Geometria analítica: Reta e Circunferência

Prof.: Antonio Carlos

Distância entre dois pontos Os pontos A(0,8), B(12,13) e C(12,8)

são os vértices de um triângulo

retângulo. Pelo teorema de Pitágoras,

obtemos:

(dA, B)2 = (12-0)2 + (13-8)2 ⇒ d2 =

122 + 52 ⇒ d2 = 169 ⇒

⇒ d = 13 ou d = –13

A distância entre dois pontos, por

definição, é um número não negativo;

então: d = 13

Portanto, a distância entre os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB)

do plano cartesiano é dada por: dA, B =

Ao considerar um segmento de extremos A(xA, yA) e

B(xB, yB), e ponto médio M(xM, yM), temos:

Coordenadas do ponto médio de um segmento de reta

Exemplo

Vamos determinar o comprimento da mediana do triângulo cujos

vértices são A(2, 3), B(4, –2) e C(0, –6).

Coordenadas do baricentro de um triângulo

Portanto, o baricentro G é dado por:

Equação geral da reta

ax + by + c = 0

Exemplo

Vamos obter a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(–1, 3) e

B(3, 2).

Portanto, a equação geral da reta que passa pelos pontos

A e B é: x + 4y – 11 = 0

Também poderíamos ter feito um sistema linear para achar a

equação, só que ela teria a forma y = mx + n, que é conhecida

como equação reduzida da reta.

m = tg α

Na equação reduzida da reta, y = mx + n, chamamos de

coeficiente angular ou declividade de uma reta não

perpendicular ao eixo x o número real m expresso pela

tangente trigonométrica de sua inclinação, ou seja:

Inclinação e coeficiente angular de uma reta

As retas r e s são paralelas

distintas se, e somente se:

Retas paralelas

mr = ms e nr ≠ ns

As retas r e s são concorrentes

se, e somente se:

Retas concorrentes

mr ≠ ms

mr ∙ ms = –1

As retas r e s são concorrentes

perpendiculares se, e somente se:

Retas perpendiculares

Distância entre ponto e reta

Fórmula da área do triângulo

Equação da circunferência

(x – a)2 + (y – b)2 = r 2

Equação geral da circunferência

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Posição relativa entre um pontoe uma circunferência

d = r d > r d < r

O ponto P pertence à circunferência.

O ponto P é exterior à circunferência.

O ponto P é interiorà circunferência.

Posição relativa entre uma retae uma circunferência

d = r d > r d < r

s é tangente à circunferência.

s é exterior à circunferência.

s é secante à circunferência.