Como Implementar um Problema

O objetivo desta aula é fornecer algumas noções técnicas sobre os passos necessários para implementação numérica de um caso no PHOENICS.

Serão abordados os itens:

• As equações de transporte e seus modelos simplificados;

• As formas de discretização;

• A escolha da grade;

• A definição das propriedades;

• As condições de contorno e termos fontes.

FORMA GERAL DAS EQUAÇÕES NO PHOENICS

)Fick(Difusão

S V t

Transiente FonteConvecção Difusão

• t é o tempo;• é a densidade;• V é o vetor velocidade;• é a propriedade a ser conservada;• é o coeficiente de difusão de ;• S representa os termos fontes;

PHOENICS provê soluções para versões discretizadas de um conujunto de EDP que têm a forma geral:

FORMA CONSERVATIVA DE ALGUMAS EQ. DE TRANSPORTE

V a r i á v e l S

M a s s a 1 0 0

Q u a n t i d a d e M o v i m e n t o V

- P + g

E n e r g i a ( C p ) T Cpk '''qDissipaçãoDt

DPT

E n e r g i a C i n é t i c a T u r b u l e n t a

D i s s i p a ç ã o E n . C i n . T u r b u l e n t a

V o r t i c i d a d e

…

E n t r o p i a

S V t

Transiente FonteConvecção Difusão

Modelos Matemáticos Simplificados

As equações de transporte, na sua forma geral, são bastante complexas devido aos termos não lineares e seus acoplamentos.

Uma significativa redução do esforço computacional é obtida se o escoamento puder ser modelado de forma mais simples:

• Laminar / Turbulento

• Incompressível / Compressível

• Euler (s/ viscosidade) / Navier Stokes (viscoso)

• Potencial (irrotacional) / Euler (rotacional)

• Stokes (Re -> 0 ) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)

• Camada Limite (Re -> inf) / Re ~ 1 (inercia e viscoso dominantes)

É frequente o surgimento de escoamentos complexos em casos aplicados onde reações químicas (combustão), turbulência , interações entre fases e domínio complexo surgem simultâneamente.

MODELOS IMPLEMENTADOS NO VR

17 modelos

Modelo Numérico de Discretização: Método dos Volumes Finitos

• O método dos Volumes Finitos, VF, utiliza a forma integral das equações de contorno como ponto de partida.

• O domínio de solução é subdividido em um número finito de volumes de controle, VC, adjacentes entre sí onde as equações de conservação são aplicadas.

• Cada variável é calculada no centroide de cada VC. Os valores das variáveis e propriedades nas faces do VC são determinados por interpolação.

•O método VF pode acomodar qualquer tipo de grade e é, portanto, aplicável para geometrias complexas.

• A grade passa a definir as fronteiras do VC e não é necessariamente relacionada a um sistema de coordenadas.

Forma Discretizada da Equação I

• representa uma variável genérica que pode ser: u1, u2, v1, v2, w1,

w2, k, e, h1, h2, C1 a C150.

• P não aparece na lista pois ela é calculada por meio das sucessivas

correções da pressão que vem dos ajustes de velocidade para

satisfazer o balanço de massa. (método SIMPLE)

• O domínio de cálculo é dividido em volumes cujas faces são

identificadas pelas direções cardiais West-East (x), South-North (y) e

Low-High (z)

x

y

z

P

North

East

High

Discretização do meio

contínuo no espaço e

no tempo &

nomenclatura das

direções.

Forma Discretizada da Equação II

No plano (x,y), p. exemplo, os centros VCs maiúsculas e faces VCs minúsculas.

O método dos Volumes Finitos representa a influência que o ponto P recebe dos vizinhos na forma de produtos de coeficientes e do valor das variáveis:

PPPTT

PSSPNNPWWPEE

aSa

aaaa0

Mo

lécu

la c

om

pu

taci

on

al

PTSNWE

TTSSNNWWEEP aaaaaa

Saaaaa

forma de resíduo zero

coeficiente

Forma Discretizada da Equação III

• As equações de conservação são discretizada na forma de um sistema de equações algébricas lineares constituido pela soma das ‘moléculas computacionais’ que realizam o balanço em cada VC.

• Os coeficientes que multiplicam cada variável levam as informações sobre transporte convectivo e difusivo da propriedade em questão.

• Todos os coeficientes, aP e seus vizinhos anb, são sempre positivos.

• Existem diversos esquemas discretizantes que conduzem. A escolha deles influência na solução e na taxa de convergência.

Esquemas de Discretização Convecção & Difusão: HYBRIDO (default)

Geometria - Grade I

• A localização discreta onde as variáveis serão calculadas é definida pela grade numérica.

• Ela é uma representação do domínio geométrico onde o problema será resolvido.

• A grade transmite ao modelo informações a respeito da localização do centróide do VC e dos centros das faces, das áreas das faces e do volume e também da distância entre centróides e faces de VC adjacentes.

