codigos qu anticos coloridos em superf^ icies … · a minha m~ae iria mazetto brizola e meu pai...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

(Mestrado)

EVANDRO MAZETTO BRIZOLA

CODIGOS QUANTICOS COLORIDOS EM SUPERFICIES

COMPACTAS COM GENERO g ≥ 2

Maringa-PR

2019

EVANDRO MAZETTO BRIZOLA

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Matematica do Departamento de

Matematica, Centro de Ciencias Exatas da Uni-

versidade Estadual de Maringa, como parte dos

requisitos necessarios para obtencao do tıtulo de

Mestre em Matematica.

Area de concentracao: Matematica Aplicada.

Orientador: Dr. Eduardo Brandani da Silva.

Maringa

2019

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil) Brizola, Evandro Mazetto B862c Códigos quânticos coloridos em superfícies

compactas com gênero g ≥ 2 / Evandro Mazetto Brizola. -- Maringá, 2019.

83 f. : il. color. Orientador: Profº. Drº. Eduardo Brandani da

Silva. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de

Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Matemática Aplicada, 2019.

1. Códigos quânticos corretores de erros. 2.

Códigos coloridos em superfícies compactas. 3. Mecânica quântica. 4. Geometria hiperbólica. I. Silva, Eduardo Brandani da, orient. II. Universidade Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Matemática Aplicada. III. Título.

CDD 22.ed. 003.54

Edilson Damasio CRB9-1.123

Agradecimentos

Primeiramente, agradeco a Deus e a Nossa Senhora da Conceicao Aparecida por todas as

bencaos recebidas e por me darem forcas para realizar com muito empenho e dedicacao mais

essa etapa de meus estudos.

Agradeco a minha famılia por todo o suporte dado nesse perıodo do mestrado, em especial

a minha mae Iria Mazetto Brizola e meu pai Valter Brizola. A minha namorada Patrine

Kieling de Lima por sempre estar ao meu lado me apoiando em todos os momentos.

Aos meus professores da UTFPR-PB por todos os ensinamentos durante a minha gra-

duacao, em especial ao professor Dr. Carlos Alexandre Ribeiro Martins que foi muito im-

portante para que eu escolhesse e ingressasse no PMA da UEM e por ter me apresentado ao

meu orientador.

Aos meus professores do PMA por todos os ensinamentos durante o mestrado.

Ao meu orientador, professor Dr. Eduardo Brandani da Silva, por ter me aceito como

orientando e por todos os ensinamentos compartilhados e ajudas durante esse perıodo. Por

ter me apresentado a essa area de estudo e pela confianca que depositou em mim.

Aos colegas feitos durante o mestrado que de uma maneira ou de outra, contribuıram

para o exito obtido.

A CNPq pelo auxılio financeiro nesses dois anos de mestrado, que foi fundamental para

a conclusao do mesmo.

Resumo

O objetivo principal deste trabalho e apresentar a construcao dos codigos quanticos colori-

dos em superfıcies compactas com genero g maior ou igual a dois. Para isso, apresentamos

alguns elementos da mecanica quantica, essenciais para a compreensao dos mesmos. Abor-

damos varios codigos quanticos corretores de erros, com um maior destaque para os codigos

quanticos topologicos, onde se encontra os codigos quanticos coloridos. Por fim, apresenta-

mos varios elementos da geometria hiperbolica e fazemos detalhadamente a construcao dos

codigos quanticos coloridos em superfıcies compactas com g maior ou igual a dois, apresen-

tando os parametros dos codigos obtidos para g variando de dois a nove, e apresentamos uma

famılia de codigos quanticos que construımos fixando a distancia mınima do codigo.

Palavras-chave: mecanica quantica, geometria hiperbolica, codigos quanticos corretores

de erros, codigos quanticos topologicos, codigos coloridos, codigos coloridos em superfıcies

compactas.

Abstract

The main goal of this work is to present the construction of color quantum codes on compact

surfaces with genus g greater than or equal to two. For this, we present some elements

of quantum mechanics essential for their understanding. We introduced several quantum

error-correction codes, with a greater emphasis on the topological quantum codes, where

the quantum color codes are inserted. Finally, we present several elements of hyperbolic

geometry and we made the construction of color quantum codes on compact surfaces with g

greater than or equal to two, giving the parameters of the codes obtained for 2 ≤ g ≤ 9, and

we present a family of quantum codes that we constructed by fixing the minimum distance

of the code.

Keywords: quantum mechanics, hyperbolic geometry, quantum error-correction codes, to-

pological quantum codes, color codes, color codes on compact surfaces.

Sumario

Introducao 1

1 Preliminares 3

1.1 Notacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Algebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Matrizes de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Os Postulados da Mecanica Quantica e Medicoes . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Codigos Quanticos Corretores de Erros 23

2.1 Codigo Bit Flip de Tres Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Codigo Phase Flip de Tres Qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Codigo de Shor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Codigos CSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 Codigos Estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Codigos Quanticos Topologicos 42

3.1 Homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2 Codigos de Superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.1 Estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2 Tesselacao Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

SUMARIO ix

3.2.3 Operadores Strings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.4 Codigo Torico de Kitaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Codigos Quanticos Coloridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 Construcao dos Codigos Quanticos Coloridos em Superfıcies Compactas

com g ≥ 2 57

4.1 Geometria Hiperbolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.1 Tesselacoes Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.2 Emparelhamento de Lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2 Construcao dos Codigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.1 Determinando os Parametros dos Codigos . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.2 Codigos Gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.3 Uma Famılia Obtida Fixando d Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Consideracoes Finais 80

Referencias 81

Introducao

Da mesma forma que a mecanica classica, a mecanica quantica descreve como os objetos

fısicos se movem em funcao do tempo, porem utilizando estruturas matematicas diferentes

das utilizadas na mecanica classica. No caso da classica, o estado de um sistema em um

dado momento e representado por um ponto em um espaco de fase. Por exemplo, para uma

unica partıcula movendo-se em uma dimensao, o espaco de fase e o plano x, p, consistindo de

pares de numeros (x, p) que representam a posicao e o momento. Ja na mecanica quantica,

o estado dessa partıcula e dado por uma funcao de onda de valor complexo ψ(x), e , todas

as funcoes possıveis estao em um espaco vetorial linear complexo com produto interno, ou

seja, um espaco de Hilbert. Para mais informacoes sobre mecanica quantica, recomendamos

ao leitor [18], [22], [25].

Ja na questao da computacao quantica, um computador baseado nos princıpios da teoria

quantica foi proposto primeiro por Richard Feynman em 1982 [13]. Um grande avanco nessa

area ocorreu com David Deutsch [11], que descreveu uma versao quantica da maquina de

Turing.

Em 1994, Peter Shor [27] mostrou, usando propriedades quanticas, que diferentemente

de um computador convencional, que fatora um numero com n dıgitos em uma quantidade

de passos que cresce de maneira exponencial, um computador quantico faz isso com uma

quantidade de passos que cresce de maneira polinomial.

Existem muitas dificuldades em se realizar computacao quantica e uma das maiores difi-

culdades esta na decoerencia quantica, que e o decaimento de estados em superposicao, como

pode ser visto em [32].

Em 1948, Claude Shannon introduziu os codigos corretores de erros classicos [26], os quais

Introducao 2

serviram de inspiracao para a criacao de codigos quanticos corretores de erros.

Em 1995, Peter Shor [28] exibiu o primeiro codigo quantico corretor de erro, o qual foi

uma mistura de dois codigos de 3 qubits, protegendo o estado contra erros bit flip e phase

flip.

Robert Calderbank, Peter Shor e Andrew Steane desenvolveram em 1996 os codigos

quanticos CSS [8], [30], que geraram uma grande classe de codigos conhecida como codigos

quanticos estabilizadores [16]. Ja em 1997, Alexei Yu Kitaev [21] desenvolveu um novo codigo

conhecido como codigo torico de Kitaev, que agora e visto como um exemplo dos codigos

quanticos topologicos. Os geradores estabilizadores desses codigos sao geometricamente lo-

cais, ou seja, agem em uma quantidade pequena de qubits em sua vizinhanca, fazendo com

que as palavras quanticas se tornem resistentes aos ruıdos locais [5].

Em 2009, Clarice Albuquerque, Reginaldo Pallazo e Eduardo B. Silva [1] desenvolveram

uma extensao dos codigos de Kitaev para superfıcies compactas com genero g ≥ 2, onde se fez

necessario o uso de geometria hiperbolica. Os codigos topologicos obtidos, conhecidos como

codigos de superfıcie, foram os codigos com os melhores parametros ate aquele momento.

Hector Bombın e Miguel A. Martin-Delgado [6] desenvolveram os codigos quanticos colo-

ridos, que sao uma subclasse dos codigos quanticos estabilizadores. Esses codigos codificam

o dobro de qubits em relacao aos codigos de superfıcie, para uma mesma superfıcie.

Inspirados em [1], Waldir Silva Soares e Eduardo B. Silva desenvolveram em 2018, os

codigos quanticos coloridos em superfıcies compactas com genero g ≥ 2 [29], que foi utilizado

como principal referencia para a elaboracao dessa dissertacao.

Este trabalho esta organizado da seguinte maneira: No Capıtulo 1, apresentaremos alguns

elementos da mecanica quantica para a compreensao dos codigos quanticos. Em seguida, no

Capıtulo 2, abordaremos varios codigos quanticos corretores de erros, como por exemplo, os

codigos CSS e os codigos estabilizadores. No Capıtulo 3, falaremos sobre os codigos quanticos

topologicos, onde faremos a construcao dos codigos de superfıcie e dos codigos quanticos

coloridos. Por fim, no Capıtulo 4, introduzimos varios conceitos de geometria hiperbolica,

apresentaremos a construcao dos codigos quanticos coloridos em superfıcies compactas com

genero g ≥ 2 e mostraremos uma famılia de codigos que nos construımos.

Capıtulo 1

Preliminares

Antes de falarmos sobre os codigos quanticos iremos apresentar alguns elementos que sao

indispensaveis para a compreensao desses codigos, desde as notacoes que iremos utilizar

ate elementos basicos da mecanica quantica, como por exemplo, os postulados e algumas

medicoes quanticas.

Este capıtulo esta dividido da seguinte maneira. Na Secao 1.1, apresentaremos algumas

notacoes da mecanica quantica que serao utilizadas em praticamente todo o nosso trabalho.

Em seguida, na Secao 1.2, explicaremos o que e um qubit, fazendo um comparativo com o

conhecido bit classico. Seguiremos o capıtulo na Secao 1.3, onde relembraremos varios concei-

tos de algebra linear, conceitos esses os quais utilizaremos a notacao de Dirac apresentada na

primeira secao. Apos, na Secao 1.4, falaremos das matrizes de Pauli, que sao os operadores

mais importantes que aparecerao no decorrer do trabalho. Na Secao 1.5, abordaremos os

postulados em que a mecanica quantica esta sustentada, juntamente com as medicoes proje-

tivas e medicoes POVM. Por fim, na Secao 1.6, falaremos brevemente sobre o termo “fase”.

Para mais detalhes recomendamos ao leitor [18], [23], [24].

1.1 Notacoes

Na tabela 1.1 apresentamos algumas notacoes de algebra linear na notacao de Dirac que sao

utilizadas na literatura de mecanica quantica e irao aparecer em nosso trabalho.

1.2 Qubit 4

Notacao Descricao

z∗ Complexo conjugado do numero complexo z.

|ψ〉 Vetor. Tambem chamado de ket.

〈ψ| Vetor dual a |ψ〉. Tambem chamado de bra.

〈ϕ|ψ〉 Produto interno entre os vetores |ϕ〉 e |ψ〉.

|ϕ〉 ⊗ |ψ〉 ou |ϕψ〉 ou |ϕ〉|ψ〉 Produto tensorial entre os vetores |ϕ〉 e |ψ〉.

A† Adjunta da matriz A.

〈ϕ|A|ψ〉 Produto interno entre os vetores |ϕ〉 e A|ψ〉

ou entre os vetores A†|ϕ〉 e |ψ〉.

|ϕ〉〈ψ| Operador produto externo ou tambem chamado de “dyad”.

Tabela 1.1: Notacoes utilizadas em mecanica quantica, conhecidas como notacao de Dirac.

1.2 Qubit

Falaremos agora sobre o qubit (ou bit quantico) que e o sistema mecanico quantico funda-

mental, o qual usaremos em todo o nosso trabalho, e e o sistema mecanico quantico mais

simples possıvel.

Do mesmo modo que um bit classico tem um estado (0 ou 1), um qubit tambem tem.

Uma das coisas que distingue bit e qubit e que um qubit pode estar no estado |0〉 ou |1〉,

onde

|0〉 =

1

0

e |1〉 =

0

1

,ou, ainda, podemos ter combinacoes lineares desses estados (chamadas de superposicao) da

seguinte forma:

|ψ〉 = α|0〉+ β|1〉, (1.1)

onde α, β ∈ C. O estado de um qubit nada mais e que um vetor em um espaco vetorial com-

plexo bidimensional C2, que e um espaco de Hilbert. Qualquer combinacao linear∑

i αi|ψi〉

e uma superposicao de estados |ψi〉 com amplitude αi para o estado |ψi〉.

Os estados |0〉 e |1〉 sao conhecidos como estados na base computacional, os quais for-

1.3 Algebra Linear 5

mam uma base ortonormal para o espaco vetorial, tambem chamado de espaco de estados.

Utilizaremos sempre o fato de |ψ〉 ser unitario, ou seja, 〈ψ|ψ〉 = 1, o que e equivalente a

|α|2 + |β|2 = 1. Assim, quando medirmos um qubit a probabilidade de obtermos o resultado

|0〉 sera de |α|2 e a probabilidade de obtermos o resultado |1〉 sera de |β|2.

Por exemplo, considere o qubit |ϕ〉 = 1√2|0〉 + 1√

2|1〉. A probabilidade de obtermos o

resultado |0〉 ao medirmos esse qubit sera de∣∣∣ 1√

2

∣∣∣2 , que e a mesma probabilidade de obtermos

o resultado |1〉. Observe que as probabilidades somam um. De fato,∣∣∣∣ 1√2

∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣ 1√2

∣∣∣∣2 =1

2+

1

2= 1.

No caso dos bits, podemos ter quatro estados formados por dois bits classicos, 00, 01,

10 e 11. Ja para o sistema de dois qubits, temos os estados |00〉, |01〉, |10〉 e |11〉 que sao

chamados de estados na base computacional. Esses estados pertencem ao espaco de Hilbert

C2 ⊗ C2 = C4.

A superposicao desses quatro estados e dado da seguinte forma:

|ψ〉 = α00|00〉+ α01|01〉+ α10|10〉+ α11|11〉. (1.2)

A probabilidade da medicao resultar em, por exemplo, |00〉 sera de |α00|2. Analogamente

para os demais qubits.

A condicao de que as probabilidades somam um devera ser satisfeita, ou seja, dado W =

{00, 01, 10, 11} temos que, ∑x∈W

|αx|2 = 1. (1.3)

Para n qubits, podemos definir uma base {|jn−1jn−2 · · · j0〉}, onde jk = 0, 1 e essa base

contem 2n vetores.

1.3 Algebra Linear

Nesta secao faremos um apanhado de varios conceitos de algebra linear na notacao de Dirac,

os quais iremos utilizar com frequencia em nosso trabalho. Daremos essa atencao especial a

algebra linear, pois ela e a linguagem matematica fundamental da mecanica quantica.


Definicao 1.1. Seja W um espaco vetorial e C o conjunto dos numeros complexos. Uma

funcao (· , · ) : W ×W → C e um produto interno se satisfaz as seguintes condicoes:

(i) (· , · ) satisfaz (|v〉,

∑i

λi|wi〉

)=∑i

λi (|v〉, |wi〉) ;

(ii) (|v〉, |w〉) = (|w〉, |v〉)∗ ;

(iii) (|v〉, |v〉) ≥ 0 valendo a igualdade se, e somente se, |v〉 = 0.

Dizemos que um espaco com produto interno e um espaco vetorial W com um produto interno

definido em W .

Essa notacao (· , · ) que usamos para o produto interno, nao e a notacao de Dirac apresen-

tada na Secao 1.1. Mas sera usada para que possamos introduzir a notacao 〈· , · 〉 sem causar

confusao.

Os estados quanticos que trabalharemos sempre estarao em algum espaco vetorial com-

plexo de dimensao finita, e, em espacos vetoriais dessa forma, um espaco de Hilbert e exa-

tamente a mesma coisa que um espaco com produto interno. Assim, diremos que os estados

quanticos estao em algum espaco de Hilbert, e quando o fizermos, estaremos nos referindo a

algum Cn. Por isso, vamos definir um produto interno em Cn, o qual sempre sera utilizado

quando quisermos calcular o produto interno entre os estados quanticos. Vamos representar

por um momento os vetores coluna em Cn,

|v〉 =

v1

...

vn

,como |v〉 = (v1, . . . , vn). Sejam |v〉 = (v1, . . . , vn) , |w〉 = (w1, . . . , wn) ∈ Cn. O produto

interno entre |v〉 e |w〉 e definido como:

(|v〉, |w〉) = ((v1, . . . , vn) , (w1, . . . , wn)) ≡∑i

vi∗wi =

[v1∗ · · · vn

∗]

w1

...

wn

. (1.4)


Definindo 〈v| ≡ |v〉†, temos que

〈v| = |v〉† =

v1

...

vn

†

=[v1∗ · · · vn

∗].

Logo,

〈v|w〉 =[v1∗ · · · vn

∗]

w1

...

wn

. (1.5)

Note que, como representamos um vetor |v〉 como matriz coluna, o seu dual 〈v| sera uma

matriz linha, onde essa matriz e a transposta conjugada da matriz coluna que representa |v〉.

E como definimos 〈v| ≡ |v〉†, temos que (A|v〉)† = 〈v|A†.

E facil verificar que o produto interno definido acima e realmente um produto interno em

Cn.

Definicao 1.2. Sejam |v〉, |w〉 e |u〉 vetores. Dizemos que os vetores |v〉 e |w〉 sao ortogonais

se o produto interno entre eles for zero. E dizemos que |u〉 e um vetor unitario se a sua

norma for igual a um, onde a norma de um vetor |u〉 e definido por

|||u〉|| ≡√〈u|u〉. (1.6)

Exemplo 1.3. Considere os vetores |0〉 e |1〉. Veja que |0〉 e |1〉 sao ortogonais e ambos sao

unitarios. De fato,

〈0|1〉 =[

1∗ 0∗] 0

1

=[

1 0] 0

1

= 0

e

〈0|0〉 =[

1∗ 0∗] 1

0

=[

1 0] 1

0

= 1,

〈1|1〉 =[

0∗ 1∗] 0

1

=[

0 1] 0

1

= 1.


