Ciência e Tecnologia de Vácuo Aula 1
Teoria Cinética dos Gases
• A termodinâmica lida apenas com variáveis macroscópicas, tais como a pressão, a temperatura e o volume. Suas leis básicas, expressas em termos de tais grandezas, nada dizem a respeito da constituição atômica da matéria
• A Mecânica Estatística, entretanto, lidando com a mesma área da ciência que a Termodinâmica, pressupõe a existência de átomos; suas leis fundamentais são as da mecânica, aplicadas aos átomos que constituem o sistema.
Teoria Cinética dos Gases
• O estudo individual do movimento dos átomos que constituem um gás não é importante se desejarmos apenas determinar o seu comportamento macroscópico. As variáveis termodinâmicas podem ser determinadas como médias de propriedades atômicas.
Teoria Cinética dos Gases
• Na teoria cinética aplicamos as leis da mecânica a um conjunto de átomos de um modo físico, com técnicas matemáticas, com objetivo de calcular médias.
• Para os gases, a teoria cinética pode ser aplicada sem maiores complicações matemáticas , porque neles as interações entre átomos são muito mais fracas do que nos líquidos ou sólidos.
Teoria Cinética dos Gases
• Os principais nomes associados ao desenvolvimento da teoria cinética foram:
• Robert Boyle (1627-1691)• Daniel Bernoulli (1700-1782)• James Joule (1818-1889)• Rudolph Clausius (1822-1888)• Clerk Maxwell (1831-1879)• Willard Gibbs (1839-1903)• Ludwig Boltzmann (1844-1906)
Gás Ideal Definição Macroscópica
• Experimentalmente comprova-se que se a massa específica de um gás for suficientemente baixa, qualquer que seja sua composição química, a relação entre as variáveis termodinâmicas p, V e T serão simplificadas.
– Considere uma massa m de gás confinada em um volume V:– m = n.M (n=número de moles e M=peso molecular)– A massa específica = densidade = ρ
3, ,nM gn moles M V cmV moles
Gás Ideal Definição Macroscópica
• Dada a massa de um gás em equilíbrio térmico, podemos medir sua pressão P, sua temperatura T, e seu volume V.– Para pequenas densidades a experiência mostra que:
• 1 – à temperatura constante, a pressão varia inversamente com o volume (Lei de Boyle)
• 2 – à pressão constante, o volume varia diretamente com a temparatura (Lei de Charles e Gay-Lussac)
cT, (c = constante)pV
Gás Ideal Definição Macroscópica
• O volume ocupado por um gás (real ou ideal) é proporcional à sua massa, portanto, a constante deve também ser proporcional à massa do gás.
• Como a massa é diretamente proporcional ao número de moles do gás, pode-se escrever a constante como: Nk, sendo N = número de moléculas do gás e k = constante a ser determinada para cada tipo de gás.
• Para baixas densidades k tem o mesmo valor para todos os gases e é chamada de constante universal dos gases:
TpV Nk
Gás Ideal Definição Macroscópica
• Escrevendo a quantidade de gás em termos do número de moles, temos:
• 1 mol = NAVOGADRO = 6,02x1023 moléculas
• M = peso molecular = massa de 1 mol
• Em n moles de uma substância temos: N = nNA, ou seja:
AT = nN , ApV Nk kT nRT R kN
23
. constante universal dos gases = 8,31 0,0821 1,99. . .
constante de Boltzmann = 1,38 10A
J L atm calRmol K mol K mol K
R Jk xN K
Gás Ideal Definição Macroscópica
• O gás ideal obedece esta relação sob quaisquer condições !
• Tal gás na realidade não existe, mas é um conceito útil pois o comportamento de todos os gases reais se aproximam do comportamento do gás ideal, a densidades suficientemente baixas.
• Esta equação é chamada de “EQUAÇÃO DE ESTADO DE UM GÁS IDEAL”
n.R.TpV
Gás IdealDefinição Microscópica
• A definição de um gás, do ponto de vista microscópico, fundamenta-se nas suposições seguintes:
1) Um gás é constituído de partículas chamadas moléculas, podem ser formadas por átomos ou grupos de átomos, dependendo a natureza do gás. Se for puro as moléculas são consideradas idênticas.
2) As moléculas são dotadas de movimento e obedecem às Leis de Newton. As moléculas podem se mover em todas as direções, com várias velocidades.
3) O número total de moléculas do gás é grande. O sentido, a direção e o módulo da velocidade das moléculas podem sofrer mudanças bruscas devido às colisões com outras moléculas e com as paredes do recipiente.
4) O volume das moléculas é uma fração desprezível do volume coupado pelo gás. 5) As forças que atuam sobre as moléculas são desprezíveis, exceto durante uma
colisão. Como consequência o movimento das moléculas é retilíneo e uniforme entre duas colisões. A distância média entre as moléculas é muito grande comparada a seus tamanhos (para baixas densidades principalmente).
6) As colisões entre moléculas, ou com as paredes do recipiente, são elásticas e de duração desprezível. São conservados o momento linear e a energia cinética.
Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão
• Supondo um gás em um recipiente cúbico, sendo d o comprimento das arestas do cubo e A1 e A2 as áreas das suas faces (d2).
• Considerando apenas a componente x do vetor velocidade v (vx) de uma molécula que colide com A1, sua componente vx mudará de sinal, mas nenhum efeito será observado nas componentes vy e vz.
