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CENTRO ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS
DE VOTORANTIM
OBJETIVOS ( Módulo 5)
Nesta U.E. você será capaz de:
- Usar a proporcionalidade para resolver problemas;
- Aplicar o Teorema de Pitágoras na solução de situações-problemas.
MÓDULO 5
Freqüentemente, engenheiros
arquitetos, construtores e urbanistas têm
a precaução de desenhar e mostar suas
obras em dimensões reduzidas, como um
primeiro passo para a sua construção.
Para isso, esses profissionais fazem uso
de maquetes e plantas em seus
respectivos trabalhos.
O desenho da planta de um apartamento, um desenho e sua imagem vistam
por uma lupa, são exemplos de semelhança.
FIGURAS SEMELHANTES
Ítalo e Aline fazem ginástica diariamente. Veja a foto e sua ampliação:
Observe que as medidas dos lados das duas fotos são diferentes, mas as
medidas dos ângulos são iguais.
66 cm 99 cm
Na matemática, uma foto e sua ampliação são exemplo de figuras
semelhantes.
Pode-se dizer que dois triângulos têm a mesma forma, uma vez que ambos
têm forma triangular, mas nem sempre são semelhantes. Porém, dois
triângulos eqüiláteros são sempre semelhantes. Eles têm a mesma forma!
Dois círculos são sempre semelhantes:
Em figuras semelhantes há certas propriedades notáveis. Uma delas refere-
se a comprimentos.
Observe que as medidas das figuras (Ítalo e Aline) são diretamente
proporcionais aos comprimentos correspondentes da outra. Multiplicando os
comprimentos da figura menor por 1,5 obtemos os comprimentos da maior.
Dizendo de outra maneira, temos: 99 mm = 69 mm = 48 mm
66 mm 46 mm 32 mm
Figuras semelhantes têm também uma propriedade referente a ângulos.
Os ângulos de uma figura são iguais aos ângulos correspondentes da outra.
(Veja bem, aqui não entra proporcionalidade).
Em dois triângulos semelhantes:
Os ângulos congruentes (mesmas medidas) são chamados ângulos
correspondentes;
Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados
homólogos.
Você verá que a semelhança de triângulos é muito utilizada no Teorema
de Tales.
46
mm
32
mm
69
mm
124 º
124 º
35º
35º
48
mm
TEOREMA DE TALES
Curiosidades sobre Tales de Mileto Você sabe quem foi Tales?
- Foi um legislador, filósofo matemático e astrônomo.
- Tales nasceu em Mileto (atualmente pertence à Turquia) no ano 646 aC. e
morreu em 546 aC.
- A ele são atribuídas as seguintes descobertas geométricas:
Três ou mais retas paralelas (r,s,t) cortadas por duas retas transversais
(m,n) determinam segmentos proporcionais:
a = c
b d
m n
ESTUDO DO TEOREMA DE TALES E SUAS APLICAÇÕES NA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Quando dois triângulos são semelhantes, os seus lados
correspondentes são proporcionais.
Observe que aplicando o teorema das proporções você pode determinar
a medida de um dos segmentos das retas transversais.
12 20 12 = 20 multiplicando X . 20 = 12 . 10
X 10 x 10 X . 20 = 120
X = 120
20
x = 6
Você sabe que existem situações em que é difícil efetuar medições então,
podemos usar o Teorema da Proporcionalidade (Tales) usando a teoria dos
triângulos semelhantes.
Imagine que uma ponte deve ser construída sobre um rio. Como
calcular a largura do rio para saber qual será o comprimento da ponte?
Veja o esquema e observe como resolve a proporção para achar o valor de x.
O Teorema de Tales estabelece que: Um feixe de retas paralelas determina em duas transversais, segmentos proporcionais
O formato de um triângulo fica completamente definido quando são
conhecidos os seus ângulos. Para isso basta conhecer dois ângulos, pois o
terceiro é o que falta para que a soma dos três seja igual a 180º.
“A SOMA DOS TRÊS ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO
QUALQUER É SEMPRE IGUAL A 180º”.
Essa propriedade dos triângulos tem inúmeras aplicações práticas.
Veja o exemplo abaixo.
