cálculo vetorial. 14/03/2013 professor: wildson cruz · pdf fileestudamos os vetores do...

14/03/2013 Cálculo Vetorial.

Professor: Wildson Cruz



Estudamos os vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de reta orientado. E agora vamos mostrar uma outra forma de representá-los: os segmentos orientados estarão relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço.



TRATAMENTO ALGÉBRICO

Vetores no plano

Considere dois vetores v1 e v2 não paralelos, representados com a origem no mesmo ponto O, sendo r1 e r2 retas representantes. Os vetores u, v, w, t, x e y , representados na figura (próximo slide) em função de v1 e v2

14/03/2013

Cálculo Vetorial. Professor: Wildson Cruz

De modo geral, dados dois vetores quaisquer v1 e v2 não–paralelos, para cada vetor representado no mesmo plano de v1 e v2, existe somente uma só dupla de números reais a1 e a2 tal que

v=a1v1+a2v2

Se o vetor v estiver representado como acima dizemos que v é uma combinação linear de v1 e v2. O par de vetores v1 e v2 não colinear, é chamado de base no plano.



O vetor a1v1 chamado projeção de v sobre v1 segunda a direção de v2. Do mesmo modo a2v2 é a projeção de v sobre v2 segundo a direção de v1



Na prática utilizamos a bases ortonormais do plano xOy. Uma base {e1 ,e2 } é dita ortonormal se seus vetores forem ortonormais e unitários, isto é, e1 e2 e e1 = e2 =1



As bases formadas pelos pontos (1,0) e (0,1) são particularmente importante. E estes vetores são simbolizados com i e j e a base { i, j } é chamada de base canônica.



Dado o vetor v = x i + y i no qual x e y são as componentes de v em relação à base { i, j }, o vetor xi é a projeção ortogonal de v sobre i (ou sobre o eixo dos x) e yj é a projeção ortogonal de v sobre j (ou sobre o eixo y). Obs. Como a projeção sempre será ortogonal, então diremos somente ortogonal.



Expressão Analítica de um Vetor

O vetor no plano é um par ordenado ( x, y) de números reais e se representa por: v=(x , y) que é a expressão analítica de v. A primeira componente x é chamada de abscissa e a segunda , ordenada. Por exemplo, em vez de escrever v= 3i - 5j, pode-se escrever v=(3,-5)



Igualdade de Vetores

Dois vetores u= (x1,y1) e v (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1=x2 e y1=y2, daí u = v

Na Prática.

O vetor w=( 3, y-1 ) , é igual ao vetor s=( x+2, 2), Dê as componentes numéricas desse vetores coloque como projeção no plano com origem em O.



O vetor x=( 3-x, 5 ) , é igual ao vetor z=( -2, y+3 ), Dê as componentes numéricas desse vetores coloque como projeção no plano com origem em O.

Atividade Rápida



OPERAÇÕES COM VETORES

Seja os vetores u= (x1,y1) e v (x2, y2) e Є R. Define-se: 1) u + v = (x1+x2 , y1+ y2) 2) u=( x1 , y1) Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e para multiplicar um número real por um vetor, multiplica-se cada componente do vetor por este número.



Considerando estes vetores , tem-se ainda: -u = (-1) u = (-x1, -y1) u – v = u + ( -v ) = (x1, y1) + (-x2 ,-y2) = ( x1-x2 ,y1 –y2) a) Para quaisquer vetor u, v e w tem-se: 1) u + v = v + u 2) (u + v) + w = u + (v + w) 3) u + 0 = u 4) u + (-u) = 0



b) Para quaisquer vetores u e v e os números reais e β , tem –se:

1) (β v) = ( β)v 2) ( u + v )= u + v 3) ( + β ) u = u + β u 4)1v = v



Exemplos: 1) Dado os vetores u = (2,-3) e v= (-1,4) determinar 3 u + 2 v e 3 u – 2 v 2)Determinar o vetor x na igualdade 3 x + 2 u = 1/2 v + x, sendo u (3,-1) e v =( - 2, 4) 3) Encontrar os números a1 e a2 tais que v = a1 v1+a2 v2, sendo v (10,2) v1 =(3,5) e v2 = (- 1, 2 )



VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS

Considere o vetor AB de origem no ponto A( x1, y1) e extremidade em B (x2, y2)



De acordo com o que já estudamos os vetores AO e OB tem expressões analíticas: AO =(x1,y1) e OB = (x2, y2) Por outro lado, o triângulo OAB da figura anterior, vem. AO + AB = OB Assim: AB = OB – AO AB = (x2, y2) - (x1,y1) AB= (x2-x1, y2-y1)



É importante ressaltar que um vetor tem infinitos

representantes que são o segmentos orientados de

mesmo comprimento, mesma direção e mesmo

sentido. E dentre os infinitos representantes do vetor

AB , o que melhor caracteriza e aquele que tem origem

em O (0,0 )e extremidade em P (x2-x1, y2-y1)

O vetor v = OP é também chamado de vetor posição ou

representante natural de AB.



Os segmentos orientados OP, AB e CD representam o mesmo vetor v = P-O = B – A= D – C = ( 3,1) OBS: Mesmo que os segmentos orientados ocupem posições diferentes, isso é irrelevante. O que importa é que eles tenha o mesmo comprimento , a mesma direção e o mesmo sentido para representarem o mesmo vetor.



Sempre que tivermos, v = AB ou v = B – A Podemos também concluir; B= A + v ou B = A + AB , o vetor transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B. Winterle Pag 25



Praticando: 1) Dados os pontos A (1 , 2) B (3, -1) e C ( -2, 4),

determinar o ponto D de modo que CD= 1/2AB

2) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor v = (2, -5) sabendo que sua origem é o ponto A (-1, 3)



Referência Winterle, Paulo . Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. Steinbruch, Alfredo, Winterle, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

cálculo vetorial. 14/03/2013 professor: wildson cruz · pdf fileestudamos os vetores do...

Documents