comutaÇÃo controlada de solitÕes em … · caminho que me souberam ajudar e guiar nos momentos...
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COMUTAÇÃO CONTROLADA DE SOLITÕES
EM ACOPLADPRES DE FIBRA ÓPTICA
Elizângela Furtado Fernandes
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Júri
Presidente: Prof.Doutor Fernando Duarte Nunes Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa
Vogal: Prof. Doutora Isabel Maria Silva Pinto Gaspar Ventim Neves
Fevereiro de 2014
i
AGRADECIMENTOS
Durante a minha formação académica foram muitos os que contribuíram para o meu sucesso.
Na impossibilidade de referir a todos, vou referir apenas aquelas cujas contribuições foram
mais substanciais.
Em primeiro lugar agradeço a Deus pela força e coragem, por ter posto pessoas certas no meu
caminho que me souberam ajudar e guiar nos momentos difíceis.
A minha família por todo amor e carinho, por me terem ajudado a concluir mas uma etapa,
pelos incentivos que me foram transmitidos. Principalmente por terem acreditado em mim em
especial ao meu pai que certamente estará orgulhoso da filha.
Ao Professor Doutor António Topa agradeço, para além da sua permanente disponibilidade e
muito boa disposição demonstrada longo de todas as reuniões que tivemos, o modo como me
apoiou durante todo o processo de realização desta dissertação.
Por fim, um agradecimento muito especial aos meus amigos dentro e fora do IST em especial
a “mutxulada”,Jessica Joyce, Adelcio Rosa, Kathia Amarante,Dórise Lima e Indira Gandi por
todo apoio, pela ajuda, pela companhia e pelos bons momentos passados.
A Todos os que contribuíram para que esta dissertação fosse possível,
MUITO OBRIGADA!
ii
iii
RESUMO
A presente dissertação tem como base o estudo da comutação em redes ópticas. Para tal
encontra-se estruturada em três partes:
i. A primeira parte consiste no estudo da comutação em regime linear. Começa-se por
apresentar a Equação que governa a propagação de impulso em regime linear onde é
apresentada o método numérico através do qual é possível aferir da influência da DVG
na propagação do impulso. É apresentada ainda a Equação de acoplamento em regime
linear. A última parte da comutação em regime linear centra-se no estudo de um
agregado de N de fibras ópticas, em particular de duas e três fibras onde foram
identificados os coeficientes de transmissão de um acoplador half-beat e full-beat. Por
fim, foi analisado o comportamento dos coeficientes de transmissão quando se está na
presença de uma comutação assíncrona.
ii. A segunda parte consiste no estudo de comutação em regime não linear, onde é utilizada
à Equação não-linear de Schrödinger (NLS) para analisar a propagação do sinal em
regime não-linear. Foi utilizado ainda o método Split Step Fourier Method para simular
o comportamento dos solitões ao longo da fibra. Por fim, é apresentada a Equação de
acoplamento em regime não linear e analisada a influência da dispersão intermodal na
comutação de solitões, bem como o efeito da modulação de fase cruzada (XPM).
iii. A terceira e a última parte, consiste no estudo de comutação controlada de solitões onde
é estudada dois tipos de comutação: Auto-comutação e comutação controlada
localmente.
iv
v
ABSTRACT
This dissertation is based on the study of switching in optical networks. To this is structured
into three parts:
i. The first part is the study of switching in the linear regime. It begins by presenting the
equation that governs the propagation of pulse in the linear regime and the numeric
method by which to is possible assess the influence of the DVG impulse propagation.
The equation of linear coupling scheme is presented. The last part of this topic is
focused on the study of an array of N optical fibers, in particular two-and three fibers
where the transmission coefficients of a half -beat and full- beat coupler have been
identified. Finally, we analyzed the behavior of the transmission coefficients when in
the presence of an asynchronous switching.
ii. The second part is the study of switching in nonlinear regime, where the nonlinear
Schrödinger equation (NLS) is used to analyze the signal propagation in nonlinear
regime. The Split Step Fourier Method is use to simulate the behavior of solitons along
the. Finally, the coupling equation for the in non- linear regime is presented and
analyzed the influence of the modal dispersion in the soliton switching, as well as the
effect of cross phase modulation (XPM), are analyzed.
iii. The third and last part of this thesis is the study of controlled switching of solitons
studying two types of switching: self-routing switching and phase-controlled switching.
vi
vii
ÍNDICE
AGRADECIMENTOS ................................................................................................................ i
RESUMO .................................................................................................................................. iii
ABSTRACT ................................................................................................................................ v
ÍNDICE ................................................................................................................................... vii
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................ ix
LISTA DE SÍMBOLOS ............................................................................................................. xi
LISTA DE ACRÓNIMOS ........................................................................................................ xv
1 Introdução .............................................................................................................................. 1
1.1 Enquadramento ............................................................................................................... 1
1.2 Estado da arte .................................................................................................................. 4
1.3 Objectivos ....................................................................................................................... 5
1.4 Estrutura da Dissertação .................................................................................................. 5
1.5 Principais contribuições .................................................................................................. 6
2 Comutação em Regime Linear ............................................................................................... 7
2.1 Equação de Propagação de Impulso ................................................................................ 7
2.1.1 Simulação numérica ............................................................................................... 11
2.2 Acoplamento em Regime Linear .................................................................................. 15
2.3 Agregados de Fibras ópticas ......................................................................................... 18
2.3.1 Agregado Linear de N Fibras Ópticas Idênticas .................................................... 18
2.3.2 Acoplamento entre Duas Fibras ............................................................................. 19
2.3.3 Agregado Linear de Três Fibras Ópticas Idênticas ................................................ 26
2.3.4 Acoplamento Assíncrono ....................................................................................... 29
3 Comutação em Regime Não-linear ...................................................................................... 33
viii
3.1 Efeito Não-linear de Kerr numa Fibra Óptica ............................................................... 33
3.2 Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-linear ....................................... 38
3.3 Solução Analítica da Equação NLS .............................................................................. 41
3.4 Características do Solitão Fundamental ........................................................................ 46
3.5 Equação de acoplamento óptico em regime não-linear................................................. 49
3.6 Dispersão Intermodal na Comutação de Solitões em diferentes comprimentos de onda52
3.6.1 Acoplador no domínio da frequência ..................................................................... 52
3.6.2 Algoritmo numérico ............................................................................................... 54
3.6.3 Comutação de solitões com diferentes comprimentos de onda ............................. 54
3.7 Modulação Cruzada de Fase ......................................................................................... 60
3.7.1 Equação de acoplamento não-linear de Schrödinger ............................................. 62
3.7.2 Efeitos do alargamento espectral e temporal ......................................................... 63
4 Comutação Controlada de Solitões ...................................................................................... 68
4.1 Auto-Comutação ........................................................................................................... 68
4.1.1 Simulação Numérica .............................................................................................. 69
Curvas de transmissão .......................................................................................... 69
Efeito da modulação cruzada de fase ................................................................... 72
4.2 Comutação Controlada Localmente .............................................................................. 73
4.2.1 Simulação numérica ............................................................................................... 74
4.2.1.1 Optimização das curvas de transmissão ............................................................... 74
4.2.1.2 Efeito da modulação cruzada de fase ................................................................... 80
5 Conclusão ............................................................................................................................. 84
5.1 Principais conclusões .................................................................................................... 84
5.2 Perspectiva de trabalho futuro ....................................................................................... 85
6 Referências ........................................................................................................................... 86
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 1-Módulo da amplitude a entrada e a saída da fibra ................................................................................................. 14
Figura 2- a) Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra. b) Propagação do impulso gaussiano numa fibra óptica em
regime linear. ....................................................................................................................................................................... 15
Figura 3- Propagação de impulsos na fibra óptica 1(a) e na fibra 2 (b) vista 3D................................................................. 17
Figura 4- Propagação de impulsos na fibra óptica 1(a) e na fibra 2 (b) vista superior ........................................................ 18
Figura 5-Acoplamento entre duas fibras ópticas idênticas. ................................................................................................. 20
Figura 6-Coeficientes de transmissão, para a frequência da portadora ω =ω0 .................................................................... 24
Figura 7- Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat para s=6 ..................................................................... 25
Figura 8-Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat s=9 ............................................................................. 25
Figura 9-Agregado Linear de três fibras ópticas idênticas. ................................................................................................. 26
Figura 10-Coeficientes de transmissão para um agregado linear de três fibras ópticas idênticas ........................................ 29
Figura 11- Coeficientes de transmissão para um acoplador assíncrono com diferentes valores para a condição de
igualamento de fase 0.8∆= , ................................................................................................................................................ 31
Figura 12- Coeficientes de transmissão para um acoplador assíncrono com diferentes valores para a condição de
igualamento de fase 1∆= ..................................................................................................................................................... 32
Figura 13- Desvio de frequência num impulso gaussiano causado pela AMF. ................................................................... 37
Figura 14-Desvio de frequência num impulso gaussiano provocado pela DVG, na zona de dispersão anómala. ............... 38
Figura 15-a) Evolução do solitão fundamental ao longo da fibra óptica, 2b) Evolução do solitão de terceira ordem ao longo
da fibra óptica. ..................................................................................................................................................................... 46
Figura 16-Evolução de ( )t λ e ( )xt λ para fibra de dois núcleos idênticos ....................................................................... 53
Figura 17-Coeficiente de transmissão T em função da potência de pico normalizada p para diferentes comprimentos de
onda ..................................................................................................................................................................................... 55
Figura 18-Coeficente de transmissão em função da potência normalizada do pico de entrada para T e 1.58 mλ µ= obtida
através do modelo comum e do novo modelo que considera a dispersão intermodal. ......................................................... 56
Figura 19-Coeficiente de transmissão T em função de comprimento de onda λ ,para 3p = e 9p = com dispersão
intermodal. ........................................................................................................................................................................... 57
Figura 20-Sinal a saída do acoplador sem IMD: a)Sinal a saída paralela do acoplador; b) sinal a saída cruzada do acoplador.
............................................................................................................................................................................................. 58
Figura 21-Sinal à saída de um acoplador em regime linear com IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b) sinal à saída
cruzada do acoplador. .......................................................................................................................................................... 58
Figura 22-Sinal à saída de um acoplador em regime não-linear sem IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b) sinal à
saída cruzada do acoplador .................................................................................................................................................. 59
Figura 23- Sinal à saída de um acoplador em regime não-linear com IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b) sinal à
saída cruzada do acoplador. ................................................................................................................................................. 59
Figura 24- Separação de dois impulsos que propagam na fibra devido ao efeito da XPM .................................................. 65
Figura 25-efeito XPM no espectro dos dois impulsos ( 0L= ) ............................................................................................. 66
x
Figura 26-Alargamento e assimetria espectral causada pelo XPM no espectro de dois impulsos ( WL L= ) ........................ 66
Figura 27- Alargamento e assimetria espectral causada pelo XPM no espectro de dois impulsos (3 WL L= ) .................... 66
Figura 28- Diagrama exemplificativo do auto comutação ................................................................................................... 68
Figura 29-Curvas de transmissão na ausência de modulação cruzada de fase para os acopladores half-beat e full-beat .... 70
Figura 30-Evolução das energias parcias para o impulso do canal u em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva ........................................................................................................................................................ 71
Figura 31- Evolução das energias parcias para o impulso do canal v em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva. ....................................................................................................................................................... 71
Figura 32-Modulo dos dois Impulso a entrada do canal u ................................................................................................... 72
Figura 33- Perfis das modulantes u e v ao longo do comprimento de acoplamento num acoplador half-beat: a) canal u ; b)
canal v . ................................................................................................................................................................................ 72
Figura 34- Efeito da XPM no coeficiente de transmissão. .................................................................................................. 73
Figura 35-Diagrama exemplificativo da comutação controlada localmente ........................................................................ 74
Figura 36- curvas de de níveis ( ),T pφ para 6.6p = e 0φ = . ......................................................................................... 75
Figura 37-Curva de transmissão para 6.6p = epara diferentes valores de r . .................................................................... 76
Figura 38-Curvas de niveis com 15r = para diferentes valores de p ............................................................................. 77
Figura 39-Curva de transmissão para 15r = e 0σ = com diferentes valores de .p ........................................................ 77
Figura 40- Evolução das energias parcias para o impulso do canal u em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva ........................................................................................................................................................ 78
Figura 41- Evolução das energias parcias para o impulso do canal v em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva. ....................................................................................................................................................... 78
Figura 42-Modulo dos dois Impulso a entrada do canal u (azul) e módulo do impulso de controlo (vermelho) ............... 79
Figura 43- Perfis das modulantes u e v ao longo do comprimento de acoplamento num acoplador half-beat: a) canalu ; b)
canal v . ................................................................................................................................................................................ 80
Figura 44-Curvas de transmissão para 7.5optp = e 15optr = . ............................................................................................. 81
Figura 45- Curvas de transmissão para 15r = , 7.5p = com diferente valores de σ . ................................................... 81
xi
LISTA DE SÍMBOLOS
a Raio do núcleo da fibra óptica
u Constante de propagação transversal no núcleo
w Constante de atenuação na bainha
v Frequência normalizada
1n Índice de refracção do núcleo
2n Índice de refracção na bainha
λ Comprimento de onda
0k Constante de propagação no vácuo
0β Constante longitudinal no ponto0ω
2β Coeficiente da dispersão da velocidade de grupo
gv Velocidade de grupo
( ), ,0,E x y t Campo eléctrico
( ),F x y Funções modais elementares do modo
( ),B z t Distribuição longitudinal do campo eléctrico
( ),A z t Impulso que se propaga na fibra
( )β ω Constante longitudinal do modo fundamental
Ω Desvio de frequência
( )℘ Ω Termos de ordem superior da serie de Taylor
α Constante de atenuação
0τ Tempo característico da duração do impulso
xii
DL Comprimento de dispersão
NLL Comprimento não-linear
gτ Atraso de grupo
τ Variável de tempo normalizada
ζ Variável espacial normalizada
κ Coeficiente de dispersão de ordem superior
ξ Frequência normalizada
0ε Constante dieclétrica relativa
NLε Constante dieclétrica não-linear
*E Campo fictício
γ Parâmetro de não linearidade
I Intensidade óptica
effA Área efectiva
P Potência óptica
NLφ Fase não-linear
effL Comprimento efectivo
( )tδω Desvio de frequência
Γ Coeficiente de atenuação
σ Coeficiente da modulação cruzada de fase
∆ Condição de igualdade de fase
( ),U ζ τ Envolvente complexa normalizada do campo eléctrico
ρ Separação entre eixos das fibras ópticas
xiii
( )C ω Coeficiente de acoplamento
CL Comprimento de acoplamento
s Relação entre separação entre eixos e raio das fibras
0λ Comprimento de onda central
0C Coeficiente de acoplamento para a frequência da portadora
δ Coeficiente de acoplamento de primeira ordem
µ Coeficiente de acoplamento de segunda ordem
Τ Coeficiente de transmissão normalizado
Q Energia total
p Potência normalizada do pico de entrada
mK Função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem m
mJ Função de Bessel de primeira espécie de ordem m
HL Comprimento half-beat
BL Comprimento full-beat
N Ordem do solitão
t Coeficiente de auto transmissão
xt Coeficiente de transmissão cruzada
( )1ν τ∆ Chirp
WL Walk-off length
NLP Polarização não-linear
(3)xxxxχ Susceptibilidade magnética de terceira ordem de escalão quatro
R Relação entre as larguras dos impulsos
xiv
xv
LISTA DE ACRÓNIMOS
AMF Auto modulação de Fase
DVG Dispersão de Velocidade de Grupo
DSF Dispersion-shifted fibers
EDFA Erbium Doped Fiber Amplifier
FFT Fast Fourier Transform
IFFT Inverse Fourier Transform
IMD Intermodal Dispersion
IST Inverse Scattering Transform
LASER Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation
MEMS Micro-electromechanical systems
NLSE Nonlinear Schrödinger Equations
NZ-DSF Dispersion-shifted fibers
RLND Regime linear não-dispersivo
SPM Self-phase modulation
SSFM Split Step Fourier Method
TAT Transatlantic Telecommunication Cable
TPC Trans-Pacific Cable
XPM Cross-Phase Modulation
WDM Wavelength division multiplexing
3R Rescaling, Reshaping, Retiming
xvi
1
1 Introdução
1.1 Enquadramento
As telecomunicações são uma ciência exacta cujo desenvolvimento dependeu fortemente das
descobertas científicas e dos avanços na matemática que tiverem lugar na Europa durante o século
XIX. Foram as descobertas na área do electromagnetismo, que criaram as condições para o
aparecimento do primeiro sistema de telecomunicações baseado na electricidade: o telégrafo [1].