Definicao 1.4. Um conjunto de vetores |i〉 com i ındice, e um conjunto ortonormal se cada

vetor for um vetor unitario, e vetores distintos no conjunto sao ortogonais, ou seja, 〈i|j〉 =

δij, onde

δij =

1 se i = j

0 se i 6= j

e conhecido como delta de Kronecker.

Como exemplo, basta pegar o conjunto W = {|0〉, |1〉}. Pelas contas feitas no exemplo

1.3 temos que W e um conjunto ortonormal.

Quando aplicarmos algum operador A em um vetor |v〉, ou seja, A|v〉, estaremos conside-

rando uma representacao matricial do operador A em relacao a bases ortonormais de saıda

e entrada desse operador. Caso a entrada e saıda forem as mesmas, consideramos a mesma

base ortonormal para ambas.

Definicao 1.5. Seja |v〉 um vetor em um espaco vetorial com produto interno V e seja |w〉

um vetor em um espaco vetorial com produto interno W . Definimos |w〉〈v| como sendo o

operador linear de V em W cuja acao e definida por

(|w〉〈v|)(|v′〉) ≡ |w〉〈v|v′〉 = 〈v|v′〉|w〉,

onde 〈v|v′〉 e o produto interno de |v〉 por |v′〉 em V , logo 〈v|v′〉|w〉 e um multiplo de |w〉. O

operador linear |w〉〈v| e conhecido como produto externo ou dyad.

Uma aplicacao de produto externo e a seguinte:

Dada uma base ortonormal qualquer |i〉 para o espaco vetorial V e dado um vetor qualquer

|v〉 ∈ V , sabemos que |v〉 pode ser escrito na base |i〉 como

|v〉 =∑i

vi|i〉, (1.7)

para algum conjunto de numeros complexos vi. E facil ver que 〈i|v〉 = vi. Logo(∑i

|i〉〈i|

)|v〉 =

∑i

|i〉〈i|v〉

=∑i

vi|i〉

= |v〉.


Como tomamos um vetor |v〉 ∈ V qualquer, temos que∑i

|i〉〈i| = I. (1.8)

A equacao (1.8) e conhecida como relacao de completude e e extremamente util em varios

calculos.

Definicao 1.6. Sejam V um espaco de Hilbert e A um operador linear em V . Entao o

operador linear A† em V tal que, para todos os vetores |v〉, |w〉 ∈ V temos que

(|v〉, A|w〉) =(A†|v〉, |w〉

), (1.9)

e chamado de operador linear adjunto ou conjugado Hermitiano. Quando A = A† dizemos

que A e um operador Hermitiano ou auto-adjunto.

Observacao: Para nao causar confusao, novamente usamos parenteses para representar o

produto interno entre os vetores |v〉 e A|w〉 e entre os vetores A†|v〉 e |w〉.

Definicao 1.7. Seja W um subespaco vetorial de dimensao d do espaco vetorial V de di-

mensao n. Considere {|1〉, . . . , |n〉} uma base ortonormal para V tal que {|1〉, . . . , |d〉} e uma

base ortonormal para W . O operador

P ≡d∑i=1

|i〉〈i| (1.10)

e chamado de projetor do subespaco W .

Para qualquer projetor P temos que P 2 = P .

De fato, sejam W um subespaco vetorial de algum espaco vetorial, {|1〉, . . . , |d〉} uma base

ortonormal qualquer para W e |v〉 um vetor qualquer do espaco vetorial. Temos que

P ≡d∑i=1

|i〉〈i|


e o projetor do subespaco W . Note que

P 2 (|v〉) = P (P |v〉)

= P (〈1|v〉|1〉+ 〈2|v〉|2〉+ · · ·+ 〈d|v〉|d〉)

= 〈1|v〉P |1〉+ 〈2|v〉P |2〉+ · · ·+ 〈d|v〉P |d〉

= 〈1|v〉d∑i

|i〉〈i| (|1〉) + 〈2|v〉d∑i

|i〉〈i| (|2〉) + · · ·+ 〈d|v〉d∑i

|i〉〈i| (|d〉)

= 〈1|v〉|1〉+ 〈2|v〉|2〉+ · · ·+ 〈d|v〉|d〉

= |1〉〈1| (|v〉) + |2〉〈2| (|v〉) + · · ·+ |d〉〈d| (|v〉)

=d∑i

|i〉〈i| (|v〉)

= P |v〉.

Como tomamos um vetor |v〉 qualquer, temos que P 2 = P .

Definicao 1.8. Dizemos que uma matriz U e unitaria se U †U = I. Do mesmo modo,

dizemos que um operador U e unitario se U †U = I.

Observacao 1.9. Um operador e unitario se, e somente se, cada uma de suas representacoes

matricias sao unitarias. Alem disso, se U e um operador unitario, entao tambem satisfaz

UU † = I.

Definicao 1.10. Seja A um operador linear em um espaco vetorial V . Dizemos que A e um

operador positivo se para todo |v〉 ∈ V , 〈v|A|v〉 for um numero real nao negativo.

Definicao 1.11. Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao m e n, respectivamente. Con-

sidere V e W espacos de Hilbert. Entao V ⊗ W (V tensor W ) e um espaco vetorial de

dimensao m · n. Os elementos de V ⊗W sao combinacoes lineares de produtos tensoriais

|v〉 ⊗ |w〉 de elementos |v〉 ∈ V e |w〉 ∈ W .

Usaremos muitas vezes as notacoes |vw〉 ou |v〉|w〉 para o produto tensorial |v〉 ⊗ |w〉. E

o produto tensorial de |v〉 por ele mesmo k vezes, sera denotado por |v〉⊗k.

Definicao 1.12. Sejam |v〉 ∈ V e |w〉 ∈ W vetores. Considere A e B operadores lineares

em V e W , respectivamente. Definimos o operador linear A⊗B em V ⊗W pela equacao

(A⊗B) (|v〉 ⊗ |w〉) ≡ A|v〉 ⊗B|w〉. (1.11)

1.4 Matrizes de Pauli 11

Uma representacao matricial para o produto tensorial, a qual sera dada agora, e conhecida

como produto de Kronecker. Sejam A uma matriz de ordem m×n e B uma matriz de ordem

p× q. A representacao matricial de A⊗B fica da seguinte forma:

A⊗B =

A11B A12B . . . A1nB

A21B A22B . . . A2nB...

.... . .

...

Am1B Am2B . . . AmnB

mp×nq

. (1.12)

Exemplo 1.13. Considere A =

2 0

0 −1

2×2

e B =[

1 4]

1×2. Assim,

A⊗B =

2B 0B

0B −1B

=

2 · 1 2 · 4 0 · 1 0 · 4

0 · 1 0 · 4 −1 · 1 −1 · 4

=

2 8 0 0

0 0 −1 −4

2×4

.

Definicao 1.14. O comutador entre dois operadores A e B e definido como

[A,B] ≡ AB −BA. (1.13)

Se [A,B] = 0, entao AB = BA e assim, dizemos que A comuta com B.

Definicao 1.15. O anticomutador entre dois operadores A e B e definido como

{A,B} ≡ AB +BA. (1.14)

Se {A,B} = 0, entao AB = −BA e assim, dizemos que A anticomuta com B.

1.4 Matrizes de Pauli

Apresentaremos agora as matrizes de Pauli e algumas de suas propriedades. Muitas vezes

iremos nos referir a elas como operadores, pois representam operadores na base {|0〉, |1〉}.

Esses serao os operadores mais importantes que se farao presentes nos proximos capıtulos

desse trabalho.

As matrizes

I ≡

1 0

0 1

, X ≡ 0 1

1 0

, Y ≡ 0 −i

i 0

e Z ≡

1 0

0 −1

, (1.15)

1.4 Matrizes de Pauli 12

sao chamadas de matrizes de Pauli. Alguns textos chamam apenas as matrizes X, Y e Z

de matrizes de Pauli e acrescentam a matriz I para os calculos. Porem, em nosso trabalho,

quando nos referirmos as matrizes de Pauli estaremos falando das quatro matrizes.

Veja que,

X|0〉 =

0 1

1 0

1

0

=

0

1

= |1〉

e

X|1〉 =

0 1

1 0

0

1

=

1

0

= |0〉.

Por esse motivo a matriz X tambem leva o nome de matriz bit flip.

Veja tambem que,

Z|0〉 =

1 0

0 −1

1

0

=

1

0

= |0〉

e

Z|1〉 =

1 0

0 −1

0

1

= −

0

1

= −|1〉.

onde −1 e conhecido como fator fase. Por esse motivo a matriz Z tambem leva o nome de

matriz phase flip.

Essas quatro matrizes sao Hermitianas e unitarias. De fato,

X† = (X∗)> =

0 1

1 0

∗> =

0 1

1 0

> =

0 1

1 0

= X

e

XX† = XX =

0 1

1 0

0 1

1 0

=

1 0

0 1

= I.

Analogamente mostra-se que I, Y e Z sao Hermitianas e unitarias.

Temos tambem que as matrizes X e Y , X e Z e ainda, Y e Z anticomutam. De fato,

XY =

0 1

1 0

0 −i

i 0

=

i 0

0 −i

= i

1 0

0 −1

= iZ

1.5 Os Postulados da Mecanica Quantica e Medicoes 13

e

Y X =

0 −i

i 0

0 1

1 0

=

−i 0

0 i

= −i

1 0

0 −1

= −iZ.

Do mesmo modo, pode-se mostrar que XZ = −iY e ZX = iY, e tambem que Y Z = iX e

ZY = −iX.

E, e claro, cada uma dessas matrizes comutam consigo mesma e I comuta com X, Y e Z.

Logo, as matrizes de Pauli comutam ou anticomutam. Esse fato e de crucial importancia e

sera utilizado mais adiante.

1.5 Os Postulados da Mecanica Quantica e Medicoes

Nesta secao, falaremos brevemente sobre os postulados da mecanica quantica, os quais foram

obtidos atraves de tentativa e erro. Falaremos tambem sobre medicoes quanticas conhecidas

como medicoes projetivas e medicoes POVM, dando formulas para a probabilidade de um

possıvel resultado ocorrer e como ficara o estado apos ser realizada uma medicao no mesmo.

Postulado 1: Associado a qualquer sistema fısico isolado esta um espaco vetorial com

produto interno, nesse caso um espaco de Hilbert, conhecido como o espaco de estados do

sistema. O sistema e completamente descrito por seu vetor de estado, que e um vetor unitario

no espaco de estados do sistema.

Dado um sistema fısico qualquer, infelizmente, a mecanica quantica nao nos diz qual e

o seu espaco de estado e nao nos diz tambem qual e o seu vetor de estado. Descobrir isso

para um sistema especıfico e um problema difıcil para o qual os fısicos desenvolveram muitas

regras [24].

Fazendo uso de estruturas matematicas, o postulado 2 nos diz como o estado de um

sistema quantico muda com o tempo.

Postulado 2: A evolucao de um sistema quantico fechado e descrita por uma transformacao

unitaria. Isto e, o estado |ψ〉 do sistema no tempo t1 esta relacionado ao estado |ψ′〉 do

sistema no tempo t2 por um operador unitario U que depende apenas dos tempos t1 e t2,

|ψ′〉 = U |ψ〉. (1.16)


A mecanica quantica nos garante que a evolucao ocorre dessa forma, porem nao nos diz

quais operadores unitarios U descrevem a dinamica quantica do mundo real. As matrizes de

Pauli sao exemplos de operadores unitarios agindo em um unico qubit.

Por fechado, o postulado quer dizer que o sistema nao esta interagindo de forma alguma

com outros sistemas. Um fato muito importante e que, ao olharmos para um sistema quantico,

ele nao mais sera fechado, pois estaremos interagindo com ele, logo, possivelmente nao sera

mais descrito por uma evolucao unitaria.

O postulado 3 descreve as estatısticas de medicao e descreve qual sera o estado do sistema

quantico apos realizarmos a medicao.

Postulado 3: As medicoes quanticas sao descritas por uma colecao {Mm} de operadores de

medicao. Esses sao operadores que atuam no espaco de estados do sistema que esta sendo me-

dido. O ındice m refere-se aos resultados de medicao que podem ocorrer no experimento. Se

o estado do sistema quantico for |ψ〉 imediatamente antes da medicao, entao a probabilidade

de que o resultado m ocorra sera

p(m) = 〈ψ|M †mMm|ψ〉, (1.17)

e o estado do sistema apos a medicao sera

Mm|ψ〉√〈ψ|M †

mMm|ψ〉. (1.18)

Os operadores de medicao satisfazem a equacao de completude∑m

Mm†Mm = I. (1.19)

Como as probabilidades devem sempre somar um, exigimos que a relacao de completude

seja satisfeita. Desse modo, as probabilidades irao somar um. De fato,∑m

p(m) =∑m

〈ψ|Mm†Mm|ψ〉

= 〈ψ|∑m

Mm†Mm|ψ〉

= 〈ψ|I|ψ〉

= 〈ψ|ψ〉

= 1.


Exemplo 1.16. Vamos medir o qubit |ψ〉 = a|0〉+ b|1〉, onde os operadores de medicao sao

M0 = |0〉〈0| e M1 = |1〉〈1|. O ındice m = 0 representa o estado |0〉 e o ındice m = 1

representa o estado |1〉. E facil ver que ambos sao Hermitianos e M2i = Mi para i = 0, 1. A

relacao de completude tambem e satisfeita. Com efeito,

1∑m=0

Mm†Mm = M0

†M0 +M1†M1

= M02 +M1

2

= M0 +M1

= |0〉〈0|+ |1〉〈1|

=1∑i=0

|i〉〈i|

= I.

Pelo postulado 3, ao realizarmos a medicao de |ψ〉, a probabilidade de obtermos 0 como

resultado da medicao, ou seja, de |ψ〉 estar no estado |0〉 e

p(0) = 〈ψ|M0†M0|ψ〉

= 〈ψ|M02|ψ〉

= 〈ψ|M0|ψ〉

= 〈ψ|0〉〈0|ψ〉

= (a∗〈0|0〉+ b∗〈1|0〉) (a〈0|0〉+ b〈1|0〉)

= a∗a

= |a|2.

A probabilidade de obtermos 1 como resultado da medicao de |ψ〉, ou seja, de |ψ〉 estar

no estado |1〉 e de p(1) = |b|2. Basta trocar M0 por M1 na conta anterior que sera verificado

esse resultado.

Segundo o postulado 3, o estado apos a medicao sera:

• Se ocorrer o resultado 0 na medicao, teremos

M0|ψ〉√〈ψ|M †

0M0|ψ〉=|0〉〈0| (a|0〉+ b|1〉)√

|a|2=

a

|a||0〉.


• Se ocorrer o resultado 1 na medicao, teremos

M1|ψ〉√〈ψ|M †

1M1|ψ〉=|1〉〈1| (a|0〉+ b|1〉)√

|b|2=

b

|b||1〉.

Como veremos mais adiante, os estados a|a| |0〉 e b

|b| |1〉 sao fisicamente equivalentes aos

estados |0〉 e |1〉, respectivamente. Assim, os fatores a|a| e b

|b| podem ser ignorados. Desse

modo, os estados apos a medicao serao |0〉 e |1〉, respectivamente.

Um caso especial do postulado 3, o qual abordaremos agora, sao as medicoes projetivas.

Quando essas medicoes projetivas realizam transformacoes unitarias como no postulado 2,

elas se tornam equivalentes ao postulado 3.

Medicoes projetivas: Uma medicao projetiva e descrita por um observavel M , onde M

e um operador Hermitiano no espaco de estados do sistema sendo observado. O observavel

tem uma decomposicao espectral,

M =∑m

mPm, (1.20)

onde Pm e o projetor sobre o autoespaco de M com autovalor m. Os resultados possıveis da

medicao correspondem aos autovalores, m, do observavel. Apos a medicao do estado |ψ〉, a

probabilidade de obtermos o resultado m e dado por

p(m) = 〈ψ|Pm|ψ〉. (1.21)

Se o resultado m ocorreu, entao o estado de um sistema quantico imediatamente apos a

medicao seraPm|ψ〉√p(m)

. (1.22)

Se os operadores de medicao Mm do postulado 3 sao projetores ortogonais, ou seja, sao

Hermitianos, e MmMm′ = δmm′Mm, entao o postulado 3 se reduz a uma medicao projetiva.

Exemplo 1.17. Considere a medicao do observavel Z, cujos autovalores sao +1 e −1 com

autovetores |0〉 e |1〉, respectivamente. A decomposicao espectral de Z e dada por

Z = |0〉〈0| − |1〉〈1|,


onde P+1 = |0〉〈0| e P−1 = |1〉〈1|.

Seja |ψ〉 = |0〉+|1〉√2

o estado que desejamos medir. A probabilidade de obtermos o resultado

m = +1 e:

p(+1) = 〈ψ|P+1|ψ〉 = 〈ψ|0〉〈0|ψ〉 =1√2

(〈0|0〉+ 〈1|0〉) 1√2

(〈0|0〉+ 〈0|1〉) =1

2.

Ja a probabilidade de obtermos o resultado m = −1 e:

p(−1) = 〈ψ|P−1|ψ〉 = 〈ψ|1〉〈1|ψ〉 =1√2

(〈0|1〉+ 〈1|1〉) 1√2

(〈1|0〉+ 〈1|1〉) =1

2.

Se o resultado m = +1 ocorrer, o estado |ψ〉 apos a medicao fica da seguinte forma:

P+1|ψ〉√p(+1)

=|0〉〈0|

(|0〉+|1〉√

2

)√

12

=

|0〉〈0|0〉+|0〉〈0|1〉√2

1√2

= |0〉.

Se o resultado m = −1 ocorrer, o estado |ψ〉 apos a medicao fica da seguinte forma:

P−1|ψ〉√p(−1)

=|1〉〈1|

(|0〉+|1〉√

2

)√

12

=

|1〉〈1|0〉+|1〉〈1|1〉√2

1√2

= |1〉.

Agora definiremos o valor medio e o desvio padrao de uma medicao da seguinte forma:

Definicao 1.18. Considere a medicao projetiva descrita pelo observavel M , onde M =∑mmPm e a sua decomposicao espectral. O valor medio dessa medicao e definido como

E (M) =∑m

mp(m)

=∑m

m〈ψ|Pm|ψ〉

= 〈ψ|

(∑m

mPm

)|ψ〉

= 〈ψ|M |ψ〉.

