colinearidade e concorrencia em olimpiadas internacionais ... · brasileira, a partir desta data....

Universidade de BrasliaInstituto de Cincias Exatas

Departamento de MatemticaPrograma de Mestrado Profissional em

Matemtica em Rede Nacional

Colinearidade e Concorrncia em Olimpadas Internacionais de

Matemtica: uma reflexo voltada para o ensino da Geometria

Plana no Brasil

Ronald Alexandre Martins

Braslia

2015

Copyright 2015 by R. A. Martins

Termo de Autorizao para Publicao de Teses e Dissertaes Eletrnicas (TDE) na Biblioteca Digital

de Teses e Dissertaes (BDTD) e na Biblioteca Digital do PROFMAT (BIT)

Na qualidade de titular dos direitos de autor da presente publicao, autorizo a Universidade de

Braslia - UnB, o Instituto Brasileiro de Informao em Cincia e Tecnologia - IBICT e a Sociedade Brasileira

de Matemtica - SBM a disponibilizar, de forma gratuita, sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo

com a Lei n 9610/98, o texto integral desta obra, em meio eletrnico na rede mundial de computadores,

para fins de leitura, impresso e/ou download pela Internet, a ttulo de divulgao da produo cientfica

brasileira, a partir desta data.

Braslia, 26 de junho de 2015.

Ronald Alexandre Martins.

Ronald Alexandre Martins

Colinearidade e Concorrncia em Olimpadas Internacionais deMatemtica: uma reflexo voltada para o ensino da Geometria

Plana no Brasil

Dissertao apresentada ao Programa de Mestrado

Profissional em Matemtica em Rede Nacional como

requisito parcial para a obteno do ttulo de MESTRE

em Matemtica, pelo Departamento de Matemtica da

Universidade de Braslia.

Orientador: Prof. Dr. Kellcio Oliveira Arajo

Braslia

2015

Ficha catalogrfica elaborada automaticamente, com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

M375cMartins, Ronald Alexandre Colinearidade e Concorrncia em OlimpadasInternacionais de Matemtica: uma reflexo voltadapara o ensino da Geometria Plana no Brasil / RonaldAlexandre Martins; orientador Kellcio OliveiraArajo. -- Braslia, 2015. 121 p.

Dissertao (Mestrado - Mestrado Profissional emMatemtica) -- Universidade de Braslia, 2015.

1. Geometria plana. 2. Olimpadas. 3.Colinearidade. 4. Concorrncia. I. Arajo, KellcioOliveira, orient. II. Ttulo.

Universidade de Braslia

Instituto de Cincias Exatas

Departamento de Matemtica

Colinearidade e Concorrncia em Olimpadas Internacionais de Matemtica:

uma reflexo voltada para o ensino da Geometria Plana no Brasil

por

Ronald Alexandre Martins *

Dissertao apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Matemtica em Rede Nacional, no

Departamento de Matemtica da Universidade de Braslia, como requisito parcial para a obteno do ttulo

de

MESTRE

Braslia, 26 de junho de 2015.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Kellcio Oliveira Arajo - UnB/DFPresidente

Prof. Dr. Ricardo Ruviaro - UnB/DFMembro

Prof. Dr. Jos Eduardo Castilho - FUP/DFMembro

* O autor foi bolsista da CAPES durante a elaborao desta dissertao.

Ronald Alexandre Martins graduado em Engenharia Cartogrfica pelo Instituto Militar de Engenharia e

atualmente professor de Matemtica do Sistema de Ensino Seleo, do Colgio Militar de Braslia e do

Colgio-Curso Pdion.

Dedico este trabalho s pessoas que sempre me

apoiaram, independente das circunstncias.

Somente Deus, eu e elas sabemos quem so.

AgradecimentosA Deus, sempre e por absolutamente TUDO.

minha querida esposa, Katiuza e aos meus filhos, Manuela, Daniel e Ester, pela compreenso,

pacincia e consentimento durante o perodo do curso e de elaborao deste trabalho.

Ao Sistema de Ensino Seleo, que acreditou em mim e me abriu as portas para a arte da docncia, ao

Colgio Militar de Braslia, onde pude conhecer grandes amigos que me inspiraram na carreira, e ao Colgio-

Curso Pdion, por me oferecer o desafio de lecionar em turmas compostas por alunos de alto nvel intelectual.

Aos meus amigos da Turma 2013 do PROFMAT/UnB, pelo convvio alegre, apoio e palavras de

incentivo durante a realizao deste sensacional curso: Vocs so muito bons!.

Ao meu orientador, professor Kellcio, coordenador regional de iniciao cientfica da OBMEP, cuja

humildade me foi um exemplo e cuja orientao foi de grande importncia para que esse trabalho pudesse

ser realizado.

Sociedade Brasileira de Matemtica (SBM), CAPES e Universidade de Braslia (UnB) por,

respectivamente, realizar, financiar e executar o projeto PROFMAT, que forneceu a muitos professores, como

eu, a chance de alcanar o ttulo de Mestre.

Nota do autorQuestes rotuladas como difceis dentro da Geometria Euclidiana Plana sempre despertaram o

meu interesse, desde os tempos de adolescncia, poca em que era atrado pelas provas de Matemtica dos

concursos militares, os quais me eram mais conhecidos que as olimpadas de Matemtica. O fascnio era tal

que comecei a construir, desde essa poca, cadernos com as questes que julgava difceis ou, pelo menos,

interessantes, e que guardo at os dias de hoje como relquias pessoais.

Lembro-me como ficava maravilhado com problemas geomtricos que eram resolvidos por traados

inesperados ou propriedades surpreendentes, difceis de enxergar em um primeiro momento.

Esse interesse pessoal pelas questes difceis me levou a prestar o vestibular do Instituto Militar de

Engenharia (IME), uma das instituies de ensino superior mais renomadas no Brasil, onde me graduei em

Engenharia, mas sempre mantendo viva a paixo pela arte de lecionar Matemtica.

Essa paixo inspiradora renovou-se em dois momentos recentes da minha vida como docente: ao

assumir em 2013 as aulas da disciplina de Geometria para a turma preparatria IME-ITA, no Colgio-Curso

Pdion e, no mesmo ano, ao iniciar as aulas da disciplina MA 13, no mestrado PROFMAT, quando me deparei

com listas de exerccios de Geometria raramente trabalhadas no ensino regular de hoje.

Espero que o leitor, ao apreciar este trabalho, possa, assim como eu, sentir o prazer de ser desafiado

a buscar mais conhecimento dentro do ensino da Matemtica, em especial o da Geometria, buscando

melhorar, a cada dia, o ensino bsico do nosso pas.

O autor.

ResumoAs olimpadas de Matemtica esto cada vez mais ganhando espao dentro das escolas brasileiras. Esse fato

observado em virtude da crescente participao e interesse dos alunos nas competies nacionais e regionais

a cada ano. Isso ocorre porque essas competies, em si, no requerem do aluno, como muitos pensam,

memorizaes injustas de frmulas e o conhecimento total da disciplina, mas apenas o conhecimento de

alguns conceitos bsicos, um raciocnio rpido e certa criatividade. A Geometria sempre esteve presente

em todas as olimpadas de Matemtica, apresentando-se como um dos tpicos que os alunos encontram

maior dificuldade. Consciente da limitada ateno dada ao ensino da Geometria no Brasil, oferece-se nesse

trabalho uma pequena contribuio para ampliar o seu ensino nos bancos escolares, principalmente quanto

ao tema Colinearidade e Concorrncia, recorrente em diversas olimpadas, tanto em nvel nacional quanto

internacional, porm esquecido pelos livros de Matemtica atuais. O autor apresenta dados recentes sobre

as olimpadas de Matemtica no Brasil e no mundo, e resgata conceitos como os de homotetia, inverso,

polaridade, diviso harmnica, circunferncia de Apolnio, eixo radical, quadrilteros completos, as retas de

Euler, Steiner, Housel, Simson-Wallace, Gauss-Newton, alm dos pontos notveis de Gergonne, Lemoine,

Nagel e teoremas como os de Menelaus, Ceva, Arquimedes, Desargues, Pascal, Brianchon, Pappus, Monge,

Brahmagupta, Miquel, entre outros.

Palavras-chaves: Geometria plana; olimpadas; colinearidade; concorrncia.

AbstractThe Mathematics Olympiads are increasingly gaining ground in Brazilian schools. This fact is observed

because of increasing participation and interest of students in national and regional competitions every year.

This is because these competitions, in itself, does not require the student, as many think, unjust recollections

of formulas and full knowledge of the discipline, but only the knowledge of some basic concepts, a quick

thinking and certain creativity. Geometry has always been present in all the math olympiads, presenting itself

as one of the topics that students find most difficult. Aware of the limited attention given to the teaching of

Geometry in Brazil, this work offers a little contribution to expand its teaching in school benches, especially

on the subject Collinearity and Concurrence, recurring in several olympics problems, both at national and

international level, but forgotten by current Mathematics books. The author presents recent data about the

Mathematics Olympiads in Brazil and worldwide, and rescues the concepts of homothetic transformation,

inversion, polarity, harmonic division, circle of Apollonius, radical axis, complete quadrilaterals, lines of Euler,

Steiner, Housel, Simson-Wallace, Gauss-Newton, in addition to the notable points of Gergonne, Lemoine,

Nagel and theorems such as Menelaus, Ceva, Archimedes, Desargues, Pascal, Brianchon, Pappus , Monge,

Brahmagupta, Miquel, among others.

Keywords: Plane geometry; olympiads; collinearity; concurrence.