Imagine que para fazer um mapa, seja necessário saber a largura de um
rio. Graças a essa propriedade dos triângulos a largura pode ser obtida
facilmente. Veja:
Representação matemática
Apenas com essas medidas resolve-se o problema. Para isso desenha-se
um triângulo semelhante àquele do rio. Veja a representação dos dois
triângulos ao lado.
Medindo-se os lados e usando proporcionalidade encontra-se a largura
do rio.
Medem-se os ângulos B e C e a distância BC.
X X
105
5,8
4
Calculando a largura do rio dessa maneira, evita-se muito trabalho. Nem
é preciso atravessar o rio. É por isso que a semelhança de triângulos é um
conhecimento importante para geógrafos, cartógrafos, agrimensores,
topógrafos e engenheiros.
EXERCÍCIOS
1 - Observando o exemplo anterior, resolva em seu caderno.
Um homem de 1,80 de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento
no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de
comprimento. Qual é a altura da árvore?
Representação matemática
2) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado
pela figura abaixo. Qual é a largura do lago?
Faça a representação matemática.
Observe que têm dois triângulos: um menor dentro do outro maior.
1,80 m
2,70 m
X
9 m
60º 60º
x
Exemplo resolvido. Calcule o comprimento de X
2,4
17
1,2
x (multiplica cruzado)
4,2 X = 2,1 17
X = 35,7
4,2
X = 8,5
EXERCÍCIOS –
3 ) Faça em seu caderno.
4 ) Como você pode calcular a altura da torre de uma igreja que projeta uma
sombra de 18 m de comprimento se, no mesmo instante, uma vara de 1,5 m
produz uma sombra de 2,5m?
sombra 18m sombra 2,5m
1,5m X
5 ) Uma haste de um metro projeta uma sombra de 2m, qual será a altura de
um poste de iluminação que no mesmo instante tem uma sombra de 15 m?
SUGESTÃO; faça a representação do problema com os desenhos dos
triângulos.
6 ) Três retas paralelas ( a, b, c ) são cortadas por duas retas transversais (s, t )
formando quarteirões com as respectivas medidas.
Determine a medida do quarteirão x.
TEOREMA DE PITÁGORAS
No século VI a.C. foi descoberta uma propriedade válida em todos os
triângulos retângulos. Recordando:
Elementos do Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras.
x
80
m
100 m
50
m
a
b
c
s t
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos.
Cateto ( lados que formam o ângulo reto
90º )
Hipotenusa (é o lado maior,
oposto ao ângulo reto)
cateto
Exemplo:
2 ) Observe o terreno triangular abaixo e descubra a medida do terceiro lado.
EXERCÍCIOS:
7 ) O carpinteiro precisa calcular o comprimento dos caibros do telhado:
10 X
2,90
Nesta situação você encontra um triângulo retângulo. Usando o Teorema de Pitágoras descubra o comprimento do caibro.
Hip² = cat² + cat² X² = 3² + 4² X² = 9 + 16
X = 25
X = 5
3
4
X
24 (cateto)
X (cateto)
25 (hipotenusa)
Hip² = cat² + cat² 25² = x² + 24² 625 = X² + 576 625 – 576 = x² X² = 49
X = 49
X = 7
8 ) Os lados de um quadrado medem 10 cm. Qual é o comprimento de suas
diagonais?
Dica : DIAGONAL: SEGMENTO DE RETA QUE UNE VÉRTICES
OPOSTOS. Veja o desenho ao lado e observe que a
diagonal passa a ser a hipotenusa dos dois triângulos
retângulos formados.
9 ) Para que o portão ganhe rigidez ( lembra-se da rigidez do triângulo? ) o
carpinteiro deve colocar uma trave de madeira que se estenda do ponto A até
C ( conforme figura):
GABARITO
MÓDULO 5
GABARITO
1) 6 m
2) 250 m
3) 8,4
4) 10,8
5) 7,5 m
6 ) 160 m
7) 10,41 m
8 ) 14,142
9) 198,49 cm
Diagonal =
hipotenusa
X
130
C
A
150
Bibliografia: Desenhos ilustrativos tirados dos livros: BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995. IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999. SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.
ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007: - Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans COLABORAÇÃO: - Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes ATUALIZADA EM 2008 APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim