centro de tecnologia e ciência faculdade de engenharia ... · Área de concentração estruturas....

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Tecnologia e Ciência

Faculdade de Engenharia

Programa de Pós- Graduação em Engenharia Civil

Karina Mota Rocha

Otimização Topológica de Vigas Metálicas com Aberturas na Alma

Rio de Janeiro

2017

Karina Mota Rocha


Dissertação apresentada, como requisito

parcial para a obtenção do título de

mestre, ao Programa de Pós Graduação

em Engenharia Civil, da Universidade do

Estado do Rio de Janeiro. Área de

concentração Estruturas.

Orientadores: Prof. Dr. Rodrigo Bird Burgos

Prof. Dr. André Tenchini da Silva

Prof. Dr. Anderson Pereira

Rio de Janeiro

2017

CATALOGAÇÃO NA FONTE

UERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/B

Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial

desta dissertação, desde que citada a fonte.

________________________________________ ____________

Karina Mota Rocha Data

Karina Mota Rocha


Dissertação apresentada, como requisito parcial para a obtenção do título de mestre, ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Área de concentração Estruturas.

Aprovado em 14 de Agosto de 2017.

Banca Examinadora:

____________________________________________

Prof. Dr. Rodrigo Bird Burgos (Orientador)

Faculdade de Engenharia – UERJ

____________________________________________

Prof. Dr. André Tenchini da Silva (Orientador)


____________________________________________

Prof. Dr. Anderson Pereira (Orientador)

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

____________________________________________

Prof. Dr. Rodolfo Luiz Martins Suanno


____________________________________________

Prof. Dr. Daniel Carlos Taissum Cardoso

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro

2017

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, agradeço a Deus, sem o qual eu não existiria, por cada

benção concedida a mim e por ter sido meu suporte ao longo de toda a minha vida.

Agradeço também, à minha família, meus pais Nilson Rocha e Lenalda Mota

Rocha por tudo o que fizeram e fazem por mim, por acreditarem em mim e trilharem

essa jornada comigo, mesmo quando isso significou atravessar o país de carro para

que eu pudesse defender um artigo. À minha irmã Vivian Rocha, e minha tia Luiza

Mota por acreditarem em mim todo esse tempo.

Ao meu orientador Rodrigo Burgos, uma das pessoas mais inteligentes que

eu já conheci, por todo apoio e tempo investido em mim, pelo jeito calmo mesmo

quando os prazos eram curtos.

Ao meu orientador André Tenchini, por me orientar em algo completamente

diferente do seu escopo de trabalhos, por cada conversa, e por todo o tempo

investido em mim e para que esta dissertação fosse possível.

Ao meu orientador Anderson Pereira pela sua disponibilidade em me orientar.

Aos meus amigos e companheiros durante todo o tempo de graduação e

mestrado, por tornarem os meus dias mais coloridos, divertidos, multiplicarem as

minhas alegrias e dividirem comigo cada momento de tristeza Keila, Petterson e

Filipe.

Ao querido Thiago Elias pelas horas de companhia enquanto eu escrevia

artigos ou até mesmo esta dissertação, por fazer os meus dias melhores e mais

alegres e pela disponibilidade em me ajudar em tudo que fosse necessário.

Obrigada meu bem.

As cada uma das meninas, da Igreja Metodista em Icaraí que trilhou esse

caminho comigo, que orou por mim, que escutaram cada uma das minhas

reclamações e experiências vividas ao longo desses dois anos. Vocês são um

presente de Deus para mim.

A CAPES pelo apoio financeiro.

RESUMO

ROCHA, Karina Mota. Otimização Topológica de Vigas Metálicas com Aberturas na Alma. 2017. 118f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2017.

O uso eficiente de materiais é um tema extremamente importante atualmente.

Desta forma, a busca por estruturas ótimas tem se expandido rapidamente ao longo

do tempo, isso ocorre, pois este tipo de estrutura possui um melhor desempenho e

por isso são capazes de gerar economia de material. Menos sensíveis a

deformações e mais resistentes a flexão, as vigas perfuradas são também mais

leves do que um perfil I com a alma cheia de mesma seção transversal. Entretanto,

quando submetidas a carregamentos, as vigas celulares sofrem com a ocorrência de

altos gradientes de tensão, o que pode indicar que estas vigas são suscetíveis à

falha. Desta forma, torna-se perceptível que estes furos não apresentam uma

topologia ótima, sendo assim essa remoção de material criando furos nas almas das

vigas perfuradas pode ser analisada do ponto de vista da otimização topológica.

Assim, este trabalho tem como objetivo encontrar uma nova forma para os furos da

alma de vigas perfuradas através do módulo de otimização do programa ABAQUS.

Após isso, é feita uma análise comparativa dos resultados obtidos do ponto de vista

estrutural, a fim de avaliar os resultados das análises não lineares e de carga crítica

para as vigas, celulares e otimizadas, ambas com o mesmo volume, tendo apenas

como diferença entre si a distribuição e o formato dos furos ao longo da alma da

viga. Os resultados obtidos mostraram o bom comportamento estrutural das vigas

otimizadas quando comparadas a viga celular, no que tange a sua resistência e

rigidez. Além disso, foi proposto um modelo aproximado a viga otimizada, modelo

este que também apresentou um bom comportamento quando comparado a viga

celular.

Palavras chave: Otimização estrutural, Vigas perfuradas, Modelagem computational,

Análise não linear de vigas otimizadas.

ABSTRACT

ROCHA, Karina Mota. Topology Optimization of Steel Beams with Web Openings. 2017. 118f. Dissertation (Master in Civil Engineering) - College of Engineering, Rio de Janeiro State University, RJ, Brazil 2017.

Efficient use of materials is an important issue nowadays. In this way, the search for optimal structures has expanded rapidly over time; this is because this type of structure presents better performance and therefore avoids material underutilization. Perforated beams are not only lighter than an I-profile with full web of the same cross section; they are also less susceptible to deformations and more resistant to bending. However, when subjected to loading, these beams can have occurrence of high stress gradients, which may indicate that these beams are susceptible to failure. In this way, it becomes clear that these holes do not present an optimum topology, and this “removal” of material that creates web openings can be looked at from a topology optimization point of view. Thus, this work aims to find a new shape for the web holes of perforated beams using the ABAQUS software optimization module. A comparative study of the results obtained from the structural point of view is carried out in terms of stresses and critical loads. These analyses are performed for the cellular and optimized beams with the same volume (weight); the only difference between them is the distribution and shape of the holes along the web. The results obtained showed a good structural behavior of the optimized beams when compared to the cellular one, in terms of strength and stiffness. Finally, an alternative model was proposed similar to the one obtained by the optimization procedure; this model also presented a better performance in comparison to the cellular beam.

Keywords: Structural optimization, Beams with web openings, Computational

modeling, Nonlinear analysis of optimized beams.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Exemplos da utilização de vigas casteladas em estruturas. ............ 21

Figura 2 – Exemplos do processo de formação das vigas casteladas. ............. 22

Figura 3 – Vigas com aberturas irregulares na alma. ........................................ 22

Figura 4 – Viga com perfurações feitas após a sua soldagem .......................... 23

Figura 5 – Passagem de serviços pelos furos das almas das vigas perfuradas

......................................................................................................... 24

Figura 6 – Viga celular submetida à flexão. ...................................................... 24

Figura 7 – Pilares da alma de vigas perfuradas. ............................................... 30

Figura 8 – Formação de um mecanismo de Vierendeel. ................................... 32

Figura 9 – Formação de mecanismo de flexão em uma viga perfurada

submetida à condição de contorno biapoiada. ................................. 32

Figura 10 – Módulo plástico de uma seção "I" perfurada. ................................... 33

Figura 11 – Juntas soldadas de vigas casteladas. .............................................. 34

Figura 12 – Flambagem do pilar da alma. ........................................................... 35

Figura 13 – Flambagem do pilar da alma de uma viga celular devido ao

cisalhamento. ................................................................................... 35

Figura 14 – Flambagem lateral com torção. ........................................................ 36

Figura 15 - Malha de elementos finitos utilizada na modelagem das vigas. ....... 37

Figura 17 – Esquema dos pontos de aplicação de condições de contorno e de

cargas para a viga modelada. .......................................................... 39

Figura 18 – Primeiro modo de flambagem do modelo de validação submetido à

análise buckle. ................................................................................. 40

Figura 19 – Seção transversal da viga modelada ............................................... 43

Figura 20 – Exemplo de um problema discreto. .................................................. 44

Figura 21 – Exemplo de um problema contínuo. ................................................ 44

Figura 22 – Domínio otimizável da estrutura. ...................................................... 47

Figura 23 – Topologias para a viga biapoiada obtidas após o processo de

otimização através do método SIMP para diversos fatores de

penalização. ..................................................................................... 47

Figura 24 – Topologias para a viga biengastada obtidas após o processo de

otimização através do método SIMP para diversos fatores de

penalização. ..................................................................................... 48

Figura 25 – Topologia obtida após o processo de otimização da viga biapoiada

com fator de penalização 𝑝 = 2. ...................................................... 48

Figura 26 – Topologia otimizada para as vigas, com fator de penalização 𝑝 = 4 e

espessura mínima dos elementos da alma igual a 100 milímetros. . 49

Figura 27 – Topologias obtidas para as vigas, com fator de penalização 𝑝 = 4 e

simetria imposta entre as partes inferior e superior da alma da viga.

......................................................................................................... 50

Figura 28 – Diagramas de esforço cortante para as vigas submetidas às

condições de contorno biapoiada e biengastada. ............................ 51

Figura 29 – Diagramas de momento fletor para as vigas submetidas às

condições de contorno biapoiada e biengastada. ............................ 51

Figura 30 – Geometria da viga celular de referência. ......................................... 53

Figura 31 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises para

a viga celular biapoiada submetida à análise linear elástica. ........... 54


as vigas otimizadas biapoiadas submetidas a análise linear elástica.

......................................................................................................... 55

Figura 33 – Resultados obtidos para os deslocamentos para a viga celular

biapoiada submetida à análise linear elástica. ................................. 56

Figura 34 – Resultados obtidos para os deslocamentos para as vigas otimizadas

biapoiadas submetidas à análise linear elástica. ............................. 56

Figura 35 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular submetida à

condição de contorno biapoiada. ..................................................... 59

Figura 36 – Cargas críticas e modos de falha para as vigas otimizadas

submetidas à condição de contorno biapoiada. ............................... 59

Figura 37 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de contorno

biapoiada. ........................................................................................ 63

Figura 38 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga celular .............. 64

Figura 39 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga otimizada para a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria. ............ 65


a viga celular biapoiada com enrijecedor submetida a análise não

linear. ............................................................................................... 65


as vigas otimizadas biapoiadas com enrijecedores submetidas a

análise não linear. ............................................................................ 66

Figura 42 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular com enrijecedor

submetida à condição de contorno biapoiada com enrijecedor. ...... 68

Figura 43 – Cargas críticas e modos de flambagem para as vigas otimizadas

com enrijecedor submetidas à condição de contorno biapoiada. ..... 68

Figura 44 – Mecanismo de falha das vigas com enrijecedores submetidas à



a viga celular biengastada submetida a análise linear elástica. ....... 73


as vigas otimizadas submetidas a condição de contorno

biengastada. .................................................................................... 74


condição de contorno biengastada. ................................................. 76


submetidas à condição de contorno biengastada. ........................... 76

Figura 49 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de contorno

biengastada. .................................................................................... 79


a viga celular biengastada com enrijecedor submetida a análise

linear elástica. .................................................................................. 80


as vigas otimizadas biengastadas com enrijecedores submetidas a

análise não linear. ............................................................................ 81


condição de contorno biengastada com enrijecedor. ....................... 83


submetidas à condição de contorno biengastada. ........................... 83



Figura 55 – Processo de medição da espessura das barras da viga no ABAQUS.

......................................................................................................... 87

Figura 56 – Pontos onde a espessura das barras foi medida. ............................ 88

Figura 57 – Dimensões da topologia aproximada obtida para a viga com barras

de 50 mm. ........................................................................................ 89

Figura 58 – Topologia obtida durante o processo de otimização para a viga sob a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria. ............ 90

Figura 59 – Topologia aproximada obtida para as vigas com barras de 50, 60 e

70 mm. ............................................................................................. 90

Figura 60 – Distribuição de tensão de von Mises para as vigas aproximadas

submetidas a análise linear elástica com condição de contorno

biapoiada. ........................................................................................ 92

Figura 61 – Deslocamento máximo no meio do vão das vigas com topologia

aproximada, submetidas à análise linear elástica com condição de

contorno biapoiada. ......................................................................... 92

Figura 62 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada. ............ 93

Figura 63 – Mecanismo de falha das vigas com topologia aproximada,

submetidas à condição de contorno biapoiada. ............................... 96

Figura 64 – Distribuição da tensão de von Mises para a viga com topologia

aproximada com enrijecedor submetida a condição de contorno

biapoiada. ........................................................................................ 97

Figura 65 – Modo de flambagem e carga crítica das vigas com topologia

aproximada com o uso de enrijecedor submetidas à condição de

contorno biapoiada. ......................................................................... 98

Figura 66 – Mecanismo de falha da viga com topologia aproximada com

enrijecedor, submetidas à condição de contorno biapoiada. ......... 101

Figura 67 – Distribuição de tensão de von Mises para a análise linear elástica da

viga com topologia aproximada submetida a condição de contorno

biengastada. .................................................................................. 101


aproximada, submetidas à condição de contorno biapoiada. ........ 102

Figura 69 – Modo de falha das vigas com topologia aproximada, submetidas à

condição de contorno biengastada. ............................................... 105

Figura 70 – Distribuição de tensão de von Mises das vigas com topologia

aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada com

enrijecedor. .................................................................................... 105

Figura 71 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada,

submetidas à condição de contorno biengastada com enrijecedor.

....................................................................................................... 106



....................................................................................................... 109

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Dimensões dos espécimes teste (ELLOBODY, 2011). .................... 38

Tabela 2 – Características físicas dos perfis teste (ELLOBODY, 2011). ........... 38

Tabela 3 – Comparação entre as cargas últimas das vigas obtidas

numericamente e os resultados experimentais obtidos por Warren,

2001. ................................................................................................ 42

Tabela 4 – Comparação entre os deslocamentos no meio do vão na falha das

vigas obtidas numericamente e os resultados experimentais obtidos

por Warren, 2001. ............................................................................ 42

Tabela 5 – Comparação de volume, peso e número de elementos finitos

utilizados na discretização da malha de cada uma das vigas. ......... 54

Tabela 6 – Resultados obtidos para as análises das vigas submetidas à carga

distribuída de equivalente de 100 kN. .............................................. 58

Tabela 7 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas a


Tabela 8 – Comparação entre os pesos e cargas últimas das vigas. ................ 62

Tabela 9 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas com o

uso de enrijecedores. ....................................................................... 67

Tabela 10 – Carga crítica das vigas submetidas à condição de contorno

biapoiada e percentual de aumento da carga crítica com a utilização

de enrijecedores. ............................................................................. 69

Tabela 11 – Resultados obtidos para a máxima tensão de von Mises e

deslocamentos máximos no meio do vão para as vigas submetidas a


Tabela 12 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas à


Tabela 13 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas

biengastadas com o uso de enrijecedores. ...................................... 82


biengastada e modo de flambagem. ................................................ 84

Tabela 15 – Espessuras e ângulos das barras medidos no ABAQUS. ................ 88

Tabela 16 – Volume, peso e número de elementos finitos utilizados na malha das

vigas aproximadas modeladas. ........................................................ 91

Tabela 17 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica para a

viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com

restrição de simetria e com topologia aproximada. .......................... 94

Tabela 18 – Comparação dos resultados obtidos na análise de autovalores e

auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de

contorno biapoiada com restrição de simetria e com topologia

aproximada. ..................................................................................... 94



restrição de simetria e com topologia aproximada com o uso de

enrijecedores. .................................................................................. 97




aproximada com o uso de enrijecedores. ........................................ 99



restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à

condição de contorno biengastada. ............................................... 103




aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada. .... 103



restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à

condição de contorno biengastada com enrijecedor. ..................... 107


autovetores para a viga celular, otimizada para a condição de


aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada. .... 107

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Curva carga versus deslocamento obtida para o modelo de validação.

