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COMPARAÇÃO DO DESEMPENHO
ENTRE OS GRÁFICOS DE CONTROLE
X-BARRA E T - STUDENT VARIANDO-
SE O NÚMERO E O TAMANHO DAS
AMOSTRAS
Flavio Luiz Mazocco (UFSCar )
Germano Mendes Rosa (IFMG )
Guilherme Dandrade Lourenco (UFSCar )
Lucas Augusto Radicchi (UFSCar )
Pedro Carlos Oprime (UFSCar )
Os gráficos de controle são ferramentas estatísticas poderosas para
alertar ocorrências de anormalidades durante um processo produtivo,
além de proporcionar às organizações uma linguagem comum para
discutir o desempenho do processo. O monitoramento das
características críticas para qualidade do produto por meio dos
gráficos de controle torna vital a fase de dimensionamento destes
gráficos, pois um mau desempenho levará a tomadas de decisões
equivocadas. Dada à importância, este artigo aborda a comparação
das propriedades estatísticas entre a carta X-barra e a carta t-student
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ao variar o número (m), o tamanho (n) e o delta (δ) das
amostras, dispostos em tabelas. A performance dos dois gráficos de
controle será avaliada por meio do cálculo da medida de desempenho
ARL (average run lenght), evidenciada graficamente. Ao final será
realizado um paralelo em relação ao estudo apresentado no artigo de
Castagliola; Celano; Fichera, 2013, a fim de verificar as possíveis
diferenças entre os resultados obtidos.
Palavras-chaves: CEP, desempenho dos gráficos de controle, ARL,
variação dos parâmetros
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1. Introdução
Dentre todas as ferramentas do controle estatístico de processo (CEP), o gráfico de controle
ocupa um papel de destaque na engenharia da qualidade, pois ele possibilita estatisticamente
controlar os processos. Essa poderosa técnica possibilita aos gerentes e operadores a
(MONTGOMERY, 2004):
a) Separar as variações dos processos entre causas comuns e causas especiais;
b) Coletar dados ao longo do tempo e compará-los para identificar problemas;
c) Utilizar de uma linguagem comum para discutir o desempenho do processo;
d) Verificar se alterações intencionais em um processo alcançaram o resultado esperado;
e) Monitorar processos e identificar rapidamente mudanças ou alterações para ajudar a
conservar os ganhos gerados por um projeto de melhoria.
No caso em que as características da qualidade em estudo referem-se a um tipo de dado
contínuo (com variação ao longo do tempo) coletado em subgrupos (amostra do processo para
gerar um ponto no gráfico), tradicionalmente, o gráfico é escolhido (MONTGOMERY,
1992; MONTGOMERY, 2004). Um dos motivos pela escolha desse tipo de gráfico é o fato
de que os subgrupos permitem uma estimativa precisa de variabilidade “local” de modo a
captar somente os efeitos decorrentes de causas aleatórias dentro de cada subgrupo, e detectar
diferenças entre subgrupos. A eficácia do CEP é afetada por julgamentos errôneos sobre o real
estado do processo, e cabe aos instrumentos estatísticos mitigar esses erros.
A implantação dos gráficos de controle estatístico do processo passa por duas fases, conforme
indica Montgomery (1992). É na chamada fase I que são estabelecidos os limites de controle,
no caso da carta clássica de Shewhart /s e /R, por meio da estimativa dos parâmetros
estatísticos da média (µ) e desvio padrão (σ).
O problema desses gráficos de controle é supor que os parâmetros estatísticos sejam
conhecidos, o que na prática não é verdade. Isso afeta substancialmente a eficiência desses
gráficos. Esse problema foi estudado pelos principais autores da área (JENSEN et al., 2006;
CASTAGLIOLA; CELANO; CHEN, 2009; CASTAGLIOLA; MARAVELAKIS, 2011;
CASTAGLIOLA; CELANO; FICHERA, 2013). Em todos esses estudos o objetivo foi
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melhorar o desempenho dos gráficos de controle, redimensionando os procedimentos de
cálculo dos limites de controle utilizados correntemente.
