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CÁLCULO IProfa Juliana Canella

Aula no 01: Funções Elementares: Retas, Parábolas e Polinômios.

Objetivos da Aula

• De�nir função e conhecer os seus elementos;

• Reconhecer o grá�co de uma função;

• Listar as principais funções e seus grá�cos.

1 Funções

Consideremos A e B dois conjuntos não vazios. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento

x ∈ A um único elemento y ∈ B. O conjunto A é chamado domínio da função f , às vezes denotado

também por Df , e o conjunto B é chamado contradomínio da função f . Costuma-se representar uma

função pela seguinte notação:

f : A→ B.

Para a�rmarmos que a um determinado x ∈ A está associado a um certo y ∈ B através da função f ,utilizamos a seguinte notação:

y = f(x)

e dizemos que este y é a imagem de x por f . De�nimos também o seguinte subconjunto do contradomínio,

chamado conjunto imagem da função f :

Imf = {y ∈ B| y = f(x), x ∈ A}.

Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f . Observe quenem todo ponto do contradomínio da função necessariamente precisa ser um ponto da imagem da função.

Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de �echas, como ilustrado a seguir

Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de �echas

Observe que cada elemento do domínio está associado a um (e apenas um) elemento do contradomínio.

Por exemplo, seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e considere que

f(1) = 2

f(2) = 3

f(3) = 4

f(4) = 5

f(5) = 6

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Cálculo I Aula no 01

Note que Imf = {2, 3, 4, 5, 6}. A representação desta função pelo diagrama de �echas é feita da

seguinte forma:

Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de �echas

Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a

seguinte tabela:Dia Valor da Compra

02 2, 894203 2, 926004 2, 978705 3, 010006 3, 055009 3, 128510 3, 101511 3, 126612 3, 159013 3, 2460

Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto

D = {02, 03, 04, 05, 06, 09, 10, 11, 12, 13}

em R, uma vez que para cada dia t ∈ D, existe um único valor correspondente de V (t) = valor do dólar no

dia t.Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos

do domínio e do contradomínio, sendo isto feito por meio de tabelas de valores. Usando técnicas apropriadas,

é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela.

Contudo, tanto o diagrama de �echas quanto a tabela de valores, não são e�cientes para representar

uma função cujo domínio é um conjunto in�nito. Por isso, a representação grá�ca de uma função é a

melhor maneira de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de

representação, segue a de�nição de grá�co de uma função.

De�nição 1. Seja f : A→ B uma função. O grá�co de f , denotado por Gf , é o subconjunto do produto

cartesiano A×B dado por:

Gf = {(x, f(x)) ∈ A×B|x ∈ A}.

O grá�co de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez

que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao grá�co, é da forma y = f(x), podemos ler o

valor f(x) como sendo a �altura� do ponto no grá�co acima de x.

Profa Juliana Canella 2


Figura 3: Entendendo f(x) como uma altura do ponto x no grá�co de f .

Observe que cada ponto do grá�co equivale a uma �echa associando um elemento do domínio a um

elemento do contradomínio como na �gura abaixo:

Figura 4: Grá�co e Diagrama de Flechas

Note que a representação do grá�co de uma função como esta equivale a representar "in�nitas �echas"de

forma sintética. Essa talvez seja a característica mais genial da representação grá�ca de uma função.

O grá�co também nos permite visualizar o domínio e a imagem da função f sobre o eixo y.

Figura 5: Determinando a imagem e o domínio de um função através do seu grá�co.

Assim como no diagrama de �echas, podemos determinar se uma curva desenhada no plano cartesiano

xy é o grá�co de uma função ou não. Para isso, utilizamos o teste da reta vertical, descrito abaixo:

Uma curva no plano xy é o grá�co de uma função de x se, e somente se nenhuma reta vertical

cortar a curva mais de uma vez.

Como exemplo temos que o grá�co a seguir de uma função. Note que toda reta vertical (paralela ao

eixo y) intersecta a curva em exatamente um ponto.



Figura 6: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que é grá�co de uma função

A curva seguinte não é grá�co de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um

ponto da curva.

Figura 7: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que não é grá�co de uma função.