Normalmente o valor medio de M e denotado por:

〈M〉 ≡ 〈ψ|M |ψ〉. (1.23)


Definicao 1.19. Considere a medicao projetiva descrita pelo observavel M , onde M =∑mmPm e a sua decomposicao espectral. O desvio padrao associado a medicao de M e

definido como

[∆ (M)]2 = 〈(M − 〈M〉I)2〉

= 〈M2 − 2M〈M〉+ 〈M〉2I〉

= 〈M2〉 − 2〈M〉2 + 〈M〉2

= 〈M2〉 − 〈M〉2.

Logo,

∆ (M) =

√〈M2〉 − 〈M〉2. (1.24)

Exemplo 1.20. Considere o qubit no estado |0〉, o qual medimos com o observavel X. Assim,

o valor medio de X e:

〈X〉 = 〈0|X|0〉 = 〈0|1〉 = 0.

Como

〈X2〉 = 〈0|X2|0〉 = 〈0|I|0〉 = 〈0|0〉 = 1,

temos que, o desvio padrao de X e:

∆ (X) =

√〈X2〉 − 〈X〉2 =

√1− 0 = 1.

Como vimos, o postulado 3 descreve a probabilidade dos diferentes resultados de medicoes

e descreve o estado apos a medicao do sistema. Porem, quando medimos o sistema uma unica

vez, o estado apos a medicao nao e de grande interesse. Desse modo, apenas a probabilidade

nos interessa. Quando isso acontece e utilizado o formalismo POVM (Positive Operator-

Valued Measure) que e uma consequencia do postulado 3.

Sejam |ψ〉 um estado qualquer e Mm operadores de medicao. Pelo postulado 3, a proba-

bilidade de ocorrer o resultado m sera p(m) = 〈ψ|Mm†Mm|ψ〉.

Definindo Em ≡ Mm†Mm, temos que p(m) = 〈ψ|Em|ψ〉 e Em e um operador positivo,

pois

〈ψ|Em|ψ〉 = 〈ψ|Mm†Mm|ψ〉 = p(m) ≥ 0.


Pela relacao de completude do postulado 3, teremos que∑

mEm =∑

mMm†Mm = I. Note

que, a probabilidade do resultado m ocorrer depende apenas de Em.

Definicao 1.21. Os operadores Em ≡ Mm†Mm, onde Mm sao os operadores de medicao,

sao chamados de elementos do POVM associados com a medicao. O conjunto de todos os

operadores Em, denotado por {Em} e chamado um POVM.

Na sequencia daremos uma definicao melhor de um POVM. Mas para isso precisaremos

do seguinte resultado.

Seja {Em} um conjunto qualquer de operadores positivos tais que∑

mEm = I. Entao,

existe um conjunto de operadores de medicao Mm, de modo que, esses operadores definem

uma medicao descrita pelo POVM {Em}.

De fato, defina Mm ≡√Em e note que,∑

m

Mm†Mm =

∑m

√Em†√

Em

=∑m

√Em√Em

=∑m

√Em

2

=∑m

Em

= I.

Pelo postulado 3, o conjunto {Mm} descreve uma medicao, e, alem disso, essa medicao tem

como POVM {Em}.

Definicao 1.22. Um POVM e um conjunto qualquer de operadores {Em} tais que:

(i) Cada operador Em e positivo;

(ii) Os operadores Em satisfazem a relacao de completude, ou seja,∑

mEm = I. Desse

modo, as probabilidades somam um.

Por fim, temos o postulado 4, o qual, como veremos, nos garante que com os espacos

de estados dos sistemas componentes podemos construir o espaco de estados de um sistema

composto.

1.6 Fase 20

Postulado 4: O espaco de estados de um sistema fısico composto e o produto tensorial

dos espacos de estados dos sistemas fısicos componentes. Mais ainda, se tivermos sistemas

enumerados de 1 a n, e o sistema de numero i esta preparado no estado |ψi〉, entao o estado

conjunto do sistema total e |ψ1〉 ⊗ |ψ2〉 ⊗ · · · ⊗ |ψn〉.

Uma notacao que usaremos e, por exemplo, dado um sistema de tres qubits, X2 e o

operador de Pauli X agindo no segundo qubit. Iremos escrever apenas X2 ao inves de

I ⊗X ⊗ I.

O postulado 4 nos permite definir o que e um estado emaranhado.

Definicao 1.23. Um estado de um sistema composto que nao pode ser escrito como um

produto de estados de seus sistemas componentes e chamado de estado emaranhado.

Exemplo 1.24. Considere o estado de dois qubits

|ψ〉 =|00〉+ |11〉√

2.

Afirmamos que |ψ〉 e um estado emaranhado, isto e, nao existe estados de um unico qubit

|a〉 e |b〉 tais que |ψ〉 = |a〉|b〉.

De fato, suponha que existam estados de um unico qubit |a〉 e |b〉 tais que |ψ〉 = |a〉|b〉,

onde |a〉 = α|0〉+ β|1〉 e |b〉 = γ|0〉+ λ|1〉, com α, β, γ, λ ∈ C. Dessa forma,

|a〉|b〉 = (α|0〉+ β|1〉) (γ|0〉+ λ|1〉)

= αγ|00〉+ αλ|01〉+ βγ|10〉+ βλ|11〉.

Assim,

|ψ〉 =|00〉+ |11〉√

2= αγ|00〉+ αλ|01〉+ βγ|10〉+ βλ|11〉.

Logo,

αλ = 0, implicando que α = 0 ou λ = 0, o que e um absurdo, pois αγ = 1√2

= βλ.

Assim, αλ 6= 0 e βγ 6= 0. Portanto, |ψ〉 e emaranhado.

1.6 Fase

Esta ultima secao ira abordar o termo “fase”e ira explicar o porque dos estados a|a| |0〉 e b

|b| |1〉

serem fisicamente equivalentes aos estados |0〉 e |1〉, respectivamente.

1.6 Fase 21

Na mecanica quantica o termo “fase”possui significados distintos que dependem do nosso

contexto. Por exemplo, dado os estados eiθ|ψ〉 e |ψ〉, onde θ e um numero real. Dizemos que

eiθ|ψ〉 e igual a |ψ〉, a menos de um fator de fase global eiθ.

Note que, as probabilidades de ambos os estados e a mesma. Com efeito, seja Mm um

operador de medicao. Sabemos pelo postulado 3 que, para |ψ〉,

p(m) = 〈ψ|Mm†Mm|ψ〉

e para eiθ|ψ〉,

p(m) = 〈ψ|e−iθMm†Mme

iθ|ψ〉

= 〈ψ|e−iθeiθMm†Mm|ψ〉

= 〈ψ|Mm†Mm|ψ〉.

Foi isso que ocorreu em a|a| |0〉 e b

|b| |1〉, pois ambos, a|a| e b

|b| , sao numeros complexos de

modulo unitario, logo, existem θ e ϕ tais que a|a| = eiθ e b

|b| = eiϕ, assim, a|a| |0〉 = eiθ|0〉 e

b|b| |1〉 = eiϕ|1〉. Desse modo, o estado eiθ|0〉 e igual ao estado |0〉 e o estado eiϕ|1〉 e igual ao

estado |1〉, a menos de um fator de fase global.

Outro exemplo onde o termo “fase”e usado, e como fase relativa, que e definido da seguinte

forma:

Definicao 1.25. Dado duas amplitudes, a e b, se existe um numero real θ tal que a = eiθb,

entao dizemos que a e b diferem por um fator de fase relativa eiθ. Mais ainda, dados dois

estados em uma mesma base, se cada uma das amplitudes nessa base diferem por uma fase

relativa, entao dizemos que os estados diferem por uma fase relativa nessa base.

Exemplo 1.26. Sejam |+〉 = |0〉+|1〉√2

e |−〉 = |0〉−|1〉√2

estados quanticos. Veja que a amplitude

de |1〉 em |+〉 e 1√2

e em |−〉 e − 1√2, onde a magnitude e a mesma, mas o sinal e diferente.

Para |0〉, ambos possuem a mesma magnitude e o mesmo sinal. Logo, como os estados |+〉 e

|−〉 estao na mesma base, e para |0〉 as amplitudes sao identicas, onde o fator de fase relativa

e 1 e para |1〉 as amplitudes diferem por um fator de fase relativa de −1, entao |+〉 e |−〉

diferem por uma fase relativa na base {|0〉, |1〉}.

1.6 Fase 22

A diferenca entre os dois fatores de fase e que o fator de fase relativa depende da base,

ja que os fatores nao sao necessariamente os mesmos em cada amplitude. Por outro lado, o

fator de fase global nao depende da base.

Os estados que diferem por um fator de fase relativa nao sao considerados fisicamente

os mesmos, pois as probabilidades de medicao nao sao necessariamente as mesmas, diferente

dos estados que diferem por um fator de fase global.

Capıtulo 2

Codigos Quanticos Corretores de

Erros

Neste capıtulo discutiremos alguns codigos quanticos corretores de erros (QECC), os quais

codificam os estados quanticos a fim de torna-los resistentes a acao do ruıdo e decodificam os

estados quando se deseja recupera-los. Em sua essencia, os QECC sao construıdos seguindo

ideias semelhantes aos codigos classicos corretores de erros. No entanto, existem algumas

diferencas relevantes entre a informacao quantica e a informacao classica que deverao ser

contornadas.

Destacamos agora algumas dessas diferencas.

• Nao-clonagem: Nao podemos copiar o estado quantico como fazemos no caso classico,

pois isso e proibido pelo Teorema da Nao-Clonagem [15], [24], [33], o qual afirma ser

impossıvel fazer uma copia de um estado quantico arbitrario desconhecido.

• Os erros sao contınuos: Determinar um erro em um qubit e corrigi-lo nao e uma

tarefa facil. Para uma sequencia de erros distintos em um mesmo qubit isso se tornaria

ainda mais difıcil e necessitarıamos de recursos infinitos para obter essa precisao infinita.

Por exemplo, um erro no estado |ψ〉 = a|0〉+b|1〉 pode alterar a e b por uma quantidade

ξ, onde esses pequenos erros podem ir se acumulando ao longo do tempo [24],[32].

• A medida destroi a informacao quantica: O ato de medir destroi o estado quantico

como vimos no Postulado 3, tornando a recuperacao impossıvel. Na correcao de erros

classica nao temos esse problema.

Felizmente, como veremos, nenhum desses problemas sao fatais.

2.1 Codigo Bit Flip de Tres Qubits 24

Este capıtulo esta dividido da seguinte maneira. Na Secao 2.1, apresentaremos o codigo

bit flip de tres qubits que e o codigo quantico mais simples que veremos. Ja na Secao 2.2,

abordaremos o codigo phase flip de tres qubits. Em seguida, na Secao 2.3, iremos apresentar

o codigo de Shor, que e uma juncao dos codigos phase flip e bit flip de tres qubits. Apos

isso, na Secao 2.4, introduziremos os codigos CSS e, por fim, na Secao 2.5, finalizaremos este

capıtulo definindo os codigos estabilizadores.

2.1 Codigo Bit Flip de Tres Qubits

O primeiro codigo quantico que iremos apresentar e o codigo bit flip de tres qubits, o qual foi

baseado no codigo classico conhecido como codigo de repeticao.

O exemplo a seguir e um exemplo do codigo de repeticao.

Exemplo 2.1. Considere o canal binario simetrico que tem probabilidade p > 0 de inverter o

bit que estamos transmitindo e tem probabilidade 1− p de transmitir o bit sem erros. Vamos

enviar um bit de um local para o outro atraves desse canal. Porem, ao inves de enviarmos

apenas um bit, iremos adicionar redundancia fazendo tres copias do bit que desejamos enviar,

ou seja,

0→ 000

1→ 111.

Apos enviarmos os tres bits atraves do canal, o receptor recebe tres bits e deve decidir

qual o valor do bit original que foi enviado. Suponha que o receptor tenha recebido 101 e

a probabilidade de ocorrer uma inversao de bit seja menor do que a probabilidade de nao

ocorrer. Entao, a probabilidade de ter ocorrido uma inversao no segundo bit e maior do que

ter ocorrido nos outros bits. Portanto, e provavel que o bit 1 tenha sido enviado.

Esse tipo de codificacao falhara caso mais que um bit dos tres enviados seja invertido.

A probabilidade disso acontecer e de 3p2 − 2p3. A probabilidade de erro sem adicionarmos

redundancia era p, logo, o codigo faz com que a transmissao seja mais confiavel caso p < 12.

De maneira praticamente analoga ao exemplo 2.1, vamos enviar o qubit |ψ〉 = a|0〉+ b|1〉

atraves do canal bit flip, onde esse canal tem uma probabilidade 1− p de transmitir o qubit


sem erros e uma probabilidade p de inverter o qubit, ou seja, do operador X agir sobre o

qubit |ψ〉, transmitindo X|ψ〉 = b|0〉+ a|1〉.

Descreveremos agora o processo realizado pelo codigo bit flip para protecao, identificacao

e correcao dos erros do canal bit flip.

A maneira de protegermos o qubit |ψ〉 = a|0〉 + b|1〉 e codificando em tres qubits como

a|000〉+ b|111〉, ou seja,

|0〉 → |0L〉 ≡ |000〉

|1〉 → |1L〉 ≡ |111〉,

onde os estados |0L〉 e |1L〉 sao chamados de estados logicos.

Note que a superposicao de estados base esta sendo levada a uma superposicao corres-

pondente de estados codificados.

Ao codificarmos |ψ〉 para a|000〉+b|111〉, cada qubit e codificado de maneira independente,

ou seja, se ocorrer erro em um deles durante a codificacao, isso nao influenciara a codificacao

dos demais.

Da mesma forma que no caso classico, conseguimos identificar e corrigir erros, caso tenham

ocorridos em no maximo um qubit. Desse modo, suponha que tenha ocorrido um bit flip em

no maximo um qubit.

Primeiramente, queremos detectar se ocorreu erro em algum qubit do nosso estado quantico.

Para isso, devemos realizar uma medicao, a qual ira nos dizer se houve algum erro e onde foi

que ocorreu o erro. O resultado obtido pela medicao e chamado de sındrome do erro.

Considere os operadores de projecao

P0 = |000〉〈000|+ |111〉〈111|, (2.1)

P1 = |100〉〈100|+ |011〉〈011|, (2.2)

P2 = |010〉〈010|+ |101〉〈101|, (2.3)

P3 = |001〉〈001|+ |110〉〈110|. (2.4)

Esses quatro operadores correspondem a quatro sındromes de erro. O operador P0 cor-

responde a erro em nenhum qubit; O operador P1 corresponde a erro no primeiro qubit;


O operador P2 corresponde a erro no segundo qubit; O operador P3 corresponde a erro no

terceiro qubit.

Ao realizarmos uma medicao, os resultados possıveis sao 0 ou 1. Se o resultado for 0,

entao podemos afirmar que o erro apontado pelo operador nao ocorreu naquele qubit. Ja se

o resultado for 1, entao ocorreu o erro apontado pelo operador.

Exemplo 2.2. Suponha que ocorreu um bit flip no terceiro qubit, logo, o estado ficou da

seguinte forma:

|ϕ〉 = a|001〉+ b|110〉.

Fazendo as contas, obtemos que 〈ϕ|P0|ϕ〉 = 〈ϕ|P1|ϕ〉 = 〈ϕ|P2|ϕ〉 = 0. Logo, podemos afirmar

que ocorreu um bit flip e nao foi no primeiro e nem no segundo qubit, pois o resultado da

sındrome de erro deu 0 para esses operadores. Veja que 〈ϕ|P3|ϕ〉 = 1, ou seja, o resultado

da sındrome deu 1, assim, afirmamos que ocorreu um bit flip no terceiro qubit.

Observe que a medicao da sındrome nao ira destruir o estado, pois ele permanecera o

mesmo. Para ver isso, basta lembrar que o estado apos a medicao e

Pm|ψ〉√〈ψ|Pm|ψ〉

,

dado que o resultado m ocorreu. Como no exemplo 2.2, m = 3 ocorreu, o estado apos a

medicao sera:

P3|ϕ〉√〈ϕ|P3|ϕ〉

=P3 (a|001〉+ b|110〉)√

1

= a|001〉+ b|110〉

= |ϕ〉.

A sındrome de erro serve apenas para nos dizer se ocorreu erro e caso ocorreu, onde ele

ocorreu. Nao nos diz nada sobre o estado quantico, ou seja, sobre os valores de a e b.

Apos detectar se ocorreu erro em algum qubit, a recuperacao e feita de maneira muito

simples. Basta inverter o qubit que a sındrome apontou ter sido alterado. No exemplo 2.2, a

sındrome de erro deu 1 para o operador P3, indicando um bit flip no terceiro qubit. Assim,

para corrigir o erro basta inverter o terceiro qubit aplicando o operador X3 e, desse modo,

recuperamos o estado |ψ〉 = a|000〉+ b|111〉 com precisao perfeita.

2.2 Codigo Phase Flip de Tres Qubits 27

De forma analoga farıamos o mesmo caso tivesse sido invertido outro qubit no lugar do

terceiro, mas e claro, invertendo o qubit apontado pelo operador projecao. E nao farıamos

nada, caso tivesse ocorrido m = 0, pois P0 indica que nao houve erro.

Caso ocorra mais que um erro, esse processo que descrevemos nao conseguira corrigi-los.

A probabilidade de permanecer o erro e, portanto, 3p2 − 2p3. Se p < 12

o codigo bit flip sera

mais confiavel do que enviarmos um unico qubit.

O processo utilizando os operadores P0, P1, P2 e P3 e eficiente na correcao de erros bit

flip em no maximo um qubit, porem existe uma forma mais rapida onde fazemos apenas

duas medicoes utilizando os observaveis Z1Z2 e Z2Z3. Esses observaveis tem o papel de

comparacao, onde Z1Z2 compara os dois primeiros qubits e Z2Z3 compara o segundo e o

terceiro qubit.

Os autovalores de cada um desses observaveis sao ±1, fornecendo um bit de informacao

para um total de dois bits de informacao.

Ao realizarmos a medicao utilizando Z1Z2, caso Z1Z2|ψ〉 = |ψ〉, entao afirmamos que

os dois primeiros qubits sao iguais, e caso Z1Z2|ψ〉 = −|ψ〉, entao afirmamos que os dois

primeiros qubits sao diferentes. Analogamente comparamos o segundo e o terceiro qubit.

Combinando os dois resultados saberemos se ocorreu erro e caso ocorreu, onde ocorreu.

Se Z1Z2|ψ〉 = +|ψ〉 e Z2Z3|ψ〉 = +|ψ〉, entao afirmamos que ocorreu nenhum erro;

Se Z1Z2|ψ〉 = +|ψ〉 e Z2Z3|ψ〉 = −|ψ〉, entao ocorreu um bit flip no terceiro qubit;

Se Z1Z2|ψ〉 = −|ψ〉 e Z2Z3|ψ〉 = +|ψ〉, entao ocorreu um bit flip no primeiro qubit;

Se Z1Z2|ψ〉 = −|ψ〉 e Z2Z3|ψ〉 = −|ψ〉, entao ocorreu um bit flip no segundo qubit.

