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Nome: _______________________________________________________ N.: _____ Turma: _____

Compilao de Exerccios de Exames Nacionais / Provas Finais (EN/PF) e de Testes Intermdios (TI)

Tema: Circunferncia e Polgonos . Isometrias

1. Na figura est representado um decgono regular [ ]ABCDEFGHIJ , inscrito numa circunferncia de centro O.

Os segmentos de recta [ ]ID e [ ]HC so dimetros desta circunferncia. 1.1. Aps uma rotao de centro em O e de amplitude 144 (sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio), o ponto A desloca-se para uma posio que, antes da rotao, era ocupada por outro ponto. De que ponto se trata? 1.2. Ao observar a figura, a Rita afirmou:

A amplitude do ngulo CDI igual amplitude do ngulo CHI.

Uma vez que a Rita no tinha transferidor, como que ela poder ter chegado a esta concluso? Justifica a tua resposta.

1.3. Com o auxlio de material de desenho, inscreve, na circunferncia desenhada ao lado, um tringulo equiltero. O ponto que est marcado no interior da circunferncia o seu centro.

No apagues as linhas auxiliares que traares para construres o tringulo.

(EN 2005 1. Chamada)

2. Na figura, est representado, num referencial ortogonal (eixos

perpendiculares), um tringulo [ ]ABC .

O segmento de reta [ ]BC perpendicular ao eixo dos xx .

Sabe-se que 20AB = , 5AC = e 5BC = .

2.1. Indica um valor aproximado por defeito e outro por excesso do

permetro do tringulo [ ]ABC , a menos de 0,1.

Valor aproximado por defeito ___________

valor aproximado por excesso ___________

2.2. A imagem do segmento de recta [ ]BC obtida por meio de uma rotao de centro em A e amplitude 90 um segmento de reta ...

(A) paralelo ao eixo dos xx (B) paralelo ao eixo dos yy (C) perpendicular a [ ]AB (D) perpendicular a [ ]AC (EN 2005 2. Chamada)

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3. Na figura, est representada uma circunferncia, de centro O, em que:

A, B e C so pontos da circunferncia;

o segmento de reta AC um dimetro;

OAB 30= .

3.1. Qual a amplitude do arco AB (em graus)?

3.2. Considera uma reta tangente circunferncia no ponto A. Seja D um ponto pertencente a essa reta.

Sabendo que o ngulo BAD agudo, determina a sua amplitude (em graus). Justifica a tua resposta. (EN 2005 2. Chamada)

4. Na figura, est representado um octgono regular [ ]ABCDEFGH , inscrito numa circunferncia de centro O. Ao observar a figura, e sem efectuar medies, a Ana afirmou:

O quadriltero [ ]BDFH um quadrado. Como que ela poder ter chegado a esta concluso? Justifica a tua resposta.

(EN 2005 2. Chamada) 5. O smbolo ao lado est desenhado nas placas do Parque das Naes que assinalam a localizao dos lavabos. As quatro figuras a seguir representadas foram desenhadas com base nesse smbolo.

Em cada uma delas, est desenhada uma reta r .

Em qual delas a reta r um eixo de simetria? (A) (B) (C) (D)


6. A piscina da casa do Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das quatro figuras que se seguem, esto representados dois azulejos. Em qual delas o azulejo da direita imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma rotao, com centro no ponto O, de amplitude 90 (sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio)? (A) (B) (C) (D)

(EN 2006 2. Chamada) 7. Na figura ao lado, est representada uma circunferncia, de centro O, em que:

A, B, C e D so pontos da circunferncia;

DAB 50= ;

DOC 60= .

Qual , em graus, a amplitude do arco CB ? (EN 2006 2. Chamada)

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8. Na figura, est representada uma circunferncia, de centro O, em que:

A, B, C e D so pontos da circunferncia;

o segmento de reta [ ]BD um dimetro; E o ponto de interseo das retas BD e AC;

o tringulo [ ]ADE retngulo em E ;

CAD 30= .

8.1. Qual a amplitude, em graus, do arco CD (assinalado na figura a trao mais grosso)?

8.2. Sabendo que 5AD = , determina ED . Apresenta todos os clculos que efetuares.

8.3. Sem efetuares medies, explica por que que a seguinte afirmao verdadeira.

Os tringulos [ ]ADE e [ ]CDE so geometricamente iguais. (EN 2007 1. Chamada)

9. Sejam A, B e C trs pontos distintos de uma circunferncia em que o arco AB tem 180 de amplitude. Justifica a seguinte afirmao:

O tringulo [ ]ABC no equiltero. (EN 2007 2. Chamada)

10. Na figura est desenhado um pentgono regular [ ]ABCDE . Em qual das quatro figuras que se seguem o pentgono sombreado a imagem do

pentgono [ ]ABCDE obtida por meio de uma rotao de centro no ponto A e amplitude 180?

