circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) corda é um segmento de...

Circunferência

Matemática – 9.º ano

Circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro)

Corda é um segmento de recta que une dois pontos da circunferência

Diâmetro é toda a corda que passa pelo centro da circunferência

O diâmetro é a maior das cordas

O diâmetro divide a circunferência em duas semi-circunferências

Diâmetro

Corda

Raio

Raio é um segmento de recta que une um ponto da circunferência ao seu centro

Circunferência


Ângulo ao Centro e Arco de Circunferência

Um ângulo formado por dois raios designa-se

ângulo ao centro (o vértice do ângulo coincide

com o centro da circunferência)

c

A

B

Qualquer porção da circunferência determinada

por dois dos seus pontos, que são os extremos

do arco designa-se Arco de circunferência.

Nota – Quando falamos em arco, sem nada

acrescentar referimo-nos ao arco menor

AB

Circunferência


Ao ângulo ao centro ACB corresponde a

corda [AB] e o arco [AB] e vice-versa.

Numa circunferência, qualquer ângulo que

não seja ao centro diz-se excêntrico.

Pág.12 – exercício 1

Observa a circunferência de centro O da

figura: a) Identifica quatro ângulos ao centro.

b) Indica dois pares de ângulos ao

centro geometricamente iguais.

c) Classifica quanto aos lados o triângulo

[EOD].

; ;AOB BOC COD e EOD

BOC FOE

AOB EOD

Triângulo isósceles

Circunferência


- a cada ângulo ao centro corresponde um arco e vice-versa

Numa circunferência:

- A arcos iguais correspondem cordas e ângulos ao centro iguais

- A ângulos ao centro iguais correspondem arcos e cordas iguais

- A cordas iguais correspondem arcos e ângulos ao centro iguais

- A amplitude de um arco é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente

C

F G

H

I

C

A

BE

D

Circunferência


Observa a figura onde [MT] [EA].


Prova que MA AT TE EM

Resposta:

Esta afirmação é verdadeira porque se

trata dos comprimentos dos lados de um

quadrado, pois como [MT] e [EA] são

diâmetros da circunferência, representam

as diagonais de um quadrado, por serem

iguais.

MA AT TE EM

Circunferência


Na figura abaixo, [AD] é um diâmetro da circunferência de

centro O, é a bissectriz do ângulo BOD.


a) Calcula

b) Que podemos concluir em relação a

Porquê?

c) E em relação a Porquê?

60ºAOB e OC

.BOC e COD

, , .AB BC CD

, .AB BC e CD

2AO cmd) Supondo que , calcula o comprimento do arco AB.

A amplitude dos arcos é 60º porque a amplitude dos ângulos ao centro correspondentes também é 60º.

Os comprimentos das cordas são iguais porque a arcos e ângulos ao centro iguais correspondem cordas iguais

2

2

4 22 , 2 4 log .

6 6 3

PSe AO cm r cm e d cm o AB cm

60º ; 60ºBOC COD

P d

Circunferência


Observa as figuras e determina, em cada caso, os valores de x e y.

Pág.23 – exercício 1 a) e c)

30º 2 10º

2 10º 30º

1 40º

40º

x x

x x

x

x

x y

a)

c)

x+30º 2x - 10º

30º 30ºy e x

Ângulos verticalmente opostos

Circunferência


Ângulo inscrito

Um ângulo formado por duas cordas designa-

se ângulo inscrito (o vértice do ângulo

coincide com um ponto da circunferência)E

c

F

D

A amplitude de um ângulo inscrito é igual

a metade da amplitude do arco

compreendido entre os seus lados

O ângulo ao centro tem de amplitude 80º, logo a amplitude do arco correspondente também é 80º, o que significa que a amplitude do ângulo inscrito é igual a metade da do arco correspondente (80º/2=40º).

80º

Circunferência


Observa a figura e indica:


AOCa) Um ângulo ao centro;

b) Um ângulo inscrito;

c) Um arco de circunferência;

d) Um raio de circunferência;

e) Uma corda da circunferência.

ABC

AB

OC

AB

Circunferência


Considera a circunferência de centro O.


34º ( )COB ângulos verticalmente opostos

a) [AB] e [DC] são diâmetros. Porquê?

b) Se , calcula:

b1)

b2)

b3)

b4)

Porque são cordas que passam pelo centro. 34ºAOD COB

b5)

ABDDB

ADB

BAD

34º17º

2ABD

180º 34º 146ºDB

180º 34º 146º73º

2 2( 1 )

146º73º

2

( 146º )

BAD

ângulos de isósceles

BAD

ângulo inscrito correspondente a BD que é

360º 146º 34º 180º

90º2 2

ADB

Circunferência


Abre agora o programa Geogebra, no teu computador, e verifica o exercício anterior começando por:

traçar uma recta (com 2 pontos);

desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no outro);

marcar os pontos A e B;marcar o ângulo AOD de 34º e os pontos D e C; marcar a corda DB;verificar todos os resultados.

