cap. 1, CRC Press, 2006 8 Incoprera, F.P., DeWitt, D.P., Fundamentals of Heat and Mass Transfer, Cap. 7, John Wiley

& Sons, 1996.

1.18

onde Rer é definido em (1.2.2) e Sc é o número de Schmidt, Sc= ím/DAB. Aqui, ím= (ì/ñ)m é a

viscosidade cinemática da mistura nas condições de filme.

1.2.4.2 Lei de Evaporação - D2

A evaporação de uma gota é algumas vezes representada pela lei-D2 que sugere que a superfície

da gota varia linearmente com o tempo. Observemos a condição de equilíbrio,de (1.2.20)

cuja solução é

com

onde ëe é a constante de evaporação, ñp é a massa específica da gota (partícula) e ñm do fluido

de transporte nas vizinhanças da superfície da gota. Observe que a vida da gota, ou tempo de

evaporação, é obtido de (1.2.23) fazendo-se dp= 0, resultando em ôe= dpo2/ëe.

1.2.5 Acoplamento de Quantidade de Movimento

Neste parágrafo faremos uma breve revisão de alguns aspectos relevantes do processo de

transferência de quantidade de movimento entre partículas, gotas ou bolhas, movimentando-se

em um fluido.

A literatura que trata do escoamento em torno de partículas ou corpos em geral é

bastante extensa. Trataremos aqui somente do escoamento paralelo em torno de uma partícula

esférica de diâmetro dp, com foco nas forças atuantes sobre a partícula e alguns efeitos da

interação partícula-meio fluido. Maiores detalhes podem ser encontrados, por exemplo, em

Crowe, op. cit.

1.2.5.1 Escoamento de Stokes

A solução analítica mais antiga que se tem conhecimento para o escoamento viscoso lento (baixo

número de Reynolds) é o escoamento paralelo em torno de uma esfera sólida obtida por C.G.

(1.2.22)

(1.2.23)

(1.2.24)

1.19

Stokes em 1851, cf. Schlichting 9. As equações do movimento para este caso são as equações de

conservação de massa e de quantidade de movimento (Navier-Stokes) para fluido

incompressível, i.e.

A solução de Stokes despreza os termos de inércia, lado esquerdo de (1.2.25b), mantendo os

termos de pressão e de viscosidade. A velocidade longe do corpo é a velocidade da corrente U,

enquanto a condição de não-deslizamento na superfície da esfera é observada. A integral da

distribuição de pressão e da tensão cisalhante ao longo da superfície da esfera sólida produz a

seguinte expressão para a força de arraste de Stokes

Pode-se mostrar que um 1/3 desta força é devido à distribuição de pressão, enquanto 2/3 é devido

à tensão cisalhante. Escrita para a diferença de velocidades entre as fases dispersa e contínua

Se o coeficiente de arraste Cd for definido referindo-se à força de arraste com a área frontal da

esfera e a pressão dinâmica ñCU2/2

obtém-se o coeficiente de arraste de Stokes

com o número de Reynolds Rer definido em (1.2.2).

Embora a solução de Stokes seja obtida para baixos números de Reynolds, Rer n 1, a

expressão é precisa para até Rer = 0,5. Uma vez que muitas aplicações industriais com pequenas

partículas ou gotas em fluidos viscosos acontecem para Rer < 1, este tipo de escoamento tem

(1.2.25)

(1.2.26)

(1.2.27)

(1.2.28)

(1.2.29)

9 Schlichting, H., Boundary Layer Theory, Cap. VI, McGraw-Hill Co., 4ª ed., 1960.

1.20

grande interesse industrial. De um modo geral, o coeficiente de arraste depende da forma e

orientação da partícula com relação ao escoamento (quando não esférica), assim como de outros

parâmetros como os números de Reynolds e de Mach, nível de turbulência e efeitos transientes.

A variação do coeficiente de arraste com o número de Reynolds é mostrado na Figura

1.2.4. Conforme acabamos de ver, para baixos valores de Reynolds o coeficiente é inversamente

proporcional ao número de Reynolds. Esta situação é denominada de regime de Stokes. Para

valores crescentes de Reynolds (800 < Re < 3,7×105) o coeficiente se aproxima de um valor

constante, em torno de Cd= 0,44. Para maiores valores de Reynolds o arraste acaba decrescendo

subitamente quando o número de Reynolds atinge um valor em torno de 3,7×105, denominado

número de Reynolds crítico. Este ponto está associado ao avanço do ponto de separação da

camada limite, e a consequente redistribuição do campo de pressão na superfície da esfera.

Figura 1.2.4 Coeficiente de arraste para uma esfera em função de Reynolds.

Para Rer > 3,7×105, a separação começa a se dirigir para jusante, quando flutuações no ponto de

separação tornam-se visíveis. O resultado mais evidente da transição é uma forte queda no

coeficiente de arraste, de 0,44 para aproximadamente 0,07, típico da transição laminar-

1.21

turbulento. Para esses altos valores de Rer o escoamento torna-se basicamente não-permanente

devido aos vórtices que se desprendem regularmente na parte de trás da esfera.

Análise de Hadamard-Rybczynski

Em 1911, Hadamard 10 e Rybczynski 11, resolveram o problema de partículas esféricas num

“domínio infinito” admitindo a possibilidade das esferas não serem necessariamente sólidas,

como bolhas gasosas mergulhadas num fluido viscoso.