(A) (B) (C) (D)

(TI 9Ano Maio 2008)

11. Na figura que se segue est representada uma circunferncia de centro O, em que

est inscrito um pentgono regular [ ]PQRST .

11.1. Qual a amplitude, em graus, do ngulo TPQ ? Apresenta todos os clculos que efetuares.

11.2. Sabe-se que:

a circunferncia tem raio 5;

o tringulo [ ]SOR tem rea 12. Determina a rea da zona sombreada a cinzento na figura. Apresenta todos os clculos que efetuares e indica o resultado arredondado s dcimas.

(TI 9Ano Maio 2008) 12. Na figura ao lado, est representada uma circunferncia de centro no ponto O e dimetro [AB]. O ponto C pertence circunferncia.

Determina a amplitude, em graus, do ngulo . Apresenta os clculos que efetuares. (EN 2008 2. Chamada)

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13. Na figura 3 est representada uma circunferncia. Sabe-se que:

[AC] um dimetro de comprimento 15.

B um ponto da circunferncia.

12AB = .

13.1. Justifica que o tringulo [ABC] retngulo em B.

13.2. Calcula a rea da regio sombreada da figura 3. Apresenta os clculos que efetuares e, na tua resposta, escreve o resultado arredondado s unidades. Nota: Sempre que, nos clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

(TI 9Ano Maio 2009) 14. A figura 4 apresenta um pormenor arquitectnico da casa do Cipreste, de Raul Lino, em Sintra. Na figura 5, esto a representao geomtrica de parte do pormenor arquitetnico e o vetor v

.

Em qual das alternativas seguintes esto representadas a figura 5 e a imagem dessa figura atravs da translao

associada ao vector v

?

(A) (B) (C) (D)

(TI 9Ano Maio 2009)

15. A figura ao lado [ABCDEFGH] um octgono regular inscrito na

circunferncia de centro O.

Qual a imagem do tringulo [AOB] obtida por meio da rotao de centro no

ponto O e de amplitude 135, no sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio?

(A) [COD] (B) [EOD] (C) [HOG] (D) [GOF] (EN 2009 1. Chamada) 16. Na figura ao lado, sabe-se que:

O o centro da circunferncia;

[AB] e [BC] so cordas geometricamente iguais;

D o ponto de interseo do dimetro [EB] com a corda [AC].

Nota: A figura no est construda escala.

16.1. Qual , em graus, a amplitude do arco AC, supondo que ABC 28= ?

16.2. Qual , em centmetros, a medida do comprimento de [DE], supondo que

AO 6,8 cm= e AC 6,4 cm= .

Apresenta os clculos que efetuares. (EN 2009 1. Chamada)

Fig.3

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17. Na figura ao lado, sabe-se que:

o dimetro [BD] perpendicular ao dimetro [AC];

[OHDE] e [OFBG] so quadrados geometricamente iguais;

o ponto O o centro do crculo;

OC 2 m= .

17.1. Escreve, em graus, a amplitude do ngulo ACB.

17.2. De entre as transformaes geomtricas indicadas nas alternativas seguintes, assinala a que no completa corretamente a afirmao que se segue.

O quadrado [OHDE] a imagem do quadrado [OFBG], atravs da transformao geomtrica definida por uma:

(A) rotao de centro no ponto O e amplitude 180. (B) rotao de centro no ponto O e amplitude 180. (C) simetria axial de eixo AC. (D) simetria axial de eixo DB.

17.3. Determina o valor exato, em centmetros, da medida do lado do quadrado [OFBG]. Apresenta os clculos que efetuares.

(EN 2009 2. Chamada) 18. Na figura, est representada uma circunferncia de centro O, na qual est inscrito um hexgono regular [ABCDEF].

18.1. Qual a amplitude, em graus, do ngulo DOC ?

18.2. Relativamente figura, sabe-se ainda que:

a circunferncia tem raio 4;

o tringulo [DOC] tem rea 4 3 .

Determina a rea da regio sombreada. Escreve o resultado arredondado s unidades. Apresenta os clculos que efetuaste. Nota: Sempre que, nos clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, duas casas decimais.

