Colisões

Guia de Ensaio Laboratorial

Mecânica Aplicada IICursos MEAer, MEMec, LEAN

Abril 2015

Conteudo

1 Introducao 1

1.1 Objectivo do Ensaio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Fundamentos Teoricos 2

2.1 Movimento do Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.1 Conservacao da Quantidade de Movimento Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.2 Transferencia da Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3.3 Energia Cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Descricao do Equipamento 5

4 Procedimento Experimental 7

4.1 Preparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1.1 Preparacao da mesa de ar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1.2 Preparacao dos Corpos Cilındricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Descricao do procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.1 Colisao Elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.2 Colisao Inelastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Tratamento dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A Momentos de Inercia 12

ii

1. Introducao

A mesa de ar possibilita experiencias sobre o movimento bidimensional em condicoes em que o

atrito e desprezavel. Numa superfıcie plana fazem-se deslizar dois corpos cilındricos que possuem um

ventilador incorporado. Este ventilador produz uma almofada de ar que, a escala das grandezas em

jogo, se pode considerar que elimina completamente o atrito. Os corpos cilındricos sao alimentados

electricamente atraves de um cabo flexıvel ligado a um suporte.

A trajectoria do movimento dos corpos cilındricos e registada num papel metalizado, sobre o qual

os corpos se movimentam, atraves de pequenas marcas criadas por descargas electricas produzidas a

uma frequencia constante, por um electrodo que se encontra posicionado na parte inferior do corpo.

1.1 Objectivo do Ensaio

Com o presente trabalho, ir-se-ao produzir, entre os corpos cilındricos, dois tipos de colisoes, uma

elastica e uma inelastica, com o objectivo de verificar que:

• a quantidade de movimento um sistema de partıculas, composto por partıculas de diferentes

massas e com diferentes velocidades de deslocacao relativamente a um referencial inercial, e

igual a soma da quantidade de movimento de cada partıcula, ou seja, que o sistema se comporta

como toda a massa estivesse concentrada no CG do sistema;

• nao havendo forcas exteriores sobre o sistema, a velocidade do CG do sistema e constante,

verificando, assim, o princıpio da conservacao da quantidade de movimento do sistema;

• quando duas partıculas entram fisicamente em contacto, ha uma alteracao dos seus movimentos

com transferencia da quantidade de movimento, e;

• numa colisao elastica ha conservacao da energia cinetica, o que nao se verifica na colisao

inelastica.

1

2. Fundamentos Teoricos

2.1 Movimento do Centro de Massa

A quantidade de movimento de um sistema de partıculas e dada por

~P = M~vG (2.1)

em que M e a massa total do sistema e ~vG a velocidade do centro de massa.

Por outro lado, a velocidade do centro de massa e dada por

~vG =

∑imi~viM

(2.2)

em que mi representa a massa de cada partıcula e ~vi a respectiva velocidade. A quantidade de movi-

mento de cada partıcula e dada por

~pi = mi~vi (2.3)

ou seja, combinando (2.1), (2.2) e (2.3),~P =

∑i

~pi. (2.4)

Se nao actuarem forcas exteriores sobre o sistema, sabemos pelo princıpio da conservacao da quanti-

dade de movimento, que ~P e constante. Portanto, o centro de massa de um sistema isolado move-se

com velocidade constante em qualquer referencial. Em particular, podemos ligar um referencial inercial

ao centro de massa de um sistema isolado e, relativamente a esse referencial inercial, o centro de

massa estara em repouso.

2.2 Energia Cinetica

A energia cinetica de uma partıcula de massa mi e definida como

Ti =1

2mi|~vi|2. (2.5)

A energia total de um sistema de partıculas e

T =∑i

1

2mi|~vi|2. (2.6)

2

Pode mostrar-se que, no caso de corpos rıgidos em movimento plano, a energia cinetica e dada por

T =1

2M |~vG|2 +

1

2Iω2, (2.7)

em que I e o momento de inercia baricentrico e ω e a velocidade angular de rotacao do corpo.

2.3 Colisoes

2.3.1 Conservacao da Quantidade de Movimento Total

Durante uma colisao podemos admitir que o impulso das forcas exteriores e nulo, dado que o in-

tervalo de tempo que uma colisao dura e habitualmente muito pequeno. As forcas de colisao, entre os

dois corpos que colidem, tem grande intensidade, mas sao forcas interiores ao sistema. Pode portanto

concluir-se que nas colisoes que vamos tratar existe conservacao da quantidade de movimento total.