Castagliola, Celano e Fichera (2013) fizeram um interessante estudo sobre o desempenho dos
gráficos de controle e . Os autores estudaram as cartas e onde propuseram novas
constantes e para os cálculos dos limites de controle para o erro e
consequente número médio de amostras até a detecção de um ponto fora de controle
(Average Run Lenght), quando o processo está sob controle. Nesse trabalho
são estabelecidas e para diferentes números e tamanhos de amostras.
Este artigo procura avaliar o que ocorre com o desempenho do gráfico de controle , por
meio da medida de desempenho ARL, quando se varia o número (m) e o tamanho (n) de
amostras para uma determinada faixa de variação na média com base no número de desvio
padrão ( ). Na sequência, foi comparado com o desempenho do gráfico de controle t-
student para o mesmo plano amostral descrito anteriormente.
Foram utilizados métodos de simulação desenvolvidos no software Maple 13 para a análise do
desempenho dos gráficos e t-student. Em geral, o método de simulação é mais simples que
os métodos numéricos o que facilita seu uso em problemas de engenharia.
O artigo foi estruturado da seguinte maneira: na próxima seção será realizada uma revisão
teórica, onde serão expostos os principais autores e seus respectivos estudos relacionados ao
tema do trabalho. Posteriormente, será apresentado o método de trabalho realizado, com as
tabelas contendo os parâmetros selecionados para os diferentes planos amostrais e as curvas
da medida de desempenho ARL obtidas para ambos os gráficos de controle, completando
assim a análise numérica. Na seção 4, finalmente será realizada a conclusão sobre o
desempenho estatístico dos gráficos e t-student, discutindo os resultados obtidos, além de
compará-los com o estudo realizado no artigo de Castagliola, Celano e Fichera (2013).
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2. Revisão da literatura
2.1. Fundamentos teóricos do controle estatístico do processo
O controle estatístico do processo (CEP) compreende um conjunto de técnicas estatísticas
utilizadas no monitoramento sistemático dos processos produtivos, a fim de contribuir para a
fabricação de produtos ou serviços que atendam aos requisitos dos clientes (CASTAGLIOLA
et al., 2008). A essência do CEP é monitorar a variação inerente aos processos, denominada
de variação natural do processo, e distingui-las das causas especiais, que em geral são
identificáveis (JURAN, 1982).
A fundamentação teórica do CEP centra-se na distinção entre causas comuns e causas
especiais. As causas comuns produzem individualmente pequenos efeitos e são difíceis de
serem detectas e eliminadas. Por outro lado, as causas especiais produzem grandes efeitos, sua
ocorrência é menos frequente e são mais fáceis de serem detectadas (MICHEL;
FOGLIATTO, 2002; MONTGOMERY; RUNGER, 2003). O procedimento estatístico
proposto por Shewhart define limites estatísticos de controle que contenha somente a
variabilidade aleatória, natural do processo. Isso é feito extraindo-se amostras pequenas (n<9),
denominado de subgrupos racionais, ao longo do tempo de modo a determinar um padrão de
variabilidade.
Segundo Jensen et al. (2006), a estimação de parâmetros nos gráficos de controle tem gerado
diversas questões de pesquisa. Uma delas se preocupa com a determinação da eficiência dos
gráficos de controle. A outra busca determinar o número e o tamanho das amostras que devem
ser considerados na fase I para se garantir o correto desempenho do gráfico na fase II. Por
fim, são estudadas formas de se ajustar os limites do gráfico na fase II com o objetivo
principal de minimizar os efeitos da estimação.
Em geral, os valores dos parâmetros do processo não são conhecidos e precisam ser
estimados. As incertezas associadas a essas estimativas podem causar diferenças de
desempenho dos gráficos de controle em relação ao uso dos mesmos com parâmetros
conhecidos (JENSEN et al., 2006).
Quando os parâmetros de uma determinada característica da qualidade são desconhecidos, os
gráficos de controle são normalmente construídos em duas fases. Na fase I (fase pré-
prospectiva) são estimados os limites de controle estatístico. Na carta tradicional de Shewhart,
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em geral, são extraídas 25 amostras com de tamanho cinco (5) para estimativa dos parâmetros
do processo e dos limites de controle estatístico.
