Oscar Rosas-Ortiz*

*Investigador del Departamento de Física del Centro de Investigación y de Estudios Avanzados

(Cinvestav) del Instituto Politécnico Nacional (ipn). Editor de la presente columna.

Ungatoenlaoscuridad

Cinvestav en su tinta

(Parte 1)

Oscar Rosas-Ortiz*

12 2009

Figura 1. Se representa esquemáticamente el experimento de la doble rendija de Young. El lector puede considerar que a la izquier-da se inyectan electrones que se hacen pasar por dos orificios pequeños. A la derecha, en azul, está dibujado el comportamiento de la densidad de probabilidad (el modulo al cuadrado de la función de onda —el hotel Psi cuadrada—), los picos representan regiones donde es más probable encontrar al electrón después de pasar por la doble rendija. Mientras más alto es el pico mayor es la probabilidad.

na de las propiedades más sorprendentes del mundo cuántico es la superposición lineal. La física de sistemas tan grandes como una piedra, un niño o una estrella, es relati-vamente sencilla si se piensa en ellos como puntos que concentran una determinada masa y que tienen una posición y una velocidad bien definidos (es decir, la posición y

la velocidad del sistema se pueden medir con precisión arbitraria). Para sistemas tan pequeños como un electrón, sin embargo, la situación no es tan simple. Podemos seguir haciéndonos un esquema sencillo imaginando al electrón como un punto que concentra el total de su masa pero, en general, el esquema no funciona ya que no podremos indicar con precisión arbitraria cuáles son su posición y su velocidad. La inviolabilidad del principio de incertidumbre de Heisenberg lo prohibe. Aquí la superposición lineal significa que, en tanto no midamos su po-sición, el electrón puede estar en uno de muchos puntos del espacio. Lo mismo ocurre con su velocidad: el electrón puede tener una de muchas velocidades en tanto no nos preocupemos por medirla. ¿Puede esta descripción extenderse a objetos tan grandes como una piedra, un gato o un planeta? Al fin y al cabo la piedra tanto como el gato y el planeta están compuestos de partículas tan pequeñas como electrones, protones, etcétera.

Al salir del bar Quantum, el Dr. Fausto se dirige a su hotel. Las calles empedradas le llevan por una serie de antros que se anun-cian con luces de neón y cuyos letreros se distinguen perfecta-mente a la distancia pero, una vez cerca, no son más que una maraña de puntos luminosos entretejiéndose unos con otros mientras salen disparados de una serie de tubos. El Dr. Fausto se introduce al portal del hotel Psi cuadrada y justo frente al as-censor se interrumpe la energía eléctrica. Emitiendo una maldi-ción, apenas ocultada por el ruido de los camareros que corren a encender la planta eléctrica de reserva, inicia su ascenso por las escaleras. Casi sin aliento se detiene en el tercer nivel. Subir de nivel en el mundo cuántico tiene un alto precio energético y el Dr. Fausto lo sabe bien. Así que mientras toma un descan-so distingue entre la penumbra algo que parece moverse. Con precaución se acerca un poco más para notar la silueta de un gato que se despereza estirándose a lo largo de sus cuatro pa-tas mientras su lomo se arquea con la cola erizada. Instintivamente, el Dr. Fausto dirige su mirada al suelo, debajo del gato perezoso, y observa la silueta de otro gato que, idéntico al primero y sin movimien-to alguno, tiene el cuerpo desmadejado, como si estuviera muerto. “Andrómeda, ¿eres tu? --pregunta con preocupación-- diablo de gato, si Erwin no te hubiera arrojado a este mundo no tendría yo esta clase de sobresaltos”. Después de hurgar en sus bolsillos, el Dr. Fausto extiende la mano y enciende una luz, las siluetas de los dos gatos parecen temblar, revol-viéndose una con otra, oscilando entre la figura del gato perezoso y la del gato muerto. Al final, se escucha un maullido y el Dr. Fausto siente que Andrómeda se le restriega entre los pies. “Vaya que eres agradecido, esta vez volviste a tener suer-te y te he pillado vivo. Ya veremos lo que

