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Ciência e Tecnologia de Vácuo Aula 1

Teoria Cinética dos Gases

• A termodinâmica lida apenas com variáveis macroscópicas, tais como a pressão, a temperatura e o volume. Suas leis básicas, expressas em termos de tais grandezas, nada dizem a respeito da constituição atômica da matéria

• A Mecânica Estatística, entretanto, lidando com a mesma área da ciência que a Termodinâmica, pressupõe a existência de átomos; suas leis fundamentais são as da mecânica, aplicadas aos átomos que constituem o sistema.


• O estudo individual do movimento dos átomos que constituem um gás não é importante se desejarmos apenas determinar o seu comportamento macroscópico. As variáveis termodinâmicas podem ser determinadas como médias de propriedades atômicas.


• Na teoria cinética aplicamos as leis da mecânica a um conjunto de átomos de um modo físico, com técnicas matemáticas, com objetivo de calcular médias.

• Para os gases, a teoria cinética pode ser aplicada sem maiores complicações matemáticas , porque neles as interações entre átomos são muito mais fracas do que nos líquidos ou sólidos.


• Os principais nomes associados ao desenvolvimento da teoria cinética foram:

• Robert Boyle (1627-1691)• Daniel Bernoulli (1700-1782)• James Joule (1818-1889)• Rudolph Clausius (1822-1888)• Clerk Maxwell (1831-1879)• Willard Gibbs (1839-1903)• Ludwig Boltzmann (1844-1906)

Gás Ideal Definição Macroscópica

• Experimentalmente comprova-se que se a massa específica de um gás for suficientemente baixa, qualquer que seja sua composição química, a relação entre as variáveis termodinâmicas p, V e T serão simplificadas.

– Considere uma massa m de gás confinada em um volume V:– m = n.M (n=número de moles e M=peso molecular)– A massa específica = densidade = ρ

3, ,nM gn moles M V cmV moles


• Dada a massa de um gás em equilíbrio térmico, podemos medir sua pressão P, sua temperatura T, e seu volume V.– Para pequenas densidades a experiência mostra que:

• 1 – à temperatura constante, a pressão varia inversamente com o volume (Lei de Boyle)

• 2 – à pressão constante, o volume varia diretamente com a temparatura (Lei de Charles e Gay-Lussac)

cT, (c = constante)pV


• O volume ocupado por um gás (real ou ideal) é proporcional à sua massa, portanto, a constante deve também ser proporcional à massa do gás.

• Como a massa é diretamente proporcional ao número de moles do gás, pode-se escrever a constante como: Nk, sendo N = número de moléculas do gás e k = constante a ser determinada para cada tipo de gás.

• Para baixas densidades k tem o mesmo valor para todos os gases e é chamada de constante universal dos gases:

TpV Nk


• Escrevendo a quantidade de gás em termos do número de moles, temos:

• 1 mol = NAVOGADRO = 6,02x1023 moléculas

• M = peso molecular = massa de 1 mol

• Em n moles de uma substância temos: N = nNA, ou seja:

AT = nN , ApV Nk kT nRT R kN

23

. constante universal dos gases = 8,31 0,0821 1,99. . .

constante de Boltzmann = 1,38 10A

J L atm calRmol K mol K mol K

R Jk xN K


• O gás ideal obedece esta relação sob quaisquer condições !

• Tal gás na realidade não existe, mas é um conceito útil pois o comportamento de todos os gases reais se aproximam do comportamento do gás ideal, a densidades suficientemente baixas.

• Esta equação é chamada de “EQUAÇÃO DE ESTADO DE UM GÁS IDEAL”

n.R.TpV

Gás IdealDefinição Microscópica

• A definição de um gás, do ponto de vista microscópico, fundamenta-se nas suposições seguintes:

1) Um gás é constituído de partículas chamadas moléculas, podem ser formadas por átomos ou grupos de átomos, dependendo a natureza do gás. Se for puro as moléculas são consideradas idênticas.

2) As moléculas são dotadas de movimento e obedecem às Leis de Newton. As moléculas podem se mover em todas as direções, com várias velocidades.

3) O número total de moléculas do gás é grande. O sentido, a direção e o módulo da velocidade das moléculas podem sofrer mudanças bruscas devido às colisões com outras moléculas e com as paredes do recipiente.

4) O volume das moléculas é uma fração desprezível do volume coupado pelo gás. 5) As forças que atuam sobre as moléculas são desprezíveis, exceto durante uma

colisão. Como consequência o movimento das moléculas é retilíneo e uniforme entre duas colisões. A distância média entre as moléculas é muito grande comparada a seus tamanhos (para baixas densidades principalmente).

6) As colisões entre moléculas, ou com as paredes do recipiente, são elásticas e de duração desprezível. São conservados o momento linear e a energia cinética.

Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão

• Supondo um gás em um recipiente cúbico, sendo d o comprimento das arestas do cubo e A1 e A2 as áreas das suas faces (d2).

• Considerando apenas a componente x do vetor velocidade v (vx) de uma molécula que colide com A1, sua componente vx mudará de sinal, mas nenhum efeito será observado nas componentes vy e vz.