Lista de ilustraesFigura 1 Bissetriz como LG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Figura 2 Mediatriz como LG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Figura 3 Tangentes a um crculo traadas a partir de um ponto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 4 Tringulo retngulo inscrito em um semicrculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 5 Perpendicularidade entre as bissetrizes interna e externa de um tringulo . . . . . . . . . . 20

Figura 6 ngulo entre duas bissetrizes internas de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 7 ngulo entre duas bissetrizes externas de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Figura 8 ngulo entre bissetriz interna e bissetriz externa relativas a vrtices distintos . . . . . . . . 22

Figura 9 Incentro de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 10 Circuncentro de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 11 Exincentro de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 12 Diviso de um segmento por um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 13 Prova da unicidade na diviso de um segmento por um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 14 Diviso harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 15 Configuraes para a razo da diviso harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 16 Relao do ponto mdio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 17 Teorema da bissetriz interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 18 Teorema da bissetriz externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 19 Recproca do teorema das bissetrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 20 Diviso harmnica pelo incentro e exincentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 21 Potncia de um ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 22 Crculos ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 23 Crculos ortogonais cortados por uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 24 Circunferncia de Apolnio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 25 Eixo radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 26 Centro radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 27 Colinearidade de pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 28 Teorema de Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 29 Demonstrao do teorema de Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Figura 30 Demonstrao do teorema recproco de Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 31 Prova do lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 32 Demonstrao do teorema de Menelaus trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 33 Teorema de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 34 Demonstrao do Teorema Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 35 Demonstrao do teorema recproco de Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 36 Colinearidade dos ps das bissetrizes externa e da bissetriz interna . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 37 Colinearidade dos ps das bissetrizes externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 38 Diviso da mediana pelo baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 39 Concorrncia das alturas de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 40 Ponto de Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 41 Ponto de Nagel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 42 Cevianas isogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 43 Demonstrao do ponto de Lemoine - 1 parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Figura 44 Demonstrao do ponto de Lemoine - 2 parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 45 Teorema de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 46 Demonstrao do teorema de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 47 Teorema de Monge-dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 48 Demonstrao do teorema de Monge-dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 49 Reta de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 50 Demonstrao da Reta de Euler - 1 parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 51 Demonstrao da Reta de Euler - 2 parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 52 Demonstrao da Reta de Housel - 1 parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55



Figura 55 Quadriltero completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 56 Demonstrao da Reta de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 57 Prova do quadriltero inscritvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 58 Lema n11 de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 59 Prova do Lema n11 de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Figura 60 Demonstrao do teorema de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 61 Quadriltero de diagonais perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 62 Demonstrao do Teorema de Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 63 Demonstrao da Frmula de Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 64 Demonstrao do teorema de Simson-Wallace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 65 Demonstrao do teorema recproco de Simson-Wallace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 66 Demonstrao do teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Figura 67 Teorema de Miquel para tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 68 Demonstrao do teorema de Miquel para tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 69 Teorema de Miquel para quadriltero completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 70 Demonstrao do teorema de Miquel para quadriltero completo . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 71 Homotetia de ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Figura 72 Homotetia de segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 73 Homotetia de ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 74 Homotetia de polgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 75 Homotetia de crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 76 Centros de homotetia para trs crculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 77 Ponto inverso (A), plo (A) e reta polar (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 78 Polaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 79 Reta polar de um ponto exterior ao crculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 80 Teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Figura 81 Teorema recproco de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 82 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 83 Demonstrao do teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Figura 84 Teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 85 Demonstrao do teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Figura 86 Demonstrao do teorema de Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Figura 87 IMO-2013.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Figura 88 IMO-2013.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Figura 89 OMCS-2014.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 90 OMCS-2014.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Figura 91 OIbM-2010.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Figura 92 OIbM-2010.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Figura 93 OIbM-2010.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Figura 94 OMCPLP-2013.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Figura 95 RMM-2010.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Figura 96 RMM-2010.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Figura 97 OBM-2012.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Figura 98 OBM-2012.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura 99 OBM-2012.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Figura 100 APMO-2013.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Lista de abreviaturas e siglasAPMO Asian Pacific Mathematics Olympiad

CAPES Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior

CGEE Centro de Gesto e Estudos Estratgicos

CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico

CT&E Cincia, Tecnologia e Inovao

ENEM Exame Nacional do Ensino Mdio

IIT Indian Institute of Technology

IME Instituto Militar de Engenharia

IMO International Mathematical Olympiad

IMPA Instituto de Matemtica Pura e Aplicada

IMU International Mathematical Union

ITA Instituto Tecnolgico de Aeronutica

LG Lugar geomtrico

MEC Ministrio da Educao e Cultura

MIT Massachusetts Institute of Technology

MMM Movimento da Matemtica Moderna

OBM Olimpada Brasileira de Matemtica

OBMEP Olimpada Brasileira de Matemtica das Escolas Pblicas

OIbM Olimpada Iberoamericana de Matemtica

OMCPLP Olimpada de Matemtica da Comunidade de Pases de Lngua Portuguesa

OMCS Olimpada de Matemtica do Cone Sul

PCN Parmetros Curriculares Nacionais

PECI Preparao Especial para Competies Internacionais

PIC Programa de Iniciao Cientfica Junior

PICME Programa de Iniciao Cientfica Mestrado

POTI Plos Olmpicos de Treinamento Intensivo

PROF Programa Oficinas de Formao

PROFMAT Mestrado Profissional em Matemtica em Rede Nacional

PUC Pontifcia Universidade Catlica

RMM Romanian Master in Mathmatics

SBM Sociedade Brasileira de Matemtica

UFF Universidade Federal Fluminense

UFMG Universidade Federal de Minas Gerais

UnB Universidade de Braslia

UNICAMP Universidade de Campinas

UNOCHAPEC Universidade Comunitria Regional de Chapec

Sumrio1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivao e justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Metodologia e apresentao do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 O ensino da Geometria no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 As competies olmpicas de Matemtica e o Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 As competies olmpicas e seus reflexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 As iniciativas atuais para a promoo da Matemtica no pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Os resultados observados na pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Fundamentao matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Alguns problemas olmpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1 Recomendaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Enunciados e solues propostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Consideraes finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Apndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

CAPTULO1Introduo

1.1 ObjetivosA ideia do mestrado PROFMAT fornecer um aprimoramento na formao profissional dos pro-

fessores, com nfase na busca de um domnio aprofundado e articulado do contedo matemtico para a

atuao como docente na educao bsica1 das escolas do pas.

Com base nesse pensamento e levando em considerao a conjuntura atual de muitos professores e,

por conseguinte, as suas diversas dificuldades, este trabalho objetiva tornar o ensino da Geometria Plana

mais instigante, resgatando alguns conceitos e teoremas clssicos j esquecidos no Ensino Bsico brasileiro,

proporcionando subsdios aos docentes e discentes, em especial no tocante ao contedo de Concorrncia e

Colinearidade, cobrado com frequncia nas olimpadas de Matemtica no mundo inteiro.

A inteno do autor de que esse material possa propiciar a todos professores e alunos uma outra

viso da Geometria Euclidiana Plana e uma reflexo acerca do ponto de vista das questes olmpicas, como

forma de melhorar o processo ensino-aprendizagem dessa disciplina e, possivelmente, como elemento

motivador para todos aqueles que buscam aprimorar seus conhecimentos visando preparao para

competies de Matemtica no mbito nacional e internacional.

Assim, pode-se resumir como objetivos para este trabalho:

Objetivo geral:

X Apresentar a importncia do assunto Colinearidade e Concorrncia na preparao de alunos

para as competies nacionais e internacionais de Matemtica, resgatando conceitos e teoremas clssicos

da Geometria Plana, j esquecidos na educao brasileira.

Objetivos especficos:

X Fazer um levantamento quantitativo do assunto nas diversas olimpadas internacionais de

Matemtica dos ltimos 5 anos (2010-2014);

X Apresentar e demonstrar os principais tpicos ligados ao assunto Colinearidade e Concor-

1 A educao bsica compreende a educao infantil, o ensino fundamental e o ensino mdio, e tem por finalidades desenvolver oeducando, assegurar-lhe a formao indispensvel para o exerccio da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalhoe em estudos posteriores, contribuindo para a reduo das desigualdades sociais (MEC, 2013).

2 Captulo 1. Introduo

rncia na Geometria Plana;

X Reunir os problemas sobre Colinearidade e Concorrncia cobrados nos ltimos anos nas

diversas olimpadas para fins de apoio ao treinamento e preparao de alunos e professores;

X Selecionar e resolver alguns problemas recentes de olimpadas de Matemtica, nacionais e

internacionais, envolvendo Colinearidade e Concorrncia;

X Propor uma reflexo sobre o ensino da Matemtica, em especial o da Geometria Plana,

na educao bsica, no sentido de resgatar conceitos e teoremas abandonados, e, quem sabe, at mesmo

repensar a maneira de ensinar a disciplina, com um vis desafiador, tambm voltado para a preparao

olmpica.

1.2 Motivao e justificativaDANTE (1991) afirma que um dos objetivos do ensino de Matemtica fazer o aluno pensar

produtivamente e, para isso, nada melhor que lhe apresentar situaes problemas que o envolva, desafie-o e

o motive a querer resolv-las. Entende-se, assim, que um professor que adiciona s suas aulas questes

desafiadoras est cumprindo o seu papel de docente de uma forma diferenciada, uma vez que conseguir

despertar nos seus alunos a criatividade para resolver problemas, fazendo-os utilizar, para isso, os mais

variados conceitos matemticos aprendidos ao longo de sua vida.

O que se tem percebido que o gosto para a resoluo de problemas olmpicos aumenta e torna-se

mais empolgante medida que o aluno percebe que, quanto mais problemas resolvidos ele conhecer, maior

ser o seu banco de estratgias para a resoluo dos prximos problemas e, consequentemente, maiores as

chances de solucion-los. Para SARMENTO (2007), resolver um problema de Geometria utilizando diferentes

conceitos contribui para despertar no aluno o desejo pela disciplina e o desenvolvimento de habilidades

geomtricas.

Apesar de a Geometria Euclidiana fazer parte do contedo tratado na educao bsica, raramente o

assunto Colinearidade e Concorrncia ensinado no Ensino Fundamental, no Ensino Mdio ou mesmo

na maioria dos cursos de graduao em Matemtica. Em especial, apenas uma pequena parcela dos

estudantes e professores se aprofundam nesse assunto: aqueles que se dedicam s olimpadas e competies

matemticas.

Dentre as reas matemticas exigidas nessas competies, a Geometria um tpico sempre presente

e que considerado um dos mais difceis. Analisando as diversas olimpadas internacionais de Matemtica,

o autor observou que o assunto Colinearidade e Concorrncia tem sido, de certa forma, bastante cobrado,

seja diretamente ou indiretamente, nos problemas apresentados. Portanto, um tema importante a ser

estudado e, porque no dizer, resgatado dentro das escolas e nos livros didticos atuais utilizados no ensino

regular do pas.