U

ocurre la próxima vez. Ahora lárgate y déjame pasar.” Después de abrir la puerta de su habitación, el Dr. Fausto se sirve una be-bida energizante y revisa la correspondencia que el personal del hotel ha dejado sobre la mesita de centro. Una carta amarillenta y avejentada llama su atención. Con cuidado rompe el sello de cera y empieza a leer “Hay un nuevo prisionero en el castillo de Penning. Esta vez se trata de un amigo mutuo. Sugiero vernos esta noche en el salón principal de la escuela de Copenhagen. Dorian”. La preocupación se dibuja en el rostro del Dr. Fausto, revisa una y otra vez la misiva con la esperanza de haber leído mal. Sin embargo, la letra de Dorian le resulta inconfundible y el mensaje bastante claro. Verifi-ca la hora en su reloj y sus labios escupen una nueva maldición “!Oh demonios! Tendré que apurar el paso”.

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13IPN Donde la ciencia se convierte en cultura

El Dr. Fausto cuántico es un personaje que ya hemos usado con la intención de facilitar la introducción de conceptos que re-sultan poco convencionales en nuestra vida cotidiana pero que son del todo comunes en el micro-mundo (ver referencia 1). Cabe decir que nos hemos dado muchas libertades literarias y que el mundo cuántico no necesariamente es como lo hemos descrito. De hecho, no sabemos cómo es en realidad dicho mundo. Lo que si sabemos es que la teoría cuántica proporciona una excelente aproximación al comportamiento de los sistemas cuánticos, con ella predecimos los resultados que se obtienen en el laboratorio con una precisión impresionante. Las predicciones de la teoría corresponden a densidades de probabilidad finitas, asignadas a dos o más posibilidades que resultan ser mutuamente excluyen-tes. Dichas posibilidades pueden ser, por ejemplo, que encon-tremos al electrón en este lugar, o en aquél, o mucho más allá de la habitación donde usted apaciblemente lee este documento. La superposición lineal se expresa matemáticamente como la suma codificada de estas posibilidades y no hay forma de indi-car dónde exactamente estará el electrón al momento de medir su posición, solo podemos decir dónde es más probable que se encuentre (ver figura 1).

Tomando en cuenta la infalible efectividad que la teoría cuántica ha mostrado uno podría suponer que es una excelen-te descripción no sólo del mundo microscópico sino del mundo físico, incluyendo aquel con el que estamos acostumbrados a li-diar día con día. De esta forma se antoja asignar una probabili-dad finita a dos estados que difieran drásticamente, incluso si tales estados representan sistemas tan grandes como un gato. En su famoso artículo de 1935, Erwin Shrödinger presenta una situación “ridícula” donde el estado de un gato se entrelaza con el estado de un átomo radioactivo de tal suerte que hay una su-perposición de estados “gato vivo” y “gato muerto” (ver referen-cia 2). Está claro que asignando igual probabilidad a cada uno de estos estados mutuamente excluyentes y “macroscópicos” se llega a la situación donde, antes de la medición, el gato no está ni vivo ni muerto (ver figura 2). Esta situación es precisamente la que Schrödinger entendía como ridícula y por ello propuso un ejercicio tan inverosímil. Hay, por otro lado, una corriente dentro de las interpretaciones de la teoría que le adjudica al ob-

jeto matemático que se usa para representar el estado cuántico de una partícula (la función de onda) un papel que está más allá de ser

una mera herramienta de cálculo para ha-

cer predicciones. Para esta corriente, por ejemplo, la función de onda asociada con la posición de un electrón no sólo codifica las posibilidades de encontrar al electrón en tal o cual lugar, sino que refleja el hecho de que el electrón está en todos y cada uno de esos lugares al mismo tiempo, siempre que no se haga alguna medición de la posición. Al adjudicarle esta clase de propiedades a la función de onda la hacen, en muchos sentidos, indistingui-ble del electrón y la vuelven un objeto de estudio por si misma. Así, esta corriente de interpretación se ve obligada a introducir conceptos adicionales, como el del colapso de la función de onda. Esto último significa que la función de onda (o el electrón, ya que dicha corriente no distingue entre uno y otro) “elije” la posibi-lidad por la que ha de decantarse justo en el momento de la me-dición. Llevando al extremo dicha interpretación uno encuentra que Andrómeda, el triste gato inventado por Schrödinger y cari-caturizado junto a nuestro Dr. Fausto, antes de cualquier medi-ción (es decir, ¡en la oscuridad!) se encuentra en un estado tipo “zombi”, ya que está vivo y muerto a la vez. No sólo eso, sino que con el simple hecho de observarlo (en nuestra historia, el Dr. Fausto lo ilumina para “observarlo”, pero aquí esta palabra es un sinónimo de medición) uno rescata al infeliz gato de dicho estado para “obligarlo” a estar de una vez por todas ya sea vivo o muerto. Esta clase de conclusiones es precisamente la que tanto disgustaba no solo a Schrödinger, sino (y sobre todo) a Einstein (ver referencia 2).

