cálculo diferencial e integral -...

Kely Diana Villacorta VillacortaFelipe Antonio Garcia Moreno

Clculo Diferencial e Integral

Editora da UFPBJoo Pessoa

2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARABA

Reitora Vice-Reitor

Pr-reitora de graduao

MARGARETH DE FTIMA FORMIGA MELO DINIZEDUARDO RAMALHO RABENHORSTARIANE NORMA DE MENESES S

Diretor da UFPB Virtual Diretor do CI

JAN EDSON RODRIGUES LEITEGUIDO LEMOS DE SOUZA FILHO

EDITORA DA UFPB

Diretora Superviso de Editorao

Superviso de Produo

IZABEL FRANA DE LIMAALMIR CORREIA DE VASCONCELLOS JNIORJOS AUGUSTO DOS SANTOS FILHO

CURSO DE LICENCIATURA EM COMPUTAO A DISTNCIACoordenador

Vice-coordenadoraLUCIDIO DOS ANJOS FORMIGA CABRALDANIELLE ROUSY DIAS DA SILVA

Conselho EditorialProf Dr. Lucdio Cabral (UFPB)Prof Dr. Danielle Rousy (UFPB)Prof. Ms. Eduardo de Santana Medeiros Alexandre (UFPB)

V712c VILLACORTA, Kely Diana Villacorta.

Clculo diferencial e integral / Kely Diana Villacorta Villacorta, Felipe Antonio Garcia Moreno; editor: Eduardo de Santana Medeiros Alexandre. 1 Edio Revisada. Joo Pessoa: Editora da UFPB, 2014.

283. : il. ISBN: 978-85-237-0908-2

Curso de Licenciatura em Computao na Modalidade Distncia. Universidade Federal da Paraba.

1. Clculo diferencial. 2. Clculo integral. 3. Clculo. 4. Anlise matemtica. I. Ttulo.

CDU: 517.2/.3Todos os direitos e responsabilidades dos autores.

EDITORA DA UFPBCaixa Postal 5081 Cidade Universitria Joo Pessoa Paraba BrasilCEP: 58.051 970 http://www.editora.ufpb.br

Impresso no BrasilPrinted in Brazil



i


Sumrio

1 Nmeros Reais 1

1.1 Sistema dos Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Adio e Multiplicao de Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Subtrao e Diviso de Nmeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Relao de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Equaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Desigualdades e Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Inequaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Resolvendo Inequaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1.1 Inequaes de Primeiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1.2 Inequaes de Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1.3 Inequaes Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1.4 Inequaes Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1.5 Inequaes Exponenciais envolvendo Polinmios . . . . . . . . . 20

1.4.1.6 Inequaes Irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.6 Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.8 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Funes 40

2.1 Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1 Translaes e reflexes de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.2 Funes comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.1.3 Funo par e funo mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1.4 Funo peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.5 Funo crescente e funo decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.6 Funo definida por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

ii


2.2 Funo injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.2.1 Operaes com funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.3 Composio de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4 Funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.5 Recapitulando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Referncias 65

3.1 Referncias Bibliogrficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 ndice Remissivo 66

iii


Prefcio

BAIXANDO A VERSO MAIS NOVA DESTE LIVRO

Acesse https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases paraverificar se h uma verso mais o Histrico de revises, na incio do livro, para verifi-car o que mudou entre uma verso e outra.

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes do Curso de Licenciaturaem Computao a Distncia um material didtico de fcil entendimento dos fundamentos de umcurso de Clculo Diferencial e Integral. Temos nos esforado em apresentar o clculo de forma noto rigorosa, isto , neste livro focamos no uso da teoria e suas propriedades e no nos aprofundamosnas demonstraes destas. Priorizamos o uso do desenvolvimento terico com exemplos e com umaquantidade razovel de atividades para uma fixao do contedo, de tal forma que resulte de mximoproveito aos estudantes.

A obra composta por 8 captulos contendo os principais tpicos abordados em uma disciplina bsicade Clculo Diferencial e Integral, e que seguem uma ordem progessiva de contedo, por isto reco-mendamos ao estudante que dedique tempo e esmero em cada captulo e resolva a mxima quantidadede atividades.

No primeiro captulo se faz uma apresentao axiomtica dos nmeros reais e suas principais propri-edades; no segundo captulo tratamos das relaes e das funes que sero o principal objeto mate-mtico tratado neste livro; no terceiro captulo estudamos os conceito de limite, fundamental para ateoria subsequente; no quarto captulo estudamos a continuidade de uma funo; no quinto captulointroduzimos a derivada de uma funo e suas principais propriedades; no sexto captulo apresenta-mos algumas aplicaes da derivada; no stimo captulo tratamos da integral indefinida e os mtodosde integrao; e no oitavo e ltimo captulo, introduzimos o conceito da integral definida e tratamosde algumas das aplicaes desta.

Sabemos que existem vrios outros materiais e livros que abordam o mesmo contedo apresentadoaqui, alguns at mais abrangentes. Somos porm, realistas que em uma primeira abordagem demosprioridade a possibilitar ao aluno familiarizar-se com conceitos bsicos e interpretaes, deixando aprova de todos esses resultados a posteriori.

Esperamos que este livro fornea apoio e incentivo para que o aluno, depois de aprender estes con-ceitos, se sinta confiante ao resolver problemas com aplicaes prticas no mundo real.

Joo Pessoa, agosto de 2013.Kely D. V. VillacortaFelipe A. G. Moreno

iv

https://github.com/edusantana/calculo-diferencial-e-integral-livro/releases


Pblico alvo

O pblico alvo desse livro so os alunos de Licenciatura em Computao, na modalidade distncia.1

Como voc deve estudar cada captulo

Leia a viso geral do captulo

Estude os contedos das sees

Realize as atividades no final do captulo

Verifique se voc atingiu os objetivos do captulo

NA SALA DE AULA DO CURSO

Tire dvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros integrantes do curso

Leia materiais complementares eventualmente disponibilizados

Realize as atividades propostas pelo professor da disciplina

Caixas de dilogo

Nesta seo apresentamos as caixas de dilogo que podero ser utilizadas durante o texto. Confira ossignificados delas.

NotaEsta caixa utilizada para realizar alguma reflexo.

DicaEsta caixa utilizada quando desejamos remeter a materiais complementares.

ImportanteEsta caixa utilizada para chamar ateno sobre algo importante.

CuidadoEsta caixa utilizada para alertar sobre algo que exige cautela.

1Embora ele tenha sido feito para atender aos alunos da Universidade Federal da Paraba, o seu uso no se restringea esta universidade, podendo ser adotado por outras universidades do sistema UAB.

v


AtenoEsta caixa utilizada para alertar sobre algo potencialmente perigoso.

Os significados das caixas so apenas uma referncia, podendo ser adaptados conforme as intenesdos autores.

Vdeos

Os vdeos so apresentados da seguinte forma:

Figura 1: Como baixar os cdigos fontes: http://youtu.be/Od90rVXJV78

NotaNa verso impressa ir aparecer uma imagem quadriculada. Isto o qrcode(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR) contendo o link do vdeo. Caso voc tenhaum celular com acesso a internet poder acionar um programa de leitura de qrcode paraacessar o vdeo.Na verso digital voc poder assistir o vdeo clicando diretamente sobre o link.

Compreendendo as referncias

As referncias so apresentadas conforme o elemento que est sendo referenciado:

Referncias a captulosPrefcio [iv]

Referncias a seesComo voc deve estudar cada captulo [v], Caixas de dilogo [v].

Referncias a imagensFigura 2 [vii]

vi

http://youtu.be/Od90rVXJV78http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3digo_QR


NotaNa verso impressa, o nmero que aparece entre chaves [ ] corresponde ao nmero dapgina onde est o contedo referenciado. Na verso digital do livro voc poder clicar nolink da referncia.

Feedback

Voc pode contribuir com a atualizao e correo deste livro. Ao final de cada captulo voc serconvidado a faz-lo, enviando um feedback como a seguir:

Feedback sobre o captuloVoc pode contribuir para melhoria dos nossos livros. Encontrou algum erro? Gostaria desubmeter uma sugesto ou crtica?Para compreender melhor como feedbacks funcionam consulte o guia do curso.

NotaA seo sobre o feedback, no guia do curso, pode ser acessado em: https://github.com/-edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-contribuicao.adoc.

Figura 2: Exemplo de contribuio

vii

https://github.com/edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-contribuicao.adochttps://github.com/edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-contribuicao.adochttps://github.com/edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-contribuicao.adochttps://github.com/edusantana/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livros-contribuicao.adoc


Captulo 1

Nmeros Reais

OBJETIVOS DO CAPTULO

Ao final deste captulo voc dever ser capaz de:

Dados dois nmeros reais, reconhecer a relao de ordem estabelecida entre eles e suasprincipais propriedades;

Determinar as razes de uma equao dada;

Determinar o conjunto soluo de uma inequao dada;

Dominar o conceito de valor absoluto;

Entender o conceito do sistema dos nmeros reais e saber diferenciar os subconjuntosque o integram: naturais, inteiros, racionais e irracionais;

Familiarizar-se com o Axioma do Supremo.

O sistema dos nmeros reais que conhecemos atualmente foi obtido depois de muitas reflexes porparte do homem. Desde o incio de nossa civilizao j se conheciam os nmeros inteiros positivos,ou seja, 1,2,3, . . . Os nmeros inteiros, to grandes quanto 100000, j eram utilizados no Egito empocas como 300 a. C.

Na aritmtica de nmeros inteiros positivos, que desenvolveram os antigos egpcios e babilnios,podiam efetuar-se as operaes de adio e multiplicao, embora essa ltima no tenha sido desen-volvida por completo. Alm disso, naquela poca j se conheciam certas fraes, isto , os nmerosracionais. Por outro lado, os Babilnios tiveram maior xito no desenvolvimento da aritmtica e dalgebra, e a notao que eles usavam tambm era superior a dos egpcios, com a diferena que elestrabalhavam na base 60 e no na base 10.

Nosso sistema decimal foi criado pelos Hindus e introduzido na Europa Ocidental no sculo XII,mediante a traduo de textos rabes, porm, essa notao demorou para ter uma aceitao geral, emuito depois disso veio a aceitao dos nmeros negativos, a qual aconteceu apenas no final do sculoXVI, poca em que eram descartadas as razes negativas das equaes.

Ainda que a necessidade dos nmeros irracionais, tais como

2 e , j tinha se apresentado aos mate-mticos da antiga Grcia no seus estudos geomtricos, no foram introduzidos mtodos satisfatriosde construo dos nmeros reais a partir dos racionais at finais do sculo XIX, quando os matem-ticos conseguiram propor um ponto de partida para a construo total dos nmeros reais, abordagematualmente utilizada.

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Embora seja muito interessante apresentar o construo do conjunto dos nmeros reais passo a passo,o foco deste livro no o construtivo, pois assumiremos que existam certos objetos, chamados denmeros reais, que verificam os 11 axiomas a serem enunciados neste captulo. Todas as propriedadesdos nmeros reais que sero apresentadas aqui, ou esto entre estes axiomas, ou podem ser deduzidasa partir deles.

Portanto, neste captulo revisaremos o sistema dos nmeros reais, desigualdades e intervalos, equa-es, inequaes, valor absoluto, Axioma do Supremo, e resolveremos alguns problemas usando ateoria apresentada.

1.1 Sistema dos Nmeros Reais

Um conjunto no vazio de suma importncia, para o bom entendimento de toda a teoria apresentadaneste livro, o conjunto dos nmeros reais, denotado por R. Cada elemento de R chamado denmero real.