18.3. Considera a rotao de centro no ponto O e de amplitude 240 (sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio). Qual a imagem do ponto D obtida por meio dessa rotao? (TI 9Ano Maio 2010)

19. Na figura ao lado, est representada uma circunferncia de centro O, na qual

est inscrito um retngulo [ABCD].

A figura no est desenhada escala. Sabe-se que:

BDA 70=

AB 4,35 cm= .

19.1. Qual a amplitude, em graus, do arco AB?

19.2. Quantos eixos de simetria tem o retngulo [ABCD]?

19.3. Qual o comprimento, em cm, do dimetro [BD] da circunferncia?

Apresenta os clculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado s centsimas. Nota Sempre que, nos clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, trs casas decimais.


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20. Relativamente figura, sabe-se que:

[ACEG] um quadrado de lado 4 e centro O;

os pontos B, D, F e H so os pontos mdios dos lados do quadrado [ACEG];

os vrtices do quadrado [ACEG] so os centros das circunferncias representadas na figura;

o raio de cada uma das circunferncias 2 ;

o ponto I pertence circunferncia de centro no ponto A;

o ponto A pertence ao segmento de reta [IO]. 20.1. Qual a amplitude, em graus, do ngulo BIH ? 20.2. Determina a rea da regio sombreada. Apresenta os clculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado s dcimas. Nota Sempre que, nos clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.

20.3. Determina o comprimento de [IO]. Apresenta os clculos que efetuaste. Escreve o resultado arredondado s dcimas. Nota Sempre que, nos clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva duas casas decimais.


21. Na figura ao lado, est representada uma composio geomtrica de origem islmica. Nesta figura, esto representados, a sombreado, quatro polgonos geometricamente iguais, com a forma de uma seta. Esses polgonos esto designados pelos

algarismos 1, 2, 3 e 4. Os pontos A, B, C e D, assinalados na figura, so vrtices dos referidos polgonos.

O polgono 3 pode ser obtido como imagem do polgono 1 por meio da translao associada a um dos vetores seguintes. A qual deles? Transcreve a letra da opo correta.

(A) AC CB+

(B) AC CA+

(C) AB BD+

(D) AB BC+

(TI 8Ano Maio 2011)

22. Na figura ao lado, est representada uma circunferncia de centro no ponto O. Os pontos A, B, C, P e R pertencem circunferncia.

Sabe-se que:

a circunferncia tem raio 8

BA BC=

[PR] um dimetro da circunferncia;

o ponto Q o ponto de interseco dos segmentos [BA] e [PR]

o ponto S o ponto de interseco dos segmentos [BC] e [PR]

36ABO =

22.1. Qual a amplitude, em graus, do arco AB ?

22.2. Determina a rea da regio representada a sombreado. Apresenta o resultado arredondado s unidades. Apresenta os clculos que efetuares. Nota Sempre que, em clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, duas casas decimais.

(TI 9Ano Maio 2011)

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23. Na figura ao lado, est representada uma circunferncia de centro O, na qual est inscrito um quadrado [ABCD]. A figura no est desenhada escala.

23.1. Quantos eixos de simetria tem o quadrado [ABCD] ? Transcreve a letra da opo correta.

(A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 0

23.2. Admite que 6AB = . Determina o permetro da circunferncia. Apresenta o resultado arredondado s dcimas. Mostra como chegaste tua resposta. Nota Sempre que, em clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, trs casas decimais.

(TI 9Ano Maio 2011)

24. Na figura ao lado, est representada uma circunferncia de centro no ponto O. Sabe-se que:

os pontos A, B, C, D e E pertencem circunferncia;

[AD] um dimetro da circunferncia;

o ponto P o ponto de interseo dos segmentos de reta [AC] e [BD].

40CAD = . A figura no est desenhada escala.

24.1. Qual das afirmaes seguintes verdadeira? Transcreve a letra da opo correta.

(A) O ponto O pertence mediatriz do segmento [AP]

(B) O ponto O pertence mediatriz do segmento [BC]

(C) O ponto B pertence mediatriz do segmento [BC]

(D) O ponto B pertence mediatriz do segmento [AP]

24.2. Qual a amplitude, em graus, do arco AC ? Mostra como chegaste tua resposta.

24.3. Relativamente ao tringulo [AED], admite que:

6,8AE cm=

3,2DE cm=

Determina o permetro da circunferncia representada na figura. Apresenta o resultado em centmetros, arredondado s dcimas. Apresenta os clculos que efetuares. Nota Sempre que, em clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, duas casas decimais.