........................................................................................................... 41

Gráfico 2 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição de

contorno biapoiada. ............................................................................ 61

Gráfico 3 – Variação de peso e carga crítica entre as vigas com e sem

enrijecedores submetidas à condição de contorno biapoiada. ........... 70

Gráfico 4 – Carga versus deslocamento para as vigas com enrijecedores

submetidas à condição de contorno biapoiada. ................................. 71

Gráfico 5 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição de

contorno biengastada. ........................................................................ 78

Gráfico 6 – Carga versus Deslocamento para as vigas com enrijecedores

submetidas à condição de contorno biengastada. ............................. 85

Gráfico 7 – Curvas carga versus deslocamento das vigas com topologia

aproximada submetidas a condição de contorno biapoiada. ............. 95

Gráfico 8 – Curva carga versus deslocamento das vigas com topologia

aproximada com enrijecedor submetidas a condição de contorno

biapoiada. ........................................................................................ 100


aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada. ...... 104


aproximada, submetida à condição de contorno biengastada com

enrijecedor. ...................................................................................... 108

Gráfico 11 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada para

a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e

com topologia aproximada (VTA), submetidas a condição de contorno

biapoiada com imperfeição de 5 mm. .............................................. 110



com topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno

biapoiada com enrijecedor e com imperfeição de 5 mm. ................. 111



com topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno

biengastada com imperfeição de 5mm. ........................................... 112



com topologia aproximada, submetidas à condição de contorno

biengastada com enrijecedor e com imperfeição de 5 mm. ............. 113

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ATOM Abaqus Topology Optimization Module

ESO Evolutionary Structural Optimization

SCI The Steel Construction Institute

SIMP Solid Isotropic Material with Penalization

VBA Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biapoiada

VBAS Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biapoiada com restrição de

Simetria

VBE Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biengastada

VBES Viga Otimizada para a Condição de Contorno Biengastada com restrição

de Simetria

VTA Viga com Topologia Aproximada

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 20

Motivação do estudo sobre vigas com abertura de alma .......................................... 23

Objetivos ................................................................................................................... 25

Estrutura do trabalho ................................................................................................. 25

1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................... 27

1.1. Otimização topológica de vigas ...................................................................... 27

1.2. Modos de falha de vigas perfuradas ............................................................... 30

1.2.1 Formação de um mecanismo de Vierendeel .................................................. 31

1.2.2. Formação de um mecanismo de flexão .......................................................... 32

1.2.3. Ruptura de uma junta soldada em um pilar da alma ...................................... 33

1.2.4. Flambagem do pilar da alma devido à compressão ....................................... 34

1.2.5. Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento .................................... 35

1.2.6. Flambagem lateral com torção ....................................................................... 36

2. VERIFICAÇÃO DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS ............................ 37

2.2. Modelagem computacional de vigas celulares ............................................... 37

3. OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DAS VIGAS NO PROGRAMA ABAQUS ...... 43

3.2. O método SIMP .............................................................................................. 45

3.3. Processo de otimização utilizado .................................................................... 46

3.4. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de contorno

biapoiada e biengastada, com restrição de espessura mínima das barras .... 48

3.5. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de contorno

biapoiada e biengastada, com restrição de simetria ....................................... 50

3.6. Discussão das topologias obtidas ................................................................... 50

4. AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO ESTRUTURAL DAS VIGAS .................... 52

4.1. Propriedades físicas e geométricas da viga de referência .............................. 52

4.2. Propriedades das vigas obtidas através do processo de otimização. ............. 53

4.3. Análises das vigas submetidas à condição de contorno biapoiada. ............... 54

4.4. Análise das vigas com enrijecedores submetidas à condição de contorno

biapoiada. ....................................................................................................... 64

4.5. Análise das vigas submetidas à condição de contorno biengastada. ............. 73

4.6. Análise das vigas com enrijecedores sob a condição de contorno biengastada.

........................................................................................................................ 80

5. DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO APROXIMADO ............................. 87

5.1. Análise das vigas com topologia aproximada e comparação com os resultados

obtidos para as outras vigas. .......................................................................... 90

5.2. Análise das vigas considerando as imperfeições iniciais .............................. 109

CONCLUSÃO ......................................................................................................... 114

Discussão dos resultados........................................................................................ 114

Considerações finais ............................................................................................... 115

Trabalhos futuros .................................................................................................... 116

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 117

20

INTRODUÇÃO

O uso eficiente de materiais é importante em diversos contextos e nas mais

diversas áreas de estudos, o que ocorre inclusive na Engenharia Civil. Por esse

motivo, a busca por estruturas ótimas tem se expandido rapidamente ao longo do

tempo.

Desta forma, apesar de a otimização estrutural ser um campo de estudo

relativamente novo, já existem diversas pesquisas sobre métodos e estudos que

buscam encontrar estruturas mais eficientes.

O aumento na procura por este tipo de estrutura pode ser atribuído ao fato de

que estruturas ótimas possuem geralmente um melhor desempenho. Sendo assim,

são capazes de gerar economia de material, o que consequentemente faz com que

este tipo de estrutura seja capaz de gerar impactos ambientais menores, possuam

custos mais baixos devido à redução de materiais necessários e, além disso, sejam

mais leves devido ao seu volume reduzido quando comparadas a estruturas não

otimizadas, possibilitando assim o uso de fundações menos robustas.

Otimizar uma estrutura significa maximizar o emprego de uma quantidade fixa

de recursos para satisfazer um determinado objetivo (KINGMAN et al., 2014), ou

seja, encontrar a melhor maneira de distribuir uma determinada quantidade de

material, dentro de um domínio de projeto, durante a concepção de uma estrutura.

Pode-se dividir a otimização estrutural em três abordagens: a otimização de

forma, de tamanho e topológica, sendo a otimização estrutural topológica a mais

geral destas. Isto ocorre devido ao fato desta ser capaz de produzir informações

sobre o número, localização, tamanho e formas das aberturas (KINGMAN et al,

2014).

No caso das vigas casteladas, com o desdobramento da viga I, tem-se um

aumento da altura da seção e consequentemente um aumento da resistência a

flexão. Desta forma, estas são indicadas para vãos livres de maiores dimensões

(Figura 1). Isso ocorre devido à majoração da altura da seção sem que haja

acréscimo no peso do perfil, gerando então um aumento do momento de inércia no

plano principal de flexão, que, por sua vez, resulta em uma maior resistência da

seção ao momento fletor.

21

Figura 1 – Exemplos da utilização de vigas casteladas em estruturas.

(a) Centro de esportes, St Albans – Reino Unido (b) Spyros Kyprianou Athletic Center – Grécia

Fonte: (a) https://sdc.co.uk/sports-centre-st-albans-school acesso em janeiro de 2017.

(b) http://cyprussports.org/en/ acesso em janeiro de 2017.

Segundo publicação do SCI (The Steel Construction Institute) de 2011

(LAWSON e HICKS, 2011), existem três métodos de fabricação de vigas com

aberturas na alma.

No primeiro deles uma seção laminada a quente é cortada longitudinalmente

ao longo da alma; as seções “T” resultantes são reposicionadas e soldadas para

formar uma série de aberturas regulares em uma seção de maior inércia (LAWSON

e HICKS, 2011). O esquema de corte e soldagem destas vigas é mostrado na Figura

2.

A seção destas vigas pode ser assimétrica, o que pode ser obtido quando as

seções “T” são cortadas de seções “I” diferentes. Entretanto, este método só é

apropriado para aberturas regularmente espaçadas, formando as chamadas vigas

casteladas. Vigas formadas a partir deste método com aberturas circulares são

também chamadas de vigas celulares.

Outro método de fabricação de vigas perfuradas consiste no corte de

aberturas individuais na alma de uma seção laminada a quente e a seção de aço é

de forma simétrica). Este método é utilizado para vigas com aberturas isoladas

(Figura 3).

22

Figura 2 – Exemplos do processo de formação das vigas casteladas.

a.1) Viga Original

a.2) Viga Celular

b.1) Viga Original

b.2) Viga castelada com aberturas hexagonais

c.1) Viga original

c.2) Viga com abeturas retangulares

Figura 3 – Vigas com aberturas irregulares na alma.

(a)Viga com aberturas irregulares na alma b) Viga com aberturas circulares e alongadas.

Fonte: (a) http://www.steelconstruction.info/Long-span_beams acessado em Março de 2017

(b) http://www.steelconstruction.info/Service_integration acessado em Março de 2017

http://www.steelconstruction.info/Long-span_beams

23

O terceiro método consiste em uma seção formada por três chapas que são

soldadas para formar uma seção em “I”. Neste caso, a seção pode ser assimétrica

(por exemplo, com mesas de tamanhos diferentes). As aberturas podem ser

cortadas na alma da viga antes ou depois de formar a seção em “I” (Figura 4). Este

método é usado tanto para aberturas isoladas quanto para aberturas regularmente

espaçadas.

Figura 4 – Viga com perfurações feitas após a sua soldagem

Fonte: http://www.tagliolaser.net/de/bilder-cmmlaser/stahltraeger-heb-hea/index.html acessado em

Julho de 2017

Sendo assim, a partir da utilização destes novos métodos para a fabricação

de vigas perfuradas é possível olhá-las através de uma nova perspectiva. Com a

otimização topológica, um novo formato pode ser dado aos furos destas vigas,

visando não só o seu processo de fabricação, como atualmente é feito, mas também

ganhos de resistência e uma melhor distribuição de tensões em seu interior.

Motivação do estudo sobre vigas com abertura de alma

As vigas casteladas e celulares têm como principal característica o

incremento da resistência do perfil original, com o aumento da sua altura, sem

alteração de peso, com a limitação de altura das edificações de vários pavimentos,

através do processo de otimização, é possível obter vigas com aberturas de alma,

mais resistentes, sem que haja acréscimo de peso ou altura dos perfis.

Além disso, frequentemente limitações de altura são impostas a edificações

de vários pavimentos por diversos motivos, como regulamentos de zoneamento

24

urbano, aspectos econômicos e considerações estéticas (RODRIGUES, 2007).

Desta forma, com a utilização de vigas com alma perfurada, a passagem de dutos e

serviços é possível (Figura 5), sem que para isso seja necessário um incremento do

pé-direito destas edificações.

Figura 5 – Passagem de serviços pelos furos das almas das vigas perfuradas

Fonte: http://www.archiexpo.com/prod/arcelormittal-longhtml acesso em Agosto de 2017

http://rotocoat.com/projecten-1?itemId=Project:124&PID=3410 acesso em Agosto de 2017

Entretanto, quando submetidas a carregamentos, as vigas celulares sofrem

com a ocorrência de regiões com altas concentrações de tensões (Figura 6), o que

pode indicar que estas vigas são suscetíveis à falha, ao mesmo tempo em que

outras regiões da viga estão sujeitas a baixas tensões indicando a existência de

material subutilizado. Desta forma, torna-se perceptível que estes furos não

apresentam uma topologia ótima.

Figura 6 – Viga celular submetida à flexão.

Região de baixa concentração de

tensões, material subutilizado.

Região de alta concentração de

tensões

25

Sendo assim, fica claro como o formato dos furos destas vigas foi motivado

apenas pelo processo de fabricação destas. Todavia, com o surgimento de novas

técnicas de fabricação de vigas perfuradas atualmente é possível obter novas

opções, no que tange as posições e formatos para esses furos na alma destes

perfis.

Portanto, essa remoção de material criando aberturas nas almas das vigas

casteladas pode ser analisada do ponto de vista da otimização topológica, buscando

para estes furos um novo formato.

Objetivos

Este trabalho tem como objetivo encontrar uma nova topologia para os furos

da alma de vigas perfuradas através do módulo de otimização do programa

ABAQUS 6.14 (2014).

Após isso, foi feita uma avaliação dos resultados obtidos realizando-se uma

análise comparativa do ponto de vista estrutural, a fim de aferir os resultados da

análise linear elástica, não linear completa e de carga crítica para as vigas, celulares

e otimizadas, ambas com o mesmo volume, tendo apenas como diferença entre si a

distribuição e o formato dos furos ao longo da alma da viga.

Todas as análises foram realizadas separadamente para cada condição de

contorno da viga: biapoiada e biengastada.

Estrutura do trabalho

Neste trabalho, a otimização estrutural topológica é apresentada através dos

modelos de vigas de perfis I otimizadas através do módulo de otimização do

programa comercial ABAQUS, conhecido como ATOM (Abaqus Topology

Optimization Module), para a solução estrutural e análise dos resultados obtidos

através do Método dos Elementos Finitos.

26

Neste capítulo é apresentada uma breve introdução abordando a motivação

deste estudo, bem como seus objetivos principais.

No primeiro capítulo será apresentada uma revisão bibliográfica sobre a

otimização topológica de vigas e os modos de falha das vigas perfuradas, bem como

uma breve explicação sobre cada um deles.

No segundo capítulo é feita uma avaliação do modelo numérico utilizado para

a análise estrutural das vigas através da modelagem computacional de estudos

feitos experimentalmente.

No terceiro capítulo será mostrado todo o processo de otimização utilizado,

bem como, uma breve apresentação sobre o método de interpolação de materiais

(SIMP) e todas as topologias obtidas para ambas as condições de contorno,

biapoiada e biengastada, e para diversos fatores de penalidade.

No quarto capítulo são enfim apresentados os resultados obtidos para a

análise estrutural das vigas celulares e otimizadas, bem como, uma comparação de

todos os resultados obtidos para ambas as condições de contorno utilizadas neste

estudo, biapoiada e biengastada.

No quinto capítulo é apresentado um modelo aproximado ao modelo

otimizado que apresentou o melhor desempenho durante as análises realizadas no

capítulo quatro, os modelos aproximados são então analisados e os resultados

comparados aos obtidos para a viga celular e para a viga otimizada de melhor

comportamento.

O último capítulo deste estudo apresenta as conclusões obtidas após a

comparação dos resultados obtidos para as análises das vigas celular, otimizadas e

das vigas aproximadas, além de alguns trabalhos futuros que podem ser

desenvolvidos a partir deste estudo.

27

1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

1.1. Otimização topológica e análise de vigas com aberturas na alma

O primeiro estudo sobre otimização estrutural foi apresentado por Michell

(MICHELL, 1904), há mais de um século, em 1904, e seu artigo tratava da busca por

uma solução ótima para uma viga biapoiada com um carregamento vertical colocado

no meio do vão em sua parte inferior. Até hoje a estrutura tipo Michell é utilizada em

diversos estudos a fim de avaliar métodos de otimização.

Apesar do estudo de Michell datar de mais de 100 anos, a otimização

estrutural ainda é uma área de estudos recente e apenas em 1989 o método SIMP

(Solid Isotropic Material With Penalization), ainda chamado de método de

abordagem direta, foi proposto por Bendsøe (BENDSØE, 1989), em um estudo que

tratava do problema da otimização topológica como um problema de distribuição de

material e apresentava diversos métodos capazes de otimizar uma estrutura.