1.1 Restrições no domínio

Quando não especi�cado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a função

esteja de�nida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações,

pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo,

Exemplo 1. Considere a função dada por f(x) =1

x2 − 1. Determine o seu domínio.

Solução: Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais em que a função f esteja de�nida.

Para isso, observe que a função é dada pelo quociente de funções. Desta forma, a função do denominador

não pode ser igual a 0, pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos nos quais a função não está de�nida

são os valores em que zeram a função x2 − 1. Ou seja, devemos fazer

x2 − 1 6= 0⇒ x2 6= 1⇒ x 6= 1 e x 6= −1.

Portanto, o domínio da função f é o conjunto A = {x ∈ R|x 6= −1 e x 6= 1} = R \ {−1, 1}. �

Exemplo 2. Seja g(x) =4√x2 − 2x. Determine o conjunto domínio de g.

Solução: Para isso, note que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de

g devem ser os números reais tais que x2 − 2x ≥ 0. Ou seja,

x2 − 2x ≥ 0⇒ x(x− 2) ≥ 0.



Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos

Figura 8: Estudo do Sinal de x(x− 2).

Segue então que o domínio de g é o conjunto

A = {x ∈ R|x ≤ 0 ou x ≥ 2} = (−∞, 0] ∪ [2,+∞).

�

Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) =2x− 4√x3 − 8

.

Solução: No denominador agora temos uma função raiz quadrada; ou seja, os valores reais que anulam

ou que tornam a função x3 − 8 negativa não podem estar no domínio de h. Deste modo, calculamos

x3 − 8 > 0⇒ x3 > 8⇒ x >3√8⇒ x > 2

Assim, o domínio de h é o conjunto Dh = {x ∈ R|x > 2}. �

2 Funções Elementares

Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos,

a seguir, algumas funções elementares que serão muito utilizadas ao longo deste curso.

2.1 Funções Polinomiais

De�nição 2 (Função Polinomial). Uma função f cuja regra é dada por:

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a2x

2 + a1x+ a0

na qual n é um número inteiro não negativo e an, an−1, an−2, ..., a2, a1, a0 são números reais (ou constantes)

chamados de coe�cientes do polinômio, é chamada polinomial. O número inteiro n é chamado grau do

polinômio.

Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito co-

nhecidas e que já foram amplamente discutidas no ensino médio. A seguir, mostraremos algumas dessas

funções e seus respectivos grá�cos.

Exemplo 4 (Função Polinomial do 1o Grau ou Função A�m). A função polinomial do 1o grau (ou simples-

mente função do 1o grau) é toda função que associa a cada número real x o valor numérico do polinômio

ax + b, com a 6= 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coe�ciente angular e

coe�ciente linear. No caso em que a = 0, a função é chamada constante. Simbolicamente:

f : R → Rx 7→ ax+ b



O grá�co da funçãof(x) = ax+ b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. A depender do valor

de a, a função f pode ser dita crescente (para a > 0) ou decrescente (para a < 0). Observe, a seguir, o

grá�co da função do 1o grau.

Figura 9: Grá�cos da Função A�m. À esquerda, temos o grá�co de uma função crescente e à direita,o grá�co de uma função decrescente.

Exemplo 5 (Função Polinomial do 2o Grau ou Função Quadrática). A função polinomial do 2o grau (ou

simplesmente função do 2o grau) é de�nida por:

f : R → Rx 7→ ax2 + bx+ c,

com a 6= 0. O grá�co desta função é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y.Se o coe�ciente de x2 for positivo (a > 0), a parábola tem concavidade voltada para cima, enquanto

que, se o coe�ciente de x2 for negativo (a < 0), a parábola tem concavidade voltada para baixo.

Observe, a seguir o grá�co da função do 2o grau:

Figura 10: Grá�cos da Função Quadrática. À esqueda, temos o grá�co de uma função quadrática coma > 0 e à direita, o grá�co de uma função quadrática com a < 0.

Na função quadrática, a interseção do grá�co com o eixo de simetria é um ponto chamado vértice. Este

ponto pode ser considerado máximo (quando a parábola tem concavidade voltada para baixo) ou mínimo

(quando a parábola tem concavidade voltada para cima).