Circunferência


Ângulo inscrito

Propriedades:

Os ângulos inscritos no mesmo arco de

circunferência são geometricamente

iguais.

Qualquer ângulo inscrito numa semi-

circunferência é recto.

Circunferência


O triângulo [MAR] representado na figura é rectângulo em A e os seus

três vértices pertencem à circunferência.


Sabendo que e que

calcula .

MA QM 30ºMRA

QAR

30º 2 60º log 60º

90º ( )

180º

180º 60º

2 2120

60º2

MA MA o QM

M AR ângulo inscrito numa semi circunferência

então MQR

MQR MQQAR QAR

QAR QAR

Circunferência


Abre novamente o programa Geogebra e verifica o exercício anterior começando por:

traçar uma recta com dois pontos; desenhar uma circunferência (centro sobre um ponto e raio no

outro); marcar os pontos M e R; traçar o ângulo MRA de 30º; marcar o ponto A e a corda [MA]; verificar que o ângulo MAR é 90º; traçar uma recta perpendicular a MR e marcar o ponto Q; verificar todos os resultados.

Circunferência


Eixo de simetria de uma circunferência

Qualquer recta que passe pelo centro de uma

circunferência é eixo de simetria da circunferência.

Circunferência


Qualquer recta que passe pelo centro de uma circunferência

divide ao meio as cordas que lhe são perpendiculares, assim

como os ângulos ao centro e os arcos correspondentes.

Numa circunferência, arcos e

cordas compreendidos entre

cordas paralelas são

geometricamente iguais.

Circunferência


A tangente a uma circunferência

é perpendicular à recta que

passa pelo centro e pelo ponto

de tangência.

tangente

90º

Pág. 21 ex.16

a) b)

ponto de tangência

Circunferência


Pág. 21 ex.17

a) b) c)

Circunferência


Polígono é o conjunto de pontos do plano limitado por uma linha

fechada, formada por segmentos de recta unidos pelas extremidades.

Polígono Não Polígono

Os polígonos podem ser côncavos ou convexos.

Côncavo Convexo

Polígonos

Circunferência


Polígono regular

Um polígono regular é todo o polígono convexo com as seguintes

características:

todos os seus lados têm a mesma

medida (são congruentes);

todos os seus ângulos internos têm

a mesma amplitude (são congruentes).

Diagonal de um Polígono

Diagonal de um polígono é qualquer

segmento de recta cujos extremos são

vértices não consecutivos do polígono.

Polígonos

Circunferência


Polígonos Regulares

Polígono N.º LadosÂngulo ao Centro

Ângulo Interno

Triângulo equilátero 3 120º 60º

Quadrado 4 90º 90º

Pentágono 5 72º 108º

Hexágono 6 60º 120º

... ... ... ...

... N 360º/N= 180 - Ângulo ao centro

Circunferência


A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono

(convexo) de n lados é igual a (n-2) 180º.

triângulo

Si = (3 - 2) 180º = = 1 180º = = 180º Pentágono

Si = (5 - 2) 180º = = 3 180º = = 540º

Hexágono Si = (6 - 2) 180º = = 4 180º = = 720º

PolígonosConcluímos que:

Circunferência



Num polígono convexo, qualquer que

seja o número de lados, a soma dos

ângulos externos é sempre 360º.

Circunferência


Polígonos inscritos numa circunferência

Polígono N.º lados N.º triângulosSoma dos ângulos internos

Triângulo 3 1 180º

Quadrilátero 4 2 2 × 180º = 360º

Pentágono 5 3 3 × 180º = 540º

Hexágono 6 4 4 × 180º = 720º

Heptágono 7 ? ?

Octagono 8 ? ?

Circunferência



A amplitude do ângulo ao centro correspondente ao lado de um

polígono regular de n lados é

Um polígono diz-se inscrito numa circunferência se esta contém todos os

seus vértices. A circunferência diz-se circunscrita ao polígono.

360º

n

360º72º

5DOC

Circunferência


Polígonos Regulares

Polígono N.º LadosÂngulo ao Centro (Ac)

Ângulo Interno (Ai)

Triângulo equilátero 3 120º 60º

Quadrado 4 90º 90º

Pentágono 5 72º 108º

Hexágono 6 60º 120º

... ... ... ...

