Modelo com Efeitos AleatóriosCE 731 – Econometria II

Prof. Alexandre Gori Maia

Instituto de Economia - UNICAMP

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Ementa

Efeitos aleatórios – One-Way, Two-Way

Pressupostos do modelo com efeitos aleatórios

Teste de Especificação de Hausman

Bibliografia

Wooldridge, J. M. 2001. Econometric analysis of cross section and panel data. Cap. 10.

eTDSENONEDFCO ˆ1,153,1762,866,3212,6789,576,847Renda

Efeitos Fixos - Revisão• Seja o modelo de efeitos fixos para a relação entre as rendas e TDs

regionais:

As variáveis binárias do modelo de efeito fixo

permitem identificar a variação no intercepto de

cada região em relação à região Sul, utilizada

como referência na análise.

• Desvantangem: embora de simples implementação , a inclusão de muitas variáveis binárias no modelo tende a consumir muitos graus de liberdade e comprometer a significância do efeito isolado das variáveis;

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• O modelo de correção de erros, ou efeitos aleatórios, considera que o intercepto seja uma variável aleatória e não uma constante. Em outras palavras, as variações regionais seriam identificadas por oscilações aleatórias (ci) em torno de um valor médio constante (0).

• Para estimar um modelo com efeitos aleatórios pode-se utlizar MQG ou MV.

ititit eTDRenda 10

ititit wTDRenda 10 Onde: itiit ecw

Ou simplesmente:

ititiit eTDβcβnda 10Re

Efeitos Aleatórios - Conceitos• Outra maneira de analisarmos o problema seria considerar que o intercepto

varie aleatoriamente entre as regiões:

O modelo que queremos ajustar é:

Considerando que o intercepto possa variar

aleatoriamente entre as regiões, teríamos:

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itiitit ecX 10Y

ititit wXY 10 onde itiit ec w

Efeitos Aleatórios - DefiniçãoO modelo com efeitos aleatórios pressupõe que os efeitos individuais estejam aleatóriamente distribuídos em torno de uma média 0

constante. Em outras palavras:

Ou simplesmente:

O modelo com efeitos aleatórios também é chamado de modelo de correção de erros, justamente por considerar que o erro composto wit

possa, na verdade, ser desagregado em dois componentes: i) variação entre indivíduos; ii) variação geral entre observações.

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Efeitos Aleatórios - Exemplo

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• Para ajustarmos o modelo de efeitos aleatórios one-way:

ititit wTD 10Renda

• Podemos utilzar 2 procedimentos diferentes:

onde itiit ec w

• PROC MIXED: com o comando RANDOM identificando a variável que representa o efeito aleatório. A opção SOLUTION deve ser especificada para exibição das estimativas dos erros aleatórios individuais:

• PROC PANEL: com a opção RANONEno comando MODEL para ajustar um modelo one-way (efeitos individuais) com efeitos aleatórios:

Efeitos Aleatórios - Exemplo

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• Executando o procedimento PANEL com os comandos ODS GRAPHICS:

Indepedendente da região, um acréscimo de um ponto percentual na taxa de

desemprego representaria uma redução média de 14 reais na renda.

Como pode ser observado pela represntação gráfica, os parâmetros do modelo

não captam mais a variação da renda entre as regiões (independente da taxa de

desemprego). Esta passa a ser representada pelos erros compostos.

Podemos perceber que esses possuem valores

próximos para observações de uma mesma

unidade de corte transversal. Estatisticamente,

isso significa dizer que há correlação entre os

períodos de um mesmo indivíduo ou, em outras

palavras:

)(0),cov( st ww isit

Embora a relação entre os resíduos de um

mesmo período (símbolos semelhantes) não

seja evidente, poderíamos até pressupor que os

erros compostos em função do tempo estejam

correlacionados. Ou seja, poderia também haver

relação entre resíduos compostos de indivíduos

diferentes em um mesmo período de tempo. Em

outra palavras

)(0),cov( ji ww jtit

Covariância dos Erros - Conceito• Ordenando resíduos compostos (wit) do modelo one-way de efeitos

aleatórios segundo unidades de corte transversal e tempo:

• Ordenando agora segundo tempo e unidades de corte transversal:

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itiitit ecX 10Y

ititit wXY 10 onde itiit ec w

Efeitos Aleatórios One-Way - DefiniçãoSeja o modelo com efeitos aleatório one-way dado por:

Ou :

Pelas pressuposições básicas dos erros de um modelo, temos que:

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),0(~ 2

eit Ne ),0(~ 2ci Nc ),0(~ 22

ecit Nw

Embora os erros compostos wit sejam homocedásticos, esse modelo com efeitos aleatórios pressupõe que as observações de uma mesma unidade de corte transversal estejam correlacionadas e que não haja correlação entre observações de unidades distintas. Em outras palavras:

)(0),cov( st ww isit )( 0),cov( jiww jsit

Em virtude da correlação dos erros compostos para períodos de um mesmo indivíduo, o MQO não pode ser aplicado pois estaria obtendo estimativas ineficientes. A solução é utilizar MQG ponderando cada observação às suas respectivas variâncias.