O nome SIMP dado ao método de otimização com abordagem direta foi

utilizado pela primeira vez em um artigo de 1992 (ROZVANY et al., 1992), em um

estudo sobre a otimização topológica sem homogeneização.

Em 2008, Rozvany publicou um artigo (ROSVANY, 2008) revisando métodos

estabelecidos de otimização topológica, bem como o uso desenfreado destes em

diversos artigos e estudos, sem maiores preocupações com a verificação real tanto

do processo de otimização, quanto da capacidade resistente das estruturas finais

obtidas. Neste estudo foi possível concluir que o método SIMP requer relativamente

poucas iterações e é adequado para uma combinação de uma ampla gama de

condições de contorno, carregamento e sistemas extremamente grandes (muitas

vezes em 3D). Desta forma o método SIMP foi verificado quantitativamente

mostrando convergência numérica para topologias Michell. Além disso, foi verificado

que o método ESO (Evolutionary Structural Optimization) é completamente

heurístico, computacionalmente ineficiente e pouco confiável. Ao contrário da

verificação quantitativa do SIMP. Também concluiu-se neste estudo que atualmente,

o ESO quase nunca é usado em aplicações industriais, embora muito divulgado na

literatura.

28

Diferentemente, dos estudos sobre métodos de otimização, que são bastante

recentes, os estudos sobre a resistência de vigas perfuradas vêm sendo feitos ao

longo do tempo. Em 1984, Kerdal e Nethercott publicaram um estudo (KERDAL e

NETHERCOTT, 1984) sobre os modos de falha para as vigas casteladas onde estes

já eram conhecidos. Neste estudo, os autores buscavam encontrar formas de prever

as modos de falhas das vigas perfuradas usando métodos relativamente simples.

Juliet Warren publicou em 2001 uma dissertação sobre análise de cargas

últimas e deslocamentos de vigas celulares (WARREN, 2001), onde testes

experimentais destrutivos em vigas casteladas foram feitos e extraídos destes as

cargas, os modos de falha e as deflexões. Além disso, neste estudo Warren

comparou os resultados obtidos experimentalmente com os resultados obtidos

usando três diferentes métodos para a previsão de carga última e deslocamentos de

vigas celulares.

Em 2007, Rodrigues apresentou um estudo sobre o comportamento estrutural

de vigas de aço com aberturas na alma, cujo objetivo era o desenvolvimento de

métodos capazes de avaliar o desempenho estrutural das vigas de aço com

aberturas na alma, analisando o comportamento de vigas com aberturas de

diferentes tamanhos e formas na alma, onde concluiu que o método dos elementos

demonstrou ser bastante útil e preciso na avaliação do comportamento estrutural de

vigas com aberturas na alma, inclusive na previsão da distribuição de tensões,

modelos de escoamento, deformada e carga de ruína.

Gama publicou em 2011, uma dissertação onde era realizada uma avaliação

numérica da estabilidade lateral de vigas casteladas. Tal estudo foi motivado devido

ao fato de que a estabilidade das vigas casteladas é sempre um motivo de

preocupação durante a construção quando os contraventamentos laterais ainda não

estão instalados. Além disso, tais vigas são indicadas para grandes vãos, longos o

suficiente para que a instabilidade ocorra. Entretanto, acréscimo da resistência à

flexão devido ao aumento da altura destas vigas em relação ao perfil matriz, aliado a

economia de material e utilidade, garante a atratividade no aproveitamento destas,

para grandes vãos. Onde concluiu que a esbeltez é bastante significante em vigas

casteladas e seus estados limites últimos tendem a ser controlados pela flambagem

lateral, uma vez considerada a sua alta capacidade resistente no que tange ao plano

principal de flexão.

29

Também em 2011, Silveira publicou uma dissertação sobre o desempenho de

vigas alveolares de aço com ênfase nos modos de colapso por plastificação,

apresentando os resultados de uma análise numérica não linear realizada com vigas

de aço com almas perfuradas utilizando o programa ABAQUS para diversos padrões

de castelação das vigas.

Com a publicação do SCI (The Steel Construction Institute), também em 2011

(LAWSON e HICKS, 2011), novos métodos para a fabricação de vigas perfuradas

são mostrados. Estes métodos possibilitaram então o estudo da otimização

topológica para os furos destas aberturas, tendo em vista que os furos das vigas

otimizadas possuem formatos diferentes dos fabricados atualmente.

Também em 2011, Tsavdaridis e D’Mello publicaram um artigo apresentando

um estudo experimental e analítico sobre o comportamento de vigas de aço com

aberturas de alma estreitamente espaçadas, onde foram testadas sete vigas,

incluindo duas vigas celulares típicas e cinco vigas com novos formatos de abertura

de alma, para investigar o modo de falha e a resistência dos “pilares da alma” entre

duas aberturas de alma adjacentes. Foram então realizadas análises de elementos

finitos elasto-plásticas de duzentos e vinte vigas em um estudo paramétrico para

propor uma fórmula empírica que prevê a força de cisalhamento última dos pilares

da alma formados a partir das aberturas da alma das vigas.

Abordando ainda os modos de falha de vigas perfuradas, Ellobody (2012) fez

um extenso estudo sobre a análise não linear das vigas celulares de aço submetidas

a modos combinados de flambagem. Nesta publicação, foi desenvolvido um modelo

3D de elementos finitos não lineares e realizados diversos estudos paramétricos

visando investigar o efeito da mudança nas geometrias da seção transversal,

comprimento da viga, resistência do aço e esbeltez não dimensional nas cargas de

falha e no comportamento de flambagem das vigas de aço celular As cargas de

falha previstas a partir do modelo de elementos finitos foram comparadas com a

prevista pelos padrões australianos para vigas de aço sob o flambagem lateral com

torção. Mostrando que as previsões da especificação são geralmente conservadoras

para as vigas celulares falhando por flambagem lateral com torção, não conservador

para vigas celulares de aço falhando por modos combinados de flambagem

distorcional e flambagem do pilar da alma e bastante conservadora para vigas

celulares de aço de alta resistência falhando por flambagem lateral com torção.

30

Somado a isso, o trabalho de Tsavdaridis et al. (2014) constatou a

possibilidade de, através da otimização topológica, elaborar um novo modelo de

vigas perfuradas com um novo formato para os furos da alma destas vigas, gerando

com isso grandes ganhos estruturais, de resistência, menores concentrações de

tensões e outros.

1.2. Modos de falha de vigas perfuradas

Vigas de alma perfurada possuem um comportamento estrutural diferente das

vigas de alma cheia, resultado direto da maneira diferente pela qual o cisalhamento

é transferido através da alma perfurada. A presença dos furos não só altera a

importância relativa de modos possíveis de falha, como também, introduz a

possibilidade de novos modos. São exemplos de possíveis modos de falha que

ocorrem exclusivamente em vigas perfuradas: a formação do mecanismo

Vierendeel, a flambagem dos “pilares da alma” (web-post) devido ao cortante e, nos

casos em que a viga é soldada, a ruptura da solda da alma (KERDAL e

NETHERCOTT, 1984).

Os pilares da alma podem ser conceituados como os recessos dos furos da

alma de uma viga perfurada. Em uma viga submetida à flexão, estes recessos dos

furos acabam atuando como pilares, submetidos à compressão na alma das vigas

perfuradas (Figura 7).

Figura 7 – Pilares da alma de vigas perfuradas.

“Pilares da alma” de vigas perfuradas

31

Podem ainda ocorrer a falha pela formação de um mecanismo de flexão ou

por flambagem lateral com torção, semelhantes aos modos equivalentes para vigas

de alma cheia.

As grandes aberturas causam uma redução significativa na resistência ao

cisalhamento das vigas, devido à perda de uma grande porção da alma quando

comparadas as vigas de alma cheia com a mesma seção transversal. Entretanto a

alma das vigas quando perfuradas causam uma menor redução na resistência à

flexão, tendo em vista que essa resistência é, em grande parte, gerada pelas mesas

das vigas.

As vigas fabricadas geralmente possuem almas esbeltas que podem exigir

uma rigidez vertical para evitar a flambagem da alma em pontos próximos as

aberturas. No entanto, a necessidade de tal rigidez pode ser minimizada pela

escolha de uma alma de maior espessura e/ou pelo posicionamento cuidadoso das

aberturas (ou seja, longe dos pontos de aplicação de carga), resultando em um

projeto mais econômico (LAWSON e HICKS, 2011).

Sendo assim, fica claro como a presença de furos na alma de uma viga

implica diretamente em um comportamento estrutural diferente das vigas de alma

cheia em vários aspectos, por esse motivo serão apresentados a seguir os possíveis

modos de falha das vigas perfuradas.

1.1.1 Formação de um mecanismo de Vierendeel

A formação do mecanismo de Vierendeel acontece em pontos da viga onde

existem altos esforços de cisalhamento (KERDAL e NETHERCOTT, 1984). Este é

caracterizado pela formação de rótulas plásticas nos recessos dos furos devido à

transferência do esforço cortante ao longo das aberturas da alma da viga (Figura 8).

Este fenômeno depende do comprimento das aberturas e da resistência local

ao cisalhamento e à flexão. Ocorre normalmente nas vigas com pequenas alturas

das seções “T” (Figura 10), inferior e superior, e grande comprimento entre furos. A

ruptura acontecerá na abertura em que o máximo esforço cortante estiver atuando,

entretanto, no caso de aberturas com o mesmo esforço cortante, esse colapso

ocorrerá na abertura em que atuar o maior momento (BADKE-NETO et al., 2015).

32

Figura 8 – Formação de um mecanismo de Vierendeel.

Geralmente, os furos nas almas das vigas têm um maior impacto na

resistência ao esforço cortante do que na sua resistência a flexão, o que pode ser

facilmente percebido através da parcela de contribuição da alma na resistência aos

esforços.

1.2.2. Formação de um mecanismo de flexão

Também chamado de formação de rótula plástica, este é um modo de falha

decorrente da ação do momento fletor que faz com que as seções “T” acima e

abaixo dos furos da alma sofram escoamento por tração e/ou compressão. Isso

ocorre devido ao binário de forças longitudinais que gera momentos locais ao redor

dos furos da viga.

A Figura 9, apresentada a seguir, mostra a formação de rótulas plásticas em

uma viga submetida à condição de contorno biengastada.

Figura 9 – Formação de mecanismo de flexão em uma viga perfurada

submetida à condição de contorno biapoiada.

O momento resistente de uma viga perfurada é dado pelo momento de

plastificação no centro da abertura que é igual ao produto do módulo plástico neste

ponto e a tensão de escoamento nominal do material (Equação 1).

33

𝑀𝑟 = 𝑊𝑝𝑙×𝑓𝑦 (1)

Onde:

𝑊𝑝𝑙 é o módulo plástico da seção em um furo; e

𝑓𝑦 é a tensão de escoamento do material.

O módulo plástico da seção em um furo é dado pela multiplicação da área da

seção “T” superior ou inferior multiplicada pela distância do seu centroide ao

centroide da seção “I” (Equação 2).

𝑊𝑝𝑙 = (𝑏𝑓×𝑡𝑓 + ℎ𝑤×𝑡𝑤) ×𝑦 (2)

Figura 10 – Módulo plástico de uma seção "I" perfurada.

1.2.3. Ruptura de uma junta soldada em um pilar da alma

Este tipo de ruptura ocorre quando o esforço horizontal de cisalhamento

nessa região excede a força resistente da solda (Figura 11). Este modo de colapso

geralmente é impactado pelo comprimento entre as aberturas, ou seja, pela largura

dos pilares da alma. Desta forma, quanto menor é a largura de um pilar da alma,

y

bf

tf

hw

tw

34

maior a possibilidade de que a viga perfurada sofra este tipo de falha (BADKE-NETO

et al, 2015).

Entretanto, há de se considerar que este tipo de falha não é um fator

preocupante em todas as vigas perfuradas. Isto ocorre devido ao fato de que nas

vigas perfuradas fabricadas através do processo onde três chapas são soldadas

formando posteriormente uma seção em “I”, o comprimento de solda é o mesmo da

viga e por isso este tipo de viga se torna menos susceptível à falha pela ruptura de

uma junta soldada.

Figura 11 – Juntas soldadas de vigas casteladas.

1.2.4. Flambagem do pilar da alma devido à compressão

A flambagem do pilar da alma ocorre essencialmente pela presença de

cargas concentradas ou reações de apoio na direção dos pilares da alma da viga.

Neste modo de falha o pilar da alma sofre um deslocamento para fora do plano da

viga, não acompanhado por torção, como na flambagem devido ao cisalhamento

(seção 1.5). Sendo assim, este modo de falha é bastante semelhante à flambagem

de barras esbeltas e a possibilidade de que este tipo de falha ocorra é maior à

medida que os pilares da alma de viga tornam-se mais esbeltos.

Juntas soldadas de vigas casteladas

35

1.2.5. Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento

A flambagem do pilar da alma ocorre quando a força de cisalhamento F, que

surge ao longo da junta soldada da alma da viga gera um momento equilibrado pela

metade da força cortante atuante na abertura. Desta forma, surgirão no trecho entre

os pontos A e B, como mostra a Figura 12, esforços de tração e de compressão no

trecho entre os pontos C e D, podendo ocasionar assim a flambagem do pilar da

alma devido ao esforço cortante.

Figura 12 – Flambagem do pilar da alma.

a) Configuração inicial do pilar da alma b) Configuração do pilar da alma pós flambagem

Legenda: Configuração inicial Configuração do pilar da alma pós flambagem

A flambagem dos pilares da alma por compressão ocorre para os casos em

que o momento fletor é predominante, enquanto a flambagem por cisalhamento

(Figura 13) ocorre quando a força cortante é significativa diante do momento

(SILVEIRA, 2011).

Figura 13 – Flambagem do pilar da alma de uma viga celular devido ao

cisalhamento.

F

F

A

B

C

D

V/2

V/2

V/2

V/2

36

1.2.6. Flambagem lateral com torção

A flambagem lateral com torção (Figura 14) é caracterizada por um

deslocamento lateral e um giro da seção transversal. Para este tipo de modo de

falha, tanto as vigas perfuradas como as vigas de alma cheia possuem

comportamentos similares, entretanto, as propriedades geométricas das vigas

perfuradas devem ser tomadas no centro das aberturas.

Figura 14 – Flambagem lateral com torção.

37

2. VERIFICAÇÃO DO MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

Neste capítulo serão apresentados os modelos numéricos utilizados na

análise do comportamento estrutural de vigas metálicas com aberturas na alma. Tais

modelos foram reproduzidos através do software ABAQUS baseado no Método dos

Elementos Finitos. As premissas apresentadas neste trabalho foram então validadas

a partir da modelagem numérica dos trabalhos experimentais apresentados a seguir.

2.2. Modelagem computacional de vigas celulares

Com o objetivo de validar todos os modelos utilizados neste trabalho, foi

então elaborado um modelo em elementos finitos de uma viga celular com base no

trabalho experimental de Warren J. (2001).

Assim como todos os outros apresentados neste estudo, a viga experimental

foi reproduzida em um modelo com elementos de casca e discretizada em uma

malha com elementos triangulares de primeira ordem com aproximadamente 20

milímetros cada do tipo S3, disponível na biblioteca do ABAQUS (Figura 15 - a).

Todos os enrijecedores foram modelados com uma malha de elementos quadrados

de aproximadamente 15 milímetros, de primeira ordem com integração reduzida do

tipo S4R (Figura 15 - b), também disponível na biblioteca do ABAQUS.

