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Departamento de Matemática

COLÉGIO E CURSO CAES Curso de Aperfeiçoamento para Exames de Seleção

Matemática 1

MATEMÁTICA 1

CADERNO DE EXERCÍCIOS

Capítulo 1 - Conjuntos Nível 1 –

01 – (AFA/97) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave Tucano, 40 pilotam o helicóp-tero Esquilo e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o Tucano e o Esquilo? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20

02 – (UFJF/2001) A parte hachurada no diagrama que melhor representa o conjunto D = A – (B ∩ C) é: a) c)

b) d)

03 – Esta questão, assim como as demais, só admite uma op-ção correta. O número de paus com que se faz uma canoa per-tence ao conjunto: a) N b) Z c) Q d) N* e) R

04 – Considere os conjuntos: A = { x | x é letra do estado brasileiro cuja capital é Recife} B = { y | y é letra da palavra número} C = { p, a, r, e, o } D = { b, o }

Assim, a equação A – [(B – C) U D] é igual ao conjunto de letras da palavra: a) Brigadeiro c) Brasil e) Aeronáutica.b) Epcar d) Barbacena

05 – (EEAR-CFS-2/2002-B) Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F). ( ) INZ ⊂+ ( ) *ZZZ +− =−

( ) −+ =− ZZZ ( ) ( ) NNZZ * =∪∩+( ) INZ ≠+

Assinale a seqüência correta: a) F – F – V – V – F c) V – F – V – F – Fb) F – F – V – V – V d) V – F – V – V – F

06 – (EPCAR-2001) Assinale a alternativa falsa: a) Z – N = conjunto dos números inteiros negativosb) Q – Z = conjunto dos números racionais não-inteirosc) φ=∪+ ZZd) Z* = conjunto dos números inteiros não-nulos

07 – (CESD-2/99) Considere as afirmações:

I) 4; 510, e 31 são números racionais

II) Todo número inteiro é também racionalIII) Todo número racional é também inteiro

As afirmações I, II e III são, respectivamente:a) F, V, Vb) V, V, Vc) F, F, Fd) V, V, F

08 – Um conjunto A possui 512 subconjuntos. Retirando-se 4 elementos de A forma-se um novo conjunto que terá m subcon-juntos. Qual o valor de m?

09 – (C.Tostes/93) Em uma escola, cujo total de alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os refrigerantes que os alunos cos-tumam beber, os resultados foram: – 200 alunos bebem o refrigerante A.– 20 alunos bebem o refrigerante A e o refrigerante B.– 100 alunos não bebem A e nem B.Sendo x o número de alunos que bebem apenas o refrigerante

A e y o número de alunos que bebem A ou B, Determineyx

.

10 – Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resul-tados tabelados abaixo:

Marca N.º Cons.A 109 B 203 C 162

A e B 25 B e C 41 A e C 28

A, B e C 5 Nenhuma 115

Determine quantas pessoas fizeram a prova?

11 – (C.Tostes/98) Uma editora estuda a possibilidade de re-lançar os seguintes clássicos da literatura brasileira: Helena, Senhora e A Moreninha. Pesquisando o mercado, concluiu que em cada 1000 pessoas, 600 haviam lido A Moreninha, 400 ha-viam lido Helena, 300 haviam lido Senhora, 200 haviam lido A Moreninha e Helena, 150 haviam lido A Moreninha e Senhora, 100 haviam lido Senhora e Helena e 20 haviam lido as três o-bras. Entre as pessoas pesquisadas, quantas leram pelo menos duas obras? a) 600 b) 500 c) 460 d) 410 e) 400

12 – (F.G.V.-SP) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩ B é 30, o número de elementos de A ∩ C é 20 e o número de elementos de A ∩ (B ∩ C) é 15. Então, o número de elementos de A ∩ (B ∪ C) é: a) 35 b) 15 c) 50 d) 45 e) 20.

13 – (PUCC) Sejam Q e I os conjuntos dos números racionais e dos irracionais, respectivamente. Então, sempre é verdadeira a afirmação: a) x ∈ I; y ∈ I ⇒ x + y ∈ I; d) x ∈ Q; y ∈ Q ⇒ x/y ∈ Q;b) x ∈ I; y ∈ I ⇒ x . y ∈ I; e) n.d.a.c) x ∈ Q; y ∈ I ⇒ x – y ∈ I;

14 – (F.C.CHAGAS-SP) Um subconjunto X de números natu-rais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. O número de elementos de X é: a) 32 c) 24 e) 20.b) 27 d) 22

15 – (PUC-SP) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% op-taram pelo curso de Direito. Do total dos candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito? a) 50% c) 10% e) 5%.b) 20% d) 6%

16 – (FAC. MED. JUNDIAÍ) Dados os intervalos A = ]-2, 1] e B = [0, 2], então A ∩ B e A ∪ B são, respectivamente: a) ]0, 1[ e ]-2, 2[ c) [0, 1] e ]-2, 2] e) [0, 1[ e [-2,2].b) ]0, 1] e ]-2, 2] d) [0, 1[ e [-2, 2[

17 – (UEBA) – Se A = {x ∈ ℜ | -1 < x < 2} e B = {x ∈ ℜ | 0 ≤ x < 3}, o conjunto A ∩ B é o intervalo: a) [0, 2[ b) ]0, 2[ c) [-1, 3] d) ]-1, 3[ e) ]-1, 3].

18 – O gráfico abaixo representa o conjunto a) ]1,3] x {1,2,3}

b) [1,3] x ]1,3]

c) {2,3} x ]1,3]

d) {1,2,3} x {2,3}

e) {1,2,3} x ]1,3]

MATEMÁTICA 1


19 – (UFBA) Sendo R = { x ∈ N | x < 5} e S = { x ∈ Z | -3 < x < 1}, o gráfico cartesiano de R x S é:

a) d)

b) c)

e)

20 – (CFO/98) Se A e B são dois conjuntos quaisquer, então: a) A – B = B – A c) A ∩ B = B ∪ Ab) A ∩ B = A ∪ B d) A ∩ B = B ∩ A

Nível 2 –

01 – (Epcar/82) Considere o conjunto A = {x∈N / x2-3x-4<0}. Assi-nale a alternativa que indica o número de subconjuntos de A. a)16 b) 32 c) 64 d) 128 e) infinitos

02 – (Epcar/89) Se um conjunto A tiver 4 elementos, e um con-junto B tiver 3 elementos, então o conjunto de todas as partes do conjunto AxB (A cartesiano B) terá um número de elementos equivalente a: a) 23 b) 24 c) 27 d) 212 e) 214

03 – (E.E.A.R./91) Se A = {x ∈ N / x ≤ 5} e B = {números naturais pa-res menores que 8} e C = {x ∈ N* / x < 4}, então, o conjunto diferença entre a união de B com C e a interseção de A e B é: a) {0, 1, 3} c) {1, 3, 4} e) {1, 4, 6}b) {0, 3, 6} d) {1, 3, 6}

04 – (C.Naval/85) Dados dois conjuntos A e B tais que: O número de subconjuntos de A está compreendido entre 120 e 250. B tem 15 subconjuntos não vazios.

O produto cartesiano de A por B tem: a) 8 elementos c) 16 elementos e) 32 elementosb) 12 elementos d) 28 elementos

05 – (C.Naval/86) Representando-se por n(X) o número de e-lementos de um conjunto X, considere dois conjuntos A e B tais que n(A ∩ B) = 4, n(A – B) = 5 e n(A x B) = 36. Podemos afir-mar que n(A ∪ B) é igual a: a) 4 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10

06 – (E.S.A./93) Marcelo resolveu corretamente 90% das ques-tões de uma prova e André, 70%. Se nenhuma questão da pro-va ficou sem ser resolvida pelo menos por um deles, e 18 delas foram resolvidas corretamente pelos dois, podemos concluir que a prova constava de: a) 148 questões c) 50 questões e) 20 questõesb) 100 questões d) 30 questões

07 – (C.Naval/83) Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se que: 40% consomem arroz; 30% consomem macarrão; 15% conso-mem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão; 60% consomem feijão. A porcentagem correspondente às famílias

que não consomem esses três produtos é: a) 10% b) 3% c) 15% d) 5% e) 12%

08 – (U. E. LONDRINA) Em ℜ x ℜ, sejam (2m + n; m – 4) e (m + 1; 2n) dois pares ordenados iguais. Então mn é igual a:a) –2 b) 0 c) 1/2 d) 1 e) √2.

09 – (U. E. C.) Se P = {1,2,5,7,8}, então o número de elementos do conjunto W = {(x,y) ∈ P2; x<y} é: a) 8 c) 10b) 9 d) 11

10 – (CESGRANRIO) Seja Z o conjunto dos inteiros, sejam ain-da os conjuntos A = {x ∈ Z | -1 < x ≤ 2} e B = {3,4,5}. Então, se D = {(x,y) ∈ A x B | y ≥ x +4}, tem-se que: a) D = A x B;b) D tem dois elementos;c) D tem um elemento;d) D tem três elementos;e) as quatro afirmativas anteriores são falsas.

11 – (EPCAR/2001) Uma prova com 180 questões diferentes foi distribuída a 3 estudantes A, B e C, de modo que cada estudan-te recebeu um bloco com 60 questões distintas. A apresentou 90% de acertou nas suas respostas; B respondeu corretamente a 70% do seu bloco e C errou 80% de suas questões. Desta forma, o número de questões não-resolvidas da prova é de (não-resolvidas são as questões que os estudantes não acerta-ram). a) 78b) 72c) 68d) 80

12 – (CTU/2002) Sejam A, B e C três conjuntos não vazios e considerando os diagramas:

1) 3)

2) 4)

E as denominações: I – A ⊂ B, C ⊄ B, A ∩ C ≠ ∅ II – A ⊂ B, C ⊂ B, A ∩ C = ∅ III – A ⊂ (B ∩ C), B ⊂ C, C ≠ B, A ≠ C IV – A ∩ C = ∅, A ≠ C, B ∩ C ≠ ∅

Então as associações corretas são: a) (1, IV), (2, III) c) (2, II), (3, IV)b) (1, I), (4, III) d) (4, III), (1, II)

13 – Num concurso, foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. Representando por P o número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa e representando por Q o número de candidatos que falam as línguas inglesa ou francesa, podemos afirmar que P e Q são respectivamente: a) 120; 778 d) 130; 658b) 120; 658 e) 131; 407c) 130; 778

14 – (EEAR-2/99-B) Foi feita uma pesquisa em uma escola, em que os alunos optaram por um esporte. Do total dos alunos

MATEMÁTICA 1


pesquisados, 7

5 escolheram o futebol e 4

1 dos restantes indi-

caram o voleibol. O número de alunos que não optou nem pelo futebol nem pelo voleibol foi 60, portanto o total de alunos pesquisados foi: a) 200 b) 250 c) 280 d) 300

15 – (EPCAR-2001) Três candidatos ao 1º ano do EPCAR/2001 fizeram um cursinho preparatório intensivo. Sabendo-se que o candidato A teve aulas do dia 20/06 ao dia 05/07, o candidato B, do dia 30/06 ao dia 09/07 e o candidato C, do dia 01/07 ao dia 25/07, a opção que indica o número de dias em que pelo menos um candidato estava participando do cursinho é: a) 10 b) 16 c) 25 d) 36

16 – (CTU/99) Numa aula inaugural do curso de Eletrotécnica, o professor de Eletricidade Básica levou um grupo de alunospara conhecer o laboratório da escola. Desses alunos:• 8 já haviam estado num laboratório, mas não conheciam osinstrumentos de medição: amperímetro, voltímetro, etc.;• 3 já conheciam os instrumentos de medição, mas nunca havi-am estado num laboratório;• ao todo, 10 conheciam os instrumentos de medição;• ao todo, 9 nunca haviam estado num laboratório.

Determine o número de alunos.

17 – (EPCAR/2003) De 2 conjuntos A e B, sabe-se que: I – O número de elementos que pertencem a A ∪ B é 45 II – 40% desses elementos pertencem a ambos os conjuntos III – O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B

Então, o número de elementos de cada conjunto é: a) n(A) = 27 e n(B) = 18 c) n(A) = 35 e n(B) = 26b) n(A) = 30 e n(B) = 21 d) n(A) = 36 e n(B) = 27

18 – (EPCAR/2001) Numa prova de matemática, havia 2 pro-blemas. Ao corrigi-la, o professor responsável determinou que não consideraria questões meio certas. Assim, a cada prova só poderia ser atribuído 0, 5 ou 10. Dos alunos, 25 obtiveram nota 5, 10 alcançaram nota 10, 25 acertaram o segundo problema e 20 erraram o primeiro problema. O número de alunos que tira-ram nota zero é: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15

19 – (EPCAR/2002) Considere os conjuntos: A = {a ∈ N*/a < 5} C = {c ∈ N*/2c2 – 8c = 0} B = {b ∈ Z /1 < b < 5} D = {x ∈ N/x é primo e x < 7}

Se A ∩ E = {3} e B ∪ E = D ∪ C, então o conjunto E é igual a: a) {3} b) {3,5} c) {3,5,7} d) {3,4,5}

20 – (EEAR/CFS1/2001-B) Sejam os conjuntos A = [-1,2]; B = [-2,4] e C = [-5,0[. É falso afirmar que: a) (B – C) – A = [2,4]b) (A ∩ B) ∩ (B – C) = [0,2]c) (B – A) ∪ (A ∩ B) = [-2,4]d) (B ∪ C) – (A ∩ B) = ]-5,-1[ ∪ ]2,4]

21 – (CFO/2000) Dados 3 conjuntos finitos A, B e C, o número de elementos de A ∩ (B ∪ C), sabendo-se que A ∩ B = 26 ele-mentos, A ∩ C = 10 elementos e A ∩ B ∩ C = 7 elementos, é: a) 17 elementos c) 29 elementosb) 36 elementos d) 33 elementos

Nível 3 –

01 – (Epcar/87) Um conjunto A tem m elementos e a subconjuntos; um conjunto B tem n elementos e b subconjuntos e um conjunto C tem p elementos e c subconjuntos. Se b = 8, a = c – 2b e m = 2p – 2n, então a + b + c vale: a) 56 b) 12 c) 32 d) 16 e) 48

02 – (C.Naval/84) Num colégio verificou-se que 120 alunos não tem pai professor; 130 alunos não tem mãe professoras e 5 tem pai e mãe professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? a) 125 b) 135 c) 145 d) 155 e)165

03 – (C.T.U./97) Uma pesquisa de mercado sobre o consumo de três marcas A, B e C de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A – 48% A e B – 18% C – 50% A e C – 15% B – 45% B e C – 25% Nenhuma das três – 5%

a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem astrês marcas A, B e C?b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomemuma e apenas uma das três marcas?

04 – (Col.Militar/96) – Considere os conjuntos A={n ∈ N / n = 2k+1, k ∈ N*} e B={n ∈ N / n é primo e n > 2}. Determinar o conjunto C={x ∈ A ∪ B / x = 3k, k ∈ N e x < 30}

05 – (EPCAR/2003) Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi a-plicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a 1ª, sobre conjuntos, a 2ª, sobre funções e a 3ª, so-bre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes:

• nenhum tirou zero;• 11 acertaram a 2ª e a 3ª questões;• 15 acertaram a questão sobre conjuntos;• 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana;• 7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções.

É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

06 – (EEAR-CFS1/2001-B) Considere os conjuntos A = [1,2] ∪ [3,4]; B = ]1,4] – {3}; C = [2,3[ ∪ {4} e X = (A – B) ∪ (A ∩ C). As-sinale a alternativa correta: a) X ∪ A = B c) X ∩ A = Xb) X ∪ C = X d) X ∩ B = C

GABARITO Resolução em Casa – Nível 1

01) B 02) A 03) D 04) B 05) D06) C 07) D 08) 32 09) 3/5 10) 50011) D 12) A 13) C 14) D 15) D16) C 17) A 18) E 19) E 20) D

Resolução em Casa – Nível 2 01) A 02) D 03) D 04) D 05) D06) D 07) D 08) C 09) C 10) D11) B 12) D 13) B 14) C 15) D16) 24 17) D 18) B 19) B 20) A21) C

Resolução em Casa – Nível 3

01) A 02) D 03) a) 10%b) 57% 04) {3, 9, 15, 21, 27}

05) B 06) C

Capítulo 2 – Teoria das Funções

Nível 1 –

01 – Na tabela abaixo temos a quantidade de ovos (em dúzias) e o preço a pagar.

Quantidade (em dúzias) Preço (em R$) 1 1,20 2 2,40 3 3,60

3,5 4,20 4 4,80 ... ... x 1,20x

a) O preço a pagar é dado em função da quantidade de dúzias?b) O que depende do quê?c) Qual é a variável independente?

MATEMÁTICA 1


d) Qual é a variável dependente?e) Qual é a regra que associa a quantidade de dúzias com opreço a pagar?f) Qual é o preço de 9 dúzias de ovos?

02 – Observe na tabela a medida do lado (em cm ) de uma re-gião quadrada e sua área (cm2)

Medida do lado (em

2cm )

1 3 4 5,5 10 ...