• A definição da grade é parte fundamental do problema:

- A precisão numérica da solução depende diretamente da definição da grade uma vez que as variáveis são calculadas em pontos discretos definidos pela grade. - A definição da grade é um dos elementos que influência na taxa de convergência (ou divergência) da solução. - O custo computacional é basicamente determinado pelo tamanho da grade.

Grades Cartesianas e Polares

UniformeCartesiana

Não-UniformePower

Não-Uniformeduas regiões

UniformePolar

Não-UniformeFine Grid Embedding

O sistema polar de coordenadas do PHOENICS

• O Sistema cilíndrico polar está implementado no PHOENICS e seus termos fontes associados: centrífugo e coriolis para as equações de quantidade de movimento.

• No sistema polar é necessário definir o Raio Interno, RINNER.

• As demais especificações de domínio são coincidentes com aquelas do sistema cartesiano.

• A direção X do cartesiano corresponde a direção tangencial.

• A direção Y do cartesiano corresponde a direção radial.

• A direção Z do cartesiano corresponde a direção axial.

Necessidade do Controle Espaçamento Grade

• É necessário controlar o espaçamento da grade para capturar características do escoamento que mudam rápidamente (altos gradientes) e ao mesmo tempo economizar tempo computacional em regiões que variam lentamente.

• O tamanho da grada é um ‘filtro’ do tamanho do fenômeno que se quer detectar. Estruturas do escoamento menores que 2x o espaçamento da grade não serão detectadas (alaising).

• Escoamento de Camada Limite. Aplica-se grades não-

uniformes Power ou duas-regiões

• Esteira de Vórtices em cilindros. Aplica-se ‘fine grid embedding’ para capturar as

dimensões dos vórtices

Grades BFC e Mult-Block para Geometrias Complexas

Body Fitted Coordinates - BFCOrtogonal ou Não Ortogonal

Multi-BlockOrtogonal ou Não Ortogonal

Grade Cartesiana com Objetos Imersos: • Iteração volume a volume tipo ‘escada’ ou;• Iteração via software com algoritmo PARSOL

Tel

a d

o V

R-P

HO

EN

ICS

co

m

pro

pri

edad

es d

a G

rad

e

Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ I

• O PHOENICS possui três tipos de ‘solvers’ para sistemas de

equações lineares que trabalham com métodos iterativos: (1)

Varredura (sweeps)- DEFAULT; (2) Whole field e (3) ponto a ponto

Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd ONEPHS = T NAME( 1) =P1 ;NAME( 5) =V1 NAME( 7) =W1 ;NAME( 14) =TEMP * Y in SOLUTN argument list denotes: * 1-stored 2-solved 3-whole-field * 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging SOLUTN(P1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(W1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(TEMP,Y,Y,Y,N,N,Y)

Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ II

• Dividindo o domínio em fatias (slabs) no plano XY pode-se imaginar um solver iterativo que:

- Monta um único sistema de equações IZ = 1 a IZ last e resolve - whole field - Resolve slab a slab de IZ = 1 a IZ = last - solver por varredura - DEFAULT - Visita ponto a ponto do domínio - point by point

Escolha do solver, direção principal do escoamento e eixos XYZ III

• Como a maioria dos modelos são não-lineares, o solver whole field

não é recomendado pois tem um custo computacional maior e

necessita a cada iteração uma atualização;

• O point-by-point por sua vez transmite os efeitos dos contornos e dos

termos de transporte muito lentamente aos pontos vizinhos e, apesar

de ser simples, também não é computacionalmente conveniente.

• O melhor compromisso encontra-se na solução por ‘slabs’ DEFAULT.

• Como a varredura ocorre somente na direção Z é importante que a

direção principal do escoamento coincida com o eixo Z no caso de

problemas 3D.

• Casos 2D isto não se aplica pois ele por sí constitui um único slab.

• Casos com BFC é mandatório que a direção principal do escoamento

e o eixo Z coincidam.

Condições Iniciais e de Contorno

• Qualquer modelo matemático expresso por meio de eq. diferenciais

não é completo a menos que sejam definidas as C.I. e C.C.

• As C.I. e C.C. variam dependendo do tipo de equação diferencial que

o modelo emprega.

• As equações diferenciais parciais de segunda ordem são

classificadas por três tipos: Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas.

• A distinção é feita baseando-se na natureza das características,

regiões do espaço (superfícies ou linhas) onde a informação sobre a

solução é transportada.

Condições Iniciais e de Contorno - EDP - HIPERBÓLICAS

• Hiperbólicas: duas características reais e distintas. A informação se propaga com velocidade finita em duas direções.

Região influenciadapelo valor do ponto CP

X

Y

a b c

P depende das informaçõesao longo do segmento a-b

Região influenciadapelo valor do ponto P

Característica a

esquerda

Car

acte

ríst

ica

a

dire

ita

0y1M

1

x 2

2

22

2

Características (Mach const.)

Y

X

C.C.: necessário conhecer u & v ou ao longo da linha

Condições Iniciais e de Contorno - EDP - PARABÓLICAS

• Parabólicas: as linhas características se degeneram para uma única curva real. A informação se propaga com velocidade finita em uma direção. Fisicamente significa que a informação de P influencia a solução somente em um lado do plano XY

• O valor de P influência a solução somente aos pontos à sua direita.