Os nmeros reais so identificados por pontos numa reta. E essa identificao d-se da seguintemaneira:

10 -1 -25

-2 5

Dada uma reta (por convenincia horizontal) e uma unidade de medida arbitrria, fixamos o ponto 0da reta, logo, a cada nmero real x se identifica com o ponto que est situado a x unidades direita do0, se x > 0, e com o ponto situado a x unidades esquerda do 0, se x < 0.Essa correspondncia entre os nmeros reais e os pontos da reta biunvoca, isto , para cada nmeroreal h um nico ponto correspondente na reta, e para cada ponto na reta h um nico nmero realcorrespondente. No decorrer deste livro, no faremos nenhuma diferenciao entre ambos elementos.

Logo, o sistema dos nmeros reais, denotado por (R;+; ;


Axioma 2(a+b)+ c = a+(b+ c), a,b,c R.

Axioma 3Existe o nmero real zero, denotado por 0, tal que a+0 = 0+a = a, a R.

Axioma 4Para cada nmero real a existe um real chamado de oposto de a, denotado por a, tal quea+(a) = 0.

Axioma 5a b = b a, a,b R.

Axioma 6(a b) c = a (b c), a,b,c R.

Axioma 7Existe o nmero real um, denotado por 1, tal que a 1 = 1 a = a, a R.

Axioma 8Para cada nmero real a, diferente de zero, existe um nmero real chamado de inverso de a,denotado por a1 ou

1a

, tal que a a1 = a1 a = 1.

Axioma 9a(b+ c) = a b+a c, a,b,c R

Nota

a. Os Axiomas 1 e 5 so conhecidos como axiomas comutativos para a soma e multi-plicao, respectivamente;

b. Os Axiomas 2 e 6 so conhecidos como axiomas associativos para a soma e multi-plicao, respectivamente;

c. O Axioma 9 conhecido como axioma distributivo e relaciona a adio e multiplica-o de nmeros reais.

O seguinte teorema enuncia as propriedades dessas duas operaes.

Teorema 1.1Sejam a, b e c R. Ento:

i. Os nmeros 0, 1, a e a1 so nicos;ii. a =(a);

iii. Se a 6= 0, ento a = (a1)1;iv. a 0 = 0 a = 0;v. a = (1) a;

vi. a (b) = (a) b;vii. (a) (b) = a b;

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viii. Se a+ c = b+ c, ento a = b;

ix. Se a c = b c e c 6= 0, ento a = b;x. a b = 0 se, e somente se, a = 0 ou b = 0;

xi. a b 6= 0 se, e somente se, a 6= 0 e b 6= 0;xii. a2 = b2 se, e somente se, a = b ou a =b.

Nota0 e 1 tambm so conhecidos como elementos neutros para a adio e para a multiplica-o, respectivamente;

1.1.2 Subtrao e Diviso de Nmeros Reais

SubtraoDados a e b R, a subtrao, ou diferena, de a e b definida como ab = a+(b).

Diviso ou quocienteDados a e b R, com b 6= 0, a diviso, ou quociente, de a e b definida como a

b= a (b1).

Teorema 1.2Sejam a, b, c e d R. Ento:

i. ab =(ba);ii. ab = c se, e somente se, a = b+ c;

iii. Se b 6= 0, ento c = ab

se, e somente se, b c = a;

iv. a (b c) = a ba c;

v. Se b 6= 0 e d 6= 0, ento ab c

d=

a db cb d

.

1.1.3 Relao de Ordem

Axioma 10Em R existe um subconjunto chamado de reais positivos, denotado por R++, que satisfaz asseguintes propriedades:

i. Se a R, ento a R++ ou a R++ ou a = 0;ii. Se a R++ e b R++, ento a+b R++ e a b R++.

Definio 1.1Sejam a, b R. Diz-se que:

i. a menor que b, denotado por a < b, se, e somente se, ba R++;ii. a menor ou igual que b, denotado por a b, se, e somente se, a < b ou a = b.

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Nota

a. a a e leia-se b maior que a;

b. Da mesma forma, a b equivalente a b a e leia-se b maior ou igual que a.

O seguinte teorema enuncia as propriedades associadas relao de ordem.

Teorema 1.3Dados a, b, c e d R. Ento:

i. a = b ou a b;

ii. a2 0. Se a 6= 0, ento a2 > 0;iii. se a 0, ento a c b c;

viii. Se 0 < a 0, ento a1 > 0,b. Se a < 0, ento a1 < 0;

x. Se 0 < a < b, ento 0 < b1 < a1;

xi. Se a 0 se, e somente se, (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0) ;xiii. a b 0 se, e somente se, (a 0 e b 0) ou (a 0 e b 0)xiv. a b < 0 se, e somente se, (a < 0 e b > 0) ou (a > 0 e b < 0) ;xv. a b 0 se, e somente se, (a 0 e b 0) ou (a 0 e b 0)

xvi. Se a 0 e b 0, ento a < b se, e somente se, a2 < b2;xvii. a2 +b2 = 0 se, e somente se, a = 0 e b = 0.

NotaNo Teorema 1.3 temos que:

a. O item i conhecido como Lei da tricotomia;

b. O item iii conhecido como Lei transitiva;

c. O item iv conhecido como Lei da monotonia para a soma.

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Importante

a. Se a e b so dois nmeros reias tais que a2 = b, diz-se que a a raiz quadradade b, denotada por

b. Por exemplo, 2 e 2 so razes quadradas de 4, j que

(2)2 = 22 = 4, e

3 e

3 so razes quadradas de 3, pois (

3)2 = (

3)2 = 3.

b. Pelo item ii do Teorema 1.3, no existe a R e b < 0 tal que a2 = b. Em outraspalavras, no conjunto dos nmeros reais no existe raiz quadrada de nmerosnegativos;

c. Se a2 = 0, ento deduz-se que a = 0. Portanto,

0 = 0.

Definio 1.2Uma desigualdade uma expresso algbrica que contm relaes como , .

Desta forma temos que:

x < y < z equivalente a x < y e y < z;

x < y z equivalente a x < y e y z;

x y < z equivalente a x y e y < z;

x y z equivalente a x y e y z.

Mais ainda, sejam x, y e z R tais que x < y < z. Ento estas desigualdades so representadas na retareal da seguinte maneira:

Figura 1.1: Distncia entre x e y, e distncia entre y e z

Ou seja, x est esquerda de y, a uma distncia de yx unidades e z est direita de y, a uma distnciade z y unidades.

1.2 Equaes

Definio 1.3Uma equao uma afirmao que se estabelece entre duas expresses algbricas medianteuma igualdade.

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Exemplo 1.1 Tipos de Equaes

Equao de Primeiro grau

3x4 = 2 x

Equao de Segundo grau

x24x5 = 0

Equao Racional

x25x+4x24

= x+2

Equao Irracional

x+3+

x+4 =3

Equao Exponencial

3

3(5x+1)/3 =

93(x+1)/5

Definio 1.4Dada uma equao. Diz-se que um nmero real a uma raiz da equao, ou um zero daequao, se ao substituir a varivel da equao por a, a igualdade for verdadeira. Alm disso, oconjunto de todas as solues de uma equao chamado de conjunto soluo, denotado porC. S. Assim, resolver uma equao significa encontrar seu C. S.

NotaSe no existem solues reais para a equao, ento diz-se que C. S. vazio, e se escreve,C. S.= /0.

Exemplo 1.2Dada a equao

x24x5 = 0

temos que:

a. Os nmeros reais 1 e 5 so razes da equao de segundo grau acima, pois

(1)24(1)5 = 0 e (5)24(5)5 = 0.

Assim, C. S.= {1,5};

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b. Porm, o nmero real 4 no uma raiz, pois

(4)24(4)5 =5 6= 0.Assim, 4 / C. S.

NotaPara resolver uma equao necessrio por em evidncia, de alguma forma, a varivel, ouincgnita, da equao.

Frmula de BhaskaraEsta frmula nos ajudar a encontrar as razes de uma equao de segundo grau. Assim,para a equao de segundo grau:

ax2 +bx+ c = 0.

temos que

x =b

2a, com = b24ac.

onde conhecido como o discriminante. Assim:

Se < 0, ento esta equao no tem razes em R;

Se 0, ento esta equao ter as seguintes razes

r1 =b

2aou r2 =

b+

2a

em R.

Exemplo 1.3 Resolvamos as seguintes equaes

a. 5x+6 = 8.

Soluo

5x+6 = 8 5x = 86 = 2 x = 25

.

Portanto,25

a raiz de 5x+6 = 8 e

C. S.={

25

}.

b. 5x+5 = 13x.

Soluo

5x+5 = 13x 5x+3x = 15 8x =4 x =48 x =1

2.

Portanto, 12

a raiz de 5x+5 = 13x e

C. S.={1

2

}.

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c. x2 +1 = 0.

Soluox2 +1 = 0 x2 =1.Portanto, do item b do Importante posterior ao Teorema 1.3, para b = 1, podemosconcluir que x2 +1 = 0 no tem razes em R e

C. S.= /0.

d. 4x2 x3 = 0.

SoluoMtodo 1 (Usando a frmula de Bhaskara ou o Discriminante )

Dada a equao 4x2 x 3 = 0, temos que = (1)2 4(4)(3) = 49. Assim,

x =(1)

2(4). Ento, x =

1

498

x = 178

x = 88

ou x = 68

x = 1 ou x =34

.

Mtodo 2 (Fatorando)4x2x3 = 0 (4x+3)(x1) = 0. Pelo item x do Teorema 1.1 para a = 4x+3e b = x1, temos que (4x+3)(x1) = 0 4x+3 = 0 ou x1 = 0 x =3

4ou x = 1.

Mtodo 3 (Completando quadrados)

4x2x3= 0 (2x)2x+(1

4

)23=

(1

4

)2 (2x)2x+

(1

4

)2=

4916

(

2x 14

)2=

4916 2x 1

4=7

4ou 2x 1

4=

74 2x =3

2ou 2x = 2

x =34

ou x = 1.

Portanto, 34

e 1 so as razes de 4x2 x3 = 0 e

C. S.={3

4,1}.

1.3 Desigualdades e Intervalos

Definio 1.5Dados a e b R, com a < b. Um intervalo um subconjunto de R e podem ser classificadoem:

Intervalos Limitados1. Intervalo Aberto: (a,b) = {x R : a < x < b}

2. Intervalo Fechado: [a,b] = {x R : a x b}

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3. Intervalo Semiaberto pela Direita: [a,b) = {x R : a x < b}

4. Intervalo Semiaberto pela Esquerda: (a,b] = {x R : a < x b}

Intervalos Ilimitados1. Intervalo Aberto:

i. (a,+) = {x R : a < x}

ii. (,a) = {x R : x < a}

2. Intervalo Fechado:i. [a,+) = {x R : a x}

ii. (,a] = {x R : x a}

3. A Reta Real: (,+) = R

NotaOs intervalos semiabertos [a,b) e (a,b] tambm podem ser referenciados como intervalossemifechados pela esquerda e pela direita, respectivamente.

Exemplo 1.4Dados os intervalos:A = [5,2], B = (2,3] e C = (2,6),

temos que:

a. AB = (2,2]

b. AC = /0

c. BC = (2,3]

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d. AB = [5,3]

e. AC = [5,6)

f. BC = (2,6)

1.4 Inequaes

Definio 1.6Uma inequao uma afirmao que se estabelece entre duas expresses algbricas medianteuma desigualdade.

Exemplo 1.5 Tipos de Inequaes

Inequao de Primeiro grau

3x4 2 x

Inequao de Segundo grau

x24x5 < 0

Inequao Racional

x25x+4x24

x+2

Inequao Irracional

x+3+

x+4 >3

Inequao Exponencial

3

3(5x+1)/3 0 ou ax+b < 0 ou ax+b 0 ou ax+b 0, com a 6= 0.

