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Conceitos Fundamentais

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~A

^

~e

~~. BA

~~BA

B

~

u

~. A

~ARotacional de um campo vectorial

Vector

Versor

Produto interno

Produto externo

Tensor

Nabla

Gradiente de um campo escalar

Divergência de um campo vectorial

Notação

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Leis do electromagnetismo são regidas pelas equações de Maxwell.

Eqs. Maxwell baseadas em trabalhos de Faraday, Gauss, Ampére, etc. (sec. XIX).

Força de Lorentz:

~~~~BvEqF

Campos vectoriais (campo eléctrico) e (indução magnética) grandezas fundamentais de

campo electromagnético. Podem ser determinadas por experimentação.

Campos vectoriais auxiliares: deslocamento eléctrico , campo magnetico

~E ~

B

~D

~H

~~~~

1 EDBH oo

Em espaço livre:

Permeabilidade magnética , permitividade 17104 mHo 19103/1 mFo

Equações de Maxwell

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A circulação de ao longo do contorno fechado Гf = - variação temporal do fluxo da

indução magnetica através de A. ~E

A

dsBt

dlEf ~~~~

..

^

~

^

~~

ndSdS

tdldl

A

^

~n

^

~t

f

Lei de Faraday

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Circulação (integral de linha) de um campo vectorial ao longo de uma linha fechada

Гf = fluxo do rotacional de através de A.~

U

~U

f A

dsUdlU~~~~

..

t

BE

~

~~

Um campo vectorial fica completamente definido quando forem conhecidos e

em todos os pontos do espaço.~

U

~. U

Teorema de Helmholtz (cálculo vectorial)

Teorema de Stokes (cálculo vectorial)

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O fluxo total de que sai dum volume V limitado por Sf é igual à carga eléctrica total

contida nesse volume.~D

dvqdsD VSf

~~.

~

.D Sf V dvUdSU~~~~

..

Lei de Gauss

Teorema da divergência (cálculo vectorial)

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A fonte que cria a circulação (ou rotacional) do campo magnético é ~J

f AdsJdlH~~~

..•

t

D

~ Grande contribuição de Maxwell: adicionar o termo

• Eqs. compatíveis com o principio da conservação da carga e permitiu prever a

propagação de ondas electromagnéticas (~20 anos antes de Hertz ter verificado as

previsões teóricas).

Campo magnético

Lei de Ampére

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Termo t

D

~

A SdsJds

t

DdlH

f ~~~

~

~~...

t

DJH

~

~~

Teorema de Stokes do cálculo vectorial

fS

dsB 0.~~

~H Divergência de

Não foram encontrados até agora cargas magnéticas

0.~

B

Teorema da divergência

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0.~

t

J Teorema da divergência

t

D

~ Termo

Sf

dVt

dsJ ~~

.

traduz um fluxo de cargas eléctricas livres.

Como a carga se conserva

~J

Eq. da continuidade

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~I

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oB

D

t

BE

t

DJH

~

~

~

~

~

~~

.

.

Sabendo e tem-se 12 incógnitas e 8 eqs.

Eqs. adicionais resultam das relações entre campos impostas pelas características do meio,

relações Constitutivas.

~J

Eqs. de Maxwell

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Relações constitutivas• A resposta do meio a um estímulo electromagnético depende das suas características.

Propriedades dos meios• Homogéneos

• Lineares

• Isótropos

• Anisotropos

• Temporalmente dispersivos

• Espacialmente dispersivos

• Meios simples: com comportamento linear, isótropos e sem dispersão

espacial.

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Campo eléctrico cria momento dipolar eléctrico.

- vector polarização eléctrica

~~0~PED

~P

~.Pp

Meios materiais Comportamento dieléctrico

Resposta do meio a um campo electromagnético

estático e uniforme é descrita em termos de

momentos dipolares eléctricos induzidos.

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Meios materiais Comportamento magnético

Materiais não ferromagnéticos: Quando se aplica um

campo magnético são induzidas pequenas correntes

microscópicas que se opõem nos seus efeitos magnéticos

às variações do campo aplicado.

Comportamento diamagnético,momentos magnéticos

em oposição ao campo magnético.

Comportamento paramagnético, há a possibilidade de

alinhar os momentos magnéticos atómicos individuais e o

campo magnético intensifica-se.

