Componentes:Alessandro OliveiraGiovanni ComarelaLeonel FonsecaTatiana PontesYuri Tavares

Fractais• Introdução• Motivação• Dimensão fractal

L-systems• Definição• Histórico• Estrutura• Exemplos• Aplicações

Surgimento dos fractais:• Do latim fractus: quebrado, fraturado • O termo “fractal” surgiu em 1975 (Benoît Mandelbrot)• Inspirado no paradoxo da costa

Características dos fractais:• Autossimilaridade e/ou autossimilaridade estatística • Maneira bem definida de criação do fractal• Pertencem a uma “dimensão fractal”

• Modelagem de estruturas naturais (árvores, flocos de neve, etc)

• Modelagem de objetos que possuem uma natureza caótica

• Maneira relativamente simples de se representar estruturas complexas

• Natureza aleatória de eventos naturais (crescimento de galhos numa árvore)

• Problema da costa da Grã-Bretanha• Quanto menor o instrumento de métrica, maior o comprimento da costa

Contando ε-bolas (modelo simplificado):• Cada ε-bola consiste em uma esfera de raio ε• Considere que para cobrir os segmentos do objeto em questão sejam necessárias N ε-bolas• A análise da influência da diminuição do raio ε sobre o número N necessário para cobrir o objeto estima a dimensão do objeto

• L-System é uma variação de uma gramática formal, que permite reescrita paralela;• Sua aplicação mais famosa é a modelagem do crescimento de plantas;• Permite modelar crescimento morfológico de uma variedade de organismos;• Utilizada para gerar fractais auto-similares;

•A principal diferença em relação em relação as gramáticas de Chomsky está em como aplicar regras de produção: sequencial x paralela;

•Esta diferença reflete a motivação biológica. Produções capturam divição das células de organismos multicelulares (Várias divisões ocorrem simultaneamente);

• L-Systems = Lindenmayer Systems

Aristid Lindenmayer 1925–1989

Como biólogo, Lindenmayer trabalhou com leveduras e fungos filamentosos e estudou os padrões de crescimento de vários tipos de algas. Originalmente, L-Systems foram concebidas para fornecer uma descrição formal do desenvolvimento de tais simples organismos multicelulares. Posteriormente, esse sistema foi estendido para descrever as plantas e estruturas complexas de ramificação.

Existem vários tipos de L-Systems:

• Context-Free L-Systems;• Stochastic L-Sytems;• Branching Structures;• 3D;• Context-Sensitive L-Systems;• ...

• Gramáticas geram strings. O que fazer com estas strings para que elas tenham uma interpretação gráfica?

• A cada símbolo do alfabeto é dada uma semântica para que cada string gerada possa ser mapeada em um “desenho”;

• Turtle Interpretation: Considere uma tartaruga andando no espaço bidimensional. O estado da tartaruga é dado pela tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga);

• Turtle Interpretation: Considere o estado da tartaruga como a tripla (x, y, a), onde (x,y) é uma coordenada no plano e a um ângulo (direção do próximo passo da tartaruga).

Curva de Koch:• Variável: F• Constantes: + e –• Axioma: F• Produção: F -> F + F - F - F + F• Ângulo delta: 90 graus

Fractal Planta:• Variáveis: F e X• Constantes: +, -, [ e ]• Axioma: X• Produções: X -> F−[[X]+X]+F[+FX]−X e F -> FF• Ângulo delta: 25 graus

Fractal Planta (Estágio n = 6)

6 imagens produzidas pela mesma gramáticas. Todas representam o 5 estágio.

Exemplo mais complexo (Flower Field)

Curva do dragão:

• Applet

Curva do dragão:• O Heighway Dragon (também conhecido como Jurassic Park Dragon) foi inicialmente estudado por físicos da NASA• Apareceu na novela Jurassic Park, de Michael Crichton, a qual deu origem ao filme• Na história, o conhecido matemático e teórico do caos Ian Malcon criou curvas do dragão para simular as ações que seriam tomadas no parque

Curva do dragão:• Descrição• Começando por um segmento base, substitua cada

segmento por dois segmentos com um ângulo de 90° entre eles e com uma rotação de 45° alternadamente para a esquerda e para a direita.

Curva do dragão:• Variáveis: X Y• Constantes: F + -• Axioma: FX• Regras:

• Ângulo: 90°• “F”, “+” e “-” representam ações de desenho• X e Y são usados apenas para controlar a evolução da curva.