Assim, o presente trabalho se justifica no sentido de mostrar a importncia do assunto Colineari-

dade e Concorrncia e suas aplicaes na Geometria Plana, em especial, na preparao de jovens para as

modernas olimpadas de Matemtica, o que, sem dvida, traz um diferencial desafiador e motivante para os

1.3. Metodologia e apresentao do trabalho 3

educadores e estudantes brasileiros, fomentando o gosto pela Matemtica.

1.3 Metodologia e apresentao do trabalhoCom o intuito de atingir os objetivos traados, o presente trabalho foi desenvolvido mediante a

seguinte metodologia:

X realizar inicialmente uma pesquisa bibliogrfica em livros especializados em olimpadas de

Matemtica, bem como nos stios oficiais de cada competio na Internet, fazendo os contatos necessrios

com os respectivos coordenadores, a fim de coletar o maior nmero de provas aplicadas nessas competies

mundiais nos ltimos 5 anos (2010 a 2014);

X selecionar os problemas de geometria que envolvam diretamente a aplicao dos conceitos

de Colinearidade e Concorrncia;

X relacionar conceitos e demonstrar teoremas aplicveis a uma parte desses problemas,

buscando preencher, de forma sequenciada, a lacuna existente nos livros escolares brasileiros sobre o

assunto, construindo um instrumental de apoio didtico para o ensino voltado preparao olmpica;

X apresentar solues a alguns desses problemas olmpicos utilizando os teoremas estudados,

notadamente os cobrados em competies das quais o Brasil participa;

X elaborar uma coletnea de problemas olmpicos recentes (2010-2014), sobre Colinearidade

e Concorrncia, visando dar suporte preparao de alunos e professores; e

X propor, ao final, o uso de questes olmpicas em sala de aula como desafios no ensino e no

aprendizado da Geometria, tanto por parte dos professores quanto dos alunos, bem como a sua introduo

nos livros didticos da educao bsica.

Procurou-se, ao longo deste trabalho, apresentar todo o texto, enunciados e demonstraes de

uma maneira simplificada e de fcil entendimento, fugindo, s vezes, do formalismo terico, com fins a

possibilitar uma fcil compreenso do tema para professores e alunos da educao bsica, construindo

assim um instrumental de apoio didtico para o ensino voltado preparao das olimpadas de Matemtica.

As figuras utilizadas para apoiar as demonstraes dos lemas, teoremas e corolrios, bem como das

solues dos problemas, foram elaboradas pelo autor com o auxlio do recurso computacional de Matemtica

dinmica chamado GeoGebra2.

No decorrer do texto, o leitor encontrar ainda, em notas de rodap, um pouco da histria e da

biografia de alguns dos matemticos e dos teoremas citados, que o ajudaro a compreender melhor o

momento em que estes teoremas surgiram, qual a sua repercusso poca e qual a sua importncia atual.

A dissertao ficou dividida em 6 (seis) captulos, conforme descrio a seguir.

2 Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra um programa gratuito multiplataforma de Matemtica dinmica desenvolvidopara o ensino e aprendizagem da Matemtica do nvel bsico ao universitrio. O programa rene recursos de geometria, lgebra,tabelas, grficos, probabilidade, estatstica e clculos simblicos em um nico ambiente (BORTOLOSSI; RESENDE; PESCO, 2015)

4 Captulo 1. Introduo

Neste primeiro captulo, feita uma introduo em que so apresentados, dentro do contexto do

Programa de Mestrado Profissional em Matemtica PROFMAT, os objetivos do trabalho, a motivao e a

justificativa do tema desenvolvido, bem como a metodologia empregada pelo autor na sua elaborao.

No segundo captulo, o autor resgata um pequeno histrico das mudanas sofridas pelo ensino da

Matemtica no Brasil, notadamente na Geometria, a partir da segunda metade do sculo XX, quando srias

mudanas no processo ensino-aprendizagem ocorreram no pas. O autor sugere ento a ideia da utilizao

da resoluo de problemas olmpicos como uma maneira de incrementar esse processo, despertando no

aluno da educao bsica um interesse maior pela Matemtica.

O Captulo 3 dedicado apresentao de algumas caractersticas das competies olmpicas mate-

mticas e seus reflexos positivos no Brasil e no mundo, principalmente para o desenvolvimento das Cincias

em geral. O autor cita as vrias iniciativas existentes hoje no pas, ligadas preparao de estudantes para

uma Matemtica desafiadora e emocionante, destacando os resultados recentes alcanados, por exemplo,

pela Olimpada Brasileira de Matemtica das Escolas Pblicas (OBMEP). Alm disso, so apresentados os

resultados da pesquisa realizada, justificando a relevncia do tema Colinearidade e Concorrncia para o

trabalho.

No Captulo 4, o autor apresenta, de forma simples e didtica, diversos conceitos e teoremas matem-

ticos, praticamente ausentes dos livros didticos atuais, com o intuito de fornecer um embasamento terico

capaz de ajudar os alunos na resoluo de muitos problemas olmpicos envolvendo o tema Colinearidade e

Concorrncia.

O Captulo 5 contm solues elaboradas pelo autor para 7 (sete) problemas selecionados sobre

Colinearidade e Concorrncia, cobrados em olimpadas recentes, nas quais a participao de estudantes

brasileiros permitida, como forma de aplicar o contedo desenvolvido na fundamentao terica do

Captulo 4.

No Captulo 6 so apresentadas as consideraes finais do autor sobre o trabalho realizado e, por

fim, a bibliografia consultada para a sua execuo e um Apndice com os enunciados dos 141 problemas

olmpicos encontrados na pesquisa, que podero auxiliar, em muito, professores e alunos em relao ao tema.

CAPTULO2O ensino da Geometria no Brasil

Em 27/01/1921, na Conferncia Geometria e Experincia, realizada

na Academia Prussiana de Cincias, Einstein proferiu: Atribuo

especial importncia quanto viso que tenho Geometria, porque

sem ela eu no teria sido capaz de formular a teoria da relatividade.

(LORENZATO, 1995)

A Geometria considerada um dos principais eixos da Matemtica para a formao do cidado

porque est sempre presente no seu cotidiano, nas mais variadas situaes, como nas construes, na

natureza e nos diversos objetos existentes.

A chamada Geometria Euclidiana foi construda com base nos escritos do matemtico grego Eu-

clides. Sua obra Elementos, escrita por volta do ano 300 a.C., apresenta a Geometria segundo o mtodo

dedutivo (ou axiomtico), que consiste em iniciar com afirmaes chamadas axiomas ou postulados, os

quais so aceitos como verdade, sem necessidade de justificativas, e, a partir da, ir deduzindo, atravs de

demonstraes, outras afirmaes decorrentes, desenvolvendo assim o seu contedo (GUALBERTO, 2007).

GONALVES e LANDO (2012) apresentam um breve passeio pela histria da Educao Brasileira,

notadamente da Geometria, desde o incio do sculo XX, quando o Brasil ainda era essencialmente um

pas agrcola. Destacam que, assim como outras disciplinas passaram por reformas ao longo dos anos, a

Matemtica tambm sofreu, principalmente durante a dcada de 1950 e 1960, quando uma transformao,

em especial na forma de aprendizagem da Geometria, foi estabelecida: uma abordagem didtica nova e

restrita, com a substituio das tradicionais demonstraes, simplesmente, pela apresentao de frmulas

capazes de resolver problemas algbricos e que deveriam ser memorizadas pelos discentes.

Ainda hoje comum encontrar, no cotidiano escolar, listas de exerccios de geometria nas quais o

menos importante o conhecimento geomtrico em si. Na maioria das vezes o que h uma exaustiva repe-

tio de aplicaes algbricas de frmulas, em detrimento de uma anlise, por exemplo, das propriedades

geomtricas, da condio de existncia de uma figura, da visualizao de particularidades, e, principalmente,

da construo de elementos auxiliares, responsveis por resolues de alto teor geomtrico, pouco clculo

e livres de algebrismo. A homotetia (do grego: homo = similar + thets = posio), por exemplo, um

conceito envolvendo transformao geomtrica, mostrado no Captulo 4, que resolve problemas difceis de

uma forma simples, sem o uso de clculos extensos, mas que sequer citada na maioria dos livros escolares.

SILVA (2014) afirma que a ateno dispensada s demonstraes geomtricas ainda pequena nos

6 Captulo 2. O ensino da Geometria no Brasil

livros didticos da educao bsica brasileira. A priorizao no emprego de frmulas a serem memorizadas

e da mecanizao de processos ainda bastante frequente. Para ele, os problemas de geometria no devem

se resumir apenas descoberta de um valor numrico que atenda proposta de um enunciado. Antes

disso, preciso conceber a figura, reconhecer suas caractersticas, interpretar suas propriedades, enfim, uma

sequncia de raciocnios que pode at no ser percebida, mas que certamente necessria.

Para GONALVES e LANDO (2012), vrios foram os motivos que justificam o caos no atual ensino da

Geometria, entre eles: a falta de conhecimentos por parte do professor; a importncia exagerada dispensada

ao livro didtico; a fragmentao da disciplina por assunto ou srie, e o chamado Movimento da Matemtica

Moderna1, ocorrido na dcada de 1960. A consequncia que se colhe no tempo presente esta: uma gerao

que no estudou Geometria no sabe como ensin-la, ficando presa ao que se escreve nos livros didticos.

Segundo NEVES (2013), diversas pesquisas sobre o aprendizado de Geometria constatam que essa

uma rea que apresenta resultados consideravelmente insatisfatrios, uma vez que menos explorada

do que outras reas da Matemtica, no somente nas sries iniciais da educao bsica, como tambm no

Ensino Fundamental - Ciclo II e no Ensino Mdio.

O que se percebe nas escolas que o estudo da Geometria, que deveria ocorrer de forma gradativa

durante todo o Ensino Fundamental, sendo aprofundada no Ensino Mdio, no acontece. Em muitos

casos, os alunos chegam ao Ensino Mdio sem ter visto nenhuma parte de Geometria; outras vezes, ela

apresentada de uma forma simplista, apenas com desenhos e frmulas que permitem resolver problemas

de clculo.