... N Ac = 360º/N Ai = 180 - Ac

Circunferência


Página 31 – ex. 2 a)

Polígonos

( 2) 180º 720º

180º 360º 720º

180º 720º 360º

1080º

180º6

: .

n

n

n

n

n

R O polígono é um hexágono

Página 31 – ex. 3

(5 2) 180º

3 180º

540º

540ºint 108º

5: int 108º.

5 360º

360º

572º

: 72º .

Si

Si

Si

ângulo erno

R O ângulo erno é

n

n

n

R O ângulo externo é

Circunferência



Polígonos

( 2) 180º

(6 2) 180º

4 180º

720º

Si n

Si

Si

Si


720º

3 20º 30º 70º 720º

5 720º 20º 30º 70º

600120º

5: 120º.

Se Si então

x x x

x

x x

R O valor de x é

) 360º 60º 6

: .

a

R O polígono é um hexágono regular

) 360º 110º 3

: .

b

R O polígono é um triângulo regular

) 360º 36º 10

: .

c

R O polígono é um decágono regular

) 360º 90º 4

: .

d

R O polígono é um quadrado

Circunferência


Como se pode determinar a área de um polígono regular qualquer?

Dividimos o pentágono em cinco triângulos isósceles geometricamente iguais.

Chama-se apótema de um polígono regular ao segmento de recta que une o centro do polígono com o ponto médio de qualquer um dos lados.

[ABCDE] é um pentágono regular inscrito na circunferência.

o apótema do pentágono coincide com a altura de cada triângulo.h

Polígonos

Circunferência


A área do polígono regular [ABCDE] pode ser obtida multiplicando por 5 a área de um dos triângulos em que dividimos o pentágono.

ABCDE AOBA 5 A

AOB

apA

2

ap

l lado do pentágono.

ABCDE

Logo,

apA 5

2

Polígonos

Circunferência


ABCDE

PA ap

2

poligono regular

PA ap

2

ABCDE

apA 5

2

representa o perímetro do pentágono

ABCDE

apA P

2

De modo análogo prova-se que:

P = perímetro do polígono

ap = apótema de um polígono

Polígonos

Circunferência


poligono regular

PA ap

2

PolígonosPágina 33

2

12 8 96

96 8

2768

2

384

P cm cm

A

A

A cm

ex. 252 2 2 2 2 2

2

10 5

100 25 75

c h c c

c c cm

2

10 6 60

60 75

2

30 75

P cm cm

A

A cm

ex. 24

ex. 26

2160 20 32001600

2 2A A A cm

Apótema

Circunferência


Chama-se ISOMETRIA a uma transformação geométrica em que são conservados os comprimentos dos segmentos de recta e as amplitudes dos ângulos

- Translação

Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo como referência um vector

- Reflexão

Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) conhecendo um eixo (recta) de simetria

- Rotação

Transforma uma figura F noutra figura F’ (imagem de F) tendo um centro de rotação (ponto) e a amplitude (ângulo) da rotação

Circunferência


Intuitivamente, todos nós sabemos o que é uma

rotação, até porque usamos esse termo no dia-a-dia,

quando nos referimos por exemplo:

• uma roda dentada de uma máquina;

• aos ponteiros de um relógio;

• à roda de um veículo;

• à hélice de um avião;

• ao movimento de rotação que a Terra faz em

torno de si mesmo;

Simetria

Circunferência


Associado ao conceito de rotação está o conceito de

ângulo orientado.

Deste modo, convencionou-se que o sentido contrário

ao do movimento dos ponteiros de um relógio é o

sentido positivo, enquanto que o sentido do movimento

dos ponteiros de um relógio é o sentido negativo.

Sentido positivo

ângulo orientado +90º

Sentido negativo

ângulo orientado -90º

Circunferência


A figura [A’B’C’D’E’] resulta

da rotação de centro O e

amplitude 90º da figura

[ABCDE].

Por seu lado, a figura

[ABCDE] resulta da rotação

de centro O e amplitude -90º

da figura [A’B’C’D’E’]

Circunferência


Uma Rotação de centro O e amplitude -

R(O,) é a aplicação que ao ponto O faz

corresponder o próprio O e a cada ponto A da

figura original faz corresponder um ponto A’,

tal que 'ˆ' AOAeOAOA

O que é uma Rotação?

No exemplo ao lado a amplitude do ângulo é 60º

Circunferência


circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes de um ponto (centro) corda é um segmento de...

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