A correcao e feita do mesmo modo que no caso dos projetores Pj, com j = 0, 1, 2, 3.

Esse metodo de comparacao sera usado em outros codigos que apresentaremos a seguir.

2.2 Codigo Phase Flip de Tres Qubits

Nesta secao apresentaremos mais um codigo quantico envolvendo tres qubits. Esse codigo,

chamado de codigo phase flip, nao tem nenhum equivalente nos codigos classicos como tem

2.2 Codigo Phase Flip de Tres Qubits 28

o codigo bit flip.

Da mesma forma que para o codigo bit flip, queremos enviar o qubit |ψ〉 = a|0〉 + b|1〉

atraves do canal phase flip. Este canal tambem tem probabilidade 1−p de transmitir o qubit

sem erros e probabilidade p de ocorrer um erro phase flip, ou seja, do operador Z ser aplicado

ao qubit |ψ〉 = a|0〉+ b|1〉, levando-o ao estado a|0〉 − b|1〉.

Descreveremos agora o processo realizado pelo codigo phase flip para protecao, identi-

ficacao e correcao dos erros do canal phase flip.

O operador Z age na base {|+〉, |−〉}, onde

|+〉 =|0〉+ |1〉√

2e |−〉 =

|0〉 − |1〉√2

, (2.5)

como um operador bit flip, pois Z|+〉 = |−〉 e Z|−〉 = |+〉. Como ja sabemos proceder

com erros bit flip, entao passaremos o qubit |ψ〉 para a base {|+〉, |−〉}, passando os estados

logicos para |0L〉 ≡ | + ++〉 e |1L〉 ≡ | − −−〉. Desse modo, transformaremos o canal phase

flip em um canal bit flip.

Considere a matriz

H =1√2

1 1

1 −1

, (2.6)

chamada de porta de Hadamard. E facil verificar que H e Hermitiana e unitaria, e tambem

que H|0〉 = |+〉, H|1〉 = |−〉, H|+〉 = |0〉 e H|−〉 = |1〉, ou seja, ela realiza a mudanca

de base entre as bases {|0〉, |1〉} e {|+〉, |−〉}. Por isso, devemos utiliza-la para fazermos a

mudanca entre os canais.

Mas antes disso, codificamos |ψ〉 utilizando o codigo bit flip o transformando em a|000〉+

b|111〉. Em seguida, utilizamos a porta de Hadamard em cada um dos tres qubits, H⊗3,

transformando a|000〉+ b|111〉 em a|+ ++〉+ b| − −−〉.

A identificacao e correcao de erros se dara de maneira analoga ao canal bit flip. Porem,

tambem devemos mudar a base dos operadores projecao P0, P1, P2 e P3, e fazemos isso

levando Pj → Pj′ = H⊗3PjH

⊗3. Ou ainda, se quisermos utilizar os observaveis para realizar

a medicao usaremos H⊗3Z1Z2H⊗3 = X1X2 e H⊗3Z2Z3H

⊗3 = X2X3.

2.3 Codigo de Shor 29

2.3 Codigo de Shor

Nesta secao apresentaremos o codigo de Shor, criado por Peter Shor em 1995 [28]. Esse

codigo e um codigo de nove qubits que protege contra os erros bit flip e phase flip em um

unico qubit. Ele foi obtido da combinacao dos codigos de 3 qubits, phase flip e bit flip.

Comecamos codificando |ψ〉 = a|0〉+ b|1〉 utilizando o codigo phase flip, que como vimos,

codifica |0〉 → | + ++〉 e |1〉 → | − −−〉. Em seguida, codificamos cada um dos qubits

utilizando o codigo bit flip, levando

|+〉 → |000〉+ |111〉√2

e |−〉 → |000〉 − |111〉√2

.

Desse modo, obtemos um codigo de nove qubits, onde os estados logicos sao:

|0〉 → |0L〉 ≡ 12√

2[(|000〉+ |111〉)(|000〉+ |111〉)(|000〉+ |111〉)]

|1〉 → |1L〉 ≡ 12√

2[(|000〉 − |111〉)(|000〉 − |111〉)(|000〉 − |111〉)].

Esse codigo protege contra um unico erro bit flip, um unico erro phase flip ou um unico

erro de cada, podendo ser os dois erros no mesmo qubit ou em qubits distintos.

Para verificar se ocorreu um erro de bit flip em algum qubit, iremos aplicar os observaveis

Z1Z2, Z2Z3, Z4Z5, Z5Z6, Z7Z8 e Z8Z9 fazendo a comparacao entre os qubits como fizemos no

codigo bit flip, porem agora fazemos a comparacao pelos blocos de tres qubits. Caso ocorreu

um bit flip, recuperamos o estado invertendo o qubit que sofreu o erro.

Para verificar se ocorreu um erro de phase flip em algum qubit, iremos aplicar os ob-

servaveis X1X2X3X4X5X6 e X4X5X6X7X8X9 para comparar o sinal dos blocos, pois o qubit

que sofreu o phase flip fara com que o bloco ao qual ele pertenca tenha o sinal alterado. Por

exemplo, se ocorrer um unico phase flip em qualquer um dos tres primeiros qubits, o primeiro

bloco mudara o sinal fazendo com que o primeiro e o segundo bloco tenham sinais diferentes,

e o segundo e terceiro, sinais iguais. Se ocorrer um phase flip em um dos qubits do segundo

bloco, esse bloco mudara de sinal, fazendo com que o primeiro e o segundo bloco tenham

sinais diferentes, e o segundo e terceiro tambem tenham sinais diferentes. Se ocorrer um

phase flip em um dos qubits do terceiro bloco, esse bloco mudara de sinal, fazendo com que

o primeiro e o segundo bloco tenham sinais iguais, e o segundo e terceiro, sinais diferentes.

Se nao ocorrer erros de phase flip, o sinal dos tres blocos sera igual. Independente de qual

2.4 Codigos CSS 30

qubit do bloco sofreu o phase flip, conseguiremos recuperar o estado do erro simplesmente

invertendo o sinal do bloco onde foi apontado o erro.

Vale destacar que, no caso de ter ocorrido um erro de phase flip, nao saberemos em qual

dos qubits ocorreu esse erro. Saberemos apenas em qual dos blocos ocorreu.

Para recuperar o estado sempre sera realizado os dois processos que acabamos de descre-

ver, independente de ter ocorrido bit flip, phase flip ou os dois.

2.4 Codigos CSS

Nesta secao apresentaremos os codigos Calderbank-Shor-Steane, conhecidos como codigos

CSS. Essa famılia de codigos foi desenvolvida por Calderbank e Shor [8] e Steane [30] em

1996. Como veremos, esses codigos sao construıdos a partir dos codigos classicos lineares.

Por isso, antes de apresentarmos os codigos CSS, abordaremos os codigos lineares classicos.

Definicao 2.3. Um codigo linear C codificando k bits de informacao em um espaco de

codigos de n bits e descrito por uma matriz G de ordem n× k, chamada de matriz geradora,

onde todas as suas entradas sao elementos de Z2. Denotamos esse codigo por [n, k].

Seja x a mensagem de k bits que desejamos codificar. O produto Gx e a mensagem

codificada pelo codigo C, chamado de palavra codigo. As colunas de G devem ser L.I, pois o

conjunto de todas as palavras codigo e igual ao espaco vetorial gerado por elas. Assim, todas

as palavras serao codificadas de forma unica. Vale destacar que todos os calculos sao feitos

modulo 2 e um codigo codificando k bits tem 2k palavras codigo possıveis.

Exemplo 2.4. Queremos codificar dois bits usando tres repeticoes de cada bit, ou seja, um

codigo [6, 2]. Considere

G =

1 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0 1

, x1 =

0

0

, x2 =

0

1

, x3 =

1

0

e x4 =

1

1

,

2.4 Codigos CSS 31

onde G e a matriz geradora do codigo e xi, i = 1, 2, 3, 4 sao as mensagens que podemos co-

dificar. As mensagens codificadas sao: Gx1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0) , Gx2 = (0, 0, 0, 1, 1, 1) , Gx3 =

(1, 1, 1, 0, 0, 0) e Gx4 = (1, 1, 1, 1, 1, 1) .

O processo de correcao de erros sera feito utilizando matrizes de verificacao de paridade.

Definicao 2.5. Seja C um codigo [n, k] contendo todos os vetores x de n elementos sobre Z2

tal que Hx = 0, onde H e uma matriz de ordem n−k×n, chamada de matriz de verificacao

de paridade, cujas entradas estao em Z2.

Sendo C um codigo de dimensao k, o posto de H e n− k. Assim, a matriz H deve ter ao

menos n− k linhas linearmente independentes (L.I).

Tendo uma das matrizes G ou H conseguimos determinar a outra.

Com H em maos, como o nucleo de H tem dimensao k, escolhemos k vetores L.I, y1, . . . , yk

que geram o nucleo. Em seguida, definimos G tendo y1, . . . , yk como colunas.

Com G em maos, escolhemos n−k vetores L.I, y1, . . . , yn−k de tal forma que esses vetores

sejam ortogonais as colunas de G. Definimos H como tendo y1>, . . . , yn−k

> como linhas da

matriz.

Exemplo 2.6. Considere o codigo [6, 2] cuja matriz geradora G foi dada no exemplo 2.4.

Para construırmos H, devemos escolher 6 − 2 = 4 vetores L.I ortogonais as colunas de G.

Digamos (1, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1, 0) e (0, 0, 0, 0, 1, 1). Logo,

H =

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

.

Fazendo Hx = 0, veremos que as palavras codigo sao as obtidas no exemplo 2.4.

Para a deteccao e a recuperacao de erros, considere y = Gx a mensagem codificada e

suponha que ocorreu um erro e dando a palavra codigo y′ = y + e. Temos que Hy′ =

H (y + e) = Hy + He = 0 + He = He, onde Hy′ e a sındrome do erro. Como Hy′ = He,

ela contem informacoes sobre qual erro ocorreu. Com efeito, se nenhum erro ocorreu, entao

2.4 Codigos CSS 32

Hy′ = 0. Caso ocorreu algum erro no j-esimo bit, entao Hy′ = Hej, onde ej e o vetor

com 1 na j-esima linha e 0 nas outras. Da mesma forma que nos outros codigos, supondo

que ocorreu no maximo um erro em um unico bit, ao calcularmos a sındrome do erro e

compararmos com os Hej, descobriremos onde ocorreu o erro, podendo assim corrigir o bit

afetado.

Para comparar Hy′ e Hej, usamos a seguinte definicao de distancia.

Definicao 2.7. Sejam x e y palavras de n bits cada. A distancia entre x e y e definida

como o numero de coordenadas em que x e y diferem e e chamada de distancia de Hamming.

Denotamos a distancia de Hamming por d(x, y).

Definicao 2.8. Sejam x uma palavra de n bits e 0 a palavra que possui zeros em todos os n

bits. A distancia de Hamming entre x e 0, denotado por wt(x) ≡ d(x, 0), e chamado de peso

(de Hamming), isto e, e o numero de coordenadas em que x e nao nulo.

Se a probabilidade de um bit flip ocorrer for menor que 12, entao a palavra y minimiza o

numero de bit flips necessarios para ir de y para y′, ou seja, wt(ej) = d(y, y′), logo a palavra

codificada, provavelmente foi y.

Agora definiremos a distancia de um codigo C.

Definicao 2.9. Seja C um codigo. A distancia de C e a distancia mınima entre qualquer

palavra codigo x e 0, ou seja,

d (C) = minx∈C, x6=0

wt(x). (2.7)

Com o conceito de distancia d ≡ d (C), dizemos que o codigo C e um codigo [n, k, d] .

Proposicao 2.10. Seja C um codigo [n, k, d] com distancia d de pelo menos 2t+1 para algum

t inteiro positivo. Entao C e capaz de corrigir erros em ate t bits, simplesmente decodificando

a mensagem codificada corrompida y′ como a unica palavra codigo y satisfazendo d(y, y′) ≤ t.

Demonstracao. Com efeito, suponha que o codigo tenha distancia d ≥ 2t+1. Se u e enviado e

v e recebido tendo nao mais do que t erros, entao d(u, v) ≤ t. Temos tambem que d(u, u′) ≥ d

para qualquer palavra codigo u′ 6= u.

2.4 Codigos CSS 33

Pela desigualdade triangular

d(u, v) + d(v, u′) ≥ d(u, u′)⇔

d(v, u′) ≥ d(u, u′)− d(u, v)

≥ d− t

≥ 2t+ 1− t

= t+ 1.

Assim, conseguimos corrigir para u, pois sera a unica palavra codigo tal que d(u, v) ≤ t.

Caso d(u, v) > t, suponha sem perda de generalidade que d(u, v) = t+ 1, entao

d(v, u′) ≥ d(u, u′)− d(u, v)

≥ d− t− 1

≥ 2t+ 1− t− 1

= t.

Logo, d(v, u′) ≥ t, ou seja, podemos ter u′ 6= u dando o valor t e, assim, nao conseguiremos

recuperar o erro.

Portanto, conseguimos recuperar no maximo erros em ate t bits.

Uma classe de codigos classicos que usaremos no exemplo 2.14 sao os codigos de Hamming,

os quais definiremos agora.

Definicao 2.11. Seja r ≥ 2 um inteiro e seja H uma matriz de verificacao de paridade,

cujas 2r − 1 colunas sao todas cadeias de bits de comprimento r que nao sao identicamente

0. Essa matriz define um codigo [2r − 1, 2r − r − 1, 3] conhecido como codigo de Hamming.

Por fim, antes de definirmos os codigos CSS, definiremos o codigo dual de um codigo

classico, o qual e utilizado na definicao dos codigos CSS.

Definicao 2.12. Seja C um codigo [n, k] com matriz geradora G e matriz de verificacao de

paridade H. Entao, definimos o codigo dual de C, denotado por C⊥, como sendo o codigo

com matriz geradora H> e matriz de verificacao de paridade G>. Se C ⊆ C⊥, entao C e

dito fracamente auto-dual e estritamente auto-dual se C = C⊥.

2.4 Codigos CSS 34

Com todos esses elementos em maos estamos aptos a definir os codigos CSS.

Definicao 2.13. Sejam C1 e C2 codigos lineares classicos [n, k1] e [n, k2], respectivamente,

tais que C2 ⊂ C1 e, C1 e C2⊥ corrigem t erros. Seja x ∈ C1 uma palavra codigo qualquer e

defina o estado quantico

|x+ C2〉 ≡1√|C2|

∑y∈C2

|x+ y〉, (2.8)

onde |C2| e a cardinalidade do codigo C2 e + e a adicao modulo 2, coordenada a coordenada.

O espaco vetorial gerado pelos estados quanticos |x+C2〉 ∀x ∈ C1, e chamado de codigo CSS

de C1 sobre C2 e denotado por CSS (C1, C2).

O estado |x + C2〉 depende unicamente do coset C1/C2, pois, pode-se mostrar que dado

x′ ∈ C1 tal que x − x′ ∈ C2, temos que |x + C2〉 = |x′ + C2〉. E, os estados |x + C2〉 sao

ortonormais.

O codigo CSS (C1, C2) e um codigo [n, k1 − k2], pois como o numero de cosets de C2

em C1 e [C1 : C2] = |C1||C2| = 2k1

2k2= 2k1−k2 , entao a dimensao do espaco codigo sera 2k1−k2 , e

portanto, CSS (C1, C2) e um codigo quantico [n, k1−k2]. E, como C1 e C2⊥ corrigem t erros,

entao o codigo CSS (C1, C2) corrige erros em t qubits. Isto e, podemos corrigir erros de ate

t bit flip e phase flip.

Para entender a identificacao e recuperacao de erros, recomendamos ao leitor [23], [24].

Exemplo 2.14. (Codigo de Steane) Vamos construir um codigo CSS usando o codigo de

Hamming (definicao 2.11). Considere r = 3, logo, temos um codigo de Hamming [7, 4, 3],

denotado por C.

Defina C1 ≡ C e C2 ≡ C⊥, e seja

HC1 =

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

3×7

a matriz de verificacao de paridade de C1. Entao, a matriz geradora de C2 ≡ C⊥ sera

GC2 = HC1

>. Seguindo o processo que ja apresentamos, e possıvel determinar a partir de

HC1 a matriz geradora de C1 e a partir de GC2 = HC1

> a matriz de verificacao de paridade

de C2.

2.4 Codigos CSS 35

Queremos mostrar que C2 ⊂ C1. Utilizando as matrizes geradoras ou de verificacao de

paridade, determinamos que

C1 = {(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1) , (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1) , (1, 1, 0, 0, 1, 1, 0) ,

(0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) , (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0) , (0, 1, 1, 1, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1) ,

(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) , (0, 0, 1, 1, 0, 0, 1) , (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0) ,

(1, 0, 0, 1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0, 0, 1, 1) , (0, 1, 0, 0, 1, 0, 1) , (0, 0, 1, 0, 1, 1, 0)}

e

C2 = {(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) , (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1) , (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1) , (1, 1, 0, 0, 1, 1, 0) ,

(0, 0, 0, 1, 1, 1, 1) , (1, 0, 1, 1, 0, 1, 0) , (0, 1, 1, 1, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)}.

Portanto, C2 ⊂ C1. Veja tambem que C2⊥ =

(C⊥)⊥

= C, logo, ambos os codigos C1 e C2⊥

tem distancia 3 e assim, podem corrigir erros em ate 1 bit.

Como C1 e um codigo [7, 4] e C2 e um codigo [7, 3], o codigo quantico CSS (C1, C2) e

um codigo [7, 1] que pode corrigir erros em 1 unico qubit, e e definido como sendo o espaco

vetorial gerado pelos estados |x+C2〉 ∀x ∈ C1. Note que temos apenas dois estados, os quais

serao denotados pelos logicos |0L〉 e |1L〉.

|0L〉 = |0 + C2〉

=1√|C2|

∑y∈C2

|0 + y〉

=1√8

[|0000000〉+ |1010101〉+ |0110011〉+ |1100110〉+

|0001111〉+ |1011010〉+ |0111100〉+ |1101001〉]

e

|1L〉 = |1 + C2〉

=1√|C2|

∑y∈C2

|1 + y〉

=1√8

[|1111111〉+ |0101010〉+ |1001100〉+ |0011001〉+

|1110000〉+ |0100101〉+ |1000011〉+ |0010110〉],

2.5 Codigos Estabilizadores 36

onde 0 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) e 1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). Temos que 0 ∈ C2 e se escolhermos qual-

quer outro x ∈ C2 teremos o mesmo estado |0L〉. Do mesmo modo, 1 ∈ C1 e se escolhermos

qualquer outro x ∈ C1 − C2 teremos o mesmo estado |1L〉. O espaco vetorial gerado por |0L〉

e |1L〉 e chamado de codigo de Steane.