As redes de telecomunicações vêm, ao longo de um século e meio, transformando o quotidiano
das pessoas no mundo inteiro. Construindo novas formas de comunicação propondo diferentes
tipos de contacto e acesso às informações. As relações entre factos, história, conhecimento,
pessoas e nações se modificam e se integram em uma nova possibilidade de troca. Surge um novo
mundo onde, através das telecomunicações, as distâncias e o tempo diminuem, o conhecimento se
amplia e a comunicação se integra ao quotidiano das pessoas sob as mais diversas formas.
Em 1956, entrou em funcionamento o primeiro cabo transatlântico de telecomunicações que ligava
a Escócia ao Canadá (TAT-1) [2],transmitia 36 telefonemas ao mesmo tempo. Através de estações
retransmissoras, foram conectadas pela primeira vez as redes telefónicas do Reino Unido e da
Europa continental com as do Canadá e dos Estados Unidos. Neste mesmo ano termo fibra óptica
foi definido como um meio físico de transmissão em que a informação é transportada sob a forma
de impulsos de luz.
Em 1957 Gordon Gould deu um contributo importante para evolução da tecnologia óptica ao
introduzir o Laser (Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation), descrevendo este
dispositivo como uma fonte intensa de luz que produz radiação electromagnética monocromática
e de fases bem definidas. A primeira demostração do funcionamento do Laser deu-se no ano de
1960. Revolucionando a indústria de telecomunicação, contudo as fibras ópticas exibiam, durante
os anos 60 perdas superiores a 1000 dB/km – tornando-as impraticáveis em telecomunicações.
Em de 1966, Charles Kao e George Hockham propuseram a redução das perdas das fibras ópticas
através da redução/eliminação das impurezas das matérias de fabrico. Diversas equipas de
2
investigação analisaram o problema e foi possível reduzir as perdas para menos de 20 dB/km e
numa fase seguinte para menos de 1 dB/km [2].
Estes resultados levaram Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz ao serviço da Corning
Glass Works, produzirem em 1970, as primeiras fibras ópticas monomodal com uma atenuação
de 16 dB/km no comprimento de onda de 633nm, tornando assim, possível a sua utilização em
sistemas de comunicação.
Nas últimas décadas, os sucessivos desenvolvimentos fizeram surgir várias gerações de sistemas
de comunicação por fibras ópticas. A primeira geração surgiu na data 1980, tratava-se de fibras
multimodais operadas na primeira janela (comprimentos de onda 800 nm),onde as perdas ainda
são elevadas (2 dB/km), com taxa de transferência de 45 MB/s e espaçamento entre repetidores
de cerca de 10 km.
No ano de 1987 surge a segunda geração de fibras operadas na segunda janela (comprimentos de
onda 1300 nm),onde a dispersão é praticamente nula e as perdas são menores (0.5dB/km).
Em 1988, foi instalado o primeiro cabo transatlântico com capacidade para mais de 4000 chamadas
telefónicas designado por TAT-8 (Transatlatic Telecommunication Cable) [2]. Um ano mais tarde,
foi instalado o TPC-3 (Trans-Pacific Cable), sistema com características semelhantes ao TAT-8.
Desde 1979 que era conhecido o facto de as fibras atingirem o mínimo de atenuação na terceira
janela (cerca de 0.2 dB/km em 1550nm). Contudo, existia um problema: A dispersão nesta janela
era considerável (cerca 16 ps/km.nm). Para contornar este problema desenvolveram-se fibras de
dispersão modificadas designadas por DSF (dispersion-shifted fibers). Nestas fibras a dispersão é
nulo no comprimento de onda perto de 1550nm.
A terceira geração surge em 1990, com os cabos submarinos TAT-9, TPC-4 (Trans Pacific Cable)
e TAT-10/11 a operarem em cumprimentos de onda entre 1500 e 1600 nm (terceira janela), com
taxas de transferência até 10GB/s. Principal limitação da terceira geração era o uso de repetidores
3R (Rescaling, Reshaping, Retiming), repetidores espaçados entre 60 a 70 km.
A terceira geração fica ainda marcada pelo aparecimento dos amplificadores ópticos, permitindo
amplificar directamente o sinal sem recurso adicional a electrónica. Destes amplificadores
destacam-se as fibras amplificadoras dopadas, com érbio designadas EDFA’s (Erbium Doped
Fiber Amplifiers). Estes amplificadores apresentam um ganho elevado na banda de 1530-1565nm
(banda C).
3
A utilização dos EDFA’s permitiu aumentar consideravelmente a distância entre os regeneradores
60 a 100 km (ou ate mesmo eliminar completamente o seu uso).
Com o objectivo de aproveitar completamente a bandas dos EDFAs, surge assim a quarta geração
sistemas de comunicação por fibras ópticas cuja principal característica é trabalhar num domínio
completamente óptico, nela ser aplicada a multiplexagem no comprimento de onda (WDM -
Wavelength Division Multiplexing). Possibilitando assim, o aumento da capacidade e o ritmo da
transmissão. O princípio de funcionamento dos EDFAs permite a amplificação independente do
ritmo e do número de canais o que torna os sistemas ópticos mais flexíveis.
Em 1996 entraram em funcionamento os primeiros-cabos submarinos desta geração, TPC-5 e
TAT-12/13, utilizavam EDFAs e operavam a 1550 nm atingindo taxas de transferência 5.30 GB/s.
Em 2000, o TPC-6 atingia taxa de transferência de 100 GB/s. A utilização de técnicas de WDM
permite aos sistemas de comunicação óptica de hoje em dia a atingir taxas de transferência
superiores a 1 TB/s [3].
O uso das fibras DSF e a elevada potência total emitida (especialmente em sistemas com muitos
canais WDM) trouxe um novo problema para as comunicações ópticas, o feito não linear
designado por FWM (four-wave mixing). De modo a contornar o problema desenvolverau-se
fibras em que o comprimento de onda correspondente a dispersão nula se encontra fora da banda
C designadas por NZ-DSF (dispersion-shifted fibers).
Qualquer rede de comunicação depende fortemente de dispositivos capaz de comutar
apropriadamente o tráfego para o seu destino. Neste sentido, a electrónica oferece um número
variado de dispositivos tanto para o tráfego a nível electrónico como também para o tráfego em
fibras óptica, onde a conversão óptica-electrica é uma necessidade constante, o que limita o
tráfego, fazendo com que a comutação completamente óptica seja a solução desejada. Neste
sentido, vários tipos de dispositivos tem sido usado como suporte para o estudo de acoplamento
de energia entre canais. Dos quais, destacam redes Bragg, as fibras birrefringentes, acopladores
de núcleo duplo entre outros. Tem sido ainda experimentado novas matérias para acopladores tais
como, polímeros e semicondutores [4].
O estudo destes dispositivos começou com feixes de ondas electromagnéticas, onde se destaca o
estudo do comportamento não linear de um acoplador direcional por Jensen [5]. Devido à
necessidade de comutar impulsos para poder transmitir informação e ainda ao mau desempenho
destes comparadas com feixes levou a introdução de comutação de solitões, permitindo assim a
interligação destes dispositivos com sistemas de transmissão de longa distância baseados em
4
solitões numa perspetiva global de redes de comunicação. A primeira comutação de solitões foi
realizada num interferómetro de Segnac demostrando experimentalmente a viabilidade de
utilização de solitões em dispositivos de comutação [4].
1.2 Estado da arte
O estudo da quinta geração de sistemas de comunicação óptica encontra-se ainda em
desenvolvimento. Se por um lado o problema das perdas foram resolvidos com a introdução fibras
amplificadoras, ainda há que contornar problema da dispersão na propagação de impulsos.
Para solucionar este problema várias técnicas têm sido desenvolvidas nomeadamente
compensação de dispersão que reside no uso de dispositivo localizada junto do terminal capazes
de eliminar a dispersão acumulada em toda a ligação, gestão da dispersão como uma forma de
projectar sistemas convencionais e por fim, sistemas com solitões (sistemas RZ não-lineares),
como uma forma revolucionária de conceber sistemas de comunicação óptica. As três soluções
apresentadas têm características comuns, como a utilização de EDFAs para amplificação óptica,
a necessidade de inclusão da técnica WDM para aumentar o débito binário e o uso da técnica de
gestão de dispersão nos sistemas WDM (sistemas convencionais ou sistemas com solitões).
A grande revolução nos sistemas de telecomunicação traduz-se no aparecimento da rede Internet,
ao rápido desenvolvimento, uso de computadores pessoais e desregulação das telecomunicações.
A necessidade do aumento da capacidade de tráfego de informação resulta da generalização de
novas tecnologias. Tendo em conta as grandes vantagens e capacidades das fibras ópticas, é
possível aferir que a utilização destes dispositivos como meio de transmissão (redes FTTx) será a
maneira mais apropriada de responder a estes requisitos.
A comutação óptica é o processo de direccionar o tráfego da entrada para a saída de um
determinado nó no domínio óptico sem qualquer conversão O/E/O. Têm-se diferentes soluções:
Comutação de circuitos, Comutação de pacotes óptica (Actualmente não é realizável devido à
inexistência de buffers ópticos, comutadores ópticos ultra-rápidos (ns) e processadores ópticos) e
ainda Comutação de rajadas óptica ou OBS ( optical burst switching) [6].
Actualmente solução baseada em MEMS (micro-electromechanical systems) é mais usada para
implementar comutação óptica. Os comutadores MEMS consistem em espelhos miniatura
movíveis com dimensões da ordem das centenas de micrómetros [6].
5
1.3 Objectivos
A presente dissertação tem como principal objectivo o estudo da comutação em redes ópticas. A
partir das equações para a propagação de impulsos em regime linear e em regime não-linear,
pretende analisadar a comutação em regime linear e não linear. Outro objectivo é o estudo de
agregados de fibras ópticas com acoplamento assíncrono.
Como o método para a análise numérica na obtenção dos resultados sobre a propagação de solitões
ao longo da fibra é usado o Split Step Fourier Method (SSFM).
Pretende-se igualmente o estudo dos efeitos da dispersão intermodal e da modulação cruzada de
fase no desempenho dos acopladores de fibra óptica.
Será abordada e analisada ainda a comutação controlada de solitões através do estudo da auto-
comutação e comutação controlada localmente.
1.4 Estrutura da Dissertação
De acordo com o objectivo apresentada acima, para estudo de comutação em regime linear
começa-se por apresentar e estudar a Equação que governa a propagação de impulso no regime
linear. Neste regime a propagação de impulso é governada sobretudo pela DVG. Para simular o
comportamento do impulso ao longo da fibra, ira ser apresentado ainda um método de resolução
numérica, através do qual é possível aferir a influência da DVG na propagação. Em seguida será
apresentada a Equação de acoplamento em regime linear. Serão analisados ainda os agregados
lineares de N fibras, bem como o caso particular de acoplamento entre duas fibras, onde serão
identificados os coeficientes de transmissão de um acoplador half-beat e full-beat. Por fim, é
analisada o comportamento dos coeficientes de transmissão quando se está na presença de uma
comutação assíncrona. Completando o estudo em regime linear começa se o estudo em regime
não linear, recorrendo à Equação não-linear de Schrödinger (NLS) para analisar a propagação do
sinal em regime não-linear. Será também estudado o equilíbrio entre a DVG e a AMF. Para simular
o comportamento dos solitões ao longo da fibra, é usado um método de análise numérica
conhecido por Split Step Fourier Method (SSFM). Será analisado o comportamento do solitão de
ordem três e do solitão fundamental, sendo também apresentadas as principais características do
solitão fundamental. Ainda em regime não linear é apresentado a Equação de acoplamento e por
fim será analisado a influência da dispersão intermodal na comutação de solitões, bem como o
efeito da modulação cruzada de fase (XPM).
6
Por último, serão abordados dois tipos de comutação controlada de solitões: auto-comutação e a
comutação controlada localmente. Na auto-comutação, através das curvas de transmissão, serão
determinados os níveis de energia de entrada que permitem a manutenção do impulso no canal
inicial e ainda que provocam a transferência para o canal oposto. Serão analisados ainda os efeitos
da XPM na auto-comutação. Quanto à comutação controlada localmente, será apresentado um
método de optimização, que permite optimizar vários parâmetros como: o ponto de funcionamento
em termos da potência do acoplador, a relação entre as energias dos impulsos e as fases ideais para
as duas comutações possíveis (parallel-state e cross-state). Também serão analisados os efeitos
da XPM
1.5 Principais contribuições
Principais contribuições ao nível de comutação em redes ópticas apresentadas nesta dissertação
são seguintes:
o Estudo da propagação de impulsos em acopladores de fibra óptica. Dedução dos
coeficientes de acoplamento e o seu estudo.
o Análise da influência da dispersão intermodal na comutação de solitão.
o Análise da Modulação cruzada de fase na forma e no espectro do solitão.
o Estudo de comutação controlada de solitão: Auto-comutação e Comutação controlada
Localmente.
7
2 Comutação em Regime Linear
2.1 Equação de Propagação de Impulso
Devido à dispersão da velocidade de grupo (DVG), os impulsos que se propagam numa fibra
óptica sofrem em regime linear um alargamento temporal que provoca interferência intersimbólica
[3].
Seja (0, )A t , um impulso a entrada 0z = da fibra óptica, assumindo que impulso modula uma
portadora de frequência angular 0ω . Supondo ainda que o campo eléctrico está polarizado
linearmente, segundo eixo x tem-se
( ) ( )0 0ˆx,y, ,t x,y, ,tE =x E (2.1)
com
( ) ( ) ( )0, ,0, , 0,E x y t E F x y B t= (2.2)
( ) ( ) ( )00, 0, exp .B t A t i tω= − (2.3)
Como o regime é monomodal, ( ),F x y representa a variação transversal do modo fundamental
01.LP Utilizando a coordenada transversal 2 2 2,r x y= + obtém-se
( ) ( )( )
0
00
0
,
,
rJ u r a
ar
J u rK w r a
wK a
≤ =
≥
(2.4)
8
onde a é o raio do núcleo da fibra óptica, as constantes normalizadas u e w são constante de
propagação transversal no núcleo e constante de atenuação na bainha, respectivamente
2 2 2u w ν+ = (2.5)
2 2 20 1 2k a n nν = − (2.6)
Sendo que 1n representa o índice de refracção do núcleo e 2n o índice de refracção da bainha e
0 /k cω= é a constante de propagação no vazio.
Para calcular o campo eléctrico num ponto 0z > ,é necessário calcular transformada de Fourier
no ponto 0z = . Tem-se
( ) ( ) ( ), , expA z A z t i t dtω ω∞
−∞
= ∫% (2.7)
( ) ( ) ( ), , expB z B z t i t dtω ω∞
−∞
= ∫% (2.8)
sendo as transformadas de Fourier inversa correspondentes
( ) ( ) ( )1, , exp
2A z t A z i t dω ω ω
π
∞
−∞
= −∫ % (2.9)
( ) ( ) ( )1, , exp .
2B z t B z i t dω ω ω
π
∞
−∞
= −∫ % (2.10)
Infere das equações (2.2) e (2.3) que
( ) ( ) ( )0, ,0, , 0,E x y E F x y Bω ω=% % (2.11)
( ) ( )00, 0, .B Aω ω ω= −%% (2.12)
Sendo ( )β β ω= a constante de propagação longitudinal do modo fundamental, tem-se
( ) ( ) ( )0, , , , ,E x y z E F x y B zω ω=% % (2.13)
( ) ( ) ( )( ), 0, expB z B i zω ω β ω=% % (2.14)
( ) ( ) ( )( )0, 0, exp .B z A i zω ω ω β ω= −%% (2.15)
9
Deste modo, num ponto 0z > , o campo eléctrico será
( ) ( )ˆ, , , , , ,x y z t xE x y z t=E (2.16)
com
( ) ( ) ( )0, , , , , .E x y z t E F x y B z t= (2.17)
De notar que a Equação (2.16) só é válida porque se admite que a fibra óptica mantém a
polarização. Tendo em conta que apenas nos interessa a transmissão da intensidade do campo
eléctrico e não a sua fase, esta suposição é uma forma de simplificar a notação, sem contudo
implicar a necessidade real de só se utilizarem fibras que mantenham a polarização [3].