Área (em

2cm ) 1 9 16 30,25 100 ... 2

a) O que é dado em função do quê?b) Qual é a variável dependente?c) Qual é a variável independente?d) Qual é a lei da função que associa a medida do lado com aárea?e) Qual é a área de uma região quadrada cujo lado mede 12cm?f) Qual é medida do lado da região quadrada cuja área é de 169cm2

03 – Considere a correspondência que associa a cada número natural o seu sucessor. a) construa uma tabela que indique essa correspondência.b) O sucessor de um número natural depende do número natu-ral?c) O que é dado em função do quê?d) Qual é a regra que associa um número natural ao seu su-cessor?e) Qual é o sucessor do maior número natural de três algaris-mos?

04 – Numa indústria, o custo operacional de uma mercadoria é composto por um custo fixo de R$300,00 mais um custo variá-vel de R$0,50 por unidade fabricada. Portanto, o custo opera-cional, que representaremos por y, é dado em função do núme-ro de unidades fabricadas, que representaremos por x . Ex-presse, por meio de uma fórmula matemática, a lei dessa fun-ção.

05 – Um motorista, saindo de um terminal A, viaja por uma es-trada e verifica que a distância percorrida, a partir do ponto ini-cial, pode ser calculada por d(x) = 50x + 6, sendo d em km e x em horas. Faça uma tabela listando as distâncias percorridas após cada intervalo de uma hora desde x = 1 até x = 5.

06 – Explicite o domínio das seguintes funções reais:

a) x

)x(f 1= b)

52

+−

=xx)x(f

c) 56

12 +−

=xx

)x(f d) x)x(f −= 3

e) 4

15

12 −

++

=xx

)x(f f) 2

7

−

−=

xx)x(f

07 – Construa os gráficos abaixo: a) f(x) = 2x +1, sendo o domínio D = {0,1,2,3,4}.b) f(x) = 2x +1, sendo D = [0,4]c) f(x) = - x2

d) f(x) = 3x

08 – Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares.

a) f: R→R tal que f(x) = 2

1+x

b) f: R→R tal que f(x) = x4

c) f: R→R tal que f(x) = x1

d) f: R→R tal que f(x) = - x2

09 – A grandeza física densidade D de um objeto é definida como o quociente entre a massa M e o volume V desse objeto.

Disso conclui-se que a massa e o volume estão relaciona-dos através da equação: M = DV

Observe a tabela que relaciona M e V de um determinado objeto:

V(cm3) 10 30 ? ? 25 M(g) 80 ? 480 720 ?

a) Qual é a densidade desse objeto?b) Complete a tabela com os valores que faltam.c) Represente graficamente M em função de V.

10 – O digrama seguinte representa uma função f do intervalo [1,3] em ℜ. Quanto à imagem é correto afirmar que: a) Im(f) = [1,4];

b) Im(f) = [2,3];

c) Im(f) = ]1,4];

d) Im(f) = ]2,3];

e) Im(f) = [1,3].

11 – (PUC-SP) Para a função cujo gráfico é:

Podemos dizer: a) O domínio é ℜ;b) O conjunto imagem é ℜ;c) O domínio é o conjunto ℜ - {a};d) O conjunto imagem é {x ∈ ℜ | a < x < b};e) O conjunto imagem é {x ∈ ℜ | 0 < x < b}.

12 – Se f:Z→Z é tal que f(n+1) = n – 1, então o valor de f(n –1) é: a) n + 1 b) n c) n – 1 d) n – 2 e) n – 3

13 – A função de Euler φ é definida para todo natural n>1 da seguinte maneira: φ (n) é o número de números naturais primos com n menores que n. Quanto vale φ (12) a) 4 b) 5 c) 3 d) 6 e) 0

14 – (UFJF/2003) A figura abaixo representa, no plano cartesi-ano, o gráfico de uma função y = f(x) definida no intervalo [-2, 5]. Com base nesse gráfico, é incorreto afirmar que:

a) f(4) > f(5)b) o conjunto imagem de f contém o intervalo [-1,4]c) f(x) < 0 se – 2 ≤ x ≤ 0d) f(f(1)) = 0e) o conjunto {x ∈ [-2,5] / f(x) = 3} possui exatamente dois elementos.

15 – Seja f : R → R uma função satisfazendo as seguintes pro-priedades:

MATEMÁTICA 1


I – f(0) = 1 III – 0 < f(1) < 1 II – f(x + y) = f(x) . f(y) ∀ x, y ∈ R

Então o valor da expressão f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(9) é igual a:

a)11

11 10

−−

)(f)(f)(f c) )(f)(f 11 10 −

b) 11 10 −)(f d) 1111 10

−−

)(f)(f

16 – (UFJF/97) Sendo A = {1,2,3,4,5} e sabendo-se que o gráfi-co da função injetiva f:A→A passa pelos pontos (1,3), (2,5) e (3,4), podemos concluir que: a) o gráfico de f passa pelo ponto (3,1);b) a função f admite inversa;c) a função f é crescente;d) a função f é decrescente;e) o gráfico de f passa pelo ponto (5,4).

17 – (UFJF/95) Se f é uma função de ℜ* em ℜ tal que 2f(x) + f(1/x) = -5x, então f(3) é igual a: a) –15 b) –11 c) 9

85− d) 35− e) 3

85−

18 – (UFJF/99) Seja f:ℜ→ℜ uma função tal que f(x + y) = F(x) + f(y) para quaisquer x e y reais. Se f(1) = -1/2, determine f(-1/2).

GABARITO Capítulo 2

01) a) Simb) O preço depende da quanti-dade de ovosc) Quantidade de ovosd) O preçoe) 1,20xf) R$ 10,80

02) a) A área é dadaem função do lado.b) A áreac) O ladod) A = 2e) 144 cm2

f) 13 cm

03) a)

Número natural Sucessor 0 1 1 2 2 3 3 4 ... ... n n +1

b) Simc) O sucessor é dado em fun-ção do número natural.d) O sucessor de n é n + 1e) 1000

04) y = 300,00 + 0,50x

05) X(h) d(Km) 1 56 2 106 3 156 4 206 5 256

06 – a) ∗R b) R – {-5} c) R – {1,5}d) { }3x/Rx ≤∈ e) R – {-5,-2,2}f) ]( 7,207 -

08 – a) Não é função par nem ímpar.b) Função par.c) Função ímpar.d) Função par.09 – a) D = 8 g/cm3

b) 240; 60; 90; 200

c) 10) A 11) E 12) E 13) B 14) D15) D 16) B 17) C 18) 1/4



Matemática 2

MATEMÁTICA 2


Capítulo 1 e 2 - Introdução à Geometria e Ângulos Nível 1 –

01 – (CTU/90) Dois ângulos adjacentes tem os lados não co-muns alinhados. Um deles vale 38º 21’ 13’’. Quanto mede o ou-tro?

02 – Dois ângulos opostos pelo vértice são expressos por 3x + 12º e x + 34º . Então, eles são: a) complementares c) replementares e) retosb) suplementares d) obtusos

03 – O quíntuplo do complemento de um ângulo é igual ao do-bro do suplemento do mesmo ângulo. Determine esse ângulo: a) 15º b) 20º c) 30º d) 40º e) 60º

04 – (ESA/84) Na figura, determinar x sendo r // s:

a) 70ºb) 110ºc) 100ºd) 30º

05 – (Epcar/1999) Na figura seguinte, as retas r e s são parale-las. A medida do ângulo x é igual a:

a) 230o b) 225o c) 220o d) 210o

06 – (CTU./94) Sendo r // s, determine o valor de x na figura abaixo:

07 – (CTU/87) Os ângulos a e b são opostos pelo vértice. O primeiro é expresso em graus por 9x - 2 e o segundo por 4x + 8. Determinar esses ângulos.

09 – (EEAR 1/98-A) Na figura, as retas r e s são paralelas e as retas t e v são perpendiculares. Assinale, então, dentre as afir-mativas abaixo, a única que completa corretamente a sentença: “os ângulos distintos α e β são:

a) suplementares

b) complementares

c) suplementares

d) sempre congruentes

10 – (Epcar/89) Na figura abaixo, tem-se r // s. Assim sendo, determinar o valor de x. a) 15ºb) 16ºc) 15º15’d) 16º15’e) 17º30’

11 – (Espcex/87) O triplo do complemento de um ângulo soma-do a 50º é igual a ao suplemento do ângulo. Calcular, em graus, a medida desse ângulo.