Designando as viscosidades por ìC e ìD (fluido e esfera), os autores encontraram para

a força de arraste a expressão 12

onde ë é a razão das viscosidades, ë= ìD/ìC. O caso de uma esfera sólida é obtido no limite ë64,

enquanto para uma esfera não viscosa — uma boa aproximação para uma bolha imersa num

líquido viscoso, ë60. O coeficiente de arraste correspondente é obtido igualando as equações

(1.2.28) e (1.2.30), ou

Para sólido (ë64) o coeficiente de Stokes é obtido, Cd = 24/Rer, enquanto para o limite ë60

A proposta de Hadamard-Rybczynski tem por base a hipótese de que, no caso de bolhas gasosas,

a condição de tensão cisalhante nula na superfície seria mais apropriada do que para velocidade

nula. Contudo, a prática mostrou que tanto bolhas quanto gotas não seguem bem essas previsões

devido à presença de impurezas. Contaminantes tendem a aproximar a condição na superfície da

clássica hipótese de não-deslizamento tornando a expressão de Stokes (1.2.29) mais adequada.

(1.2.30)

(1.2.31)

(1.2.32)

10 Hadamard, J., Movement permanent lent d´une sphere liquide et visqueuse dans un liquidevisqueux, Comptes Rendus, 152, 1735, 1911.

11 Rybzynski, W., Über die fortschreitende Bewegung einer glüssigen Kugel in einen zähenMedium. Bull. Acad. Sci. Cracovie, A, 40, 1911.

12 Crowe, C.T., Ed., Multiphase Flow Handbook, Cap. 1, CRC Press, 2006

1.22

Detalhes sobre essas considerações podem ser encontrados em Levich 13. O autor mostra que a

Eq. (1.2.32) pode ser aplicada em certas circunstâncias para a queda ou subida de grandes gotas

e bolhas em escoamento laminar, falhando quando aplicada para pequenas partículas de fluido

(bolhas e gotas), a menos que essas estejam excepcionalmente livres de impurezas na superfície.

Ao desprezar os termos de inércia, a solução de Stokes gera algumas inconsistências uma

vez que, por menor que seja o número de Reynolds, sempre haverá uma região do escoamento

(a uma certa distância da esfera) em que os efeitos de inércia serão comparáveis àqueles devidos

à viscosidade. A primeira correção deste “paradoxo” foi obtida por Oseen ao incluir,

parcialmente, os termos de inércia nas equações de Navier-Stokes por um método de perturbação

no campo de velocidade, obtendo uma correção de primeira ordem para o coeficiente de arraste,

De acordo com medidas de Maxworthy 14 esta expressão é válida para Rer < 0,45. Todavia, é

prática comum aceitar a expressão de Oseen até Rer < 5.

Um passo além de Oseen foi dado por Proudman e Pearson 15 que utilizaram o método

de expansões assintóticas acopladas para incorporar os termos de convecção e difusão na solução

do problema em torno de uma esfera. A equação obtida tem a forma

A expressão pode ser utilizada com precisão para Rer < 0,7. Para valores superiores é

recomendável a utilização de correlações disponíveis na literatura. Duas dessas são as de Schiller

e Nauman (1933), válida para Rer < 800

e Putman (1961)

(1.2.33)

(1.2.34)

(1.2.35)

13 Levich, V.G., Physicochemical Hydrodynamics, Prentice-Hall, N.J., 1962.

14 Maxworthy, T., Accurate measurements of a sphere drag at low Reynolds numbers. J. FluidMech., 23, 369-372, 1975.

15 Proudman, I., Pearson, J.R.A., Expansions at small Reynolds numbers for the flow past asphere and a circular cylinder. J. Fluid Mech., 2, 237-262, 1956.

1.23

Em (1.2.34), o termo erro representado por O(Rer2), (ordem de Rer

2), significa que o valor real

da expressão difere da estimativa (dada pela equação) por certa quantidade que é o produto de

uma constante por Rer2.

Fator de arraste

Observe que os fatores multiplicadores do coeficiente de arraste de Stokes, 24/Rer (1.2.29), nas

equações (1.2.33) a (1.2.36) representam o fator de arraste fd= Cd Rer/24 definido em (1.2.4). Por

exemplo, a correlação sugerida por Schiller e Nauman (1933) para Rer < 800 indica

Uma vantagem dessas correlações é permitir integrar analiticamente a equação do

movimento da partícula. Por outro lado, observa-se haver uma significativa descontinuidade nas

funções nos limites dos intervalos de aplicação, como na expressão de Putman acima. Uma

extensão da expressão de Schiller e Nauman proposta por Clift e Gauvin 16, em Crowe, op cit,

permite um ajuste razoável com valores experimentais para esferas sólidas lisas, dentro de 6%,

até o Reynolds crítico Rer= 3,5×105 é

1.2.5.2 Equação de Movimento

A equação de movimento na direção-s de uma partícula imersa num fluido, Fig. 1.2.5,

considerando as forças de arraste, de gravidade e de flutuação (desprezando sustentação - lift)

pode ser expressa na forma

(1.2.36)

(1.2.37)

(1.2.38)

16 Clift, R. e Gauvin, W.H., The motion of particles in turbulent gas streams, Proc. Chemeca‘70, 1, 14, 1970.

1.24

onde Vp é o volume da partícula e è o ângulo da corrente fluida com a horizontal, Fig.1.2.5.

Figura 1.2.5 Forças atuantes sobre partícula em escoamento.

Admitimos aqui que as velocidades uC e uD sejam paralelas. A equação (1.2.39) pode ser escrita

como

onde fd é o fator de arraste (1.2.4) e ôm o tempo de relaxação de quantidade de movimento (1.2.5).

