_c+ílculo

5/14/2018 _C+ lculo - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/cilculo 1/33

CÁLCULO IIEquipe:

Eduardo Pingarilho

Gabriel Claudino

Leonardo Houat

Nayara Figueiredo

Paula Dos Anjos

Walter Cancela



1- COORDENADAS POLARES



COORDENADAS POLARES

Um sistema de coordenadas representa um pontono plano, e para isso, utiliza um par ordenado denúmero chamados de coordenadas

Normalmente se usa o sistema de coordenadascartesianas, onde as distâncias são dirigidas apartir de dois eixos perpendiculares

Neste trabalho será utilizado um sistema decoordenadas criadas por Newton, o sistema de

coordenadas polares



COORDENADAS POLARES

Ponto de origem conhecido como pólo, que édenominado de O.

Desenha-se um raio começando em O , chamadode eixo polar, que normalmente representa o eixo“x” positivo do plano cartesiano.

Se P for um ponto qualquer no plano, seja r adistancia de O ate P e seja θ o ângulo,

normalmente em radianos, o ponto P será

representado pelo par ordenado (r, θ ), sendo r e θas coordenadas polares do ponto P,comodemonstrado na figura 1.



COORDENADAS POLARES



COORDENADAS POLARES

A partir da figura 2, pode-se fazer uma relaçãoentre as coordenadas polares e as cartesianas,onde o pólo corresponde a origem e o eixo polarcoincide com o eixo x positivo, se o ponto P possuircoordenadas cartesianas (x,y) e polares (r, θ),podemos concluir que:

cos θ= x/r sen θ=y/r,

logo, x=r.cos θ y= r.sen θ



COORDENADAS POLARES



podemos encontrar r e θ a partir de x e y usandoas seguintes equações:

r² = x²+y² tg θ= y/x

Sua principal utilidade ocorre quando a região deintegração é limitada por uma espiral, cardióide ourosácea.



2- INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Algumas integrais são mais fáceis de serem

calculadas através de coordenadas polares, issoocorre principalmente nas integrais duplas cujosintegrados envolvem x²+y² no plano cartesiano,pois ele se torna simplesmente r² nas coordenadaspolares.



EXEMPLO: Pede-se para integrar a função f(x,y)= x²+y² em

uma circunferência de raio 1 localizada na origem.

Resolvendo-a por coordenadas cartesianas, aequação ficaria:

ʃ ʃ D x²+y² dA= 4 ʃ 0¹ʃ 0(1-y²)¹ /2 x²+y² dx dy,



INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES

Convertendo para coordenadas polares, ereconhecendo que a mesma função também édada por f (r cosθ , r sem θ ) = r², teremos:

ʃ ʃ D

x²+y² dA= 4 ʃ 0

π/2 ʃ o

1 r².r dr dθ = 4ʃ o

1 r³ dr ʃ 0π/2 dθ= π/2



3- COORDENADAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS

: São dois sistemas de coordenadas semelhantesaos de coordenadas polares, com a diferença deserem utilizados em três dimensões (possuem um

altura z), sendo muito utilizado no calculo devolumes e integrais triplas.



3.1- COORDENADAS CILÍNDRICAS: Neste sistema, o ponto P é representado pela tripla

ordenada (r,θ,z), onde r e θ são as coordenas

polares sobre o plano xy, e z é a distancia do plano

xy ao ponto P.



EXEMPLO DE COORDENADA CILÍNDRICA



COORDENADAS CILÍNDRICAS:

Podemos fazer a conversão de coordenadascilíndricas para coordenadas retangulares, usandoas equações abaixo:

X= r. cos θ y=r.sen θ z=z. Enquanto para converter de retangular para

cilíndrico, utiliza-se: r²=x²+y² tg θ= y/x z=z.



INTEGRAIS TRIPLAS EMCOORDENADAS CILINDRICAS

São uteis especialmente em casos de sólidossemelhantes a cilindros, principalmente quando afunção envolve expressões x²+y², como serámostrado na próxima figura.(coloque a figura do

trabalho escrito aqui)




EXEMPLO 2: Pede-se para calcular um Solido E que esta

contido no cilindro x²+y²=1, abaixo do plano z =4 eacima do paraboide z =1 –x²-y², sendo a densidadeconstante em todos os pontos, calcule a massa deE.

Como a densidade é proporcional a distancia doeixo z, a função densidade é




, sendo K a constante deproporcionalidade. Portanto a formula da massa será:




O que será mais pratico que usando o plano decoordenadas retangulares, pois como jámostramos, neste caso eliminamos uma incógnitae tiramos uma incógnita do limite da integral.



3.2- COORDENADAS ESFÉRICAS

Neste sistema, o ponto P é representado pela triplaordenada (p ,θ,ϕ), onde p = |OP | é a distancia daorigem ao ponto P, θ representa o mesmo ângulo

que nas coordenadas cilíndricas e ϕ é o ângulo

formado pelo eixo positivo z e a reta OP .



EXEMPLO DE COORDENADA ESFÉRICA



COORDENADAS ESFÉRICAS

A relação de coordenadas retangulares e esféricaspode ser vista pela figura 5. Dos triângulos OPQ eOPP’, temos:

z=p . cos ϕ r=p . sen ϕ Como x= r.cosθ e y=r.senθ, conclui-se que para

converter de coordenadas esféricas pararetangulares, utiliza-se as seguintes equações:

x=p sen ϕ cosθ y= p sen ϕ senθ z=p. cos ϕ e a formula da distância mostra que : p ²=x²+y²+z²



FIGURA QUE MOSTRA A RELAÇÃO ENTRE AS COORDENADAS ESFÉRICAS E CILÍNDRICAS



COORDENADAS ESFÉRICAS

O sistema de coordenadas esférico é útilprincipalmente em problemas onde a simetria é emrelação a um ponto. Ex: Esferas, semiplanos esemicones.



ESFERA



SEMIPLANO



4- INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Há integrais triplas que se resolvem de forma maispratica por coordenadas esféricas e cilíndricas aoinvés das coordenadas retangulares.

Triplas Cilindricas: Como o nome já diz, essasintegrais são uteis especialmente em casos desólidos semelhantes a cilindros, principalmentequando a função envolve expressões x²+y².



EXEMPLO:

INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS



INTEGRAIS TRIPLAS EM COORDENADAS ESFÉRICAS

Sabemos que a sua integral de volume emcoordenadas retangulares é dada por:





ao convertermos a mesma para coordenadascilíndricas teremos:

, sendo esta a formula para a integração tripla emcoordenadas cilíndricas.





EXEMPLO 3:Calcule ʃ ʃ ʃ D e (x²+y²+z²)³/ ² dV, onde B é uma bola:As coordenadas esfericas são muito convenientesnesse caso, pois: x²+y²+z²=p², Então tem-se:





Que mostrou-se ser uma solução muito maissimplificada ao problema em questão, pois se fosseutilizada as coordenadas retangulares, obteríamosa seguinte integral:

o que seria muito mais trabalhoso.



CONCLUSÃO

Pode-se observar ao final dos exemplos, queapesar do trabalho para aprender um novo planode coordenadas e a converter de um plano para ooutro, em muitos casos esse esforço se torna

pequeno em comparação a redução de trabalhoque esse plano de coordenadas proporciona emseus casos específicos, servindo como umaalternativa para o sistema cartesiano.

_c+ílculo

Documents