Efeitos Aleatórios Two-Way - DefiniçãoO modelo com efeitos aleatórios pode também considerar que, além das variações aleatórias individuais em torno de uma constante, haja ainda variações aleatórias entre os períodos em torno de uma constante. Em outras palavras, o intercepto poderia ser decomposto em duas variáveis aleatórias, como sugere o modelo:

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itititit eXY 10 ittiitit evuXY 10

ititit wXY 10 ittiit evuw ondeOu

Dadas as pressuposições básicas para os resíduos, teríamos:

Das definições acima temos que os erros compostos wit são, por definição,homocedásticos. Outras pressuposições desse modelo com efeitos aleatóriossão: i) correlação entre observações de um mesmo indivíduo; ii) correlaçãoentre observações de um mesmo período; iii) ausência de correlação entreobservações de indivíduos e períodos distintos Em outras palavras:

),0(~ 2

eit Ne ),0(~ 2

ui Nu ),(N~w evuit2220

)(0),cov( st ww isit )ji( )w,wcov( jsit 0

),(N~v vi20

)ji( )w,wcov( jtit 0

Efeitos Aleatórios Two-Way - Exemplo

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• Para ajustarmos o modelo com efeitos aleatórios two-way:

• Utilizando o procedimento PANEL:

itittiit eTDvc Renda itittiit eTDvc Renda

indivíduo tempo

• Teremos as seguintes estimativas:

Pressupõem-se que as variações entre as regiões

estejam normalmente distribuídas em torno de

uma constante (já que os erros seguem, por

definição, uma distribuição normal), assim como

as variações entre os anos estejam também

normalmente distribuídas em torno de uma

constante .

Também se pressupõe correlação entre os erros

compostos wit tanto entre indivíduos diferentes

de um mesmo período como entre períodos

diferentes de um mesmo indivíduo.

Efeitos Fixos ou Aleatórios?1) Graus de liberdade: O modelo com efeitos fixos é operacionalmente mais simples mas pode consumir muitos graus de liberdade quando há muitas unidades de corte transversal e/ou temporal. Dessa forma, o modelo com efeitos aleatórios seria especialmente atraente nas situações em que haja uma caracterização substancialmente grande das variações de corte transversal e séries temporais. Seus estimadores seriam mais eficientes (menores variabilidades).

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Efeitos Fixos ou Aleatórios?2) Amostra ou população: Ao representar as diferenças entre os indivíduos por um variável aleatória, o modelo com efeitos aleatórios pressupõe que os erros ci (diferenças entre indivíduos) sejam extrações aleatórias (amostra) de uma população maior. Mas nem sempre podemos pressupor que o conjunto de indivíduos de nossa amostra faça parte de um universo maior, como o caso das regiões, onde representam a totalidade de situações.

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Efeitos Fixos ou Aleatórios?3) Variabilidade do regressor: Em situações onde os valores de X de uma unidade de corte transversal variam pouco entre os períodos, os modelos com efeitos fixos produzirão estimativas pouco precisas. Em outras palavras, a baixa variabilidade dos fatores explanatórios gerará elevadas variâncias. Nessas situações, o modelo com efeitos aleatórios seria mais indicado.

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Efeitos Fixos ou Aleatórios?4) Correlação entre erros e regressor: os erros de um modelo não podem ter relação com as variáveis independentes. Assim, em um modelo com efeitos aleatórios, devemos ter:

Essa pressuposição nem sempre é válida em modelo com efeitos aleatórios pois implicaria, por exemplo, que o fato de uma região apresentar uma renda superior à das demais (devido a fatores não presentes no modelo) não teria relação com a sua taxa de desemprego (variável independente). Mas sabemos que normalmente regiões mais desenvolvidas apresentam as maiores rendas e também as maiores taxas de desemprego, por atraírem um maior contingente de migrantes. A mesma pressuposição não é necessária no modelo com efeitos fixos pois não são os erros que determinam as variações das rendas entre as regiões

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0),cCov(X iit

Teste de Especificação - Hausman

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A idéia do teste de Hausman é comparar as estimativas de efeitos aleatórios com as de efeitos fixos. Diferenças significativas entre elas sugerem a inconsistência dos estimadores de efeitos aleatórios. Em outras palavras, sejam os estimadores dos modelos de efeitos fixos (EF) e de efeitos aleatórios (EA):

wXβy EF wXβy EAe

Na ausência de correlação entre os efeitos (individuais ou temporais) e os regressores X, ambos os estimadores βEF e βEA serão consistentes e βEA será relativamente mais eficiente. Como condição para a hipótese nula, o teste de Hausman assume a consistência dos estimadores de efeitos aleatórios. Em outras palavras:

esconsistentsãoH EAβ:0

A estatística utilizada no teste, também chamada de estatística m será dada por:

)()()( 1'

EAEFEAEFEAEFSSm ββββββ

A qual terá uma distribuição 2 com k graus de liberdade, onde k é o número de fatores explanatórios de cada modelo.Rejeitar a hipótese nula significa afirmar que há correlação entre os efeitos e os regressores e, consequentemente, os estimadores do modelo de efeitos aleatórios não serão consistentes. Em outras palavras, deve-se trabalhar com efeitos fixos.

{ausência de correlação entre efeitos e regressores}

Teste de Especificação- Exemplo

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• O teste de Hausman é automaticamente realizado pelo procedimento PANEL quando se utiliza as opções RANONE ou RANTWO:

Se afirmarmos que os estimadores de efeitos aleatórios são inconsistentes,

estaremos sujeitos a um erro de aproximadamente 92%. Em outras palavras,

não se rejeita H0 e as estimativas de efeitos aleatórios podem ser

consideradas consistentes.

Verifique que há apenas um grau de liberadade no teste, equivalente ao

número de regressores (apenas TD) no modelo com efeitos aleatórios.

Exercícios

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1) A partir do arquivo Dados_PainelCO2.xls, contendo um painel com dados sobre as emissões de CO2, PIB, participação do setor de serviços no PIB, pede-se:

a) Ajuste e interprete um modelo One-Way com efeitos aleatórios;

b) Compare os resultados com aqueles obtidos pelo modelo com efeitos fixos;

c) Analise os resultados do teste de endogeneidade;

d) Analise os resultados com um modelo two-way e compare com os do modelo one-way;