De acordo com a Equação (2.15) tem-se
( ) ( ) ( ) 0
1, 0, .
2B z t A exp i z t dω ω β ω ω ω
π
∞
−∞
= − − ∫ % (2.18)
Introduzindo o desvio de frequência Ω em relação à portadora, tal que
0ω ωΩ= − (2.19)
vem
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0
1, 0,Ω Ω Ω Ω.
2B z t exp i t A exp i z t dω β ω
π
∞
−∞
= − + − ∫ % (2.20)
Aplicando à equação (2.20) desenvolvimento de Taylor para simplificar o cálculo, tém-se
( ) ( )0 0Ω Ωβ ω β+ = +℘ (2.21)
( )1
Ω Ω!
mm
m m
β∞
=
℘ =∑ (2.22)
em que ( )0 0β β ω= . Assim escreve-se
( ) ( ) ( )0 0, ,B z t A z t exp i z tβ ω= − (2.23)
( ) ( ) ( ) 1, 0,Ω Ω Ω Ω.
2A z t A exp i z t d
π
∞
−∞
= ℘ − ∫ % (2.24)
10
É importante afirmar que por 0ωΩ << ( ),A z t oscila com uma frequência muito menor do que
( ),B z t , logo ( ),A z t é uma função que varia lentamente com o tempo comparada com à função
( ),B z t .
Os coeficientes ( )1,2m mβ = , são dados por
0
m
m m
ω ω
ββω =
∂=∂
(2.25)
sendo
( )10
1
g
βν ω
= (2.26)
( )
0
2 20
1 g
g ω ω
νβ
ν ω ω =
∂= −
∂ (2.27)
1
.gν βω
−∂ = ∂ (2.28)
Onde 2β representa o coeficiente da DVG e gv a velocidade de grupo. As equações (2.17) e (2.23)
permitem escrever
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, , , , , .E x y z t E F x y A z t exp i z tβ ω= − (2.29)
Para calcular ( ),A z t a partir de ( )0,A t ,define-se
( ) ( ) ( )1, 0, , ;
2mA z t A Q z t d
π
∞
−∞
= Ω Ω Ω Ω∫ % (2.30)
em que
( ) ( ) , ;Ω Ω ΩQ z t exp i z t= ℘ − (2.31)
resulta da equação (2.24) que
( )1
A , .!
mm
m
Ai z t
z m
β∞
=
∂ =∂ ∑ (2.32)
Caso forem consideradas as perdas, é possível reescrever a equação (2.32) da seguinte forma
11
( )1
A , ( , )! 2
mm
m
Ai z t A z t
z m
β α∞
=
∂ = −∂ ∑ (2.33)
onde
( )2 , .mm
Ai A z t
z−∂ = −
∂ (2.34)
Deste modo, obtém-se a equação linear que permite calcular ( ),A z t a partir de ( )0,A t
1
1
0.! 2
m m
m mm
A i AA
z m t
αβ−∞
=
∂ ∂+ + =∂ ∂∑ (2.35)
Como os impulsos, no geral são de banda estreita é aceitável ignorar os coeficientes β de ordem
superior a três,
( ) 2 31 2 3 .
1 1
2 6β β β℘ Ω = Ω+ Ω + Ω (2.36)
Neste caso a equação (2.35) reduz-se a
2 3
1 2 32 3
1 10.
2 6 2
A A A Ai A
z t t t
αβ β β∂ ∂ ∂ ∂+ + − + =∂ ∂ ∂ ∂
(2.37)
2.1.1 Simulação numérica
Para a simulação numérica da propagação de impulso numa fibra óptica em regime linear há que
recorrer a FFT (fast Fourier transform) e a IFFT (inverse fast Fourier transform).
Desprezando os efeitos dispersivos, tem-se 0mβ = para 2m≥ . A equação de propagação de
impulso reduz-se
1
A A
z zβ∂ ∂= −
∂ ∂ (2.38)
no domínio das FFT esta Equação escreve-se na forma
1 ( , )Ã
i à zz
ωβ ω∂ =∂
(2.39)
cuja solução é
12
1( , ) (0, )exp( )à z à i zω ω ωβ= (2.40)
tendo
1
1( , ) (0, )[ ( ]
2à z t à i t z dtω ω β
π
∞
−∞
= − −∫ (2.41)
ou seja
1( , ) (0, ).A z t A t zβ= − (2.42)
Da equação (2.42) é possível concluir que na ausência dos efeitos dispersivos o impulso propaga
ao longo da fibra sem distorção com uma velocidade de grupo
1
1gv
β= (2.43)
O desprezo das coeficientes 2β e 3β não é aceitável para maioria das situações, mas para a analise
em questão despreza-se influência da dispersão de ordem superior. Permitindo analisar
isoladamente o efeito da DVG sobre propagação do impulso.
Define-se o atraso do grupo
1g zτ β= (2.44)
substituindo, 1β por 1
gv tem:
1
gg
zv
τ = (2.45)
assim é possível reescrever a Equação (2.42) como
( , ) (0, )gA z t A t τ= − (2.46)
define-se ainda o comprimento da dispersão como
2
0
2DL
τβ
= (2.47)
onde 0τ é um tempo característico da duração do impulso (0, )A t , e 2β é o coeficiente da DVG.
Para uma ligação de comprimento L os efeitos dispersivos são desprezíveis quandoDL L> .
Definem-se as variáveis normalizadas (adimensionais) para o espaço e o tempo:
13
D
z
Lζ = (2.48)
1
0
.t zβτ
τ−= (2.49)
Ao passar de variáveis reais ( , )z t para variáveis as variáveis normalizadas ( , )ζ τ tem-se
1
0
1
Dz L
βζ τ τ
∂ ∂ ∂= −∂ ∂ ∂
(2.50)
0
1
t τ τ∂ ∂=∂ ∂
(2.51)
assim a equação de propagação dos impulsos é dada pela equação diferencial
2 3
2 2 3
1sgn( ) 0
2
A A Ai β κ
ζ τ τ∂ ∂ ∂+ − =∂ ∂ ∂
(2.52)
onde
2 2 2sgn( )β β β= (2.53)
3
2 06
βκβ τ
= (2.54)
κ é o coeficiente de dispersão de ordem superior. Para a resolução numérica da equação (2.52)
o para de Fourier
( , ) ( , )exp( )Ã A i dζ ξ ζ τ ξτ τ∞
−∞
= ∫ (2.55)
( , ) ( , )exp( )Ã A i dζ τ ζ ξ ξτ ξ∞
−∞
= ∫ (2.57)
onde ξ é frequência normalizada ou seja adimensional tal que
0 0 0( )ξ τ ω ω τ=Ω = − (2.58)
no domínio da frequência a equação (2.52) fica da seguinte forma
14
2 32
1[ sgn( ) ] ( , )2
Ãi Ãβ ξ κξ ζ ξ
ζ∂ = +∂
(2.59)
tendo como a solução
2 32
1( , ) (0, ) exp [ sgn( ) ] .
2Ã Ã iζ ξ ξ β ξ κξ ζ= + (2.60)
Deste modo a resolução da Equação resume-se a 3 passos:
1) Calcula-se (0, ) [ (0, )]Ã FFT Aξ τ= ;
2) Calcula-se ( , )Ã ζ ξ usando a Equação;
3) Calcula-se ( , )A ζ τ = [ ( , )]IFFT Ã ζ ξ [1]
Nas ilustrações seguintes a presenta o efeito da DVG sobre um impulso com uma forma inicial
0( ) (0, ) sec ( )A A hτ τ τ= = (2.61)
Figura 1-Módulo da amplitude a entrada e a saída da fibra
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1entrada - Azul saída - Vermelho
Tempo
Am
plitu
de
15
Figura 2- a) Espectro do impulso gaussiano ao longo da fibra. b) Propagação do impulso gaussiano numa fibra
óptica em regime linear.
Na Figura 2-a) é possível verificar o alargamento e a diminuição da amplitude do impulso ao longo
da fibra, o alargamento do impulso deve-se ao facto de diferentes componentes espetrais viajarem
a velocidades diferentes ao longo a fibra.
Na Figura 2-b) é possível verificar que as componentes espectrais ao longo da fibra mantem as
suas características uma vez que se está a trabalhar em regime linear.
2.2 Acoplamento em Regime Linear
Considera-se duas fibras idênticas numa bainha comum interagindo entre si, originando-se assim
um fenómeno conhecido por dispersão intermodal provocada pela existência de dois super modos.
A dispersão vai provocar a passagem de energia electromagnética de uma fibra para a outra e,
desta forma, o campo numa fibra vai influenciar o campo na outra, e consequentemente a
propagação do sinal numa das fibras também depende do sinal existente a propagar-se na outra.
Para este caso o impulso é inserido em uma das fibras
( ) ( )2
1 20, exp e 0, 0.2
A Aττ τ −= =
(2.62)
As equações do acoplamentos linear entre duas fibras são dadas por:
16
( )2 2
1 2 1 22 22 2
1sgn
2
A A A Ai i Aδ β µ κ
ζ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂
(2.63)
( )2 2
2 1 2 12 12 2
1sgn .
2
A A A Ai i Aδ β µ κ
ζ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ∂ ∂ ∂ ∂
(2.64)
Manipulando algebricamente as equações (2.63) e (2.64) equações obtém-se, para o domínio
frequência
( )( )
( )( )
1 1
2 2
, 0,
, 0,
A A
A A
ζ ξ ξ
ζ ξ ξ
=
S
% %
% % (2.65)
com
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
22
, ,
cos , sin ,1exp sgn
2 sin , cos ,
ii
i
ζ ξ ζ ξ
θ ζ ξ θ ζ ξβ ξ ζ
θ ζ ξ θ ζ ξ
=
= ⋅
S MR M
(2.66)
em que
( ) ( ) 21, .
2bθ ζ ξ ξ ζ κ ξδ ξ µ ζ = = + +
(2.67)
Se não existir impulso à entrada da segunda fibra ( )2 0, 0A ξ = , obtém-se
( ) ( )1 11 1, 0,A S Aζ ξ ξ= (2.68)
( ) ( )2 21 1, 0,A S Aζ ξ ξ= (2.69)
onde
( ) ( )211 2
1exp sgn cos ,
2S i β ξ ζ θ ζ ξ = ⋅
(2.70)
( ) ( )221 2
1exp sgn sin , .
2S i iβ ξ ζ θ ζ ξ = ⋅
(2.71)
Admitindo ( )2 0, 0A ξ = , define-se os seguintes coeficientes de transmissão
17
( ) ( )( )
2
1 2 2
1
, 1, cos
20,
A
A
ζ ξτ ζ ξ κ ξδ ξ µ ζ
ξ = = + +
%
% (2.72)
( ) ( )( )
2
2 22
1
, 1, sin .
0, 2x
A
A
ζ ξτ ζ ξ κ ξδ ξ µ ζ
ξ = = + +
%
% (2.73)
Para obter os impulsos que propagam ao longo das duas fibras ópticas, utiliza-se o seguinte
processo
i. Calcula-se ( ) ( )[ ]1 10, 0,A FFT Aξ τ=% ;
ii. Calcula-se ( )1 ,A ζ ξ% e ( )2 ,A ζ ξ% ;
iii. Calcula-se ( ) ( )1 1, ,A IFFT Aζ τ ζ ξ= % e ( ) ( )2 2, , .A IFFT Aζ τ ζ ξ=
%
Considerando ainda a zona anómala de dispersão (( )2sgn 1β = − ) e 1κ = , 0.0156δ = − ,
42.4322 10 ,µ −= × obtém-se os seguintes gráficos de propagação de impulso ao longo das duas
fibras.
Figura 3- Propagação de impulsos na fibra óptica 1(a) e na fibra 2 (b) vista 3D
18
Figura 4- Propagação de impulsos na fibra óptica 1(a) e na fibra 2 (b) vista superior
Observando as Figura 3 e Figura 4 conclui-se que existe um acoplamento periódico ao longo da
fibra, que quando a amplitude do sinal numa fibra é máxima, na outra atinge zero.
Conclui-se ainda que está na presença de uma comutação perfeita onde a intensidade do impulso
para cada acoplamento, permanece constante em cada transferência de energia.
2.3 Agregados de Fibras ópticas
2.3.1 Agregado Linear de N Fibras Ópticas Idênticas
Considera-se N núcleos idêntico de raio a operadas em regime linear imersos numa bainha comum.
Os eixos dos N núcleos são paralelos e encontram-se todos alinhados segundo um dos eixos
transversais existindo entre eles um espaçamento uniforme 2aρ ≥ [3].
O campo longitudinal total é dado por
( ) ( ) ( )1
, , , , , .N
z n nn
E x y z t F x y B z t=
=∑ (2.74)
Sendo que o campo eléctrico longitudinal em cada núcleo é dado por
( ) ( ) ( ), , , , ,zn n nE x y z t F x y B z t= com 1 n N≤ ≤ (2.75)
onde ( ),nF x y é uma função modal elementar do n-ésimo núcleo do modo 01.LP
Considerando, apenas, o acoplamento entre núcleos adjacentes, tem-se
19
( ) ( ) ( ), ,z i zz
ω ω ω∂ = ⋅∂
B K B (2.76)
em que
( )
( )( )
( )
1
2
,
,,
,N
B z
B zz
B z
ωω
ω
ω
=
B
%
%
M
%
(2.77)
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( )( )
0 0
0
.
0 ( )
0 0
C
C C
CC
C
β ω β ωω β ω ω
ωβ ω ωω
β ωω
=
K
L
L
M M M M M
L
L
(2.78)
A resolução da equação (2.76) Consiste em diagonalizar a matriz K(ω) de acoplamento que é uma
matriz quadrada de ordem N .O primeiro passo é em determinar os valores próprios e os vectores
próprios da matriz de acoplamento.
.λ⋅ =K u u (2.79)
Os valores e vectores próprios que satisfazem a equação (2.79) são dados por
2 cos1n
nC
N
πλ β = + + (2.80)
( ) 2sin
1 1n
k
nku
N N
π = + + (2.81)
2.3.2 Acoplamento entre Duas Fibras
A diafonia (crosstalk) provocada pelo acoplamento entre fibras ópticas pode ser um problema
grave em sistemas de comunicação óptica. Considera-se dois núcleos idênticos e paralelos de
raio a imersos numa bainha comum operando em regime linear. A separação entre eixos é
2aρ ≥ [3].
20
Figura 5-Acoplamento entre duas fibras ópticas idênticas.
O campo elétrico em cada uma das “fibras” (com n=1,2) é dado por
( ) ( ) ( ), , , , , .zn n nE x y z t F x y B z t= (2.82)
Considerando a teoria escalar do acoplamento entre fibras onde se admite que o campo
longitudinal é dado por
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , , , .zE x y z t B z t F x y B z t F x y= + (2.83)
Quando distância entre as duas fibras é infinita (ρ = ∞ ) não existe interação eletromagnética
entre elas pelo que
( )( )
( )( )
( )( )
1 10
02 2
, ,0.