A velocidade terminal (deposição ou sedimentação) é então obtida pela expressão (duD/dt=0)

Para queda com baixa velocidade, tal que Rer < 0,5, fd . 1, (Cd= 24/Rer), obtém-se a clássica

expressão para a velocidade terminal, ou lei de Stokes (para è= -90º; queda contra a gravidade),

Uma expressão geral pode ser obtida para a velocidade terminal (regime permanente com

duD/dt=0), ou para a velocidade de deslizamento entre as fases (uC-uD), combinando as Eqs.

(1.2.2), (1.2.4) e (1.2.41), obtendo (para è= -90º)

(1.2.39)

(1.2.40)

(1.2.41)

(1.2.42)

1.25

Neste caso a velocidade de deslizamento é obtida numa forma geral a partir do cálculo do

coeficiente de arraste Cd. Note que a lei de Stokes é recuperada para a condição Cd= 24/Rer.

Para a proposta de Hadamard-Rybczynski em (1.2.31-43), obtém-se a forma geral

Observe que a divisão da Eq. (1.2.43) por Rer conduz à Eq. (1.2.45), que independe do

diâmetro. Neste caso o cruzamento da equação com a curva da Fig. 1.2.4 fornecerá o número de

Reynolds, que poderá definir o diâmetro da partícula caso a velocidade terminal seja

especificada, por exemplo.

Para a região de transição, 1 < Rer < 800, pode-se utilizar a expressão de Allen, cf. Govier e

Aziz.17 (queda vertical, vt= uD, uC= 0, è= -90º)

e, para a região turbulenta, Rer > 800, a lei de Newton

expressão obtida de (1.2.43) com Cd= 0,44.

(1.2.43)

(1.2.44)

(1.2.45)

(1.2.46)

(1.2.47)

17 Govier, G.W., Aziz, K., The Flow of Complex Mixtures in Pipes, Cap. 1, Robert KriegerPublishing Co., 1982.

1.26

1.2.5.3 Efeito de População

As análises anteriores consideraram o efeito do número de Reynolds sobre o movimento de uma

única partícula no fluido. Esses resultados podem ser aplicados na avaliação de velocidades

relativas entre fase dispersa (partículas) e a fase contínua num escoamento multifásico bastante

diluído. Para concentrações elevadas, o campo do escoamento e das partículas é modificado pela

interação partícula-fluido. Além disso, a vazão volumétrica da fase dispersa pode não ser

desprezível, o que pode provocar uma vazão não-desprezível da fase contínua. Consideremos

como exemplo a sedimentação de partículas sólidas num tanque com fluxo de sedimentação-jD,

(velocidade considerada positiva para cima) e concentração volumétrica áD, conforme

esquematizado na Fig. 1.2.6.

Figura 1.2.6 Deposição de partículas sólidas num tanque com líquido.

A velocidade média das partículas provocará um fluxo positivo do líquido jL = -jD, e assim a

velocidade média do líquido será

Portanto, a velocidade relativa entre as fases é

Ou seja, cuidado deve ser tomado ao definir a velocidade terminal. Aqui destacamos a

quantidade mais fundamental, qual seja a velocidade relativa, uDL, em vez da velocidade de

(1.2.48)

(1.2.49)

1.27

sedimentação, uD. O efeito da velocidade relativa pode ser pequeno para baixas concentrações,

mas pode se tornar relevante à medida que a concentração de sólidos cresce.

Diversos autores tratam do efeito da concentração no campo de velocidade. Seguimos

aqui o trabalho de Richardson e Zaki 18. Da equação para a velocidade terminal de Stokes

(1.2.42) para uma partícula solitária, após multiplicação pelo fator ñCdp/ìC, obtém-se

onde Gr é o número de Grashof, que representa a razão entre as forças de flutuação e viscosa.

A quantidade Cd Rer2 é, portanto, independente da velocidade terminal vt (ou de *uC - uD*) e pode,

assim, ser calculada a partir de parâmetros conhecidos. Uma vez que Cd é função de Rer, o

produto CdRer2 pode ser expresso em função exclusiva de Rer. Logo, utilizando esta relação e a

Eq.(1.2.50), a velocidade terminal vt (ou *uC - uD*) pode ser obtida de Rer= ñC dp vt/ ìC.

Portanto, a força de arraste sobre uma partícula para um número de Reynolds arbitrário

pode ser obtida a partir da expressão (1.2.28) e do coeficiente de arraste, fd, definido em (1.2.4)

Experimentos de Richardson e Zaki sugerem que para uma população de partículas o

coeficiente de arraste Cd é também função da concentração de partículas segundo a expressão 19

onde Cd é o coeficiente de arraste para uma única partícula num meio infinito e Cd* o coeficiente

de arraste para a população.

A função ø(áD) refere-se à razão entre a força de arraste atuando sobre uma partícula numa

população e a força sobre a mesma partícula isolada (única) na mesma corrente de fluido com o

mesmo fluxo volumétrico relativo à partícula. Cd é dado em função do número de Reynolds

"superficial" na forma clássica, i.e. Eq. (1.2 37), onde o número de Reynolds é definido como

(1.2.50)

(1.2.51)

(1.2.52)

18 Richardson, J.F., Zaki, W.N., Sedimentation and fluidization Part 1, Trans. Inst. Chem.Engr., 32, 35-53, 1954.

19 Wallis, G.B., One-Dimensional Two-Phase Flow, Cap. 8, McGraw-Hill, 1969

1.28

onde é o fluxo volumétrico (velocidade superficial) da fase contínua (fluido) relativo

ao fluxo volumétrico da partícula.

A expressão sugerida por Richardson e Zaki para ø(áD) tem a forma

Os autores introduziram ainda efeitos de parede pela razão entre diâmetros da partícula e do duto.