)( YFXX

)( YFXY

Curva do dragão:• Também pode ser gerado pelo conjunto limite da seguinte IFS (iterated function system), no plano Real

• Essa representação é mais usada em softwares como o Aphophysis, da Microsoft

Curva do dragão:• Dobrando o Dragão• Para as primeiras iterações, a sequência de viradas é a

seguinte:

1st iteration: R2nd iteration: R R L3rd iteration: R R L R R L L4th

iteration: R R L R R L L R R R L L R L L

• Padrão: Pegue a iteração anterior e adicione um R ao fim dela. Pegue a iteração original de trás para frente, mude cada letra e adicione o resultado após o R

Curva do dragão:• Dobrando o Dragão• Esse padrão origina o método de dobramento

conhecido como “dobrando uma tira de papel”

Curva do dragão:• Dobrando o Dragão• Esse padrão também possibilita calcular a direção do n-

ésimo giro da sequência• Para tal, primeiro expressa-se n sob a forma em

que k é um número ímpar. Depois, divide-se k por 4. Se o resto da divisão for 1, então o giro é para a direita. Se for 3, o giro é para a esquerda.• Exemplo: 76376º giro

76376 = 9547 x 8.9547 = 2386x4 + 3so 9547 mod 4 = 3so turn 76376 is L

mk2

Curva do dragão:• Dimensões

Curva do dragão:• Dimensões• Seu perímetro é infinito, uma vez que é incrementado

por um fator de a cada iteração• A curva nunca cruza ela mesma• Sua dimensão fractal pode ser calculada: • A dimensão fractal de sua fronteira foi aproximada

numericamente por Chang & Zhang:

2

Curva do dragão:• Dimensões• Possui muitas auto-similaridades, sendo a mais óbvia a

repetição do mesmo padrão rotacionado de 45° e com o tamanho modificado por uma taxa de 2

Lírio-do-brejo (Convallaria majalis):

AA → I[IF0]AFi → Fi+1

Onde I representa ramos e Fi o crescimento de uma flor

Aplicando as regras da gramática:

AI[IF0]AI[IF1]I[IF0]AI[IF2]I[IF1]I[IF0]AI[IF3]I[IF2]I[IF1]I[IF0]A

Lírio-do-brejo (Convallaria majalis)

Floco de neve de von Koch

1. Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais.2. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base.3. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

Floco de neve de von Koch

1. Divide segmento de reta em 3 segmentos iguais.2. Desenha triângulo equilátero com segmento central como base.3. Apaga o segmento que serviu de base ao triângulo do passo 2.

Montanhas fractais

• Modelagem de relevo.

• Cada iteração estabelece uma altura para as medianas dos segmentos.

L-systems e Algoritmos Genéticos

• GA com genótipos inspirados em L-systems.

• Função de fitness baseada em hipóteses evolucionistas sobre fatores que tiveram maior efeito sobre a evolução das plantas.

L-systems e Algoritmos Genéticos

• GA para construção de figuras simétricas.

• Função de fitness favorece estruturas com simetria bilateral.

Mitose Celular

• Processo de divisão celular conservativa.

• Célula inicial origina duas novas células com a mesma composição genética.

Iris do Olho Humano

• Iris do olho humano formada por interpolação de padrões.

Arquitetura de Plantas

• Crescimento de plantas representado por um l-systems.

Arte em L-systems

L-systems são úteis e importantes por vários motivos:

• Permitem modelagem da natureza com estruturas complexas de essência caótica e aleatória.

• Possuem diversas aplicações práticas, uma vez que auxiliam na obtenção de formatos mais próximos da realidade.

• Devido à sua utilidade, há vários códigos disponíveis na web (de fácil uso) para a criação de novos L-systems.

http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Plant_generation_I

http://www.biologie.uni-hamburg.de/b-online/e28_3/lsys.html

http://www.generation5.org/content/2002/lse.asp

http://algorithmicbotany.org/papers/WebApps/LSystems/LSys.html

http://en.wikipedia.org/wiki/L-system

Lindenmayer A (1968). Mathematical models for cellular interactionin development I. Filaments with one-sided inputs. Journal of Theoretical Biology 18:280-289

Prusinkiewicz P, Lindenmayer A (1990). The Algorithmic Beauty ofPlants. Springer-Verlag:New York