0, ,
B z B zi
z B z B z
ω ωβ ωβ ωω ω
∂ = ∂
% %
% % (2.84)
Caso contrário ( aρ ≥ ) introduz-se
0 .β β β= +∆ (2.85)
Em que β∆ é a perturbação devida à interação eletromagnética entre os dois núcleos. Desde modo
tem-se
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
1 1
2 2
, ,
, ,
B z C B zi
z CB z B z
ω β ω ω ωω β ωω ω
∂ = ∂
% %
% % (2.86)
onde se introduziu coeficiente de acoplamento C . A equação (2.86) pode ser escrita na forma
21
( ) ( ) ( ), ,z i zz
ω ω ω∂ = ⋅∂
B K B (2.87)
com
( ) ( )( )
1
2
,,
,
B zz
B z
ωω
ω
=
B%
% (2.88)
( ) ( )( )
( )( )
.C
C
β ω ωω
ω β ω
=
K (2.89)
A resolução da equação (2.87) consiste em diagonalizar a matriz K para tal é introduzido a
matriz M tal que
( ) ( ), , .z zω ω= ⋅B M Φ (2.90)
Substituindo a equação (2.90) no (2.87) vem,
( ) ( ) ( )1, , .z i z
zω ω ω
−∂ = ⋅ ⋅ ∂Φ M K Φ (2.91)
A matriz M será uma matriz diagonalizadora da matriz de acoplamento K se se tratar de uma
matriz modal, isto é, se as suas colunas forem vectores próprios de K .
A matriz M é determinada através do calculo de vectores próprios e valores próprios de K .
Os valores próprios são dado por
Cλ β+ = + Λ Cλ β− = + (2.92)
e os respectivos vetores próprios são dadas por
11
12u+
=
Λ
11
12u−
= −
(2.93)
pelo que
[ ] 1 11.
1 12+ −
= = −
M u u (2.94)
É possível ver que a matriz M é ortogonal isto é
22
1
.−
=M M
(2.95)
Nestas condições a equação (2.91) reduz-se a
( ) ( ) ( ), ,z i zz
ω ω ω∂ = ⋅∂Φ Λ Φ (2.96)
sendo
( ) ( )( )
,,
,
zz
z
φ ωω
φ ω+
−
=
Φ
%
% (2.97)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0.
0
C
C
β ω ωω ω
β ω ω+
= ⋅ ⋅ = − Λ M K M (2.98)
ComoΛ é matriz diagonal as soluções da equação (2.96), são agora fáceis de encontrar.
( ) ( ) ( ), , 0,z zω ω ω= ⋅Φ E Φ (2.99)
onde
( ) ( ) ( )( )
exp 0, exp .
0 exp
iC zz i z
iC z
ωω β ω
ω
= − E (2.100)
É de salientar que o vector B está relacionado com os modos elementares associados a cada guia
de raio ,a e o vector Φ está relacionado com os modos característicos da estrutura considerada
como um todo, ou seja, com os supermodos do acoplador [3]. Conclui-se que da interação dos
modos de cada fibra resultam dois modos supermodos do acoplador:
o Supermodo simétrico ou par associado ao φ+% ;
o Supermodo anti-simétrico ou impar associado ao φ−% .
Define-se a função de transferência do acoplador T tal que
( ) ( ), ( , ) 0,z zω ω ω= ⋅B T B (2.101)
com
23
( ) ( ), ,z zω ω= ⋅ ⋅T M E M (2.102)
pelo que
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )( )
1 1
2 2
cos sin, 0,exp .
, 0,sin cos
C z i C zB z Bi z
B z Bi C z C z
ω ωω ωβ ω
ω ωω ω
=
% %
% % (2.103)
Considera-se um acoplador de comprimento CL em que ( )2 0, 0B ω =% , define-se os seguintes
coeficientes de transmissão
( ) ( )( ) ( )
2
21
1
,, cos
0,C
C C
B Lt L C L
B
ωω ω
ω= =
%
% (2.104)
( ) ( )( ) ( )
2
22
1
,, sin .
0,C
x C C
B Lt L C L
B
ωω ω
ω= =
%
% (2.105)
Sendo 0ω a frequência da portadora do sinal define-se o comprimento C HL L= (half-beat
length),como a menor distância para qual os módulos das envolventes dos impulsos comutam de
núcleo relativamente à situação à entrada. Dada por
( ) ( ) ( )0 00
, 0, , 1.2H H x HL t L t LC
π ω ωω
= ⇒ = = (2.106)
Da analogamente, define-se C BL L= (full-beat length), como a menor distância para o qual os
módulos dos envolventes dos impulsos nos dois núcleos são iguais aos da entrada, tem-se
( ) ( ) ( )0 00
, 1, , 0.B B x BL t L t LC
π ω ωω
= ⇒ = = (2.107)
24
Figura 6-Coeficientes de transmissão, para a frequência da portadora ω =ω0
Definindo s aρ= com 2s ≥ o coeficiente de acoplamento é dado por
( )( )
20
3 21
2 K swuC
a v K w
∆= (2.108)
sendo que
1u v b= − , w v b= , ( )2 2 2
1 2 12n n n∆ = − (2.109)
1 0 2v n k a= ∆ é a frequência normalizada;0K e 1K são funções de Bessel modificadas.
20.9960
1.1428bv
= −
é constante de propagação normalizada pode ser determinada partir da
Equação de Rudolph-Neumann. Para um acoplador C HL L= (half-beat length), com os seguintes
parâmetros 0 1.55 mλ µ= , 4.5a mµ= , 1 1.5n = e 0.3%∆ = . Variando o valor des , obtém-se os
seguintes resultados.
25
Figura 7- Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat para s=6
Figura 8-Coeficientes de transmissão para um acoplador half-beat s=9
As Figura 7 e Figura 8 a variação do coeficiente de transmissão para um acoplador half-beat.
Analisando os mesmos é possível verificar que a partir do parâmetro sé possível controlar a
transferência de energia entre os núcleos. Quanto maior o valor do parâmetro s menor é a largura
de banda do acoplador.
26
2.3.3 Agregado Linear de Três Fibras Ópticas Idênticas
O processo é de todo identico ao consideradas em duas fibras.
Figura 9-Agregado Linear de três fibras ópticas idênticas.
Os valores próprios e os vectores próprios são dadas por
1
2
3
2
2
C
C
β ββ ββ β
+ = −
(2.110)
1 2 3
1 112 2
1 1 11 , 0 , 1 .
2 2 21 1 1
2 2
u u u
= = = − −
(2.111)
Sendo que a matriz diagonizadora da matriz de acoplamento é dada por
[ ]1 2 3
1 11
2 21
1 0 12
1 11
2 2
u u u
= = − −
M (2.112)
definindo
( ) ( ), ,z M zω ω= ⋅ΦB (2.113)
a equação (2.76) pode ser reescrita da seguinte forma
27
( ) ( ) ( ), ,z i zz
ω ω ω∂ = ⋅∂Φ Λ Φ (2.114)
sendo que
( )( )( )( )
1
2
3
,
,,
,
z
zz
z
φ ωφ ωω
φ ω
=
Φ
%
%
%
(2.115)
( ) ( )( )
( )( )
1
2
3
0 0
0 0 .
0 0
β ωω ω β ω
β ω
= ⋅ ⋅ =
Λ M K M (2.116)
Por a matriz Λ ser uma matriz diagonal obtém-se
( ) ( ) ( ), , 0,z zω ω ω= ⋅Φ E Φ (2.117)
com
( ) ( )( )
( )
exp 2 0 0
, exp 0 1 0 .
0 0 exp 2
i C z
z i z
i C z
ω
ω β ω
ω
= −
E (2.118)
A matriz de transferência do agregado será
( ) ( ) ( ), , . 0,z zω ω ω=B T B (2.119)
em que
( ) ( ), , .z zω ω= ⋅ ⋅T M E M (2.120)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1
1exp( ) 2 sin 2 2cos 2 2 sin 2 .
2cos 2 1 2 sin 2 cos 2 1
Cz i Cz Cz
i z i Cz Cz i Cz
Cz i Cz Cz
β
+ − =
− +
T (2.121)
Assumindo que
( ) ( )2 30, 0, 0B Bω ω= =% % (2.122)
obtém-se
28
( )( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 1
3
11 cos 2
2,
, exp 0, sin 2 .2
, 11 cos 2
2
C zB z
iB z i z B C z
B zC z
ωωω β ω ω ωω
ω
+ = ⋅ − −
%
% %
%
(2.123)
Para um agregado de comprimento CL , coeficientes de transmissão são dadas por
( ) ( )( ) ( )
22
11
1
, 1, 1 cos 2
0, 4C
C C
B Lt L C L
B
ωω ω
ω = = +
%
% (2.124)
( ) ( )( ) ( )
2
222
1
, 1, sin 2
0, 2C
C C
B Lt L C L
B
ωω ω
ω = =
%
% (2.125)
( ) ( )( ) ( )
22
33
1
, 1, 1 cos 2
0, 4C
C C
B Lt L C L
B
ωω ω
ω = = −
%
% (2.126)
assim como no agregado de duas fibras define-se comprimento C HL L= (half-beat length) para a
frequência de portadora 0ω
( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0 2 0
0
1 1, , , , .
4 22 2H H H HL t L t L t L
C
π ω ω ωω
= ⇒ = = = (2.127)
Analogamente o comprimento C BL L= (full-beat length)
( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 0 3 0
0
, , 0, , 1.2
B B B BL t L t L t LC
π ω ω ωω
= ⇒ = = = (2.128)
29
Figura 10-Coeficientes de transmissão para um agregado linear de três fibras ópticas idênticas
2.3.4 Acoplamento Assíncrono
Até então considerou-se acoplamento síncrono, ou seja todos os núcleos tinham a mesma
constante de propagação. No entanto esta condição nem sempre se verifica. Quando a constante
de propagação de um dos núcleos que defere do outro diz-se que está na presença de acoplamento
assíncrono [7].
Assumindo que 1 2β β≠ , e a equação de acoplamento definida na equação (2.87), tem-se
( ) ( ) ( )z i z zz
∂ = ⋅∂
B K B (2.129)
em que a matriz de acoplamento ( )ωK é definida por
1 12
21 2
.C
C
ββ
=
K (2.130)
Em que ( )12C ω e ( )21C ω são os coeficientes de acoplamento. Assim como no acoplamento
síncrono a resolução equação (2.129) consiste em calcular os valores próprios e vectores próprios
da matriz de acoplamento ( )ωK .
Os valores próprios são dadas por
30
1 2
2z
β βλ ψ+= ± (2.131)
onde
212 21C Cψ = ∆ + (2.132)
1 2
2
β β−∆ = (2.133)
em que ∆ representa a condição de igualdade de fase.
e os vectores próprios 1u e 2u , são dados por
12 1 21
21
ou para2
Cu
C
ψ β βλ ψψ +
−∆ + += = + ∆ + (2.134)
12 1 22
21
ou para2
Cu
C
ψ β βλ ψψ −
−∆ − += = − ∆ − (2.135)
tal como como no acoplamento síncrono, o cálculo de 1( )B z% e 2( )B z% a partir das condições iniciais
1(0)B% e 2(0)B% pode ser feito recorrendo à matriz modal
12 12 .C C
ψ ψ
= ∆ + ∆ − M (2.136)
Assim tem-se
( )( )
1 11
22
exp 0 (0)( ).
0 exp (0)( )
i z BB z
i z BB z
ββ
−+
−
=
M M
%
% (2.137)
Esta equação, ainda pode ser reescrita na forma
11
22
(0)( )( )
(0)( )
BB zz
BB z
=
S
%
% (2.138)
onde
31
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
1
12
1 221
exp 0( )
0 exp
cos sin sin
exp 2 .
sin cos sin
i zz
i z
Cz i z i z
i zC
i z z i z
ββ
ψ ψ ψψ ψ
β βψ ψ ψ
ψ ψ
−+
−
=
∆ − + ∆ +
S M M
(2.139)
Se para 0z = , a potência incidente existir apenas na primeira fibra óptica, isto é, ( )1 0 1B = e
( )2 0 0B = , tem-se
( ) ( )
( )( )1
1 2212
cos sin( )
exp 2 .( )
sin
z i zB z
i zCB z
i z
ψ ψψ
β βψ
ψ
∆ − = +
%
% (2.140)
Assumindo que os impulsos propagam na mesma direcção, tem-se ( ) *
12 21C Cω = . Ainda
Considerando um acoplador de comprimento CL define-se os coeficientes de transmissão de
potência
( ) ( )( ) ( ) ( )
2 22 22 21 12 21
2 2 2 21
cos cos0
CB z C Ct z z z
Bψ ψ
ψ ψ ψ ψ∆ ∆= = + = +
%
% (2.141)
( ) ( )( ) ( )
2 2
222
1
sin .0x
CB zt z z
Bψ
ψ= =
%
% (2.142)
Figura 11- Coeficientes de transmissão para um acoplador assíncrono com diferentes valores para a condição de
igualamento de fase 0.8∆= ,
32
Figura 12- Coeficientes de transmissão para um acoplador assíncrono com diferentes valores para a condição de
igualamento de fase 1∆=
Através do resultado da simulação (figura 11 e 12) é possível verificar que no acoplamento
assíncrono 1 2β β≠ a transferência de potência do núcleo 1 para o núcleo 2 nunca é 100%. Apenas
é possível a transferência de potência 100% para a condição de igualdade de fase 0∆ = , isto é,
para 1 2.β β= [7]
33
3 Comutação em Regime Não-linear
3.1 Efeito Não-linear de Kerr numa Fibra Óptica
O Efeito Kerr ou o efeito electro-óptico quadrático é uma mudança no índice de refração de um
material em resposta à intensidade de um campo eléctrico. [8].
Sendo β a constante de propagação longitudinal em regime linear e n o índice de refracção modal,
tem-se
0nβ κ= (3.1)
onde 0k representa a constante de propagação no vácuo.
No plano transversal (x,y) é possível estabelecer a seguinte relação entre o índice de refração e a
constante dielétrica ε.
( ) ( )2, ,x y n x yε = (3.2)
Em regime linear, a equação de Helmholtz permite escrever
( ) ( )2 2 2 20, , 0t F n x y k F x yβ ∇ + − = (3.3)
tendo em coordenadas rectangulares,
2 2
22 2
.t
F FF
x y
∂ ∂∇ = +∂ ∂
(3.4)
Na aproximação dos modos LP para fibras de pequeno contraste dieléctrico, admite-se
( ) ( )ˆ, , , , , ,x y z t E x y z t=E x (3.5)
assumindo que 0x yH E= = no caso xLP vem que
( ) ( ) ( ), , , , ,E x y z t F x y B z t= (3.6)
34
onde
( ) ( ) ( )0 0, , expB z t A z t i z tβ ω= − (3.7)
perturbando a constante dielétrica de tal forma que
( ),x yε ε ε′ = + ∆ (3.8)
independentemente do processo que lhe deu origem, e a nova constante de propagação
longitudinal será
β β β′ = + ∆ (3.9)
em que
2
02
.2
Fk
F
εβ
β∆
∆ = (3.10)
Usando a notação
( ),x y dxdyψ ψ∞ ∞
−∞ −∞
= ∫ ∫ (3.11)
e de acordo com a equação (3.2) vem que
( )2 ,n x y nε∆ = ∆ (3.12)
admitindo a aproximação ( , )n x y n≈ vem que
2
0 2.
nFk
Fβ
∆∆ = (3.13)
Numa fibra óptica de sílica, o efeito não-linear de Kerr estabelece que
( ) 2
2 *,n n x y n E′ ′= + (3.14)
onde *E é o campo fictício introduzido tal que
2 2
* *E y E I= = (3.15)
em que [ ] 2/I W m= representa a intensidade óptica uma vez que *y é uma admitância apropriada
vem que
35
( ) ( ) ( ) 22 2* *, , , , , .E x y z t y F x y A z t= (3.16)
Admitindo que
2
2 *n n E′∆ = (3.17)
a equação (3.10) pode ser reescrita da seguinte forma
( )4
2
* 2 0 2, .
Fy n k A z t
Fβ ′∆ = (3.18)
Introduzindo uma nova amplitude
( ) ( )2*, ,Q z t y F A z t= (3.19)
assim equação (3.18) pode ser escrita na forma
( ) 2,Q z tβ γ∆ = (3.20)
em que
2 0 22.
eff eff
n k n
A A
πγλ
′ ′= = (3.21)
A área efectiva é dada por
( )
( )
2
222
44
,
.