Na fase II, com o gráfico já definido, novas amostras são retiradas e diz-se que o processo está
estável quando o resultado da característica observada é plotada entre os limites de controle,
ou quando não é observada tendências dentro dos limites estatísticos. Caso contrário, diz-se
que o mesmo está fora de controle devido à presença de causas especiais (JENSEN et al.,
2006).
Uma das questões de pesquisas atuais é estudar o desempenho dos gráficos de controle (por
meio do ARL) sabendo-se que os parâmetros estatísticos dos processos são estimados na fase
I. Apesar de artigos que tratam do problema terem sido publicados na segunda metade da
década de noventa, é a partir de 2006 que um significativo número de artigos surgiu tratando
dos efeitos da estimativa de parâmetros estatístico no desempenho do CEP (CASTAGLIOLA;
MARAVELAKIS, 2011; CASTAGLIOLA; WU, 2012; CASTAGLIOLA; CELANO; CHEN
2009; MARAVELAKIS; CASTAGLIOLA, 2009; ZHANG; CASTAGLIOLA, 2010).
2.2 Medidas do desempenho de gráficos de controle
O uso de estimativas dos parâmetros pode ocasionar piora no desempenho dos gráficos de
controle, quando comparados com o desempenho de gráficos construídos com parâmetros
realmente conhecidos. Jensen et al. (2006) apresenta o problema de modo prático. Para os
autores, o desempenho de gráficos de controle é extremamente afetado pela estimativa dos
parâmetros estatísticos feitos na fase I. É importante salientar que essa questão já tinha sido
estudada anteriormente (CHEN, 1997), mas o trabalho de Jensen et al. (2006) é significativo
para o desenvolvimento de pesquisas na área, pois nesse artigo são detalhadas as pesquisas já
realizadas sobre o assunto com indicações de futuras pesquisas.
O uso do gráfico de controle deve permitir a correta separação das causas naturais das causas
especiais, detectando com um determinado erro α, a presença de causas especiais atuando no
processo. Outra questão importante no uso do gráfico de controle é sua capacidade de
predição de perda de estabilidade. Neste caso, existem medidas de eficiência associadas aos
gráficos de controle, as quais são: o falso alarme e o falso negativo (β)
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(MONTGOMERY, 1992).
Para avaliar os efeitos das estimativas dos parâmetros no desempenho dos gráficos de
controle, algumas medidas comparativas são necessárias. Dentre elas, o comprimento médio
da sequência ou ARL, é a medida de desempenho de gráficos de controle mais comum e é
definido como o número esperado de dados plotados (ou coletados) antes que um sinal ocorra.
O ARL em controle é o valor de dados esperados, na média, até um sinal ocorrer. ARL fora
de controle é uma medida de quão rápido uma situação fora de controle será detectada
(JENSEN et al., 2006).
Tanto o erro como o erro são probabilidades de decisões erradas sobre o processo, sendo o
primeiro a falsa detecção de um problema (detectar que o processo está fora de controle, quando não
está), e o segundo é o erro da não detecção do estado fora de controle do processo. Do ponto de vista
teórico, o erro tipo I é fixado ( e o erro tipo II é avaliado pelo poder do teste estatístico,
dado por 1-β.
O desempenho de um gráfico de controle é avaliado pela sua capacidade de detectar causas
especiais e com o menor erro tipo I. Para um processo estável, o ARL é dado por , e
para um processo instável, o (MONTGOMERY, 1992;
MONTGOMERY, 2004).
Zhang et al. (2011) analisaram comparativamente os comportamentos dos gráficos e t-
student (e dos respectivos gráficos de média móvel exponencialmente ponderada) através dos
cálculos de ARL, assumindo que os parâmetros da fase de referência eram perfeitamente
conhecidos, para sequência longa de produção. Celano et al. (2011) e Celano, Castagliola e
Trovato (2012) também analisaram a implementação dos gráficos t e t de média móvel
exponencialmente ponderada para sequência curta de produção e assumindo parâmetros
conhecidos na fase I.