12 – (Epcar/87) Na figura, considere que r // s. Com relação ao número que expressa a medida do ângulo x, pode-se afirmar que é um:

a) número ímpar d) múltiplo comum de 4 e 6.b) divisor de 30 e) número primo maior que 18c) múltiplo de 5

13 – (CESD- 2/99) A medida do ângulo APB da figura é 85º. A letra x representa uma medida em graus. Assim, os ângulos APM e MPB medem, respectivamente:

a) 43º e 42º

b) 53º e 2º

c) 40º e 45º

d) 42º e 45º

14 – (EEAR 2/96-A) O ângulo x e y na figura abaixo são ângulos:

a) complementares

b) suplementares

c) replementares

d) congruentes

15 – (EEAR 1/99-B) Na figura, r e s são paralelas, então a me-dida do ângulo x vale:

a) 50º

b) 60º

c) 65º

d) 70º

GABARITO 01) 141°38’47”

02) A 03) C 04) C 05) C

06) 25° 07) 16° 08) 310° 09) B 10) D11) 70° 12) C 13) A 14) A 15) D

Nível 2 –

01 – (ESA/95) O complemento de 3/4 de 79º 35’ 48’’ mede: a) 7º 48’ 9’’ c) 30º 18’ 9’’ e) 73º 52’ 16’’b) 16º 7’ 44’’ d) 30º 48’ 52’’

02 – O suplemento de um ângulo excede o dobro do seu com-plemento de 30º. A medida desse ângulo é: a) 60º b) 30º c) 50º d) 45º

03 – (EEAR/1997) Dois ângulos são suplementares tais que a

MATEMÁTICA 2


quinta parte da medida do maior ângulo excede a medida do menor de 30º. A medida do menor ângulo, em graus, é: a) 5 b) 15 c) 30 d) 55

04 – (EEAR/1997) Na figura, os ângulos COA e DOB são ângu-los retos e as medidas dos ângulos BOA e DOC são dadas em graus. O valor de x, em graus é: a) 5

b) 10

c) 15

d) 20

05 – (CPCAR/2000) Na figura abaixo, OM é a bissetriz do ângu-lo AOB, ON é a bissetriz do ângulo BOC e OP é a bissetriz do ângulo COD. A soma POD + MON é igual a:

a) 90º

b) 60º

c) 45º

d) 30º

06 – (CFS 2/2000-B) Na figura EF//BA . A medida x é:

a) 105º

b) 106º

c) 107º

d) 108º

07 – (CPCAR/2000) Na figura, as retas m e n são paralelas e CO é a bissetriz do ângulo ACB. Com base nisso, é correto a-firmar que:

a) α = x

b) α = 2x

c) α = 3x

d) α = 2

3x

08 – (EEAR/2000) A razão entre as medidas de dois ângulos é 85 .

Se o menor deles mede 66º 8', o maior mede: a) 105º 48' 48''b) 16º 48'40'c) 15º 48'48''d) 106º 48' 40''

09 – O ângulo de 33,84º equivale a: a) 33º 8’ 4”b) 33º 1’ 24”c) 33º 24’ 1”d) 33º 50’ 24”

10 – Da medida de um ângulo, subtraímos os seus 2/5. Em se-guida subtraindo-se um terço do suplemento da medida do ân-gulo obtêm-se 45º A medida do ângulo é:

a) 112º 15’ b) 112º 30’ c) 112º 40’ d)112º50’

11 – O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 07:20h, mede: a) 60º b) 70º c) 80º d) 90º e) 1000

12 – (EEAR – 2/94) Na figura, tem-se: a//b, t e u transversais. Os ângulos y e z medem, respectivamente:

a) 68º e 70º

b) 0º e 72º

c) 65º e 75º

d) 70º e 82º

13 – Dois ângulos são complementares. O triplo de um deles, aumentado da décima parte do outro e diminuído de 6º vale 90º. Os ângulos são: a) 20º e 70º d) 40º e 50ºb) 15º e 75º e) 25º e 65ºc) 30º e 60º

14 – (C. Militar-JF/94) Sabendo-se que m // n // o, os ângulos x, y e z medem, respectivamente: a) 137º, 29º, 104º

b) 151º, 47º, 72º

c) 119º, 43º, 151º

d) 119º, 43º, 108º

e) 137º, 29º, 166º

15 – (EEAR 1/95) Se x é o suplemento de z e z é o complemen-to de y, a relação entre x e y é: a) x + y = 90º c) x + y = 180ºb) x – y = 90º d) x – y = 180º

GABARITO 01) C 02) B 03) A 04) B 05) A06) B 07) D 08) A 09) D 10) B11) E 12) A 13) C 14) B 15) B

Nível 3 –

01 – (CPCAR/2003) Seja AOB um ângulo e r uma reta de seu plano, que contém O, e situado na região não-convexa. Sejam OX e O Y as bissetrizes dos ângulos agudos que O A e OB forma com r. Se AOB = 150º, XOY mede: a) 145º b) 155º c) 165º d) 175º

02 – Na figura abaixo, onde r e s são retas paralelas e t é uma transversal, ficam determinados os ângulos não nulos, que têm medidas em graus dados pelas expressões 7x, -x2 – 2x,

247 −y e 3z. É correto afirmar que:

a) x + y = z

b) y < z < x

c) y – x = z

d) x < y < z

03 – (Epcar/2004) Quatro semi-retas OA, OB, OC e OD formam os ângulos adjacentes AOB, BOC, COD e DOA, respectiva-

MATEMÁTICA 2


mente proporcionais aos números 1, 2, 4 e 5. As bissetrizes de AOB e COD formam um ângulo convexo de: a) 90° c) 135°b) 120° d) 150°

04 – (Epcar/1999) A semi-reta OY é interna ao ângulo XOZ. O

ângulo XOY é de 60o e YOZ é de 100o. A semi-reta OR é bisse-triz de XOZ, então YOR mede: a) 20o b) 30o c) 40o d) 50o

05 – Determinar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quanto o mesmo assinala 10:24h.

GABARITO 01) C 02) D 03) C 04) A 05) 168°

Capítulo 3 – Polígonos

Nível 1 –

01 – O ângulo interno de um octógono regular mede: a) 120º b) 150º c) 135º d) 144º

02 – Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1620º? a) heptágono c) eneágono e) undecágonob) octógono d) decágono

03 – (EEAR/2002-2) Na figura abaixo, ABCDE é um pentágono regular. As medidas dos ângulos x, y e z, em graus, são, res-pectivamente:

a) 36, 36, 72

b) 72, 36, 72

c) 72, 36, 36

d) 36, 72, 36

04 – Calcule o número de lados de um polígono regular sem do que cada um de seus ângulos internos mede 144º.

05 – (CTU/95) Qual é a soma das medidas dos ângulos inter-nos de um eneágono?

06 – (C. Militar-JF/94) O polígono em que o número de diago-nais é o triplo do número de lados é o: a) decágono c) octógono e) hexágonob) eneágono d) heptágono

07 – (CTU/88) Qual é o polígono que possui 20 diagonais?

08 – (CTU/95) Quantos lados possui um polígono, sabendo-se que o número de lados é igual a 1/6 do número de diagonais?

09 – (EEAR/1998) As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 36º. Este polígo-no é um: a) octógono c) pentadecágonob) decágono d) icoságono

10 – (EEAR/1998) As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 45º. O número de diagonais desse polígono é: a) 8 b) 10 c) 20 d) 35

11 – (Epcar/82) Considere um eneágono regular e responda os itens a seguir:

I – O seu número de diagonais:

a) 5 b) 90 c) 119 d) 27 e) 44

II – A soma de seus ângulos internos: a) 540º b) 630º c) 720º d) 810º e) 1260º

12 – (EEAR/1997) Das afirmações abaixo, a FALSA é: a) O polígono que não tem diagonais é o triângulo.b) Um triângulo tem no mínimo, dois ângulos agudos.c) Os ângulos opostos de um paralelogramo qualquer são su-plementares.d) Num polígono, um ângulo interno e um ângulo externo demesmo vértice são adjacentes suplementares.

13 – (EEAR/90) Os pontos A, B, C, D, E,... são vértices de um dodecágono convexo. Quantas diagonais desse polígono não tem extremidades em B. a) 28 b) 35 c) 45 d) 54

14 – (CTU/96) Determine a medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos lados AB e CD de um polígono regular de 30 lados.

15 – (CTU/98) As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam um ângulo de 18º. Determinar esse polígono.

GABARITO

01) C 02) E 03) B04) n=10

05) 1260°

06) B07) octógono

08) 15 09) B 10) C

11) D; E

12) C 13) 45 14) 156° 15) icoságono

Nível 2 –

01 – Prolongando-se os lados AB e CD de um polígono regular ABCD..., obtém-se um ângulo de 132º. Qual é esse polígono?