Materiais ferromagnéticos: os momentos magnéticos

induzidos são muito mais intensos do que nos materiais

com comportamento magnético ordinário.

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~BMagnetização

Correntes microscópicas induzidas

(Correntes Amperianas).

Magnetização - momento dipolar

magnético por unidade de volume.

A densidade de corrente associada às

correntes microscópicas é dada por

e tem-se

~M

~Mx

)(~~0~

MHB

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Descrição dos comportamentos dieléctrico e magnético

Em termos de momentos dipolares induzidos só é rigorosamente válida no caso dos campos estáticos uniformes (separação completa de efeitos eléctricos e magnéticos).

Regimes variáveis no tempo

Meios isotrópicos simples sem dispersão espacial relações entre e e entre e

descritas cada uma por uma convolução temporal.

No domínio da frequência significa um relacionamento multiplicativo entre as transformadas de Fourier de e e de e

.

)(~

tD )(~

tE )(~

tB)(

~tH

)(~

tD )(~

tE )(~

tB )(~

tH

)(*)()(

)(*)()(

)(*)(´)'(´)(

~~

~~

~~~

tEttJ

tHttB

tEtdttEtttD

)(.)()(

)(.)()(

~~

~~

HB

ED

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Equações de Maxwell em Meios Materiais

Num meio dieléctrico simples, para além da carga livre existe

também carga de polarização p, que tem origem nos dipolos

eléctricos induzidos provocados pelo campo eléctrico aplicado

(separação de cargas negativas e positivas).

Recorrendo ao vector de polarização constituído pela densidade

volúmica do momento dos dipolos eléctricos induzidos no meio.

A introdução de tem a vantagem de invocar apenas a

densidade de carga livre.

GaussdeLeiE.o

p

~

~. Pp

~

. D~D

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t

E

t

PMJB

o o

~~

~~~

1

• O rotacional da indução magnética (circulação ao longo de qualquer caminho fechado) é

determinado pela densidade de corrente total.

Corrente livreCorrente Amperiana

Corrente de polarização

Corrente deslocamento de vácuo

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A introdução dos campos e facilita a escrita das equações de Maxwell mas torna

necessário arranjar um modelo para descrever os meios.~D

~H

~

~

~~

D

t

DJH

Equações de Maxwell em termos de D e H

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Ondas Electromagnéticas

Ondas Planas

O lugar geométrico dos pontos em que os valores das grandezas ondulatórias são constantes,

são planos.

As ondas planas são muito importantes porque:

A grande distância das fontes as ondas esféricas e cilíndricas podem ser localmente

aproximadas por ondas planas

Qualquer tipo de onda pode ser sintetizado (via integral de Fourier em vectores de onda) à

custa de ondas planas elementares.

• A descrição de uma estrutura ondulatória envolve coordenadas espaciais e a coordenada temporal.

Nem todas as funções f(x,y,z,t) são ondas.

Equações de onda

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Equações de Onda

Meio homogéneo, isótropo e sem fontes ou espaço livre. 0J,0

0

00.

0.

2~

2

~

2

2~

2

~

2

~

~

~

~

~

~

t

HH

t

EEB

D

t

BE

t

DH

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Propagação de Ondas Planas e Uniformes

~~HeE

2 2

~ ~2 2

2 2

~ ~2 2

1 2

( )

0

3 .

1

:

: cos

y y

y

k z ct

E E

z t

eqs escalares

E Ec

z t

Solução geral E f z ct f z ct

Funções A k z ct C e z ct

Todas as funções acima representam movimento ondulatório

Admitamos (para simplificar) que só dependem de z.

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O que é uma onda?

É um fenómeno físico que ocorre num local num dado instante e é reproduzido noutros

lugares em instantes posteriores, sendo o atraso proporcional à distância de cada local à

primeira posição.

Uma onda não é necessariamente um fenómeno repetitivo no tempo.

(Ex: Tsunami).

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Se houver apenas onda incidente: E = f (z – ct)

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Variação Temporal Harmónica

Os geradores produzem tensões e correntes, e portantos campos eléctrico e magnético que variam

sinusoidalmente no tempo.

Qualquer variação periódica pode ser analisada em termos de variações sinusoidais com frequências

que reproduzem o conteúdo espectral do estímulo electromagnético.

)2/sin(

)cos(

0

0

tEE

tEE

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