Segundo pesquisas realizadas por GRILLO (2014), existe uma tendncia, em muitas escolas, de se

omitir o ensino da Geometria. A disciplina deixada para o final do perodo letivo, e qualquer atraso no

cronograma das aulas implica na abreviao ou mesmo no cancelamento do seu contedo.

LORENZATO (1995) ainda mais categrico; ele afirma que a Geometria est ausente ou quase

ausente da sala de aula. Vrios trabalhos de pesquisadores brasileiros, entre eles PEREZ (1991) e PAVANELLO

(1993), confirmam que essa lamentvel realidade educacional um problema antigo no pas.

Para LORENZATO (1995), um dos motivos para a omisso do ensino de Geometria deve-se

exagerada importncia que, entre ns, desempenha o livro didtico. Vrios livros didticos ainda apresentam

a Geometria como um conjunto de definies, propriedades, nomes e frmulas, deixando-a para as ltimas

pginas do livro, aumentando assim as chances de no vir a ser estudada por falta de tempo no ano letivo.

NEVES (2013) acrescenta que, infelizmente, o ensino de Matemtica hoje , de modo geral, orientado

pelos processos contidos nos livros didticos, o que inflexibiliza e limita os professores na busca do ensino

dinmico e atraente da Geometria.

Para se ter uma ideia, MACEDO (2014) afirma que, nas ltimas dcadas, teoremas como o de

Menelaus e o de Ceva, que tratam de Colinearidade e Concorrncia, foram excludos dos livros didticos

do Ensino Bsico sem qualquer justificativa, o que levou, naturalmente, as escolas a abandonarem os

seus estudos. Apesar de as demonstraes de tais teoremas serem de fcil entendimento e, portanto,

1 O Movimento da Matemtica Moderna (MMM) foi um movimento internacional do ensino da Matemtica que surgiu no finalda dcada de 1950 e incio de 1960 e se baseava na excessiva preocupao com as estruturas algbricas, utilizao de smbolosda teoria dos conjuntos e topologia no processo ensino-aprendizagem das escolas.

7

perfeitamente adequadas ao nvel de conhecimento bsico, reneg-los aos alunos, principalmente do Ensino

Mdio, no foi uma ideia salutar, haja vista que tais conceitos podem facilitar as resolues de diversos

problemas propostos em vestibulares concorridos no pas, como o do Instituto Militar de Engenharia (IME)

e o do Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA), e nas diversas olimpadas de Matemtica existentes.

Segundo DE FREITAS (2013), com a atual decadncia do ensino de Geometria na educao bsica

brasileira, tem-se aumentado o interesse de pesquisadores, ligados ao ensino da Matemtica, em debater o

assunto nas escolas e, at mesmo, nas universidades, principalmente pelo fato de ser uma disciplina em

que os docentes se sentem menos preparados, seja pelo desconhecimento em si, seja pelo fato de exigir do

profissional a capacidade de fazer desenhos, traar retas, ngulos, crculos e curvas, muitas vezes a mo livre

e sem preciso, no quadro-negro, o que no agradvel para quem no dispe de certos dons artsticos e de

organizao.

VIEIRA (2013) ratifica esse entendimento:

Atualmente, o interesse dos professores pela Geometria tem aumentado. Existe

um consenso coletivo sobre a importncia dessa rea para a formao acadmica

dos alunos. Entretanto, em vrios momentos o estudo da Geometria renegado

ou mesmo deixado apenas para o final do ano letivo no ensino bsico. [...]

O ensino tradicional da Geometria deixa lacunas no conhecimento, pois esse

ensino dado basicamente em aulas expositivas, baseadas em conceitos e

frmulas.

Recentemente, com o crescente desenvolvimento, divulgao e expressivo resultado das olimpadas

de Matemtica no Brasil, torna-se necessrio que o material didtico das escolas caminhe no sentido de

se adequar, em parte, aos assuntos cobrados nessas competies. Uma ideia interessante que o livro

didtico contenha sees em que se apresentem problemas e solues comentadas, descries do que so

as competies olmpicas, quais os seus benefcios, a fim de despertar, desde cedo, o interesse dos alunos

por esse tipo de desafio.

Segundo VIEIRA (2013), algumas correntes da educao matemtica defendem a importncia da

utilizao, em sala de aula, da resoluo de problemas, uma vez que exploram um conhecimento mais

aprofundado de assuntos diversos, como forma eficaz de ensino no campo da Geometria.

Alm disso, SARMENTO (2007) acrescenta que uma das correntes atuais na educao matemtica

utilizar a resoluo de problemas como metodologia de ensino, para que o aluno se habitue a criar uma linha

de pensamento, construir estratgias de resoluo e argumentao, relacionar diferentes conhecimentos,

e ser persistente na busca de uma soluo. E, de fato, a escolha do mtodo para se abordar um problema

no s influencia o modo como se aprende, mas determina muitas vezes o que se aprende e a linha de

pensamento a ser seguida.

com base nesse pensamento transformador que, aps trazer uma fundamentao terica da

Geometria Plana, o presente trabalho vai apresentar e resolver 7 (sete) problemas olmpicos envolvendo

o tema Colinearidade e Concorrncia, a ttulo de exemplo, cobrados em recentes competies realizadas

por estudantes brasileiros. A finalidade evidenciar que apesar de questes desse tipo parecerem, a uma

primeira vista, muito difceis, podem ser resolvidos por meio de conceitos simples, ensinados nas salas de

aula das escolas da educao bsica do pas.

8 Captulo 2. O ensino da Geometria no Brasil

Antes de fazer a fundamentao matemtica proposta, o autor aborda, no prximo captulo, um

pequeno histrico das olimpadas de Matemtica no mundo e no Brasil, suas propostas e seus reflexos para

o desenvolvimento das Cincias. Alm disso, apresentada uma sntese dos dados quantitativos levantados

pelo autor sobre o tema Colinearidade e Concorrncia nas olimpadas internacionais nos ltimos 5 anos

(2010-2014).

CAPTULO3As competies olmpicas de

Matemtica e o BrasilA prpria Histria da Matemtica mostra que ela foi construda

como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e

contextos, motivadas por problemas de ordem prtica (diviso de

terras, clculo de crditos), por problemas vinculados a outras

cincias (Fsica, Astronomia), bem como por problemas relacionados

a investigaes internas prpria Matemtica.

(MEC, 1998)

3.1 As competies olmpicas e seus reflexosUma das iniciativas mais antigas de estmulo ao aprendizado e gosto pela Matemtica est ligada

aos desafios que eram propostos visando resoluo de problemas considerados de alta dificuldade.

A histria conta que, em tempos mais antigos, matemticos trocavam cartas entre si, desafiando-se

uns aos outros, propondo questes complicadas e, muitas vezes, reunindo-se em praa pblica para a

realizao de torneios em que era preciso resolver, diante dos mais diversos expectadores, equaes inditas

e consideradas de difcil soluo.

Esse tipo de competio tomou uma forma mais salutar e harmnica em 1894, na Hungria, com a

realizao da 1 Olimpada de Matemtica, a Etvs Mathematical Competition, que teve seu nome mudado

para Krschk Mathematical Competition aps a Segunda Guerra Mundial. Segundo SUPPA (2007), essa

tradicional competio deixou de ser realizada apenas nos anos de 1919, 1920 e 1921 (Primeira Guerra

Mundial), 1944, 1945 e 1946 (Segunda Guerra Mundial) e em 1956 (Revoluo Hngara).

SUPPA (2007) destaca os nomes de alguns vencedores dessa importante olimpada: o fsico Theodore

von Krmn (1881-1963), vencedor em 1897, com 16 anos de idade, cognominado hoje como o pai da era

supersnica; o tambm fsico Leo Szilard (1898-1964), vencedor em 1916, com 17 anos, que realizou diversos

estudos sobre fisso nuclear ao lado de Albert Einstein, e ficou conhecido como um dos pais da bomba

atmica; em 1925, outro fsico, Edward Teller (1908-2003), com apenas 16 anos de idade, conhecido como o

pai da Bomba H, dividiu o 1 lugar dessa competio com Laszlo Tisza (1907-2009), professor emrito do

Massachusetts Institute of Technology (MIT); em 1937, a vitria ficou com o jovem de 16 anos, John Harsanyi

10 Captulo 3. As competies olmpicas de Matemtica e o Brasil

(1920-2000), economista que dividiu o Prmio Nobel de Economia de 1994, com o matemtico John Nash

(1928-2015), pelos relevantes trabalhos desenvolvidos sobre Teoria dos Jogos.

Ao longo dos anos, as competies de Matemtica entre estudantes no mundo vm se mostrando

um forte indicador para medir a qualidade do ensino nas escolas e descobrir novos talentos para as Cincias

como um todo. O que comeou com a Matemtica, hoje se espalhou para outras reas, como Fsica, Qumica,

Astronomia, Informtica, Robtica, Lingustica, Biologia, Histria, Geografia, etc. Algumas dessas olimpadas

consistem em provas tericas, outras consistem em fazer programas, experimentos, e at mesmo realizar

discursos e debates (BERSCH, 2015).

Para BERSCH (2015), muitos alunos pensam que para participar de uma olimpada de Matemtica

preciso ter todo o contedo da matria vista na escola em sua mente. Mas, na verdade, os problemas olmpi-

cos no exigem essa dose maior de conhecimento por parte do aluno, mas sim um pouco de criatividade

e uma capacidade de raciocnio rpido, principalmente nas reas de lgebra, Combinatria, Geometria e

Teoria dos Nmeros.

Qualquer aluno do ensino mdio ou fundamental pode adquirir essas caractersticas a partir de

um programa de aulas especficas, com professores capacitados; da prtica da resoluo de problemas

olmpicos; e da prpria experincia adquirida em participaes nessas competies oficiais ou simuladas

nas escolas.

Para um aluno da educao bsica, participar das olimpadas de Matemtica uma oportunidade

diferenciada de melhorar o seu rendimento escolar, aprofundar-se em um assunto de seu interesse, conhecer

alunos e professores de toda parte do pas e do mundo, concorrer a uma bolsa de estudos nas melhores

instituies de ensino, alm de viver momentos de descontrao, viagens, diverso e a chance de bem

representar o Brasil no exterior.