A correlação sugerida para toda a faixa de Reynolds é

Outros autores adotam valores distintos, embora não muito diferente. Rowe 20, por exemplo,

sugere o valor fixo, n= 4,7.

1.2.5.4 Efeito de Parede

Outro efeito sobre a velocidade de queda ou ascensão de sólidos, gotas ou bolhas está relacionado

com a interferência da parede do duto no movimento da partícula. Efeitos de parede sobre dutos

verticais têm sido objeto de extensos estudos. Para o caso de uma partícula solitária num duto

vertical a velocidade terminal deve ser multiplicada por uma fator de parede öw, ou seja

onde, para escoamento laminar,

(1.2.53)

(1.2.54)

(1.2.55)

(1.2.56)

20 Rowe, P.N., Henwood, G.A., Trans. Inst. Chem. Engrs., vol. 39, pp. 43-54, 1961 (em WallisEq. 8.18 e 8.30).

1.29

(1.2.59)

(1.2.60)

e, para escoamento turbulento,

D é o diâmetro do tubo. A literatura apresenta diversas expressões mais sofisticadas para situações

particulares; cf., v.g., Govier e Aziz, op. cit. (§4.4 no Cap.8).

1.2.5.5 Gradiente de Pressão

Quando as velocidades das fases não são iguais, a presença da fase dispersa provoca uma

resistência, induzindo um gradiente de pressão adverso no sentido do escoamento (quando a

velocidade da fase contínua for maior do que a da fase dispersa). O resultado é obtido na forma

com

onde ø(áD) é o fator de população definido em (1.2.52), fd é o fator de arraste (1.2.4) e ôm é o

tempo de resposta de quantidade de movimento (1.2.5). Detalhes da dedução desta equação

encontram-se no Apêndice-A.

Observe que para números de Reynolds de partícula na faixa de escoamento laminar (Rer

< 0,5), fd é próximo do valor unitário (fd.1) e, assim, âd é praticamente constante, com o

gradientes de pressão tendo um comportamento linear com relação à diferença de velocidades.

1.2.5.6 Interação com Turbulência

Escoamentos turbulentos para fluido Newtoniano, mesmo para geometria simples como no

interior de um duto, são muito complexos e sua solução para altos números de Reynolds requerem

a utilização de modelos empíricos para representar os movimentos não-permanentes.

(1.2.57)

(1.2.58)

1.30

(1.2.61)

(1.2.62)

Se adicionadas partículas (bolhas ou gotas) aos escoamentos, podemos esperar as seguintes

situações: i- movimentos complexos de partículas que resultam em distribuições espaciais não-

uniformes, ou segregação dessas. Podendo ocorrer igualmente aglomeração ou quebra de

partículas, especialmente se essas forem bolhas ou gotas; ii- modificação na estrutura da

turbulência pela presença e movimentação das partículas. Podemos imaginar também que a

turbulência poderá ser amortecida pela presença das partículas, ou ser reforçada por esteiras

vorticais e outras perturbações que o movimento das partículas possa introduzir.

Uma melhor compreensão do mecanismo de turbulência para números de Reynolds

elevados pode ser obtido introduzindo-se a função de espectro de energia conforme descrito em

Hinze 21. De acordo com a apresentação de Hinze, as escalas de comprimento ë e de tempo ô

apropriadas para essas análises podem ser referidas àquelas definidas por Kolmogorov, ou seja

onde í é viscosidade cinemática e å(t) a taxa média de dissipação de energia por unidade de massa

do fluido. Ora, å é proporcional a U3/l , onde U e l representam velocidade e dimensão típica para

o escoamento. Portanto, seguem-se as relações

que mostra a dificuldade para caracterizar o escoamento, seja por medição ou por modelagem,

quando o número de Reynolds cresce (Re= Ul/í).

Há indícios de que quando as partículas são pequenas quando comparadas com a escala

de comprimento ë, essas tendem a seguir o movimento turbulento e, assim fazendo, absorvem

energia, reduzindo a energia turbulenta. É constatado que a redução da intensidade de turbulência

é função do número de Stokes, St= ômU/l= ôm/ô (veja 1.2.16); ou seja, da razão do tempo de

relaxação ôm para a escala de tempo de Kolmogorov ô. Alguns exemplos sugerem ainda que a

redução máxima no nível de energia ocorre para St próximo do valor unitário, St .1.

Por outro lado, partículas grandes tendem a não acompanhar os movimentos turbulentos,

enquanto o movimento relativo produz esteiras que tendem a reforçar a turbulência. Nesses casos,

quando os tempos de resposta das partículas são da mesma ordem de grandeza (ou maiores) do

que o tempo típico associado ao movimento turbulento, o escoamento turbulento torna-se mais

21 Hinze, J.O., Turbulence, McGraw-Hill Book Co., Cap. 3, 1959.

1.31

(1.2.63)

(1.2.64)

(1.2.65)

complexo devido ao movimento relativo induzido pelas partículas. Partículas num gás tendem a

ser centrifugadas dos vórtices e acumular na região de cisalhamento entre os vórtices, enquanto

bolhas num líquido tendem a acumular no centro dos vórtices.

De qualquer forma os efeitos da interação entre partículas (gotas e bolhas) com a

turbulência são ainda objeto de pesquisa e sujeito a muitas dúvidas e questionamentos. Maiores

detalhes sobre o tema podem ser encontrados em Crowe 22 e Brennen 23.