Figura 15 - Malha de elementos finitos utilizada na modelagem das vigas.

a) Malha utlizada na modelagem das vigas b) Malha utilizada na modelagem dos enrijecedores

38

Ellobody (2011), visando também validar um modelo computacional para o

seu estudo sobre a análise não linear de vigas casteladas de aço sob modos

combinados de flambagem, desenvolveu a modelagem computacional de cinco

vigas submetidas anteriormente a ensaios experimentais.

As vigas de aço celular simplesmente apoiadas analisadas através de

modelagem computacional por Ellobody foram baseadas nos estudos experimentais

de Surtees e Liu (1995), Warren J. (2001), Tsavdaridis e D'Mello (2011) e

Tsavdaridis et al. (2009). No estudo de Ellobody (2011), os espécimes foram

designados como C1, C2, C3, C4 e C5 e as dimensões das suas sessões transversais

são apresentadas na Tabela 1.

Tabela 1 – Dimensões dos espécimes teste (ELLOBODY, 2011).

Viga Teste

Dimensões (mm)

H B t s L L1 L2 h D

C1 581,0 141,8 8,6 6,4 5250 1575 461,0 572,4 375

C2 463,2 101,6 7,0 5,8 7400 2466 400,0 452,5 325

C3 303,4 165,0 10,2 6,0 1500 600 900,0 293,2 231

C4 449,8 152,4 10,9 7,6 1700 850 409,5 438,9 315

C5 449,8 152,4 10,9 7,6 1700 850 378,0 438,9 315

Fonte: Adaptado de Ellobody (2011).

As propriedades físicas do material das vigas, obtidas em laboratório são

apresentadas na Tabela 2.

Tabela 2 – Características físicas dos perfis teste (ELLOBODY, 2011).

Viga Teste

Propriedades do material – 𝒇𝒚 (MPa) Referências

Mesa Alma

C1 401,0 392,0 Surtees e Liu (1995)

C2 401,0 392,0 Warren J. (2001)

C3 337,5 299,0 Tsavdaridis e D'Mello (2011)

C4 359,6 375,3 Tsavdaridis et al. (2009)

C5 359,6 375,3 Tsavdaridis et al. (2009)

Fonte: Adaptado de Ellobody (2011).

39

Para a validação do modelo numérico deste trabalho foi então reproduzido o

espécime C2 assinalado na Tabela 1. Em detalhes, uma viga celular simplesmente

apoiada com um comprimento (L) de 7,4 metros, fabricada a partir do perfil UB 305 x

102 x 25 laminado a quente. As mesas superior e inferior de C2 foram apoiadas

lateralmente, como mostrado na Figura 16.

A viga de aço celular C2 foi carregada com duas cargas concentradas com

espaçamento do apoio igual a L1, como mostrado na Tabela 1. O diâmetro celular e

a profundidade da viga foram 325,0 e 463,2 milímetros, respectivamente. O

espaçamento entre as linhas centrais de duas células circulares adjacentes (L2) foi

de 400 milímetros, também mostrado na Tabela 1.

Figura 16 – Esquema dos pontos de aplicação de condições de contorno e de

cargas para a viga modelada.

Sendo assim, após a elaboração do modelo numérico foi realizada então a

análise de elementos finitos dividida em duas etapas. Primeiramente, o modelo foi

submetido a uma análise conhecida como análise de autovalor que estima os modos

Travamentos laterais

Pontos de aplicação da carga

Restrição de deslocamento vertical

Restrição de deslocamento vertical

40

de flambagem e as cargas críticas (análise buckle). Tal análise é a análise elástica

linear realizada com a carga aplicada no passo. A análise de flambagem fornece o

fator pelo qual a carga deve ser multiplicada para alcançar a carga de flambagem

(ELLOBODY. 2011). O resultado obtido para o primeiro modo de flambagem da viga

é apresentado na Figura 17.

Figura 17 – Primeiro modo de flambagem do modelo de validação submetido

à análise buckle.

Após isso, a viga foi então submetida a uma análise não linear completa. As

propriedades não lineares do material (elasto–plástico perfeito) e as condições de

carregamento são incorporadas na análise não linear. Entretanto, diferentemente do

modelo de referência (ELLOBODY, 2011), no modelo computacional utilizado para a

validação deste estudo, as tensões residuais não foram incluídas.

As imperfeições geométricas iniciais são encontradas em elementos de aço

estrutural como resultado do processo de fabricação e por esse motivo, no modelo

41

apresentado aqui, assim como no modelo de referência, as imperfeições iniciais

foram inseridas, buscando obter resultados mais próximos da realidade.

No software ABAQUS, as imperfeições iniciais podem ser aplicadas como

uma amplitude do modo de flambagem das vigas, obtido anteriormente através de

uma análise de autovetores e autovalores.

Neste modelo foram inseridas imperfeições da ordem de 0,1% do

comprimento da viga, ou seja 7,4 mm e da ordem de 0,045%, ou seja 3,4 mm.

A curva de carga aplicada versus deslocamento no meio do vão, obtida

através do modelo de elementos finitos foi então comparada às obtidas

experimentalmente por Warren, 2001. Os resultados obtidos são apresentados no

Gráfico 1.

Gráfico 1 – Curva carga versus deslocamento obtida para o modelo de validação.

A primeira parte da curva representa a parte elástica até a tensão limite

proporcional à rigidez da viga no modelo de elementos finitos.

0

20

40

60

80

100

120

140

-100-80-60-40-200

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular com imperfeição I=3,4 mm

Viga Celular com imperfeição I=7,4 mm

Viga Experimental (WARREN, 2001apud ELLOBODY, 2011)

42

As cargas de falha, o deslocamento do meio do vão na falha, e curvas

de carga aplicada versus deslocamento no meio do vão foram comparadas.

A Tabela 3 mostra uma comparação entre as cargas últimas obtidas

experimentalmente por Warren, 2001 (PExp) e as obtidas numericamente

(PEF).

Tabela 3 – Comparação entre as cargas últimas das vigas obtidas

numericamente e os resultados experimentais obtidos por Warren, 2001.

Pexp (kN)

PEF (kN)

I=3,4 mm I=7,4 mm

114,00 126,59 112,67

Na Tabela 4, apresentada a seguir, é feita uma comparação entre os

resultados obtidos para o deslocamento no meio do vão das vigas na falha.

Tabela 4 – Comparação entre os deslocamentos no meio do vão na falha das

vigas obtidas numericamente e os resultados experimentais obtidos por Warren,

2001.

dexp (mm)

dEF (mm)

I=3,4 mm I=7,4 mm

48,00 52,74 48,17

Sendo, assim é possível ver que com o uso de imperfeições da ordem

de 0,1% os resultados são bastante satisfatórios. Obtendo uma relação

Pexp/PEF igual a 1,01 e dexp/def igual a 0,99.

43

3. OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DAS VIGAS NO PROGRAMA ABAQUS

Neste trabalho, o processo de otimização das vigas é obtido através do

módulo de otimização do programa ABAQUS utilizando o método SIMP de

interpolação de material (Solid Isotropic Material With Penalization). Para a

realização do processo de otimização, uma viga de seção “I”, sem furos na alma, foi

modelada. Neste estudo foi utilizado o perfil 305 x 165 UB 40 com 5000 milímetros

de comprimento, cujas dimensões são apresentadas na Figura 18.

Figura 18 – Seção transversal

da viga modelada

O desenvolvimento da otimização topológica no programa ABAQUS é feito

através do seguinte processo: dada uma distribuição de material inicial, a otimização

topológica produz uma nova forma, a partir da classificação das densidades relativas

dos elementos no domínio de projeto. Elementos com grandes densidades relativas

são mantidos, enquanto aqueles elementos cujas densidades relativas se tornaram

suficientemente pequenas são assumidos como vazios, assim, uma nova forma é

obtida (ABAQUS 6.14, 2014).

A otimização topológica de estruturas é um problema intrinsecamente discreto

(Figura 19), como dito anteriormente. Contudo, o uso de algoritmos discretos de

otimização torna este processo extremamente caro em termos computacionais. Isso

ocorre devido ao grande número de elementos usados para discretizar o modelo.

44

Sendo assim, para que seja possível solucionar este tipo de problema sem a

utilização de algoritmos discretos de otimização é necessário remover esta natureza

discreta do problema. Uma das maneiras de realizar esta tarefa é através da

introdução de uma função de densidade, que é uma variável de projeto contínua

(BENDSØE, 1989).

Figura 19 – Exemplo de um problema discreto.

Legenda: Material isotrópico

Vazio

Figura 20 – Exemplo de um problema contínuo.

Material isotrópico Material com densidades

inttermediárias Vazio

No caso do ABAQUS, um dos possíveis métodos utilizados para o

desenvolvimento da otimização topológica é o método SIMP. Desta forma, para

aplicar técnicas de otimização baseadas em gradiente (problema contínuo - Figura

20), o problema discreto é transformado em contínuo; desta forma, as variáveis de

projeto (densidades relativas) são assumidas como contínuas. Os elementos com

densidades intermediárias são então penalizados para que seja obtida então uma

solução final (ABAQUS 6.14, 2014).

Após desenhar a topologia inicial da estrutura, definir carregamento e

condições de contorno, é possível escolher, dentro do programa, o método de

interpolação de material a ser utilizado. Todas as vigas desta dissertação foram

submetidas ao método SIMP de interpolação de material.

45

3.2. O método SIMP

A otimização topológica, de maneira geral, requer a determinação da

distribuição espacial ótima do material para determinadas condições de

carregamento e contorno (BENDSØE, 1989). Desta forma, cada ponto no espaço é,

portanto, um ponto material ou um vazio, sendo assim, o problema de otimização é

função de uma variável discreta.

No caso de uma estrutura modelada em elementos finitos cada elemento

pode ser considerado um vazio potencial ou um membro estrutural. Desta forma, no

caso de uma estrutura a ser otimizada sua topologia não é fixa a princípio.

Assim, após a escolha do domínio de projeto e suas condições de

carregamento e contorno, é feita então a sua discretização através de uma malha de

elementos finitos, onde então é introduzida uma função de densidade artificial,

apresentada na Equação 1.

𝜇(𝑥) ∴ 𝑥 ∊ 𝛺 ∴ 0 ≤ 𝜇 ≤ 1 (1)

Onde:

𝜇 (𝑥) é a densidade artificial do elemento 𝑥; e

𝛺 é o domínio de projeto.

Entretanto, sabe-se que nenhum material possui naturalmente um valor de

densidade intermediária. Esta é obtida tornando-se a relação entre um determinado

parâmetro da estrutura utilizado como restrição durante o processo de otimização,

por exemplo, a rigidez, e a densidade do elemento conforme apresentada na

equação 2.

𝜇 = 𝑠 (2)

onde:

𝑠 é o parâmetro da estrutura (ex.: rigidez).

46

A densidade do elemento é normalizada dividindo-se a densidade real (�̅�)

pela densidade máxima (𝜇0), resultando em:

𝜇 =�̅�

𝜇0 (3)

Similarmente, a rigidez normalizada é igual a rigidez real do elemento dividida

pela maior rigidez encontrada em um elemento da estrutura. No entanto, soluções

baseadas apenas na relação apresentada na equação 2 consistiriam basicamente

de elementos com densidade intermediárias, ou porosos. Para que isto não ocorra,

as densidades intermediárias são então penalizadas.

Desta forma, é possível obter um material artificial, onde valores

intermediários de densidade são penalizados através de um processo iterativo,

fazendo com que eles tenham pouca ou nenhuma rigidez associada à estrutura

otimizada. Sendo assim, o tensor do material se torna:

𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑥) = [𝜇(𝑥)]𝑝𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙, 𝑉𝑜𝑙 = ∫ 𝜇(𝑥)𝑑𝑥𝛺

(4)

onde:

𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙(𝑥) é o tensor constitutivo do material;

𝜇(𝑥) é a densidade artificial do elemento 𝑥;

𝑝 é o fator de penalização (𝑝 ≥ 1);

𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙 é o tensor de rigidez constante para o material.

3.3. Processo de otimização utilizado

O módulo de otimização do programa ABAQUS foi utilizado para a realização

do processo, onde foi modelada uma viga de alma cheia conforme as dimensões da

seção transversal apresentada na Figura 18. O comprimento da viga modelada foi

de 5 metros.

47

Além disso, as propriedades do aço da viga utilizadas foram módulo de Young

igual a 210 GPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3. Foram utilizados elementos de

casca na modelagem da viga, discretizada em uma malha de 7781 elementos finitos

quadrangulares de segunda ordem (somente para o processo de otimização). A viga

foi submetida a uma carga distribuída equivalente a 100kN e a duas diferentes

condições de contorno: biapoiada e biengastada.

Apenas a parte central da alma da viga foi otimizada (Figura 21). As duas

extremidades da alma da viga não foram inseridas no domínio de projeto a ser

otimizado, a fim de facilitar o processo de aplicação das condições de contorno da

viga em um projeto real (chapas de ligação, por exemplo).

Figura 21 – Domínio otimizável da estrutura.

As vigas modeladas foram então submetidas ao processo de otimização,

utilizando o método SIMP de interpolação de material, com diversos fatores de

penalização. Os resultados obtidos são mostrados nas Figura 22 e Figura 23.

Figura 22 – Topologias para a viga biapoiada obtidas após o processo de

otimização através do método SIMP para diversos fatores de penalização.

a) 𝑝 = 3

b) 𝑝 = 4

c) 𝑝 = 5

48

Figura 23 – Topologias para a viga biengastada obtidas após o processo de

otimização através do método SIMP para diversos fatores de penalização.

a) 𝑝 = 3

b) 𝑝 = 4

c) 𝑝 = 5

Após o processo de otimização com diversos fatores de penalização fica claro

como os fatores de penalidade 𝑝 = 1 e 𝑝 = 2 são pequenos e por isso geram muitos

elementos com densidades intermediárias (Figura 24). Por esse motivo as

topologias finais obtidas utilizando estes fatores de penalização não são

interessantes para este estudo.

Figura 24 – Topologia obtida após o processo de otimização da viga

biapoiada com fator de penalização 𝑝 = 2.

Para os fatores de penalidade 𝑝 = 3, 𝑝 = 4 e 𝑝 = 5 ambas as estruturas

apresentaram topologias próximas, entretanto, o fator de penalidade 𝑝 = 4 foi

escolhido neste estudo como base para todos os outros processos de otimização.

3.4. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de

contorno biapoiada e biengastada, com restrição de espessura

mínima das barras.

O processo de otimização, já explicado anteriormente, foi novamente

realizado, desta vez com o objetivo de introduzir um controle de espessura mínima,

49

a fim de que a viga otimizada não possua elementos estruturais extremamente

esbeltos na sua alma.

Tal providencia foi tomada com base nos diversos modos de falha que podem

ocorrer em vigas perfuradas, gerados pela esbeltez excessiva de pilares da alma

destas vigas. Sendo assim, para evitar problemas de instabilidade foi inserida,

durante o processo de otimização, uma restrição de dimensão mínima de material

para alma da viga igual a 100 milímetros. Os resultados obtidos são apresentados

na Figura 25.

Além disso, após o processo de otimização é necessário escolher uma

superfície de corte que irá gerar a topologia final da estrutura. Esta superfície separa

a parte da estrutura que terá elementos sólidos, e a que terá elementos vazios que

serão desconsiderados na estrutura final. Neste estudo o valor de 0,3 foi utilizado,

desta forma todos os elementos cuja densidade fosse inferior a 0,3 após o processo

de otimização foram cortados da estrutura final. Tal valor foi escolhido, tendo em

vista que este gera uma estrutura final com um volume mais próximo a fração de

volume inserida como objetivo durante o processo de otimização.

Sendo assim, mesmo com a inserção de uma restrição de dimensão mínima

de material para a alma da viga, a topologia final extraída após o processo de

otimização poderá possuir elementos esbeltos na sua alma.