Vrias universidades americanas como Harvard, Yale, Princeton, MIT, e outras como Oxford, Cam-

bridge, Indian Institute of Technology (IIT) e a Universidade de Tkio valorizam e oferecem bolsas a alunos

premiados em certas olimpadas internacionais. Muitos jovens brasileiros, que galgaram medalhas nas olim-

padas cientficas, conseguiram bolsas para estudar nas universidades mais bem conceituadas do mundo.

Cabe destacar que muitos alunos brasileiros nessas universidades foram considerados destaques entre os

demais estudantes de outras nacionalidades.

Motivar jovens a participar de olimpadas de Matemtica algo que ajuda a desenvolver o pen-

samento lgico do estudante, fomentando o interesse pela disciplina; o que traz, sem dvida, reflexos

marcantes tambm para o professor, principalmente pela melhoria do rendimento escolar, mudana de

comportamento e empolgao dos alunos durante as aulas.

Ciente da importncia dessas competies para o desenvolvimento da Matemtica no mundo, em

1959, foi organizada a 1 Olimpada Internacional de Matemtica, a International Mathematical Olympiad -

IMO, realizada na Romnia. A partir desse marco, anualmente, uma centena de pases apresentam equipes

formadas por 6 alunos do Ensino Bsico para a competio de Matemtica mais importante do planeta. Em

2017, o Brasil ter o privilgio de sediar a 58 IMO (IMO, 2015).

Cabe destacar que vrios jovens medalhistas da IMO conquistaram, mais tarde, j na fase adulta,

3.2. As iniciativas atuais para a promoo da Matemtica no pas 11

prmios importantes como a Medalha Fields1. O professor australiano Terence Tao, por exemplo, ganhador

da Medalha Fields em 2006, foi a pessoa mais jovem a receber uma medalha de ouro na IMO, em 1988, com

apenas 13 anos de idade. A primeira mulher a receber a Medalha Fields, a iraniana Maryam Mirzakhani,

em 2014, foi bicampe da IMO, recebendo duas medalhas de ouro em 1994 e 1995. O primeiro brasileiro a

receber a Medalha Fields, Artur vila Cordeiro de Melo, em 2014, tambm foi medalhista de ouro na IMO em

1995, com 16 anos de idade. Artur foi o primeiro matemtico na Amrica Latina a receber essa importante

comenda (IMO, 2015).

O Brasil iniciou sua participao na IMO em 1979 e desde ento vem obtendo resultados cada vez

mais expressivos. Ao todo foram 9 medalhas de ouro, 33 de prata, 68 de bronze e 29 menes honrosas (IMO,

2015), o que habilitou o pas a participar da Romanian Master in Mathematics (RMM), nos anos de 2010,

2012 e 2013, competio considerada dificlima, onde s os 15 melhores pases classificados na IMO do ano

anterior competem entre si (RMM, 2015).

Dentre os brasileiros medalhistas de ouro na IMO, somente dois atingiram o Perfect Score, ou seja,

gabaritaram a prova (1 lugar absoluto): os renomados professores de Matemtica Nicolau Coro Saldanha

(PUC-Rio), em 1981, e Ralph Costa Teixeira (UFF), em 1987, sendo este ltimo o nico brasileiro a ganhar

duas medalhas de ouro na competio (1986 e 1987).

Os bons resultados alcanados pelos brasileiros na IMO se devem muito ao processo seletivo rea-

lizado pela Olimpada Brasileira de Matemtica (OBM). Todos os medalhistas de ouro da IMO j haviam

conquistado o ouro na OBM (IMPA, 2015):

X Nicolau Coro Saldanha: ouro na OBM (1980) e ouro na IMO (1981);

X Ralph Costa Teixeira: ouro na OBM (1986) e ouro na IMO (1986, 1987);

X Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira: ouro na OBM (1988, 1989) e ouro na IMO (1990);

X Artur vila Cordeiro de Melo: ouro na OBM (1993, 1994, 1995) e ouro na IMO (1995);

X Rui Lopes Viana Filho: ouro na OBM (1996, 1998) e ouro na IMO (1998);

X Gabriel Tavares Bujokas: ouro na OBM (2000, 2002, 2004, 2005) e ouro na IMO (2005);

X Henrique Pond de Oliveira Pinto: ouro na OBM (2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008) e ouro

na IMO (2009); e

X Rodrigo Sanches ngelo: ouro na OBM (2011, 2012, 2013) e ouro na IMO (2012).

3.2 As iniciativas atuais para a promoo da Matemtica no pasOs resultados apresentados pelos estudantes brasileiros comprovam que a Sociedade Brasileira

de Matemtica (SBM) e o Instituto de Matemtica Pura e Aplicada (IMPA), organizadores da OBM, esto

trilhando o caminho certo para descobrir jovens talentos nacionais. A ideia original da OBM de estimular o

1 Prmio criado pela Unio Internacional de Matemtica (IMU) em 1936, que concedido a cada 4 anos, durante o CongressoInternacional de Matemtica, para at quatro pessoas, com at 40 anos de idade, que tenham feito contribuies relevantes paraas cincias matemticas. A Medalha Fields oficialmente denominada Medalha Internacional de Descobrimentos Proeminentesem Matemtica e um prmio muitas vezes visto como a maior honraria que um matemtico pode receber (IMU, 2015).


estudo da Matemtica pelos alunos brasileiros e desenvolver e aperfeioar a capacitao dos professores

tem influenciado, sobremaneira, a melhoria do ensino da Matemtica no pas.

Ciente dessa realidade, a SBM, em estreita cooperao com o IMPA, elaborou recentemente diversos

projetos e programas que visam preparar alunos e professores e estimular o uso de material de nvel olmpico

como veculo para melhorar o ensino de Matemtica no pas, alm de contribuir para a descoberta de

talentos para as Cincias em geral.

Dentre esses projetos e programas, possvel citar (OBMEP, 2015):

X o Programa de Iniciao Cientfica Junior (PIC), destinado aos medalhistas da OBMEP, que

tm a oportunidade de estudar Matemtica em nvel olmpico por um ano, em encontros mensais realizados

em mais de 180 polos no pas, recebendo uma bolsa de estudos do CNPq e material didtico (vdeos, banco

de questes, etc.);

X o Programa de Iniciao Cientfica Mestrado (PICME) para medalhistas olmpicos que

estejam cursando a graduao e desejam realizar estudos avanados, com bolsas do CNPq (IC) e da CAPES

(Mestrado);

X a Preparao Especial para Competies Internacionais (PECI), que desde 2009 tem pre-

parado medalhistas de ouro selecionados para participar de competies internacionais, mediante aulas

virtuais e presenciais;

X os Polos Olmpicos de Treinamento Intensivo (POTI), iniciado em 2012, que conta com

diversos polos no Brasil que tm o objetivo de ampliar o acesso dos alunos brasileiros a treinamento para

competies matemticas, por meio da disponibilizao de vdeos e outros materiais;

X o Programa Oficinas de Formao (PROF), iniciado em 2012 e destinado ao aperfeioa-

mento dos professores de Matemtica das escolas pblicas. Tem como objetivo promover a incluso de

atividades extraclasse de resoluo de problemas desafiadores, de nvel olmpico, nas prticas escolares;

X o Programa Clubes de Matemtica, iniciado em 2013, que conta atualmente com a adeso

de cerca de 3.000 alunos em 389 clubes em todo o Brasil, propiciando atividades inovadoras, interessantes e

ldicas, desenvolvidas em um ambiente interativo;

X o Portal da Matemtica, com aplicativos e vdeo-aulas que cobrem todo o currculo da

Matemtica, do sexto ano do Ensino Fundamental ao terceiro ano do Ensino Mdio; e

X o Programa OBMEP na Escola, que estimula os professores da rede pblica do pas a de-

senvolverem projetos e atividades extraclasse nas escolas, contando ainda com um auxlio financeiro (bolsa),

fornecida pela CAPES.

Verdadeiramente, o Brasil, pela sua extenso territorial, diversidade de regies e grande populao,

naturalmente um pas competitivo. No quesito matemtico, esse fato indiscutvel, uma vez que existem,

na atualidade, diversas competies, em nvel regional e estadual, podendo ser citadas, a ttulo de exemplo:

X Olimpada Campinense de Matemtica (SP);

X Olimpada Capixaba de Matemtica (ES);

3.2. As iniciativas atuais para a promoo da Matemtica no pas 13

X Olimpada Cearense de Matemtica (CE);

X Olimpada de Matemtica da UNICAMP (SP);

X Olimpada da Matemtica do Estado de Gois (GO);

X Olimpada de Matemtica de Rio Preto (SP);

X Olimpada de Matemtica do Estado do Rio de Janeiro (RJ);

X Olimpada de Matemtica do Estado do Rio Grande do Norte (RN);

X Olimpada de Matemtica do Grande ABC (SP);

X Olimpada Interestadual de Matemtica (ES, MG, RJ, SP);

X Olimpada Mineira de Matemtica (MG);

X Olimpada Paraense de Matemtica (PA);

X Olimpada Paulista de Matemtica (SP)2;

X Olimpada Pessoense de Matemtica (PB);

X Olimpada Regional de Matemtica da Grande Porto Alegre (RS);

X Olimpada Regional de Matemtica da UNOCHAPEC (SC);

X Olimpada Regional de Matemtica de Mato Grosso (MT);

X Olimpada Regional de Matemtica de Ribeiro Preto (SP);

X Olimpada Regional de Matemtica de Santa Catarina (SC);

X Olimpada Relmpago da PUC (RJ);

X Olimpada So Carlense de Matemtica (SP), entre outras.