1.2.5.7 Partículas Não-Esféricas

O grau de não-esfericidade de uma partícula é quantificado pelo fator de forma, ou esfericidade,

ø. Um fator de forma muito utilizado é definido como a razão da área Aeq da esfera possuindo o

mesmo volume da partícula pela área real da partícula Ap. Portanto

Se o volume da partícula é Vp, a área de uma esfera equivalente é Aeq= ð1/3(6Vp)2/3. O diâmetro da

esfera equivalente é, portanto, deq = (6Vp/ð)1/3 e Ø= ð1/3(6Vp)2/3/Ap.

A razão do produto do coeficiente de arraste e da área projetada da partícula esférica

equivalente, para o mesmo produto para a partícula não-esférica (real), é representado pelo fator

onde Keq depende da esfericidade e do número de Reynolds relativo (1.2.2). Para esta situação,

o fator de arraste, fd, definido em (1.2.4), deve ser substituído pelo fator fd* tal que

A equação do movimento para a partícula não-esférica torna-se então, de (1.2.40),

(1.2.66)

22 Crowe, C.T., Ed., Multiphase Flow Handbook, Cap. 1, CRC Press, 2006. 23 Brennen, C.E. Fundamentals of Multiphase Flow, Cap. 1, Cambridge U. Press, 2005.

1.32

onde ôm é baseada na esfera equivalente, e tanto fd quanto Keq são funções do número de Reynolds

relativo, baseados na esfera equivalente. A Tabela 1.2.124 mostra o valor da esfericidade para

algumas formas geométricas. O fator de arraste efetivo fd* é obtido de gráfico, conforme mostrado

na Figura 1.2.7.

Tabela 1.2.1 Esfericidade de partículas de várias formas

Forma Dimensão Esfericidade, ø

Esfera - 1,0

Cubo - 0,81

Prisma

l : l :2 l 0,77

l : 2l :2 l 0,76

l : 2l : 3l 0,73

Cilindro

h/d =1/20 0,32

h/d = 1/2 0,83

h/d = 1 0,87

h/d = 5 0,69

h/d = 10 0,58

Figura 1.2.7 Fator de arraste efetivo para partículas não-esféricas em função do fator de forma e do

número de Reynolds, baseados na esfera equivalente. Ref. Crowe, C.T., Ed., Multiphase Flow Handbook,

CRC Press, 2006.

24 Govier, G.W., Aziz, K., The Flow of Complex Mixtures in Pipes, Cap. 1, Robert KriegerPublishing Co., 1982.

1.33

1.2.5.8 Outros Efeitos

Diversos outros efeitos podem afetar a interação partícula-fluido. Dentre esses destacamos: i-

força de sustentação devido ao escoamento não-simétrico em torno da partícula; ii- força de

campo elétrico atuante sobre as partículas; iii- efeito de brisa que, atuando sobre uma partícula em

estado de evaporação ou de queima, tende a reduzir a força de arraste; iv- Efeito Magnus, devido

à rotação da partícula.

A Fig. 1.2.8 mostra o efeito da rotação no sentido anti-horário de uma esfera sólida

deslocando-se para a direita num fluido (em geral um gás, como ar) com baixa velocidade contra

a esfera. Velocidade da esfera pode ser extremamente alta, como no caso de bolas de Golf.

Devido à viscosidade, e a formação de uma camada limite junto à superfície da esfera, a

velocidade relativa (à esfera) na parte superior é maior do que na região inferior, resultando uma

região de baixa pressão na parte superior e outra, de alta pressão, na parte inferior, onde a

velocidade é menor. A distribuição assimétrica da pressão provoca uma força de sustentação FL,

induzindo um deslocamento gradativo da esfera para cima, numa trajetória curva ascendente,

conforme sugerido pela figura. Maiores detalhes sobre esses e outros efeitos podem ser obtidos

em Crowe, op. cit., e no exercício 1.11, a seguir.

Figura 1.2.8 Efeito Magnus. Esfera sólida em rotação deslocando-se para a direita, num fluxo contra-

esfera de baixa velocidade (relativo à esta). Vb é velocidade de deslocamento da esfera enquanto ù, Fd e

FL representam a rotação angular e as forças de arraste e de sustentação (lift), respectivamente.

1.34

Exercícios

Exercício-1.1 Gás e óleo escoam por um duto de 200mm de diâmetro sob as seguintes condições:

(velocidades in situ) uO= 2,0 m/s, uG= 6,0 m/s, (fração volumétrica) áG= 0,70, (densidades) ñO= 850 kg/m3,

ñG= 15 kg/m3. Pede-se os valores de (para cada uma das fases, quando for o caso): a) vazões volumétricas;

b) velocidades superficiais; c) fluxos volumétricos; d) velocidade relativa das fases; e) velocidades de

deslizamento; f) fluxos de deslizamento; g) títulos volumétricos; h) títulos; i) frações de massa; j)

densidade de mistura. Confira os resultados com as equações (1.1.14) e (1.1.15) do texto.

Solução. Dados iniciais: a) At= ðD2/4= ð×0,22/4= 0,031416 m2 ; b) áL=1-áG = 1-0,70 = 0,30.

a) Vazões volumétricas:

b) Velocidades superficiais:

c) Fluxos volumétricos:

d) Velocidade relativa:

e) Velocidades de deslizamento:

f) Fluxos de deslizamento:

g) Títulos volumétricos:

1.35

h) Títulos:

i) Frações de massa:

j) Densidade de mistura:

k) Fluxo de deslizamento (Eq. 1.1.20):

Exercício-1.2 Gotículas de óleo (ñ= 850 kg/m3) com diâmetro médio de 120 microns são introduzidas

numa corrente de ar à 35 ºC. Quais são os tempos de relaxação de: a) quantidade de movimento; b)

térmico?