,eff
F x y dxdyF
AF
F x y dxdy
∞ ∞
−∞ −∞∞ ∞
−∞ −∞
= =∫ ∫
∫ ∫ (3.22)
Na aproximação gaussiana vem
( )2 2
20
, exp2
x yF x y
w
+= −
(3.23)
verificando que
20 2effA wπ= (3.24)
e assim
36
220
.n
wγ
λ′
= (3.25)
Onde [ ] 1 1W mγ − −= as normalizações adotadas fazem com que o parâmetro introduzido na
equação (3.20) representa a potência transportado, assim a mesma equação pode ser escrita na
forma
( ),P z tβ γ∆ = (3.26)
por outro lado a potência transportado ( ),P z t é dada por
( ) ( ) ( ), expinP z t P t zα= − (3.27)
onde α é o coeficiente de atenuação, a fase não-linear gerada pelo efeito de Kerr será
( ) ( ) ( )0 0 0
,L L L
NL t dz dz P z t dzφ β β β γ′= − = ∆ =∫ ∫ ∫ (3.28)
também conhecida como outo-modulação de fase (AMF)
( ) ( )NL in efft P t Lφ γ= (3.29)
onde effL representa o comprimento efectivo da fibra óptica dada por
( )11 exp .effL Lα
α= − − (3.30a)
O desvio da frequência instantânea local em relação à portadora provocada pela AMF é
( ) NL ineff
d dPt L
dt dt
φδω γ= − = − (3.30b)
este fenómeno também é conhecido como chirp.
37
Figura 13- Desvio de frequência num impulso gaussiano causado pela AMF.
sendo assim na frente do impulso tem-se
( )0 0indPt
dtδω> ⇒ < (3.31)
provocando assim um desvio para o vermelho. (ver Figura 13) Analogamente na cauda do
impulso tem-se
( )0 0indPt
dtδω< ⇒ > (3.32)
provocando-se assim um desvio para azul. (ver Figura 13)
sabendo que o coeficiente da dispersão da velocidade de grupo (DVG) é dada por
( )0
2 20
1.g
g ω ω
νβ
ν ω ω =
∂= −
∂ (3.33)
Na zona de dispersão anómala ( )Dλ λ> , em que 2 0β < , tem-se
0
0.g
ω ω
νω =
∂>
∂ (3.34)
38
Figura 14-Desvio de frequência num impulso gaussiano provocado pela DVG, na zona de dispersão anómala.
Devido à DVG, existe um desvio para o azul na frente do impulso e um desvio para o vermelho
na sua cauda (ver Figura 14). Precisamente o contrário do efeito provocado pela AMF (ver Figura
13). Assim, na zona de dispersão anómala, os efeitos da DVG e da AMF têm uma acção
antagónica. Isto deve-se o facto da velocidade de grupo dos componentes espectrais com
frequências altas ser maior que a velocidade de grupo dos componentes espectrais com frequências
mais baixas [9].
3.2 Equação de Propagação de Impulsos em Regime Não-linear
Devido ao efeito óptico de Kerr, a propagação de impulsos numa fibra óptica monomodal em
regime não-linear dispersivo (RNLD) é governada, simultaneamente pela DVG e pela
automodulação de fase (AMF) – além de outros efeitos de ordem superior [9].
Desprezando os termos de ordem 4m≥ e tendo em consideração a perdas de potência para o
regime linear tem-se
( ) ( ) ( ), 0, ,A z A f zΩ = Ω Ω% % (3.35)
onde
( ) 2 31 2 3
1 1, exp exp .
2 6 2f z i z z
αβ β β Ω = Ω + Ω + Ω −
(3.36)
39
Admite-se que em regime não linear a perturbação introduzida pelo efeito optico de kerr não afecta
a função modal. Contudo, pela equação (3.9) a constante de propagação longitudinal é dada por
β β β′ = + ∆ , De acordo com a equação (3.19), introduz-se a nova amplitude ( ),Q z t , tal que
( ) ( ) ( ), ; 0, , ; .Q z t Q g z tΩ = Ω Ω% % (3.37)
Onde
( ) ( ) ( )0
, ; , exp , .z
g z t f z i t dβ ς ς
Ω = Ω ∆ ∫ (3.38)
De acordo com a equação (3.37), vem que
( ) ( ) ( ) 2
0
, ; , exp ,z
g z t f z i Q t dγ ς ς
Ω = Ω ∫ (3.39)
usando a regra de Leibniz tem-se
( ) ( )2 2
0
, , .z
Q t d Q z tz
ς ς∂ =∂ ∫
(3.40)
A envolvente ( ),Q z t varia lentamente com o tempo pelo que esta variação será desprezada. Deste
modo, obtém-se
( ) 2,
QR z t i Q Q
zγ∂ = +
∂ (3.41)
tal que
( )2 3
1 2 32 3
1 1, .
2 6 2
Q Q QR z t i Q
t t t
αβ β β∂ ∂ ∂= − − + −∂ ∂ ∂
(3.42)
Considerando as variáveis normalizadas ( ),ζ τ , introduzidas no regime linear, tais que
D
z
Lζ = (3.43)
1
0
t zβττ
−= (3.44)
onde
40
20
2DL
τβ
= (3.45)
conclui que
( )2 3
2
2 2 3
1sgn
2 2D
Q Q Qi i L Q Q Qβ κ γ
ζ τ τ∂ ∂ ∂ Γ+ − − = −∂ ∂ ∂
(3.46)
sendo
3
2 06
βκβ τ
= (3.47)
.DLαΓ= (3.48)
Introduzindo assim uma nova amplitude normalizada ( ),U ζ τ tal que
( ) ( )0
,, ,
QU
P
ζ τζ τ = (3.49)
onde 0P é a potência de pico do impulso incidente, é possível reescrever a equação (3.46) na forma
( )2 3
222 2 3
1sgn
2 2
U U Ui i N U U i Uβ κ
ζ τ τ∂ ∂ ∂ Γ− − + = −∂ ∂ ∂
(3.50)
sendo
20
DD
NL
LN L P
Lγ= = (3.51)
onde NLL é o comprimento não-linear dado por
0
1.NLL
Pγ= (3.52)
A variável N , pode se eliminada da equação (3.50) introduzindo uma nova variável normalizada
( ),u ζ τ , tal que
( ) ( ), ,u NUζ τ ζ τ= (3.53)
e desta forma, equação (3.50) pode ser rescrita na forma
41
( )2 3
2
2 2 3
1sgn .
2 2
u u ui u u i u iβ κ
ζ τ τ∂ ∂ Γ ∂− + = − +∂ ∂ ∂
(3.54)
As equações (3.50) e (3.54) são as equações não-lineares de propagação de impulsos em fibras
ópticas regime monomodal. Deve ressaltar, que por não se considerar os efeitos não-lineares de
ordem superior (tais como o efeito Raman ou o self steepening). Estas equações não são aplicáveis
a impulsos ultra-curtos ou seja com duração da ordem dos subpicosegundos ou dos
femtosegundos.
Desprezando as perdas ( )0Γ= e a dispersão de ordem superior ( )0κ = , a equação (3.54) pode ser
escrita na forma
( )2
2
2 2
1sgn 0.
2
u ui u uβ
ζ τ∂ ∂− + =∂ ∂
(3.55)
A equação (3.55) é conhecida como equação não linear de não-linear de Schrödinger (NLS) e
pertence a uma classe especial de equação diferencial não lineares que podem ser resolvidas
utilizando o método inverso da dispersão ou IST (inverse scattering transform).
3.3 Solução Analítica da Equação NLS
Considerando zona de dispersão anómala, ( )2sgn 1β =− ,onde podem ocorrer solitões claros a
equação (3.55) pode ser escrita na forma
2
2
2
10.
2
u ui u u
ζ τ∂ ∂+ + =∂ ∂
(3.56)
Admitindo que a solução da equação (3.56) pode ser escrita como
( ) ( ) ( )0, , exp ,u u Y iZζ τ ζ τ ζ τ= (3.57)
sendo que, 0u , 0Y > e Z são reais, neste caso tem-se
( )2 2 30 expu u u Y iZ= (3.58)
( )0 expu Y Z
u iY iZζ ζ ζ
∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂ (3.59)
42
( )22 2 2
02 2 22 exp .
u Y Y Z Z Zu i Y iY iZ
τ τ τ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(3.60)
Substituindo estas expressões na equação (3.56) e igualando tanto a parte imaginária como a parte
real a zero obtém-se
22
2 302
2 2 0Y Z Z
Y Y u Yτ ζ τ
∂ ∂ ∂ − − + = ∂ ∂ ∂ (3.61)
2
22 2 0.
Z Y Z YY
τ τ τ ζ∂ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂
(3.62)
E ainda com o intuito de resolver as duas equações admite-se
( , ) ( )Y yζ τ θ= (3.63)
( ) ( ),Z aζ τ θ ζ= Θ + (3.64)
onde
θ τ ξζ= + (3.65)
A constante real ξ é a frequência normalizada. Usando as equações (3.63) e (3.64) tem-se
Y dy dy
d d d
θ ξζ θ ζ θ
∂ ∂= =∂
(3.66)
Y dy dy
d d d
θτ θ τ θ
∂ ∂= =∂
(3.67)
onde
.Y Yξζ τ
∂ ∂=∂ ∂
(3.68)
Analogamente, das equações. (3.64) e (3.65), vem
.Z Z
a ξζ τ
∂ ∂= +∂ ∂
(3.69)
Substituindo a equação (3.67) na (3.62)
2
22 2 0
Z Y Z YY ξ
τ τ τ τ∂ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂
(3.70)
Integrando o mesmo obém-se
212
ZY Cξ
τ∂ + = ∂
(3.71)
43
Sendo que 1C é denominada de constante de integração. Se se fizer 1 0C = conclui-se que
Z d
dξ
τ θ∂ Θ= = −∂
(3.72)
ou seja
( ) 2Cθ ξθΘ = − + (3.73)
onde 2C é uma outra constante de integração. Fazendo 2 0C φ= , resulta das equações (3.64), (3.65)
e (3.73) que,
( )20.Z aξτ ξ ζ φ= − + − + (3.74)
Uma vez encontrada a função( , )Z ζ τ , o próximo passo consiste em calcular a função( , ).Y ζ τ Da
equação (3.74) vem
2.
Za ξ
ζ∂ = −∂
(3.75)
Substituindo a equação (3.75) na (3.61) obtém-se
( )2
2 3 202
2 2d y
u y a yd
ξθ
= − − − (3.76)
considerando que
2 2
2 2
Y d y
dτ θ∂ =∂
(3.77)
fazendo
2 202 2u a ξ= − (3.78)
a equação (3.76) reduz-se
2
2 3 20 02
2 2 .d y
u y u ydθ
= − + (3.79)
Procedendo à mudança de variável
02x uθ= (3.80)
obtém-se a conhecida equação cnoidal
44
2
32
0.d y
y ydx
+ − = (3.81)
Para uma onda solitária considera-se a solução particular
( ) ( )0 0secy x y h x xµ= + (3.82)
desde de que
0 2y µ= (3.83)
2 1.µ = (3.84)
Como0 0y > , a solução aceitável da equação (3.84) é1µ = . Assim, a equação (3.82) assume a
forma
( ) ( )02sec .y x h x x= + (3.85)
Logo, de acordo com a equação (3.54) vem
( ) ( )0 02 sec 2y h u qθ θ = − (3.86)
onde foi introduzido a constante 0q tal que
0 0 02 .x u q= − (3.87)
Logo a solução apresentada na equação (3.57) reduz-se a
( ) ( ) ( )2 20 0, sec exp
2
iu h q i iζ τ η η τ ξζ ξτ η ξ ζ ϑ = + − − + − +
(3.88)
onde o coeficiente
02 .uη = (3.89)
Podendo agora compreender a necessidade de introdução o coeficiente a na equação (3.64) e de
acordo com as equações (3.78) e (3.89)
( )2 21.
2a η ξ= + (3.90)
Logo se 0a = tem-se
45
2 2η ξ=− (3.93a)
Contudo de acordo com a equação (3.89), esta última equação é incompatível com a suposição de
que a amplitude 0u deve ser real.
Quando 0ξ = , a equação (3.88) reduz-se a
( ) ( ) 20, sec exp .
2
iu h qζ τ η η τ η ζ = −
(3.93b)
Esta solução revela claramente que se trata de uma onda solitária, uma vez que se propaga sem
deformação e é uma envolvente localizada, i.e.
( ) ( )0, secu h qζ τ η η τ= − (3.93c)
( )lim , 0.uτ
ζ τ→±∞
= (3.94)
Onde ξ é o desvio normalizado de frequência em relação a portadora tal que
( )0 0 0.ξ τ ω ω τ= Ω = − (3.95)
O parâmetro η estabelece, simultaneamente, a amplitude e a largura do impulso. O parâmetro
0q define o centro do impulso em relação a 0ζ τ= = e o parâmetro 0ϑ estabelece a fase para
0ζ τ= = . À solução apresentada nas equações (3.88) e (3.93c) é denominada de solitão
fundamental. A sua forma canónica é apresentada fazendo 1η = e 0 0q = na equação (3.93c).
( ) ( ), sech exp .2
u iζζ τ τ =
(3.96)
Usando a IST, é possível mostrar que qualquer impulso incidente
( ) ( )0 0,u uτ ζ τ= = (3.97)
com a forma
( ) ( )0 secu N hτ τ= (3.98)
onde o parâmetro N introduzido nas equações (3.51) e (3.53), seja um inteiro, conduz à propagação
de um solitão de ordem N. No entanto, com a excepção do solitão fundamental ( )1N = , todos os
solitões com 2N ≥ não mantêm a sua forma como na equação (3.93c), mostram, em vez disso,
uma evolução periódica com período 0 / 2ζ π= que, em unidade reais, corresponde a
46
20
02
.2 2Dz L
τπ πβ
= = (3.99)
Figura 15-a) Evolução do solitão fundamental ao longo da fibra óptica, 2b) Evolução do solitão de terceira ordem ao
longo da fibra óptica.
Na Figura 15 encontra-se representado a evolução do solitão ao longo da fibra. O solitão de terceira
ordem ao propagar inicialmente sofre uma contração onde os efeitos de AMF predominamte face
a DVG para depois se dividir em várias componentes para mais tarde voltar juntar-se recuperando
assim a sua forma inicial quando o período é a distância. Este comportamento é observado para
todos os solitões com excepção de solitão de primeira ordem -a) para qual se propaga sem sofrer
qualquer distorção. Devido ao seu comportamento do ponto de vista de comunicação o solitão de
primeira ordem é o mais interessante. [10]
3.4 Características do Solitão Fundamental
Nesta secção pretende analisar as principais características do solitão fundamental ou seja 1.N =
Fazendo
0q qξζ=− + (3.100)
( )2 20
1
2φ η ξ ζ φ= + + (3.101)
47
0 0 0.qφ ϑ ξ= − (3.102)
A equação (3.88) pode ser reescrita na forma alternativa
( ) ( ) ( ), sec expu h q i q iζ τ η η τ ξ τ φ= − − − + (3.103)
e esta é equação é equivalente a equação (3.88) se se fizer ( )q q ζ= e ( )φ φ ζ= tais que
dq
dξ
ζ=− (3.104)
( )2 21.
2
d
d
φ η ξζ
= + (3.105)
Considerando 1η = , 1N = , 0 0 0q φξ = == e ainda as equações (3.49) e (3.53) a forma canónica
do solitão fundamental da equação (3.88) em unidades reais é dada por
( ) 10
0
, sec exp .2 D
t z zQ z t P h i
L
βτ
−=
(3.106)
Logo a energia do solitão fundamental será dada por
( ) 2
0 0, 2sE Q z t dt Pτ∞
−∞
= =∫ (3.107)
sabendo que para 0a >
( )2 2sec .h ax dx
a
∞
−∞
=∫ (3.108)
Contudo da equação (3.107) não se pode concluir que a energia seja proporcional à largura
temporal, pois de acordo com a equação (3.51) a potência de pico a potência de pico do solitão
fundamental corresponde a
20 2
0
.Pβγτ
= (3.109)
A energia do solitão é dada por
2
0sE
βγτ
= (3.110)
onde é possível concluir que a energia do solitão fundamental é inversamente proporcional à
largura temporal. Uma medida frequente da largura temporal do solitão fundamental sτ Onde
48
2s xtτ = em que ( ) 2, xQ z t é metade do valor máximo da potência de pico 0P , ou seja, sτ é a largura
FWHM (full width at half maximum)
( )10 cosh 2 .xt τ −= (3.111)
Uma vez que para 1x>
( ) ( )1 2cosh ln 1x x x− = + − (3.112)
Infere-se que
( )0 02 ln 1 2 1.763 .sτ τ τ= + ≈ (3.113)
Sendo, ( ) ( )sechf t at= , com 0a > , vem
( ) ( ) ( )exp sec .2
F f t i t dt ha a
π π∞
−∞
Ω Ω = Ω =
∫ (3.114)
Deste modo de acordo com a equação (3.106) vem
( ) ( )0 0 0 1
1, sec exp .