Ento, para resolver estas inequaes consideramos, sem perda de generalidade que, a > 0. Assim,

i. ax+b > 0 x >ba se, e somente se, C. S.=(ba ,+

);

ii. ax+b < 0 x

Exemplo 1.7Resolvamos as seguintes inequaes de primeiro grau:

a. 5x+6 < 8.

Soluo

5x+6 < 8 5x < 86 = 2 x < 25

.

Portanto,

C. S.=(, 2

5

).

b. 5x+5 13x.

Soluo

5x+5 13x 5x+3x 15 8x4 x48 x1

2.

Portanto,

C. S.=[1

2,+

).

c. 3x4 < 2+ x.

Soluo3x4 < 2+ x 3x x < 2+4 2x < 6 x < 62 x < 3.Portanto,

C. S.= (,3).

1.4.1.2 Inequaes de Segundo Grau

As inequaes de segundo grau numa varivel so da forma:

ax2+bx+c> 0 ou ax2+bx+c< 0 ou ax2+bx+c 0 ou ax2+bx+c 0, com a 6= 0.

Suponhamos, sem perda de generalidade, que a > 0. Assim, usando a frmula de Bhaskara, temosos seguintes casos:

Caso ISe = 0, ento ax2 +bx+ c = 0 tem uma nica raiz, isto , r = r1 = r2. Portanto:

i. ax2 +bx+ c > 0 se, e somente se, C. S.= R\{r};ii. ax2 +bx+ c < 0 se, e somente se, C. S.= /0;

iii. ax2 +bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= R;iv. ax2 +bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= {r}.

Caso IISe > 0, ento ax2 +bx+ c = 0 tem duas razes diferentes, com r1 < r2. Portanto:

i. ax2 +bx+ c > 0 se, e somente se, C. S.= (,r1) (r2,+);ii. ax2 +bx+ c < 0 se, e somente se, C. S.= (r1,r2);

13 / 66

iii. ax2 +bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= (,r1] [r2,+);iv. ax2 +bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= [r1,r2].

Caso IIISe < 0, ento ax2 +bx+ c = 0 no tem razes em R. Portanto:

i. ax2 +bx+ c > 0 se, e somente se, C. S.= R;ii. ax2 +bx+ c < 0 se, e somente se, C. S.= /0;

iii. ax2 +bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= R;iv. ax2 +bx+ c 0 se, e somente se, C. S.= /0.

Exemplo 1.8Resolvamos as seguintes inequaes:

a. x22 < 3x+2

Soluox2 2 < 3x + 2 x2 3x 4 < 0. Como = (3)2 4(1)(4) = 25 > 0, entox23x4 = 0 tem duas raizes reais diferentes:

r1 =(3)

2(1)=

3

252

=22

=1 e r2 =(3)+

2(1)=

3+

252

=82= 4.

Aplicando o item ii do Caso II, pois r1 < r2, temos que C. S.= (1,4).Embora j tenhamos encontrado o conjunto soluo para a inequao dada, a seguir apre-sentamos mtodos alternativos para determin-lo.

Mtodo 1 (Decompondo)

x22 < 3x+2 x23x4 < 0 (x4)(x+1)< 0.Logo, pelo item xiv do Teorema 1.3 temos que

(x4)(x+1)< 0 (x4 < 0 e x+1 > 0) ou (x4 > 0 e x+1 < 0)

(x < 4 e x >1) ou (x > 4 e x

Assim, trabalhando de forma analoga ao Mtodo 1 acima, temos que

(x4)(x+1)< 0 x (1,4).

Mtodo 3 (Encontrando o quadro de sinais)

x22 < 3x+2 x23x4 < 0 (x+1)(x4)< 0.

Assim, os valores de x para os que (x+1)(x4) = 0 so x = 1 e x = 4 (razes decada fator). Logo,

Figura 1.2: Quadro de sinais

Nesta figura observamos que (x+1)(x4)< 0, se x (1,4).Portanto, em todos estes casos obtivemos,

C. S.= (1,4).

b. x2 +1 < 0

SoluoPara x21 < 0 temos que = (0)24(1)(1) =16 < 0. Ento, do Caso III item ii, sesegue que x2 +1 = 0 no tem razes em R.Portanto,

C. S.= /0.

c. 4x2 x3 0.

SoluoPara 4x2 x 3 0 temos que = (1)2 4(4)(3) = 49 > 0, ento 4x2 x 3 = 0tem duas raizes reais diferentes:

r1 =(1)

2(4)=

1

498

=34

e r2 =(1)+

2(4)=

1+

498

=88= 1.

Portanto, aplicando o item iii do Caso II, pois r1 < r2,

C. S.=(,3

4

][1,+

).

15 / 66

1.4.1.3 Inequaes Polinomiais

Seja o polinmio de grau n:P(x) = anxn + +a1x+a0

onde a0, a1, . . . ,an so contantes e an > 0, n N. Ento, as inequaes polinomiais numa varivelso da forma:

P(x)> 0 ou P(x)< 0 ou P(x) 0 ou P(x) 0.Assim como nos casos anteriores, este tipo de inequaes so resolvidas de acordo com a naturezadas razes da equao polinomial P(x) = 0. Desde que P(x) tem grau n, ento esta equao pode terno mximo n razes em R. Vamos denotar cada uma destas razes por r1, r2, . . . ,rn.

Caso ISe P(x) = 0 tem n razes diferentes em R, com r1 < r2 < < rn1 < rn, ento alternamos osinal + e nos intervalos consecutivos delimitados por estas razes, comeamos assinando osinal + ao intervalo mais a direita, isto , aquele intervalo direita da raiz rn, veja a figura aseguir:

Logo,

i. P(x)> 0 se, e somente se, x pertence unio dos intervalos abertos com sinal +, isto :

a. Se n par, ento C. S.= (,r1) (rn,+);b. Se n mpar, ento C. S.= (r1,r2) (rn,+);

ii. P(x)< 0 se, e somente se, x pertence unio dos intervalos abertos com sinal , isto :a. Se n par, ento C. S.= (r1,r2) (rn1,rn);b. Se n mpar, ento C. S.= (,r1) (rn1,rn);

iii. P(x) 0 se, e somente se, x pertence unio dos intervalos fechados com sinal +, isto :a. Se n par, ento C. S.= (,r1] [rn,+);b. Se n mpar, ento C. S.= [r1,r2] [rn,+);

iv. P(x) 0 se, e somente se, x pertence unio dos intervalos fechados com sinal , isto :a. Se n par, ento C. S.= [r1,r2] [rn1,rn];b. Se n mpar, ento C. S.= (,r1] [rn1,rn];

Caso IISeja rk uma raiz de P(x) = 0 com multiplicidade maior ou igual que 2. Ento:

i. Se a multiciplicidade de rk par, ento aplicaremos o mesmo procedimento do Caso Isem considerar rk para a obteno dos intervalos que definem o C. S.

ii. Se a multiciplicidade de rk impar, ento aplicaremos o mesmo procedimento do Caso Iconsiderando rk para a obteno dos intervalos que definem o C. S.

Caso IIISe alguma raiz de P(x) = 0 no real, ento ela no consideradas na obteno dos intervalosque definem C. S. Em outras palavras, o C. S. ser obtido seguindo os procedimentos dos casosanteriores com as razes reais.

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a. (x1)4(x+2)(x+4) 0

SoluoFazendo P(x) = (x1)4(x+2)(x+4) = 0, temos que as razes de P(x) = 0 so r1 =4,r2 = 2 e r3 = 1. Notemos que a multiciplicidade de r3 4. Ento, aplicando o CasoII item i, r3 = 1 no ser considerada para a obteno dos intervalos que definem o C. S.Mais ainda, como a inequao da forma P(x) 0, podemos aplicar o item iv(a) do CasoI, considerando, somente, as razes r1 = 4, r2 = 2. Ou seja, x pertence unio dosintervalos com sinal (). Veja a figura a seguir:

Portanto,C. S.= [4,2].

b. (x23)5(x2 +16)(x216)(x4 +1)> 0

SoluoDesde que:

x2 +16 = 0 e x4 +1 = 0 no tem razes em R

temos que, pelo Caso III, x2 +16 e x4 +1 no sero consideradas na obteno dos inter-valos que definem C. S. Alm disso,

x23 = (x+

3)(x

3) e x216 = (x4)(x+4).

Assim,

(x23)5(x2 +16)(x216)(x4 +1)> 0 (x+

3)5(x

3)5(x4)(x+4)> 0.

Fazendo P(x)= (x+

3)5(x

3)5(x4)(x+4)= 0, temos que as razes de P(x)= 0 sor1 =4, r2 =

3, r3 =

3 e r4 = 4. Note que tanto r2 como r3 tm multiciplicidade 5.

Do Caso II item ii r2 e r3 sero consideradas para a obteno dos intervalos que definemo C. S. Mais ainda, como a inequao da forma P(x) > 0, podemos aplicar o item i(a)do Caso I, para todas as razes r1 = 4, r2 =

3, r3 =

3 e r4 = 4. Ou seja, ento x

pertence unio dos intervalos com sinal (+). Veja figura a seguir:

Portanto,C. S.= (,4)

(

3,

3) (4,+).

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1.4.1.4 Inequaes Racionais

Sejam os polinmios:

P(x) = anxn + +a1x+a0 e Q(x) = bmxm + +b1x+b0onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm so contantes, an > 0 e bm > 0, n, m N e Q(x) um polinmiodiferente de zero.

Ento, as inequaes racionais numa varivel so da forma:

P(x)Q(x)

> 0 ouP(x)Q(x)

< 0 ouP(x)Q(x)

0 ou P(x)Q(x)

0.

Para resolver este tipo de inequaes, devemos saber que:

i.P(x)Q(x)

> 0 P(x)Q(x)> 0;

ii.P(x)Q(x)

< 0 P(x)Q(x)< 0;

iii.P(x)Q(x)

0 P(x)Q(x) 0 e Q(x) 6= 0;

iv.P(x)Q(x)

0 P(x)Q(x) 0 e Q(x) 6= 0.

Logo, fazendo P(x) = P(x)Q(x), procedemos como nos casos anteriores para P(x) em ordem a obtero C. S.

NotaQ(x) 6= 0 implica que os intervalos que contm alguma das razes da equao Q(x) = 0devem ser abertos nesses extremos.

Exemplo 1.10Resolvamos a seguinte inequao:

a.x2x4

>x+2

x

Soluo

x2x4

>x+2

x x+2

x x2

x4< 0 (x+2)(x4) x(x2)

x(x4)< 0

8x(x4)

< 0 1x(x4)

> 0.

Logo, pelo item i acima,1

x(x4)> 0 x(x4)> 0.

Fazendo P(x) = x(x 4), temos que as razes de P(x) = 0 so r1 = 0 e r2 = 4. Como ainequao da forma P(x)> 0, podemos aplicar o item i(a) do Caso I, pois considerare-mos todas as razes. Ou seja, x pertence unio dos intervalos com sinal (+), conforme afigura a seguir:

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C. S.= (,0) (4,+).

b.x(x+2)

x1+

(x1)(x+2)x

2x(x+2)x+1

Soluo

x(x+2)x1

+(x1)(x+2)

x 2x(x+2)

x+1 x(x+2)

x1+

(x1)(x+2)x

2x(x+2)x+1

0

(

xx1

+x1

x 2x

x+1

)(x+2) 0

No entanto

xx1

+x1

x 2x

x+1=

x2(x+1)+(x1)(x1)(x+1)2x2(x1)(x1)x(x+1)

=2x2 x+1

(x1)x(x+1)

Assim,

x(x+2)x1

+(x1)(x+2)

x 2x(x+2)

x+1 (2x

2 x+1)(x+2)(x1)x(x+1)

0.