Solução. ìC= ìar= 18×10-6 Pa-s; kC= kar= 0,026 W/m-K

Exercício-1.3 Se no exemplo anterior o fluxo ocorre num tubo de 125mm de diâmetro e a velocidade

média do ar é de 10m/s: a) qual o número de Stokes? b) qual deve ser o diâmetro máximo das gotículas

se um experimento requer número de Stokes inferior a 0,01.

Solução.

1.36

Exercício-1.4 Uma partícula de carvão no formato de cubo com 1mm de lado e densidade de 1450 kg/m3

deposita-se no ar sob condição padrão. Determine a velocidade terminal da partícula.

Solução. Diâmetro da esfera equivalente ao cubo é de= (6Vp/ð)1/3 (ver logo abaixo Eq. 1.2.62). Ou seja,

de= (6×13/ð)1/3= 1,24 mm. Na ausência de coeficiente de arraste para partícula no formato de cubo,

estimamos a velocidade de queda para a esfera equivalente. Após alguma tentativas (iniciando com a

expressão de Stokes - Eq. 1.2.42), constatamos que o número de Reynolds (Re= ñCVt dp/ìC) é elevado (Re

>>1), então utilizando a expressão de Newton (1.2.47)

Para o qual obtemos Re= ñCVt dp/ìC= 1,2×6,6×1,24×10-3/18×10-6= 550.

Exercício-1.5 Sedimento composto de partículas com forma aproximadamente uniforme e esféricas

deposita-se num tanque cheio de água. Para uma concentração de sólidos de 85% determine a velocidade

de deposição para diversos diâmetros na faixa entre 0,1 e 1,0 mm se a densidade material das partículas

é de 2400 kg/m3. Faça um gráfico (esquemático) dos resultados. Compare com as velocidades de queda

baseada na lei de Stokes e indique (em gráfico) o valor do número de Reynolds para essas situações.

Solução. Calculemos a velocidade de queda (Stokes) para partículas isoladas com dp= 0,1mm e 1,0 mm,

Tendo em vista o efeito de população, a Eq. (1.2.54) sugere que as velocidades reais devem ser

multiplicadas pelo fator (1-áD)n. Ou seja, uD= (1-áD)n Vt, logo, para n= 2,5, v.g.

Exercício-1.6 Esferas de vidro com densidade de ñs= 2620 kg/m3 depositam-se num líquido CCl4 a 20º

C num experimento para estudar tempos de reação de pessoas fazendo observações com um relógio de

1.37

parada e outros instrumentos de teste. Nesta temperatura as propriedades do CCl4 são ñL= 1590 kg/m3 e

ìL= 0,958 cp. Qual deve er o diâmetro das esferas para uma velocidade de queda de 65 cm/s?

Solução:

Para encontrar o diâmetro da esfera temos que resolver a Eq. (1.2.43). Todavia, nesta equação é

necessário conhecer dp para calcular o valor de Cd (função de Reynolds). Um procedimento iterativo pode

ser utilizado com Cd= 0,44 para iniciar, por exemplo.

Por outro lado, pode-se resolver (1.2.43) observando que Cd/Rer é independente de dp, cf. (1.2.45),

i.e.

Esta equação deve ser resolvida juntamente com a curva de Cd= f(Rer), representada pela Fig. 1.2.4. Após

algumas tentativas encontramos Cd= 0,44 e Rer= 23660. O diâmetro da esfera é então encontrado como

Observe que este resultado poderia ter sido obtido diretamente da expressão de Newton (1.2.47).

Exercício-1.7 Uma gota é acelerada a partir de velocidade nula num fluido com velocidade constante Vo.

A gota evapora de acordo com a lei de evaporação D2 e obedece a lei de Stokes para o arraste. Obtenha

uma expressão para a velocidade da gota em função do tempo com base no diâmetro inicial, na velocidade

do fluido e na constante de evaporação (ë). Que distância a gota percorrerá até evaporar completamente?

Despreze efeitos de gravidade.

Solução. Lei de evaporação D2 (1.2.23)

Segunda lei de Newton (força de arraste de Stokes)

ou

1.38

Integrando entre os limites (0,Vo) e (0,t)

Logo

então, a expressão para a velocidade da partícula em função do tempo é

definindo c= 18ìC/ñpëe, a distância percorrida em função do tempo é obtida da integral de Vp= dxp/dt. Isto

é

ou ainda, na forma adimensional

que, para t= dpo2/ëe , torna-se

Exercício-1.8 Considere o escoamento laminar em baixa velocidade num tubo horizontal de uma mistura

gás-líquido. Admita que a vazão volumétrica de gás é QG e de líquido QL. A queda de pressão para o

escoamento de somente líquido no tubo é ÄpL. Por outro lado, a queda de pressão para a mistura bifásica

é Äpm. A viscosidade da mistura pode ser estimada pela fórmula ìm= ìL(1+áG), eq. (4.3.27). Admitindo

escoamento homogêneo, obtenha: a) a relação entre as quedas de pressão sugerida a seguir; b) o valor de

C1.