Usando a plica (′) para designar as grandezas apos a colisao, podemos escrever

M~vG = M~v′G ⇒ ~vG = ~v′G, (2.8)

ou, de forma equivalente,

m1~v1 +m2~v2 = m1~v′1 +m2~v

′2. (2.9)

2.3.2 Transferencia da Quantidade de Movimento

Quando duas partıculas de massa m1 e m2 se aproximam e colidem, a interaccao mutua altera os

seus movimentos, existindo uma transferencia da quantidade de movimento. Como nao existe a accao

de forcas exteriores, a quantidade de movimento e conservada, ou seja,

~P1 + ~P2 = ~P ′1 + ~P ′

2, (2.10)

onde ~P1 e ~P2 sao as quantidades de movimento das partıculas 1 e 2 antes da colisao e ~P ′1 e ~P ′

2sao as

respectivas quantidades de movimento apos a colisao.

Se definirmos ∆~P2 = ~P ′2 − ~P2 e ∆~P1 = ~P ′

1 − ~P1, entao da equacao (2.10) segue-se que

|∆~P2| = |∆~P1|, (2.11)

ou seja,

m2|∆~v2| = m1|∆~v1| (2.12)

ou ainda|∆~v2||∆~v1|

=m1

m2, (2.13)

o que indica ser a razao entre a massa das partıculas inversamente proporcional a razao do modulo

das variacoes da sua velocidade.

3

2.3.3 Energia Cinetica

Colisao Elastica

Uma colisao elastica caracteriza-se por haver conservacao da energia cinetica durante a colisao,

ou seja, a energia cinetica do sistema mantem-se inalterada, antes e depois da colisao. Se durante o

movimento os corpos nao tiverem rotacao, entao

T =1

2m1|~v1|2 +

1

2m2|~v2|2 =

1

2m1|~v′1|2 +

1

2m2|~v′2|2 = T ′ (2.14)

Colisao Inelastica

Numa colisao totalmente inelastica, os corpos permanecem juntos apos a colisao.

No caso da experiencia a realizar, vamos admitir que antes da colisao o corpo 1 esta em movimento

de translacao e o corpo 2 esta em repouso. Depois da colisao, que e totalmente inelastica, ambos os

corpos terao movimento de translacao e rotacao, e permanecerao unidos pelo ponto de contacto onde

se deu a colisao. A energia cinetica antes da colisao sera apenas

T =1

2m1v

21 . (2.15)

Apos a colisao os dois corpos terao a mesma velocidade angular ω porque seguem juntos. Assim, a

energia cinetica total sera dada por

T ′ =1

2m1(v′1)2 +

1

2I1(ω′)2 +

1

2m2(v′2)2 +

1

2I2(ω′)2, (2.16)

em que I1 e I2 sao os momentos de inercia dos corpos 1 e 2 relativamente aos respectivos centros de

massa. Note-se que tambem e possıvel escrever a energia cinetica como

T ′ =1

2m(v′G)2 +

1

2I(ω′)2. (2.17)

Dado que a colisao e inelastica, T ′ < T .

4

3. Descricao do Equipamento

A figura 3.1 ilustra as partes que compoem o equipamento.

A mesa tem dimensoes exteriores 79 cm ×67 cm e peso aproximado de 18 kg, com tampo de vidro

(60 cm ×55 cm) para experiencias e extremos limitados por um elastico de borracha.

Figura 3.1: Equipamento.

1. Consola fixa do suporte de tres pes

2. Parafusos de ajuste para pes adicionais

3. Parafusos de nivelamento

4. Reentrancia para papel de registo metalizado

5. Fonte de alimentacao (220 V/50 Hz) para ventilador e electrodo de registo

5.1 Selector de frequencia ( 10 Hz/50 Hz) dos impulsos de registo

5.2 Interruptor de alimentacao

5

5.3 Suporte de fusıvel T 0.315 B

5.4 Ligacao do braco de alimentacao electrica

Tensao de saıda:

24 V d.c. para o ventilador

24 V/ 10 Hz ou 50 Hz para circuito de registo

6. Barra de fixacao do papel metalizado, fornece o contacto electrico do circuito de registo

7. Conector que estabelece ligacao interna entre a barra de fixacao e o circuito de registo

8. Ficha com botao de campainha para comando ON/OFF dos impulsos de registo

9. Rolo de papel metalizado para registo, comprimento de 20m, 45 cm de largura.

10. Braco de alimentacao electrica a ligar em (5.4); com duas ligacoes em paralelo para ligar os fios

de alimentacao 11 aos dois corpos cilındricos 12.

11. Fio de alimentacao (2×), com 85 cm de comprimento, para ligacao ao corpo cilındrico.

12. Corpo cilındrico (2×) com ventilador para produzir a almofada de ar e electrodo central em con-

tacto leve com o papel de registo.