2 2 D
Q z P h i zL
ππτ τ β Ω = Ω Ω
% (3.115)
Sabendo que ( ) 2, xQ z t não depende dez e designando a largura FWHM de ( ) 2
, xQ z t por
s sω∆ = ∆ Ω obtém-se então
( )0 0
4 1.122ln 1 2 ,sω
πτ τ∆ = + ≈ (3.116)
Pelo que
( )28ln 1 2 1.978.s sτ ω
π∆ = + ≈ (3.117)
Pelo teorema de Parseval, tem-se
( ) ( )2 21, ,
2Q z t dt Q z d
π
∞ ∞
−∞ −∞
= Ω Ω∫ ∫% % (3.118)
sendo que a densidade espectral de potência do solitão fundamental é dado por
( ) ( ) 2, .S Q zΩ = Ω% (3.119)
49
( ) 0 0
12 .
2sE S d Pτπ
∞
−∞
= Ω Ω =∫ (3.120)
A área do solitão é comum definir-se como
( ), .A u dζ τ τ∞
−∞
= ∫ (3.121)
Atendendo que para 0a >
( ) 2sech ax dx
a
π∞
−∞
=∫ (3.122)
tem-se
2 .A π= (3.123)
Como, no solitão fundamental, a amplitude ηé inversamente proporcional à meia largura temporal
(dada por ( )0 /τ η ), a respectiva área é, efectivamente, independente de qualquer parâmetro
característico.
3.5 Equação de acoplamento óptico em regime não-linear
Nesta secção será apresentada as equações não-lineares de acoplamento que governam a
comutação de impulsos em acopladores de fibras ópticas com a não-linearidade de Kerr. Para o
efeito serão consideradas dois núcleos paralelos e idênticos,imersos numa bainha comum e
limitada.
Como já se tinha referido o campo eléctrico em fibra óptica é dada por
( ) ( ) ( ), , , , , ,n n nE x y z t F x y B z t= 1, 2n = (3.124)
Sendo que ( ),nF x y representa funções modais associadas ao modo 01LP de cada núcleo. Sabendo
que ( )β ω é constante de propagação do modo fundamental e 0ω a frequência da portadora, pode-
se então escrever
( ) ( ) ( )0 0, , exp ,n nB z t A z t i z tβ ω= − (3.125)
50
onde ( )0 0β β ω= e ( , )nA z t representam funções que variam lentamente com z. Quando se adopta
a expansão de Taylor tem-se
( ) 20 0 1 2
1
2β ω β β β+ Ω = + Ω + Ω (3.126)
Sendo que ( )0
m m
m d dω ω
β β ω=
= e 0ω ωΩ= − o desvio de frequência em relação à portadora.
( )1 ,A z t e ( )2 ,A z t satisfazem as seguintes equações NLS acopladas
2
21 1 2 11 1 1 0 22
02
A A Ai A A C A
z t t
ββ γ∂ ∂ ∂ + − + + = ∂ ∂ ∂ (3.127)
2
22 2 2 21 2 2 0 12
02
A A Ai A A C A
z t t
ββ γ∂ ∂ ∂ + − + + = ∂ ∂ ∂ (3.128)
onde ( )2 0 effn cAγ ω= é o parâmetro de não-linearidade e ( )0 0C C ω= é o coeficiente de
acoplamento para a frequência da portadora. Nestas equações não foram contabilizadas as perdas,
os efeitos de dispersão de ordem superior e o acoplamento não-linear introduzido pela XPM
(Cross-Phase Modulation) [11]. Daqui em frente, para todos os casos que se seguem considera-se
que o acoplador é do tipo half-beat.
0
.2cLC
π= (3.129)
Introduzindo as variáveis normalizadas já consideradas anteriormente
D
z
Lζ = (3.130)
1
0
t zβττ
−= (3.131)
Onde 2
0 2DL τ β= é o comprimento de dispersão e 0τ a largura de impulso.
Considerando a zona de dispersão anómala ( )20β < as equações (3.127) e (3.128) podem ser
reescrita da seguinte forma
2
21 11 1 22
10
2
u ui u u uκ
ζ τ∂ ∂+ + + =∂ ∂
(3.132)
51
2
22 22 2 12
10
2
u ui u u uκ
ζ τ∂ ∂+ + + =∂ ∂
(3.133)
onde
( ) ( )0
,, .n
n
Au N
P
ζ τζ τ = (3.134)
Sendo 2
D NLN L L= e o comprimento não-linear 01NLL Pγ= , para a potência de pico do impulso
incidente 0P . Nas equações (3.132) e (3.133) não foi considerada a dispersão intermodal, mas
introduziu-se coeficiente de acoplamento normalizado κ tal que
0 .DC Lκ = (3.135)
Assumindo que β− eβ+ representam os números de onda longitudinal para os supermodos ímpares
e par do acoplador óptico de duas fibras de núcleo idêntico respectivamente tem-se
( ) ( ).Cβ β ω ω± = ± (3.136)
Adoptando a expansão de Taylor tem-se
( ) 20 0 1 2
1
2C C C Cω + Ω = + Ω + Ω (3.137)
com ( )0
/ .m mmC d C d
ω ωω
== De acordo com as equações (3.136) e (3.137), as equações (3.127) e
(3.128) podem ser reescritas na forma
2 2
21 1 2 2 1 2 21 1 1 1 0 22 2
02 2
A A A A C Ai C A A C A
z t t t t
ββ γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.138)
2 2
22 2 1 2 2 2 11 1 2 2 0 12 2
0.2 2
A A A A C Ai C A A C A
z t t t t
ββ γ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − − + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.139)
Considerando mas uma vez as variáveis normalizadas ζ eτ, e ainda amplitudes normalizadas
( ),nu ζ τ , as equações (3.132) e (3.133) podem ser reescrita na seguinte forma
2 2
21 2 1 21 1 22 2
10
2
u u u ui u u uδ µ κ
ζ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + = ∂ ∂ ∂ ∂
(3.140)
52
2 2
22 1 2 12 2 12 2
10
2
u u u ui u u uδ µ κ
ζ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂+ + − + + = ∂ ∂ ∂ ∂
(3.141)
com
1 22
0 0
e .D DC L C Lδ µτ τ
= = (3.142)
Os coeficientes δ e µ são os coeficientes de acoplamento normalizados de primeira e segunda
ordem, respectivamente. De notar que se 0δ µ= = recupera-se equações NLS acopladas
representadas nas equações (3.132) e (3.133).
3.6 Dispersão Intermodal na Comutação de Solitões em diferentes comprimentos de onda
3.6.1 Acoplador no domínio da frequência
Se ρ representa a distância entre os eixos dos núcleos e ao raio do núcleo, seja / .s aρ= Então o
coeficiente de acoplamento de um acoplador não-linear em fibra óptica de dois núcleos idênticos
pode ser expressa pela equação (2.108) [12].
Introduzindo ( , )nB zω% com sendo a transformada de Fourier da equação (3.124)
( ) ( ) ( ), , expn nB z B z t i t dtω ω∞
−∞
= ∫% % (3.143)
Para 1, 2n = e de acordo com a teoria do acoplamento, tem-se
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
1 1
2 2
, 0,
, 0,
CB z B
CB z Bz
β ω ωω ωω β ωω ω
∂ = ∂
% %
% % (3.144)
Em regime linear
Se não houver sinal a entrada do segundo canal i.e. ( )2 0, 0B ω =% obtém-se
( ) ( ) ( ) ( )1 1, 0, exp cosB z B i z C zω ω β ω ω= % % (3.145)
( ) ( ) ( ) ( )2 1, 0, exp sin .B z iB i z C zω ω β ω ω= % % (3.146)
Assim usando a expansão de Taylor é possível obter as expressões aproximações para o cálculo
de coeficiente de transmissão nas duas fibras.
53
( ) 2 21sin
2 2t
πξ δξ µξκ
≈ +
(3.147)
( ) 2 21cos
2 2xtπξ δξ µξκ
≈ +
(3.148)
Sendo que ξ é a frequência normalizada dada por
0 .ξ τ= Ω (3.149)
Para a simulação destes coeficientes de transmissão foram usados os seguintes valores:
4.5 ma µ= ; 0.3%∆ = ; 1 1.50n = ; 0 1.55 mλ µ= ; 0 1psτ = ; 2
2 20ps kmβ = − ; ( )02.1195;V λ =
50D
L m= ; 78.54c
L m= ; 2c D cL Lζ π= = e 9.5124s = . Para obter um valor razoável de potência
de pico, considerou-se 1κ = . Uma vez desprezada a dispersão do material obtém0.0156δ = − e
42.4322 10µ −= × .
Figura 16-Evolução de ( )t λ e ( )xt λ para fibra de dois núcleos idênticos
De realçar que existe uma boa correspondência entre os resultados obtidos usando as expressões
exactas e os obtidos usando expressões aproximas. Nos comprimentos entre
54
1.52 1.58m mµ λ µ≤ ≤ existe uma correspondência exacta entre as duas formas de cálculo de
coeficiente de transmissão.
3.6.2 Algoritmo numérico
Para resolver as equações (3.140) e (3.141), será utilizado uma nova versão do Split- Step Fourier
Method (SSFM). Este método consiste em desenvolver um esquema interactivo de passo
longitudinal h que permite ir de início ( 0ζ = ) ate ao fim ( /C C DL Lζ ζ= = ) da fibra. Normalmente
no SSFM, a evolução de 1u e 2u ao longo de ζ é analisada em duas fases para separar os termos
lineares dos não-lineares. Na primeira fase, apenas são consideradas os termos não-lineares. Introduz-
se novas amplitudes 1v e 2v , tais que, (com 1, 2n = ) [12].
2
( , ) ( , )exp ( , ) .n n nv u ih uζ τ ζ τ ζ τ = (3.150)
Na segunda parte não se considera os efeitos não lineares apenas se considera os efeitos
dispersivos. Definindo ( )1 ,v ζ ξ% e ( )2 ,v ζ ξ% como sendo a transformada de Fourier de ( )1 ,v ζ τ e
( )2 ,v ζ τ respectivamente. Assim tem-se
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
21 1
2 2
, cos , sin , ,exp
2, ,sin , cos ,
u h h i h vih
u h vi h h
ζ ξ ϑ ξ ϑ ξ ζ ξξζ ξ ζ ξϑ ξ ϑ ξ
+ = − +
(3.151)
onde
( )2
, .2
h hξ µϑ ξ κ ξδ
= + +
(3.152)
Finalmente para obter ( )1 ,u hζ τ+ e ( )2 ,u hζ τ+ apenas será necessário encontrar as
transformadas de Fourier ( )1 ,u hζ ξ+ e ( )2 ,u hζ ξ+ respectivamente. Para calcular as
transformadas directas ou inversas de Fourier utiliza-se o algoritmo fast-Fourier-transform (FFT)
[12].
3.6.3 Comutação de solitões com diferentes comprimentos de onda
Definindo coeficiente de transmissão
55
( ) 2
1
1,CT u d
Qζ τ τ
∞
−∞
= ∫ (3.153)
Onde Q representa a energia total dada por
( ) ( )2 2
1 2, , .C CQ u u dζ τ ζ τ τ∞
−∞
= +∫ (3.154)
Para analisar o efeito da IMD na comutação de solitões com diferentes comprimentos de onda,
estuda-se a evolução da transmissividade T em função da potência de pico de entrada
normalizada ( )p para 0λ λ= e 0λ λ λ= ±∆ , com 30nmλ∆ = [12].
Figura 17-Coeficiente de transmissão T em função da potência de pico normalizada p para diferentes comprimentos
de onda
Os resultados obtidos na Figura 17 correspondem a uma entrada
( ) ( ) ( )1 0, sec expu p h p i hτ τ ξ= − (3.155)
com ( )2 0, 0u τ = . De acordo com a equação (3.149) têm-se
( ) 00 1
λξ λ ξλ
= −
(3.156)
56
onde 0 0 0,ξ ωτ= penas quando 0ξ = (i.e 0λ λ= ) obtém-se a curva habitual de transmissão não-
linear ( )T p com com ( )0 0T = . Para o caso de 0δ µ= = , todas as curvas seriam idênticas a
( )T p para o comprimento de onda central.
Este problema poderia ser resolvido recorrendo as equações (3.132) e (3.133) e escolhendo
correctamente o coeficiente κ . Assim, para 1.52 mλ µ= usa-se 0.6874κ = e para 1.58 mλ µ=
deve-se usar 1.4338κ = . Além disso, deve-se também tomar 0ξ = para a entrada, mantendo
/ 2Cζ π= ) [12].
Figura 18-Coeficente de transmissão em função da potência normalizada do pico de entrada para T e 1.58 mλ µ=
obtida através do modelo comum e do novo modelo que considera a dispersão intermodal.
Convém analisar ainda o comportamento da transmissividade T com comprimento de onda λ
para as duas entradas em que é diferente valor de potência de pico normalizada, Mantendo a
entrada dada pela equação (3.155).
57
Figura 19-Coeficiente de transmissão T em função de comprimento de onda λ ,para 3p = e 9p = com
dispersão intermodal.
Para estudar o efeito da IMD na comutação de solitões em sistemas WDM (Wavelength-Division
Multiplexing), analisou-se o comportamento da comutação para uma entrada
( ) ( ) ( )3
11
0, sec expk
u p h p i hτ τ ξ=
= −∑ (3.157)
Com ( )2 0, 0u τ = , ( )1 1.52 mξ ξ λ µ= = , ( )2 1.55 mξ ξ λ µ= = e ( )3 1.58 mξ ξ λ µ= = . O valor da
potência de pico é 9p = para todas as entradas.
58
Figura 20-Sinal a saída do acoplador sem IMD: a)Sinal a saída paralela do acoplador; b) sinal a saída cruzada do
acoplador.
De acordo com a Figura 20 é possível verificar que quando não se tem o efeito de IMD existe uma
comutação perfeita entre as duas fibras, uma vez que não existindo sinal a saída da fibra 1 o sinal
obtido a saída da fibra 2 é exatamente o sinal introduzido a entrada a da fibra 1.
Figura 21-Sinal à saída de um acoplador em regime linear com IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b) sinal
à saída cruzada do acoplador.
Como se pode constatar na Figura 21 quando se considera do efeito de IMD na comutação de
solitão o resultado obtido é completamente diferente da situação anterior onde não se considera o
efeito do mesmo. Verifica-se ainda que apenas para o comprimento de onda central a influência
da IMD não é significativa.
59
Figura 22-Sinal à saída de um acoplador em regime não-linear sem IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b)
sinal à saída cruzada do acoplador
Figura 23- Sinal à saída de um acoplador em regime não-linear com IMD; a) sinal à saída paralela do acoplador; b)
sinal à saída cruzada do acoplador.
Quando se contabiliza o efeito de IMD na comutação de solitões o efeito de IMD é mas destacada
do que em regime linear. Existe uma diferença considerável entre os resultados obtidos com e sem
a contabilização da IMD. Por isso, em sistemas WDM sempre é aconselhável a contabilização da
IMD.
Uma vez que se encontra dentro na região de dispersão anómala, o impulso que se encontra mais
à esquerda corresponde ao menor comprimento de onda, ou seja 1.52 mλ µ= .
60
Conclui-se que no estudo da comutação de solitões em sistemas WDM, não se deve utilizar as
equações (3.132) e (3.133) uma vez que estas não consideram a variação do coeficiente de
acoplamento com o comprimento de onda. As equações (3.140) e (3.141), são recomendadas nestas
situações, uma vez que estas já contabilizam esta variação [12].