25. Na figura ao lado, est representada uma circunferncia. A figura no est representada escala. Sabe-se que:

os pontos A, B, C e D pertencem circunferncia;

o ponto P o ponto de interseo das cordas [AC] e [BD];

a amplitude do arco BC 80;

a amplitude do ngulo DPC 85.

25.1. Determina a amplitude, em graus, do ngulo DBA.

Apresenta os clculos que efetuares.

25.2. Os tringulos [ABP] e [DCP] so semelhantes. Admite que:

2DP AP= ;

a rea do tringulo [ABP] 6 cm2.

Qual a rea, em cm2, do tringulo [DCP]? Transcreve a letra da opo correta.

(A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 30 (EN 2011 2. Chamada)

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26. Na figura ao lado, est representado um modelo geomtrico do smbolo da bandeira de uma equipa de futsal. Este modelo no est desenhado escala. Sabe-se que:

A, B, C, D e E so pontos da circunferncia de centro no ponto O

F e G so pontos da corda [BE]

16AF AG cm= =

36CAD =

26.1. Qual a amplitude do arco CD ? Assinala a opo correta. (A) 36 (B) 54 (C) 72 (D) 90

26.2. Determina FG . Apresenta o resultado em centmetros, arredondado s dcimas. Apresenta os clculos que efetuares. Nota Sempre que, em clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, duas casas decimais.

(EN 2011 poca Especial)

27. Na figura ao lado, esto representados trs hexgonos regulares com os vrtices designados pelas letras de A a M. Cada um dos segmentos [ AB ], [ AF ] e [ AJ ] comum a dois dos hexgonos.

Considera a rotao de centro no ponto A e amplitude 120 (sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio).

Qual a imagem do segmento [ BC ] nesta rotao? (EN 2011 poca Especial)

28. Na figura ao lado, est representado um quadriculado.

28.1. Considera a translao em que o transformado do ponto H o ponto D. Qual , por meio dessa translao, o transformado do tringulo [ IV ]?

28.2. Admite que a rea do paralelogramo [ GBCH ] igual a 4 unidades. Qual a rea do paralelogramo [BDXV ]? Mostra como chegaste tua resposta.

28.3. Os pontos J e F so vrtices de um certo quadrado, no representado na figura. Sabe-se que [ JF ] um lado desse quadrado. Qual dos pontos seguintes tambm vrtice desse quadrado? Transcreve a letra da opo correta.

(A) Q (B) R (C) W (D) X (TI 8Ano Fevereiro 2012)

29. Na figura ao lado, esto representados um retngulo [ ABCD ] e uma circunferncia de centro no ponto O e raio r . Sabe-se que:

o ponto E pertence circunferncia e exterior ao retngulo [ ABCD ] [ AD ] e [ EF ] so dimetros da circunferncia o lado [ BC ] do retngulo tangente circunferncia

10DEF = 29.1. Admite que o permetro do retngulo [ ABCD ] igual a 30 cm Determina o comprimento da circunferncia. Apresenta o resultado em centmetros, arredondado s dcimas. Mostra como chegaste tua resposta. Nota Sempre que, em clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, duas casas decimais.

29.2. Determina a amplitude de uma rotao de centro em O que transforme o ponto F no ponto A . Mostra como chegaste tua resposta.

29.3. Qual das afirmaes seguintes verdadeira? Transcreve a letra da opo correta.

(A) O ponto B pertence mediatriz do segmento de reta [ ED ] (B) O ponto O pertence mediatriz do segmento de reta [ ED ] (C) O ponto B pertence mediatriz do segmento de reta [ CD ] (D) O ponto O pertence mediatriz do segmento de reta [ CD ] (TI 9Ano Maio 2012)

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30. Na Figura 1, est representada a maqueta de um terreno plano, de forma quadrada, que tem uma parte em cimento, tambm de forma quadrada, e uma parte relvada. Na Figura 2, est uma representao geomtrica dessa maqueta. Sabe-se que:

[ ABCD ] e [ AEFG ] so quadrados o ponto B pertence ao segmento de reta [ AE ] o ponto D pertence ao segmento de reta [ AG ] o lado do quadrado [ AEFG ] mede mais 2 metros do que o lado do quadrado [ ABCD ]

30.1. Seja c o comprimento, em metros, do lado do quadrado [ ABCD ]. Explica o que representa a expresso ( ) 2 22c c+ , no contexto da situao descrita.