02 – (C. Naval/85) Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. O valor da medida do ângulo interno do referido polígono está, em graus, compreendido entre: a) 70º e 80º c) 120º e 130º e) 150º e 160ºb) 100º e 120º d) 140º e 150º

03 – A soma das medidas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo é 3600º. Quantas diagonais possui esse polígono?

04 – (ITA) O número de diagonais de um polígono de 2n lados, que não passam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono, é: a) 2n(n-2) c) 2n(n-3)b) 2n(n-1) d) n(n-5)/2

05 – (EEAR 2/99-B) Dado um polígono regular de 12 lados, se unirmos seu centro a cada um de seus vértices, obtemos 12 tri-ângulos isósceles iguais, cada um dos quais tendo dois ângulos internos iguais a: a) 50º b) 60º c) 75º d) 80º

06 – (UFJF/97) Prolongando-se os lados AB e CD de um polí-gono convexo regular ABCD..., obtém-se um ângulo de 132º conforme ilustra a figura. De acordo com o número de lados, esse polígono é um:

a) octógono

b) decágono

c) undecagono

d) pentadecágono

e) icoságono

MATEMÁTICA 2


07 – (CPCAR/2000) Um polígono regular possui a partir de ca-da um dos seus vértices tantas diagonais quantas são as dia-gonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede, em graus: a) 140 b) 150 c) 155 d) 160

08 – A diferença entre o ângulo interno e o ângulo externo de um polígono regular vale 100º. O número de diagonais que passam pelo centro desse polígono é: a) 0 b) 18 c) 22 d) 23 e) 27

09 – Quanto vale a soma dos ângulos assinalados na figura. a) 360ºb) 540ºc) 720ºd) 840ºe) 900º

10 – Num polígono regular ABCD... as bissetrizes dos ângulos A e C formam um ângulo que é igual a 4/5 do seu ângulo inter-no. Qual é esse polígono?

11 – (C. Naval/87) O total de polígonos cujo o número n de la-dos é expresso por dois algarismos iguais e que seu número d de diagonais é tal que d > 26n, é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

12 – (EEAR 2/96-B) A soma dos ângulos internos de dois polí-gonos A e B é igual a 1080º. Se A tem (n – 2) lados e B, (n + 2) lados, então, o polígono B é um: a) triângulo c) pentágonob) quadrado d) heptágono

13 – Dois polígonos regulares P e P’ tem respectivamente n e n + 1 lados. Sabendo-se que a soma das medidas de um ângulointerno de P com um ângulo externo de P’ vale 162º, determineesses dois polígonos.

14 – (Epcar/89) - Um polígono P tem 5 lados a mais que outro polígono P’. Sabendo-se que P tem 30 diagonais a mais que P’, pode-se afirmar que P a) tem 17 lados e P’ tem 12.b) tem 5 lados e P’ tem 10.c) é um decágono e P’ é um pentágono.d) é um pentágono e P’ é um decágono.e) é um dodecágono e P’ é um heptágono.

15 – Três polígonos tem o número de lados expressos por núme-ros inteiros e consecutivos. Sabendo que a soma das diagonais é 28. Determinar o polígono de maior número de lados.

GABARITO 01) Decágono

02) E 03) 170 04) A 05) C

06) D 07) B 08) A 09) C10) Heptágono

11) A 12) D13) Quadrilátero; Pentágono

14) C15) Heptágono

Nível 3 –

01 – (C. Naval/83) O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. O ângulo interno do polígono que tem maior número de lados é: a) 120º b) 135º c) 140º d) 144º e) 150º

02 – (Col.Militar/97) Quanto vale a média aritmética dos ângu-los internos de um polígono de n lados, cuja soma dos ângulos

internos é expressa por n2+140n+40?

03 – (Col.Militar/98) Num polígono regular ABCD..., traçam-se todas as diagonais possíveis do vértice A. O menor ângulo for-mado por duas diagonais consecutivas é igual a 15º. Qual é es-se polígono?

04 – (EEAR 1/97-B) Os lados de um polígono regular de n la-dos, n > 4, são prolongados para formar uma estrela. O numero de graus em cada vértice da estrela é:

a) n

º360 c) n

)n(º 2180 −

b) 180º -n

º90 d) n

)n(º 4180 −

05 – (EEAR 2/97-B) O numero de lados de um polígono conve-xo P1 é dado por(n – 1) e de outro, polígono convexo P2 é da-do por (n + 1). Sabendo-se que a soma das diagonais de P1 e P2 é 55, então a diferença entre o numero destas diagonais é: a) 5 b) 6 c) 11 d) 15

GABARITO 01) C 02) 162° 03) Dec... 04) D 05) D

Capítulo 4 – Triângulos

Nível 1 –

01 – (ESA/89) Num triângulo um dos ângulos mede 25º e o ou-tro 100º. O valor do terceiro ângulo é: a) 55º b) 65º c) 75º d) 80º e) 125º

02 – (ESA/92) O valor de x no triângulo abaixo é: a) 18ºb) 36ºc) 54ºd) 60ºe) 90º

03 – (CPCAR/2000) Sabendo-se que os ângulos internos de um triangulo ao diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 4; tem-se que suas medidas valem: a) 40º, 60º e 80ºb) 30º, 50º e 100ºc) 20º, 40º e 120ºd) 50º, 60º e 70º

04 – (CTU/88) Um dos ângulos da base de um triângulo isósce-les mede 57º20’. Quanto mede o ângulo do vértice.

05 – (CTU/94) Num triângulo retângulo um dos ângulos internos mede 22º30’50’’. Quanto mede o outro ângulo agudo?

06 – (Epcar/87) Na figura, o segmento AM é congruente ao segmento AB, MAB = 110º e MCD = 25º. Sendo assim, será correto afirmar que o ângulo CDM vale: a) 115º

b) 120º

c) 125º

d) 130º

e) 135º

07 – (Epcar/87) Em um certo triângulo, a bissetriz de um de seus ângulos externos é paralela ao lado oposto a esse ângulo. Sendo 120º a medida desse ângulo, pode-se afirmar que o tri-ângulo em questão é:

MATEMÁTICA 2


a) escaleno c) isósceles e) obtusângulob) eqüilátero d) retângulo

08 – (EEAR/1997) Na figura, BD = AD = DC. Então, a medida do ângulo x vale: a) 30º

b) 20º

c) 15º

d) 10º

09 – Na figura abaixo, o triângulo ABC, é isósceles, de base BC. Sendo BD bissetriz de ABC e CD bissetriz de ACB, calcule o valor de x.

10 – (Col.Militar/97) Na figura, MB = MH e NH=NC. Quanto vale o ângulo α ?

11 – (CFS 2/98-A) É correto afirmar que um triangulo retângulo: a) não pode ser isóscelesb) possui apenas uma alturac) tem ortocentro no vértice do ângulo retod) tem cada ângulo externo maior que o interno adjacente

12 – (EEAR/1997) Na figura, AB = AC e C = β51 . O valor (β - α) é:

a) 150º

b) 120º

c) 100º

d) 50º

13 – (CTU/2000) Sabendo que o triangulo ACD é retângulo e isósceles, determine a medida do ângulo BCD, na figura abai-xo:

14 – (CFS 1/2001-B) Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativas: I - Um triangulo obtusângulo pode ser isósceles II - Um triangulo isósceles pode ser retângulo III - Um triangulo isósceles não pode ser eqüilátero

Assinale a alternativa correta: a) todas são falsasb) todas são verdadeirasc) a 2ª é verdadeira e a 3ª é falsad) a 1ª é falsa e a 3ª é verdadeira

15 – (CFO/98) As medidas dos ângulos internos de um triangulo são proporcionais a 3, 4 e 2, respectivamente. Então, os ângulos internos desse triangulo medem: a) 60º, 80º e40ºb) 100º, 50º e 30ºc) 60º, 70º e 50ºd) 60º, 90º e 30º

GABARITO

01) A 02) A 03) A 04) 65°20’05)67°29’10”

06) B 07) B 08) B 09) 130° 10) 70°11) C 12) B 13) 105° 14) B 15) A

Nível 2 –

01 – (EEAR/2002-2) Coloque V ou F conforme as afirmações sejam verdadeiras ou falsas: ( ) dois ângulos adjacentes são suplementares ( ) dois ângulos que têm o mesmo complemento são congru-entes ( ) dois ângulos suplementares são adjacentes ( ) um triangulo obtusângulo pode ser isósceles ( ) um triangulo retângulo é escaleno