2.5 Codigos Estabilizadores

Apresentaremos agora os codigos estabilizadores, desenvolvido por Gottesman em 1996 [16],

o qual unificou em uma unica classe todos os codigos que iremos trabalhar. A construcao dos

codigos estabilizadores esta baseada na teoria de grupos, e por isso, antes de definirmos esses

codigos quanticos apresentaremos alguns conceitos e propriedades de grande importancia para

a sua compreensao. Para maiores informacoes dos conceitos de teoria de grupos recomenda-

mos ao leitor [4], [12] e para maiores informacoes sobre codigos estabilizadores recomendamos

[9], [17], [24].

Definicao 2.15. Considere os operadores de Pauli em um unico qubit {I,X, Y, Z}. Defini-

mos o grupo de Pauli Gn como sendo o grupo formado pelos elementos da forma ikP1⊗P2⊗

· · · ⊗ Pn, onde Pi ∈ {I,X, Y, Z} e k ∈ {0, 1, 2, 3}.

Exemplo 2.16. O grupo de Pauli G1 e formado pelos elementos ikP1, onde P1 ∈ {I,X, Y, Z}

e k ∈ {0, 1, 2, 3}, ou seja, G1 = {±I,±iI,±X,±iX,±Y,±iY,±Z,±iZ}.

Como ja vimos na secao 1.4, duas matrizes de Pauli comutam ou anticomutam. Por esse

motivo, dados dois elementos M,N ∈ Gn temos que [M,N ] = 0 ou {M,N} = 0. Pelo fato

das matrizes de Pauli serem Hermitianas e unitarias, temos que os elementos do grupo de

Pauli sao unitarios, ou seja, MM † = I e o quadrado de qualquer elemento do grupo de Pauli

e igual a ±I, ou seja, M2 = ±I ∀M ∈ Gn.

Definiremos agora o que e um operador estabilizador e grupo estabilizador.

Definicao 2.17. Sejam |ψ〉 um estado qualquer e M um operador qualquer que age em

|ψ〉. Dizemos que |ψ〉 e estabilizado pelo operador M se M |ψ〉 = |ψ〉. Chamamos M de

estabilizador.


Exemplo 2.18. Seja |ψ〉 = |00〉+|11〉√2

um estado de dois qubits. Note que

X1X2|ψ〉 = X1X2

(|00〉+ |11〉√

2

)=|11〉+ |00〉√

2=|00〉+ |11〉√

2= |ψ〉

e

Z1Z2|ψ〉 = Z1Z2

(|00〉+ |11〉√

2

)=|00〉 − (−|11〉)√

2=|00〉+ |11〉√

2= |ψ〉.

Assim, |ψ〉 e estabilizado pelos operadores X1X2 e Z1Z2.

Definicao 2.19. Sejam S um subgrupo de Gn e VS o conjunto de todos os estados de n

qubits que sao estabilizados por todos os elementos de S. Chamamos VS de espaco vetorial

estabilizado por S e chamamos S de estabilizador (ou grupo estabilizador) do espaco VS se

todo elemento de VS e estabilizado pelos elementos de S.

Exemplo 2.20. Seja S = {I, Z1Z2, Z2Z3, Z1Z3} um subgrupo de G3. Como (Z1Z2)2 = I e

(Z1Z2) (Z2Z3) = Z1Z3, temos que, S = 〈Z1Z2, Z2Z3〉, ou seja, S e gerado por Z1Z2 e Z2Z3.

Assim, para determinarmos VS, basta determinarmos os estados que sao estabilizados pelos

geradores de S. Veja que Z1Z2 estabiliza o subespaco gerado por |000〉, |001〉, |110〉 e |111〉, e

Z2Z3 estabiliza o subespaco gerado por |000〉, |100〉, |011〉 e |111〉. Sem grandes dificuldades

podemos ver que VS = 〈|000〉, |111〉〉.

Podemos obter algumas vantagens utilizando os estabilizadores, como por exemplo:

(i) Descrever alguns estados quanticos de uma forma mais facil utilizando os operadores que

os estabilizam;

(ii) Descrever muitos codigos quanticos de maneira mais compacta utilizando apenas os

estabilizadores;

(iii) Descrever de maneira mais facil os erros nos qubits e algumas operacoes, como por

exemplo, a porta de Hadamard e ate mesmo as medicoes na base computacional.

Exemplo 2.21. Considere os 6 operadores a seguir:


Elemento Operador

g1 IIIXXXX

g2 IXXIIXX

g3 XIXIXIX

g4 IIIZZZZ

g5 IZZIIZZ

g6 ZIZIZIZ

O subgrupo S = 〈g1, g2, . . . , g6〉 e o estabilizador para o codigo de Steane, ou seja, S

estabiliza VS = 〈|0L〉, |1L〉〉 (exemplo 2.14). Observe que, descrever o codigo de Steane por S

e muito mais simples do que descreve-lo utilizando os estados logicos |0L〉 e |1L〉.

Observacao 2.22. Se −I ∈ S, entao dado um estado qualquer |ψ〉, temos que −I|ψ〉 =

|ψ〉 ⇔ |ψ〉 = 0. Logo, VS sera o espaco vetorial nulo. Portanto, para qualquer grupo estabi-

lizador S, exigimos que −I 6∈ S, o que implica que ±iI 6∈ S.

Proposicao 2.23. Seja S o estabilizador do espaco VS. Se VS e nao trivial, entao:

(i) Os elementos de S comutam;

(ii) −I nao e um elemento de S.

Demonstracao. (i) Seja |ψ〉 um estado nao nulo de VS e sejam M e N elementos de S. Logo,

M e N estabilizam |ψ〉. Suponha que M e N anticomutam, ou seja, MN = −NM . Desse

modo, −|ψ〉 = −NM |ψ〉 = MN |ψ〉 = |ψ〉. Assim, |ψ〉 e o vetor nulo, o que e um absurdo.

Portanto, M e N comutam.

(ii) E imediato pela observacao 2.22.

Queremos que os geradores g1, . . . , gl sejam independentes, ou seja, se tirarmos qualquer

um dos geradores gi, o grupo gerado se tornara menor.

Utilizando o conceito de matriz de verificacao que definiremos a seguir, temos um resultado

que nos garante quando os geradores serao independentes.


Definicao 2.24. Seja S = 〈g1, . . . , gl〉 um subgrupo de Gn. Considere uma matriz de ordem

l × 2n, onde cada linha corresponde a um dos geradores de S. Essa correspondencia e dada

da seguinte forma: as primeiras n entradas de cada linha terao 1 na posicao onde temos um

operador X no gerador e as n ultimas entradas de cada linha terao 1 na posicao onde temos

um operador Z no gerador. Se tivermos um 1 nas n primeiras e nas n ultimas entradas,

na mesma posicao, entao quer dizer que temos um operador Y no gerador. Essa matriz e

chamada de matriz de verificacao.

Exemplo 2.25. A matriz de verificacao para o codigo de Steane tem a seguinte forma:

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1

6×14

.

Proposicao 2.26. Seja S = 〈g1, . . . , gl〉 tal que −I 6∈ S. Os geradores 〈g1, . . . , gl〉 sao

independentes se, e somente se, as linhas da matriz de verificacao correspondente sao L.I.

Proposicao 2.27. Seja S = 〈g1, . . . , gn−k〉 gerado por n − k geradores independentes e que

comutam entre si tal que −I 6∈ S. Entao VS e um espaco vetorial de dimensao 2k.

A demonstracao de ambas proposicoes pode ser vistas em [24].

Definiremos agora o codigo estabilizador.

Definicao 2.28. Um codigo estabilizador [n, k] e definido como sendo o espaco vetorial VS

estabilizado por um subgrupo S de Gn tal que −I 6∈ S e S tem n− k geradores independentes

e que comutam, ou seja, S = 〈g1, . . . , gn−k〉 e abeliano. Denotamos esse codigo por C(S).

Agora falaremos dos tipos de erros que podem ser detectados usando um codigo C(S) e

quando podemos executar a recuperacao.

Sejam C(S) um codigo estabilizador e E ∈ Gn um erro agindo em C(S).

Se E ∈ S, entao E nao ira corromper C(S) e assim nao precisamos nos preocupar.


Se E anticomuta com algum elemento do estabilizador, entao E leva C(S) para um

subespaco ortogonal. Desse modo, atraves de uma medicao projetiva apropriada, podemos

detectar o erro e possivelmente corrigi-lo.

Os erros perigosos sao quando E comuta com todos os elementos de S, mas E 6∈ S.

Definicao 2.29. O conjunto formado por todos os elementos E ∈ Gn tal que Eg = gE

∀g ∈ S, e chamado de centralizador de S em Gn e denotado por Z (G). E, o conjunto formado

por todos os elementos E ∈ Gn tal que EgE† ∈ S ∀g ∈ S, e chamado de normalizador de S

e denotado por N (S).

Observacao 2.30. Se −I 6∈ S, onde S e subgrupo de Gn, entao N (S) = Z (S).

O teorema a seguir nos diz as condicoes de correcao de erros para os codigos estabiliza-

dores.

Teorema 2.31. (Condicoes de correcao de erros para codigos estabilizadores):

Seja S o estabilizador para um codigo estabilizador C(S). Suponha que {Ej} e um conjunto

de operadores em Gn tal que Ej†Ek 6∈ N (S) \ S para todo j e k. Entao {Ej} e um conjunto

corrigıvel de erros para o codigo C(S).

A correcao de erros e realizada da seguinte forma:

Seja S = 〈g1, . . . , gn−k〉 o estabilizador de um codigo estabilizador C(S) [n, k] e seja {Ej}

um conjunto de erros corrigıveis de C(S). Para detectarmos o erro que ocorreu, realizamos

a medicao dos geradores g1, . . . , gn−k, obtendo a sındrome do erro β1 ate βn−k, que sao os

resultados das medicoes.

Suponha que ocorreu o erro Ej. Entao a sındrome de erro e dada βl tal que EjglEj† = βlgl.

Se Ej for o unico erro com a sındrome βl, entao basta aplicarmos Ej† que recuperamos o

estado do erro. Se Ej e Ej′ sao erros distintos e possuem a mesma sındrome βl, recuperamos

o estado do erro aplicando Ej† apos o erro Ej′ ter ocorrido, pois considerando P o projetor

sobre o espaco codigo, temos que EjPEj† = Ej′PEj′

†, logo Ej†Ej′PEj′

†Ej = Ej†EjPEj

†Ej =

IPI = P , onde Ej†Ej′ ∈ S.

Por fim, a distancia de um codigo quantico e definida de maneira semelhante ao caso

classico.


Definicao 2.32. Seja E ∈ Gn. Chamamos o numero de termos no produto tensorial que sao

diferentes da identidade de peso do operador E.

Definicao 2.33. O peso mınimo de um elemento de N(S) \ S e chamado de distancia do

codigo estabilizador C(S) e denotado por d. Logo C(S) e um codigo estabilizador [n, k, d].

Observacao 2.34. Como no caso classico, um codigo quantico com distancia de pelo menos

2t+ 1 pode corrigir erros arbitrarios em quaisquer t qubits.

Capıtulo 3

Codigos Quanticos Topologicos

Segundo [23], os codigos quanticos topologicos surgiram a partir do codigo torico de Kitaev,

desenvolvido por Alexei Yu Kitaev em 1997 [21]. Como veremos, esse codigo e um exemplo

dos codigos de superfıcies. Os codigos quanticos topologicos sao considerados codigos locais,

isto e, todos os geradores estabilizadores agem apenas em um pequeno numero de qubits

proximos. Os qubits dos codigos que trabalharemos sao colocados em alguma tesselacao

bidimensional, as quais sao fixadas em alguma superfıcie fechada orientavel e conectada,

como por exemplo, a esfera e o g-toro, onde g e o genero da superfıcie. Como poderemos

perceber, a topologia dessas superfıcies e de grande importancia.

Este capıtulo esta dividido da seguinte maneira. Na Secao 3.1, falaremos brevemente sobre

alguns conceitos de homologia e do primeiro grupo de homologia. Em seguida, na Secao 3.2,

faremos a construcao dos codigos de superfıcie, no qual iremos apresentar o codigo torico de

Kitaev como um exemplo de codigo de superfıcie. Por fim, na Secao 3.3, apresentaremos os

codigos quanticos coloridos.

3.1 Homologia

Nesta secao definiremos o primeiro grupo de homologia de uma superfıcie, onde seus ele-

mentos formarao uma base para os estados codificados. Assim como a caracterıstica de

Euler, esse grupo tambem e um invariante topologico. Para mais detalhes sobre homologia

recomendamos ao leitor [7], [14], [19].

Definicao 3.1. Considere uma tesselacao qualquer em uma superfıcie M . Chamamos os

vertices de 0-cells, as arestas de 1-cells e as faces de 2-cells.

3.1 Homologia 43

Definicao 3.2. Considere uma tesselacao qualquer em uma superfıcie M e Ai o conjunto de

todas as i-cells, para i = 0, 1, 2. Para cada A ⊂ Ai, definimos como uma i-cadeia em M a

soma formal finita

c =∑i

cipi tal que ci =

0; pi /∈ A

1; pi ∈ A.

Exemplo 3.3. Seja A1 = {ei}E1 o conjunto de todas as 1-cells e E ′ ⊂ A1 um subconjunto

qualquer de arestas. A soma formal

c =∑i

ciei tal que ci =

0; ei /∈ E ′

1; ei ∈ E ′

e uma 1-cadeia.

Podemos somar as i-cadeias formando novas i-cadeias, onde a soma e feita modulo 2.

Usando essa operacao de soma, formamos um grupo abeliano aditivo Ci, para i = 0, 1, 2,

onde o elemento neutro corresponde ao conjunto vazio.

A partir desses grupos abelianos introduzimos tres homomorfismos de grupos ∂i para

i = 0, 1, 2, chamados de operadores bordo, onde

∂2 : C2 → C1, ∂1 : C1 → C0 e ∂0 : C0 → {0}.

Esses homomorfismos ∂i levam uma i-cadeia na soma das fronteiras de todas as i-cells

que fazem parte dessa i-cadeia.

Exemplo 3.4. Seja f uma face qualquer de G tal que sua fronteira e formada pelas arestas

{e1, . . . , ek}, entao ∂2f = e1 + · · · + ek. Do mesmo modo, seja e uma aresta tal que seus

pontos extremos sao os vertices v1 e v2, entao ∂1e = v1 + v2.

Para ficar ainda mais claro, observe a Figura 3.1.

Antes de definirmos o primeiro grupo de homologia precisamos definir dois subgrupos de

C1.

Definicao 3.5. Sejam Z1 e B1 subgrupos de C1 tais que Z1 e o nucleo de ∂1, ou seja,

Z1 = {z ∈ C1; ∂1z = 0}, onde seus elementos sao chamados de ciclos, e B1 e a imagem de

∂2, ou seja, B1 = {b ∈ C1; ∃ c ∈ C2 tal que b = ∂2c}.

3.1 Homologia 44

Figura 3.1: Acao dos operadores bordo ∂2 e ∂1.

Observacao 3.6. Toda fronteira de uma 2-cadeia sao ciclos. Dessa forma, B1 ⊂ Z1.

Definidos esses subgrupos de C1, podemos definir agora o primeiro grupo de homologia.

Definicao 3.7. O primeiro grupo de homologia de uma superfıcie M e definido pelo quociente

H1 =Z1

B1

.

Um resultado importante que sera usado e pode ser visto em [14] e que H1 ' Z22g, onde

g e o genero da superfıcie. Assim, independente da tesselacao que usarmos, teremos que H1

depende apenas da topologia da superfıcie. Desse modo, H1 e um invariante topologico.

Outro invariante topologico que usaremos e a caracterıstica de Euler.

Definicao 3.8. (Caracterıstica de Euler) Dada uma tesselacao qualquer, considere V , E e

F o numero de vertices, arestas e faces, respectivamente. A caracterıstica de Euler e definida

como a quantidade χ ≡ V − E + F .

Usaremos tambem a relacao χ = 2(1− g) para superfıcies fechadas orientaveis e conecta-

das.

Considere a Figura 3.2, onde tesselamos o toro com uma tesselacao quadrada, onde as

bordas opostas sao identificadas. As 1-cadeias sao classificadas da seguinte forma:

A 1-cadeia a e homologicamente trivial. Ja b, c, d, e e f sao homologicamente nao triviais.

As 1-cadeias b e c sao homologicamente equivalentes, pois juntando as duas, elas envolvem

a regiao B. Essas sao as classificacoes para curvas fechadas. Ja as 1-cadeias abertas e e f

envolvem a regiao C, e dizemos que sao homologas.

3.2 Codigos de Superfıcie 45

Figura 3.2: a e homologicamente trivial, enquanto b, c, d, e e f sao homologicamente nao

triviais. b e c sao homologicamente equivalentes. Ja e e f sao ditas homologas.

Note que a = 0, b = c e b 6= d 6= 0. Como H1 ' Z22g e g = 1, entao H1 ' Z2 × Z2, logo,

H1 tem dois geradores. Considere b e d esses geradores, assim, os elementos de H1 sao 0, b,

d e b+ d.

3.2 Codigos de Superfıcie

Nesta secao faremos a construcao dos codigos de superfıcies, os quais sao os exemplos mais

basicos de codigos topologicos. Uma referencia basica para codigos de superfıcie e [10].

Primeiramente, dada uma superfıcie fechada, fixamos uma tesselacao nessa superfıcie. A

cada aresta dessa tesselacao associamos um qubit. Desse modo, interpretamos cada elemento

da base computacional como uma 1-cadeia c ∈ C1 como segue:

|c〉 ≡⊗i

|ci〉 c ∈ C1, (3.1)

onde i representa as arestas da tesselacao {ei}, ou seja, os qubits.

Os produtos dos operadores de Pauli X e Z com relacao as 1-cadeias serao representados


por

Xc ≡⊗i

Xici e Zc ≡

⊗i

Zici ; c ∈ C1, (3.2)

onde, por exemplo, o operador Xc consiste do produto tensorial do operador de Pauli X

agindo nos qubits pertencentes a 1-cadeia c com a identidade agindo nos demais qubits. Do

mesmo modo para Zc.

Observacao 3.9. Dados c, c′ ∈ C1, nao e difıcil perceber que

XcXc′ = Xc+c′ e ZcZc′ = Zc+c′ .

