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Prof. Kairo O. Silva

contato: professorkairo@hotmail.com

1- Determine a medida de x + y.

X= 1/2 ARCO (CBE)

Y=1/2 ARCO (CDA)

X+Y= ½ ARCO (CBE) + ½ ARCO (CDA)

Temos que x = ½ [arco (CBA) + 70°]

Logo:

X + Y = ½ [arco(CBA) + 70°] + ½ arco(CDA)

= 1/2 arco(CBA) + 35 + ½ arco(CDA)

= ½ [ arco(CBA) + arco(CDA)] + 35°

= ½ . 360° + 35°

= 180° + 35° = 215°

Resolução

2–( Mack-2007) Se = 0, 0 < x < π/2, sec2x vale:

6cosx tgx

sen2x cosx

a) 4

b) 2

c) 1

d) 3

e) 5

Resolução:

6cosx . cosx -(tgx) . (sen2x) = 0

6cos2x - senx/cosx . 2.senx.cosx = 0

6cos2x – 2sen2x = 06cos2x = 2sen2x6/2 = sen2x / cos2x3 = tg2xtgx = +/- √ 3tx = √3temos:sec2x = tg2x + 1

sec2x = 3 + 1

Logo, sec2x = 4

3-(ITA-2008) Considere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos 5% dos homens e 0,25% das mulheres. Identifique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população.

a) 1/21

b) 1/8

c) 3/21

d) 5/21

e) 1/4

Resolução:

Sendo os eventos:D: pessoas daltônicasH : homensM: mulheres

Temos:

P( H ∩ D) = 0,05

P( M ∩ D) = 0,0025

P(M / D) = 0,0025 / 0,05 + 0,0025

P(M / D) = 25/525

P(M / D) = 1/21

4-(ITA-2008) Um diedro mede 120°. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4√3π cm3 que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a :

a) 3√3

b) 3√2

c) 2√3

d) 2√2

e) 2

Resolução:

Ve = 4√3π

4 πr3/3 = 4√3π

r3 = 3√3 r3 = √33

r = √3 cm

sen60°= r / d

√3 / 2 = √3 / d

Logo, d = 2 cm

5–(ITA-2008) Considere o quadrado ABCD com lados 10 m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD, eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado AD e por N uma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no ponto O. Considere os quadrados AMON e OPCQ, onde P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC. Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPCQ e ABCD constituem, nessa ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M é igual, em metros, a.

a) 15 + 5√5

b) 10 + 5√5

c) 10 - √5

d) 15 – 5√5

e) 10 - 3√5

RESOLUÇÃO

A B

CD

M

Ns

r

Q

PO

x

x

10 -x

10 -x

A sequência ( x2 , (10 – x)2, 102) é uma PG

[(10-x)2]2 = x2 . 102

(10 – x)2 = 10x

100 – 20x + x2 – 10 x = 0

X2 – 30x + 100 = 0

X = 15 +/- 5√5

Como 0 < x < 10 , temos

X = (15 - 5√5)m

6 –(ITA -2009) Do triângulo de vértices A,B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = 2 cm, sabe-se que o lado BC mede 2cm e o ângulo interno ABC mede 30°. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a.

a) 2 - √3

b) 1 / 3

c) √2/4

d) 2√3 – 3

e) 1 / 2

RESOLUÇÃO:

AB

C

30°

2 cm 2 cm

L

30°

120°

Pela lei dos senos, temos:BC / senA = 2 R2 / senA = 4

senA = 0,5 → A = 30°Pela lei dos cossenos, temos

L2 = 4 + 4 – 2 . 2 . 2 ( - ½ )L2 = 8 + 4L = 2√3

Seja r o raio da circunferência inscrita no triângulo ABC

S : sua área

S = (2 . 2) / 2 . √3/2S = √3S = p . r

√3 = (2 + √3)r

R = (2√3 – 3)cm

7- (ITA – 2009) Se a = cos (π / 5) e b = sen (π / 5) , então, o número complexoz = (cos π / 5 + i sen π / 5 )54 é igual a.

a) a + bi

b) - a + bi

c) (1 – 2a2b2) + ab(1 + b2)i

d) a – bi

e) 1 – 4a2b2 + 2ab(1 – b2)i

RESOLUÇÃO:

cos(54π / 5 ) + i sen(54π / 5)

cos(10π + 4π/5) + i sen(10π + 4π/5)

cos(4π/5) + i sen(4π/5)