Assinale a seqüência correta a) F-V-F-V-V c) F-V-F-V-Fb) F-V-V-V-F d) F-F-V-V-F

02 – (CFS 2/96-A) Na figura abaixo, =AB ,AC CDCB = e Â = 40º. Os ângulos DCB e ADC, em graus, medem respectivamente: a) 40 e 70

b) 70 e 110

c) 40 e 40

d) 40 e 110

03 – (CFS 1/98-B) Um dos ângulos agudos de um triângulo re-tângulo mede 25º. A altura e a mediana relativas à hipotenusa desse triângulo formam um ângulo cuja medida, em graus, é de: a) 25 b) 40 c) 50 d) 65

04 – (CPCAR/2000) Dado o triangulo ABC, obtusângulo em A conforme a figura abaixo e sabendo que a medida “a” do lado

BC é um número inteiro, então, o conjunto solução dos possí-veis valores de “a” é: a) {8}

b) {5, 6,7}

c) {7}

d) {5, 6, 7, 8}

05 – (CPCAR/2000) Assinale dentre as posições seguintes, a verdadeira: a) em qualquer triangulo, o baricentro pertence ao seu interiorb) em qualquer triangulo, o circuncentro pertence ao seu interiorc) duas semi-retas de mesma origem são colinearesd) num triangulo isósceles, o circuncentro coincide com o bari-centro

06 – (E.E.A.R./91) Um ângulo externo da base de um triângulo isósceles excede de 30º o ângulo externo do vértice. Cada ân-gulo interno da base, em graus, mede: a) 40 b) 50 c) 60 d) 80

MATEMÁTICA 2


07 – (EEAR/1998) Um dos ângulos externos de um triângulo é o triplo do ângulo interno adjacente; a diferença entre as medi-das dos outros dois ângulos internos do triângulo é 35º. A somados dois ângulos menores internos do triângulo, em graus, é:a) 50 b) 85 c) 95 d) 135

08 – Num triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa forma com esta um ângulo de 60º. Calcule o menor ângulo a-gudo desse triângulo.

09 – (Epcar/87) Os ângulos B e C de um triângulo medem, res-pectivamente, 75º e 35º. Qual é a medida do maior ângulo for-mado pelas alturas relativas aos lados BC e AC? a) 95º b) 105º c) 125º d) 145º e) 155º

10 – (Epcar/87) A diferença entre os valores dos ângulos agu-dos de um triângulo retângulo em que o ângulo formado pela mediana e a altura relativa à hipotenusa é de 20º é equivalente a: a) 20º b) 25º c) 27º d) 30º e) 40º

11 – (Epcar/87) Num triângulo isósceles ABC, de base BC, a bissetriz externa CF forma com a bissetriz interna BF um ângu-lo de 10º. A medida do ângulo BAC é: a) 80º b) 60º c) 45º d) 40º e) 20º

12 – (CTU/98) A diferença entre os ângulos que uma diagonal forma com os lados de um retângulo é 52º16’38”. Calcular o ângulo agudo formado pelas diagonais desse retângulo.

13 – (EEAR/1992) Em um triângulo retângulo, a mediana relati-va à hipotenusa forma, com a bissetriz de um dos ângulos agu-dos, um ângulo de 140º. Um dos ângulos desse triângulo mede a) 13º 12' b) 26º 40' c) 34º 40' d)63º 20'

14 – (EEAR/1998) Um dos ângulos externos de um triângulo é o triplo do ângulo interno adjacente; a diferença entre as medi-das dos outros dois ângulos internos do triângulo é 35º. A somados dois ângulos menores internos do triângulo, em graus, é:a) 50 b) 85 c) 95 d) 135

15 – (CFS 2/99-B) Num triângulo ABC, o ângulo CAB supera em 30º o ângulo ABC; D é um ponto sobre o lado BC tal que AC = CD. Então, a medida do ângulo BAD, em graus, é: a) 10 b) 15 c) 20 d) 30

Nível 3 –

01 – (EEAR/1997) O triângulo ABC da figura é retângulo em .A Se AM é mediana, CN é bissetriz e HAM mede 10º, a medida x do ângulo CPH é: a) 55º

b) 60º

c) 65º

d) 70º

02 – (E.E.A.R./91) No triângulo abaixo, sabe-se que AC = AB e AM = AP. Qual é a medida, em graus, do ângulo x em função do ângulo y.

a) y b)2y

c)2

3y d)3

2y

03 – (EEAR/1997) Na figura, ABCD é um retângulo e AME é um triângulo eqüilátero. Os ângulos BAE e MEB medem, respec-tivamente: a) 24º e 48º

b) 24º e 66º

c) 30º e 48º

d) 30º e 66º

04 – Determinar a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC, sabendo que os segmentos BC, BD, DE, EF e FA, são congruentes.

05 – (EEAR/2-92) Na figura abaixo, AE//BC e CD = 2AB. Sendo assim, encontre uma relação entre x e y. a) x = 2y

b) x =2y

c) x = 3y

d) x =3y

06 – (CPCAR/2000) Os lados de um triangulo são: 16 – x; 2x + 2; x + 12. Sejam os conjuntos A = {x ∈ R/10 < x < 15}

B = {x ∈ R/ 0 < x < 15} C = {x ∈ R/ 5 < x < 10}

D = {x ∈ R/21 ≤ x ≤ 13}

Dizemos que x é solução; se para todo x real, o triangulo e-xiste. Com base nisso, pode-se afirmar que : a) não existem soluções em Ab) x é solução somente se x ∈ Bc) o triangulo existe para todo x ∈ Cd) D é o conjunto de todas as soluções do problema

07 – (CPCAR/2002) No triângulo ABC abaixo, a bissetriz do ângulo interno A forma com o lado AB um ângulo de 55º. O ân-gulo β agudo formado pelas retas suporte das alturas relativas aos vértices B e C é:

a) menor que 70ºb) o complemento de 20ºc) igual ao dobro de 25ºd) o suplemento de 120º

GABARITO 01) C 02) B 03) B 04) 20° 05) A06) C 07) B

GABARITO 01) C 02) D 03) B 04) B 05) A06) B 07) C 08) 30° 09) 145° 10) A

11) E12) 37°43’22”

13) D 14) C 15) B

MATEMÁTICA 2


Capítulo 5 – Semelhança Nível 1 –

01 – (CTU/92) Calcule o valor de Y na figura, sabendo-se que: AA’//BB’//CC’ e que AB = 3cm, A’B’=4cm, B’C’ = 6cm, BC = Y.

02 – Sabendo-se que r // s // t, o valor de X na figura abaixo é: a) 12

b) 10

c) 9,6

d) 40/6

e) n.r.a.

03 – Num triângulo ABC, AB = 12, AC = 18, BC = 15. Sendo AD bissetriz de A. temos que o segmento BD mede: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

04 – Na figura abaixo AD é bissetriz externa em A. Sendo AB = 8, AC = 6 e BC = 5, a medida CD vale: a) 10b) 12c) 14d) 15e) 16

05 – Calculando X na figura, obtêm-se: a) 18b) 15c) 12d) 6e) n.r.a.

06 – (CTU/97) Na figura, MN // BC, MN = x, BC = x + 2, NA = 2 e AC = 3. Determine x.

07 – (ESA/93) Dois triângulos são semelhantes. Os lados do primeiro medem 6cm, 8,5cm e 12,5cm e o perímetro do segun-do mede 81cm. O maior lado do segundo mede: a) 15,75cm d) 50cmb) 25cm e) 62,5cmc) 37,5cm

08 – Num pentágono regular um dos lados mede 12dm. Qual, em dm, a medida do lado do outro pentágono regular, maior, sendo a razão de semelhança igual a 3/5? a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

09 – (ESA/94) Calculando x na figura dos quadrados abaixo, encontramos:

a) 2b) 4c) 6d) 3e) 8

10 – valor de X na figura abaixo é: a) 0,25b) 0,5c) 0,75d) 1e) 1,25

11 – Na figura abaixo, o valor do número que expressa a soma X + Y é igual a:

a) 10

b) 11

c) 11,2

d) 11,8

e) 12,2

12 – As bases de um trapézio medem 9cm e 12cm, respecti-vamente, e a altura é igual a 5cm. Ache a altura do triângulo formado pela base menor e os prolongamentos dos lados não paralelos: a) 9cm b) 5cm c) 15cm d) 25cm e) 15,5cm

13 – (CTU/95) Determinar a altura de um edifício que projeta uma sombra de 19,60m, no mesmo instante que um poste de 3,80m projeta uma sombra de 0,95m.

14 – (CTU/97) Calcular os valores de “x” e “y” na figura abaixo:

15 – (CTU/98) Sabendo que DE//BC, calcular o valor de AB + AC, na figura, em centímetros.