Definicao 3.10. O codigo de superfıcie e o espaco gerado pelos elementos

|z〉 ≡∑b∈B1

|z + b〉, z ∈ H1 (3.3)

que sao somas de todos os ciclos que formam uma determinada classe de homologia.

Veja que se z 6= y, entao 〈z|y〉 = 0. Logo, como H1 ' Z22g, temos que |H1| = 22g e assim,

o numero de qubits codificados e k = 2g, pois a dimensao do espaco codigo e 2g.

Observacao 3.11. Note que Xc|b〉 = |b+ c〉 e Xc|z〉 = |z + c〉.

De fato,

Xc|b〉 =⊗

iXici (⊗

i |bi〉) =⊗

iXici |bi〉.

• Se ci = 0, entao Xi0 = I ⇒ Xi

ci |bi〉 = I|bi〉 = |bi〉 = |bi + 0〉 = |bi + ci〉 para bi = 0, 1.

• Se ci = 1, entao Xi1 = Xi ⇒ Xi

ci |bi〉 = Xi|bi〉.

Caso bi = 0, entao Xi|bi〉 = |1〉 = |0 + 1〉 = |bi + ci〉.

Caso bi = 1, entao Xi|bi〉 = |0〉 = |1 + 1〉 = |bi + ci〉.

Portanto, Xici |bi〉 = |bi + ci〉 ∀i, e assim, Xc|b〉 = |b+ c〉.

Por fim, veja que

Xc|z〉 = Xc

∑b∈B1

|z+ b〉 =∑b∈B1

Xc|z+ b〉 =∑b∈B1

|z+ b+ c〉 =∑b∈B1

|z+ c+ b〉 = |z + c〉 = |z+ c〉.


Veremos agora os efeitos dos erros bit flip nos codigos de superfıcie.

Para isso, considere z, y ∈ Z1, logo, ∂1z = 0 = ∂1y. Se ∂1c 6= 0, entao ∂1 (z + c) 6= 0 e

z + c 6= y. De fato, como ∂1 e homomorfismo,

∂1 (z + c) = ∂1z + ∂1c = 0 + ∂1c = ∂1c 6= 0.

Agora, suponha que z + c = y, entao

z + c+ y = 0⇒ z + c+ y ∈ B1,

ou seja, ∂1 (z + c+ y) = 0, mas

∂1 (z + c+ y) = ∂1z + ∂1c+ ∂1y = 0 + ∂1c+ 0 = ∂1c 6= 0,

o que e um absurdo. Portanto, z + c 6= y.

Logo, 〈y|z + c〉 = 0 e, como 〈y|z + c〉 = 〈y|Xc|z〉 temos que, 〈y|Xc|z〉 = 0. Com isso, Xc

podera levar o codigo nele mesmo somente quando c for um ciclo. Se b for fronteira de uma

2-cadeia, os erros Xb nao vao fazer nada, pois Xb|z〉 = |z + b〉 = |z〉. Portanto, somente os

erros bit flip Xz com z ∈ Z1 sao indetectaveis. Desse modo, a distancia de um codigo de

superfıcie para erros bit flip e o comprimento do menor ciclo nao trivial, o qual pertence ao

conjunto Z1 −B1.

3.2.1 Estabilizadores

Definicao 3.12. Sejam v um vertice e f uma face da tesselacao fixada na superfıcie fechada.

Os operadores de Pauli

Xf ≡∏e∈∂2f

Xe e Zv ≡∏

e; v∈∂1e

Ze, (3.4)

sao chamados de operador face e operador vertice, respectivamente. Consideramos ∂2f e ∂1e

como conjuntos.

O operador face Xf consiste de um produto tensorial do operador de Pauli X agindo

nos qubits que estao nas arestas pertencentes a face f , com a identidade agindo nos demais

qubits, e o operador vertice Zv consiste de um produto tensorial do operador de Pauli Z


agindo nos qubits que estao nas arestas adjacentes ao vertice v, com a identidade agindo nos

demais qubits, como pode ser visto na Figura 3.3. E claro que os operadores vertice comutam

entre si, do mesmo modo que os operadores face tambem comutam entre si. Sabemos que X

e Z anticomutam, mas Xf e Zv terao nenhuma ou terao duas arestas em comum, portanto,

os operadores vertice e face sempre comutarao.

Figura 3.3: Acao dos operadores face Xf e Zv agindo nos qubits da face f e nos qubits

adjacentes ao vertice v, respectivamente. Os cırculos abertos representam os qubits onde os

operadores estao agindo.

Os operadores vertice e face sao os operadores estabilizadores do codigo de superfıcie, ou

seja, o codigo de superfıcie C que definimos em 3.10 pode ser definido por

C = {|ψ〉; Xf |ψ〉 = |ψ〉, Zv|ψ〉 = |ψ〉, ∀f, v}. (3.5)

Observe que os geradores estabilizadores Xf e Zv nao sao todos independentes, pois∏f

Xf = I e∏v

Zv = I. (3.6)

Logo, como para cada face e cada vertice temos um gerador estabilizador, existem V +F − 2

geradores independentes. Sabendo que a quantidade de geradores independentes em um

codigo quantico estabilizador [n, k] e n− k, temos que

n− k = V + F − 2⇔

k = n− (V + F − 2) = E − (V + F − 2) = 2− χ = 2− 2 (1− g) = 2g,

que e exatamente como ja havıamos visto.


3.2.2 Tesselacao Dual

Dada uma tesselacao qualquer em uma superfıcie fechada, podemos construir sua tesselacao

dual da seguinte forma:

As faces da tesselacao sao levadas a vertices na tesselacao dual. As arestas da tesselacao

sao levadas a arestas da tesselacao dual e os vertices da tesselacao sao levados a faces da

tesselacao dual. Denotamos o vertice dual correspondente a face f por f ∗, a aresta dual

correspondente a aresta e por e∗ e a face dual correspondente ao vertice v por v∗.

Os operadores bordo dual agindo nas cadeias dual C∗ ficam

∂1∗ : C0

∗ −→ C1∗ e ∂2

∗ : C1∗ −→ C2

∗.

Esses operadores bordo produzem os grupos de ciclos dual Z1∗ e bordo dual B1

∗, logo, o

primeiro grupo de homologia fica

H1∗ =

Z1∗

B1∗ ' H1.

Os operadores face Xf sao vistos agora como operadores vertice Xf∗ e os operadores

vertice Zv sao vistos agora como operadores face Zv∗ .

Como pode ser visto na Figura 3.4, a dual de uma tesselacao quadrada e tambem uma

tesselacao quadrada, chamada de auto-dual. Ja a dual de uma tesselacao hexagonal e uma

tesselacao triangular.

Aplicando a ja conhecida porta de Hadamard H transversalmente atraves de todos os

qubits no codigo de superfıcie, o codigo sera levado a um novo subespaco, o qual e descrito

pelos operadores

H⊗EXfH

⊗E =

∏e∈∂2f

Ze =∏

e∗; f∗∈∂2∗e∗Ze ≡ Zf∗ ; (3.7)

H⊗EZvH

⊗E =

∏e; v∈∂1e

Xe =∏

e∗∈∂1∗v∗Xe ≡ Xv∗ . (3.8)

Esse sera o codigo definido na tesselacao dual. Os erros phase flip sao trabalhados de maneira

analoga aos erros bit flip, porem na tesselacao dual.


Figura 3.4: Tesselacao quadrada e tesselacao hexagonal feitas no toro, juntamente com suas

tesselacoes duais representadas com as linhas tracejadas. As bordas opostas dessas tesselacoes

sao identificadas. Os cırculos abertos representam os qubits e os cırculos cinza sao os qubits

identificados. A face em vermelho f da tesselacao esta sendo levada ao vertice f ∗ da dual.

A aresta em vermelho e esta sendo levada a aresta tracejada azul e∗ e o vertice v da face em

vermelho f esta sendo levado a face tracejada azul v∗.

3.2.3 Operadores Strings

Dado um operador de Pauli qualquer, podemos escreve-lo como um produto tensorial de ope-

radores de Pauli X juntamente com a identidade I, vezes, um produto tensorial de operadores

de Pauli Z juntamente com a identidade I.

O produto tensorial dos operadores X com a identidade I define uma 1-cadeia, onde

as arestas, as quais X age correspondem ao valor 1 e as arestas onde I age, correspondem

ao valor 0. Esse operador comuta com os operadores face Xf , pois os operadores face sao

produtos tensoriais de X com a identidade, e comuta com um operador vertice Zv se, e

somente se, um numero par de operadores X agem nas arestas adjacentes ao vertice v. Se ele

comutar com todos os operadores vertice Zv, entao essa 1-cadeia e na verdade um ciclo. Da

mesma forma, o produto tensorial dos aperadores Z com a identidade I, comuta com todos

os operadores vertice Zv, e comuta com um operador face Xf se, e somente se, um numero

par de operadores Z agem nas arestas da face f . Se ele comutar com todos os operadores

face Xf , entao essa 1-cadeia e na verdade um ciclo na tesselacao dual.


As 1-cadeias com pontos finais, as que formam um loop e as que sao imagem de uma

2-cadeia sao chamadas de strings, onde as com pontos finais sao strings abertas e, as que

formam um loop e as que sao imagem de uma 2-cadeia sao strings fechadas. Os loops sao os

ciclos homologicamente nao triviais.

Definicao 3.13. O produto tensorial dos operadores X com a identidade I que definem uma

string µ na tesselacao e o produto tensorial dos operadores Z com a identidade I que definem

uma string µ∗ na tesselacao dual sao chamados de operadores strings e denotados por Xµ e

Zµ∗.

Podemos ver alguns exemplos de operadores strings na Figura 3.5.

Figura 3.5: Na tesselacao auto-dual temos em vermelho uma string aberta na tesselacao e

em azul um loop na tesselacao dual. Ja na tesselacao hexagonal, temos em vermelho um loop

na tesselacao e em azul uma string fechada na tesselacao dual.

Os operadores strings na tesselacao e na tesselacao dual anticomutam se, e somente se,

elas se cruzam uma quantidade ımpar de vezes.

Definicao 3.14. A distancia do codigo de superfıcie e o peso do operador string correspon-

dente a um ciclo homologicamente nao trivial (um loop), de menor peso.

Neste caso, a distancia mınima do codigo sera o mınimo entre o numero de arestas contidas

no menor ciclo homologicamente nao trivial da tesselacao e o numero de arestas contidas no

menor ciclo homologicamente nao trivial da tesselacao dual.

3.3 Codigos Quanticos Coloridos 52

3.2.4 Codigo Torico de Kitaev

Apresentaremos agora o codigo torico de Kitaev, o qual e o exemplo mais simples de um

codigo de superfıcie.

Para esse codigo foi tesselado o toro por quadrados l × l, onde o dual de uma tesselacao

quadrada l × l e tambem uma tesselacao l × l.

Como foi colocado um qubit a cada aresta, e temos que a quantidade de arestas da

tesselacao e |E| = 2l2, pois cada aresta pertence a duas faces, entao a quantidade de qubits

nessa tesselacao e n = 2l2.

Lembrando que o genero do toro e g = 1, entao, como a quantidade de qubits codificado

e k = 2g, temos que k = 2.

Por fim, a distancia do codigo torico de Kitaev e d = l, pois os ciclos nao triviais tem

que se enrolar ao redor do toro, e o de menor comprimento tem comprimento l. Portanto, o

codigo torico de Kitaev e um codigo [2l2, 2, l]. Veja que, quanto maior for o valor de l, maior

sera a distancia do codigo e maior sera o numero de qubits.

3.3 Codigos Quanticos Coloridos

Os codigos quanticos coloridos sao codigos quanticos estabilizadores topologicos que foram

desenvolvidos por Hector Bombın e Miguel A. Martin-Delgado em 2007, para superfıcies de

genero g = 0 e g = 1 [6]. Em 2018, Waldir Silva Soares e Eduardo B. Silva desenvolveram

codigos quanticos coloridos para superfıcies de genero g ≥ 2 [29].

Os codigos coloridos sao construıdos em tesselacoes trivalentes e 3-colorıvel sobre uma

superfıcie bidimensional.

Definicao 3.15. Dizemos que uma tesselacao e trivalente quando em cada vertice da tes-

selacao encontram-se exatamente 3 arestas. E, a tesselacao e dita ser 3-colorıvel quando e

possıvel colorir todas as faces da tesselacao usando apenas 3 cores, de forma que as faces

vizinhas que compartilham uma mesma aresta (adjacentes) nao tenham a mesma cor.

As cores utilizadas sao vermelho (R), verde (G) e azul (B). E atribuıdo uma cor para


cada aresta, como por exemplo, as arestas verdes sao as arestas adjacentes a faces azuis e

vermelhas, ou seja, arestas verdes nao pertencem a faces verdes e, de forma semelhante para

arestas azuis e vermelhas.

Nos codigos de superfıcie que acabamos de ver, os qubits estavam anexados as arestas.

Ja nos codigos coloridos os qubits sao anexados aos vertices da tesselacao.

Os operadores do grupo estabilizador sao os operadores face, dos quais existem dois por

face f (os operadores de Pauli X e Z) agindo nos vertices da face, como pode ser visto na

Figura 3.6. Para cada face f da tesselacao, denotamos tais operadores por Bσf com σ = X,Z.

Figura 3.6: Tesselacao hexagonal trivalente e 3-colorıvel no toro, onde os lados opostos sao

identificados. Bfσ com σ = X,Z representa os operadores face agindo nos qubits da face

verde f , onde nos codigos coloridos os qubits estao anexados aos vertices do polıgono.

Considere FR, FG e FB os conjuntos das faces vermelhas, verdes e azuis, respectivamente.

Note que ∏f∈FR

Bσf =

∏f∈FG

Bσf =

∏f∈FB

Bσf (3.9)

com σ = X,Z. Entao, quatro desses operadores nao sao independentes. Logo, o numero de

geradores estabilizadores independentes e

r = 2 (|FR|+ |FG|+ |FB|)− 4, (3.10)

pois temos dois operadores para cada face e um total de |FR| + |FG| + |FB| faces. Como

quatro operadores nao sao independentes, descartamos 4.

A partir da tesselacao do codigo colorido podemos construir tres outras tesselacoes, uma


por cor, as quais sao chamadas de tesselacoes reduzidas, marcadas pela cor das faces reduzi-

das.

Obtemos a tesselacao reduzida verde da seguinte forma: cada face verde corresponde a

um vertice da tesselacao reduzida, que em certo sentido, estamos reduzindo cada face verde

da tesselacao a um ponto. As arestas da tesselacao reduzida correspondem a dois vertices

da tesselacao e sao as arestas que conectam faces verdes da tesselacao, isto e, arestas verdes.

As faces vermelhas e azuis da tesselacao sao as faces da tesselacao reduzida. Analogamente,

obtemos a tesselacao reduzida vermelha e azul.

Um exemplo de tesselacao reduzida verde pode ser visto na Figura 3.7.

Figura 3.7: Tesselacao reduzida verde na tesselacao hexagonal no toro, onde os lados opostos

sao identificados.

Desse modo, a quantidade de faces verdes FG da tesselacao e igual a quantidade de vertices

V da tesselacao reduzida, ou seja, |FG| = V . Temos tambem que |FR|+ |FB| = F , onde F e

a quantidade de faces da tesselacao reduzida. Entao, por (3.10) temos

r = 2 (|FR|+ |FG|+ |FB|)− 4 (3.11)

= 2 (V + F )− 4 (3.12)

= 2 (V + F − 2) . (3.13)

O numero de qubits fısicos e o dobro do numero de arestas E da tesselacao reduzida, ou

seja, n = 2E. Como a quantidade de geradores independentes de um codigo estabilizador

[n, k] e n − k, temos que n − k = r. Logo, usando χ = V − E + F , χ = 2(1 − g) e (3.13)

temos que


k = n− r

= 2E − 2 (V + F − 2)

= 2 (E − V − F + 2)

= 2 (2− (V − E + F ))

= 2 (2− χ)

= 2(2− (2(1− g)))

= 4g.

Portanto, a quantidade k de qubits codificados depende apenas da superfıcie considerada,

nao importanto a tesselacao.

Observacao 3.16. Os codigos coloridos dobram o numero de qubits codificados em relacao

aos codigos de superfıcie.

A homologia das strings dos codigos coloridos estao definidos sobre Z2, assim como nos

codigos de superfıcie.

Considere um loop ou uma string fechada µ em uma tesselacao do codigo colorido. Cons-

truımos seis operadores string diferentes, dois por cor, um do tipo X e outro do tipo Z.

Denotamos esses operadores strings por Sµcσ onde c e a cor (R,G,B), σ = X,Z e µ e a string.

Note que

SµcX =

∏v∈Vcµ

Xv e SµcZ =

∏v∈Vcµ

Zv, (3.14)

onde Vcµ e o conjunto que contem os vertices que pertencem a uma aresta c-colorida de µ.

Veja que

SµRXSµ

GXSµBX = I e Sµ

RZSµGZSµ

BZ = I, (3.15)

logo, existem apenas quatro operadores strings independentes. Assim, podemos considerar

apenas duas cores, como por exemplo, vermelho e verde.

Considere duas strings µ e µ′, se elas se cruzam um numero par de vezes, seus operadores

comutarao. Se elas se cruzam um numero ımpar de vezes, temos que [SµcX , Sµ′

cZ ] = 0 e


{SµcX , Sµ′c′Z} = 0, para c 6= c′. Os operadores strings podem ter pontos finais nos bordos

ou faces da sua cor, mas esses operadores sempre anticomutarao com os operadores faces

correspondentes a esses pontos finais.

Podemos combinar duas strings de cores diferentes para produzir um terceiro operador

equivalente, resultando em pesos menores. Esse terceiro operador e chamado de t-string ou

string-Nets.

Exemplo 3.17. Considere um operador string vermelho e deforme parte dele fazendo o

produto com os operadores face vermelho e verde, marcados na Figura 3.8. O resultado nao

e mais um operador string, mas sim um operador string-net. Se fizermos o produto desse

operador string-net pelos mesmos operadores, recuperamos o operador string vermelho.

Figura 3.8: Um operador string-net. Os cırculos brancos sao os qubits onde o operador esta

agindo e sao chamados de suporte do operador.

Capıtulo 4

Construcao dos Codigos Quanticos

Coloridos em Superfıcies Compactas

com g ≥ 2

Neste capıtulo faremos a construcao dos codigos quanticos coloridos em superfıcies compactas

com genero g ≥ 2 [29]. A construcao desses codigos segue a ideia utilizada por Clarice D.

