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VII Teoria dos Nmeros 109

Matemtica Elementar

Prof. Hlio de Menezes Silva

1. edio (mar.2013)

Livro do aluno desta disciplina no Curso de Licenciatura em Computao

Unidade de Educao a Distncia Universidade Federal da Paraba UFPB Virtual

http://portal.virtual.ufpb.br/wordpress/cursos/licenciatura-em-computacao/

Dedico este livro a Raquel, Sandra, Mauro, Airton e Srgio,

os cinco maravilhosos filhos que Deus deu de presente a mim e a Nira. Vocs so o maior tesouro e a maior causa de jbilo e alegria que recebemos sobre esta terra! Bem, sinto muita falta e saudades de Mauro, mas sei que qualquer dia desses vamos nos encontrar de novo, no cu, e, enquanto isso, eu e Nira queremos aproveitar mais e melhor nossos dias com nossos outros filhos, e netos.

Agradeo minha esposa, Valdenira Nunes de Menezes Silva, por ter assumido muitas das minhas tarefas, a fim de me dar tempo para escrever este livro em curto prazo de tempo. Agradeo aos professores Rivanildo Garcia da Silva e Jos Miguel Aroztegui por suas contribuies e revises do cap. 1; Joseluce de Farias Cunha, cap. 2; Lucdio dos Anjos Formiga Cabral, cap. 6. Agradeo ao alunos Tlio Albuquerque Pascoal, cap. 3. Os exemplos das falcias citadas no cap. 2 so adaptaes de respostas por meus alunos de Linguagens Formais, em trabalho para casa, no perodo 2012.2.

Hlio de Menezes Silva, maro 2013.

Salmo 8:3-9: 3 Quando vejo os teus cus, obra dos teus dedos, a lua e as estrelas que preparaste;4 Que o homem mortal para que te lembres dele? e o filho do homem, para que o visites?5 Contudo, pouco menor o fizeste do que os anjos, e de glria e de honra o coroaste.6 Fazes com que ele tenha domnio sobre as obras das tuas mos; tudo puseste debaixo de seus ps:7 Todas as ovelhas e bois, assim como os animais do campo.8 As aves dos cus, e os peixes do mar, e tudo o que passa pelas veredas dos mares.9 SENHOR, Senhor nosso, quo admirvel o teu nome sobre toda a terra! (LTT)

Apresentao da Disciplina

Parabns, meu aluno e amigo, pela sua deciso de estudar e fazer um curso superior, particularmente Licenciatura em Computao na UFPB, enquanto muitos se abandonam ao no fazer nada da vida. Parabns. Sei que alguns de vocs trabalham, muitos moram onde no h muitos meios e oportunidades, por isso lhe dou pessoalmente parabns pela garra e determinao em fazer este curso atravs do EAD.

Tenho a firme convico que, com sua disciplina e determinao amigo (isto ser a chave!), a EAD pode formar profissionais de grande competncia, EAD pode ser o futuro da educao, inclusive revertendo paradigmas seculares, http://usatoday30.usatoday.com/life/people/story/2012-05-30/sal-khan-profile-khan-academy/55270348/1. Sou um entusiasta da EAD, mas deixe-me avis-lo, ela precisa de duas coisas bsicas: autodisciplina e esforo. Se voc no tiver essas qualidades e de modo nenhum as quiser desenvolver, deixe-me ser franco, dificilmente conseguir muito na vida, em quase nada. Na EAD, voc precisa ter a autodisciplina de diariamente dedicar vrias horas ao estudo. Sozinho ou em grupo, voc precisa fazer por si mesmo todos os exemplos e pelo menos 1/3 dos exerccios, saltando de trs em trs. Vou bater nessa mesma tecla em todas as unidades.

Quanto ao curso de Licenciatura em Computao, minha aspirao que ele lhe faa ainda mais um vencedor, em DUAS vertentes: a) tendo capacidade tcnica para disputar corrida com os bacharis em Cincia da Computao e cursos similares (por que no?); e b) sendo o profissional por excelncia na nobre profisso de professor na educao bsica e na tcnico- profissionalizante, talvez fazendo ps-graduao e ensinando em universidades. Almejo e antevejo duas vertentes sua disposio, para seu futuro.

Quanto disciplina em si (Matemtica Elementar) de que tomo como privilgio poder escrever este livro e lhe ensinar, uma das primeiras e mais bsicas para tudo o mais. No uma disciplina fcil, pois muito densa, tem muito contedo em pouco tempo e espao, mas tem que ser assim. Se, ao final dela, voc no dominar seu assunto muito bem, provavelmente ter muita dificuldade para acompanhar as 3 outras disciplinas de Matemtica, mais as 3 disciplinas Estrutura de Dados (que avanar em grafos), Teoria da Computao (que avanar em lgica e outros formalismos) e Agentes Inteligentes (idem).

O objetivo especfico da disciplina lhe capacitar plenamente nos assuntos da sua ementa: 1) Teoria dos Conjuntos: axiomas, operaes elementares, relaes, funes, ordenao, nmeros naturais, conjuntos contveis e incontveis. 2) Introduo Lgica Matemtica. 3) Recorrncia e Induo. 4) Noes bsicas: proposies, provas/demonstraes. 5) Mtodos de Enumerao: permutao, combinao e o teorema de Ramsey. 6) Grafos: terminologia bsica, classes de grafos, grafos ponderados e orientados, ciclos e circuitos, rvores. Adicionei como um 7 tpico, Teoria dos Nmeros, ao invs de abord-lo distribudo nos tpicos anteriores. Fica melhor assim.