Em nvel nacional, o Brasil possui duas olimpadas de Matemtica, organizadas pela SBM. A principal

delas a Olimpada Brasileira de Matemtica (OBM), iniciada em 1979, aberta a todos os estudantes do

Ensino Fundamental, a partir do sexto ano, do Ensino Mdio e tambm do Ensino Universitrio, e que

responsvel pela seleo do grupo de alunos a representar o Brasil em olimpadas internacionais. A segunda

competio a Olimpada Brasileira de Matemtica das Escolas Pblicas (OBMEP), criada em 2005, exclusiva

para alunos do ensino pblico, cuja repercusso atual tem sido bastante expressiva, uma vez que atingiu

a marca de mais de 19 milhes de participantes em 99% dos municpios brasileiros, fazendo dela a maior

olimpada de Matemtica do mundo (DA SILVA, 2013).

Uma das contribuies da OBMEP para o pas que at 2011, a maioria dos alunos medalhistas

brasileiros e que representavam o Brasil nas competies internacionais eram estudantes da rede particular

de ensino. Poucos eram os que estudavam em escolas pblicas, notadamente os alunos dos colgios

militares. Com o advento da OBMEP, o Brasil teve em sua equipe de competidores da IMO, no ano de 2013,

trs participantes de escolas pblicas no militares, que receberam 2 medalhas de prata e 1 de bronze, fato

2 A Olimpada Paulista de Matemtica a mais antiga olimpada do gnero no pas. Sua primeira edio ocorreu em 1977,patrocinada pela Academia Paulista de Cincias (IMPA, 2015).


bastante motivador para o ensino pblico no pas (OBMEP, 2015).

Por sua dimenso e abrangncia nacionais, a OBMEP foi classificada por MARANHO (2010) como

uma das maiores iniciativas governamentais no processo ensino-aprendizagem de Matemtica que foi capaz

de melhorar a motivao, o interesse e desempenho dos alunos nas escolas pblicas brasileiras.

Em 2011, o Centro de Gesto e Estudos Estratgicos (CGEE)3 avaliou os impactos da OBMEP aps 5

anos de sua existncia no Brasil, apresentando resultados bastante significativos na vida dos alunos, dos pro-

fessores e das prprias escolas, que fizeram dessa competio uma olimpada de Matemtica mundialmente

reconhecida (CGEE, 2011).

O CGEE entrevistou, ao todo, dez mil pessoas, entre alunos, professores, gestores, pais e responsveis,

em diversas partes do pas. Dentre as concluses dessa avaliao, vale destacar que (CGEE, 2011):

X o material didtico distribudo s escolas (banco de questes e apostilas do Programa de

Iniciao Cientfica), tanto para os alunos quanto para os professores, foi considerado importante, no

apenas para a preparao olmpica, mas principalmente para o uso em sala de aula, por ser um material

inovador, desafiador e que exige o raciocnio lgico dos alunos, fazendo muitos docentes repensarem suas

prticas pedaggicas;

X houve unanimidade sobre o alto nvel de dificuldade das provas em relao ao nvel de

ensino-aprendizagem nas escolas, ficando claramente perceptvel a baixa qualidade do ensino pblico atual;

X ficou evidente, para os professores, que a olimpada um canal para a excelncia na

educao pblica;

X existem desigualdades entre o ensino das escolas pblicas nas diferentes regies do pas,

bem como entre as escolas federais, municipais e estaduais, com destaque positivo para os colgios militares;

e

X a valorizao e o reconhecimento dos alunos premiados e dos professores participantes

despertam o interesse pelo estudo da Matemtica e tambm a melhora do ambiente de aprendizagem

oferecido nas escolas.

Os fatores negativos apontados pela pesquisa concentraram-se no alto nvel de exigncia da prova

frente situao do ensino pblico na maioria das escolas, principalmente em relao ao contedo de

Geometria. Entretanto, os diversos segmentos consultados relacionaram positivamente essa dificuldade

como geradora de uma consequente e gradual melhoria da qualidade do ensino pblico (CGEE, 2011).

Por fim, a avaliao feita pelo CGEE serviu para refletir a importncia das olimpadas como um

instrumento para o avano da educao brasileira, pois se observou que (CGEE, 2011):

X 59% dos professores confirmaram que os alunos passaram a estudar mais Matemtica aps

a participao na olimpada;

3 O Centro de Gesto e Estudos Estratgicos (CGEE) uma associao civil sem fins lucrativos e de interesse pblico, qualificadacomo Organizao Social pelo executivo brasileiro, sob a superviso do Ministrio da Cincia e Tecnologia. Constitui-se eminstituio de referncia para o suporte contnuo de processos de tomada de deciso sobre polticas e programas de cincia,tecnologia e inovao (CT&I) (CGEE, 2011).

3.3. Os resultados observados na pesquisa 15

X 61% dos professores informaram que o desempenho dos alunos em Matemtica, em sala de

aula, melhorou;

X 69% dos alunos disseram que passaram a se interessar mais pela Matemtica em decorrncia

de sua participao na competio;

X 74% dos pais e responsveis responderam que os filhos passaram a estudar mais Matemtica;

e

X 78% dos pais responderam que o interesse dos filhos pela Matemtica aumentou.

Alm disso, em 2014, um estudo encomendado pelo IMPA Universidade Federal de Minas Gerais

(UFMG) mostrou que os estudantes que frequentam aulas preparatrias para a OBMEP em suas escolas

obtm, em mdia, 16 pontos a mais na prova de Matemtica do Exame Nacional do Ensino Mdio (ENEM)

(TOKARNIA, 2014).

Diante do exposto, no h dvidas de que a utilizao das olimpadas nas escolas e no ensino em

geral da Matemtica constitui um fator de estmulo ao estudo da disciplina entre os alunos; incentiva o

aperfeioamento dos professores e sua valorizao profissional; identifica jovens talentos, motivando-os ao

ingresso nas reas cientficas e tecnolgicas; e, acima de tudo, contribui para a melhoria da qualidade da

educao no Brasil.

Conhecedor dessa realidade, o autor procurou trazer a pblico, no presente trabalho, a necessidade

de se olhar para as competies matemticas como uma importante alavanca pedaggica no processo de

impulsionar o ensino da Matemtica no mbito nacional, escolhendo, em particular, a Geometria Plana,

pela sua dificuldade entre os alunos, e o tema Colinearidade e Concorrncia, pela sua expressiva incidncia

em problemas olmpicos a nvel mundial.

3.3 Os resultados observados na pesquisaNa pesquisa realizada, foi possvel coletar, mediante o contato por email com dezenas de coordena-

dores de olimpadas no mundo e por meio da busca nos stios eletrnicos oficiais da Internet, o total de 283

provas aplicadas entre os anos de 2010 e 2014, contemplando 62 competies, em mais de 50 pases, em

todos os continentes. A distribuio dessas provas, por ano, a seguinte: 2010 (58 provas); 2011 (59 provas);

2012 (59 provas); 2013 (56 provas); 2014 (51 provas).

Das 283 provas, 37%, ou seja, 104 delas, continham pelo menos um problema envolvendo direta-

mente o tema Colinearidade ou Concorrncia. Verificou-se que este percentual de incidncia aproximada-

mente regular a cada ano: 2010 (34%); 2011 (41%); 2012 (34%); 2013 (46%); 2014 (27%) (ver Apndice).

importante citar que os problemas que envolviam este tema de uma forma indireta foram descar-

tados pelo autor, bem como as provas encontradas em idiomas originais de difcil traduo (escritas no

alfabticas). Alm disso, outras competies deixaram de ser analisadas pelo fato de o pas no disponibilizar,

por motivos diversos, as suas provas.

Das 104 provas contendo problemas sobre o tema, foi possvel extrair 141 questes (73 sobre Coline-


aridade e 68 sobre Concorrncia), apresentadas pelo autor no Apndice a este trabalho. Desse total, 7 (sete)

problemas foram selecionados e resolvidos pelo autor no Captulo 5. A seleo dessas questes baseou-se na

diversidade das tcnicas usadas para solucion-las e na condio de pertencer a uma competio em que a

participao de estudantes brasileiros fosse permitida.

No prximo captulo, denominado Fundamentao matemtica so apresentados uma srie

de conceitos matemticos, muitos deles no presentes nos livros didticos escolares, que ajudam a dar

embasamento terico aos professores e estudantes na preparao para as competies olmpicas, em

especial, envolvendo o tema Colinearidade e Concorrncia. Somente aps isso, no Captulo 5, esses conceitos

sero aplicados na resoluo dos problemas selecionados.

CAPTULO4Fundamentao matemtica

Todos ns sabemos alguma coisa. Todos ns ignoramos alguma

coisa. Por isso, aprendemos sempre.

Paulo Freire

Neste captulo sero apresentadas algumas definies, proposies, lemas, teoremas e corolrios

que ajudaro os estudantes na resoluo de problemas olmpicos envolvendo o assunto Colinearidade e

Concorrncia. Para no torn-lo to extenso, alguns pr-requisitos da Geometria Euclidiana, usuais no

Ensino Fundamental ou Mdio, deixaro de ser demonstrados propositalmente, uma vez que se considera o

leitor conhecedor de tais conceitos, j bastante consolidados no meio matemtico.

Definio 4.1 (Bissetriz). A bissetriz de um ngulo uma semirreta interna com origem em seu vrtice, que o

divide em dois outros ngulos adjacentes e congruentes.

Proposio 4.1. A bissetriz de um ngulo o lugar geomtrico dos pontos que equidistam dos lados desse

ngulo.

Figura 1 Bissetriz como LG

Prova. Suponha inicialmente que P pertena bissetriz do ngulo AOB . Sejam A e B os ps das perpen-

diculares baixadas de P a cada um dos lados do referido ngulo (Figura 1). Ento, tem-se que os tringulos

18 Captulo 4. Fundamentao matemtica

O AP e OB P so congruentes, uma vez que ]AOP =]B OP , ]O AP =]OB P = 90 e OP lado comumaos tringulos. Portanto, PA = PB .

Reciprocamente, seja P um ponto no interior do ngulo AOB , tal que PA = PB , onde A e B soos ps das perpendiculares baixadas de P aos lados desse ngulo. Ento, tem-se que os tringulos retngulos

AOP e B OP so congruentes, uma vez que possuem catetos congruentes PA = PB e hipotenusa OP comolado comum. Portanto, ]AOP =]B OP e P pertence bissetriz do ngulo AOB .

Definio 4.2 (Mediatriz). A mediatriz de um segmento a reta perpendicular a esse segmento e que contm

o seu ponto mdio.