Figura 25 – Topologia otimizada para as vigas, com fator de penalização 𝑝 =

4 e espessura mínima dos elementos da alma igual a 100 milímetros.

a) Topologia obtida para a viga biapoiada

b) Topologia obtida para a viga biengastada

50

3.5. Topologias obtidas para as vigas submetidas às condições de

contorno biapoiada e biengastada, com restrição de simetria.

Com o objetivo de facilitar a produção e a aplicação de vigas otimizadas, o

processo de otimização foi mais uma vez executado, inserindo desta vez uma nova

restrição.

A simetria entre as partes superior e inferior das vigas foi inserida como

restrição durante o processo de otimização, pois, desta forma, a aplicação de vigas

otimizadas se torna mais simples e menos suscetível a erros durante o processo de

montagem das estruturas no campo. Tal restrição é interessante, pois as vigas

apresentadas no item anterior têm uma resistência inferior quando utilizadas de

forma inversa. Sendo assim, para evitar possíveis acidentes gerados pelo

posicionamento incorreto destas vigas, esta restrição foi inserida. Os resultados

alcançados são apresentados na Figura 26.

Figura 26 – Topologias obtidas para as vigas, com fator de penalização 𝑝 = 4

e simetria imposta entre as partes inferior e superior da alma da viga.

a) Topologia obtida para a viga biapoiada

b) Topologia obtida para a viga biengastada

3.6. Discussão das topologias obtidas

Após o processo de otimização das vigas, as topologias obtidas apresentam

grandes vãos na parte central das almas de todas as vigas otimizadas. Tal topologia

pode ser atribuída ao fato de que normalmente o esforço cortante das vigas é

resistido pela alma destas, sendo o esforço cortante quase nulo no meio do vão para

ambas as vigas (Figura 27).

51

Figura 27 – Diagramas de esforço cortante para as vigas submetidas às

condições de contorno biapoiada e biengastada.

a) Diagrama de esforço cortante para a viga biapoiada

b) Diagrama de esforço cortante para a viga biengastada

À medida que o esforço cortante aumenta, é possível ver que o tamanho dos

furos da alma das vigas diminui, ou seja, há mais material na região próxima aos

apoios.

Além disso, também é possível atribuir o tamanho menor da perfuração

central para a viga biapoiada ao fato de que esta precisa de uma maior resistência à

flexão, isso ocorre, pois como mostra a Figura 28, as vigas submetidas à condição

de contorno biapoiada possuem um maior momento fletor no meio do vão.

Figura 28 – Diagramas de momento fletor para as vigas submetidas às

condições de contorno biapoiada e biengastada.

a) Diagrama de momento fletor para a viga biapoiada

b) Diagrama de momento fletor para a viga biengastada

52

4. AVALIAÇÃO DO DESEMPENHO ESTRUTURAL DAS VIGAS

Após o processo de otimização, as vigas foram submetidas a diversas

análises que serão apresentadas neste capítulo; seus resultados foram então

comparados com os resultados obtidos para as análises realizadas nas mesmas

condições para uma viga celular de volume correspondente submetida às mesmas

condições de contorno e carregamento.

Todas a vigas e enrijecedores utilizados neste estudo possuem as mesmas

propriedades, sendo estas, módulo de Young igual a 210 GPa e coeficiente de

Poisson igual a 0,3.

4.1. Propriedades físicas e geométricas da viga de referência

Para comparação com as vigas otimizadas, foi utilizada uma viga celular, cuja

seção transversal é a mesma apresentada na Figura 18. Como dito anteriormente o

volume da viga de referência, igual a 21.721.612 mm³ e foi utilizado como volume

alvo durante o processo de otimização.

O comprimento da viga modelada é de 5.000 milímetros e as perfurações da

viga de referência foram feitas através de cortes em formato circular de raio igual a

113,775 mm. A distância utilizada entre furos adjacentes da viga celular igual a 294

mm e distância entre o início da viga e centro da primeira perfuração igual a 295

mm, conforme mostrado na Figura 29.

Tal viga, apresentada na Figura 29, possui uma distância maior entre o

primeiro furo e o inicio da viga do que a distância entre furos adjacentes. Assim,

como foi feito durante o processo de otimização, onde as duas extremidades da

alma da viga não foram inseridas no domínio otimizável, estas extremidades

também foram poupadas no processo de fabricação das vigas casteladas, a fim de

facilitar o processo de aplicação das condições de contorno da viga em um projeto

real com a utilização de chapas de ligação, por exemplo.

53

Figura 29 – Geometria da viga celular de referência.

Foram utilizados elementos de casca na modelagem da viga, discretizada em

uma malha de 13694 elementos finitos de casca triangulares de primeira ordem do

tipo S3 com tamanho de aproximadamente 20 mm, disponível na biblioteca da

ABAQUS.

4.2. Propriedades das vigas obtidas através do processo de otimização.

As vigas obtidas através do processo de otimização, cuja seção transversal,

assim como a da viga celular, é a mesma apresentada na Figura 18 analisadas,

possuem volume e número de elementos finitos diferentes para cada uma das vigas.

Desta forma, na Tabela 5 abaixo, são apresentados o volume, peso, volume

percentual comparado a uma viga de mesma seção, entretanto com alma cheia e

número de elementos finitos utilizados na discretização da malha de cada viga. Além

disso, todas as vigas otimizadas possuem o mesmo comprimento de 5.000

milímetros.

54

Tabela 5 – Comparação de volume, peso e número de elementos finitos

utilizados na discretização da malha de cada uma das vigas.

Viga Volume (mm³)

Volume (%) Peso da viga (Kg)

Nº de elementos

Celular 21721612 84,76% 170,51 13694

Otimizada para a condição de contorno biapoiada (VBA)

21690582 84,64% 170,27 13040

Otimizada para a condição de contorno biapoiada com

restrição de simetria (VBAS) 21790630 85,03% 171,06 13620

Otimizada para a condição de contorno biengastada (VBE)

21274656 83,02% 167,01 12622

Otimizada para a condição de contorno biengastada com

restrição de simetria (VBES) 21196954 82,72% 166,40 13084

4.3. Análises das vigas submetidas à condição de contorno biapoiada.

Com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias obtidas

durante o processo de otimização, todas as vigas foram submetidas a uma análise

linear elástica sob a condição de contorno biapoiada com uma carga distribuída

equivalente a 100 kN (121,21 kN/m²) aplicada ao longo da mesa superior da viga.

Tal procedimento foi adotado inclusive para as vigas otimizadas para a condição de

contorno biengastada. As figuras apresentadas a seguir, mostram os resultados

obtidos. Apenas metade das vigas foi plotada, tendo em vista que todas elas são

simétricas. A mesma grade de distribuição de tensões foi utilizada para a plotagem

de todas as vigas.

Figura 30 – Resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises

para a viga celular biapoiada submetida à análise linear elástica.

Viga Celular - Tensão máxima: 314,8 MPa.

55


para as vigas otimizadas biapoiadas submetidas a análise linear elástica.

(a) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Tensão máxima: 174,6 MPa.

(b) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria – Tensão

máxima: 150,7 MPa.

(c) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à condição de contorno

biapoiada – Tensão máxima: 314,2 MPa.

(d) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria submetida à

condição de contorno biapoiada– Tensão máxima: 685,4 MPa.

56

Figura 32 – Resultados obtidos para os deslocamentos para a viga celular

biapoiada submetida à análise linear elástica.

Viga Celular – Deslocamento máximo no meio do vão: 12,96 mm

Figura 33 – Resultados obtidos para os deslocamentos para as vigas

otimizadas biapoiadas submetidas à análise linear elástica.

(a) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Deslocamento máximo no meio do vão:

11,12 mm

(b) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria – Deslocamento

máximo no meio do vão: 10,96 mm


biapoiada – Deslocamento máximo no meio do vão: 12,39 mm.


condição de contorno biapoiada– Deslocamento máximo no meio do vão: 16,14 mm.

57

A partir das análises, foi possível observar que as vigas otimizadas para a

condição de contorno a que estavam submetidas nesta análise, ou seja, as vigas

otimizadas para a condição de contorno biapoiada apresentaram um melhor

desempenho estrutural, com menores concentrações de tensões e menores

deslocamentos no meio do vão, quando comparadas à viga celular, assim como

esperado. Também foi possível observar que a viga otimizada para a condição de

contorno biengastada com restrição de simetria gerou um excesso de concentração

de tensões nos cantos superiores na junção da mesa e alma no meio do vão (Figura

31 - d), fazendo com que a mesa de compressão da viga sofresse um grande

deslocamento.

Acredita-se que tal concentração de tensões na mesa desta viga ocorra

devido ao fato de que toda a sua alma no meio do vão foi retirada durante o

processo de otimização, já que a condição biengastada, quando comparada a

condição biapoiada possui um menor momento fletor no meio do vão. Sendo assim,

em capítulos futuros é feita a inserção de enrijecedores de alma na parte central de

todas as vigas, visando evitar grandes deslocamentos e possíveis modos de falha

associados ao escoamento das mesas das vigas, como ocorre com esta viga

especificamente.

A Tabela 6 apresenta um resumo dos resultados obtidos para a análise linear

elástica das vigas biapoiadas com uma carga distribuída de 100kN. Com os

resultados apresentados nesta tabela, fica claro como o desempenho das vigas

otimizadas para a condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS) é superior ao

desempenho apresentado por todas as outras vigas, seja a viga celular ou as

otimizadas para a condição de contorno biengastada.

A viga celular apresentou pequenas concentrações de tensões nas bordas

dos furos mais próximos a extremidade da viga, provavelmente associado ao alto

valor da força cisalhante neste ponto da viga. Já as vigas otimizadas para a

condição de contorno biengastada apresentaram excessivas concentrações de

tensões na parte superior das vigas na junção da mesa com a alma destas, acredita-

se que tal concentração de tensões seja consequência do menor momento fletor que

ocorre no meio do vão de vigas biengastadas, quando comparadas a vigas

biapoiadas submetidas a mesma condição de carregamento.

58

Tabela 6 – Resultados obtidos para as análises das vigas submetidas à carga

distribuída de equivalente de 100 kN.

Viga Máxima Tensão de von Mises (MPa)

Deslocamento máximo no meio do vão (mm)

Celular 314,8 12,96


174,6 11,12

Otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição

de simetria (VBAS) 150,7 10,96


314,2 12,39

Otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição

de simetria (VBES) 685,4 16,14

Sendo assim, como visto no primeiro capítulo deste estudo, diversos modos

de falha de vigas perfuradas podem estar associados à instabilidade destas. São

exemplos de modos de falhas associados à instabilidade a flambagem do pilar da

alma devido à compressão ou ao cisalhamento e a flambagem lateral com torção.

Tais mecanismos de falha podem ser ainda mais preocupantes nas vigas

otimizadas, devido à existência de barras esbeltas na alma destas vigas, geradas

durante o processo de otimização topológica, tendo em vista que a instabilidade das

vigas não foi considerada no processo de otimização.

Sendo assim, as vigas foram então submetidas a uma análise buckle

disponível na biblioteca do ABAQUS com o intuito de avaliar a carga e o modo de

flambagem de cada uma das vigas. Os resultados são apresentados nas figuras a

seguir.

A Tabela 7, apresentada a seguir, resume os valores encontrados para as

cargas críticas das vigas e os modos de flambagem de cada uma delas.

59


condição de contorno biapoiada.

Viga Celular – Carga crítica: 412,587 kN


submetidas à condição de contorno biapoiada.

(a) Viga otimizada para a condição de contorno

biapoiada – Carga crítica: 306,686 kN

(b) Viga otimizada para a condição de contorno

biapoiada com restrição de simetria – Carga

crítica: 367,168 kN

(c) Viga otimizada para a condição de contorno

biengastada submetida à condição de contorno


d) Viga otimizada para a condição de contorno

biengastada com restrição de simetria submetida

à condição de contorno biapoiada – Carga


60

Tabela 7 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas a


Viga Carga Crítica (kN) Modo de flambagem

Celular 412,587 Lateral com torção


306,686 Lateral com torção +

Local


de simetria (VBAS) 367,168 Lateral com torção


107,657 Local


restrição de simetria (VBES) 139,958 Local

Através desta, fica claro como a viga celular possui a maior carga crítica

quando comparada a todas as outras vigas. Além disso, também é possível

perceber que ambas as vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada

apresentaram cargas críticas muito pequenas, tendo em vista que estas foram

otimizadas para uma carga de 100 kN, além de apresentarem também modos de

flambagem locais na mesa das vigas.

Todavia, tanto a viga celular quanto as vigas otimizadas para a condição de

contorno biapoiada apresentaram modos de flambagem globais, flambagem lateral

com torção e para cargas críticas bastante superiores a carga proposta inicialmente

de 100kN. Desta forma, seguindo com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural

das topologias obtidas após o processo de otimização, todas as vigas foram então

submetidas a uma análise não linear completa (análise incremental, incluindo não as

não linearidades física e geométrica), sob a condição de contorno biapoiada com

uma carga distribuída aplicada ao longo da mesa de compressão da viga.

Novamente, o mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas, inclusive

para as vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada. Os resultados

obtidos são apresentados no gráfico a seguir mostrando as curvas de carga versus

deslocamento.

61

As propriedades do aço das vigas utilizadas foram às mesmas utilizadas em

todas as análises não lineares: módulo de Young igual a 210 GPa, coeficiente de

Poisson igual a 0,3 e tensão de escoamento igual a 355 MPa.

Gráfico 2 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição

de contorno biapoiada.

Legenda: VBA - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada; VBAS - Viga otimizada para a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria; VBE - viga otimizada para a condição de

contorno biengastada; VBES - viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição

de simetria.

Desta forma, é possível perceber que as vigas otimizadas para a condição de

contorno biapoiada (VBA e VBAS), de fato tem um grande ganho de resistência

quando comparadas à viga celular.

0

50

100

150

200

250

300

350

-50-40-30-20-100

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBA

VBAS

VBE

VBES

62

Na Tabela 8, apresentada a seguir é possível ver o aumento da carga última

gerado pelo processo de otimização, no caso das vigas otimizadas para a condição

de contorno biapoiada.

Tabela 8 – Comparação entre os pesos e cargas últimas das vigas.

Viga Peso da viga (Kg)

Variação de peso em relação

à viga celular

Carga última

Variação da resistência em relação à viga

celular


170,27 -0,143% 306,448 41,15%


restrição de simetria (VBAS) 171,05 0,318% 284,958 31,25%


167,01 -2,058% 168,728 -22,28%


restrição de simetria (VBES) 166,39 -2,415% 66,269 -69,48%

Todavia, é possível ver que a viga para a qual, durante o processo de

otimização foi inserida uma restrição de simetria (VBAS) apresenta um desempenho

ligeiramente inferior, apesar de possuir um volume ligeiramente maior, quando

comparada à viga otimizada sem qualquer restrição de simetria (VBA), o que já era

esperado, tendo que vista que a inserção de uma restrição geométrica durante o

processo de otimização diminui o domínio de busca por uma topologia ótima.

Também é possível perceber que as vigas otimizadas para a condição de

contorno biengastada (VBE e VBES) quando submetidas à condição de contorno

biapoiada possuem uma resistência inferior à viga celular de referência. Estas

acabam por apresentar grandes concentrações de tensões na mesa superior, o que

provavelmente está associado à retirada de material do meio do vão destas vigas

gerada durante o processo de otimização. Sendo assim, para entender o mecanismo

de funcionamento de cada uma das vigas foi então analisado o modo de falha de

todas elas.