Logo, pelo item iv acima,

(2x2 x+1)(x+2)(x1)x(x+1)

0

(2x2 x+1)(x+2)(x1)x(x+1) 0 e (x1)x(x+1) 6= 0

Desde que 2x2 x+1 = 0 no tem razes reais, esta expresso no ser considerada paraa obteno de C. S. Assim,

(2x2 x+1)(x+2)(x1)x(x+1) 0 e (x1)x(x+1) 6= 0

(x+2)(x1)x(x+1) 0 e (x1)x(x+1) 6= 0

Fazendo P(x) = (x+2)(x1)x(x+1), temos que as razes de P(x) = 0 so r1 = 2,r2 =1, r3 = 0 e r4 = 1. Pela nota da subseo 1.4.1.4, (x1)x(x+1) 6= 0 implica queos intervalos que tenham r2, r3 e r4 devem ser abertos nestes extremos. Desde que a ine-quao da forma P(x) 0, podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, pois consideraremostodas as razes. Ou seja, x pertence unio dos intervalos com sinal (), veja figura aseguir:

Portanto,C. S.= [2,1) (0,1).

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1.4.1.5 Inequaes Exponenciais envolvendo Polinmios

Sejam f (x) e g(x) duas expresses que envolvem polinmios, na varivel x. Ento, as inequaesexponenciais envolvendo polinmios numa varivel so da forma:

a f (x) > ag(x) ou a f (x) < ag(x) ou a f (x) ag(x) ou a f (x) ag(x),onde a > 0, a 6= 1.Para resolver este tipo de inequao, so considerados dois casos.

Caso ISe a > 1, ento os expoentes da inequao preservam a mesma ordem, isto :

i. a f (x) > ag(x) f (x)> g(x);ii. a f (x) < ag(x) f (x)< g(x);

iii. a f (x) ag(x) f (x) g(x);iv. a f (x) ag(x) f (x) g(x).

Caso IISe 0 < a < 1, ento os expoentes da inequao invertem a ordem, isto :

i. a f (x) > ag(x) f (x)< g(x);ii. a f (x) < ag(x) f (x)> g(x);

iii. a f (x) ag(x) f (x) g(x);iv. a f (x) ag(x) f (x) g(x).

Logo, o conjunto soluo de cada item obtido resolvendo esta ltima inequao, usando os proce-dimentos vistos nos casos anteriormente.

Exemplo 1.11Resolver as seguintes inequaes:

a. 2(5x+2)/4 > 4

24(x+1)/5

Soluo

2(5x+2)/4 > 4

24(x+1)/5 2(5x+2)/4 >(

24(x+1)/5) 1

4

2(5x+2)/4 > 24(x+1)/(45) 2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5

Como a inequao da forma a f (x) > ag(x), com a = 2 > 1, podemos aplicar o item i doCaso I, isto

2(5x+2)/4 > 2(x+1)/5 5x+24

>x+1

5.

Assim, agora precisamos determinar o C. S. de5x+2

4>

x+15

. Desde que

5x+24

>x+1

5 5x+2

4 x+1

5> 0 5(5x+2)4(x+1)

20

21x+620

> 0 3(7x+2)20

> 0

7x+2 > 0 x >27.

20 / 66

Portanto,

C. S.=(2

7,+

).

b.((0,3)(3x+2)(x+1)

) 1x+2 (0,9)

2x+5

32x+5

Soluo ((0,3)(3x+2)(x+1)

) 1x+2 (0,9)

2x+5

32x+5 (0,3)

(3x+2)(x+1)x+2

(0,93

)2x+5 (0,3)

(3x+2)(x+1)x+2 (0,3)2x+5.

Como a inequao da forma a f (x) > ag(x), com a = 0,3 < 1, podemos aplicar o item ivdo Caso II, isto

(0,3)(3x+2)(x+1)

x+2 (0,3)2x+5 (3x+2)(x+1)x+2

2x+5.

Assim, agora precisamos determinar o C. S. de(3x+2)(x+1)

x+2 2x+5. Desde que

(3x+2)(x+1)x+2

2x+5 (3x+2)(x+1)x+2

2x+5 0

(3x+2)(x+1) (2x+5)(x+2)x+2

0

x24x8

x+2 0.

Como x24x8 = (x22

3)(x2+2

3), ento

x24x8x+2

0 (x22

3)(x2+2

3)x+2

0

Pelo item iv de Inequaes Racionais temos que

(x22

3)(x2+2

3)x+2

0

(x22

3)(x2+2

3)(x+2) 0 e x+2 6= 0.

Fazendo P(x) = (x22

3)(x2+2

3)(x+2), temos que as razes de P(x) = 0 sor1 =2, r2 = 22

3, r3 = 2+2

3. Como a inequao da forma P(x) 0, podemos

aplicar o item iv(b) do Caso I. Ou seja, x pertence unio dos intervalos com sinal (),veja figura a seguir:

2 -2 3

Lembre que, pela nota da subseo 1.4.1.4, x+2 6= 0 implica que o intervalos que tenhamr1 devem ser abertos neste extremo.Portanto,

C. S.= (,2)[22

3,2+2

3].

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1.4.1.6 Inequaes Irracionais

Sejam os polinmios:

P(x) = anxn + +a1x+a0, Q(x) = bmxm + +b1x+b0 e R(x) = clxl + + c1x+ c0

onde a0, a1, . . . ,an,b0, b1, . . . ,bm,c0, c1, . . . ,cl so contantes, an > 0, bm > 0 e cl > 0, n, m e l N.Ento, os casos particulares das inequaes irracionais numa varivel, que trabalharemos, so daforma:

Caso IPara as inequaes da forma:

P(x)> Q(x),

P(x) Q(x),

P(x)< Q(x) e

P(x) Q(x).

Temos as seguintes equivalncias:

i.

P(x)>Q(x) (

P(x) 0 e Q(x) 0)

ou(

P(x) 0 e P(x)>Q2(x))

;

ii.

P(x) Q(x) (

P(x) 0 e Q(x) 0)

ou(

P(x) 0 e P(x) Q2(x))

;

iii.

P(x)< Q(x) P(x) 0 e Q(x)> 0 e P(x)< Q2(x);

iv.

P(x) Q(x) P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Q2(x).

Caso IIPara as inequaes da forma:

P(x)+

Q(x)> 0,

P(x)+

Q(x) 0,

P(x)

Q(x) k, k > 0,

P(x)+

Q(x)< 0 e

P(x)+

Q(x) 0.


i.

P(x)+

Q(x)> 0 (

P(x) 0 e Q(x)> 0)

ou(

P(x)> 0 e Q(x) 0)

;

ii.

P(x)+

Q(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0;

iii.

P(x)

Q(x) k, k > 0 P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) (k

Q(x))2;

iv.

P(x)+

Q(x)< 0 C. S.= /0;

v.

P(x)+

Q(x) 0 P(x) = 0 e Q(x) = 0.

Caso IIIPara as inequaes da forma:

P(x)

Q(x)> 0 e

P(x)

Q(x) 0


i.

P(x)

Q(x)> 0 P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x)> Q(x);

ii.

P(x)

Q(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Q(x).

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a.

x2 x2 < 5 x

SoluoAplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x2 x2 e Q(x) = 5 x, temos que:

x2 x2 < 5 x x2 x2 0 e 5 x 0 e x2 x2 < (5 x)2

(x2)(x+1) 0 e 5 x e x2 x2 < 2510x+ x2

(x2)(x+1) 0 e 5 x e 9x < 27.

(x2)(x+1) 0 e 5 x e x < 3.

Logo,(x2)(x+1) 0 x (,1] [2,+);

x 5 x (,5];x < 3 x (,3).

Assim, x pertence interseo destes intervalos, isto

x ((,1] [2,+)

) (,5] (,3) = (,1] [2,3).

Portanto,C. S.= (,1] [2,3).

b.

x8 0

SoluoAplicando o item iv do Caso I, para P(x) = x8 e Q(x) = 0, temos que:

x8 0 x8 0 e 0 0 e x8 0

x 8 e 0 0 e x 8.Logo,

x 8 x (,8];0 0 x R;x 8 x [8,+).


x (,8]R [8,+) = {8}.

Portanto,C. S.= {8}.

c.

x+5 < 0

23 / 66

SoluoAplicando o item iii do Caso I, para P(x) = x+5 e Q(x) = 0, temos que:

x+5 < 0 x+5 0 e 0 > 0 e x+5 < 02

x5 e 0 > 0 e x+5 < 0.

x5 e 0 > 0 e x 0 /0;x < 5 x (5,+).


x (,5] /0 (5,+) = /0

Portanto,C. S.= /0

Note que, no necessrio fazer as contas acima para obter que C. S.= /0, pois da definioda raiz quadrada, se segue que

x+5 0. Assim,

x+5 < 0 uma inequao no

vlida.

Caso IVPara as inequaes da forma:

P(x) n

Q(x)R(x)

0,P(x) n

Q(x)

R(x) 0, P(x)

R(x) n

Q(x) 0,

P(x)

R(x) n

Q(x) 0 e n

P(x) n

Q(x),

com n 1 e impar. Temos as seguintes equivalncias:

i.P(x) n

Q(x)

R(x) 0 P(x)Q(x)

R(x) 0;

ii.P(x) n

Q(x)

R(x) 0 P(x)Q(x)

R(x) 0;

iii.P(x)

R(x) n

Q(x) 0 P(x)

R(x)Q(x) 0;

iv.P(x)

R(x) n

Q(x) 0 P(x)

R(x)Q(x) 0;

v. n

P(x) n

Q(x) P(x) Q(x).

NotaSe a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso IV,porm ela estrita, isto , > ou ou


Caso VPara as inequaes da forma:

P(x) n

Q(x) 0, P(x) n

Q(x) 0, P(x)R(x) n

Q(x)

0,

P(x)

R(x) n

Q(x) 0, n

P(x) Q(x) e n

P(x) n

Q(x),

com n 0 e par. Temos as seguintes equivalncias:

i. P(x) n

Q(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0;

ii. P(x) n

Q(x) 0 P(x) 0 e Q(x) 0;

iii.P(x)

R(x) n

Q(x) 0 Q(x)> 0 e P(x)

R(x) 0;

iv.P(x)

R(x) n

Q(x) 0 Q(x)> 0 e P(x)

R(x) 0;

v. n

P(x)Q(x) (

P(x) 0 e Q(x) 0)

ou(

P(x) 0 e P(x)Qn(x))

;

vi. n

P(x) Q(x) P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Qn(x);

vii. n

P(x) n

Q(x) P(x) 0 e Q(x) 0 e P(x) Q(x).

NotaSe a desigualdade a ser analisada tem a mesma forma que algum dos itens do Caso V,porm ela estrita, isto , > ou ou

Assim,

x+5(x4) 7

81 x2

0 (x+5)(x4)(x9)(x+9) 0 e (x4)(x9)(x+9) 6= 0

Fazendo S(x) = (x+ 5)(x 4)(x 9)(x+ 9), temos que as razes de S(x) = 0 so r1 =9, r2 = 5, r3 = 4 e r4 = 9. Pela nota da subseo 1.4.1.4, (x 4)(x 9)(x+ 9) 6=0 implica que os intervalos que tenham r1, r3 e r4 devem ser abertos nestes extremos.Desde que a inequao da forma S(x) 0, podemos aplicar o item iii(a) do Caso I, poisconsideraremos todas as razes. Portanto,

C. S.= (,9) [5,4) (9,+)

b.x+5

(x4) 6

81 x2 0

SoluoDesde que n= 6 um nmero par, podemos aplicar o item iii do Caso V, para P(x)= x+5,Q(x) = 6

81 x2 e R(x) = x4, temos que:

x+5(x4) 6

81 x2

0 81 x2 > 0 e x+5x4

0

Por outro lado, pelo item iii de Inequaes Racionais, temos que

x+5x4

0 (x+5)(x4) 0 e x4 6= 0

Assim,

x+5(x4) 6

81 x2

0 81 x2 > 0 e (x+5)(x4) 0 e x4 6= 0

x281 < 0 e (x+5)(x4) 0 e x 6= 4

(x+9)(x9)< 0 e (x+5)(x4) 0 e x 6= 4.