GABARITO 01) 4,5 02) C 03) B 04) D 05) D06) 4 07) C 08) D 09) B 10) B

11) B 12) C 13) 78,4 14) 3

32;321 15) 36

Nível 2 –

01 – (C.Tostes/97) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. Quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da

MATEMÁTICA 2


rampa? a) 20,5mb) 20,4mc) 20,3md) 21,0me) 21,5m

02 – (UFJF/2000-2) Dois triângulos ABC e DEF são tais que o ângulo A é igual ao ângulo D e o ângulo B é igual ao ângulo E.

É correto afirmar que os triângulos são: a) semelhantes c) retângulosb) congruentes d) obtusângulos

03 – (CFS 2/1994) Se a // b // c, então, x + y vale: a) 7,5 uc

b) 8,5 uc

c) 9,5 uc

d) 10,5 uc

04 – (ESA/91) Na figura abaixo, CD é bissetriz do ângulo inter-no C e EF // AB. O perímetro do triângulo ABC é: a) 30

b) 28

c) 20

d) 25

e) 32

05 – (ESA/89) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 6m, BC = 4m e AC = 3m, o lado x do losango mede: a) 1mb) 1,5mc) 2md) 2,5me) 3m

06 – (C.Tostes/93) O polígono ABCD é um paralelogramo. Sa-bendo-se que a diagonal BD mede 6cm e que M é ponto médio do lado CD, determinar a medida do segmento DK.

07 – O polígono ABCD abaixo é um retângulo com AB igual a 20cm e BC igual a 12cm. Calcule a medida do segmento EF sabendo-se que ele é paralelo a BC e que M é ponto médio do lado CD.

08 – (C.Tostes/98) Na figura, ANPQ é um retângulo. Calcule o valor de X, em centímetros. sabendo que AB = 12cm e AC = 9cm.

a)3113

b)3611

c)1136

d)3411

e)1533

09 – (EAM/2002) Quatro embarcações partem do ponto A para os pontos B, C, D e E como mostra a figura acima. Calcule a distância BE . Dados:

AB = 6km, AC = 4km e BD = 3km AD ⇒ bissetriz do ângulo BAC AE ⇒ bissetriz do ângulo CAQ

a) 11km b) 12km c) 13km d) 14 km e)15 km

10 – (CFS 1/1997-B) Sendo as dimensões em cm, o valor de x na fi-gura abaixo é: a) 28

b) 30

c) 32

d) 34

11 – (CFS 1/1998-B) No trapézio escaleno abaixo as bases medem 4cm, 6cm e a diagonal BD, 5cm. A medida do segmen-to OD, em cm, é: a) 2b) 3c) 4d) 4,5

12 – (CFO/2000) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos de 6m, 8m e 10m, respectivamente. O mesmo feixe determina sobre outra transversal, três segmen-tos de medidas x, y e z, tais que x + y + z = 96m. O valor de x - y - z é: a) - 58 b) - 48 c) - 12 d) 56

13 – (CFS 1/1997-A) No triângulo ABC, PM // BC e AD é bisse-triz interna do ângulo A. Nestas condições, sendo as medidas expressas em cm, o perímetro do triângulo ABC é: a) 20

b) 24

c) 28

d) 30

14 – (CFS ) Na figura, MN // AB e NP // CQ. O valor de x + y é:

MATEMÁTICA 2


15 – (PISMI / 2006–2008) – Considere a figura e as informa-ções abaixo:

AC = 8 CAB = SRB = α BC = 4 5 AB = 12 RS = 2

Sobre os valores de x e y, podemos afirmar que: a) x e y são números inteiros positivos.b) x + y ≥10.c) x é um número irracional e y > 2 .d) x e y são números irracionais.e) x é um número irracional maior que 3.

GABARITO 01) A 02) A 03) A 04) A 05) B06) 2 07) 4 08) C 09) E 10) B11) B 12) B 13) D 14) 91/6 15) C

Nível 3 –

01 – (EEAR/1992) Na figura abaixo, tem-se: BC = 5cm e DC = 11cm. A medida de AB, em cm, é:

a) 24

b) 33

c) 25

d) 54

e) nra

02 – (EEAR/1999) Se no triângulo eqüilátero ABC de 8 cm de lado, F é o ponto médio de AB e CD = 4 cm, então o compri-mento de AE, em cm, é:

a) 5,0

b) 5,5

c) 6,0

d) 6,5

a) maior que 20 c) um número irracionalb) menor que 18 d) um número decimal periódico

03 – (AFA/1996) Considerando-se a figura abaixo, não pode-se afirmar que:

a) Se o triângulo ABC é isósceles, então os triângulos ABD,ACE e BCD são sempre congruentes.b) Os triângulos ABD e AEC são congruentes, se os lados AB eAC forem congruentes e F, o incentro do triângulo ABC.c) Os triângulos ABD e AEC são congruentes, se os lados AB eBC forem congruentes e F, o ortocentro do triângulo ABC.d) Os triângulos BEF e CDF são congruentes, se os lados AB eBC forem congruentes e F, o baricentro do triângulo ABC.

04 – (C.N./2003) – Num triângulo acutângulo isósceles ABC , o segmento BP , P interno ao segmento AC ,forma com o lado BA um ângulo de 15 ° .Quanto mede o maior ângulo de PBC, sabendo que os triângulos ABP e ABC são semelhantes ? a) 65,5° b) 82,5° c) 97,5° d) 135° e) 150°

GABARITO 01) D 02) C 03) A 04) C



Matemática 3

MATEMÁTICA 3


Capítulo 1 - MDC

Exercícios

01 - Determine o conjunto dos divisores do número 750.

02 - O número 2¥ . 3ò . 5¤ tem 120 divisores. Qual é o valor de a?

03 - Quantos divisores tem o número dado por 2¦ . 3© . 7¤ ? Dei-

xe seus cálculos na folha de resoluções.

04 - Seja a um número natural tal que 100 é divisor de (100+a)¤. Então é necessariamente verdadeiro que 100 é um

divisor de a? Por que?

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO

"Fernando Henrique inaugura mostra da FAAP no Palácio do Itamaraty"

O Presidente Fernando Henrique Cardoso abriu a exposição "Modernistas, Modernismo", na noite de 4 de setembro, no Pa-lácio do Itamaraty, em Brasília. A mostra é composta por 36 quadros do acervo da Fundação Armando Álvares Penteado (FAAP) e ficará no Ministério das Relações Exteriores até o próximo dia 26. Mais de 80

O pessoas foram à solenidade, que inaugurou as comemo-rações oficiais da Semana da Pátria. (...)

Em seu discurso, a presidente do Conselho de Curadores da FAAP, dimensionou o Modernismo num contexto abrangen-te: "Por detrás do encontro com a brasilidade nas telas, nas formas, nas letras, havia um grito dos modernistas, num clamor por um projeto nacional".

Estão expostos quadros de Anita Malfatti, Di Cavalcanti, Tarsila do Amaral e outros artistas, selecionados entre as mais de duas mil obras do Museu de Arte Brasileira (MAB) da FAAP.

("O Estado de São Paulo", 17/9/95)

05 - A organização da mostra fez as seguintes exigências: - A área de cada quadro deve ser, no mínimo, de 3.200cm2 eno máximo de 6.000cm2.- Os quadros precisam ser retangulares e a altura de cada umdeve ter 40cm a mais que a largura.

Dentro dessas condições, o menor e o maior valor possíveis da largura (em cm) são, respectivamente: a) 20 e 40 d) 50 e 70b) 60 e 80 e) 30 e 50c) 40 e 60

06 - Seja n um inteiro positivo tal que 2n é divisor de 150. O número de valores distintos de n é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

07 - Em uma sala retangular de piso plano nas dimensões 8,80m por 7,60m deseja-se colocar ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar nenhuma peça. A medida máxima do lado de cada ladrilho é: a) 10 cm d) 40 cmb) 20 cm e) 50 cmc) 30 cm

08 - Seja a expressão 1200 x onde x é um número natural não nulo. O menor valor de x, de modo que essa expressão seja um cubo perfeito é: a) 45 d) 1440b) 150 e) 4860c) 180

09 - Sendo 14 o MDC entre dois números naturais. x e y, o nú-mero de divisores comuns a (x) e (y) é: a) 1 b) 2 c) 7 d) 6 e) 8

10 - (UNIMEP 95) Sabe-se que n e x são números inteiros e positivos. O menor valor de n que verifica a igualdade x¤=98n é:

a) 14 b) 7 c) 28 d) 196 e) N.D.A.

11 - (FATEC) Um certo planeta possui dois satélites naturais: Lua A e Lua B; o planeta gira em torno do sol e os satélites em torno do planeta, de forma que os alinhamentos: Sol - planeta - Lua A ocorre a cada 18 anos e Sol - planeta - Lua B ocorre a cada 48 anos.