30.2. Qual o transformado do ponto E por meio da rotao de centro no ponto F e amplitude 90 (sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio)? (PF 2012 1. Chamada)

31. Relativamente figura ao lado, sabe-se que:

o tringulo [ ABC ] escaleno e retngulo em B os pontos E e P pertencem ao segmento de reta [ AC ] o ponto D pertence ao segmento de reta [ AB ] o tringulo [ ADE ] retngulo em D o ponto Q pertence ao segmento de reta [ BC ] PCQ um arco de circunferncia

A figura no est desenhada escala.

Admite que a amplitude do ngulo DAE 37. Determina a amplitude, em graus, do arco PCQ. Mostra como chegaste tua resposta. (PF 2012 1. Chamada)


os pontos A, B e C pertencem circunferncia as retas AD e CD so tangentes circunferncia nos pontos A e C,

respetivamente

o ponto E pertence reta CD Admite que 140AOC = .

32.1. Qual a amplitude, em graus, do ngulo ABC ? Assinala a opo correta.

(A) 35 (B) 70 (C) 140 (D) 280

32.2. Determina a amplitude, em graus, do ngulo ADE. Mostra como chegaste tua resposta. (PF 2012 2. Chamada)

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33. Considera o tringulo [ ABC ] representado no referencial da figura ao lado.

Em qual das opes seguintes est representado o transformado do tringulo [ ABC ] por meio da rotao de centro no ponto O e amplitude 180? Assinala a opo correta. (A) (B) (C) (D)

(PF 2012 2. Chamada) 34. A Figura 1 uma fotografia de parte de uma tapearia feita com base num desenho de Almada Negreiros. A Figura 2 uma representao dos dois pentgonos regulares que se podem observar nesta fotografia. Na Figura 3, est representada uma circunferncia, na qual esto inscritos os dois pentgonos.

Os vrtices dos dois pentgonos so vrtices de um decgono regular. Determina a amplitude, em graus, do ngulo assinalado na Figura 3. Mostra como chegaste tua resposta. (TI 9Ano Abril 2013) 35. Na Figura 4, est representado um dos envelopes que a Beatriz desenhou para os convites da sua festa de aniversrio. Na Figura 5, est um modelo geomtrico do mesmo envelope. Sabe-se que:

[ ]ABCD um trapzio issceles o ponto F o ponto de interseco das diagonais do trapzio os pontos E e G so os pontos mdios das bases do trapzio

o ponto H pertence ao segmento de reta [ ]AF e o ponto I

pertence ao segmento de reta [ ]DF HFI um arco de circunferncia

3,75EF cm=

2,5FG cm=

8BC cm=

35.1. Determina a rea, em 2cm , do trapzio [ ]ABCD . Mostra como chegaste tua resposta.

35.2. Admite que o arco HFI tem 128 de amplitude. Determina a amplitude, em graus, do ngulo ADF. Mostra como chegaste tua resposta.

Sugesto: Comea por determinar a amplitude do ngulo AFD (TI 9Ano Abril 2013)

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36. Na figura ao lado, esto representados uma circunferncia de centro no ponto O e os tringulos [ ]ABC e [ ]CDE . Sabe-se que:

os pontos A, B e C pertencem circunferncia

[ ]BC um dimetro da circunferncia

o tringulo [ ]CDE retngulo em E

os tringulos [ ]ABC e [ ]CDE so semelhantes A figura no est desenhada escala.

36.1. Admite que a amplitude do ngulo ACB igual a 36 Qual a amplitude do arco AB ? Transcreve a letra da opo correta.

(A) 9 (B) 18 (C) 36 (D) 72

36.2. Admite que 0,5CD

BC= .

Qual o valor do quociente [ ][ ]

rea do tringulo CDE

rea do tringulo ABC ?

Transcreve a letra da opo correta.

(A) 0,125 (B) 0,25 (C) 0,5 (D) 1 36.3. Admite que:

6AB cm=

10AC cm=

Determina a rea do crculo de dimetro [ ]BC .

Apresenta o resultado em 2cm , arredondado s unidades.

Apresenta todos os clculos que efetuares. Nota Sempre que, em clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, duas casas decimais.

(PF 2013 1. Chamada)


os pontos A, B e C pertencem circunferncia

BA BC=

o segmento de reta [ ]BD a altura do tringulo [ ]ABC relativa base [ ]AC

72AOC =

2OA cm=

37.1. Qual a amplitude, em graus, do ngulo ABC ?

37.2. Determina a rea do tringulo [ ]ABC .

Apresenta o resultado em 2cm , arredondado s dcimas.

Mostra como chegaste tua resposta. Nota Sempre que, em clculos intermdios, procederes a arredondamentos, conserva, no mnimo, trs casas decimais.

(PF 2013 2. Chamada)

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