Os livros-texto da disciplina, se voc tiver acesso a eles em papel ou computador, so

- GERSTRING, J. L. Fundamentos Matemticos para Cincia da Computao. Rio de Janeiro: LTC, 3 ed., 1995.- ROSEN, K. H. Discrete Mathematics and its Applications. 4. ed. McGraw-Hill, 1999.- IEZZI, G. et al. Fundamentos de Matemtica Elementar: conjuntos e funes. 6 ed. So Paulo: Atual, Vol. 1, 1993..- DAGHLIAN, J. Lgica e lgebra de Boole. So Paulo: Editora tica, 1990.

mas creio que este presente livro dever ser suficiente para a maior parte da disciplina, voc s precisando consultar os livros-texto se se interessar por maior aprofundamento em certos tpicos que despertem seu interesse. Tambm, espalhados por este livro, colocarei links para vrios outros livros, notas de aula e artigos disponibilizados na internet, particularmente quando eu tiver extrado exemplos e problemas deles, ou quando eu quiser sugerir que voc faa tais exerccios.

O frum de alunos, os tutores, e eu (o professor) queremos e vamos ajud-lo (nessa ordem). Mas, repito, o incio de tudo, a chave, voc mesmo ser determinado e disciplinado, cada semana dedicando 4 a 8 horas para estudar este livro com todo afinco.

Sucesso, meu amigo. Comecemos nossa jornada na Matemtica Elementar. Que, ao final do seu esforo, mesmo duro, voc a avalie como lhe tendo dado a satisfao de ter dominado o assunto, e eu a satisfao de lhe ter ajudado nisso.

Prof. Hlio de Menezes Silva, mar.2013.DCC/ CI/ UFPB Universidade Federal da Paraba, Campus de Joo Pessoa.

Como estudar (para profundamente aprender e reter) cada captulo de qualquer livro (sobre qualquer assunto)

(particularmente este livro sobre MATEMTICA ELEMENTAR e material correto a ele e disponibilizado na internet),

preparando-se para os minitestes e exames presenciais da disciplina, e eventuais concursos.

Vou assumir que um captulo de Matemtica ou outra cincia exata, num livro denso, tem cerca de 10 pginas, num diludo e pr-mastigado (bem como captulo de disciplina de humanidades) tem 50 pginas.

Cada estudo, se for para voc dominar o assunto e ser bem aprovado e reter o que aprendeu, deve ser feito em trs varreduras:

1 varredura, de CONTATO (mais ou menos de 20 minutos para 10 pginas de Matemtica?): leia todo o captulo ou seo sem atropelo mas sem parar em nada: mesmo se voc ler 2 vezes um pargrafo e ainda no o entender perfeitamente, siga em frente num fluxo contnuo, seu objetivo sendo apenas o de ter uma ideia global da estrutura e contedo de tudo, saber o que mais importante e o que apenas caminho para l, sem voc, prematuramente, se deter em detalhes finos.

2 varredura, de DOMNIO (mais ou menos de 4 horas para 10 pginas de Matemtica?): releia toda a parte do livro, agora com toda a ateno e cuidado e intensidade, procurando perfeitamente entender cada definio (at o ponto de poder reexpress-la [oralmente] em suas prprias palavras); e perfeitamente entender cada prova ou demonstrao (idem); e perfeitamente entender cada exemplo (idem). Em paralelo, sublinhe a grafite, bem leve, os 10% que achar mais importantes. Depois de ler e compreender cada exemplo, feche o livro e tente faz-lo escrevendo-o com suas prprias palavras, depois compare com o livro. Finalmente, faa 1 a cada 3 ou 5 dos problemas propostos.A chave para o real aprendizado voc fazer muitas dezenas de problemas (eu fiz muitas centenas ou alguns milhares, para o vestibular, Clculo I e II, etc.). Comeando pelos exemplos e problemas mais fceis dos livros mais fceis, e prosseguindo paulatinamente para os mais difceis. Sem resolver problemas assim, somente lendo a teoria, voc nunca chegar nem perto de dominar nenhum assunto, provavelmente poder ser reprovado 2 ou 3 vezes em cada disciplina mais pesada, 3 varredura, de SNTESE E MEMORIZAO (mais ou menos de 20 minutos para 10 pginas de Matemtica?): Escolha os 2% mais importantes e mude-lhes o sublinhado para ser em caneta vermelha ou marcador amarelo: as frmulas, os teoremas, o que voc sabe que precisar guardar em sua memria para sempre. H quem goste de sumariar tudo numa espcie de cola de pgina (ou miniatura de 10cm), somente para fixar o que mais precisa saber (nunca para fins desonestos, claro).

Agora, reserve um local tranquilo e 1 hora (sem interrupes, nem mesmo interferncias) para fazer este trabalho.

Para seu interesse e controle, marque o tempo que voc gastar em cada questo, pois os tempos que ns atribumos s questes so 3 a 4 vezes os que ns mesmos levamos para resolver a questo (e h colegas professores e at alunos bem mais rpidos que ns), e nossos anos de experincia nos mostram que so suficientes para todos os alunos que estudam e dominam o assunto antes dos trabalhos. Portanto, se voc levar 2 ou 3 vezes mais tempo do que lhe atribumos, isto ser porque voc ainda tem que estudar e aprender durante o trabalho, ento voc pode at tirar nota boa agora, mas terminar levando muito mai