Se hoje ocorrer o alinhamento Sol - planeta - Lua A - Lua B, então o fenômeno se repetirá daqui á: a) 48 anos d) 144 anosb) 66 anos e) 860 anosc) 96 anos

12 - Sabendo-se que 2Ñ . 3£ . 5¤ possui 60 divisores, determinar

x. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 8

13 - (F.G.V.) O número de divisores de 105.000 é: a) 80 b) 64 c) 105 d) 40 e) 210

14 - Os naturais n, n<100, que divididos por 4, 6 e 8 dão sem-pre resto 3, têm soma: a) 177b) 201c) 252d) 276e) 304

15 - Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barban-te dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é: a) 38 b) 41 c) 43 d) 52 e) 55

16 - Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cader-nos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borra-chas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de CADERNOS que cada família ga-nhou foi: a) 4b) 6c) 8d) 9

Capítulo 1 - MMC

Exercícios

01 - Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clien-tes em fila única. Suponha que o atendimento de cada cliente demora exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atende o primei-ro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2 o segundo, o caixa 3 o terceiro e assim sucessivamente. a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente dafila?b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciadoo atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo cliente?

02 - (ESPM) Um colégio de 2°grau tem alunos de 1ª, 2ª e 3ª sé-ries. Na 2ª série, há 200 alunos; na 3ª; 160 alunos e a 1ª tem 40% dos alunos do colégio. Sobre o número de alunos da 1ª série pode-se afirmar que: a) é múltiplo de 15 e de 8.b) é múltiplo de 15 e não de 8.c) não é múltiplo de 15, nem de 8.d) não é múltiplo de 15 mas é múltiplo de 8.e) é múltiplo de 18.

03 - Se o mínimo múltiplo comum entre os números 6 e k é maior do que 31 e menor do que 41, então o número k é:

MATEMÁTICA 3


a) 40. b) 36. c) 34. d) 33. e) 32.

04 - Ônibus da linha 572 passam pelo Largo do Machado de 7 em 7 minutos. Se um ônibus passou às 15h 42min, quem che-gar ao Largo do Machado às 18h 3min esperará quantos minu-tos pelo próximo ônibus? a) 1 c) 4 e) 6b) 2 d) 5

05 - De uma estação rodoviária, partem ônibus para São Paulo a cada 30 minutos, para Araraquara a cada 6 horas e para Ri-beirão Preto a cada 8 horas. No dia 05/12/99, às 7h, partiram ônibus para as três cidades. Essa coincidência deverá ter ocor-rido uma outra vez às a) 19h do dia 05/12/99b) 23h do dia 05/12/99c) 12h do dia 06/12/99d) 15h do dia 06/12/99e) 7h do dia 07/12/99

06 - Para levar os alunos de certa escola a um museu, preten-de-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o nú-mero mínimo de professores necessários para acompanhar to-dos os grupos nessa visita é a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143

07 - Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado ins-tante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segun-dos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. O número mínimo de segundos neces-sários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez é de: a) 150 b) 160 c) 190 d) 200

08 - O número de fitas de vídeo que Marcela possui está com-preendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15 em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita.A soma dos três algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a: a) 3b) 4c) 6d) 8

09 - Considere p, q e IN* tais que p e q são números pares. Se p>q, pode-se afirmar que:a) (pq + 1) é múltiplo de 4;

b) p - q é ímpar;

c) p + q é primo;

d) p£ - q£ é par;

e) p(q + 1) é ímpar.

10 - Se P é o produto de todos os números primos menores que 1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de P é: a) 0b) 1 c) 2 d) 5 e) 9

11 - Considere a função f:N ë N, (onde N representa o con-

junto dos números naturais) dada por f(n)=mdc(2n+4,4n+2). En-tão, o valor mínimo de f é igual a: a) 4 b) 1 c) 6 d) 2 e) 8

Capítulo 2 - Fração

Exercícios

01 - As idades de duas pessoas estão na razão de 7 para 6. Admitindo-se que a diferença das idades seja igual a 8 anos, calcular a idade de cada uma.

02 - Paulo tinha R$ 1520,00. Ele emprestou 2/5 dessa quantia para seu irmão. Quantos reais sobraram para ele?

03 - Sr. Hepaminondas deseja repartir R$ 3330,00 entre seus três sobrinhos em parcelas diretamente proporcionais às suas idades. Sirtônio tem 15 anos, Berfôncio tem 12 anos e Nastélia tem 10 anos. Quantos reais cada um receberá?

04 - Obtenha uma fração equivalente à fração 7/10 que tenha a soma de seus termos igual a 561.

05 - Antônio possui um carro a álcool que consome 1 litro de combustível a cada 8km percorridos, enquanto José possui um carro a gasolina cujo consumo é de 12km por litro. Sabendo-se que o litro de álcool custa R$ 1,14 e o litro de gasolina R$ 1,60, e que José e Antônio dispõem da mesma quantidade de dinhei-ro, quantos quilômetros irá percorrer José, tendo em vista que Antônio percorreu 320km?

06 - Um feirante comprou maçãs por R$ 0,20 a unidade e as revendeu por R$ 0,30 a unidade, ficando com uma sobra de 30 maçãs, que foram descartadas. Indique quantas dezenas de maçãs o feirante comprou, sabendo que seu lucro foi de R$ 30,00.

07 - A concessionária responsável pela manutenção de vias privatizadas, visando a instalar cabines telefônicas em uma ro-dovia, passou a seguinte mensagem aos seus funcionários: "As cabines telefônicas devem ser instaladas a cada 3km, come-çando no início da rodovia". Quantas cabines serão instaladas ao longo da rodovia, se a mesma tem 700 quilômetros de com-primento?

08 - Claudete leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para ela terminar de ler o livro todo. Quantas páginas desse livro ela já leu? Qual é o total de folhas que tem esse livro?

09 - (FUVEST 84) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jo-garmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é: a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g

10 - (FUVEST 84) Em uma prova de 25 questões, cada respos-ta certa vale +0,4 e cada resposta errada vale -0,1. Um aluno resolve todas as questões e teve nota 0,5. Qual a porcentagem de acertos desse aluno? a) 25% b) 24% c) 20% d) 16% e) 5%

11 - (Escola Técnica Federal do Ceará) Um pai tinha 27 anos quando seu filho nasceu. Hoje, a idade do pai é o quádruplo da idade do filho.A atual idade do pai é: a) 40 anos c) 32 anosb) 36 anos d) 44 anos

12 - Para publicar certo livro, há um investimento inicial de R$200.000,00 e depois um gasto de R$5,00 por exemplar. Cal-culando-se o custo por exemplar, numa tiragem de 4000 exem-plares e numa tiragem de 16.000 exemplares, obtém-se respec-tivamente. a) R$ 55,00 e R$ 22,00b) R$ 55,00 e R$ 13,75c) R$ 105,00 e R$ 30,00d) R$ 55,00 e R$ 17,50e) R$ 105,00 e R$ 26,25

13 - Um turista ao viajar comprou US$ 1.000,00 de reserva a uma taxa de 1,80 reais por dólar. Não havendo usado este di-nheiro na viagem, ele o vendeu na sua volta a uma taxa de 1,90 reais por dólar. Então, o turista: a) lucrou R$ 100,00b) lucrou R$ 180,00c) lucrou R$ 190,00.d) perdeu R$ 180,00.e) perdeu R$ 100,00.

14 - Se o numerador de uma fração é acrescido de uma unida-de, o valor da fração resultante é 2/3. Se ambos, numerador e denominador, são acrescidos de 5 unidades, o valor da fração

MATEMÁTICA 3


resultante é 7/10. Indique o produto do numerador pelo deno-minador da fração original. a) 64 b) 65 c) 125 d) 135 e) 145

GABARITO MDC

01) D (750) = {�1, �2, �3, �5, �6, �10, �15, �25, �30, �50,

�75, �125, �150, �250, �375, �750}

02) 5 03) 33604) Se a = 10 então (100 + a)¤ éum múltiplo de 100. Assim, aresposta é não.

05) C 06) D 07) D 08) C 09) E10) E 11) D 12) C 13) A 14) C15) B 16) B

MMC 01) a) Caixa 3 b) 39 minutos02) A 03) B 04) E 05) E 06) E07) D 08) B 09) D 10) A 11) D

Fração

01) 56 e 48 anos 02) R$ 912,0003) R$ 1350; R$1080; R$ 900 reaispara cada um.

04) 231/330 05) 342 Km 06) 39 dezenas demaçã

07) 234 cabines 08) 72 e 120 09) C 10) B

11) B 12) D 13) A 14) D

colÉgio e curso caescursocaes.com.br/pdfs/1585753168.pdfcaderno de exercÍcios capítulo 1 -...

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