• P depende dos valores à sua esquerda mas não daqueles à sua direita.

• A solução numérica utiliza um processo de marcha em X.

• É necessário especificar somente uma fronteira em X a outra extremidade é aberta

2

2

y

u

y

uv

x

uu

X

Y

PRegião influenciadapelo valor do ponto P

Y

Xu

= U

inle

t

u = Uext

u = 0

Condições Iniciais e de Contorno - EDP - ELÍPTICAS

• Elípticas: as linhas características são complexas. A informação se propaga em todas direções com velocidade infinita.

• Fisicamente significa que a informação de P recebe a influência de todos os pontos do domínio!

X

Y

P

a

b c

d

0y

T

x

T2

2

2

2

T = 0 Dirichlet

q”=

-k

T/ x

Neu

man

T/ x = 0Neuman

T/ x =

0N

eum

an• Em EDP Elípticas somente se você conhecer os valores em todo o contorno você pode determinar a solução

Co

nd

içõ

es d

e C

on

torn

o p

/ E

sco

amen

tos

z

y

INL

ET

OU

TL

ET

NWALL

SWALL

PATCH NAMES

VARIÁVEL INLET OUTLET NWALL SWALL BLCNWALL BLCHWALL

MASSA WINA - - - - - - - - - - - - - - -

PRESSÃO - - -P = PREF(*)

Fixa Preferência

saída

- - - - - - - - - - - -

Q.MOVIMENTO

WIN2A

dW/dz=0dV/dz=0Local//e

parabólico

W = 0V = 0

No slip

W = 0V = 0

No slip

W = 0V = 0

No slip

W = 0V = 0

No slip

ENERGIA CpTINWINA dT/dz=0Local//e

Parabólico

T = TwallTemp. fixa

dT/dy=q.A/kfluxo de calor

imposto

dT/dy = 0bloco

adiabático

dT/dz = 0bloco

adiabático

BLOCK

Condição Inicial (tempo)

• Tal como o espaço o tempo também é representado numa grade cujos volumes variam com incrementos no tempo.

• Os modelos transientes são de natureza PARABÓLICA no tempo. Isto é, um evento no futuro não pode influenciar o que acontece no presente.

• Nenhuma condição pode ser imposta na solução (exceto no contorno) em qualquer instante após o início (t=0).

• Portanto o problema é especificado com uma condição ou campo inicial.

• Existem duas possibilidades de implementação de esquemas transientes: IMPLÍCITA (default) ou EXPLÍCITA

Group 7. Variables: STOREd,SOLVEd,NAMEd NAME( 1) =P1 ;NAME( 3) =U1 NAME( 5) =V1 * Y in SOLUTN argument list denotes: * 1-stored 2-solved 3-whole-field * 4-point-by-point 5-explicit 6-harmonic averaging SOLUTN(P1 ,Y,Y,N,N,N,N) SOLUTN(U1 ,Y,Y,N,N,N,Y) SOLUTN(V1 ,Y,Y,N,N,N,Y)

Esquemas Explícito x Implícito

• O cálculo das variáveis para o próximo passo de tempo depende somente dos valores das variáveis no tempo anterior.

• Computacionalmente é mais simples que o esquema Implícito.

• Para obter uma solução estável, o avanço no tempo e no espaço estão limitados :

• O cálculo das variáveis para o próximo passo de tempo depende dos valores das variáveis no tempo anterior e atual.

• Computacionalmente é mais complexo que o esquema Explícito pois requer cálculos iterativos.

• Ele é intrinsicamente estável.

2

xt

22

xu

• A primeira restrição impõe um limite no passo de tempo;

• A segunda fornece uma relação entre os coeficientes de convecção e difusão;

Implementação Condições de Contorno e Fontes PHOENICS

• As condições de contorno e os termos fontes das equações são implementados com o mesmo procedimento no PHOENICS.

• Lista dos tipos de c.c. e termos fonte disponíveis no VR.

Propriedes dos Materiais: sólidos, líquidos e gases

Pro

pri

ede

s d

os

Mat

eri

ais

: s

ólid

os,

líq

uid

os

e g

ase

s

Conselhos Gerais sobre Implementação de Problemas

• O PHOENICS, como qualquer outro pacote de CFD passará a falsa impressão que você poderá fazer tudo daqui por diante. Não é verdade, não crie altas expectivas nem falsas impressões.

• Inicie seus casos da forma mais simples possível. Verifique os aspectos fundamentais e básicos do problema antes de implementá-lo.

• Procure na biblioteca do PHOENCS algum exemplo parecido com aquilo que você deseja. A biblioteca de casos é um dos grandes diferenciais do PHOENICS, use-a.

• Introduza as modificações no seu problema uma a uma, numca todas de uma vez. Teste-as isoladamente.

• Tenha em mente que o método numérico complementa a análise de um problema mas não substitui medidas experimentais. É sempre bom, sempre que possível comparar seus resultados numéricos com algum dado experimental.