O comprimento médio da sequência, ARL, é calculado diferentemente para cada tipo de
gráfico ( e t) e para cada situação (parâmetros conhecidos ou estimados). As expressões
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considerando a estimativa dos parâmetros, conforme Castagliola, Celano e Fichera (2013),
são:
a) Gráfico :
b) Gráfico t-student:
em que é a probabilidade de uma amostra da fase II, onde i é um subgrupo e encontra-se
sob controle, ou seja, encontra-se entre os limites inferior e superior de controle; fU e fV são
densidades de probabilidade de variáveis aleatórias U e V (CASTAGLIOLA; CELANO;
FICHERA, 2013).
Castagliola, Celano e Fichera (2013) realizaram uma análise numérica e determinaram as
constantes quando os parâmetros são desconhecidos, que são diferentes das constantes
quando os parâmetros estatísticos são conhecidos, isso para , o que equivale a
. Por exemplo, para e , =1,329 e e quando ,
. Esse resultado permite utilizar valores exatos de para combinações de e .
Métodos numéricos são extensivos às aplicações em problemas de engenharia, como as
utilizadas correntemente nos estudos de desempenho de gráficos de controle estatístico de
processo. Métodos de simulação podem ser adequados quando se deseja avaliar alternativas
delineadas para solucionar determinados problemas.
A utilização de gráficos de controle do tipo Shewhart é baseada em três suposições:
independência (medidas são coletadas consecutivamente dentro e entre os subgrupos e são
independentes), normalidade (características de qualidade monitoradas seguem distribuição
normal) e setup inicial perfeito (média e desvio padrão da característica da qualidade do
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processo são perfeitamente estimados através da fase I em controle). Muitos trabalhos foram
publicados analisando a violação das duas primeiras suposições, mas poucos estudos
analisaram a violação da terceira suposição, entre eles, Castagliola, Celano e Fichera (2013).
3. Resultados e análises
Neste artigo, a avaliação numérica é realizada por meio da medida de desempenho ARL, com
o intuito de analisar a propriedade estatística dos gráficos de controle (baseado na
distribuição Normal) e t (baseado na distribuição t-student). Para a construção das tabelas foi
utilizado o software Maple 13, configurado conforme as fórmulas apresentadas para obtenção
dos valores do ARL. No software foram feitos dois programas para obtenção do ARL e
construção das tabelas para e t-student.
Para a obtenção do ARL no programa específico para t-student, manipularam-se os
parâmetros m, n e . Nesse caso, o programa retornou valores teóricos do ARL, e por isso
pode-se verificar que os dados apresentados na Tabela 3 são iguais aos descritos no artigo do
Castagliola, Celano e Fichera 2013 (Tabela 1). Enquanto Castagliola, Celano e Fichera (2013)
apresentam valores do ARL e SDRL (Standard Deviation Run Leght) para um processo sob
controle (Tabela 1), a Tabela 3 apresenta apenas valores do ARL com variando de 0 a 2.
Nota-se que ao variar , diminui-se o número e/ou tamanho de amostras necessárias para
detectar qualquer variação no processo. A variação do não é desejada, mas é imprescindível
conhecê-la para identificação prematura da variação no processo.
Para a obtenção do ARL no programa foi considerado um processo real no qual são
conhecidas as variáveis α=0,0027, μ=1,26±0,10 mm, Cpk=1,0. Conhecendo-se as variáveis do
processo foi possível simular os valores de ARL variando-se m, n e δ nas fases I (µ0=1,26) e II
(μ calculado). Como se trata de uma simulação, pode-se verificar que os valores de ARL na
Tabela 2 (Maple 13, ) e na Tabela 1 são muito diferentes. O mesmo comentário feito no
parágrafo anterior sobre a variação do , também se aplica à Tabela 2.
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Tabela 1 – Valores de ARL e DSRL para n={3,5,7,9} e δ=0, correspondente aos
gráficos de controle e t-student sob controle estatístico
Fonte: Castagliola, Celano e Fichera (2013, p. 10)
Tabela 2 – Valores de ARL para n={3,5,7,9} e δ={0;0,2;0,4;...;2} correspondente ao
gráfico de controle .