• A variação do momento linear será portanto normal à face A1 e vale:

( ) 2f i x x xp p p mv mv mv


• Se o número de moléculas de um gás for Ni com velocidade vxi, o número destas moléculas que atingirão a parede A1 no intervalo de tempo t, será o número de moléculas à distância vxi.t que se movem em diração à face A1.

vxi.t

x

O número de moléculas que atinge a parede é:

. . .ixi

Nv t A

V


• O impulso que as moléculas exercem sobre as paredes é igual à VARIAÇÃO TOTAL DO MOMENTO de cada molécula (2mvxi) vezes o número que colide com a parede:

• A força média será obtida pela divisão deste impulso pelo intervalo de tempo t, e como a pressão é definida como a força por unidade de área, temos:

22.2i xi i xi

i xiN v tA N mv tA

I mvV V

22i i xii

I N mvP

tA V


• A pressão total exercida por todas as moléculas é obtida fazendo a soma destas para todas as componentes vxi positivas, uma vez que, em média e em qualquer instante, a metade das moléculas está se movimentando para em direção à parede. Podemos somar para todas as moléculas e dividir o resultado por 2:

• O temo: corresponde à vx2 médio vezes o número total de

moléculas:

2221 1

2 2i xi

i i xi

N mv mP P N vV V

2

i xiN v

2x

NmP vV


• Considerando um movimento isotrópico para todas as moléculas do gás, as componentes vx

2 =vy2

=vz2, e o quadrado da velocidade será:

v2 = vx2 +vy

2 +vz

2

• A pressão poderá ser então escrita em termos da média do quadrado das velocidades moleculares:

A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume (N/V) e à energia cinética média

das moléculas (K).

221 2 2

3 3 2 3mvN N NP mv K

V V V

Interpretação molecularda Temperatura

• A pressão média sobre uma parede é:

• Substituindo pV pela equação de estado de um gás ideal, temos:

• Ou seja, a energia cinética média associada ao movimento de translação na direção x é kT/2.

• Como x é uma direção arbitrária, temos equações análogas para y e z:

v2 = vx2 +vy

2 +vz

2

• Adicionando as três igualdades e escrevendo:

2 2122x x

Mmp v pV N mvV

2

2 2 2

1T=22

1 1 12 2 2 2

x

x y z

pV Nk N mv

kT mv mv mv

23 1

2 2kT mv


• Concluímos que a temperatura absoluta é uma medida da energia cinética média de translação das moléculas. Somente a energia de translação contribui para a pressão, uma vez que as moléculas possuem também as energias de rotação e vibração.

• A energia cinética (K) de translação total de n moles de um gás com N moléculas é:

21 3 32 2 2xK N mv NkT nRT


• A energia cinética de translação molecular é:

• Exemplo: A energia cinética média de translação de uma molécula é 3/2kT, numa temperatura de T=300 K, temos:

3/2kT = 6,21x10-21 J = 0,038 eV

3 , por molécula23 , por mol2

kT

RT

Velocidade Quadrática Média

• A raiz quadrada da média (v2m) é a velocidade média

quadrática. A média de v2 será portanto:

• Exemplo: para a moléculade oxigênio a T=300 K eM=32x10-3 kg/mol,

2

2

3 3

3mq

kT RTvm M

RTv vM

3

2

2

3 8,31 300.32.10

.como ,

483

mq

mq

J molv Kmol K kg

kg mJs

mvs

Unidades de pressão

1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 1,013x105 N/m2

1 mmHg = 1 torr = 1,316x10-3 N/m2

1 bar = 103 mbar = 105 N/m2

Exercícios1 ) Um corpo de massa m e energia cinética K é refletido perpendicularmente por uma parede,

sem perder energia. Determine a expressão do impulso I fornecido pela parede.

2) Durante um intervalo de tempo de 1 min, 1000 pingos de chuva com 0,01 g caem

perpendicularmente sobre o teto de um carro, cuja área é 3,2 m2. A velocidade dos pingos, quando

atingem o teto, é 5 m/s. Determine a força média sobre o teto e a pressão. (equações)

3) No exercício 2 substitua os pingos de chuva por granizo (m=0,01 g) supondo que os

mesmos ricocheteiam no teto do carro sem perder energia. Calcule a força média e a pressão

4) Sabendo que 1 mol de gás ocupa 22,4 L a zero graus Celsius e na pressão de 1 atm, calcule

a energia cinética média da moléculas de gás. (1 atm ~ 1x105 N/m2)

5) Calcular a velocidade quadrática média de uma molécula de H2 quando 1 mol do gás ocupa

o volume de 10 L à pressão de 3 atm.

Exercícios6) Quando a pressão de um gás é duplicada, permanecendo constante o volume, qual a

variação na energia cinética média de translação de uma molécula?

7) Um mol de um gás ocupa o volume de 10 L na pressão de 1 atm.

(a) Qual a temperatura do gás?

(b) O recipiente que o contém dispõe de um pistão com que se pode modificar seu volume. O gás é aquecido sob pressão constante e expande, até atingir o volume de 20 L. Qual é sua temperatura em kelvins?

(c) O volume é mantido constante a 20 L e o gás é aquecido até a temperatura atingir 350 K. Qual é a pressão?

8) Numa bomba de vácuo, de difusão a óleo, pode-se atingir a pressão de 10-8 mmHg. Quantas moléculas existem em 1 cm3 nesta pressão, a 300 K? Compare com a quantidade de moléculas por cm3 à pressão atmosférica.

9) Um recipiente de 10 L contém um gás a 0º C, sob pressão de 4 atm. Quantos moles do gás estão no recipiente? Quantas são as moléculas?

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