1.39

Solução:

A queda de pressão no escoamento laminar é dado pela expressão

(1)

Assim, para a mistura homogênea (segundo a fórmula do enunciado) tem-se

Substituindo a expressão para áG= QG/Qm, e tendo em vista que Qm= QL+QG obtém-se

(3)

portanto,

(4)

Exercício-1.9 Calcular a velocidade de fluidização mínima (velocidade do fluido) para os diâmetros de

esferas de vidro especificados no quadro abaixo (ñS= 2350 kg/m3) no ar ou água e comparar com os

resultados obtidos pela equação de Richardson & Zaki, (1.2.50 a 55), com os do quadro abaixo. Admitir

que a concentração de sólidos no leito ocorre para o valor de compactação de esferas áS= 0,58. Portanto,

efeitos de população e de Reynolds são relevantes. Não há efeito de parede. Obs. O fluxo volumétrico

(velocidade superficial do fluido) medido, indicado no quadro, refere-se à velocidade que inicia o

movimento das partículas (velocidades destas praticamente nulas). O número de Reynolds “superficial”

utilizado nas fórmulas de arraste é definido como ReF= ñF dS jF/ìF. Admitir condição padrão para pressão

(1atm) e temperatura (20 ºC). Utilizar a expressão que considerar mais adequada para o coeficiente de

arraste.

Meio d

(mm)

jF, medido

(mm/s)

Ar 0,075 8,48

Ar 0,242 76,1

Ar 0,57 387,0

Água 0,61 6,67

Água 9,85 151,2

(2)

1.40

Solução:

A fluidização mínima acontece no momento em que as partículas começam a suspender devido

ao arraste do fluido. Portanto, para velocidade de partícula nula, a velocidade de fluidização é obtida

resolvendo a equação de Richardson-Zaki (1.2.50) para uma população com concentração áF=1-áC=

1-0,58= 0,42. Ou seja, de (1.2.54),

onde o expoente n é calculado por (1.2.55), função do número de Reynods ReF= ñFdjF/ìF. Desta forma,

escolhendo as equações (1.2.29) e (1.2.35) para o coeficiente de arraste,

(1.2.50) torna-se

A solução numérica dessas três equações, incluindo a equação para o parâmetro n (1.2.55), está

mostrada no quadro abaixo para os fluidos e diâmetros de partícula sugeridos. Note que a solução diverge

um pouco dos valores medidos para diâmetros maiores nos dois fluidos. Talvez a fórmula (1) acima, Eq.

(1.2.54) no texto, esteja subestimando o valor de n nos casos de número de Reynolds mais elevados. Não

há ainda na literatura uma concordância geral sobre os valores para a função de população. CdF indicado

na tabela é para uma partícula individual. Coeficiente de população (afeta o CdF) está indicado na última

coluna.

Meio d

(mm)

jF, medido

(mm/s)

jF,

calculado

(mm/s)

Erro

(%)

Reynolds

(calculado

)

CdF

(calculado

)

ø(áF)

Ar 0,075 8,48 7,08 20 0,036 675,7 56,48

Ar 0,242 76,1 82,80 8 1,34 21,19 42,47

Ar 0,57 387,0 599,6 36 22,86 2,402 16,83

Água 0,61 6,67 6,90 3 4,20 8,009 28,34

Água 9,85 151,2 220,7 32 2170 0,450 7,95

(1)

(2)

(3)

1.41

Exercício-1.10 Partículas sólidas são injetadas transversalmente num duto horizontal de seção retangular,

conforme indicado na figura. A velocidade inicial das partículas é vo, enquanto no duto ar escoa com uma

velocidade uniforme uo. As partículas têm diâmetro dp e massa específica ñp. Encontrar a solução analítica

para: (a) velocidade vertical vy(t) da partícula em função do tempo; (b) a posição y(t) em função do tempo;

(c) a posição x(t) em função do tempo; (d) a equação que fornece a velocidade máxima de entrada, vo, tal

que as partículas toquem ligeiramente a placa superior; (e) para a condição de (c), determinar a distância

horizontal LB onde as partículas chegam na placa inferior; (f) para os valores a seguir, calcular: vo)max

encontrado em (d), assim como LB. Dados numéricos: ñar=1,2kg/m3, ìar= 0,018cp, ñp= 2350kg/m3, dp=

0,1mm, Hd= 80mm, uo= 5m/s. Sugestões: i- Origem das coordenadas no furo de entrada; ii- Admitir

escoamento de Stokes, válido para toda faixa de Rep encontrado.

Solução:

a) Deslocamento vertical

ou

A solução desta equação (diferencial de primeira ordem com coeficientes constantes), com a condição

uy(t)= vo em t=0, é

(1)

(2)

(3)

1.42

Mas (velocidade terminal). Portanto, (3) pode ser escrita como

Cuja integral fornece o valor da coordenada y(t) [com a condição y(0)=0]

a.1) Velocidade de injeção para atingir dada altura máxima - (y= ymax).

A altura máxima é atingida quando a componente da velocidade na direção vertical é nula. De (4) obtém-

se uma relação entre vo e o tempo t para esta condição [uy(t)=0]. Levando este resultado em (5) chega-se

à equação transcendental

Especificando-se ymax e conhecidos vt e ôm obtém-se vo/vt , e a solução desejada. No presente caso, pode-se

fazer ymax= Hd, distância entre as paredes do duto e ter-se-á a velocidade de injeção máxima para tocar na

parede superior.

b) Deslocamento horizontal

A equação do movimento é a indicada em (1.2.1), que assume a forma final (1.2.6)

e assim a expressão para a posição x(t) da partícula é determinada pela equação

c) Trajetória da partícula

As equações (5) e (8) definem a trajetória da partícula. A equação final é transcendental, podendo-se obter

a curva y(x) atribuindo-se valores sucessivos para ô=t/ôm para x(t) e y(t), e assim o par y(x) para cada t.

d) Valores numéricos

Alguns parâmetros:

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

1.43

A) Da eq.(6), com ymax= 0,080m (80mm) e vt= 0,7104m/s (acima)

B) A solução de (5), para y= 0 (ponto em que a partícula atinge a placa inferior), é encontrada para ô=

t/ôm= 3,84. Levando este valor em (8)

Note que ôm= 0,0725 corresponde ao instante t= 0,278s (= 3,84x0,0725). Extremamente rápido

(!), uma vez que a velocidade do ar é relativamente elevada, 5m/s. Observe, igualmente, que a velocidade

de injeção é também bastante significativa, vo= 2,074 m/s.