Exemplo 6 (Função Polinomial do 3o Grau ou Função Cúbica). A função polinomial do 3o grau (ou

simplesmente função do 3o grau) é de�nida por:

f : R → Rx 7→ ax3 + bx2 + cx+ d,

com a 6= 0.

O grá�co de uma função cúbica será apresentado a seguir.

Figura 11: Grá�co de uma função polinomial do 3o grau.

2.2 Funções Racionais

De�nição 3 (Função Racional). Uma função racional f é a razão de dois polinômios:

f(x) =P (x)

Q(x),

em que P (x) e Q(x) são polinômios reais em x.O domínio da função f(x) consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 6= 0.

Exemplo 7. A função f(x) =x− 1

x+ 1é uma função racional, cujo domínio R \ {−1}. Observe o grá�co:

Figura 12: Grá�co da Função f(x) =x− 1

x+ 1.



Exemplo 8. A função f(x) =(x2 + 3x− 4)(x2 − 9)

(x2 + x− 12)((x+ 3)é racional e seu domínio é R \ {−4,−3, 3}. Observe

o grá�co:

Figura 13: Grá�co da Função f(x) =(x2 + 3x− 4)(x2 − 9)

(x2 + x− 12)((x+ 3).

2.3 Função Potência

De�nição 4 (Função Potência). Uma função da forma:

f(x) = xα,

na qual α é uma constante, é chamada função potência.

Observe que se α = 1, 2, 3, ..., a função potência é uma função polinomial. Se α = 1/n, com n positivo,

dizemos que a função é do tipo raiz e se n é negativo note que a função é do tipo racional.

Exemplo 9. A função f(x) =√x é uma função raiz, onde α = 1/2. Observe o grá�co:

Figura 14: Grá�co da Função f(x) =√x.

Observe que essa função só está de�nida para x ≥ 0, ou seja, Df = R+.

Exemplo 10. A função f(x) =1

xé uma função potência. Seu grá�co é um tipo de curva denominada

hipérbole cujo domínio são os reais não nulos, i.e., R∗.



Figura 15: Grá�co da Função f(x) =1

x.

Observação 1. Uma função f é dita algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas

(soma, multiplicação, divisão e extração de raízes) envolvendo a função identidade e funções constantes.

As funções não algébricas são chamadas de transcendentes. Como exemplo de funções transcendentes,

podemos citar as funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas, que serão apresentadas a seguir.

2.4 Funções De�nidas por Partes

As funções de�nidas por expressões algébricas distintas em diferentes partes de seus domínios são cha-

madas funções de�nidas por partes. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 11. Seja a função de�nida por:

f(x) =

{x2, se, x ≥ −1

1− x, se, x < −1

O domínio desta função é R e como imagem, o intervalo [0,+∞). Gra�camente:

Figura 16: Grá�co de f(x).

O próximo exemplo pode ser visto como uma função de�nida por partes; é a chamada função modular.



Exemplo 12 (Função Modular). Seja:

f(x) = |x| ={

x, se, x ≥ 0−x, se, x < 0

O grá�co da função modular é:

Figura 17: Grá�co de f(x) = |x|.

Observe que o domínio da função modular é o conjunto R e a imagem desta função é o conjunto R+.

Exemplo 13 (Função Heaviside). A Função Heaviside, muito utilizada na eletricidade para representar

chaves que ligam e desligam, é de�nida por:

H(t) =

{0, se, t < 01, se, t ≥ 0

Note que o domínio desta função é R e a imagem é o conjunto {0, 1}, formado apenas de dois elementos.

Representamos gra�camente esta função a seguir.

Figura 18: Grá�co de H(t).

Exemplo 14 (Função Maior Inteiro ou Função Escada). A função maior inteiro denotada entre colchetes e

de�nida por:

f(x) = [x], ∀x ∈ R

representa o maior inteiro que é menor que ou igual a x. Atribuindo alguns valores para x, ela tem como

imagem números inteiros. Por exemplo: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [−1, 75] = −2, [−0, 4] = −1, [π] = 3, etc.Gra�camente, temos:



Figura 19: Grá�co da Função Maior Inteiro.

Resumo

Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.

Aprofundando o conteúdo

Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.1, 1.2 e 1.6 do livro texto.

Dica importante

Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar grá�cos de funções e

veri�car os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como o teste da reta vertical.


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