- cos(π/5) + i sen(π/5)

Logo, z = - a + bi

Lembrete:

Zn = |z|n[cos(n.θ) + isen(n.θ)] → Fórmula de De Moivre

4π/5 π/5

x

y

8 – (ITA-2009) Sejam C uma circunferência de raio R > 4 e centro ( 0,0 ) e AB uma corda de C. Sabendo que ( 1 , 3) é o ponto médio de AB, então uma equação da reta que contém AB é.

a) y + 3x – 6 = 0

b) y + x – 4 = 0

c) 3y + x – 10 = 0

d) 2y + 3x – 9 = 0

e) 2y + x – 7 = 0

RESOLUÇÃO:

A

BC(0,0)

d

M(1,3)

Cálculo do coeficiente angular

m1 = 3/1 = 3

Como a reta que contém AB é perpendicular a CM, temos:m1 . m2 = - 1m2 = - 1/3

Usando a equação do feixe de retas y – y0 = m(x – x0) para a reta AB, temos:

y – 3 = -1/3(x – 1)

3y – 9 = - x + 1

x + 3y – 9 – 1 = 0x + 3y – 10 = 0

9–(ITA -2009) Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e o ângulo interno α = CBA, β = ABC e γ = BCA. Sabendo-se que a equação x2 – 2bxcos α + b2 – a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que:

a) α = 90°

b) β = 60°

c) γ = 90°

d) O triângulo é retângulo apenas se α = 45°

e) O triângulo é retângulo apenas se b é hipotenusa

RESOLUÇÃO:

α

β

γA

B

C

Se c é raiz dupla, então pelo produto das raízes temos:

c2 = b2 – a2

c . c = (b2 – a2)/1

b2 = a2 + c2

Então, o triângulo é retângulo e b é hipotenusa

a

b

c

10-(ITA-2008) Sendo [ - π/2 , π/2 ] o contradomínio da função arcoseno e [0,π] o contradomínio da função arcoseno, assinale o valor de cos[ arcsen(3/5) + arccos(4/5) ].

a) 1/√12

b) 7/25

c) 4/15

d) 1/√15

e) 1/(2√5)

RESOLUÇÃO:

α

3

4

5

α = arcsen(3/5) = arccos(4/5)sen α = (3/5)cos α = (4/5)Portanto,

cos[arcsen(3/5) + arccos(4/5) ]cos(α + α) = cos2 α - sen2 α = (4/5)2 – (3/5)2

= 16/25 – 9/25 = 7/25

11-(ITA-2007) Se A,B e C forem conjuntos tais que n(A U B) = 23, n(B – A)= 12, n(C – A)

= 10, n(B ∩ C) = 6 e n(A ∩ B ∩ C) = 4, então n(A), n(A U C), n(A U B U C) nesta ordem. a) Formam uma progressão aritmética de

razão 6.

b) Formam uma progressão aritmética de razão 2.

c) Formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo último termo é 11

d) Formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31.

e) Não formam uma progressão aritmética

Resolução:

n(A U B)= x+y+z+4+10 + 2 = 23x+y+z = 7

n(A) = 11

n(A U C) = 21

n(A U B U C) = 31

Assim: (11 , 21 , 31) é uma PA de razão 10 cujo último termo é 31

12- (ITA-2007) – Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada?

RESOLUÇÃO:

Das C9,5 = 126 comissões possíveis sem nenhuma restrição, só não serve

aquela constituída pelos 5 rapazes.

Logo, tal comissão poderá ser formada de 126 – 1 = 125 formas distintas

13-(ITA-2009) Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8 cm de altura e de 60° de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam 2√3 cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm3, é igual a:

a) 416π/9

b) 480π/9

c) 500π/9

d) 512π/9

e) 542π/9

RESOLUÇÃO:

O R

2R2√3

E

A B

C

M

60°

F

• O triângulo ABC é eqüilátero, pois o ângulo do vértice do cone ABC é igual a 60° e os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência.

A altura do cone é 8 cm, então, AB = 16√3/3 cm

Os triângulos MCB e CEO são semelhantes, logo

(16√3/3)/ 2R = (8 / 2√3)

R = 2 cm

V cone – V esfera

V = π (8√3/3)2 . 8 - 4 π23

(8√3/3)(8√3/3)

3 3

V =( 416 π / 9 ) cm3