63

Figura 36 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de

contorno biapoiada.

a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação do mecanismo de Vierendeel

b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Formação de um

mecanismo de flexão

c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de

simetria – Formação de um mecanismo de flexão

d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à

condição de contorno biapoiada – Formação de um mecanismo de flexão

e) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de

simetria submetida à condição de contorno biapoiada - Formação de um mecanismo de flexão

Sendo assim, após a avaliação dos modos de falha das vigas é possível

perceber todas as vigas otimizadas falharam devido à formação de um mecanismo

de flexão na mesa superior no meio do vão, mesmo as que se mostraram mais

resistentes do que a viga celular. Tal acontecimento pode estar associado à grande

retirada de material da alma na parte central gerada pelo processo de otimização.

64

Desta forma, em tópicos a seguir, será implementado o uso de enrijecedores

na parte central das vigas e novamente o desempenho estrutural de cada uma delas

será avaliado.

4.4. Análise das vigas com enrijecedores submetidas à condição de

contorno biapoiada.

Como visto no item anterior, todas as vigas otimizadas falharam pela

formação de um mecanismo de flexão na parte central da viga, provavelmente

associada a grande retirada de material na alma da viga neste trecho gerada pelo

processo de otimização. Com isso, decidiu-se então implementar o uso de

enrijecedores na parte central das vigas (Figura 37 e Figura 38) e avaliar novamente

o desempenho estrutural de cada uma delas, inclusive a celular.

Figura 37 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga celular

65

Figura 38 – Detalhe do enrijecedor colocado no centro da viga otimizada para

a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria.

Além disso, as propriedades do aço do enrijecedor utilizadas foram as

mesmas utilizadas para as vigas, módulo de Young igual a 210 GPa e coeficiente de

Poisson igual a 0,3.

Foram utilizados elementos de casca na modelagem do enrijecedor,

discretizado em uma malha de elementos finitos quadrangulares de primeira ordem

com integração reduzida do tipo S4R com aproximadamente 15 mm, disponível na

biblioteca da ABAQUS.

As vigas com enrijecedores foram então submetidas a uma análise linear

elástica, com uma carga de 100kN e os resultados obtidos são apresentados nas

figuras a seguir. As figuras apresentadas a seguir, mostram os resultados obtidos.

Apenas metade das vigas foi plotada, tendo em vista que todas elas são simétricas.


para a viga celular biapoiada com enrijecedor submetida a análise não linear.


66


para as vigas otimizadas biapoiadas com enrijecedores submetidas a análise não

linear.

(a) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Tensão máxima: 174,6 MPa.

(b) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria – Tensão

máxima: 144,5 MPa


biapoiada – Tensão máxima: 298,8 MPa.



67

Na tabela apresentada a seguir é feito um resumo dos resultados obtidos para

as tensões de von Mises e deslocamentos no meio do vão para cada viga. Desta

forma, abaixo são apresentados os resultados obtidos:

Tabela 9 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas com

o uso de enrijecedores.

Viga Máxima Tensão de

von Mises Deslocamento máximo no meio do vão (mm)

Celular 314,8 12,93


174,6 11,01




298,8 12,17



Após a análise das vigas enrijecidas submetidas à análise linear elástica é

possível observar a redução da tensão máxima de von Mises em algumas vigas,

quando comparadas as vigas sem enrijecedores. Tal redução está diretamente

associada ao local da concentração de tensões observado em cada viga. Nas vigas

otimizadas para a condição de contorno biengastada, a redução foi maior, devido ao

fato de que anteriormente tais vigas apresentavam concentrações de tensões

excessivas na junção da mesa de compressão com a alma da viga.

Na Figura 39 – d fica claro como esta viga, especificamente, ainda apresenta

concentrações de tensão na junção da mesa com a alma da viga na parte central,

entretanto, após a análise é possível perceber que os valores máximos tiveram uma

queda grande após a inserção do enrijecedor na alma das vigas.

Desta forma, após a análise linear elástica as vigas foram então submetidas a

uma análise buckle, disponível na biblioteca do ABAQUS com o objetivo de avaliar a

carga crítica e o modo de flambagem de cada uma das vigas. Os resultados são

apresentados na Figura 41, apresentada a seguir.

68

Figura 41 – Carga crítica e modo de falha para a viga celular com enrijecedor

submetida à condição de contorno biapoiada com enrijecedor.



com enrijecedor submetidas à condição de contorno biapoiada.




biapoiada com restrição de simetria – Carga



biengastada submetida à condição de contorno


(d) Viga otimizada para a condição de contorno

biengastada com restrição de simetria submetida

à condição de contorno biapoiada – Carga


69

A Tabela 10 mostrada a seguir, apresenta um resumo dos resultados obtidos

para a carga de flambagem das vigas o modo de flambagem de cada uma após a

inserção do enrijecedor.


biapoiada e percentual de aumento da carga crítica com a utilização de

enrijecedores.

Viga Carga crítica (kN) Modo de flambagem

Celular 499,369 Lateral com torção


330,259 Flambagem do pilar da alma

devido à força cisalhante


de simetria (VBAS) 473,349 Lateral com torção


233,438 Local


de simetria (VBES) 325,268 Local

Assim sendo, tanto a viga celular, quanto a viga otimizada para a condição de

contorno biapoiada com restrição de simetria foram as únicas a apresentar modos

de flambagem globais, todas as demais vigas apresentaram modos distintos de

flambagem, porém locais.

Com isso, o Gráfico 3, apresentado a seguir mostra as variações sofridas em

termos de peso e de carga crítica para todas as vigas após a colocação dos

enrijecedores e evidencia os ganhos atribuídos à carga crítica de cada viga com o

uso de enrijecedores. Além disso, é possível perceber que exceto para a viga

otimizada para a condição de contorno biapoiada, os ganhos em relação ao

aumento da carga crítica são bastante consideráveis tendo em vista o pequeno

incremento do peso das vigas.

70

Gráfico 3 – Variação de peso e carga crítica entre as vigas com e sem

enrijecedores submetidas à condição de contorno biapoiada.




de simetria.

Assim, é possível ver que o uso de enrijecedores gera um aumento

considerável na carga crítica de algumas vigas, chegando a um aumento maior do

que cem por cento na viga otimizada para a condição de contorno biengastada.

Seguindo com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias

obtidas após o processo de otimização, todas as vigas com enrijecedores foram

então submetidas a uma análise não linear completa sob a condição de contorno

biapoiada com uma carga distribuída aplicada ao longo da mesa de compressão da

viga.

Novamente, o mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas, inclusive

para as vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada. Os resultados

obtidos são apresentados no Gráfico 4.

2,19% 2,25% 2,25% 2,31% 2,32%

21,03%

7,69%

28,92%

116,83%

109,19%

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

120,00%

140,00%

Viga Celular VBA VBAS VBE VBES

Variação de peso em relação a mesmaviga sem enrijecedor

Aumento da carga crítica em relação amesma viga sem enrijecedor

71

Gráfico 4 – Carga versus deslocamento para as vigas com enrijecedores





de simetria.

Após a análise não linear das vigas, é possível perceber que apesar da

inserção de um enrijecedor na alma de todas as vigas, as vigas otimizadas para a

condição de contorno biapoiada continuam apresentando um melhor desempenho,

mesmo quando comparadas à viga celular, também com enrijecedor.

Além disso, novamente é possível verificar que as vigas otimizadas para a

condição de contorno biengastada quando submetidas à condição de contorno

biapoiada possuem uma resistência inferior das vigas otimizadas para a condição de

contorno a que estão submetidas nesta análise.

Tal resultado já era esperado, tendo em vista que as vigas otimizadas para a

condição de contorno biengastada tem uma menor resistência ao momento fletor no

meio do vão.

0

50

100

150

200

250

300

350

-50-40-30-20-100

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular com Enrijecedor

VBA com Enrijecedor

VBAS com Enrijecedor

VBE com Enijecedor

VBES com Enrijecedor

72

Desta forma, mais uma vez foi verificado o mecanismo de falha de cada uma

das vigas, apresentado na Figura 43.



a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação do mecanismo de Vierendeel.

b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada – Flambagem do

pilar da alma devido a compressão.

c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de

simetria – Formação de um mecanismo de flexão.

d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada submetida à

condição de contorno biapoiada – Formação de um mecanismo de flexão.


simetria submetida à condição de contorno biapoiada - Formação de um mecanismo de flexão.

Sendo assim, é possível perceber que com a colocação de enrijecedores de

alma em todas as vigas, os modos de falha destas continuam os mesmos,

entretanto é possível observar um grande acréscimo de rigidez em algumas destas.

73

4.5. Análise das vigas submetidas à condição de contorno biengastada.

Como citado em tópicos anteriores, durante o processo de otimização, a viga

foi submetida a duas condições de contorno, sendo uma delas a biengastada. Desta

forma, com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural das topologias obtidas

durante este processo, todas as vigas foram submetidas a uma análise linear

elástica sob a condição de contorno biengastada com uma carga distribuída de

100kN aplicada ao longo da mesa superior da viga.

As propriedades do aço das vigas utilizadas foram módulo de Young igual a

210 GPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3.

Assim como o procedimento adotado anteriormente, todas as vigas foram

analisadas sob esta condição de contorno inclusive para as vigas otimizadas para a

condição de contorno biapoiada. Os resultados obtidos para a distribuição da tensão

de von Mises são apresentados, nas Figura 44 e Figura 45, a seguir.


para a viga celular biengastada submetida a análise linear elástica.


74


para as vigas otimizadas submetidas a condição de contorno biengastada.

(a) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Tensão máxima: 246.2 MPa.

(b) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria – Tensão

máxima: 405,2 MPa.

(c) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à condição de contorno

biengastada – Tensão máxima: 166,8 MPa.



Na Tabela 11 são apresentados os resultados obtidos para a máxima tensão

de von Mises das vigas e também seus respectivos deslocamentos máximos no

meio do vão.

75

Tabela 11 – Resultados obtidos para a máxima tensão de von Mises e

deslocamentos máximos no meio do vão para as vigas submetidas a condição de

contorno biengastada.

Viga Máxima Tensão de von Mises (MPa)

Deslocamento máximo no meio do vão (mm)

Celular 282,8 5,28


232,6 4,23




166,8 3,43



Desta forma, é possível perceber que novamente as vigas otimizadas para a

condição de contorno biapoiada tiveram um melhor desempenho, que mais uma vez

pode ser associado ao fato de que estas vigas possuem uma topologia adequada

para suportar maiores momentos no meio do vão (Figura 28) e por esse motivo

geram menores concentrações de tensões neste, gerando consequentemente

menores deslocamentos.

Entretanto quando comparadas a viga celular, as vigas otimizadas para a

condição de contorno biengastada, é possível perceber que ambas têm um melhor

desempenho que a viga de referência. Entretanto, fica claro como a viga otimizada

sem qualquer restrição de simetria tem um melhor desempenho. O pior desempenho

apresentado pela viga otimizada para a condição de contorno biengastada com

restrição de simetria é possivelmente acarretado justamente pela restrição inserida

durante o processo de otimização, que impede a procura por uma topologia ótima

dentro de um domínio mais amplo de soluções para a condição de contorno

aplicada.

Ainda com o objetivo de avaliar o desempenho estrutural de todas as vigas

estas foram submetidas a uma análise buckle, disponível na biblioteca do ABAQUS,

para avaliar a carga crítica e o modo de flambagem de cada uma das vigas.

76


condição de contorno biengastada.



submetidas à condição de contorno biengastada.


biengastada – Carga crítica: 303,029 kN


biengastada com restrição de simetria – Carga



biapoiada submetida à condição de contorno



biapoiada com restrição de simetria submetida à

condição de contorno biengastada – Carga


77

A Tabela 12, apresentada a seguir resume os valores encontrados para as

cargas críticas das vigas e os modos de flambagem de cada uma delas. Através

desta, fica claro como a viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com

restrição de simetria possui a maior carga crítica quando comparada a todas as

outras vigas. Além disso, também é possível perceber que todas as vigas otimizadas

apresentaram cargas críticas superiores a carga das vigas, estimada inicialmente

como uma carga de 100 kN.

Tabela 12 – Cargas críticas e modos de flambagem das vigas submetidas à


Viga Carga Crítica (kN) Modo de flambagem

Celular 520,00 Local - Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento


303,029 Local - Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento


de simetria (VBES) 423,405 Local


326,661 Local - Flambagem do pilar da alma devido ao cisalhamento


de simetria (VBAS) 701,772 Lateral com Torção


obtidas após o processo de otimização, todas as vigas foram então submetidas a

uma análise não linear completa sob a condição de contorno biengastada.

Mais uma vez, o mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas,

inclusive para as vigas otimizadas para a condição de contorno biapoiada. Os

resultados obtidos são apresentados no Gráfico 5.

78

Gráfico 5 – Carga versus deslocamento para as vigas submetidas à condição

de contorno biengastada.

Legenda: VBE - viga otimizada para a condição de contorno biengastada; VBES - viga otimizada para

a condição de contorno biengastada com restrição de simetria; VBA - Viga otimizada para a condição

de contorno b apoiada; VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição

de simetria.

Desta forma, é possível perceber que a viga celular apresenta o pior

desempenho, seguida pelas vigas otimizadas para a condição de contorno

biengastada (VBE e VBES) e apresentando o melhor desempenho as vigas

otimizadas para a condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS).

Além disso, também é possível perceber que a inserção de uma restrição

geométrica de simetria durante o processo de otimização para a viga biengastada

gerou uma topologia (VBES) com uma resistência ainda maior do que a viga

otimizada sem qualquer restrição de simetria (VBE).

0

100

200

300

400

500

600

-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBE

VBES

VBA

VBAS

79

Desta forma, para entender o mecanismo de funcionamento de cada uma das

vigas foi então analisado o modo de falha de todas elas.

Figura 48 – Mecanismo de falha das vigas submetidas à condição de


a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação de um mecanismo de flexão

b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Formação de

um mecanismo de flexão

c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de

simetria – Formação de um mecanismo de flexão

d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à

condição de contorno biengastada – Formação de um mecanismo de flexão

e) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de

simetria submetida à condição de contorno biengastada - Formação de um mecanismo de flexão

Sendo assim, após a avaliação dos modos de falha das vigas é possível

perceber todas as vigas otimizadas falharam devido à formação de um mecanismo

80

de flexão. Tal acontecimento pode estar associado a grande retirada de material da

alma na parte central gerada pelo processo de otimização.

Desta forma, na seção a seguir, será implementado o uso de enrijecedores na

parte central das vigas e novamente o desempenho estrutural de cada uma delas

será avaliado.

4.6. Análise das vigas com enrijecedores sob a condição de contorno

biengastada.

Como visto anteriormente, e como foi feito para as vigas submetidas à

condição de contorno biapoiada, decidiu-se implementar o uso de enrijecedores na

parte central das vigas. Após isso, foi novamente feita uma avaliação do

desempenho estrutural de cada uma delas. Agora submetidas à condição de

contorno biengastada e com o uso de enrijecedores.

Novamente foi feita então uma comparação entre os resultados obtidos para

as vigas com e sem enrijecedores e o desempenho estrutural de cada uma delas.

Sendo assim, todas as vigas foram submetidas a uma análise linear elástica com

uma carga distribuída de 100kN aplicada na mesa de compressão das vigas, onde

foram avaliados os pontos de concentração de tensões e os deslocamentos no meio

do vão de cada uma delas. Os resultados obtidos são apresentados a seguir.


para a viga celular biengastada com enrijecedor submetida a análise linear elástica.


81


para as vigas otimizadas biengastadas com enrijecedores submetidas a análise não

linear.

(a) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Tensão máxima: 227,2 MPa.