Logo,(x+9)(x9) < 0 x (9,9);(x+5)(x4) 0 x (,5] [4,+);

x 6= 4 x (,4) (4,+).Assim, x pertence interseo destes intervalos, isto

x (9,9)((,5] [4,+

)((,4) (4,+)

)= (9,5] (4,9).

Portanto,C. S.= (9,5] (4,9).

Caso VIPara as inequaes da forma:

P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nk

Qk(x) 0 e P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nk

Qk(x) 0

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i. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . ,k, ento temos as seguintes equivalncias:

a.P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nk

Qk(x) 0

Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 eP(x)R(x)

0;

b.P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nk

Qk(x) 0

Q1(x)> 0 e Q2(x)> 0 e . . . e Qk(x)> 0 eP(x)R(x)

0.

ii. Se ni > 1 e impar, para todo i = 1, . . . ,k, ento temos as seguintes equivalncias:

a.P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nk

Qk(x) 0 P(x)

R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x) 0;

b.P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nk

Qk(x) 0 P(x)

R(x)Q1(x)Q2(x) . . .Qk(x) 0.

iii. Se ni > 0 e par, para todo i = 1, . . . , l, e ni > 1 e impar, para todo i = l +1, . . . ,k. Temosas seguintes equivalncias:

a.P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nl

Ql(x) nl+1

Ql+1(x) . . . nk

Qk(x) 0

Q1(x)> 0 e . . . e Ql(x)> 0 eP(x)

R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x) 0;

b.P(x)

R(x) n1

Q1(x) n2

Q2(x) . . . nl

Ql(x) nl+1

Ql+1(x) . . . nk

Qk(x) 0

Q1(x)> 0 e . . . e Ql(x)> 0 eP(x)

R(x)Ql+1(x) . . .Qk(x) 0.

NotaCaso os nis dos l primeiros radicais, no sejam pares, reodenamos os

n1

Q1(x), n2

Q2(x), . . . , nk

Qk(x)

de tal forma que isto seja verdadeiro.


a.x24

(x13) 4

x29

x1 6

x4 0

SoluoDesde que n1 = 4, n2 = 2 e n3 = 6, ou seja todos so pares, podemos aplicar o item i(b)

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do Caso VI, para P(x) = x2 4, Q1(x) = 4

x29, Q2(x) =

x1, Q3(x) = 6

x4 eR(x) = x13. Assim, temos que:

x24(x13) 4

x29

x1 6

x4

0

x29 > 0 e x1 > 0 e x4 > 0 e x24

x13 0

x29 > 0 e x > 1 e x > 4 e x24

x13 0

x29 > 0 e x > 4 e x24

x13 0

Por outro lado, pelo item iv de Inequaes Racionais, temos que

x24x13

0 (x24)(x13) 0 e x13 6= 0.

Assim,

x24(x13) 4

x29

x1 6

x4

0

x29 > 0 e x > 4 e (x24)(x13) 0 e x 6= 13

(x+3)(x3)> 0 e x > 4 e (x2)(x+2)(x13) 0 e x 6= 13.

Logo,(x+3)(x3) > 0 x (,3) (3,+);

x > 4 x (4,+);(x2)(x+2)(x13) 0 x (,2] [2,13];

x 6= 13 x (,13) (13,+).Assim, x pertence interseo dos seguintes intervalos(

(,3) (3,+)) (4,+)

((,2] [2,13]

)((,13) (13,+)

)= (4,13).

Portanto,C. S.= (4,13).

b.x24

(x13) 3

x29 9

x1 5

x4 0

SoluoDesde que n1 = 3, n2 = 9 e n3 = 5, ou seja todos so impares, podemos aplicar o itemii(a) do Caso VI, para P(x) = x24, Q1(x) = 3

x29, Q2(x) = 9

x1, Q3(x) = 5

x4

e R(x) = x13. Assim, temos que:

x24(x13) 3

x29 9

x1 5

x4

0 x24

(x13)(x29)(x1)(x4) 0

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x24(x13)(x29)(x1)(x4)

0

(x24)(x13)(x29)(x1)(x4) 0

e (x13)(x29)(x1)(x4) 6= 0

(x2)(x+2)(x13)(x3)(x+3)(x1)(x4) 0

e (x13)(x3)(x+3)(x1)(x4) 6= 0.

Fazendo S(x) = (x2)(x+2)(x13)(x3)(x+3)(x1)(x4), temos que as razes deS(x) = 0 so r1 = 3, r2 = 2, r3 = 1, r4 = 2, r5 = 3, r6 = 4 e r7 = 13. Pela nota dasubseo 1.4.1.4, (x13)(x3)(x+3)(x1)(x4) 6= 0 implica que os intervalos quetenham r1, r3, r5, r6 e r7 devem ser abertos nestes extremos. Desde que a inequao daforma S(x) 0, pelo item iv(b) do Caso I de Inequaes Polinomiais, se segue que

x (,3) [2,1) [2,3) [4,13).

Portanto,C. S.= (,3) [2,1) [2,3) [4,13)

c.x24

(x13) 7

x29 6

x1 4

x4 0

Soluo

Reescrevendox24

(x13) 6

x29 7

x1 4

x4 0 como

x24(x13) 6

x1 4

x4 7

x29

0

temos que n1 = 6, n2 = 4 e n3 = 7, ou podemos aplicar o item iii(b) do Caso VI, paral = 2 e k = 3 e P(x) = x2 4, Q1(x) = 6

x1, Q2(x) = 4

x4, Q3(x) = 7

x29 e

R(x) = x13. Assim, temos que:

x24(x13) 6

x29 4

x4 7

x1

0

x1 > 0 e x4 > 0 e x24

(x13)(x29) 0


x24(x13)(x29)

0 (x24)(x13)(x29) 0 e (x13)(x29) 6= 0.

Assim,

x > 1 e x > 4 ex24

(x13)(x29) 0

x > 1 e x > 4 e (x24)(x13)(x29) 0 e (x13)(x29) 6= 0

x > 4 e (x2)(x+2)(x13)(x+3)(x3) 0 e (x13)(x+3)(x3) 6= 0.

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Logo,

x > 4 x (4,+);(x2)(x+2)(x13)(x+3)(x3) 0 x (,3] [2,2] [3,13];

(x13)(x+3)(x3) 6= 0 x (,3) (3,3) (3,13) (13,+).

Assim, x pertence interseo dos seguintes intervalos:

(4,+)((,3] [2,2] [3,13]

)((,3) (3,3) (3,13) (13,+)

)= (4,13).

Portanto,C. S.= (4,13).

1.5 Valor absoluto

Definio 1.8O valor absoluto de um nmero real, denotado por |a|, definido como:

|a|={

a, se a 0a, se a < 0.

Desde o ponto de vista geomtrico |a| representa a distncia entre o ponto da reta real a e a origem 0.

0 a

|a|

a_

|a|

Da mesma forma, |ab|= |ba| se interpreta como a distncia entre os pontos a e b.

a b

|b-a|=|a-b|

Exemplo 1.15|7|= 7; |0|= 0; |4.3|= 4.3; | |53.7||= |53.7|= 53.7.

Teorema 1.4Sejam a e b R, ento:

i. |a| 0 e |a|= 0 se, e somente se, a = 0;ii. |ab|= |a||b|;

iii. |a+b| |a|+ |b|.

A seguir, enunciamos outras propriedades adicionais que o valor absoluto de um nmero real verifica.

30 / 66

Teorema 1.5Sejam a, b e c R, ento:

i. |a|2 = a2;ii. Se b 0, ento |a|= b se, e somente se, a = b ou a =b;

iii. |a|= |b| se, e somente se, a = b ou a =b;

iv. |a|= |a|=

a2;

v. Se b 6= 0, entoab

= |a||b| ;vi. Se a < c < b, ento |c|< max{|a|, |b|};

a. Se 0 < a, ento a < |c|< b;b. Se b < 0, ento b < |c| 0, ento |c| b se, e somente se, c > b ou c

Porm pelo item i do Teorema 1.4 , |7 4x| 0, assim e |7 4x| = 6 < 0, umaigualdade impossvel, isto , |7 4x| = 6 no tem razes. Ento, s devemos analisar|74x|= 12.Novamente, pelo item ii do Teorema 1.5, para a = |74x| e b = 12, temos que:

|74x|= 12 74x = 12 ou 74x =12

712 = 4x ou 7+12 = 4x 5 = 4x ou 19 = 4x

x =54

ou x =194.

Portanto, 54 e194 so razes de ||74x|3|= 9 e

C. S.={5

4,194

}.

c. |x2|+3|x4|= 5|x+1|.

SoluoDenotemos por E(x) a equao |x2|+3|x4|= 5|x+1|. Para determinar as razes destaequao, igualaremos cada um destes valores absolutos a zero, pois precisamos aplicar adefinio do valor absoluto a cada termo. Fazendo isto, obtemos x = 2, x = 4 e x = 1.Agora, precisamos analisar os 4 casos a seguir:

Caso 1:Se x

Caso 3:Se 2 x < 4, ento

3 x+1 < 4 |x+1|= x+1

0 x2 < 2 |x2|= x2

2 x4 < 0 |x4|=x+4Logo,

E(x) : x23x+12 = 5x+5 x = 57

Assim, x =57

, porm576 [2,4), implicando que neste intervalo no existem razes de

|x2|+3|x4|= 5|x+1|.Caso 4:

Se 4 x, ento

5 x+1 |x+1|= x+1

2 x2 |x2|= x2

0 x4 |x4|= x4Logo,

E(x) : x2+3x12 = 5x+5 x =19

Assim, x = 19, porm 19 6 [4,+), implicando que neste intervalo no existemrazes de |x2|+3|x4|= 5|x+1|.

Portanto, 19 e 1 so as razes de |x2|+3|x4|= 5|x+1| e

C. S.= {19,1}.

Exemplo 1.17Resolvamos as seguintes inequaes com valor absoluto:

a. |x+1| 0 e (4x+3)< x+3x+1

< 4x+3

x >34 e(4x3 < x+3

x+1e

x+3x+1

< 4x+3)

x >34 e 0 < 4x+3+x+3x+1

e 4x+3 x+3x+1

> 0

x >34 e 0 0

x >34 e 0 < 2(

2x2 +4x+3x+1

)e 2

(x(2x+3)

x+1

)> 0

x >34 e 0 0

Assim,

i. Encontremos o conjunto soluo de x >34 , e o denotemos por C. S.1.Desde que x >34 equivalente a x

(34 ,+

). Segue-se que, C. S.1 =

(34 ,+

).

ii. Encontremos o conjunto soluo de 0 0, e o denotemos por C. S.3.

Desde que,x(2x+3)

x+1> 0 equivalente a x(2x+ 3)(x+ 1) > 0. Segue-se que, r1 =

32 , r2 =1 e r3 = 0, ento C. S.3 =(32 ,1

) (0,+).

Ento, o C. S. ser obtido intersectando C. S.1, C. S.2 e C. S.3, isto ,(3

4,+

) (1,+)

(( 3

2,1

) (0,+)

)= (0,+)

Portanto,C. S.= (0,+)

1.6 Axioma do Supremo

Antes de comear a falar sobre os limitantes de um conjunto A R, vejamos alguns conjuntosimportantes em R:

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O conjunto dos nmeros naturais, denotado por N, o conjunto

N= {1,2,3,4, . . .}.

Se n N, ento n dito de nmero natural.

O conjunto dos nmeros inteiros, denotado por Z, o conjunto

Z= {. . . ,4,3,2,1,0,1,2,3,4, . . .}.

Se z Z, ento z dito de nmero inteiro.