3.7 Modulação Cruzada de Fase
Nesta secção pretende analisar-se o efeito de modulação cruzada de fase na propagação de
impulsos. Até momento considerou-se o caso em que a fibra propaga em único modo. Quando
dois ou mais modos propagam simultaneamente na mesma fibra, estes interagem entre si devido
a não-linearidade da fibra.
O índice de refracção efectivo de cada modo de propagação depende não só da intensidade óptica
do próprio feixe óptico (efeito Kerr), mas também da intensidade óptica de outros feixes ópticos
que propagam simultaneamente na fibra. Este fenómeno não-linear designa-se por modulação
cruzada de fase (cross-phase modulation – XPM) [13]. O efeito de modulação cruzada de fase
origina uma variação de fase do sinal óptico com a potência de um dos outros sinais transmitidos
simultaneamente na mesma fibra óptica, pelo que este efeito não linear só ocorre em sistemas
multicanal e é sempre acompanhado do efeito de auto-modulação de fase. Para perceber melhor
este fenómeno considera-se que o campo eléctrico de dois impulsos polarizados linearmente segundo
um dos eixos principais da fibra é dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
* *1 1 2 2 1 1 2 2
1ˆ, exp exp exp exp
2
c c
t x E i t E i t E i t E i tω ω ω ω
= − + − + +
E r6444447444448
(3.158)
em que c.c significa complexo conjugado, x é vector polarização unitária, 1ω e 2ω representa
frequência da portadora dos dois impulsos e as respectivas amplitudes 1E e 2E . Onde assume que
as amplitudes variam lentamente com o tempo, ou seja a largura espectral de cada um dos impulsos
satisfaz a seguinte equação:
,( 1,2)j j jω ω∆ << = .
Polarização não-linear é dada por
( ) ( )0, ,NL NLP t E tε ε=r r (3.159)
61
( ) 2(3)3, .
4NL xxxx E tε χ= r (3.160)
Sendo que 0ε representa constante dieclétrica no vácuo e (3)xxxxχ representa a susceptibilidade
eléctrica de terceira ordem de escalão quatro. Substituindo a equação (3.158) na equação (3.159)
obtém-se
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 1 2 2
1 2 1 2
2 1 2 1
1ˆ, exp exp
2
2 exp 2
2 exp 2 .
NL NL NL
NL
NL
P t x P i t P i t
P i t
P i t c c
ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω ω
= − + −
+ − −
+ − − +
r
(3.161)
A dependência dos quatros termos com 1E e 2E é dada da seguinte forma
( ) ( )2 2
1 1 2 12NL effP E E Eω χ= + (3.162)
( ) ( )2 2
1 2 1 22NL effP E E Eω χ= + (3.163)
( ) 2 *1 2 1 22NL effP E Eω ω χ− = (3.164)
( ) 2 *1 2 2 12NL effP E Eω ω χ− = (3.165)
com ( ) ( )303 4eff xxxxχ ε χ= é parâmetro efectivo não linear. As equações (3.162) e (3.163)
representam as contribuições não linear do índice de refração enquanto as equações (3.164) e
(3.165) resultam de um fenómeno denominado Four Wave Mixing (FWM). Para que a FWM tenha
algum efeito significativo na propagação é necessário satisfazer a condição de igualdade de fase.
Uma vez que este fenómeno não é abordado nesta dissertação, os termos da FWM serão ignorados
[13].
A contribuição não linear pode ser reescrita na forma
( ) 0 .NLNL j j jP Eω ε ε= (3.166)
Combinando a equação (3.166) com a parte linear a contribuição não linear total é dada por
( ) 0NL j j jP Eω ε ε=
(3.167)
com
( )2L NL Lj j j j jn nε ε ε= + = + ∆ (3.168)
62
Ljn representa a parte linear do índice de refracção e jn∆ a perturbação causada no índice de
refracção pelos efeitos não-lineares de terceira ordem. Desde de que j jn n∆ << , a componente não-
linear do índice de refracção pode ser escrita na forma
( )2 2
2 32 2 .NL Lj j j j jn n n E Eε −∆ ≈ = + (3.169)
Onde foi assumido que 1 2L Ln n n≈ = , o coeficiente de refracção não-linear é dado por
( ) ( )(3)
2 3 Re 8xxxxn nχ= ⋅ . (3.170)
A equação (3.169) é possível ver que o índice de refracção visto por um campo eléctrico na fibra
não depende apenas da sua intensidade óptica mas também da intensidade óptica de outros campos
que propagam na fibra. À medida que o campo eléctrico se propaga ao longo da fibra, a sua
intensidade óptica adquire uma dependência em relação ao desvio não-linear de fase dado por
( ) ( )2 2232 .j jNL NL
j j j j j
z znz z n E E
c c
ω ωφ β −= = ∆ = + (3.171)
Onde j=1 ou 2. O primeiro termo é responsável pela outo modulação de fase (AMF) e o segundo
termo pela modulação de fase cruzada (XPM). Mesma intensidade óptica, o efeito da XPM é duas
vezes maior que o efeito da AMF. Conclui-se ainda que no caso de propagação de dois impulsos
com a mesma polarização e a mesma intensidade o efeito de XPM é duas vezes mais significativo
do que AMF.
3.7.1 Equação de acoplamento não-linear de Schrödinger
Considere a equação do campo eléctrico dada por
( ) ( ) ( ) ( )0, , , exp , 1,2j j j jE r t F x y A z t i z jβ= = (3.172)
assume-se que os dois campos têm a função modal
( ) ( ) ( )1 2, , , .F x y F x y F x y= = (3.173)
Considerando apenas os termos de ordem inferior ou igual a dois para a constante de propagação
longitudinal e utilizando a extensão da serie de Taylor, tem-se as seguinte equações de
acoplamento NLS
63
( )2
2 21 1 1 111 21 1 1 1 2 12
22 2
A A AiA i A A A
z t t
αβ β γ∂ ∂ ∂+ + + = +∂ ∂ ∂
(3.174)
( )2
2 22 2 2 212 22 2 2 2 1 22
22 2
A A i AA i A A A
z t t
αβ β γ∂ ∂ ∂+ + + = +∂ ∂ ∂
(3.175)
Sendo que o parâmetro não-linear jγ (j=1, 2) é definido da seguinte forma
( )2 j
j
eff
n
cA
ωγ = (3.176)
Onde effA representa área efectiva do núcleo da fibra, tipicamente 250effA mm= para
1.55 .mλ µ= Mudando as equações (3.174) e (3.175) para sistemas de coordenadas, onde os
campos movem com a velocidade de grupo 1gv tem-se
( )2
2 21 1 121 1 1 1 2 12
22 2
A i AA i A A A
z T
αβ γ∂ ∂+ + = +∂ ∂
(3.177)
( )2
2 22 2 2 222 2 2 2 1 22
22 2
A A i Ad A i A A A
z T T
αβ γ∂ ∂ ∂+ + + = +∂ ∂ ∂
(3.178)
onde
11T t zβ= − (3.179)
1 212 11
1 2
.g g
g g
v vd
v vβ β
−= − = (3.180)
O parâmetro d é denominado por walk off parameter e representa a diferença entre as constantes
de propagação dos dois impulsos.
3.7.2 Efeitos do alargamento espectral e temporal
Assim como SPM, XPM causa o alargamento espectral do impulso e ainda pode alterar a forma
temporal do impulso ao interagir com a dispersão.
Se não foram consideradas as perdas na fibra e dispersão de terceira ordem as equações (3.174) e
(3.175) de acoplamento NLS reduzem a
( )2
2 21 121 1 1 2 12
22
A i Ai A A A
z Tβ γ∂ ∂+ = +
∂ ∂ (3.181)
64
( )2
2 22 2 222 2 2 1 22
2 .2
A A i Ad i A A A
z T Tβ γ∂ ∂ ∂+ + = +
∂ ∂ ∂ (3.182)
Definindo 0T como sendo a largura do impulso referente à 1
λ , define-se o walk off length WL ,
como o comprimento da fibra durante o qual dois impulsos sobrepostos separam-se um do outro
devido à diferença da velocidade de grupo
0 .WL T d= (3.183)
Analogamente define o comprimento da dispersão DL tal que
20 21 .DL T β= (3.184)
Dependendo do valor grandezas WL , DL e do comprimento da fibra L, os dois impulsos podem
evoluir de maneira muito diferente. Se DL L< e WL L< , os efeitos dispersivos não afectam a
propagação dos impulsos e podem ser desprezadas. Em contrapartida quando DL L<< e WL L< ,
a diferença entre a velocidade de grupo dos dois impulsos e o chirp podem afectar drasticamente
o espectro dos impulsos. Porém como DVG não afecta a propagação, o impulso mantém a sua
forma inalterada ao longo da fibra (ver Figura 24). Para esta situação as equações (3.181) e (3.182)
podem ser resolvidas analiticamente. Donde a solução geral para z L= , é dada por
( ) ( )1 1 1, 0, exp( )A L T A T iφ= (3.185)
( ) ( )2 2 2, 0, exp( )A L T A T dL iφ= − (3.186)
onde o desvio não-linear de fase é dado por
( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 20, 2 0,L
O
T L A T A T zd dzφ γ
= + −
∫ (3.187)
( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 10, 2 0, .L
O
T L A T A T zd dzφ γ
= + +
∫ (3.188)
65
A interpretação física das equações (3.185) e (3.186) é bastante claro. Ao propagar ao longo da
fibra a fase do impulso é modelada devido a dependência do índice de refração com a intensidade
óptica. A modulação de fase tem duas contribuições: XPM e SPM. A contribuição da XPM muda
ao longo da fibra devido à diferença de fase existente entre os impulsos que propagam na fibra
[13].
Considerando a amplitude inicial dada por
( ) ( ) ( )22
1 1 2 22 20 0
0, exp , 0, exp2 2
dT TTA T P A T P
T T
− = − = −
(3.189)
Onde 1P e 2P representa as potencia de pico dT é o atraso temporal inicial entre os dois impulsos.
Substituindo a Equação (3.189) nas equações (3.187) e (3.188) a fase não-linear é dada por
( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 2exp d dL P P erf erf
πφ τ γ τ τ τ τ τ δδ
= − + − − − −
(3.190)
( ) ( )( ) ( ) ( )2
2 2 2 1exp dL P P erf erfπφ τ γ τ τ τ δ τ
δ = − − + + −
(3.191)
onde
( ) ( )2
0 0 00
2exp , , , .
xd
d
T T dLerf x t dt
T T Tτ τ δ
π≡ − = = =∫ (3.192)
Para o exemplo que se segue foram utilizados os seguintes valores:
1 500 ,P mW= 2 250P mW= ,1
1 2 10W kmγ γ −= = , 3WL km= , 0 15T ps= , 0dT = e 5.δ =
Figura 24- Separação de dois impulsos que propagam na fibra devido ao efeito da XPM
66
Figura 25-efeito XPM no espectro dos dois impulsos ( 0L= )
Figura 26-Alargamento e assimetria espectral causada pelo XPM no espectro de dois impulsos ( WL L= )
Figura 27- Alargamento e assimetria espectral causada pelo XPM no espectro de dois impulsos (3 WL L= )
67
A Figura 24 ilustra o efeito de walk off. Inicialmente os impulsos estão sobrepostos, a partir do
momento que L aumenta os impulsos separam devido a diferença de velocidade de grupo. Este
efeito só é considerável para comprimento da fibra L maiores que o walk off length.
Nas Figura 26 e Figura 27 a característica mais notável é a assimetria espectral que se deve
unicamente devido a XPM. O espectro do impulso 2 é mais assimétrica porque a contribuição de
XPM é maior( )1 22P P= .
O desvio da frequência em relação a portadora, chirp induzido pela XPM pode ser obtido usando
as equações (3.187) e (3.188)
( )
( ) ( )( ) ( )( )
11
2 221 21
0
1
2
exp exp expd d
TL P
PT
φν τπ
γ τ τ τ τ τ τ δπ δ
∂∆ = −∂
= − − − − − − − −
(3.193)
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
22
2 2 21 12
0
1
2
exp exp exp .d d
TL P
PT
φν τπ
γ τ τ τ τ τ δ τπ δ
∂∆ = −∂
= − − − − − + − −
(3.194)
Para 0dτ = e |δ|<<1 (L<<L W), o chirp é dado pela seguinte relação
( ) ( ) ( )211 1 2
0
exp 2L
P PT
γν τ τ τ τ δπ
∆ ≈ − + − (3.195)
( ) ( ) ( )222 2 1
0
exp 2L
P PT
γν τ τ τ τ δπ
∆ ≈ − + + (3.196)
Quando DL for comparável com L e WL , o efeito combinado da AMF, XPM e DVG altera tanto
a forma do impulso como também o seu espectro. O efeito da XPM pode ser isolado considerando
que 2 2
1 2A A>> . Assim a Equação de acoplamento NLS reduz-se a
2
21 121 1 1 122
A Aii A A
z Tβ γ∂ ∂+ =
∂ ∂ (3.197)
2
22 2 2 222 2 2 1 22
2 .2 2
A A Aid A i A A
z t t
αβ γ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
(3.198)
68
4 Comutação Controlada de Solitões
4.1 Auto-Comutação
Auto-comutação pode ser definida como sendo a capacidade de um impulso comutar do canal onde
se encontra para outro canal, com base na sua potência de pico. Ou seja nos sistemas de auto -
comutação o controlo vem inscrito nos próprios impulsos, uma vez que a comutação depende da
energia de cada impulso. Assim dois impulsos de energia deferente podem ser desviados para canais
diferentes [14](ver Figura 28). Define-se assim dois estados de comutação: parallel-state que
corresponde a permanência de energia no canal inicial e cross-state que corresponde a transição de
energia para o canal oposto.
O estudo de auto-comutação tem como objectivo determinar a energia de entrada que permite a
manutenção do impulso no canal inicial e, também que provoca a transferência para o canal oposto.
Define-se a potência crítica CP como sendo a potência de pico mínima (na entrada) necessária para
manter pelo menos 50% da energia no canal inicialmente excitado.
Figura 28- Diagrama exemplificativo do auto comutação
69
Para o estudo de auto-comutação o impulso é penas lançado no núcleo 1 e foram utilizados os
seguintes impulsos:
( ) ( )0, secIN INu P h Pζ τ τ= = (4.1)
( )0, 0,v ζ τ= = (4.2)
em que INP é a potência de pico à entrada. A energia total do sistema é dada por
( ) ( ) ( )2 2, , .Q u v dζ ζ τ ζ τ τ
∞
−∞
= +∫ (4.3)
Se não houver perdas, a energia do sistema é constante e pode ser determinada como
2 INQ P= (4.4)
4.1.1 Simulação Numérica
Nesta secção pretende analisar e caracterizar as curvas de transmissão em função da potência de
entrada. Apresenta-se o resultado para os acopladores half-beat e full-beat e a influência da
modulação cruzada de fase.
Curvas de transmissão
As curvas de transmissão apresentam o coeficiente T definido na Equação (3.153) em função da
potência de pico na entrada INP . Este coeficiente representa a percentagem da energia total que
permanece no canal uno ponto ζ para os acopladores half-beat e full-beat
A Figura 29 apresentação coeficiente de transmissão em função da potência de pico para os
acopladores half-beat e full-beat, analisando o mesmo destaca-se duas zonas distintas: para o
acoplador half-beat para 4p < praticamente toda energia do canal ué transferida para o canal v (pelo
menos90%), para 9p > existe uma situação contraria a energia mantem-se canal inicial.
Ao contrário do acoplador half-beat o acoplador full-beat não apresenta uma zona bem definida de
transmissão de energia do canal u para canal .v Sendo assim este acoplador é excluido devido a
impossibilidade de controlar destino do impulso [14].
70
Figura 29-Curvas de transmissão na ausência de modulação cruzada de fase para os acopladores half-beat e full-beat
É necessário determinar ainda a distância temporal mínima que os dois impulsos devem estar para
que não haja a interferência entre os mesmos.