(b) Viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de simetria – Tensão

máxima: 291,7 MPa

(c) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à condição de contorno

biengastada – Tensão máxima: 166,8 MPa.

(d) Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria submetida à

condição de contorno biengastada – Tensão máxima: 135,0 MPa.

82

Após a análise das vigas enrijecidas é possível observar uma pequena

redução da máxima tensão de von Mises em algumas vigas. Tal redução está

diretamente associada ao local da concentração de tensões observado em cada

uma das vigas.

Nas vigas otimizadas para a condição de contorno biengastada, a redução foi

maior, devido ao fato de que anteriormente tais vigas apresentavam concentrações

de tensões na junção da mesa de compressão com a alma da viga e a colocação de

enrijecedores consegue gerar uma redução desta.

Na tabela apresentada a seguir é feito um resumo dos resultados obtidos para

as tensões de von Mises para cada viga e seus deslocamentos no meio do vão.

Tabela 13 – Resultados obtidos para a tensão de von Mises para as vigas

biengastadas com o uso de enrijecedores.

Viga Peso da viga

com enrijecedor (Kg)

Máxima Tensão de von Mises

(MPa)

Deslocamento máximo no meio do

vão (mm)

Celular 174,24 283,8 5,25


170,85 227,2 4,07


restrição de simetria (VBES) 170,25 291,7 5,42


174,10 166,8 3,35


restrição de simetria (VBAS) 174,90 135,0 3,13

Assim como observado para a máxima tensão de von Mises em cada viga, é

possível também observar uma pequena redução nos deslocamentos de meio do

vão. Desta forma, no gráfico apresentado a seguir é feita uma comparação entre as

variações de peso, máxima tensão de von Mises e máximo deslocamento no meio

do vão das vigas, antes e após a implementação do uso de enrijecedores.

Após esse procedimento, as vigas foram então submetidas a uma análise

buckle, disponível na biblioteca do ABAQUS. Os resultados são apresentados nas

figuras a seguir.

83


condição de contorno biengastada com enrijecedor.







biengastada com restrição de simetria – Carga



biapoiada submetida à condição de contorno



biapoiada com restrição de simetria submetida à

condição de contorno biengastada – Carga


84

Na Tabela 14, apresentada a seguir é possível ver um resumo das cargas

críticas obtidas para todas as vigas e os modos de flambagem de cada uma delas.


biengastada e modo de flambagem.

Viga Carga crítica da viga com Enrijecedor (kN)

Modo de flambagem

Celular 520,327 Flambagem do pilar da alma






restrição de simetria (VBES) 577,497

Flambagem do pilar da alma devido à força cisalhante





de simetria (VBAS) 714,201

Flambagem do pilar da alma devido à força cisalhante

Desta maneira, é possível perceber que a flambagem do pilar da alma devido

à força cisalhante é o modo comum de flambagem a todas estas vigas, este é um

modo de flambagem local, entretanto as vigas apresentaram este modo de

flambagem para cargas críticas bem superiores a carga inicial de projeto proposta

para 100 kN.


obtidas após o processo de otimização, todas as vigas com enrijecedores foram

então submetidas a uma análise não linear completa sob a condição de contorno

biengastada com uma carga distribuída aplicada ao longo da mesa superior da viga.

O mesmo procedimento foi adotado para todas as vigas, inclusive para as vigas

otimizadas para a condição de contorno biapoiada.

As propriedades do aço das vigas utilizadas foram as mesmas utilizadas em

todas as análises anteriores, módulo de Young igual a 210 GPa, coeficiente de

Poisson igual a 0,3 e tensão de escoamento igual a 355 MPa. Os resultados obtidos

são apresentados no gráfico a seguir.

85

Gráfico 6 – Carga versus Deslocamento para as vigas com enrijecedores


Legenda: VBE - viga otimizada para a condição de contorno biengastada; VBES - viga otimizada para

a condição de contorno biengastada com restrição de simetria; VBA - Viga otimizada para a condição

de contorno biapoiada; VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição

de simetria.

Após a análise não linear das vigas, é possível perceber que apesar da

inserção de um enrijecedor na alma de todas as vigas, as vigas otimizadas, para

ambas as condições de contorno apresentam uma maior resistência quando

comparadas a viga de celular.

Além disso, novamente é possível verificar que as vigas otimizadas para a

condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS) possuem um ótimo desempenho

mesmo quando submetidas a uma condição de contorno diferente da que foram

otimizadas.

Desta forma, mais uma vez foi verificado o mecanismo de falha de cada uma

das vigas, apresentado na Figura 53Figura 43.

0

100

200

300

400

500

600

-100,00-90,00-80,00-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBE

VBES

VBA

VBAS

86



a) Mecanismo de falha da viga celular – Formação de um mecanismo de flexão.

b) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada – Formação de

um mecanismo de flexão.

c) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biengastada com restrição de

simetria – Formação de um mecanismo de flexão.

d) Mecanismo de falha da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada submetida à

condição de contorno biengastada – Formação de um mecanismo de flexão.


simetria submetida à condição de contorno biapoiada - Formação de um mecanismo de flexão.

Assim, é possível perceber que com a colocação de enrijecedores de alma

em todas as vigas, os modos de falha das destas continuam os mesmos, entretanto

é possível observar um grande acréscimo de rigidez em algumas destas conforme

mostra o Gráfico 6.

Desta forma, através do Gráfico 6, fica ainda mais claro como todas as vigas

otimizadas são mais resistentes do que a viga celular, além disso, fica claro como,

com o uso do enrijecedor, as vigas com restrição de simetria têm um comportamento

melhor do que as que foram otimizadas sem esta restrição.

87

5. DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO APROXIMADO

Com o objetivo de facilitar a produção das vigas otimizadas encontradas

durante o processo apresentado neste estudo, a topologia da viga otimizada para a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria foi aproximada para uma

topologia que irá ser apresentada a seguir.

Tal viga foi escolhida tendo em vista o seu desempenho em todas as análises

apresentadas no capítulo 4 desta dissertação. Desta forma, a fim de gerar uma

topologia aproximada para a viga, a espessura de todas as barras que formam a

viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria foi

medida, conforme mostra a Figura 54. O comando “Distance” do ABAQUS foi

utilizado e espessura de todas as barras foi medida.

Figura 54 – Processo de medição da espessura das barras da viga no

ABAQUS.

Sendo assim, a espessura de todas as barras foi medida, conforme mostra a

Figura 55. As barras marcadas na parte superior do desenho foram definidas como

“positivas” e as barras inferiores foram definidas como “negativas” e uma média da

espessura das barras foi calculada.

88

Figura 55 – Pontos onde a espessura das barras foi medida.

O mesmo processo foi adotado para medir os ângulos de inclinação de todas

as barras, onde o comando “Angle” do ABAQUS foi utilizado.

Desta forma, a tabela a seguir mostra as espessuras e os ângulos das barras

medidos conforme o processo citado anteriormente.

Tabela 15 – Espessuras e ângulos das barras medidos no ABAQUS.

Negativas

Positivas

Espessura Ângulo

Espessura Ângulo

73,893 44,343

58,234 47,429

73,893 44,343

54,720 46,437

60,359 40,055

47,174 55,310

54,749 32,633

54,048 44,303

50,081 35,769

50,081 35,769

42,775 43,803

42,861 43,803

33,607 44,316

33,613 44,309

Média: 55,623 40,752

Média: 48,676 45,337

Sendo assim, com o objetivo de facilitar o processo de fabricação das vigas,

tomando como base o valor obtido para a média dos ângulos medidos e a facilitação

do processo de fabricação das vigas todos os ângulos foram aproximados para 45°

e todas as espessuras das barras foram aproximadas para 50, 60 e 70mm, gerando

assim três vigas, tendo apenas a espessura das barras como diferença entre si.

Levando-se em consideração ainda a topologia obtida para a viga sob a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria, todos os cantos foram

transformados em cantos arredondados, com raios de 10mm para os furos inferiores

Pontos de medição da espessura das barras “negativas”

Pontos de medição da espessura das barras negativas

89

e superiores e de 20mm para os losangos. As dimensões da viga aproximada são

apresentadas na Figura 56.

Figura 56 – Dimensões da topologia aproximada obtida para a viga com barras de 50 mm.

Além disso, baseado ainda na topologia obtida durante o processo de

otimização, foram adotados um total de sete furos centrais, assim como na topologia

da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria

90

(VBAS), com formato de losango. As topologias finais obtidas são apresentadas na

Figura 58.

Figura 57 – Topologia obtida durante o processo de otimização para a viga

sob a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria.

Figura 58 – Topologia aproximada obtida para as vigas com barras de 50, 60

e 70 mm.

a) Topologia obitida para a viga aproximada com barras de 50mm.

b) Topologia obitida para a viga aproximada com barras de 60mm.

c) Topologia obitida para a viga aproximada com barras de 70mm.

5.1. Análise das vigas com topologia aproximada e comparação com os

resultados obtidos para as outras vigas.

Após o desenvolvimento do modelo de elementos finitos das vigas com

topologia aproximada, estas foram então submetidas à análise linear elástica, de

autovalores e à análise não linear completa com o objetivo de avaliar desempenho e

o comportamento estrutural de cada uma delas.

As propriedades do aço utilizadas para a análise destas vigas foram as

mesmas utilizadas para todas as análises anteriores, sendo estas, módulo de Young

igual a 210 GPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3.

A Tabela 16, apresentada a seguir, mostra o volume de cada viga obtida,

além do peso de cada uma e número de elementos finitos utilizados para discretizar

cada uma das vigas, bem como volume, peso e número de elementos finitos

91

utilizados para as vigas celular e otimizada para a condição de contorno biapoiada

com restrição de simetria (VBAS). Todas as vigas foram discretizadas com uma

malha de elementos finitos triangulares do tipo S3, disponível na biblioteca do

ABAQUS, de aproximadamente 20 mm.

Tabela 16 – Volume, peso e número de elementos finitos utilizados na malha

das vigas aproximadas modeladas.

Viga Volume (mm³) Peso (Kg) Número de

elementos da malha

Viga Celular 21721612 170,51 13694

VBAS 21790630 171,06 13620

VTA com barras de 50 mm 21113320 165,74 13954



Legenda: VBAS - Viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria;

VTA – Viga com topologia aproximada.

Assim, é possível ver como a variação de volume entre a viga celular e a viga

otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) é

pequena, o que também ocorre quando esta é comparada à viga com barras de 70

mm. O número de elementos utilizados para discretizar a malha de todas as vigas

também é aproximadamente o mesmo.

Desta forma, as vigas foram primeiramente submetidas à análise linear

elástica, com o objetivo avaliar suas concentrações de tensão e deslocamentos

máximos no meio do vão. O resultado obtido para a análise de cada viga submetida

à condição de contorno biapoiada com uma carga distribuída equivalente a 100 kN

aplicada na mesa superior é apresentado na Figura 59 e na

Figura 60 a seguir. No caso das tensões de von Mises apenas metade das

vigas foi plotada tendo em vista sua simetria.

92

Figura 59 – Distribuição de tensão de von Mises para as vigas aproximadas

submetidas a análise linear elástica com condição de contorno biapoiada.

a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Tensão máxima: 204,1 MPa

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Tensão máxima: 173,6 MPa

c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Tensão máxima: 164,9 MPa

Figura 60 – Deslocamento máximo no meio do vão das vigas com topologia

aproximada, submetidas à análise linear elástica com condição de contorno

biapoiada.

a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Deslocamento máximo no meio do vão 11,59 mm

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Deslocamento máximo no meio do vão 11,28 mm

c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Deslocamento máximo no meio do vão 11,08 mm

Após esse procedimento as vigas foram então submetidas à análise buckle,

que estima os modos de flambagem e a carga crítica. Os resultados obtidos são

apresentados na Figura 61.

93

Figura 61 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada.

a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Carga crítica: 350,956 kN

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Carga crítica: 378,376 kN

c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Carga crítica: 409,516 kN

Na Tabela 17 e na Tabela 18, apresentadas abaixo, é feita uma comparação

com os resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga

otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria.

94

Tabela 17 – Comparação dos resultados obtidos na análise linear elástica

para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição

de simetria e com topologia aproximada.

Viga Deslocamento

máximo no meio do vão (mm)

Máxima tensão de von Mises (MPa)

Viga Celular 12,96 314,8

VBAS 10,96 150,7

VTA com barras de 50 mm 11,59 204,1






auto vetores para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada

com restrição de simetria e com topologia aproximada.

Viga Carga crítica (kN) Modo de flambagem

Viga Celular 412,587 Lateral com torção

VBAS 367,168 Lateral com torção

VTA com barras de 50 mm 350,956 Lateral com torção





Através dos resultados apresentados nas Tabela 17 e Tabela 18, fica claro

como o desempenho da viga com topologia aproximada é inferior ao desempenho

da viga otimizada original; entretanto, a viga com topologia aproximada, para

qualquer uma das espessuras das barras, apresenta menores concentrações de

95

tensões e menores deslocamentos quando comparada à viga celular submetida às

mesmas condições.

Após este processo, as vigas aproximadas foram então submetidas à análise

não linear completa e os resultados são apresentados no gráfico abaixo, juntamente

com os gráficos obtidos anteriormente para a viga celular e otimizada para a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS).

Gráfico 7 – Curvas carga versus deslocamento das vigas com topologia

aproximada submetidas a condição de contorno biapoiada.



Através do gráfico obtido com a análise linear completa fica claro como o

desempenho das vigas com topologia aproximada é superior ao da viga celular.

Contudo, também é possível observar que as vigas com topologia aproximada

com barras de 50 e 60 mm apresentaram ruptura frágil, evidenciada pela variação

0

50

100

150

200

250

300

350

-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS

VTA com barras de espessura 50mm



96

brusca de carga após o processo de plastificação, e um desempenho inferior ao da

viga obtida através do processo de otimização.

Apesar disto, a viga com topologia aproximada com barras de espessura de

70 mm apresentou um ótimo desempenho, extremamente próximo ao da viga obtida

pelo processo de otimização. O mecanismo de falha de cada uma das vigas é

apresentado na Figura 62.



a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.

c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Formação de um mecanismo de flexão.

Após a obtenção dos resultados, as vigas foram então avaliadas quanto ao

seu desempenho estrutural com o uso de enrijecedores e submetidas à análise

linear elástica.

Os resultados obtidos para a distribuição da tensão de von Mises são

apresentados na Figura 63. Apenas metade da viga foi plotada, levando em

consideração sua simetria.

97

Figura 63 – Distribuição da tensão de von Mises para a viga com topologia

aproximada com enrijecedor submetida a condição de contorno biapoiada.

a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Máxima tensão de von Mises: 204,1 MPa

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Máxima tensão de von Mises: 172,5 MPa

c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Máxima tensão de von Mises: 164,9 MPa

Desta forma, é apresentado abaixo, na Tabela 19, uma comparação com os

resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga

otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria

utilizando enrijecedores.



de simetria e com topologia aproximada com o uso de enrijecedores.

Viga Deslocamento




VBAS 10,92 144,5






98

As vigas com enrijecedores foram então submetidas à análise de autovalores

e auto vetores. Os resultados obtidos para a carga crítica e modo de flambagem são

apresentados na Figura 64.


aproximada com o uso de enrijecedor submetidas à condição de contorno biapoiada.




Desta forma, na Tabela 20, é apresentada uma comparação com os

resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga

otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria

utilizando enrijecedores.

99



com restrição de simetria e com topologia aproximada com o uso de enrijecedores.