O conjunto dos nmeros racionais, denotado por Q, o conjunto

Q={a

b: a Z e b Z, com b 6= 0

}.

Se q Q, ento q dito de nmero racional.

O conjunto dos nmeros aplicar aacionais, denotado por I, o conjunto

I= {x R : x 6Q}.

Se x I, ento x dito de nmero irracional.

Assim, verifica-se que:

Z=N{0}N, N ZQ R, R=Q I e Q I= /0.

Nota

a. Entre os nmeros irracionais temos:

2,

3, 7

4,

7, . . .

= 3,141592 . . . e = 2,71828182 . . .

b. Uma propriedade importante dos nmeros racionais e irracionais que:

Entre dois nmeros racionais existe um conjunto infinito de nmeros irracionais;

Entre dois nmeros irracionais existe um conjunto enumervel de nmeros racio-nais.

Definio 1.9Seja A um subconjunto no vazio de R. Diz-se que:

i. A limitado superiormente se existe M R tal que

xM, x A.

O nmero M chamado de limitante superior de A.

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ii. A limitado inferiormente se existe m R tal que

m x, x A.

O nmero m chamado de limitante inferior de A.iii. A limitado se existe L > 0 tal que

|x| L, x A.

Um conjunto limitado se limitado superiormente e inferiormente.

Exemplo 1.18

a. Os conjuntos N e (1,+) so conjuntos limitados inferiormente, em particular m = 1,m =2 so limitantes inferiores. No entanto, estes conjuntos no so limitados superiormente.

b. Os conjuntos (,4] e N so conjuntos limitados superiormente, em particular M = 4, M =20 so limitantes superiores. No entanto, estes conjuntos no so limitados inferiormente.

c. Os conjuntos{

23z

: z Z\{0}}

e {x R : 2x x2 7} so conjuntos limitados, em parti-

cular por 4.

Definio 1.10Seja A um subconjunto no vazio de R. Diz-se que:

i. s R o supremo de A, denotado por Sup(A) se:

a. s limitante superior de A, isto , x s, x A.b. Se b R e b < s, ento existe x A tal que b < x s.

Em outras palavras, o supremo de um conjunto o menor de seus limitantes superiores.

ii. r R o nfimo de A, denotado por Inf(A) se:

a. r limitante inferior de A, isto , r x, x A.b. Se c R e r < c, ento existe x A tal que r x < c.

Em outras palavras, o nfimo de um conjunto o maior de seus limitantes inferiores.

NotaSe o supremo e o nfimo de um conjunto A pertencem ao conjunto, esses elementos sochamados mximo de A, denotado por max(A), e mnimo de A, denotado por min(A),respectivamente.

37 / 66


Exemplo 1.19Dados os conjuntos

A =(1, 9

4

], B =

{1k

: k N}

e C = {x Q :20 x}

temos que:

a. Inf(A) =1, Sup(A) = 94= max(A). Portanto, A limitado.

b. Inf(B) = 0, Sup(B) = 1 = max(B). Portanto, B limitado.

c. Inf(C) = 20 = min(C). Porm, C no limitado superiormente, logo, no tem supremo.Portanto, no limitado.

O axioma a seguir completa os axiomas que definem o sistema dos nmeros reais.

Axioma 11 (Axioma do Supremo)Todo subconjunto B 6= /0 de R e limitado superiormente, possui um supremo s = Sup(B) R.

Teorema 1.6Seja A R com A 6= /0. Se A limitado inferiormente, ento este possui nfimo.

Para finalizar, embora o princpio da boa ordem seja muito importante para essa teoria, ele serapenas enunciado.

O seguinte princpio usado para demonstrar o Princpio da Induo Finita e para provar vriaspropriedades referentes aos nmeros inteiros.

Teorema 1.7 (Princpio da boa ordem)Todo subconjunto no vazio de Z, limitado inferiormente, possui nfimo.

1.7 Recapitulando

Neste captulo, apresentamos as noes bsicas sobre o conjunto dos Nmeros Reais com o intuitode fazer com que o aluno tenha um melhor entendimento nos prximos captulos.

Desta forma, apresentamos o sistema dos nmeros reais, e nele os axiomas que regem a adioe multiplicao. Seguindo esse raciocnio, apresentamos dois teoremas que mostram as principaispropriedades da substrao e diviso.

Desde que em matemtica importantssimo entender qual a relao de ordem entre dois ele-mentos quaisquer, visando lidar com desigualdades, intervalos, inequaes, etc., esse conceito e suasprincipais propriedades foram revisadas.

Nas sees subsequentes, trabalhamos os conceitos de desigualdades, intervalos, equaes, inequa-es e valor absoluto, alm de terem sido apresentados exemplos ilustrativos.

Por ltimo, mas no menos importante, o axioma do supremo e o princpio da boa ordem foramapresentados, estabelecendo-se os conceitos de conjuntos limitados inferiormente, superiormente,supremo, nfimo, mximo e mnimo.

No prximo captulo, apresentaremos as noes bsicas sobre funes, j que esta teoria fundamen-tal para, por exemplo, determinar com preciso o domnio e a imagem das funes reais.

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1.8 Atividades

1. Encontre M tal que:

i. 2x x2 M, x R. ii. (x2 +4x+13

)M x R.

iii. x+62x+1 3

< M, x (0,4). iv. 2x+7x2 12< M, x (2,5).

v.3x+4x1 2

< M, x (3,7). vi. x2x2 +4x5< M, se |x2|< 12.

viii. x25xx2 + x+10

< M, se |x+1|< 1.2. Encontre as razes reais das seguintes equaes:

i. 12x4 = 3x+9. ii. 2x211x4 = 0. iii. x42x28 = 0.

iv.x24x= 3x+4. v. |2x1|= x1.

3. Encontre o conjunto soluo das seguintes inequaes:

i. 3x8 < 5x2. ii. 3x25x2 > 0.

iii. (x2 + x6)(4x4 x2) 0. iv. x2x+4

x+5x+3

.

v.x22x+3x24x+3

>2. vi. 32x24

xx2

4x+2

.

vii.

x22x15 > x+1. viii.

x211x+30 > 6 x.

ix.

x2 +3x4

4

x2 +6x> x2. x.

x2 +3x2x21< 1.

xi. 3(|x+1| 1

6

)2 12

|x+1| 16.

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Captulo 2

Funes

OBJETIVOS DO CAPTULO

Ao final deste captulo voc dever ser capaz de:

Determinar com preciso o domnio e a imagem de uma funo real;

Dado o grfico de uma curva, estabelecer se este pertence a uma funo;

Dada uma funo, saber estabelecer se ela injetora, sobrejetora ou bijetora;

Realizar operaes com funes, isto , soma, substrao, produto, diviso e composi-o de funes;

Encontrar a inversa de uma funo, se ela existir;

Relacionar-se cada vez mais com a linguagem e o simbolismo matemtico relativo sfunes definidas no conjunto dos nmeros reais.

Ao relacionarmos o espao em funo do tempo, a intensidade da fotossntese realizada por umaplanta em funo da intensidade da luz a que ela exposta, ou uma pessoa em funo da impressodigital, percebemos quo importante o conceito de funo, pois este nos permite compreender asrelaes entre os fenmenos fsicos, biolgicos, sociais, etc., presentes no nosso cotidiano. Portanto,neste captulo, revisaremos um dos conceitos mais importante da Matemtica: a funo. Iniciaremoso captulo dando a definio formal deste objeto matemtico, que o objetivo de estudo deste captuloe de todos os outros.

2.1 Funes

Em diversas situaes, apresentam-se relaes que existem entre um conjunto de objetos e outroconjunto de outros objetos, por exemplo: quando calculamos a rea de um crculo, esta dependedo raio do crculo; a distncia de um objeto que viaja a uma velocidade constante ao longo de umpercurso depende do tempo; etc. Em cada caso, o valor da quantidade varivel, denotada por y,depende do valor de outra quantidade varivel, denotada por x. Dizemos ento que y uma funo dex e a escrevemos como y = f (x).

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f(x)

x

f

Sada

Entrada

Figura 2.1: Representao de uma funo como uma mquina.

Definio 2.1Sejam A e B dois conjuntos no vazios. Uma funo f de A em B, denotada por f : A B, uma regra que associa um nico elemento f (x) B a cada elemento x A.

A B

f(x)x

f

Associados a uma funo temos os conjuntos: domnio, imagem e grfico de uma funo, e a seguintedefinio estabelece estes importantes conceitos.

Definio 2.2Seja a funo f : A B. Ento:

i. O domnio da funo f o conjunto {x A : f (x) B}, e denotado por Dom( f ); isto, o domnio de f o subconjunto de A cujos elementos so todos os possveis valores deentrada da funo f .

ii. A imagem da funo f o conjunto { f (x) B : x A}, e denotado por Im( f ); isto , aimagem de f o subconjunto de B cujos elementos so todos os valores de f (x) conformex varia ao longo do conjunto A.

iii. Se A e B so subconjuntos de R, o grfico da funo f o conjunto{(x,y) RR : y = f (x)}, e denotado por Graf( f ).

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NotaSeja uma funo f : A B.

a. A notao y = f (x) (leia-se y igual a f de x) expressa que y o valorde f em x, neste caso, x denominada varivel independente e y variveldependente.

b. Se Dom( f ) = A, diz-se que f uma aplicao de A em B. Alm disso, seIm( f ) = B, diz-se que f uma aplicao de A sobre B.

c. Se A e B so subconjuntos de R, ento f chamada de funo real de varivelreal.

d. Se f uma funo real de varivel real, definida pela regra de correspondnciay = f (x), ento:

i. Quando Dom( f ) no especificado, considera-se que este o maior sub-conjunto de R para os quais a regra de correspondncia tenha sentido eresulte em valores reais. Isso denominado domnio natural da funo.

ii. Os valores de x para os quais f (x) = 0 so as coordenadas x, para osquais o grfico de f intersecta o eixo x. Estes valores so denominadoszeros de f , razes de f (x) = 0 ou pontos de corte de y = f (x) com oeixo x.

e. Os grficos podem fornecer uma informao visual importante sobre uma fun-o. Por exemplo, como o grfico de uma funo f no plano xy o grficoda equao y = f (x). Os pontos do grfico so da forma (x, f (x)), ou seja,a coordenada y de um ponto do grfico de f o valor de f na coordenada xcorrespondente.

Exemplo 2.1Para f definida a seguir, determinemos o domnio, a imagem e seu grfico:

a. Sejam A = {1,2,3,4}, B = {5,6,7,8,9} e f : A B definida por f (x) = x+2.

SoluoDesde que f (1) = 1+ 2 = 3, f (2) = 2+ 2 = 4, f (3) = 3+ 2 = 5, f (4) = 4+ 2 = 6,verificamos que os nicos valores de A que tem um correspondente no conjunto B so3, 4. Portanto, Dom( f ) = {3,4} e Im( f ) = {5,6} e o grfico de f apresentado no item(a) da figura abaixo

b. Seja f : R R definida por f (x) = 1x

.

SoluoA funo f dada est definida para todo x R, exceto x = 0; assim Dom( f ) = R\{0}.Para determinar Im( f ) conveniente introduzir uma varivel dependente y:

y =1x.

42 / 66

Embora para muitos o conjunto dos possveis valores de y no seja evidente nessa equao,o grfico de f (veja o item (b) da figura abaixo) sugere que Im( f ) = R\{0}. Para provaristo, resolvamos a equao acima para x, em termos de y:

x 6= 0 xy = 1 x = 1y.

Agora est evidente que essa expresso est definida para todo y R, exceto para y = 0.Portanto, Im( f ) = R\{0}.

0

Graf( )f

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

-

-

Graf( )f

x

y

x

y

1 2 3 4

8

6

9

7

5

- - - -

-

-

-

x

y

5

-

6

-

10-

-

-

4

3

-

-

2

1

-

-

0

Dom( )f

Im( )f

(a) (b) (c)

Graf( )f

c. Seja f : (0,5] [1,10) definida por f (x) = (x3)2 +1.