Os tempos calculados para subida (placa inferior para superior) e descida (vice-versa) são,

respectivamente: 0,098s (ô= 1,36) e 0,180s (ô=3,84-1,36= 2,48), para um total de 0,278s para toda

trajetória (ô=3,84).

C) Número de Reynolds

Varia entre 13,8 (na entrada da partícula, com vo= 2,074) e 4,3 (no ponto de chegada B), passando

por valor nulo no ponto mais elevado A, quando a velocidade é zero. A solução estaria assim fora da

condição de Stokes. Todavia, o erro no cálculo da força de arraste será mais significativo somente na

subida, quando Reynolds é maior. Na queda, com Re.4, o erro para Cd é da ordem de 40%.

Exercício-1.11 Deduza as Eqs. (1.1.19), (1.2.1) e (1.2.8).

Exercício-1.12 Qual a origem da afirmação de que a Eq. (1.2.10) é unitária para baixos números de

Reynolds?

Exercício-1.13 Apresente o valor do número de Prandtl para cinco gases e cinco líquidos. Indique sua

fonte de referência. Indique o valor numérico da razão ôm/ôt na Eq. (1.2.14) para duas combinações de

gases e líquidos. Por exemplo (utilize outros fluidos que não esses necessariamente), água e ar, óleo e

metano.

1.44

Exercício-1.11 Dinâmica da Bola de Golf. O jogo de Golf foi criado na Inglaterra em meados do século

XVIII, tendo se consolidado na primeira metade do século XX, sobretudo com a fundação de sociedades

na Inglaterra e Estados Unidos.

Hoje, a USGA (United States Golf Association) estabelece regras rígidas para o jogo, sobretudo

para as características físicas da bola. De acordo com as regras atuais a bola tem diâmetro de 42,67mm

e peso de 45,93g. Para efeito de cálculos aerodinâmicos o número de Reynolds é definido na forma

clássica, Re= ñVd/ì, onde d, V, ñ e ì representam o diâmetro e a velocidade da bola relativo ao ar (pode

estar ventando), e massa específica e viscosidade do ar.

Bolas modernas são esféricas, feitas de resinas sintéticas de materiais diversos (algumas de

uretana) contendo tipicamente duas ou três camadas com certo grau de elasticidade, tendo em geral um

núcleo rígido. Como é bem conhecido, a bola possui na superfície alvéolos (mini-cavidades) com formato

e distribuição diversa, de acordo com o fabricante ou a preferência do jogador. Portanto, não há um padrão

fixo para a geometria, constituída normalmente por 300 a 500 alvéolos.

O objetivo dos alvéolos é tornar a superfície com características similares de uma rugosidade

elevada e, assim, mudar o comportamento da camada limite e a forma do escoamento “externo” próximo

à bola. A segunda Figura (a) mostra que a presença dos alvéolos adianta a região da camada limite

laminar (para jusante), atrasando a região turbulenta para uma área menor na parte de trás da esfera.

Conseqüentemente, muda a distribuição de pressão na superfície (tornando-a mais simétrica com relação

ao plano vertical que passa pelo centro da esfera), reduzindo o arraste aerodinâmico para uma ampla faixa

do número de Reynolds, permitindo deslocamentos a grandes distâncias. O arraste aerodinâmico é

caracterizado pela expressão

onde CD é o coeficiente de arraste, At a área da superfície frontal (At= ðd2/4), ñ e V a massa específica do

ar e velocidade relativa da bola. A Fig. (b) mostra gráficos para o coeficiente de arraste de 8 bolas de golf

com diferentes tipos de alvéolos obtidos recentemente em laboratório.

Figura (a) Fig ura (b)

(1)

1.45

Figura (c) Figura (d)

Com base nas informações sugeridas na Fig. (b), o gráfico para o coeficiente de arraste da bola

de golf MAX,está mostrado na Fig. (c) e, em maior detalhe, na Fig. (d). Note que o número de Reynolds

crítico está em torno de 6×104 e que, acima de aproximadamente 105, CD tende para um valor constante

em torno de 0,27.

Problema: Determinar: (a) uma expressão para o coeficiente de arraste global (1< Re < 2,5×105); (b) a

equação para a trajetória da bola y(x) para velocidade e ângulo inicial especificados; (c) as posições x(t)

e y(t) em função do tempo; (d) os valores da velocidade V(t), número de Reynolds Re(t) e coeficiente de

arraste CD(t) em função do tempo; (e) para uma velocidade inicial (tacada), o ângulo ótimo para a maior

distância xfim. Obs. Ignorar efeito de sustentação, admitir condição atmosférica padrão, com velocidade

de vento zero.

Solução: Correlação para CD: Considerando a curva obtida para a bola Maxfli (Max), que nitidamente

obteve o melhor desempenho para os valores mais altos de Reynolds, sugerimos a seguinte expressão,

válida para o intervalo 1 < Rer < 2,5×105

As equações apresentam boa continuidade nos limites dos intervalos. Note-se que para Rer < 6×104 o

comportamento do coeficiente de arraste é similar ao da esfera lisa, apesentando um valor

aproximadamente constante igual a 0,48 para o intervalo 103 < Rer < 6×104 conforme pode ser visto na

Fig. (b). Para Reynolds superior a 1,2×105, CD tende para um valor constante, aproximadamente igual a

0,27.

(2)

1.46