Viga Carga crítica

(kN) Modo de flambagem

Viga Celular 499,369 Lateral com torção


VTA com barras de 50 mm 423,444 Lateral com torção + Flambagem do

pilar da alma devido à força cisalhante

VTA com barras de 60 mm 482,593 Lateral com Torção

VTA com barras de 70 mm 499,208 Lateral com Torção



Mais uma vez, o desempenho de todas as vigas com topologia aproximada foi

intermediário, apresentando menores concentrações de tensão do que a viga

celular, entretanto superiores à máxima tensão encontrada na viga obtida pelo

processo de otimização.

É possível ainda perceber como a viga com topologia aproximada com barras

de 50 mm possui um desempenho inferior em termos de carga crítica. Contudo, o

desempenho das vigas com topologia aproximada com barras de 60 e 70 mm foi

bem próximo ao desempenho obtido pela viga celular de referência e da viga obtida

pelo processo de otimização.

Sendo assim, a viga com enrijecedor foi então submetida à análise não linear

completa, cujo resultado é apresentado no gráfico abaixo, juntamente com os

gráficos obtidos anteriormente para a viga celular e otimizada para a condição de

contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) também com o uso de

enrijecedores.

100


aproximada com enrijecedor submetidas a condição de contorno biapoiada.



Assim, mais uma vez fica claro como o comportamento das vigas com

topologia aproximada com barras de 50 e 60 mm apresentou uma ruptura brusca

após o processo de plastificação da viga, mesmo sendo estas mais rígidas que a

viga celular.

Apesar disso, a viga otimizada com barras de 60 mm apresentou a ruptura

num ponto próximo ao da viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com

restrição de simetria, em termos de deslocamento. Assim como a ruptura da viga

com topologia aproximada com barras de 50 mm ocorreu em um ponto próximo ao

da viga com barras de 70 mm, também em termos de deslocamento.

Além disso, novamente o comportamento da viga com topologia aproximada

com barras de 70 mm foi muito próximo ao comportamento da viga otimizada para

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS), obtida

diretamente do processo de otimização.

O modo de falha das vigas com topologias aproximadas após a colocação do

enrijecedor é apresentado na Figura 65, a seguir.

0

50

100

150

200

250

300

350

-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS

VTA com barras de 50mm



101

Figura 65 – Mecanismo de falha da viga com topologia aproximada com

enrijecedor, submetidas à condição de contorno biapoiada.

a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de Vierendeel.



Assim sendo, após a conclusão das análises das vigas submetidas à

condição de contorno biapoiada as vigas foram então submetidas à análise linear

elástica com a condição de contorno biengastada. Os resultados obtidos para

distribuição da tensão de von Mises são apresentados a seguir.

Figura 66 – Distribuição de tensão de von Mises para a análise linear elástica

da viga com topologia aproximada submetida a condição de contorno biengastada.

a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Máxima tensão de von Mises: 204,7 MPa

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Máxima tensão de von Mises: 174,6 MPa

c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Máxima tensão de von Mises: 172,3 MPa

102

As vigas foram então submetidas à análise de autovalores e auto vetores com

a condição de contorno biengastada. Os resultados obtidos para a carga crítica e

modo de flambagem são apresentados na Figura 67.


aproximada, submetidas à condição de contorno biapoiada.




Desta forma, são apresentados, nas Tabela 21 e Tabela 22, uma comparação

com os resultados obtidos anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga

otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS),


103



de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de contorno

biengastada.

Viga Deslocamento




VBAS 3,26 135,3








com restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de


Viga Carga crítica


Viga Celular 520,00 Flambagem do pilar da alma



VTA com barras de 50 mm 425,283 Flambagem do pilar da alma








104

Através dos resultados apresentados anteriormente, é possível perceber que

as vigas com topologia aproximada apresentaram desempenhos inferiores em

termos de carga crítica, quando comparadas a viga obtida pelo processo de

otimização. O mesmo ocorre em termos de concentração de tensões e

deslocamentos, na análise linear elástica. Contudo, o resultado das vigas com

topologia aproximada com barras de 70 mm tanto para análise linear elástica quanto

para a análise de autovalores e autovetores é bastante satisfatório quando

comparado ao resultado obtido para a viga celular.

A viga, agora biengastada foi então submetida à análise não linear completa.

O resultado desta análise é apresentado no gráfico a seguir.


aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada.



O modo de falha de cada uma das vigas com topologia aproximada,

submetida à condição de contorno biengastada é apresentado na Figura 68.

0

100

200

300

400

500

600

-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS




105

Figura 68 – Modo de falha das vigas com topologia aproximada, submetidas à


a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de flexão.

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Formação de um mecanismo de flexão.


Desta maneira, para completar a série de análises a que foram submetidas às

vigas com topologia aproximada, estas foram então submetidas à análise linear

elástica, de autovalores e autovetores e não linear completa com a condição de

contorno biengastada e com o uso de um enrijecedor. Os resultados obtidos para

distribuição da tensão de von Mises são apresentados na Figura 69.

Figura 69 – Distribuição de tensão de von Mises das vigas com topologia

aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada com enrijecedor.

a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Tensão máxima: 204,7 MPa

b) Viga aproximada com barras de 60 mm - Tensão máxima: 174,6 MPa

c) Viga aproximada com barras de 70 mm - Tensão máxima: 177,2 MPa

106

As vigas foram então submetidas à análise de autovalores e autovetores com

a condição de contorno biengastada e com enrijecedor. Os resultados obtidos para a

carga crítica e modo de flambagem das vigas é apresentado na Figura 70.

Figura 70 – Modo de flambagem das vigas com topologia aproximada,


a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Carga crítica: 425,683kN



Na Tabela 23 é apresentada uma comparação com os resultados obtidos

anteriormente tanto para a viga celular quanto para a viga otimizada para a condição

de contorno apoiada com restrição de simetria utilizando enrijecedores.

107



de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de contorno

biengastada com enrijecedor.

Viga Deslocamento




VBAS 3,13 135,0







autovetores para a viga celular, otimizada para a condição de contorno biapoiada

com restrição de simetria e com topologia aproximada, submetidas à condição de


Viga Carga crítica


Viga Celular 520,327 Flambagem do pilar da alma


VBAS 714,201 Flambagem do pilar da alma










108

Mais uma vez as vigas com topologia aproximada foram então submetidas à

análise não linear completa, agora sob a condição de contorno biengastada e com

enrijecedores. Os resultados obtidos são apresentados no gráfico a seguir.


aproximada, submetida à condição de contorno biengastada com enrijecedor.



O modo de falha das vigas com topologia aproximada após a colocação do

enrijecedor é apresentado na Figura 71, apresentada a seguir.

0

100

200

300

400

500

600

-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS




109



a) Viga aproximada com barras de 50 mm - Formação de um mecanismo de flexão.



Após todas as análises realizadas com as vigas com topologia aproximada,

ficou claro como apenas a viga com barras de espessura de 70 mm apresentou um

bom desempenho em todos os casos, desempenho ainda inferior ao da viga obtida

através do processo de otimização, contudo bastante superior ao da viga celular de

referência em todos os casos aqui analisados.

5.2. Análise das vigas considerando as imperfeições iniciais

As imperfeições geométricas iniciais são encontradas em elementos de aço

estrutural como resultado do processo de fabricação, como já dito anteriormente.

Desta forma, buscando obter resultados mais próximos da realidade, as

imperfeições iniciais foram então inseridas nas análises das vigas celular, otimizada

para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria e para as vigas

com topologia aproximada.

Sendo assim, após os modelos das vigas terem sido submetidos à análise de

autovalor que estima os modos de flambagem e as cargas críticas, as vigas foram

então submetidas a uma análise não linear com imperfeições de 0,1% do tamanho

das vigas, assim como foi feito no Capítulo 2, ou seja, 5 mm.

110

Os resultados obtidos para todas as vigas serão apresentados nos gráficos a

seguir.

Gráfico 11 – Curvas carga versus deslocamento das vigas celular, otimizada

para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) e com

topologia aproximada (VTA), submetidas a condição de contorno biapoiada com

imperfeição de 5 mm.



Como é possível perceber através do Gráfico 11, o desempenho das vigas

com topologia aproximada com barras de 50 e de 60 mm não foi satisfatório: ambas

as vigas apresentaram ruptura frágil quando ainda trabalhavam na região elástica.

Entretanto o desempenho da viga obtida pelo processo de otimização (VBAS) e da

viga com topologia aproximada com barras de 70 mm foi bastante superior ao da

viga celular de referência.

0

50

100

150

200

250

300

-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS




111



topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno biapoiada com

enrijecedor e com imperfeição de 5 mm.



Mais uma vez, semelhante ao que ocorreu para a análise das vigas sem

enrijecedor as vigas com topologia aproximada com barras de 50 e de 60 mm

romperam antes de começar a trabalhar no regime plástico. Entretanto o

desempenho da viga com topologia aproximada com barras de 70 mm foi superior

ao da viga celular e bem próximo ao desempenho da viga otimizada para condição

de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS).

0

50

100

150

200

250

300

350

-80,00-70,00-60,00-50,00-40,00-30,00-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS




112



topologia aproximada (VTA), submetidas à condição de contorno biengastada com

imperfeição de 5mm.



No caso das vigas submetidas à condição de contorno biengastada, as vigas

com topologia aproximada com barras de 50 e 60 mm deixaram de apresentar

ruptura frágil ainda na parte elástica. Entretanto o desempenho da viga com

topologia aproximada com barras de 70 mm apesar de se mostrar superior ao da

viga celular de referência, se mostrou ligeiramente inferior ao da viga obtida pelo

processo de otimização.

0

50

100

150

200

250

300

350

-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS




113



topologia aproximada, submetidas à condição de contorno biengastada com

enrijecedor e com imperfeição de 5 mm.



Assim como ocorreu para as análises das vigas sem o uso de enrijecedores,

as vigas com topologia aproximada com barras de 50 e 60 mm também não

apresentaram ruptura frágil ainda na parte elástica. Entretanto, mais uma vez o

desempenho da viga com topologia aproximada com barras de 70 mm apesar de se

mostrar bastante superior ao da viga celular de referência, se mostrou ligeiramente

inferior ao da viga obtida pelo processo de otimização.

0

50

100

150

200

250

300

-20,00-10,000,00

Carg

a A

plicad

a (

kN

)

Deslocamento (mm)

Viga Celular

VBAS com Enrijecedor




114

CONCLUSÃO

Foram apresentados neste trabalho os resultados obtidos para a otimização

topológica de vigas perfuradas, obtidas através do método SIMP de otimização,

realizado no software ABAQUS. As vigas obtidas através do processo de otimização

foram então submetidas à análise linear elástica, de autovalores e autovetores e não

linear completa. Tal procedimento foi adotado para as vigas submetidas à condição

de contorno biapoiada com e sem o uso de enrijecedores e biengastada, com e sem

o uso de enrijecedores.

Discussão dos resultados

No caso da análise linear para as vigas submetidas à condição de contorno

biapoiada, a viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de

simetria (VBAS) foi a que apresentou o melhor desempenho, com menores

concentrações de tensão e um menor deslocamento no meio do vão, quando

comparada a todas as outras. Já no caso da análise buckle também realizada para

as vigas submetidas à condição de contorno biapoiada, a viga celular apresentou a

maior carga crítica, entretanto as vigas otimizadas para a condição de contorno

biapoiada (VBA e VBAS) também apresentaram um bom desempenho. Para a

análise não linear completa, ambas as vigas otimizadas para a condição de contorno

biapoiada (VBA e VBAS) apresentaram um bom desempenho, sendo a viga

otimizada sem restrição de simetria (VBA) a que apresentou um desempenho

melhor.

As mesmas conclusões podem ser estendidas para as vigas submetidas à

condição de contorno biapoiada com o uso de enrijecedores. A viga otimizada

(VBAS) apresentou as menores concentrações de tensões na análise linear elástica,

a viga celular apresentou a maior carga crítica, seguida pelas vigas otimizadas para

a condição de contorno biapoiadas (VBA e VBAS), e, para a análise não linear

completa, as vigas otimizadas para a condição de contorno biapoiada (VBA e VBAS)

apresentaram também o melhor desempenho.

115

No caso das vigas submetidas à condição de contorno biengastada, a viga

otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS)

apresentou o melhor desempenho para todas as análises, apresentando menores

concentrações de tensão, além de apresentar a maior carga crítica e o melhor

desempenho na análise não linear completa.

Além disso, o mesmo acontece quando as vigas são submetidas à condição

de contorno biengastada com o uso de enrijecedores. A viga otimizada para a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) apresenta um

desempenho superior em todas as análises quando comparada a todas as outras

vigas.

Já a viga modelada a partir da viga otimizada para a condição de contorno

biapoiada com restrição de simetria, chamada no trabalho de viga com topologia

aproximada (VTA), apresentou resultados superiores aos obtidos para a viga celular

em termos de concentração de tensões em todos os casos, ou seja, para as vigas

com barras de 50, 60 e 70 mm.

Para as análises com imperfeições, a viga com topologia aproximada com

barras de 70 mm apresentou resultados muito próximos ao da viga otimizada para a

condição de contorno biapoiada com restrição de simetria (VBAS) nas análises em

que as vigas também estavam submetidas à condição de contorno biapoiada.

Entretanto, quando submetida à condição de contorno biengastada, a viga com

topologia aproximada (VTA) com barras de 70 mm apresentou resultados

ligeiramente inferiores aos da viga obtida através do processo de otimização,

contudo em ambos os casos os resultados obtidos foram superiores aos alcançados

pela viga celular de referência.

Considerações finais

Através do estudo realizado foi possível ver como a otimização topológica

pode gerar resultados bastante satisfatórios para as vigas perfuradas; a comparação

com a viga celular realizada neste estudo mostrou que, apesar de terem pesos muito

próximos, a viga otimizada (VBAS) se mostrou mais rígida e apresentou menores

concentrações de tensões.

116

Foram realizadas diversas análises com o objetivo de demonstrar a eficiência

das estruturas obtidas, com diferentes condições de contorno, com e sem

enrijecedores, com e sem imperfeições iniciais. Somente na análise de autovalores e

autovetores (cargas e modos críticos), as vigas otimizadas apresentaram resultados

ligeiramente inferiores à viga de referência, mas deve-se levar em conta que não

foram utilizadas restrições nos parâmetros de instabilidade durante o processo de

otimização.

Além disso, ficou claro como é possível obter uma viga com topologia próxima

à da viga obtida pelo processo de otimização que apresentou o melhor desempenho,

ou seja, a viga otimizada para a condição de contorno biapoiada com restrição de

simetria (VBAS), com uma topologia mais simples de ser fabricada e ainda assim

obter ótimos resultados em termos de concentração de tensões e rigidez, quando

comparados aos mesmos resultados obtidos para a viga celular de referência.

Sugestões para trabalhos futuros

Como citado anteriormente, a otimização estrutural faz parte de uma gama de

pesquisas recentes, fazendo então com que exista ainda uma grande possibilidade

de estudos a serem feitos sobre o assunto, principalmente nos trabalhos

relacionados à otimização de vigas com abertura na alma.

Assim sendo, algumas extensões desse estudo são listadas a seguir:

- Extensão da análise utilizada como base no processo de otimização para

consideração de não linearidades do material ou geométricas.

- Desenvolvimento de análises comparativas que levem em consideração as

tensões residuais.

- Considerar restrições de frequências naturais de vibração e cargas críticas;

- Estender o estudo para vigas mistas.

- Desenvolvimento de um modelo capaz de simular as condições de contorno

utilizadas na aplicação destas vigas, como a modelagem das chapas de ligação.

- Realizar estudos mais amplos sobre o modelo proposto, de maneira a

possibilitar uma fácil aplicação em projetos estruturais.

117

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