Albuquerque, Reginaldo Palazzo e Eduardo B. Silva em 2009, para gerar codigos quanticos

topologicos em superfıcies compactas com g ≥ 2 [1]. Iniciamos o capıtulo expondo algumas

definicoes e resultados de geometria hiperbolica na Secao 4.1. Para maiores informacoes

sobre geometria hiperbolica recomendamos ao leitor [2], [3], [20], [31]. Na Secao 4.2, apresen-

tamos a construcao desses codigos quanticos coloridos, algumas tabelas com os parametros

encontrados para 3 ≤ g ≤ 9 e uma famılia de codigos que construımos fixando d.

4.1 Geometria Hiperbolica

A abordagem em geometria hiperbolica sera feita usando dois modelos: o semiplano superior

H2 e o disco de Poincare D2.

Definicao 4.1. O semiplano superior, H2 e o conjunto dos numeros complexos z com parte

imaginaria positiva, ou seja, H2 = {z ∈ C; =(z) > 0} e o disco de Poincare D2 e o conjunto

dos numeros complexos z tal que |z| < 1, isto e, D2 = {z ∈ C; |z| < 1}.

4.1 Geometria Hiperbolica 58

Considere a funcao f : H2 −→ D2 onde

f (z) =z − iiz − 1

. (4.1)

Temos que f e uma bijecao entre H2 e D2. De fato, primeiramente veja que f(z) ∈ D2

∀ z ∈ H2. Com efeito, considere z = a + bi ∈ H2. Logo, −2b < 2b, o que e equivalente a

(a+ bi)i− (a− bi)i < −(a+ bi)i+ (a− bi)i. Fazendo algumas contas obtemos que |f(z)| < 1,

portanto, f(z) ∈ D2.

Para ver que f e injetora, considere z, z′ ∈ H2 tais que f(z) = f(z′). Logo,

z − iiz − 1

=z′ − iiz′ − 1

⇔ izz′ + z′ − z + i = izz′ + z − z′ + i⇔ z = z′.

E para ver que f e sobrejetora, considere y ∈ D2 e tome z = y−iiy−1

. Nao e difıcil verificar que

z dado dessa forma pertence a H2. Logo,

f(z) = f

(y − iiy − 1

)= y.

Portanto, f e uma bijecao de H2 em D2 cuja inversa sera denotada por g e e dada por

g(z) = z−iiz−1

.

Definicao 4.2. Seja σ : [a, b] → H2 um caminho diferenciavel por partes, σ(t) = {z(t) =

x(t) + iy(t) ∈ H2; t ∈ [a, b]}. O comprimento hiperbolico de σ e definido por

hH2(σ) =

∫σ

√(dxdt

)2 + (dydt

)2

y(t)dt =

∫ b

a

|dzdt|

y(t)dt. (4.2)

Para a distancia em D2, considere σ : [a, b] → D2 um caminho qualquer. Entao g ◦ σ :

[a, b]→ H2 e um caminho em H2. Logo, o comprimento de g ◦ σ e dado por

hH2 (g ◦ σ) =

∫ b

a

| (g ◦ σ)′ (t) |= (g ◦ σ(t))

dt =

∫ b

a

|g′ (σ(t)) ||σ′(t)|= (g ◦ σ(t))

dt, (4.3)

usando a regra da cadeia. Calculando g′(z) e = (g(z)) e substituindo em (4.3), temos que

hH2 (g ◦ σ) =

∫ b

a

2

1− |σ(t)|2|σ′(t)|dt. (4.4)

O comprimento hiperbolico de um caminho σ em D2 e definido pela equacao (4.4).

Como cada caminho nos da possivelmente um comprimento diferente, a distancia entre

dois pontos quaisquer e definida como segue.


Definicao 4.3. A distancia hiperbolica entre dois pontos quaisquer z, w ∈ H2 e dada por

dH2(z, w) = inf(hH2(σ)), (4.5)

onde o ınfimo e considerado sobre o conjunto de todos os caminhos σ ligando z a w em H2.

Analogamente se define a distancia hiperbolica para D2.

Como usamos f para transferir a distancia em H2 para a distancia em D2, temos que

dD2 (f(z), f(w)) = dH2(z, w). (4.6)

Com essa convencao, f e uma isometria de (H2, d) em (D2, d), o que nos permite trabalhar

com o modelo mais adequado para cada situacao.

Definicao 4.4. Sejam a, b, c, d ∈ R tais que ad− bc > 0 e defina a funcao γ : C→ C, onde

γ(z) =az + b

cz + d. (4.7)

Transformacoes dessa forma sao chamadas de transformacoes de Mobius.

Observacao 4.5. Pode-se mostrar que dado z ∈ H2 temos que γ(z) ∈ H2.

O conjunto das matrizes

SL (2,R) =

g =

a b

c d

; a, b, c, d ∈ R e det (g) = ad− bc = 1

(4.8)

e chamado de grupo especial linear. Alem disso, o conjunto de transformacoes de Mobius

γ : C → C da forma γ(z) = az+bcz+d

, onde a, b, c, d ∈ R e ad − bc = 1 e um grupo com relacao

a operacao de composicao, denotado por PSL (2,R) e chamado de grupo projetivo especial

linear.

Note que, cada transformacao γ, onde a, b, c, d ∈ R e ad− bc = 1, pode ser representada

por um par de matrizes ±g ∈ SL(2,R). Temos assim que PSL(2,R) ' SL(2,R){±I} . De fato,

para verificar esse isomorfismo, basta considerar a funcao ϕ : SL (2,R)→ PSL (2,R) onde

g =

a b

c d

7−→ ϕ(g) = γg(z) =az + b

cz + d. (4.9)


E facil verificar que ϕ esta bem definida, e sobrejetora e seu kernel e {±I}. Logo, pelo

primeiro teorema do isomorfismo, temos o desejado.

Vale observar que PSL (2,R) contem todas as transformacoes de Mobius da forma z 7−→az+bcz+d

com a, b, c, d ∈ R e ad − bc > 0, pois dividindo o numerador e o denominador por√ad− bc, obtemos uma nova matriz com determinante unitario.

Definicao 4.6. Seja γ ∈ PSL (2,R) uma transformacao de Mobius. Chamamos τ (γ) =

(a+ d)2 de traco de γ.

As transformacoes de Mobius dividem-se em tres classes distintas: elıptica, parabolica e

hiperbolica.

Proposicao 4.7. Seja γ ∈ PSL (2,R) \ {±I}. Entao

(i) γ e parabolica se, e somente se, τ(γ) = 4;

(ii) γ e elıptica se, e somente se, 0 ≤ τ(γ) < 4;

(iii) γ e hiperbolica se, e somente se, τ(γ) > 4.

As transformacoes de Mobius sao homeomorfismos e preservam a distancia hiperbolica

em H2. Assim, PSL(2,R) e um subgrupo do grupo de todas as isometrias de H2, denotado

por Isom(H2).

Outro conceito muito importante em geometria hiperbolica e o conceito de geodesicas.

As geodesicas sao as curvas que tem comprimento mınimo em relacao a metrica, ligando dois

pontos distintos. No plano Euclidiano elas sao os segmentos de retas. Em H2 as geodesicas

sao semicırculos e sao as semirretas ortogonais ao eixo real, enquanto as geodesicas do disco

de Poincare sao segmentos de cırculos Euclidianos ortogonais a fronteira do disco, em parti-

cular seus diametros. Vale destacar que as transformacoes de Mobius levam geodesicas em

geodesicas. Na Figura 4.1, apresentamos alguns exemplos de geodesicas.

Definicao 4.8. Um polıgono hiperbolico P com n lados, chamado n-gon, e um conjunto

fechado convexo formado pela regiao limitada por n segmentos geodesicos hiperbolicos. A

intersecao de dois segmentos geodesicos e chamado de vertice. Um n-gon no qual todas as


arestas tem o mesmo comprimento e a medida de seus angulos internos sao todos iguais e

chamado de n-gon regular.

Figura 4.1: Exemplo de geodesicas em H2 e D2, respectivamente.

Definicao 4.9. Seja A ⊂ H2 uma regiao. A area hiperbolica de A e dada por

µ(A) =

∫ ∫A

dxdy

y2, (4.10)

se essa integral existir.

Porem, para determinar a area de um triangulo hiperbolico podemos usar o teorema de

Gauss-Bonnet que mostra que a area hiperbolica de um triangulo hiperbolico depende apenas

de seus angulos.

Teorema 4.10 (Gauss-Bonnet). Seja ∆ um triangulo hiperbolico com angulos internos

α, β, θ. Entao a area de ∆ e dada por µ(∆) = π − α− β − θ.

As transformacoes de Mobius sao transformacoes conformes, ou seja, preservam angulos,

e temos tambem que elas preservam a area hiperbolica.

Para saber quando duas transformacoes estao proximas usamos uma metrica em PSL (2,R)

que e dada da seguinte forma: Considere

γ1(z) =a1z + b1

c1z + d1

e γ2(z) =a2z + b2

c2z + d2

.

A metrica e dada por

dPSL (γ1, γ2) = min {|| (a1, b1, c1, d1)− (a2, b2, c2, d2) ||, || (a1, b1, c1, d1)− (−a2,−b2,−c2,−d2) ||} .


Definicao 4.11. Um grupo Fuchsiano e um subgrupo discreto de PSL (2,R).

Proposicao 4.12. Seja Γ um subgrupo de PSL (2,R). Os itens a seguir sao equivalentes.

(i) Γ e um grupo Fuchsiano;

(ii) O elemento identidade de Γ e isolado.

Definicao 4.13. Seja Γ um grupo Fuchsiano. Uma regiao fundamental F para Γ e um

subconjunto aberto de H2 tal que

(i)⋃γ∈Γ γ

(F)

= H2;

(ii) γ1 (F ) ∩ γ2 (F ) = ∅ se γ1, γ2 ∈ Γ, γ1 6= γ2.

A famılia {γ (F ) ; γ ∈ Γ} e chamada de tesselacao de H2, ou seja, a imagem de uma

regiao fundamental por um grupo Fuchsiano e uma tesselacao de H2.

Definicao 4.14. Seja Γ um grupo Fuchsiano e z1 ∈ H2 tal que γ(z1) 6= z1 para todo γ ∈

Γ \ {I}. Entao Dz1(Γ) = {z ∈ H2; d(z, z1) ≤ d (z, γ(z1)) ,∀γ ∈ Γ} e uma regiao fundamental

de Γ, chamada de regiao de Dirichlet.

4.1.1 Tesselacoes Regulares

Uma tesselacao regular do Plano Euclidiano ou Hiperbolico, e uma cobertura de todo o plano

por polıgonos regulares, todos com o mesmo numero de lados, sem superposicoes de tais

polıgonos, encontrando-se somente ao longo de arestas completas ou em vertices. Denotamos

uma tesselacao regular por {p, q}, onde q polıgonos regulares com p lados encontram-se em

cada vertice. Em particular, se p = q a tesselacao e dita auto-dual.

Dada uma tesselacao regular {p, q}, o angulo interno de um p-gon em um vertice mede

2π/q, e se considerarmos o polıgono dividido em p triangulos, entao o angulo que esta no cen-

tro do polıgono mede 2π/p, enquanto os demais angulos do triangulo medem π/q. Portanto,


no caso Euclidiano, temos que:

2π

p+

2π

q= π ⇔

2

p+

2

q= 1 ⇔

2q + 2p = pq ⇔

(p− 2) (q − 2) = 4.

Existem apenas tres solucoes reais para esse sistema de equacao, ou seja, no plano Euclidi-

ano existem apenas tres tesselacoes regulares. A tesselacao formada por triangulos equilateros

{3, 6}, por quadrados {4, 4} e por hexagonos regulares {6, 3}.

Na geometria hiperbolica a situacao e diferente, pois existem infinitas tesselacoes por

polıgonos regulares. O seguinte teorema nos garante isso.

Teorema 4.15. Existe uma tesselacao do plano hiperbolico por p-gons hiperbolicos regulares

com q polıgonos se encontrando em cada vertice se, e somente se,

1

p+

1

q<

1

2.

Fazendo as mesmas contas que anteriormente, teremos que (p− 2) (q − 2) > 4. Como

existem infinitas solucoes para esse sistema de inequacao, temos que, existem infinitas tes-

selacoes regulares no plano hiperbolico.

O polıgono regular hiperbolico que servira de modelo planar da superfıcie, denotado por

P ′, e o polıgono com p′ lados, onde q′ polıgonos com p′ arestas encontram-se em cada vertice.

Considere uma tesselacao regular, se contarmos as q arestas em cada um dos V vertices,

teremos contado cada aresta dessa tesselacao duas vezes, ou seja, qV = 2E. Do mesmo

modo, se contarmos todas as p arestas correspondendo ao bordo de cada uma das F faces,

teremos contado cada aresta dessa tesselacao duas vezes, ou seja, pF = 2E. Portanto,

qV = 2E = pF. (4.11)

4.1.2 Emparelhamento de Lados

Podemos obter qualquer superfıcie topologica compacta a partir de um polıgono P ′ por pares

de arestas identificadas.


Para entender melhor, considere Γ um grupo Fuchsiano e seja D = D(p) um polıgono de

Dirichlet para Γ. Assumimos que D tem finitos lados. Seja s um lado de D e suponha que

para algum γ ∈ Γ \ {I}, temos que γ(s) tambem e um lado de D. Note que γ−1 ∈ Γ \ {I}

leva o lado γ(s) em s.

Dizemos que os lados s e γ(s) estao emparelhados e chamamos γ de uma transformacao

de emparelhamento de lados.

Um lado de D e uma aresta com orientacao, isto e, comeca em um vertice e termina em

outro. Como γ sao isometrias que preservam a orientacao, entao γ(s) tem mesma orientacao

que s.

Cada vertice v de D e levado a outro vertice de D sobre uma transformacao de empa-

relhamento de lados associado ao lado com extremidade em v. E cada vertice v de D e

extremidade de dois lados de D, s e ∗s. Denotamos por (v, s) um vertice v e um lado s de

D com extremidade v, e por (v, ∗s) o par do vertice v e o outro lado ∗s com extremidade v.

Considere o seguinte procedimento:

(i) Seja v = v0 um vertice de D e seja s0 um lado com uma extremidade em v0. Seja γ1

uma transformacao de emparelhamento de lados associada ao lado s0. Assim γ1 leva

s0 a um outro lado s1 de D;

(ii) Sejam s1 = γ1(s0) e v1 = γ1(v0). Isso fornece um novo par (v1, s1);

(iii) Agora considere o par (v1, ∗s1). Esse e o par consistindo do vertice v1 e o lado ∗s1;

(iv) Seja γ2 a transformacao de emparelhamento de lados associada ao lado ∗s1. Entao,

γ2(∗s1) e um lado s2 de D e γ2(v1) = v2, um vertice de D;

(v) Repita o processo acima indutivamente.

Assim, obtemos uma sequencia de pares de vertices e lados: v0

s0

→ v1

s1

→ v1

∗s1

→ v2

s2

→ · · · vi

si

→ vi

∗si

→ vi+1

si+1

→ · · ·


Como existe um numero finito de pares (v, s), esse processo de aplicacao de uma trans-

formacao de emparelhamento de lados seguida de uma aplicacao ∗ deve eventualmente retor-

nar ao par inicial (v0, s0).

Definicao 4.16. Considere n > 0 o menor inteiro para o qual (vn, ∗sn) = (v0, s0). A

sequencia de vertices ε = v0 → v1 → · · · → vn−1 e chamado de ciclo de vertices, e a

transformacao γnγn−1 · · · γ2γ1 e chamada uma transformacao de ciclo elıptico.

Como a quantidade de pares de vertices e lados e finita, entao existe apenas uma quan-

tidade finita de ciclos de vertices e transformacoes de ciclos elıpticos. Na Figura 4.2, vemos

um exemplo de emparelhamento de lados.

Figura 4.2: Exemplo de emparelhamento de lados de um octogono hiperbolico.

Um emparelhamento de lados de P ′ define um espaco de identificacao SP ′ no qual existe

uma funcao distancia que coincide com a distancia hiperbolica, para regioes suficientemente

pequenas no interior de P ′, tornando-o uma superfıcie hiperbolica quando os angulos de cada

ciclo de vertices somam 2π.

Se um polıgono e uma regiao fundamental para Γ, entao uma superfıcie compacta H2/Γ

e o espaco de identificacao desse polıgono. Uma condicao necessaria e suficiente para um

polıgono ser regiao fundamental e a seguinte:

Teorema 4.17. (Condicao de lado e angulo) Se um polıgono compacto P ′ e regiao funda-

mental para um grupo de isometrias que preservam a orientacao Γ de S2, R2 ou H2, entao

4.2 Construcao dos Codigos 66

(i) Para cada lado s de P ′ existe um unico lado s′ de P ′ tal que s′ = γ(s), para γ ∈ Γ;

(ii) Dado um emparelhamento de lados de P ′, para cada conjunto de vertices identificados,

a soma dos angulos deve ser igual a 2π. Esse conjunto e um ciclo de vertices.

Teorema 4.18. (Poincare) Um polıgono compacto P ′ satisfazendo as condicoes de lado e

angulo e uma regiao fundamental para o grupo Γ gerado pelas transformacoes de emparelha-

mento de lados de P ′, e Γ e grupo Fuchsiano.

4.2 Construcao dos Codigos

Como visto na Secao 3.3, as tesselacoes necessarias para gerar os codigos quanticos coloridos

devem ser trivalentes e 3-colorıveis. Para o plano euclidiano existem tres tesselacoes trivalen-

tes e 3-colorıveis formadas por polıgonos regulares, sendo {6, 6, 6} uma tesselacao regular e

{4, 8, 8} e {4, 6, 12} tesselacoes semirregulares, onde a notacao {p, q, r} indica uma tesselacao

trivalente, formada por tres polıgonos regulares, sendo um de p lados, outro de q lados e o

ultimo de r lados. Em cada vertice da tesselacao encontram-se esses tres polıgonos, nessa

mesma ordem, quando se percorre no sentido anti-horario.

Como agora estamos trabalhando em superfıcies compactas com g ≥ 2 e a geometria

usada e a hiperbolica, temos pelo Teorema 4.15 que existem infinitas tesselacoes do plano

hiperbolico por polıgonos hiperbolicos {p, q}, onde p e q satisfazem (p−2)(q−2) > 4. Mesmo

considerando apenas as tesselacoes trivalentes regulares {p, 3} teremos infinitas tesselacoes

do plano hiperbolico, com p > 6.

Nem todas as tesselacoes trivalentes sao 3-colorıveis, como por exemplo, a tesselacao

{9, 3}, que pode ser vista na Figura 4.3. Qualquer tesselacao que tenha um polıgono com

uma quantidade ımpar de lados nao sera 3-colorıvel. Assim, tesselacoes da forma {p, 3} onde

p > 6 e par, e usada como subtesselacao do plano hiperbolico para tesselar o polıgono que

sera usado de modelo plano da superfıcie.