SoluoDa definio de f temos que, para qualquer valor de x, f (x) est bem definida. Assim,Dom( f ) = (0,5]. Por outro lado, para x (0,5], se segue que

0 < x 5 3 < x3 2 0 (x3)2 < 9 1 (x3)2 +1 < 10

Logo, o valor de f (x) varia sobre o intervalo [1,10). Portanto, Im( f ) = [1,10).Nesse caso, f uma aplicao de (0,5] sobre [1,10) e Im( f ) pode ser escrita comof ((0,5]) = [1,10). Veja o item (c) da figura acima.

A prxima nota nos diz que nem toda curva no plano o grfico de uma funo.

Teste da Reta VerticalUma relao f : R R com domnio localizado no eixo horizontal e a imagem localizadano eixo vertical uma funo se, e somente se, toda reta vertical intersecta o seu grfico nomximo uma vez. O item (a) da figura a seguir corresponde a uma funo, enquanto que oitem (b) no corresponde a uma funo.

x

y

0

y = f (x)

Graf( f ) x

y

0

L

P

Q

R

S

TGraf( f )

(a) (b)

43 / 66

2.1.1 Translaes e reflexes de uma funo

Esta seo se dedicar a considerar o efeito geomtrico de efetuar operaes bsicas com funes.Isso nos permitir usar grficos de funes conhecidas para visualizar ou esboar grficos de funesrelacionadas.

Teorema 2.1 (Testes de simetria)

i. Uma curva plana simtrica em relao ao eixo y se, e somente se, subtituindo-se x porx em sua equao obtm-se uma equao equivalente;

ii. Uma curva plana simtrica em relao ao eixo x se, e somente se, subtituindo-se y pory em sua equao obtm-se uma equao equivalente;

iii. Uma curva plana simtrica em relao origem se, e somente se, subtituindo-se x porx e y por y em sua equao obtm-se uma equao equivalente.

Esboando grficosPara esboar o grfico de uma funo importante considerar a relao entre ela e uma outrafuno j conhecida, y = f (x). Seja o grfico de y = f (x) apresentado no item (a) da figuraabaixo. Ento o grfico de:

y = f (x) a funo simtrica ao grfico original com respeito ao eixo x. Veja o item (b) dafigura abaixo;

y = f (x) a curva simtrica ao grfico original com respeito ao eixo y. Veja o item (c) dafigura abaixo;

y = | f (x)| obtida transladando a parte do grfico original que se encontra abaixo do eixo x( f (x)< 0) de forma simtrica a este ltimo e mantendo a parte do grfico que est por cimado eixo x ( f (x) 0). Veja o item (d) da figura abaixo;

x

y

0

y = f (x)

x

f(x)

(a)

x

y

0

y = f (x)

y = - f (x)

(b) (d)

x

y

0

y = f (x) y = f (- x)

x

yy = |f (x)|

y = f (x)

(c)

0

Sejam k > 0 e h > 0. Ento o grfico de:

y = f (x)+ k se obtm transladando verticalmente o grfico original k unidades para cima.Veja o item (a) da figura abaixo;

y = f (x) k se obtm transladando verticalmente o grfico original k unidades para baixo.Veja o item (a) da figura abaixo;.

y = f (x + h) se obtm transladando horizontalmente o grfico original h unidades para aesquerda. Veja o item (b) da figura abaixo;

y = f (x h) se obtm transladando horizontalmente o grfico original h unidades para adireita. Veja o item (b) da figura abaixo;

44 / 66


y = f (xh)+ k se obtm efetuando uma dupla translao h unidades para a direita horizon-talmente e k unidades para cima verticalmente. Veja o item (c) da figura abaixo.

x

y

0

y = f (x)

(c)

y = f (x - h) + k

k

h

x

y

0

y = f (x)

x

y

0

y = f (x)

(a) (b)

y = f (x) + k

y = f (x) - k

y = f (x+h) y = f (x-h)

k

k

h h

Exemplo 2.2Dadas as seguintes funes:

a. f (x) = x2; b. f (x) =x2; c. h(x) = x2 +1;

d. i(x) = (x+1)2; e. j(x) = (x1)22; f. k(x) = |x22|.

Nas figuras abaixo encontramos, na sua respectiva letra, o esboo do grfico de cada uma delas.

(b)

x

y

0

(a)

x

y

0

y = - x2

x

y

0

y = x2

y = x2 + 1

y = x2y = x21

(c)

(f)

x

y

0

(e)

x

y

0

y = x2

y = (x -1)2 - 2

1

y = |x 2 - 2|

y = x 2 - 2

x

y

0

y = (x +1)2

1

-2

(d)

y = x2

45 / 66

2.1.2 Funes comuns

Agora apresentaremos algumas funes reais de varivel real que so de uso frequente em clculo.

Funo linear a funo definida por f (x) = mx+b, onde m e b so constantes. O domnio da funo linear Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = R. Seu grfico a reta com coeficiente angular, ouinclinao, m que intersecta o eixo x em (0,b); veja o item (a) da figura abaixo.

Casos particularesa. Quando b = 0, a funo f (x) = mx passa pela origem; no item (b) da figura abaixo

vemos a ilustrao destas retas, para valores diferentes de m.b. Quando m = 1 e b = 0, a funo f (x) = x chamada de funo identidade, tambm

denotada por Id(x), e seu grfico a reta diagonal do primeiro e do terceiro quadrante;veja o item (c) da figura abaixo.

c. Quando m = 0, a funo f (x) = b chamada de funo constante e, nesse caso,Im( f ) = {b}; veja o item (d) da figura abaixo.

x

y

0

y = mx + b

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = b

Im( ) = {b}f

Dom( ) = f R

x

y

0

y = x

(a) (b) (c) (d)

y

y = x

y = - x

y = - 4x

3

2

5

2

y = 2x

y = x

b

Funo valor absoluto a funo definida por f (x) = |x|, x R. Da definio de valor absoluto, temos:

|x|=

x2 ={

x, se x 0;x, se x < 0.

O domnio da funo valor absoluto Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = [0,+); veja oitem (a) da figura abaixo.

Funo raiz quadrada a funo definida por f (x) =

x, x 0. O domnio da funo raiz quadrada Dom( f ) =

[0,+) e sua imagem Im( f ) = [0,+); veja o item (b) da figura abaixo.

Funo raiz cbica a funo definida por f (x) = 3

x, x R. O domnio da funo raiz cbica Dom( f ) = R e

sua imagem Im( f ) = R; veja o item (c) da figura abaixo.

46 / 66

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8

Dom( ) = f R Dom( ) =

x0

f

Im( ) = f

y = 3 x

R

R

y

x

y

0

y = x

f

Im( ) = [0, + )f 88Dom( ) = [0, + )

(a) (b) (c)

Funo polinomial de grau n a funo definida por f (x)= a0xn+a1xn1+ +an, xR, onde a0,a1, . . . ,an so constantesreais, a0 6= 0 e nN{0}. O domnio da funo polinomial Dom( f )=R, porm, sua imagemdepende de n.

Casos particularesa. f (x) = xn, n N:

i. Se n par, sua imagem Im( f ) = [0,+), seu grfico simtrico em relao aoeixo y com formato geral de uma parbola, y = x2, embora no sejam realmenteconsideradas assim quando n > 2, e cada grfico passa pelos pontos (1,1) e(1,1); veja o item (a) da figura abaixo.

ii. Se n mpar, sua imagem Im( f ) = R, seu grfico simtrico origem comformato geral de uma cbica y = x3, e cada grfico passa pelos pontos (1,1)e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo.

iii. Quando n cresce, no intervalo (1,1) os grficos ficam mais achatados e nosintervalos (,1) e (1,+) cada vez mais prximos ao eixo y;

b. Funo quadrtica ou funo polinomial de 2 grau: f (x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0. O

grfico desta funo uma parbola de vrtice( b

2a,c b

2

4a

).

i. Se a > 0, a parbola se abre para cima e Im( f ) =[

c b2

4a,+

); veja o item (c)

da figura abaixo. Mais ainda, o valor mnimo da funo ocorre no vrtice, isto ,

f( b

2a

)= c b

2

4a o valor mnimo da funo.

ii. se a < 0, a parbola se abre para baixo e Im( f ) =(,c b

2

4a

]; veja o item (d)

da figura abaixo. Mais ainda, o valor mximo da funo ocorre no vrtice, isto ,

f( b

2a

)= c b

2

4a o valor mximo da funo.

47 / 66


Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = x5

R

R

y = x3

Dom( ) =

x

y

0

f

f

y = x4

Ry = x2

8

(a) (b)

x

y

0 b2a

b2

4ac

x

y

0 b2a

b2

4ac

Im( ) = [0, + )

(c) (d)

y = x6

y = x7

Funo racional a funo definida por

f (x) =a0xn +a1xn1 + +anb0xm +b1xm1 + +bm

, x R.

Esta funo o quociente dos polinmios P(x) = a0xn + a1xn1 + + an e Q(x) = b0xm +b1xm1+ +bm, onde a0,a1, . . . ,an,b0,b1, . . . ,bm so constantes reais, a0,b0 6= 0 e n,mN{0}. O domnio da funo racional Dom( f ) = {x R : Q(x) 6= 0} R\{x R : Q(x) = 0}.

Casos particulares

a. f (x) =1xn

, n N:i. Se n mpar, o domnio da funo Dom( f ) = R\{0}, sua imagem Im( f ) =

R\{0}, seu grfico semelhante ao grfico de y = 1x

e cada grfico passa pelos

pontos (1,1) e (1,1); veja o item (a) da figura abaixo;ii. Se n par, o domnio da funo Dom( f ) = R \ {0}, sua imagem Im( f ) =

(0,+) e seu grfico semelhante ao grfico de y =1x2

, e cada grfico passa

pelos pontos (1,1) e (1,1); veja o item (b) da figura abaixo;iii. O fato de 0 /Dom( f ) implica que o grfico tem uma quebra na origem. Por esse

motivo, zero denominado ponto de descontinuidade. Esse conceito ser vistono Captulo 4;

iv. Quando n cresce, nos intervalos (,1) e (1,+), os grficos ficam mais acha-tados e nos intervalos (1,0) e (0,1) cada vez mais prximos ao eixo y:

b. f (x) =1

1+ xn, n N:

i. Se n mpar, o domnio da funo Dom( f ) =R\{1}, sua imagem Im( f ) =R \ {0} e seu grfico tem um comportamento semelhante curva mostrada noitem (c) da figura abaixo;

ii. Se n par, o domnio da funo Dom( f ) = R, sua imagem Im( f ) = (0,1] eseu grfico tem um comportamento semelhante curva mostrada no item (d) dafigura abaixo.

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = \ {0} f R

R

1x

(a)

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = (0, + )f

R

8

1x2

(b) (c) (d)

x

y

0

Dom( ) = \ { - 1} f

Im( ) = \ {0} f R

R

-1

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

48 / 66


Funo algbrica qualquer funo construda a partir de polinmios por meio de operaes algbricas (adio,subtrao, multiplicao, diviso ou extrao de razes). Todas as funes racionais so algbri-cas, porm existem outras funes mais complexas inclusas nesse conjunto. Os grficos dessetipo de funo variam amplamente e, assim sendo, difcil fazer afirmaes sobre elas, veja ositens (a), (b) e (c) da figura abaixo.