Diametro: aprox. 10cm

Altura: aprox. 10 cm

Massa: 950 g

12.1 Tomada para o fio de alimentacao

12.2 Interruptor ON/OFF para comando do ventilador

12.3 Tomada para ligacao do electrodo adicional, utiliza a tensao de registo, independentemente

da configuracao do interruptor (12.4)

12.4 Interruptor ON/OFF para a tensao de registo no electrodo central

12.5 Electrodo central. O registo e efectuado com o interruptor (12.4) na posicao de fecho e o

botao de campainha na ficha (8) pressionada simultaneamente.

13. Massa adicional (2×) para o corpo cilındrico 12. Massa: 500 g

14. Anel elastico suportado por molas (2×) a instalar no corpo cilındrico (12) servindo como suporte

de um electrodo periferico adicional. Massa: 61g

15. Anel Inelastico (2×) a instalar no corpo cilındrico (12) servindo como suporte de um electrodo

periferico adicional. Massa: 60g

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4. Procedimento Experimental

4.1 Preparacao

O aluno deve encontrar o equipamento preparado para a realizacao das experiencias. No entanto,

descreve-se aqui o procedimento para preparacao da mesa e dos corpos cilındricos.

4.1.1 Preparacao da mesa de ar

• Colocar a mesa numa superfıcie de trabalho estavel.

• Limpar a superfıcie de vidro e a base dos corpos cilındricos (lenco de papel humedecido em

alcool) e deixar secar.

• Colocar o rolo de papel de registo (face metalica para cima) na reentrancia, desenrolar o papel

atraves da mesa de vidro e fixa-lo atraves da barra de fixacao (6).

• Inserir o braco de alimentacao (10) na tomada (5.4) e a ficha com o botao de campainha (8) no

conector (7).

Alinhamento horizontal:

• Levantar os pes adicionais com o parafuso (2) ate a mesa estar apenas apoiada na consola fixa

(1) e nos dois pes ajustaveis pelos parafusos (3) (suportada em tres pes).

• Colocar o corpo cilındrico no centro da mesa e ligar o fio de alimentacao (11).

• Pressionar o interruptor de alimentacao (5.2) e ligar o ventilador atraves do interruptor (12.3) para

produzir a almofada de ar.

• Ajustar os parafusos de nivelamento (3) de modo a que o corpo cilındrico nao se desloque.

• Rodar lentamente os parafusos (2) para os pes adicionais ate encostarem a superfıcie de trabalho

sem desnivelar a mesa previamente (o corpo cilındrico deve permanecer em repouso). Usar as

contraporcas para fixar os parafusos (2).

4.1.2 Preparacao dos Corpos Cilındricos

Atencao: A instalacao de pecas nos corpos cilındricos nao deve ser feita em cima da mesa de ar.

Segurar sempre o corpo cilındrico (12) pelo corpo e nao pelas pecas instaladas.

7

• Colocar o corpo cilındrico (12), sem o fio (11) instalado, numa zona limpa (por ex. uma folha de

papel)

• Dependendo da experiencia a realizar, encaixar a massa adicional (13) e/ou o anel elastico (14),

ou o anel inelastico, no corpo cilındrico. Rodar o anel ate a came de batente do corpo cilındrico

encaixar no rasgo do anel.

• Quando necessaria a massa adicional (13) deve ser instalada antes do anel elastico (14) ou do

anel inelastico (15).

4.2 Descricao do procedimento

4.2.1 Colisao Elastica

Equipamento a usar:

• Mesa de ar

• Corpo cilındrico (2×)

• Anel elastico

• Massa adicional (o professor indicara se ira ser usada, ou nao)

• Papel de registo

Operacao:

Em cada corpo cilındrico, deve estar instalado o anel elastico e, se for o caso, a massa adicional.

Atraves do selector (5.1) a frequencia de registo deve estar seleccionada para 50 Hz (intervalo de tempo

de registo 0.02 s).

• Ligar a alimentacao electrica aos corpos cilındricos. Ligar o ventilador atraves do interruptor

(12.2). Para registar o movimento no electrodo central (12.5) fechar o interruptor (12.4).

• Colocar os corpos cilındricos em cantos opostos do topo inferior da mesa.

• Pressionar o botao de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar os corpos de forma a

colidirem no centro da mesa e dirigirem-se, nas direccoes diagonais, para os cantos opostos

no topo superior, so libertando o botao quando os corpos colidirem com os elasticos limitadores.

• Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores atraves do interruptor (12.2).

A trajectoria dos corpos deve ser semelhante a indicada na figura 4.1.

4.2.2 Colisao Inelastica

Atencao: O papel de registo e o mesmo da colisao elastica.

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Figura 4.1: Trajectoria dos corpos, na colisao elastica

Equipamento a usar:

• Mesa de ar

• Corpo cilındrico (2×)

• Anel inelastico

• Massa adicional

• Papel de registo

Operacao:

Em cada corpo cilındrico, devem estar instalados a massa adicional e o anel inelastico. Atraves do

selector (5.1) a frequencia de registo deve estar seleccionada para 50 Hz (intervalo de tempo de registo

0.02 s).