Proposio 4.2. A mediatriz de um segmento o lugar geomtrico dos pontos que equidistam dos extremos

desse segmento.

Prova. Seja M o ponto mdio do segmento AB e m a reta mediatriz desse segmento. Se P um ponto

qualquer de m, ento os tringulos retngulos P M A e P MB so congruentes, com catetos M A = MB e MPcomum, logo, PA = PB (Figura 2).

Figura 2 Mediatriz como LG

Reciprocamente, seja P um ponto no plano tal que PA = PB . Ento, o tringulo PAB issceles debase AB . Por este motivo, a altura P M , relativa base AB , divide-a ao meio, e, portanto P M a mediatriz de

AB .

Proposio 4.3. Sejam P um ponto exterior a um crculo de centro O e raio r , PA e PB as duas tangentes ao

crculo traadas a partir de P (Figura 3). Ento,

(i) PA = PB;

(ii) PO bissetriz dos ngulos AOB e APB;

(iii) PO mediatriz da corda AB.

Prova. Como O A =OB = r , ]PAO =]PBO = 90 e PO lado (hipotenusa) comum dos tringulos retn-gulos PAO e PBO, ento tais tringulos so congruentes, com PA = PB . Alm disso, nesses tringulos,

19

Figura 3 Tangentes a um crculo traadas a partir de um ponto exterior

]APO =]BPO e ]AOP =]BOP e, portanto, PO bissetriz dos ngulos AOB e APB . Ademais, uma vezque P e O so equidistantes dos pontos A e B , PO altura dos tringulos issceles APB e AOB , dividindo

AB ao meio. Assim, PO mediatriz da corda AB , passando por seu ponto mdio.

Definio 4.3 (Mediana). A mediana de um tringulo o segmento que possui uma extremidade em um dos

vrtices e a outra no ponto mdio do lado oposto.

Proposio 4.4. Todo tringulo inscrito em um semicrculo retngulo, com a hipotenusa sendo o dimetro

e a mediana relativa hipotenusa tendo comprimento igual ao raio do crculo circunscrito ao tringulo

(circuncrculo).

Prova. Sejam ABC um tringulo retngulo em A e o seu circuncrculo de raio r . Como o ngulo inscrito

]B AC = 90, ento o arco _BC , que no contm A, mede 180, fazendo de BC o dimetro de . Se O ocentro do crculo , ento O mdio de BC e AO o raio de e tambm a mediana do tringulo ABC

(AO = BO =CO = r ) (Figura 4).

Figura 4 Tringulo retngulo inscrito em um semicrculo

Nota: O arco_

B AC chamado arco-capaz da corda BC (ou do ngulo A), pois qualquer ponto genrico A

deste arco estabelece um ngulo de medida constante ]B AC = 90.


Definio 4.4 (Bissetriz interna). A bissetriz interna de um tringulo o segmento que possui uma extremi-

dade em um dos vrtices e a outra no lado oposto, e que divide o ngulo interno desse vrtice em dois ngulos

adjacentes e congruentes.

Definio 4.5 (Bissetriz externa). A bissetriz externa de um tringulo o segmento que possui uma extre-

midade em um dos vrtices e a outra no prolongamento do lado oposto, e que divide o ngulo externo desse

vrtice em dois ngulos adjacentes e congruentes.

Proposio 4.5. A bissetriz interna e a bissetriz externa relativas a um vrtice de um tringulo so perpendi-

culares entre si.

Prova. Seja ABC um tringulo e sejam AD e AE suas bissetrizes interna e externa, respectivamente. Cha-

mando ]B AC = 2, tem-se ]B AD =]D AC = . Alm disso, ]C AF = 1802, donde ]C AE =]E AF =1802

2= 90 (Figura 5).

Figura 5 Perpendicularidade entre as bissetrizes interna e externa de um tringulo

Portanto, ]D AE =]D AC +]C AE = +90 = 90, ou seja, ADAE .

Proposio 4.6. O ngulo formado entre duas bissetrizes internas de um tringulo igual a um reto mais a

metade do terceiro ngulo desse tringulo.

Prova. Seja I o ponto de interseo das bissetrizes internas dos ngulos ABC e AC B do tringulo ABC

(Figura 6).

No tringulo B IC , tem-se

]B IC = 180(]ABC

2+ ]AC B

2

)

]B IC = 360 (]ABC +]AC B)

2

]B IC = 360 (180]B AC )

2= 180

+]B AC2

]B IC = 90+ ]B AC2

.

21

Figura 6 ngulo entre duas bissetrizes internas de um tringulo

Proposio 4.7. O ngulo formado entre duas bissetrizes externas de um tringulo igual a um reto menos a

metade do terceiro ngulo desse tringulo.

Prova. Seja I A o ponto de interseo das bissetrizes externas dos ngulos ABC e AC B do tringulo ABC

(Figura 7).

Figura 7 ngulo entre duas bissetrizes externas de um tringulo

No tringulo B I AC , tem-se ]B I AC = 180 (]BC I A +]C B I A).

Mas, ]BC I A = 180]AC B

2= 90 ]AC B

2e ]C B I A = 180

]ABC2

= 90 ]ABC2

.

Logo,

]B I AC = 180(90 ]AC B

2+90 ]ABC

2

)

]B I AC = ]AC B +]ABC2

= 180]B AC

2

]B I AC = 90 ]B AC2

.

Proposio 4.8. O ngulo formado entre uma bissetriz interna e uma bissetriz externa, relativas a vrtices

distintos de um tringulo, igual metade do terceiro ngulo desse tringulo.


Prova. Seja IB o ponto de interseo da bissetriz interna do ngulo ABC com a bissetriz externa do ngulo

AC B do tringulo ABC (Figura 8).

Figura 8 ngulo entre bissetriz interna e bissetriz externa relativas a vrtices distintos

No tringulo B IBC , tem-se

]B IBC = 180(]ABC

2+]AC B + 180

]AC B2

)

]B IBC = 90 ]ABC2

]AC B2

]B IBC = 90(]ABC +]AC B

2

)

]B IBC = 90(

180]B AC2

)

]B IBC = ]B AC2

.

Teorema 4.1 (Incentro). As bissetrizes internas de um tringulo so concorrentes em um ponto I , denominado

Incentro, que o centro do crculo inscrito nesse tringulo (incrculo).

Demonstrao. Sejam AD , BE e C F as bissetrizes internas do tringulo ABC . Seja I o ponto de interseo

de BE e C F . Assim, tem-se que I , por estar sobre BE equidistante dos lados AB e BC , e por estar sobre C F

equidistante dos lados BC e AC . Consequentemente, I equidistante dos lados AB e AC , e, desse modo,

tambm est sobre a bissetriz AD (Figura 9).

Ademais, se I equidistante dos lados do tringulo ABC , sejam L, M e N os ps das perpendiculares

baixadas de I at os lados do tringulo. Dessa forma, existe um crculo (incrculo) com centro em I (incentro),

que passa pelos pontos L, M e N , cujo raio dado por r = I L = I M = I N e est inscrito no tringulo ABC .

Proposio 4.9. A rea de um tringulo igual ao produto do seu semipermetro pelo raio do seu incrculo.

Prova. Sejam p o semipermetro do tringulo ABC e sejam L, M e N os ps das perpendiculares baixadas

do seu incentro I at os lados do tringulo (Figura 9). Dessa forma, o raio do incrculo de ABC igual a

r = I L = I M = I N .

A rea de ABC pode ser dada pela soma das reas dos tringulos B IC , C I A e AI B , ou seja,

23

Figura 9 Incentro de um tringulo

[ABC ] = [B IC ]+ [C I A]+ [AI B ]

[ABC ] = BC I L2

+ AC I M2

+ AB I N2

[ABC ] = BC r2

+ AC r2

+ AB r2

[ABC ] =(

BC + AC + AB2

) r

[ABC ] = p r .

Teorema 4.2 (Circuncentro). As trs mediatrizes de um tringulo se encontram em um nico ponto O,

chamado Circuncentro, que o centro do circuncrculo desse tringulo.

Demonstrao. Sejam u, v e w , respectivamente, as mediatrizes relativas aos lados AB , BC e AC do tringulo

ABC , e L, M e N os respectivos pontos mdios desses lados (Figura 10).

Figura 10 Circuncentro de um tringulo


Seja O, inicialmente, o ponto de encontro de u e w . Como O est sobre essas mediatrizes, tem-se,

pela Proposio 4.2, que O A =OB

O A =OC O A =OB =OC = R (raio).

Com isso, conclui-se que O equidistante dos vrtices A, B e C e, portanto, O centro do circuncr-

culo do tringulo ABC , de raio R.

Como o raio R do circuncrculo do tringulo ABC corta a corda BC no seu ponto mdio M , sob

um ngulo reto (ver Proposio 4.3), conclui-se que OM est contido na mediatriz v de BC . Assim, as trs

mediatrizes concorrem no ponto O (Figura 10).

FEITOSA (2013) demonstra a concorrncia das mediatrizes no circuncentro de um tringulo utili-

zando nmeros complexos.

Definio 4.6 (Exincrculo). O crculo tangente internamente aos prolongamentos dos lados AB e AC e

tangente externamente ao terceiro lado BC de um tringulo ABC chamado crculo exinscrito (ou exincrculo)

relativo ao lado BC (ou ao vrtice A) do tringulo.

Teorema 4.3 (Exincentro). O centro I A do exincrculo relativo ao lado BC (ou ao vrtice A) de um tringulo

ABC , chamado Exincentro e o ponto de interseo das bissetrizes externas dos ngulos B e C e da

bissetriz interna do ngulo A do tringulo.

Demonstrao. Sejam b e c as bissetrizes externas dos ngulos B e C , respectivamente, e I A o ponto de

interseo entre elas. Como I A b, I A equidistante dos lados AB e BC ; e como I A c, I A equidistantede AC e BC . Assim, I A equidistante de AB e AC , e, portanto, pertence bissetriz interna a do ngulo A

(I A a) (Figura 11).