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = [0, + )f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x2/3(x+2)2

(c)

3

4

8

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

y = x(1 - x)2/5

R

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = - 3 4, +f

R

1 2 3

5

10

-3 -2 -1

-5

y = 3x1/3(2+ x)

(b)

15

20

8

(a)

94[ )

Funo trigonomtricaExistem 6 funes bsicas trigonomtricas, sen(x), cos(x), tg(x), sec(x), cossec(x) e cotg(x).Os grficos das funes seno e cosseno so mostrados na figura abaixo nos itens (a) e (b),respectivamente.

x

y

0

1

-1

y = sen(x)

(b)(a)

2

23

2

2

23

2

x

y

0

1

-1

y = cos(x)

2 23 2

2232

Dom( ) = f R Im( ) = [-1, 1]f

Funo exponencial da forma f (x) = ax, onde a base a > 0 uma constante positiva e a 6= 1. Em todos os casos, odomnio Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = (0,+). Os grficos para as bases 2, 3, 5, 7so apresentados nos itens (a) e (b) da figura abaixo.

Dom( ) = (0,+ )f 8

(a)

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = (0,+ )f

R

1

y = 7-x

y = 5-x

y = 3-x

y = 2-x

8

x

y

0

Im( ) = f R

1

y = log2 x

x

y

0

1

(b)

y = 7x

y = 5x

y = 3x

y = 2x

(c)

y = log3 x

y = log5 x

y = log7 x

49 / 66

Funo logartmica da forma f (x) = logax, onde a base a > 0 uma constante positiva e a 6= 1. Esta funo a inversa da funo exponencial. Em todos os casos, o domnio Dom( f ) = (0,+) e suaimagem Im( f ) =R. O item (c) da figura acima mostra os grficos da funo logartmica paraa = 2, 3, 5, 7.

Funo sinal denotada por sgn(x), x R, leia-se sinal de x, e est definida por

sgn(x) =

1, se x < 0;0, se x = 0;1, se x > 0.

O domnio da funo sinal Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = {1,0,1}. Seu grfico apresentado no item (a) da figura abaixo.

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = f

R

1 2 3

1

2

-3 -2 -1

-1

-2

-3

y = x

x

y

0

Dom( ) = f

Im( ) = {-1, 0, 1} f

R

y = sgn(x)

(a) (b)

Funo maior inteiro denotada por bxc, x R, leia-se maior inteiro de x, e est definida por

bxc= n se, e somente se, n x < n+1, n Z

Isto , bxc representa o maior nmero inteiro que no supera x. O domnio da funo maiorinteiro Dom( f ) = R e sua imagem Im( f ) = Z. Seu grfico apresentado no item (b) dafigura acima.

Propriedades da funo maior inteiroa. x1 < bxc x, x R;b. Se n Z bx+nc= bxc+n, x R;c. Se f (x) = baxc, com a 6= 0, a longitude do intervalo onde a funo permanece cons-

tante `=1|a|

.

50 / 66

Exemplo 2.3Dada a funo maior inteiro bxc:

a. Se x = 3,1415 bxc= 3; b. Se x = 3 bxc= 3;

c. Se x =1,25 bxc=2; d. Se x [2,1) bxc=2;

e. Se x [1,0) bxc=1; f. Se x [0,1) bxc= 0;

g. Se x [1,2) bxc= 1.

Exemplo 2.4Esbocemos os grficos das seguintes funes:

a. f (x) = b3xc

Soluo

Pela definio, b3xc = n n 3x < n+ 1 n3 x < n

3+

13

. O grfico desta funo apresentado no item (a) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a funo perma-

nece constante `=13

.

b. f (x) =x

3

Soluo

Pela definio,x

3

= n n x

3< n+ 1 3n 3 < x 3n. O grfico desta

funo apresentado no item (b) da figura abaixo. A amplitude do intervalo onde a funo

constante `=113 = 3.

x

y

-1 3 3

0 1 2 1

-1

-2

-3

3 3

2 1

y = 3x

x

y

0

1

2

-9

-1

-2

-3

3 6

y =

9

-6 -3

x3

(a) (b)

1

2

2.1.3 Funo par e funo mpar

Definio 2.3

51 / 66


i. Uma funo f : RR chamada par se para todo x Dom( f ) se verificax Dom( f )e f (x) = f (x).

x

y

0

y = xn

x

y

0

y = |x|

Im( ) = [0, + )f 8Dom( ) = f R

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = (0, + )f

R

8

1xn

Dom( ) =f

Im( ) = (0, 1]f

R

x

y

0

1

y = 1

xn+1

Figura 2.2: Em todos os grficos de funes pares n par.

ii. Uma funo f : R R chamada mpar se para todo x Dom( f ) se verifica x Dom( f ) e f (x) = f (x).

x

y

0

y = x

Dom( ) = f

Im( ) = f R

R

x

y

0

y = n x

Dom( ) =

x

y

0

f

Im( ) = f

y = xn

R

R

x

y

0

y =

Dom( ) = \ {0} f

Im( ) = \ {0} f R

R

1xn

Figura 2.3: Em todos os grficos de funes mpares n mpar.

Nota

a. O grfico de toda funo par simtrico em relao ao eixo y, uma vez que f (x) =f (x), um ponto (x,y) estar no grfico se, e somente se, o ponto (x,y) estiver nogrfico. Uma reflexo atravs do eixo y no altera o grfico;

b. O grfico de toda funo mpar simtrico em relao origem, uma vez que f (x) = f (x), um ponto (x,y) estar no grfico se, e somente se, o ponto (x,y) estiver nogrfico.

2.1.4 Funo peridica

Definio 2.4Uma funo f : R R dita peridica se existe um nmero real t 6= 0 tal que para todox Dom( f ) se verifica:

i. x+ t Dom( f );ii. f (x+ t) = f (x).

O menor valor de t tal que os itens acima sejam verificados denominado de perodo de f .

52 / 66

Exemplo 2.5As seguintes funes so peridicas:

a. f (x) = xbxc , x R. De fato, notamos que f (x+1) = (x+1)bx+1c= x+1 (bxc+1) =xbxc= f (x) e desde que no existe outro nmero real t tal que 0 < t < 1 e que seja o perodode f , assim f de perodo 1; veja o item (a) da figura abaixo.

x

y

1

-1

f(x) = |sen(2x)|

-2

-2

x

y

0

1

-3 1 2

f(x) = x x

3-2 -1-4 4

(a) (b)

-1

Dom( ) = f Im( ) = [0, 1] fR

b. f (x) = |sen(x)|, x R. Afirmamos que o perodo de f t = . De fato, f (x+) = |sen(x+)|= | sen(x)|= |sen(x)|= f (x); veja o item (b) da figura acima.

2.1.5 Funo crescente e funo decrescente

Definio 2.5Seja f uma funo definida em um intervalo I e x1 e x2 dois pontos em I.

i. Se f (x2)> f (x1) sempre que x1 < x2, ento dizemos que f crescente em I; veja o item(a) da figura abaixo.

x

y

a bx1 x2

f(x1)

f(x2)

0

Ix

y

a bx1 x2

f(x2)

f(x1)

0

I

ii. Se f (x2) < f (x1) sempre que x1 < x2, ento dizemos que f decrescente em I; veja oitem (b) da figura acima.

NotaUma funo crescente se seu grfico ascendente e decrescente se seu grfico des-cendente, em ambos casos, da esquerda para a direita.

53 / 66


Exemplo 2.6A funo f (x) = |x24|, veja grfico abaixo, crescente nos intervalos [2,0] e [2,+), e decres-cente nos intervalos (,2] e [0,2].

x

y

f(x) = | x2- 4 |

-2 2

4

2.1.6 Funo definida por partes

Definio 2.6Uma funo f : RR definida por partes se ela descrita por funes diferentes em partesdiferentes de seu domnio.

f (x) =

f1(x), se x I1;f2(x), se x I2;

......

fn(x), se x In;

onde Ii Dom( fi), i, Dom( f ) =n

i=1 Ii e Ii I j = /0, i, j {1,2, . . . ,n}, i 6= j.

Exemplo 2.7A funo

f (x) =

(x+1)2 +1, se x (,1);|x|, se x [1,1);1, se x [1,);

cos(x), se x [,+);

definida por partes, com Dom( f ) = (,1) [1,1) [1,) [,+) = R, e na figura abaixopodemos ver seu grfico.

x

y

1

-1

f(x)

-1 1

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2.2 Funo injetora, sobrejetora e bijetora

Nesta seo, apresentamos trs conceitos muito importantes para funes: injetividade, sobrejetivi-dade e bijetividade.

Definio 2.7Seja f : A B uma funo. Diz-se que:

i. f injetora se f (x1) = f (x2), implica que x1 = x2 para todo x1,x2 Dom( f ). Ou equi-valentemente, x1,x2 Dom( f ), com x1 6= x2, temos que f (x1) 6= f (x2).

ii. f sobrejetora ou sobre se para todo y B existe x A tal que f (x) = y. Em outraspalavras, f : A B sobrejetora se Im( f ) = B.

iii. f bijetora se, e somente se, f injetora e sobrejetora.

Nota

a. A funo injetora tambm conhecida como funo univalente ou um a um, j queexiste uma correspondncia um para um entre os elementos do domnio e a imagem.

b. Geometricamente, uma funo definida por y = f (x) injetora se, ao traar retasparalelas ao eixo x, essas intersectam o seu grfico em no mais de um ponto; veja afigura a seguir.

x

y

0

y

Exemplo 2.8

a. A funo f : R R definida por f (x) = 3x+ 2, injetora. De fato, se f (x1) = f (x2) 3x1 +2 = 3x2 +2 3x1 = 3x2 x1 = x2. Alm disso, f sobrejetora desde que se y R,

existe x =y2

3tal que f (x) = f

(y2

3

)= 3

(y2

3

)+ 2 = y. Portanto, podemos concluir

que f bijetora.

b. A funo f : R [0,+) definida por f (x) = x2 sobrejetora pois Im( f ) = [0,+). Porm,no injetora, pois x1 = 2 e x2 = 2 geram a mesma imagem, isto , f (2) = 4 = f (2).Portanto, f no bijetora.

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2.2.1 Operaes com funes

Da mesma forma que fazemos operaes aritmticas com nmeros, podemos realizar este tipo deoperaes entre funes, produzindo outras novas.

Definio 2.8Sejam f e g duas funes reais de variveis reais com domnios Dom( f ) e Dom(g). Diz-se quef e g so iguais se:

i. Dom( f ) = Dom(g);

ii. f (x) = g(x), x Dom( f ) = Dom(g).

Exemplo 2.9As funes

a. f (x) = 4x36 e g(x) =(64x3) so iguais desde que Dom( f ) =Dom(g) =R e f (x) = g(x).

b. f (x) =

(x2)(x5) e g(x) =

x2

x5 so diferentes, pois Dom( f ) = (,2] [5,+) e Dom(g) = [5,+), ou seja, Dom( f ) 6= Dom(g).

Definio 2.9Sejam f e g duas funes reais de varivel real com domnios Dom( f ) e Dom(g), respectiva-mente. Define-se:

A funo soma

( f +g)(x) := f (x)+g(x), x Dom( f +g) = Dom( f )Dom(g).

A funo diferena

( f g)(x) := f (x)g(x), x Dom( f g) = Dom( f )Dom(g).

A funo produto

( f g)(x) := f (x) g(x), x Dom( f g) = Dom( f )Dom(g).

A funo quociente(fg

)(x) :=

f (x)g(x)

, x Dom(

fg

)= Dom( f ) (Dom(g)\{x : g(x) = 0}) .

A funo valor absoluto

| f |(x) := | f (x)|, x Dom(| f |) = Dom( f ).

A funo produto de uma constante por uma funo

(c f )(x) := c f (x), x Dom(c f ) = Dom( f ),

onde c R uma constante real .

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Exemplo 2.10

Sejam f (x) =

9 x2 e g(x) =

x2 14 . Encontremos as regras de correspondncia das funes:

f +g, f g, f g, 8g,(

fg

), |g|.

SoluoCaculemos os domnios:

cálculo diferencial e integral -...

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