Podemos classificar a tesselacao do plano hiperbolico cuja face gera uma superfıcie com-

pacta atraves de seu genero, como por exemplo: {4g, 4g}, {4g + 2, 2g + 1}, {8g − 4, 4},

{12g − 6, 3}, entre outros. Independente de qual desses modelos e usado, obtemos a su-


Figura 4.3: Tesselacao do plano hiperbolico pelo polıgono {9, 3}. E uma tesselacao trivalente,

mas nao e 3-colorıvel.

perfıcie de genero g desejada de acordo com a transformacao de emparelhamento de lados

do polıgono. Porem, na construcao dos codigos quanticos coloridos em superfıcies compac-

tas com g ≥ 2, se fez uso apenas do modelo {4g, 4g}, pois ele utiliza transformacoes que

emparelham lados opostos do polıgono (γ(si) = si+2g).

Como pode ser visto em [3], os polıgonos hiperbolicos que sao usados como modelos planos

para a superfıcie de genero g ≥ 2 sao chamados de polıgonos fundamentais.

Considere P ′ um polıgono fundamental que gera o g-toro. Tesselando P ′ por polıgonos

hiperbolicos regulares P , da forma {p, 3}, vamos determinar quantos polıgonos P sao ne-

cessarios para cobrir exatamente a area de P ′, ou seja, vamos determinar a solucao de

µ (P ′) = nfµ(P ), (4.12)

onde µ(P ′) denota a area de P ′, µ(P ) denota a area de P e nf e o numero de faces da

tesselacao {p, 3}, com p > 6.

Pelo Teorema de Gauss-Bonnet, a area de uma superfıcie M gerada por um polıgono P ′


do tipo {p′, q′} e dada por

µ(M) = µ(P ′) (4.13)

= p′(π − 2π

p′− 2π

q′

)(4.14)

= −2π

(p′

q′− p′

2+ 1

)(4.15)

= −2π (V − E + F ) (4.16)

= −2πχ (M) (4.17)

= −2π(2− 2g) (4.18)

= 4π(g − 1). (4.19)

Em (4.16) usamos o fato de q′V = 2E = p′F , visto em (4.11). Como temos uma unica

face, que e P ′, entao F = 1, logo E = p′

2e V = p′

q′.

Usando a equacao anterior e novamente o Teorema de Gauss-Bonnet, temos em (4.12)

que

nf =µ (P ′)

µ (P )

=4π(g − 1)

p(π − 2π

p− 2π

3

)=

4 · 3(g − 1)

3p− 2p− 2 · 3.

Portanto,

nf =12(g − 1)

p− 6, com p > 6. (4.20)

4.2.1 Determinando os Parametros dos Codigos

Primeiramente, iremos apresentar como determinar a distancia d do codigo em uma tesselacao

por polıgonos {p, 3}. Lembrando que a distancia de um codigo colorido e o numero de qubits

no suporte de um ciclo hologicamente nao-trivial da tesselacao, olhando para a tesselacao

reduzida.

Utilizando trigonometria hiperbolica, que pode ser visto em [2], [3], apresentaremos um

limitante inferior para a distancia mınima dos codigos gerados pelas tesselacoes {p, 3} da


seguinte forma:

Sabemos que a distancia mınima do codigo depende de um caminho sobre arestas e faces

da tesselacao. Desse modo o comprimento hiperbolico de um caminho qualquer sobre arestas

e faces da tesselacao, ligando lados opostos de um polıgono, e maior que o comprimento

hiperbolico de uma geodesica ligando esses mesmos lados. Assim, iremos primeiramente

determinar o comprimento hiperbolico da geodesica ligando lados opostos do polıgono P ′.

Em seguida, vamos determinar um limitante superior para o comprimento de uma aresta

da tesselacao reduzida, que e dado pela soma do comprimento hiperbolico de uma aresta da

tesselacao {p, 3} e do dobro do comprimento hiperbolico do raio da circunferencia circunscrita

a um polıgono da tesselacao {p, 3}. Podemos ver um exemplo desse limitante na Figura 4.4.

Figura 4.4: Uma aresta da tesselacao reduzida verde de uma tesselacao {8, 3}.

Com o comprimento hiperbolico da geodesica ligando lados opostos do polıgono P ′ e o

limitante superior para o comprimento de uma aresta da tesselacao reduzida, determinaremos

um limitante inferior para o numero de arestas da tesselacao reduzida contida em um ciclo

homologicamente nao trivial pertencente a tesselacao de P ′ por meio de polıgonos {p, 3}. Por

fim, com esse limitante inferior determinaremos um limitante inferior para d.

Desse modo, seja P ′ um polıgono fundamental, onde P ′ e da forma {4g, 4g}. Conside-

rando um emparelhamento por lados opostos e utilizando trigonometria hiperbolica, vamos


determinar a distancia hiperbolica entre os lados emparelhados de P ′, a qual denotaremos

por dh.

O calculo e feito da seguinte maneira.

Figura 4.5: dh = 2a.

Considere o polıgono P ′ da Figura 4.5. Temos que a geodesica ortogonal comum aos

lados emparelhados e uma parte do diametro de um cırculo circunscrito em P ′, passando

pelos pontos medios dos lados emparelhados. Assim, temos que

dh = 2a. (4.21)

Utilizando trigonometria hiperbolica em triangulos hiperbolicos com um angulo de π/2,

temos que

cosh a sin β = cosα ⇔

cosh a =cosα

sin β⇔

a = arccosh

[cosα

sin β

],

onde α e β sao angulos opostos aos lados a e b, respectivamente. Nesse caso, α = β = π/4g.

Logo

a = arccosh

[cos (π/4g)

sin (π/4g)

].


Portanto,

dh = 2a = 2arccosh

[cos (π/4g)

sin (π/4g)

]. (4.22)

Nosso objetivo agora, e determinar um limitante superior para o comprimento de uma

aresta da tesselacao reduzida.

Seja lp,3 o comprimento hiperbolico de cada aresta de uma tesselacao de P ′ por polıgonos

hiperbolicos P do tipo {p, 3}. Considere a Figura 4.6 como sendo um polıgono hiperbolico

da tesselacao {p, 3}. Vamos determinar o valor de c.

Usando a segunda lei dos cossenos, temos que

cosh c =cosα cos β + cos γ

sinα sin β,

onde α, β e γ sao os angulos opostos aos lados a, b e c, respectivamente.

Note que α = β = π/3 e γ = 2π/p. Logo,

cosh c =cos (π/3) cos (π/3) + cos (2π/p)

sin (π/3) sin (π/3)

=cos2 (π/3) + cos (2π/p)

sin2 (π/3).

Portanto,

lp,3 = c = arccosh

[cos2 (π/3) + cos (2π/p)

sin2 (π/3)

]. (4.23)

Figura 4.6: lp,3 = c.


Agora vamos determinar o dobro da distancia do raio da circunferencia hiperbolica cir-

cunscrita ao polıgono hiperbolico P , de tesselacao {p, 3}, a qual denotamos por Dp,3.

Considere o polıgono da Figura 4.7. Note que Dp,3 = 2b. Logo, usando a segunda lei dos

cossenos para b, temos que

cosh b =cosα cos γ + cos β

sinα sin γ,

onde α, β e γ sao os angulos opostos aos lados a, b e c, respectivamente. Como β = π/2,

entao

cosh b =cos (π/3) cos (π/p)

sin (π/3) sin (π/p)⇒ b = arccosh

[cos (π/p) cos (π/3)

sin (π/p) sin (π/3)

].

Portanto,

Dp,3 = 2arccosh

[cos (π/p) cos (π/3)

sin (π/p) sin (π/3)

]. (4.24)

Figura 4.7: Dp,3 = 2b.

Com lp,3 e Dp,3 determinamos um limitante superior para o comprimento de uma aresta da

tesselacao reduzida, a qual denotaremos por ARp,3, somando o comprimento de uma aresta

da tesselacao com o diametro da circunferencia circunscrita a um polıgono dessa tesselacao.

Portanto,

ARp,3 = lp,3 +Dp,3. (4.25)

Utilizando esse comprimento e dh, calculamos um limitante inferior para o numero de


arestas da tesselacao reduzida contida em um ciclo homologicamente nao-trivial pertencente

a tal tesselacao, a qual denotamos por na.

Temos que

na >dh

ARp,3

. (4.26)

Assim, um limitante inferior para a distancia mınima do codigo, d, e determinado por

d = 2d dhARp,3

e. (4.27)

Sabemos que a quantidade de qubits codificados k, nos codigos quanticos coloridos e

k = 4g e determinamos o numero de qubits fısicos n, utilizando

n =p · nf

3. (4.28)

4.2.2 Codigos Gerados

Agora iremos apresentar os codigos quanticos gerados nas superfıcies compactas de genero

g ≥ 2 ate g = 9, utilizando a construcao que acabamos de apresentar.

Mostraremos tambem que o limite quantico de Singleton, que pode ser visto em [24], e

satisfeito, onde esse limite pode ser escrito em funcao dos parametros do codigo na forma

n− k − 2d ≥ −2. Iremos calcular tambem a taxa de codificacao k/n em cada superfıcie.

Para o bitoro, ou seja, g = 2, temos que a quantidade de faces nf e:

nf =12(2− 1)

p− 6=

12

p− 6, onde p > 6.

Como os divisores de 12 sao: 1, 2, 3, 4, 6 e 12, temos que:

p− 6 = 1⇒ p = 7 p− 6 = 4⇒ p = 10

p− 6 = 2⇒ p = 8 p− 6 = 6⇒ p = 12

p− 6 = 3⇒ p = 9 p− 6 = 12⇒ p = 18

Como ja foi observado, p e par, assim, descartamos p = 7 e p = 9. Tambem descartamos

os polıgonos com 12 e 18 lados, pois geram tesselacoes com menos de 3 faces, que nao sao

3-colorıveis.

Considerando os polıgonos {8, 3} e {10, 3} que tesselam o bitoro, temos que:


• Para a tesselacao {8, 3}.

nf =12

8− 6=

12

2= 6;

l8,3 = arccosh

[cos2(π/3) + cos(2π/8)

sin2(π/3)

]∼= 0, 72704;

D8,3 = 2arccosh

[cos(π/8) cos(π/3)

sin(π/8) sin(π/3)

]∼= 1, 72141.

Logo,

AR8,3 = l8,3 +D8,3∼= 2, 44845.

Agora podemos calcular a distancia mınima do codigo, onde

dh = 2arccosh

[cos(π/8)

sin(π/8)

]∼= 3, 05714. (4.29)

Assim,

d = 2d dhAR8,3

e = 4.

Temos tambem que k = 4 · 2 = 8 e n = 8·63

= 16. Portanto, esse codigo possui

parametros [[16, 8, 4]].

Observer que n − k − 2d = 16 − 8 − 8 = 0 ≥ −2, satisfazendo o limite quantico de

Singleton. E k/n = 8/16 = 0, 5.

• Para a tesselacao {10, 3}.

nf =12

10− 6=

12

4= 3;

l10,3 = arccosh

[cos2(π/3) + cos(2π/10)

sin2(π/3)

]∼= 0, 87918;

D10,3 = 2arccosh

[cos(π/10) cos(π/3)

sin(π/10) sin(π/3)

]∼= 2, 35466.

Logo,

AR10,3 = l10,3 +D10,3∼= 3, 23384. (4.30)

Por (4.29) e (4.30) temos que

d = 2d dhAR10,3

e = 2.


Temos tambem que k = 4 · 2 = 8 e n = 10·33

= 10. Portanto, esse codigo possui

parametros [[10, 8, 2]].

Observer que n − k − 2d = 10 − 8 − 4 = −2 ≥ −2, satisfazendo o limite quantico de

Singleton. Note que nesse caso ocorreu a saturacao do limite quantico de Singleton. Ja

a taxa de codificacao e k/n = 8/10 = 0, 8.

Para os demais generos, g = 3 a g = 9, apresentamos os codigos gerados por esse metodo

nas tabelas a seguir.

{p, q} nf ARp,q dh/ARp,q [[n, k, d]] LQS k/n

{8, 3} 12 2,44845 1,62687 [[32, 12, 4]] 12 0,37500

{10, 3} 6 3,23384 1,23176 [[20, 12, 4]] 0 0,60000

{14, 3} 3 4,15197 0,95938 [[14, 12, 2]] -2 0,85714

Tabela 4.1: Parametros dos codigos coloridos gerados no 3-toro segundo cada tesselacao,

onde dh ∼= 3, 98330.



{8, 3} 18 2,44845 1,87710 [[48, 16, 4]] 24 0,33333

{10, 3} 9 3,23384 1,42122 [[30, 16, 4]] 6 0,53333

{12, 3} 6 3,75563 1,22376 [[24, 16, 4]] 0 0,66667

{18, 3} 3 4,74604 0,96838 [[18, 16, 2]] -2 0,88889


onde dh ∼= 4, 59599.


{8, 3} 24 2,44845 2,06624 [[64, 20, 6]] 32 0,31250

{10, 3} 12 3,23384 1,56442 [[40, 20, 4]] 12 0,50000

{14, 3} 6 4,15197 1,21848 [[28, 20, 4]] 0 0,71429

{22, 3} 3 5,19193 0,97441 [[22, 20, 2]] -2 0,90909


onde dh ∼= 5, 05909.


{8, 3} 30 2,44845 2,21885 [[80, 24, 6]] 44 0,30000

{10, 3} 15 3,23384 1,67997 [[50, 24, 4]] 18 0,48000

{16, 3} 6 4,47385 1,21433 [[32, 24, 4]] 0 0,75000

{26, 3} 3 5,55117 0,97867 [[26, 24, 2]] -2 0,92308


onde dh ∼= 5, 43275.



{8, 3} 36 2,44845 2,34697 [[96, 28, 6]] 56 0,29167

{10, 3} 18 3,23384 1,77697 [[60, 28, 4]] 24 0,46667

{12, 3} 12 3,75563 1,53009 [[48, 28, 4]] 12 0,58333

{14, 3} 9 4,15197 1,38403 [[42, 28, 4]] 6 0,66667

{18, 3} 6 4,74604 1,21079 [[36, 28, 4]] 0 0,77778

{30, 3} 3 5,85296 0,98180 [[30, 28, 2]] -2 0,93333


onde dh ∼= 5, 74645.

{p, q} nf ARp,q dh/lp,q [[n, k, d]] LQS k/n

{8, 3} 42 2,44845 2,45747 [[112, 32, 6]] 68 0,28571

{10, 3} 21 3,23384 1,86063 [[70, 32, 4]] 30 0,45714

{20, 3} 6 4,98250 1,20763 [[40, 32, 4]] 0 0,80000

{34, 3} 3 6,11364 0,98419 [[34, 32, 2]] -2 0,94118


onde dh ∼= 6, 01700.

{p, q} nf lp,q dh/lp,q [[n, k, d]] LQS k/n

{8, 3} 48 2,44845 2,55465 [[128, 36, 6]] 80 0,28125

{10, 3} 24 3,23384 1,93422 [[80, 36, 4]] 36 0,45000

{14, 3} 12 4,15197 1,50650 [[56, 36, 4]] 12 0,64286

{22, 3} 6 5,19193 1,20474 [[44, 36, 4]] 0 0,81818

{38, 3} 3 6,34331 0,98607 [[38, 36, 2]] -2 0,94737


onde dh ∼= 6, 25495.


Observando as tabelas percebemos que a distancia mınima obtida com esses codigos e

d ≥ 2. Veja que os parametros variam bastante conforme mudamos o tipo de tesselacao e

que a ultima linha de todas as tabelas apresentadas possuem um codigo que satura o limite

quantico de Singleton. Por fim, note que esses codigos que saturam o limite quantico de

Singleton, apresentam a maior taxa de codificacao k/n em cada superfıcie.

4.2.3 Uma Famılia Obtida Fixando d Par

Vamos fixar a distancia mınima do codigo que queremos gerar, como sendo um numero par,

d = 2r, onde r ≥ 1 inteiro. Podemos gerar a famılia de codigos utilizando a construcao que

acabamos de ver.

Pensando, por exemplo, na tesselacao reduzida vermelha. Como d = 2r, temos r arestas

conectadas e, logo, r vertices. Como cada vertice representa uma face vermelha da tesselacao,

temos que a quantidade de faces vermelhas e igual a r. Por estarmos trabalhando com

tesselacoes da forma {p, 3}, onde os lados de nossos polıgonos sao todos iguais, temos que

a quantidade de faces vermelhas, verdes e azuis sao iguais. Assim, temos 3r faces nessa

tesselacao. Desse modo, nf = 3r, e com isso

nf =12(g − 1)

p− 6⇒

3r =12(g − 1)

p− 6⇔

(p− 6)r = 4(g − 1) ⇔

p =4(g − 1) + 6r

r.

Portanto,

n =p · nf

3⇒

n =4(g−1)+6r

r· 3r

3= 4(g − 1) + 6r = 6r − 4 + 4g

Mostrando que independente o genero g ≥ 2 considerado, conseguimos criar um codigo

com a distancia mınima fixada d = 2r, com r ≥ 1 inteiro. Os parametros do codigo ficam da


seguinte forma:

[[6r − 4 + 4g, 4g, 2r]].

Essa famılia de codigos apresenta uma otima propriedade, que e

limn→∞

k

n= 1.

Em [29], os autores fixaram d = 4 e obtiveram os parametros [[8 + 4g, 4g, 4]], ou seja,

consideraram r = 2 no procedimento que acabamos de descrever.

Consideracoes Finais

Nesta dissertacao, abordamos varios codigos quanticos corretores de erros desenvolvidos ao

longo dos anos e abordamos detalhamente a construcao dos codigos quanticos coloridos em

superfıcies compactas com genero g maior ou igual a dois, apresentando os parametros dos

codigos obtidos para g maior ou igual a dois e menor ou igual a nove, e apresentamos uma

famılia de codigos quanticos obtida fixando a distancia mınima do codigo.

Em relacao a trabalhos futuros, pode-se analisar nos codigos quanticos coloridos em su-

perfıcies compactas com genero g maior ou igual a dois, se existem famılias de codigos que

se destacam com algum aspecto em particular, como por exemplo, a taxa de codificacao k/n

tender a 1 quando n tende ao infinito.

Podemos trabalhar nesses mesmos codigos a questao da decodificacao, que vem sendo

bastante trabalhada nos ultimos anos.

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codigos qu anticos coloridos em superf^ icies … · a minha m~ae iria mazetto brizola e meu pai...

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