¿Hasta dónde es acertado afirmar que el sistema en realidad se encuentra en una combinación de estados antes de la medi-ción? Es decir, ¿hasta dónde las propiedades matemáticas de la función de onda se le pueden adjudicar al sistema físico que, no solo justifica la existencia de dicha función sino que es nuestro verdadero objeto de estudio? Además, suponiendo que como re-sultado de la medición se encuentra al sistema (Andrómeda) en el estado “gato vivo”, ¿no será que el sistema siempre estuvo en dicho estado? La teoría cuántica no puede contestar a esta última pregunta. Con respecto a las dos primeras hay un problema de fondo: ¡ni la función de onda ni su colapso son entes o fenómenos mensurables! Así que no hay forma de comparar un antes y un después del colapso. Ciertamente, ningún laboratorio del mundo ha encontrado al electrón en dos lugares diferentes como resulta-do de medir su posición, pero esto no representa ninguna prue-ba del colapso ya que tampoco se ha reportado la “medición” de la función de onda correspondiente antes del colapso (obsérvese que, en sentido estricto, tampoco se mide la función de onda des-

pués del colapso). En tanto la función de onda (y su colap-so) no sea mensurable no hay motivo para tratarla como una variable física al mismo nivel que la posición, la ve-locidad o la energía, mucho menos está justificado ha-cerla indistinta del sistema cuántico al que pertenece. Revisando las motivaciones que dieron origen a la teoría cuántica uno se encuentra con que Heisenberg se ins-

Figura 2. Combinación lineal de los estados “gato vivo” (café) y “gato muerto” (gris). El gato “zombi” (gato a cuadros) tiene igual probabilidad de estar vivo que de estar muerto. Los números C con etiquetas 1 y 2 son los coeficientes de la combinación lineal que, en este caso, son ambos iguales a uno sobre la raíz cuadrada de dos. De esta forma, el modulo al cuadrado de cada uno de ellos corresponde a una probabilidad de 1/2. Una vez que se hace la medición el gato a cuadros se transforma ya sea en un gato completamente café o en un gato completamente gris.

= C1

+ C2

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piró en las ideas de la relatividad restringida de Einstein para proponer que la (entonces) nueva teoría debería construirse a partir de cantidades que fuesen mensurables, como los niveles de energía de los espectros atómicos, antes que usar conceptos que dejaban de tener significado tales como la trayectoria de una par-tícula. Dicha propuesta le llevo a definir el concepto de observable en la teoría cuántica como aquella variable que fuese mensura-ble y que estuviese representada por un objeto matemático bien definido (lo que ahora conocemos como operador Hermitiano). La teoría cuántica construida por Heisenberg (y la primera) es lo que actualmente se conoce como la versión matricial de la Me-cánica Cuántica mientras que la de Schrödinger (la segunda) es la versión ondulatoria. Dirac haría posteriores refinamientos a ambos esquemas y los llevaría al caso relativista. Así, en el mero corazón de la teoría, conceptos como el colapso de la función de onda están en la misma posición que las trayectorias dentro del contexto cuántico, no pueden ser considerados objetos de estu-dio por si mismos en tanto no sea posible medirlos en el mismo sentido que se miden los niveles energéticos atómicos. Esta ar-gumentación descarta la situación en la que el electrón está en todas partes antes de la medición tanto como la de que tengamos gatos “zombis” deambulando por todas partes. La efectividad de las predicciones de la teoría, sin embargo, se mantiene intacta ya que no depende de ninguna clase de interpretación. Lo cierto es que cada vez que el Dr. Fausto alumbra (hace una medición) al gato Andrómeda, lo encontrará ya sea vivo o ya sea muerto, pero no en ambos estados a la vez. Mientras más ocasiones repita el experimento los resultados irán engrosando una muestra esta-dística que coincidirá más y más con la predicción probabilística de la teoría: La mitad de las veces estará vivo y la mitad de las veces estará muerto. El mismo resultado se obtendrá si, en lugar de iluminar un gato a la vez, el Dr. Fausto ilumina cientos de miles (quizás millones) de gatos al mismo tiempo, mientras más gatos sean mejor. Es en este esquema donde la teoría cuántica es infalible y completamente independiente de las interpretaciones que de ella y de sus ingredientes se hagan. Robert B. Laughlin, por ejemplo, gusta de llamar a esto último como una propiedad emer-gente, es decir, aquella propiedad que surge de la organización de grandes cantidades de partículas cuánticas. Según Laughlin, los misterios más indescifrables se hacen comprensibles (ver re-ferencia 3). Sin embargo, Laughlin se olvida de considerar que los electrones y demás partículas parecen conocer a priori las dis-