• A variação do momento linear será portanto normal à face A1 e vale:
( ) 2f i x x xp p p mv mv mv
Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão
• Se o número de moléculas de um gás for Ni com velocidade vxi, o número destas moléculas que atingirão a parede A1 no intervalo de tempo t, será o número de moléculas à distância vxi.t que se movem em diração à face A1.
vxi.t
x
O número de moléculas que atinge a parede é:
. . .ixi
Nv t A
V
Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão
• O impulso que as moléculas exercem sobre as paredes é igual à VARIAÇÃO TOTAL DO MOMENTO de cada molécula (2mvxi) vezes o número que colide com a parede:
• A força média será obtida pela divisão deste impulso pelo intervalo de tempo t, e como a pressão é definida como a força por unidade de área, temos:
22.2i xi i xi
i xiN v tA N mv tA
I mvV V
22i i xii
I N mvP
tA V
Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão
• A pressão total exercida por todas as moléculas é obtida fazendo a soma destas para todas as componentes vxi positivas, uma vez que, em média e em qualquer instante, a metade das moléculas está se movimentando para em direção à parede. Podemos somar para todas as moléculas e dividir o resultado por 2:
• O temo: corresponde à vx2 médio vezes o número total de
moléculas:
2221 1
2 2i xi
i i xi
N mv mP P N vV V
2
i xiN v
2x
NmP vV
Gás Ideal Cálculo Cinético da Pressão
• Considerando um movimento isotrópico para todas as moléculas do gás, as componentes vx
2 =vy2
=vz2, e o quadrado da velocidade será:
v2 = vx2 +vy
2 +vz
2
• A pressão poderá ser então escrita em termos da média do quadrado das velocidades moleculares:
A pressão é proporcional ao número de moléculas por unidade de volume (N/V) e à energia cinética média
das moléculas (K).
221 2 2
3 3 2 3mvN N NP mv K
V V V
Interpretação molecularda Temperatura
• A pressão média sobre uma parede é:
• Substituindo pV pela equação de estado de um gás ideal, temos:
• Ou seja, a energia cinética média associada ao movimento de translação na direção x é kT/2.
• Como x é uma direção arbitrária, temos equações análogas para y e z:
v2 = vx2 +vy
2 +vz
2
• Adicionando as três igualdades e escrevendo:
2 2122x x
Mmp v pV N mvV
2
2 2 2
1T=22
1 1 12 2 2 2
x
x y z
pV Nk N mv
kT mv mv mv
23 1
2 2kT mv
Interpretação molecularda Temperatura
• Concluímos que a temperatura absoluta é uma medida da energia cinética média de translação das moléculas. Somente a energia de translação contribui para a pressão, uma vez que as moléculas possuem também as energias de rotação e vibração.
• A energia cinética (K) de translação total de n moles de um gás com N moléculas é:
21 3 32 2 2xK N mv NkT nRT
Interpretação molecularda Temperatura
• A energia cinética de translação molecular é:
• Exemplo: A energia cinética média de translação de uma molécula é 3/2kT, numa temperatura de T=300 K, temos:
3/2kT = 6,21x10-21 J = 0,038 eV
3 , por molécula23 , por mol2
kT
RT
Velocidade Quadrática Média
• A raiz quadrada da média (v2m) é a velocidade média
quadrática. A média de v2 será portanto:
• Exemplo: para a moléculade oxigênio a T=300 K eM=32x10-3 kg/mol,
2
2
3 3
3mq
kT RTvm M
RTv vM
3
2
2
3 8,31 300.32.10
.como ,
483
mq
mq
J molv Kmol K kg
kg mJs
mvs
Unidades de pressão
1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 1,013x105 N/m2
1 mmHg = 1 torr = 1,316x10-3 N/m2
1 bar = 103 mbar = 105 N/m2
Exercícios1 ) Um corpo de massa m e energia cinética K é refletido perpendicularmente por uma parede,
sem perder energia. Determine a expressão do impulso I fornecido pela parede.
2) Durante um intervalo de tempo de 1 min, 1000 pingos de chuva com 0,01 g caem
perpendicularmente sobre o teto de um carro, cuja área é 3,2 m2. A velocidade dos pingos, quando
atingem o teto, é 5 m/s. Determine a força média sobre o teto e a pressão. (equações)
3) No exercício 2 substitua os pingos de chuva por granizo (m=0,01 g) supondo que os
mesmos ricocheteiam no teto do carro sem perder energia. Calcule a força média e a pressão
4) Sabendo que 1 mol de gás ocupa 22,4 L a zero graus Celsius e na pressão de 1 atm, calcule
a energia cinética média da moléculas de gás. (1 atm ~ 1x105 N/m2)
5) Calcular a velocidade quadrática média de uma molécula de H2 quando 1 mol do gás ocupa
o volume de 10 L à pressão de 3 atm.
Exercícios6) Quando a pressão de um gás é duplicada, permanecendo constante o volume, qual a
variação na energia cinética média de translação de uma molécula?
7) Um mol de um gás ocupa o volume de 10 L na pressão de 1 atm.
(a) Qual a temperatura do gás?
(b) O recipiente que o contém dispõe de um pistão com que se pode modificar seu volume. O gás é aquecido sob pressão constante e expande, até atingir o volume de 20 L. Qual é sua temperatura em kelvins?
(c) O volume é mantido constante a 20 L e o gás é aquecido até a temperatura atingir 350 K. Qual é a pressão?
8) Numa bomba de vácuo, de difusão a óleo, pode-se atingir a pressão de 10-8 mmHg. Quantas moléculas existem em 1 cm3 nesta pressão, a 300 K? Compare com a quantidade de moléculas por cm3 à pressão atmosférica.
9) Um recipiente de 10 L contém um gás a 0º C, sob pressão de 4 atm. Quantos moles do gás estão no recipiente? Quantas são as moléculas?