( ) 0 0 1 10, sec sec2 2
u p h p p h pζ τ τ τ ∆ ∆ = = − + +
(4.5)
( )0, 0v ζ τ= = (4.6)
Sendo que ∆ representa a distância temporal entre os dois impulsos
Define-se então as energias parciais do impulso0p e do impulso ( )1 ,p x u v=
( ) 2
0
,x HQ x dζ τ τ∞
+ = ∫ (4.7)
( )0
2,x HQ x dζ τ τ−
−∞
= ∫ (4.8)
A distância entre os dois impulsos deve ser tal que
( ) ( )0 0 1 1eu uQ T p Q Q T p Q+ −= = (4.9)
( ) ( )0 0 1 11 e 1v vQ T p Q Q T p Q+ −= − = − (4.10)
onde
0 0 1 12 e 2Q p Q p= = (4.11)
71
Representa a energia parcial do impulso0p e 1p respectivamente. De acordo com as definições para
uma potência de entrada 0 4p = e 1 10p = têm-se: 0.397uQ+ = , 3.603vQ+ = , 3.603vQ+ = e 0.140vQ− =
Figura 30-Evolução das energias parcias para o impulso do canal u em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva
Figura 31- Evolução das energias parcias para o impulso do canal v em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva.
Analizando as Figura 30 e Figura 31 conclui-se que o valor mínimo de 2∆ que verifica as condições
desejadas é 3, isto é min 6.∆ =
72
Os resultados que se segue foram obtido para um valor de 10∆ = sobre o qual é possível ver que o
impulso de maior energia permanece no canal uenquanto o de menor energia transita para o canal
.v
Figura 32-Modulo dos dois Impulso a entrada do canal u
Figura 33- Perfis das modulantes u e v ao longo do comprimento de acoplamento num acoplador half-beat: a) canal u ;
b) canal v .
Efeito da modulação cruzada de fase
Nos acopladores de fibra de núcleo duplo a modulação cruzada de fase depende da sobreposição entre
os campos dos modos de cada núcleo. Quando se tem em consideração o efeito da modulação cruzada
de fase a equação de acoplamento não linear de Schrödinger passa a ser escrita da seguinte forma
73
( )2
2 210
2
u ui u v u vσ κ
ζ τ∂ ∂+ + + + =∂ ∂
(4.12)
( )2
2 210
2
v vi v u v uσ κ
ζ τ∂ ∂+ + + + =∂ ∂
(4.13)
onde σ representa o coeficiente XPM.
Figura 34- Efeito da XPM no coeficiente de transmissão.
Como se pode observar na Figura 34 a medida que σ aumenta é necessário maior potência de entrada
para obter o mesmo valor de .Τ Verifica-se ainda aumento da potência critica com o aumento do
coeficiente de XPM.
4.2 Comutação Controlada Localmente
A comutação controlada é conseguida induzindo um impulso de controlo mais fraco que o impulso
de dados na entrada v até então não utilizada (ver Figura 35).O controlo de comutação depende das
características do impulso de controlo em relação ao impulso de dados.
Ao contrário da auto-comutação, na comutação controlada destino do impulso é controlada
dinamicamente pela rede.
74
Figura 35-Diagrama exemplificativo da comutação controlada localmente
Os impulsos de entrada podem ser definidos da seguinte forma:
( ) ( )0, secIN INu P h Pζ τ τ= = (4.14)
( ) ( ) ( )0, sec exp .ININ
Pv h P i
rζ τ τ φ= = (4.15)
Em que r é a relação entre as energias dos impulsos e φ diferença de fase entre os mesmos.
A obtenção das curvas de transmissão em função deφ reside em determinar INP e r. Convenciona-se
que a curva de transmissão desejada tem um valor máximo acima dos 90% e um valor mínimo abaixo
dos 10% e que deverá ter uma larga tolerância de φ em torno do máximo e do mínimo.
As margens de fase 1φ∆ e 2φ∆ definem-se como os intervalos de φ em que T se encontra acima de
0.9 e abaixo de 0.1, respectivamente. Qualquer dos intervalos deve conter 0φ = ou 180φ = ° . Neste
situação, a energia total é dada por
1
2 1 .INQ Pr
= +
(4.16)
4.2.1 Simulação numérica
4.2.1.1 Optimização das curvas de transmissão
Na comutação controlada é necessário optimazar os vários parâmetros tais como ponto de
funcionamento em termos de potência do acoplador ( )/opt INP P κ= ,relação entre a s enrgias e ainda
a as duas fases ideias para a comutação.
75
O processo de optimização consiste em determinar a optP e optr para o efeito é usado o seguinte
critério:
Inicialmente assume-se que o ponto de funcionamento em potência corresponde à potência crítica do
acoplador na auto-comutação e em seguida usa-se este valor para optmizar r por observação das
curvas de níveis ( ),T pφ . Depois de ter optr o processo seguinte consiste em determinar optP e este
é determinado observando as curvas de de níveis ( ),T pφ .
Tendo os valores optr e optP obtém os coeficientes 0φ = e 180φ = usando os observando as linhas de
de níveis ( ),T pφ . Na Figura 36 é representantado curvas de de níveis ( ),T pφ para 6.6p = e 0φ =
Figura 36- curvas de de níveis ( ),T pφ para 6.6p = e 0φ = .
Continuando o processo de optimzação na Figura 37 é apresentado curva de transmissão para
diferente valores de .r Analizando o mesmo constata-se que para r igual a 5 apesar de existir a
margem de fase 1φ∆ a margem de fase 2φ∆ é praticamente inessistente, para r igual a 15 existe tanto
am margem de 1φ∆ como a margem de fase 2φ∆ em relação a r igual a 35 não nenhuma das margem
fase. Escolhe se assim optr igual a 15 por este apresentar melhores resultados. O processo seguinte
consiste em usar este valor para determinar optp .
76
Figura 37-Curva de transmissão para 6.6p = epara diferentes valores de r .
Na Figura 38 apresenta variação de curvas de transmissão para diferentes p com optr igual a 15.
Analizando a mesma constata-se que para valores de p entre 4 e 6 o sinal do canal 1 é transferida
para o canal 2 por ter margem de fase inferior a 0.9 e para p maior do que 9 este fica no canal 1 por
não não haver margem de fase inferior a 0.1. Verifica-se ainda que o valor de optp está compreendida
entre 7 e 8 por este apresentar melhor comprisso com a margem de 1φ∆ e 2φ∆ .
Analizando a Figura 39 escolhe-se optp igual a 7.5 por este apresentar melhor melhor comprimisso
entre as margns de fase 1φ∆ e 2φ∆ Obtendo assim 1φ∆ entre 60− ° a60° , 2φ∆ entre 120°a 210° .
77
Figura 38-Curvas de niveis com 15r = para diferentes valores de p
Figura 39-Curva de transmissão para 15r = e 0σ = com diferentes valores de .p
Tal como acontece na auto-comutação em comutação controlada é necessário determinar a distância
temporal mínima entre os dois impulsos para que não haja a interferência entre os mesmos. Para o
78
efeito analisa-se a evolução das energias parcias dos impulsos (ver Figura 40 e Figura 41) e chega-se
a conclusão que min 4∆ = .
Figura 40- Evolução das energias parcias para o impulso do canal u em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva
Figura 41- Evolução das energias parcias para o impulso do canal v em função de / 2∆ : a) energia parcial negativa;b)
energia parcial positiva.
Os resultados que se seguem foram obtidos para 7.5, 15opt optp r= = e 20∆ = , e o impulso de entrada
utilizada é dada por:
( ) ( ) ( )0, sec 2 sec 2in in in inu p h p p h pζ τ τ τ = = − ∆ + + ∆ (4.17)
79
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0, sec 2 exp 0
sec 2 exp 180
inin
inin
pv h p i
r
ph p i
r
ζ τ τ φ
τ φ
= = − ∆ = +
+ ∆ = °
(4.18)
Para este tipo de acopladores 0φ = corresponde à permanência dos impulsos no canal u (parallel-
state) e 180φ = ° à sua comutação para o canal v (cross-state).
Figura 42-Modulo dos dois Impulso a entrada do canal u (azul) e módulo do impulso de controlo (vermelho)
80
Figura 43- Perfis das modulantes u e v ao longo do comprimento de acoplamento num acoplador half-beat: a) canalu ;
b) canal v .
Na Figura 42 é apresentada o impulso de dados no canal u sincronizada com o impulso de controlo
no canal .v É possível constatar ainda que o impulso de entrada sincronizada com o impulso de
controlo com 0φ = permanece no próprio canal enquanto o impulso de dados sincronizada com
180φ = transita para o canal .v
4.2.1.2 Efeito da modulação cruzada de fase
Nesta secção analisa-se a influência do efeito XPM na comutação controlada localmente de solitões.
Na Figura 44 é apresentada curva de transmissão para os parâmetros optimizado do acoplador.
81
Figura 44-Curvas de transmissão para 7.5optp = e 15optr = .
Na Figura 44 constata-se que que para valores 0.2σ < existe um aumento da margem de fase 2φ∆ e
uma redução da margem 1φ∆ . Para valores 0.2 0.9σ< < não existe margem de fase 1φ∆ há um
aumento da margem de fase 2φ∆ até, aproximadamente, 0.6 e apartir desse valor margem de fase
2φ∆ aumenta monotonicamente.
Figura 45- Curvas de transmissão para 15r = , 7.5p = com diferente valores de σ .
82
Nos acopladores de núcleo duplo é comum desprezar o efeito de XPM, no entanto como se pode não
ser a opção mas correcta visto que pela Figura 45 um ligeiro aumento do valor de σ influência
totalmente a comutação de impulsos.
Na comutação controlada localmente a potência crítica do acoplador pode ser aproximada pela
seguinte expressão
6.6.
1CPσ
=−
(4.19)
Os valores de 0.7.σ < O aumento de ,σ implica diminuição de p no segundo passo de processo de
optimização. Para corrigir automaticamente o ponto de funcionamento do acoplador para diferentes
valores de σ utiliza-se a expressão
( )7.5
.1
pσ κ
=−
(4.20)
83
84
5 Conclusão
5.1 Principais conclusões
Esta dissertação teve como principal objectivo o estudo de comutações em redes ópticas, para tal
encontra-se estruturada em cinco capítulos.
O capítulo 2 foi dedicado ao estudo da comutação em regime linear, onde começou-se por introduzir
a Equação de propagação de impulso em regime linear. Sobre qual foi possível concluir que os
impulsos que propagam ao longo da fibra óptica em regime linear podem sofrer da interferência inter-
simbólica, em consequência do alargamento dos mesmos. Condicionando assim o débito binário da
transmissão digital. Este fenómeno é conhecido como DVG.
No mesmo capítulo estudou-se o acoplamento em regime linear e conclui-se que comutação é
periódica ou seja, quando o sinal num núcleo é máximo, no outro é nulo, infere-se ainda que existe
uma propagação de impulsos sem distorção, onde a intensidade óptica mantém-se constante para cada
transferência de energia.
Por último estudou-se um agregado de N de fibras ópticas onde foi possível concluir que quando o
acoplamento é síncrono, ou seja os dois núcleos têm a mesma constante de propagação a transferência
de energia entre os núcleos é periódica e completa. Em contrapartida verificou-se que quando o
acoplamento é assíncrono a transferência é períoca mas nunca é completa.
O capítulo 3 foi dedicado ao estudo da comutação em regime não linear onde começou-se por estudar
a propagação do impulso em regime não linear onde conclui-se que auto modulação de fase deriva-
se do efeito de kerr e que este, por sua vez, provoca um desvio da frequência instantânea local em
relação à portadora, originando-se assim um fenómeno conhecido como chirp. Ainda no mesmo
capítulo estudou-se o comportamento dos solitões de primeira (fundamental) e terceira ordem sobre
qual foi possível concluir que o solitão de terceira ordem ao propagar inicialmente sofre uma
contração onde os efeitos de AMF predominam face a DVG para depois se dividir em várias
componentes para mais tarde voltar juntar-se recuperando assim a sua forma inicial quando o período
é a distância. Em contrapartida solitão de primeira ordem na ausência de perdas apresenta
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características perfeitas para ser usado em sistemas de telecomunicações por fibra óptica, uma vez
que, o mesmo mantém as suas características ao longo da propagação pela fibra.
Por fim, estudou-se a influência de IMD nas comutações de solitões em sistemas WDM e concluiu-
se que em regime linear este efeito só é sentido para solitões com comprimento de onda deferente da
central. O mesmo não acontece em regime não linear onde o feito de IMD influência por completo a
comutação ou a não comutação dos impulsos em certos comprimentos de onda. Assim em sistemas
WDM este efeito não deve ser desprezado.
O capítulo 4 foi dedicado ao estudo de comutação controlada de solitões centrando no estudo de auto-
comutação e comutação controlada localmente.
No estudo de auto-comutação definiu-se dois estados de comutação: parallel-state e cross-state. Foi
verificada a curva de transmissão para dois tipos de acopladores: half-beat e full-beat. Onde foi
possível concluir que ao contrário do acoplador half-beat o acoplador full-beat não apresenta uma
zona bem definida de transmissão de energia do canalu para canalv Sendo assim este acoplador é
excluído devido a impossibilidade de controlar destino do impulso.
Conclui-se ainda que a distância temporal mínima entre os dois impulsos para que não haja
interferência é 6. Verificou-se ainda o efeito de XPM e conclui-se que medida que σ é necessário
maior potência de entrada para obter o mesmo valor de .Τ
No estudo de comutação controlada localmente foi necessário optimazar os vários parâmetros tais
como ponto de funcionamento em termos de potência do acoplador, relação entre as energias e ainda
as fases ideias para comutação. Conclui que 15,optr = 7.5optp = e as margens de fase 1φ∆ entre
60− ° a60° e 2φ∆ entre 120°a 210° .
Verificou-se ainda o efeito de XPM na comutação controlada localmente onde conclui-se que para
valores de 0.2σ > este começa a influenciar a comutação dos impulsos.
5.2 Perspectiva de trabalho futuro
Esta dissertação, certamente não abordou todos os temas relacionado com área. Um trabalho futuro
poderia incluir auto-comutação e comutação controlada localmente em fibras ópticas birrefringentes;
Acopladores com amplificação óptica; Uso de comutação para filtro de ruído do sinal. Poderia incluir
ainda estudo e análise de efeito de Raman, four wave mixing (FWM) e dispersão de ordem superior.
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6 Referências
[1] J. Pires, Sistemas e Redes de Telecomunicações, Lisboa, 2006.
[2] P. M. P. Ramos, Comutação Fótonica Não-Linear, Lisboa, 2001.
[3] C. R. Paiva, Fibras Ópticas, Lisboa: IST, UTL, 2008.
[4] R. S. Morla, Comutação de solitões em fibras ópticas não-lineares, Faculdade de Ciências da
Universidade do Porto, Janeiro 2001.
[5] J. M. Stephen, “The nonlinear coherent coupler,” IEEE Journal of Quantum Electronics, QE-
18(10):1580, October 1982.
[6] J. Pires, Presente e Futuro das Redes de Transporte Ópticas, Lisboa, 2013.
[7] C. Shun Lien, Physics of Optoelectronic Devices, vol. Capitulo 8, New York: Wiley, 1995, pp.
283-334.
[8] “Wikipedia,” [Online]. Available: http://pt.wikipedia.org/wiki/Efeito_Kerr. [Acesso em 10 10
2013].
[9] C. R. Paiva, Solitões em Fibras Ópticas, Lisboa: IST, UTL, 2008.
[10] A. N. Pinto, Análise e Optimização de Sistemas de Comunicação Ópticos Baseados em Solitões,
Universidade de Aveiro, 1999.
[11] P.Ramos e C.R.Paiva, “Influence of cross-phase modulation on self-routing pulse switching in
nonlinear optical fibers,” Microwave and Optical Technol, June 1997.
[12] C. R. Paiva, A. L. Topa e A. M. Barbosa, “Influence of intermodal dispersion on the switching
of solitons at different wavelengths in twin-core fiber couples,” em Optical Society of America,
1999.
[13] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, 4th ed., San Diego, California: Academic Press,
Elsevier, 2007, p. Capitulo 7.
[14] P.Ramos, Comutacão Fotónica de Solitões em Acopladores Não-Lineares de Fibra Óptica,
Lisboa: UTL,IST, 1997.
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