Figura 11 Exincentro de um tringulo

Sejam X , Y e Z os ps das perpendiculares baixadas de I A a cada um dos lados do tringulo ABC ou

seus prolongamentos (Figura 11). Denotando por r A a distncia comum entre I A e os lados do tringulo,

25

existe um crculo (exincrculo) com centro em I A (exincentro) de raio r A=I A X =I AY =I A Z , tangente ao ladoBC e aos prolongamentos dos lados AB e AC (Figura 11).

Nota: Todo tringulo admite exatamente trs exincrculos.

Definio 4.7 (Diviso de um segmento interiormente). Diz-se que o ponto M divide interiormente um

segmento AB na razo k (k > 0) quando M interior ao segmento e M AMB

= k (Figura 12).

Definio 4.8 (Diviso de um segmento exteriormente). Diz-se que o ponto N divide exteriormente um

segmento AB na razo k (k > 0) quando N exterior ao segmento e N AN B

= k (Figura 12).

Figura 12 Diviso de um segmento por um ponto

Nota: Observa-se que para k = 1, o ponto N , exterior ao segmento AB , um ponto no infinito (pontoimprprio).

Proposio 4.10 (Unicidade). Dado um segmento AB e uma razo k, existe apenas um ponto M que divide

interiormente e apenas um ponto N que divide exteriormente esse segmento nessa razo.

Figura 13 Prova da unicidade na diviso de um segmento por um ponto

Prova. Considere inicialmente que exista um ponto M que divida AB interiormente na mesma razo k que

o ponto M , tambm interior ao segmento (Figura 13). Assim, k = M AMB

= MA

M B.

Aplicando as propriedades das propores, tem-se

M A+MBMB

= MA+M B

M B

AB

MB= AB

M B

MB = M B

M M .

Analogamente, considere que exista um ponto N que divida AB exteriormente na mesma razo k

que o ponto N , tambm exterior ao segmento (Figura 13). Assim, k = N AN B

= NA

N B.

Aplicando, mais uma vez, as propriedades das propores, tem-se


N B N AN B

= NB N A

N BAB

N B= AB

N B

N B = N B

N N .

Portanto, conclui-se que os pontos M e N so nicos.

Definio 4.9 (Diviso harmnica). Quando um segmento AB est dividido por dois pontos M (interior-

mente) e N (exteriormente), na mesma razo k, diz-se que o segmento est dividido harmonicamente. Os

pontos M e N so chamados conjugados harmnicos de AB na razo k, e a sequncia de pontos (N , A, M, B)

forma uma qudrupla harmnica, comM A

MB= N A

N B= k (Figura 14).

Figura 14 Diviso harmnica

Nota: As configuraes para k, razo da diviso harmnica, so mostradas na Figura 15.

Figura 15 Configuraes para a razo da diviso harmnica

Proposio 4.11. A distncia entre dois conjugados harmnicos de um segmento igual mdia harmnica

entre as distncias do ponto divisor exterior a cada um dos extremos do segmento.

Prova. Considere inicialmente o segmento AB dividido harmonicamente pelos pontos M (interior) e N

(exterior), na razoM A

MB= N A

N B= k , com k > 1 (Figura 15). Assim,

M A

MB= AB MB

MB= AB

MB1 = N AN B

MB1 = N A

N B

N AN BMB

= N AN B

+1

MB = N AN BN A

N B+1

= N B (N AN B)N A+N B .

27

Como M N = MB +N B (Figura 15), ento

M N = MB +N B = N B (N AN B)N A+N B +N B

M N = N B (N AN B)+N B (N A+N B)N A+N B

M N = 2 N A N BN A+N B (razo harmnica entre N A e N B).

Analogamente, considerando-se o caso em que 0 < k < 1, chega-se ao mesmo resultado 1. O caso emque k = 1 um caso especial, pois o ponto N sendo imprprio, implica que a distncia M N infinita.

Corolrio 4.1. Se os pontos M e N dividem harmonicamente o segmento AB, ento os pontos A e B tambm

dividem harmonicamente o segmento M N .

Prova. De fato, basta permutar, simplesmente, os meios ou os extremos da proporo. SeM A

MB= N A

N B, ento

AN

AM= B N

B M.

Novamente, um caso especial ocorre se M mdio de AB , donde k = 1 e N tende ao infinito(imprprio).

Teorema 4.4. Se O o ponto mdio do segmento AB, e M e N pontos que o dividem harmonicamente, ento

O A OB =OM ON .

Figura 16 Relao do ponto mdio

Demonstrao. Sem perda de generalidade, com O, A, B , M e N distintos, considere a Figura 16, em que a

razo harmnica igual a k > 1. Assim,

M A

MB= N A

N B

OM +O AOB OM =

ON +O AON OB

(OM +O A) (ON OB) = (ON +O A) (OB OM)

OM ON OB OM +O A ON O A OB =OB ON OM ON +O A OB O A OM .

Como O A =OB , a equao reduz-se a

OM ON O A OB =OM ON +O A OB

O A OB =OM ON .

Analogamente, considerando-se o caso em que 0 < k < 1, chega-se ao mesmo resultado.1 Essa segunda parte da prova ser deixada a cargo do leitor.


Nota: Pela sequncia de raciocnio desenvolvida, fcil observar que a recproca desse teorema tambm

vlida, ou seja, se O o ponto mdio do segmento AB e O A OB =OM ON , ento M e N so pontos quedividem harmonicamente o segmento AB 2.

Teorema 4.5 (Bissetrizes). As bissetrizes interna e externa de um tringulo dividem o lado oposto em partes

proporcionais aos lados adjacentes.

Demonstrao. Seja AD a bissetriz interna e AD a bissetriz externa relativas ao ngulo A do tringulo

ABC .

(i) Bissetriz Interna:

Traando-se C E , paralela a AD, tem-se ]BEC = ]B AD = ]D AC = ]EC A (Figura 17). Assim, otringulo EC A issceles, com AC = AE .

Figura 17 Teorema da bissetriz interna

Pela Lei de Proporcionalidade de Tales 3,B A

BD= AE

DC, ou seja,

AB

BD= AC

C D.

(ii) Bissetriz Externa:

Traando-se C E , paralela a AD , tem-se ]C E A =]D AE =]D AC =]E C A (Figura 18). Assim, otringulo E C A issceles, com AC = AE .

Pela Lei de Proporcionalidade de Tales,B A

BD = E

AC D

, ou seja,AB

BD = AC

C D .

Nota: importante observar que se o tringulo for issceles, o teorema da bissetriz externa fica comprome-

tido quando aplicado ao vrtice de ngulo desigual, uma vez que essa bissetriz externa ser paralela base

do tringulo. No caso de o tringulo ser equiltero, esse fato ocorre para todos os vrtices.

Corolrio 4.2 (Diviso harmnica pelos ps das bissetrizes). Os ps das bissetrizes interna e externa relativas

a um vrtice de um tringulo dividem o lado oposto harmonicamente, na mesma razo dos lados adjacentes.

2 A demonstrao da recproca do teorema ser deixada a cargo do leitor.3 Tales de Mileto foi um matemtico grego que viveu no Sc. VII a.C. Sua Lei ou Teorema de Proporcionalidade diz que quando

duas retas secantes interceptam um feixe de retas paralelas, os segmentos correspondentes determinados so proporcionais.

29

Figura 18 Teorema da bissetriz externa

Prova. Sejam k = ABAC

a razo dos lados do tringulo escaleno ABC que concorrem no vrtice A e AD e AD

as suas bissetrizes interna e externa, respectivamente, relativas ao ngulo A.

Pelo Teorema 4.5, tem-se que k = ABAC

= BDDC

e, ao mesmo tempo, k = ABAC

= BD

D C. Portanto, k =

DB

DC= D

BD C

, o que mostra que os pontos D e D dividem harmonicamente o lado BC do tringulo ABC na

razo k.

Nota: Observa-se que no caso de o tringulo ser issceles ou equiltero, o teorema continua vlido, com o p

da bissetriz interna sendo o ponto mdio da base (k = 1) e o p da bissetriz externa tendendo ao infinito(imprprio), conforme a Figura 15.

Teorema 4.6 (Recproco das bissetrizes). Sejam D e D pontos sobre a reta que contm o lado BC de um

tringulo ABC , tais que D interior e D exterior a BC . Se ]D AD = 90 e DBDC

= DB

D C(isto , D e D

dividem harmonicamente BC ), ento AD bissetriz interna e AD bissetriz externa relativas ao ngulo A

do tringulo ABC .

Demonstrao. Traando por D uma paralela reta AD , sejam P e Q seus pontos de interseo com os

lados AB e AC , respectivamente (Figura 19).

Com isso, tem-se as seguintes semelhanas de tringulos:

PBD ABD DBD B

= PDAD

e (1)

C DQ C D A C DC D

= DQD A

. (2)

Uma vez que, por hiptese,DB

DC= D

BD C

ouDB

D B= DC

D C, de (1) e (2) decorre que

PD

AD = DQ

D A

PD = DQ.


Figura 19 Recproca do teorema das bissetrizes

Logo, o ponto D mdio de PQ. Como PQ AD e D AAD , ento ADPQ (Figura 19).

Assim, AD mediana e altura do tringulo PAQ que, por sua vez, issceles. Desse modo, AD

tambm bissetriz de PAQ =B AC .

Finalmente, se AD a bissetriz interna do tringulo ABC e, por hiptese, AD AD (]D AD = 90),ento, pela Proposio 4.5, AD a bissetriz externa do tringulo ABC .

Proposio 4.12 (Diviso harmnica pelo Incentro e Exincentro). O incentro e o exincentro relativo a um

vrtice de um tringulo dividem harmonicamente a bissetriz interna relativa a esse mesmo vrtice.

Prova. Sejam AD e C F duas bissetrizes internas do tringulo ABC . Sejam ainda I o incentro e I A o exincentro

relativo ao vrtice A desse tringulo (Figura 20).

Figura 20 Diviso harmnica pelo incentro e exincentro

Observando o tringulo AC D, tem-se que C I sua bissetriz interna e C I A sua bissetriz externa

relativas ao vrtice C (Figura 20). Portanto, pelo Teorema 4.5, aplicado nesse tringulo, tem-se

C A

I A= C D

I Dou

C A

C D= I A

I D(3)

e

C A

I A A= C D

colinearidade e concorrencia em olimpiadas internacionais ... · brasileira, a partir desta data....

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