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Fonte: Elaboração própria
Tabela 3- Valores de ARL para n={3,5,7,9} e δ={0;0,2;0,4;...;2} correspondente ao
gráfico de controle t-student
Fonte: Elaboração própria
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Analisando a Figura 1, é visível a diferença no comportamento da curva ARL entre e t-
student. Tanto para os gráficos de quanto para os gráficos t, verifica-se que quanto maior o
tamanho da amostra n, menor o ARL e consequentemente maior a possibilidade de
identificação de variação no processo. Para δ=0, obtém-se menores valores de ARL nos
gráficos de t, porém, a partir de δ=0,2 fica evidente que os gráficos são muito mais
robustos. Ou seja, verifica-se uma curva muito mais acentuada o que facilita a identificação
da variação no processo.
Para processos fora do controle estatístico, quanto menor o valor do ARL melhor é o
desempenho do gráfico, já que neste caso o ARL é uma medida do quão rápido se detecta
uma situação fora de controle do processo. Comparando as tabelas fornecidas anteriormente
observa-se que os valores do ARL dos gráficos de controle são consideravelmente menores
do que o de t-student, indicando que é mais robusto que t, ou seja, seu desempenho
estatístico é melhor para situação fora de controle. As simulações realizadas mostram um
resultado contrário ao estudo realizado por Castagliola, Celano e Fichera (2013), onde ficou
constatado que para situações fora de controle o gráfico t se apresentou como o mais robusto.
Essa diferença entre o presente artigo e o do Castagliola, Celano e Fichera (2013) deve ser
estudada com mais ênfase. Enquanto aqui foram apresentados valores do ARL variando m, n
e δ, por meio do artigo Castagliola, Celano e Fichera (2013), os autores chegaram à diferente
conclusão construindo gráficos onde foram considerados valores fixos para o número de
amostras m=10 e tamanho da amostra n=5 (variando-se δ e τ). Apesar de Castagliola, Celano
e Fichera (2013) afirmarem que os gráficos t são mais robustos, verifica-se que os gráficos t
são mais eficientes para valores de δ<0,80. Ou seja, de certa maneira pode-se interpretar que
para valores de δ>0,80, Castagliola, Celano e Fichera (2013) concordam que os valores do
ARL decrescem acentuadamente nos gráficos . Analisando detalhadamente os gráficos de
Castagliola, Celano e Fichera (2013) em contraste com o resultado das simulações, podem ser
notados comportamentos semelhantes, apesar das diferentes conclusões, o que sugere a
necessidade de estudos mais detalhados.
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Figura 1 – Gráficos com os valores da medida de desempenho ARL para um mesmo m,
variando n = {3, 5, 7, 9} e = {0; 0,2; 0,4; ...; 2}
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Fonte: Elaboração própria
4. Conclusão
As Tabelas 2 e 3 mostram que correções para os limites de controle devem ser aplicadas
corretamente, em função de m e n, tanto para o gráfico quanto para o gráfico t. Verifica-se
também que os valores do ARL utilizando número de amostras m=25 e tamanho da amostra
n=5, usualmente sugeridos na literatura e utilizados na prática, diferem dos valores para
parâmetros conhecidos (m → ), podendo levar a erros na avaliação dos parâmetros.
Os valores de ARL foram coletados utilizando o software Maple 13 para montagem das
tabelas e gráficos. Os gráficos da Figura 1 simplificaram a análise, mostrando que: apesar dos
gráficos t apresentarem valores de ARL menores para δ=0, ao se variar o δ, o gráfico
apresentou maior robustez para 0<δ≤2, uma vez que este apresentou menores valores de ARL,
significando maior rapidez na identificação de uma variação no processo fora de controle.
Apesar de Castagliola, Celano e Fichera (2013) afirmarem e mostrarem em seu artigo que os
gráficos t são mais robustos, é importante salientar que os valores de ARL foram obtidos
considerando fixos os valores de m=10 e n=5 (variando-se δ e τ). Além disso, foi possível
identificar em seu artigo que os gráficos t são mais eficientes para valores de δ<0,80 (ou seja,
para δ>0,80 os valores de ARL decrescem acentuadamente nos gráficos ), o que comprova
parte do trabalho apresentado.
Pensando em trabalhos futuros, sugere-se um estudo mais aprofundado para explicar essa
aparente divergência nas conclusões, ampliando-se os intervalos estudados e comparando os
métodos de análise numérica e por simulação.
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