RefeRencias1. O. Rosas-Ortiz, “Computación Cuántica y Geometría”, Conversus (Abril 2009) p 122. O. Rosas-Ortiz, “Entrelazamiento cuántico y universos paralelos”, Conversus (Mayo 2008) p 183. R.B. Laughlin, “Un universo diferente. La reinvención de la Física en la edad de la emergencia”. Katz editores, Buenos Ai-res, 2007.4. D. Deutsch, “La estructura de la realidad”, Anagrama, Barcelona, 1999.5. S. Cruz y Cruz, O. Rosas-Ortiz, “Estados coherentes y gatos de Schrödinger”, Cinvestav 27 (enero-marzo 2008) p 306. C. Monroe, D.M. Meekhof, B.E. King and D.J. Wineland, “A Schrödinger Cat, Superposition State of an Atom”, Science 272 (1996) 1131.7. C.C. Gerry and P.L. Knight, “Quantum superpositions and Schrödinger cat status in quantum optics”, Am. J. Phys. 65 (1997) 964

tribuciones probabilísticas asociadas con cada experimento ya que gustan de “caer” en las regiones más probables indicadas por la teoría (zonas azules en la figura 1), independientemente de que sean lanzados uno por uno o todos juntos (y revueltos) a la vez. Esto último, por otro lado, conocido como teorema er-gódico, es usado por autores como David Deutsch para motivar, justificar y promocionar la interpretación de muchos mundos (propuesta por Hugh Everet en 1957) como la más acertada (ver referencia 4).

Con todo, la veracidad de la teoría cuántica ha sido constata-da en innumerable cantidad de veces, muy a pesar de sus creado-res (me refiero, entre otros, a Einstein y a Schrödinger). En el caso que nos ocupa, si bien no se pueden usar gatos reales para inves-tigar las posibilidades del ejercicio propuesto por Schrödinger, sí es posible construir en el laboratorio sistemas cuánticos cuyo comportamiento es el más acercado al de un sistema macroscó-pico. Se trata de los estados coherentes de la luz (ver referencia 5). Dichos estados fueron inventados por Glauber para describir el comportamiento convencional de la luz en términos de la teo-ría cuántica pero fueron previamente estudiados por Schrödin-ger al investigar las condiciones que debe satisfacer un sistema cuántico para comportarse como un sistema macroscópico. En el laboratorio se han obtenido estados tipo gato de Schrödinger aplicando pulsos de láser sobre iones desde la década de los no-venta (ver referencia 6). El estado obtenido es una superposición de estados coherentes localizados en puntos distantes entre sí. La verificación de dicha superposición se hizo en forma indirec-ta a través de la medición de la interferencia cuántica de dichos estados (el patrón de probabilidades mostrado en la figura 1 corresponde a un patrón de in-terferencia). Una descripción muy sencilla de la construcción de esta clase de estados usando óptica cuántica y cavidades cuánti-cas electrodinámicas puede encontrarse en la referencia 7.

Continuaremos nuestra discusión en la siguiente entrega.

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