• Ligar a alimentacao electrica aos corpos cilındricos. Ligar o ventilador atraves do interruptor

(12.2). Para registar o movimento no electrodo central (12.5) fechar o interruptor (12.4).

• Colocar os corpos cilındricos, um num canto do topo inferior da mesa e o outro, aproximadamente,

a um terco do eixo vertical que passa pelo centro da mesa, a partir do topo inferior.

• Pressionar o botao de campainha (8) e, simultaneamente, impulsionar o corpo que se encontra

no canto, de forma a colidir com o outro tangencialmente e prosseguirem colados, so libertando o

botao quando os corpos atingirem os elasticos limitadores.

• Retirar os corpos da mesa e desligar os ventiladores atraves do interruptor (12.2).

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Figura 4.2: Trajectoria dos corpos, na colisao inelastica

• Retirar a porcao da folha de papel metalizado (9) onde ficaram registadas as trajectorias.

A trajectoria dos corpos deve ser semelhante a indicada na figura 4.2.

4.3 Tratamento dos Resultados

No papel metalizado, ficam registadas as trajectorias dos corpos cilındricos, antes e apos a colisao.

Como a frequencia dos impulsos, no papel metalizado, e de 50 Hz, isto significa que o intervalo de

tempo entre cada ponto e ∆t = 1/(50Hz) = 0.02s. Por exemplo, 10 impulsos correspondem a 0.2s.

Portanto, a partir dos registos, e possıvel determinar o vector velocidade de cada corpo, antes e

apos a colisao, bem como a velocidade do centro de massa do sistema.

A figura 4.3 exemplifica os procedimentos para o caso da colisao elastica. O caso da colisao

inelastica e analogo.

As velocidades de cada uma das partıculas determinam-se a partir dos sucessivos segmentos

AiAi+1 e BiBi+1, dividindo pelos respectivos intervalos de tempo. Note-se que a velocidade e uma

grandeza vectorial, com modulo, direccao e sentido.

Para determinar a posicao do centro de massa, devem-se unir, com intervalos regulares, os pares

pontos registados sincronizadamente, AiBi, como mostra a figura. Em cada instante ti a posicao do

centro de massa Gi pode ser obtida a partir de

GiBi

AiGi

=m1

m2(4.1)

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Figura 4.3: Determinacao grafica da trajectoria do CG, na colisao elastica.

e

AiGi +GiBi = AiBi, (4.2)

obtendo-se

AiGi =AiBi

1 + m1

m2

. (4.3)

Dividindo os sucessivos segmentosGiGi+1 pelos respectivos intervalos de tempo e possıvel determinar

a velocidade do centro de massa ~vG ao longo da sua trajectoria.

No caso da colisao inelastica e necessario tambem determinar a velocidade angular dos dois corpos.

Esta pode ser estimada a partir na variacao de angulo que a linha que une os centros dos dois corpos

faz com uma direccao de referencia. Medindo o angulo θi que o segmento AiBi faz com uma linha de

referencia, a velocidade angular obtem-se dividindo ∆θ = θi+1 − θi pelo tempo percorrido.

Durante esta fase do trabalho pretende-se verificar:

• a conservacao da quantidade de movimento do sistema, usando quer a equacao (2.8) quer a

equacao (2.9) (note-se que ambas sao equacoes vectoriais);

• a transferencia da quantidade de movimento de um corpo para outro, dado pela equacao (2.13);

• a conservacao da energia para a colisao elastica, dada pela equacao (2.14):

• que na colisao inelastica existe dissipacao de energia mecanica, calculando as energias antes

(equacao (2.15)) e depois (equacao (2.16)) da colisao.

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A. Momentos de Inercia

Para o calculo da energia cinetica depois da colisao inelastica e necessario saber o momento de

inercia de cada corpo relativamente a um eixo vertical que passa pelo centro de massa.

Na falta de um valor experimental, pode usar-se para cada um dos corpos cilindros o valor que o

momento de inercia teria se o corpo fosse homogeneo:

I =1

2mr2. (A.1)

Para um anel cilındrico homogeneo de massa m, raio exterior rext e raio interior rint a expressao para

o momento de inercia relativamente ao eixo de simetria do anel e

I = mr2ext + r2int

2. (A.2)

Para obter o momento de inercia de um corpo constituıdo por varias partes basta somar os momen-

tos de inercia de cada uma das partes relativamente ao mesmo eixo. No caso vertente sera necessario

somar as contribuicoes do corpo cilındrico, do anel de massa adicional e do anel inelastico (o qual se

pode supor ter espessura desprezavel, pelo que rext = rint).

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