cascas

Cascas

Cascas são estruturas que se desenvolvem no espaço e nas quais duasdimensões se sobrepõem à terceira, que é sua espessura, e o carrega-mento é distribuído na superfície.Nas cascas temos duas geometrias: a geometria local, que estuda a su-perfície, e a geometria global, que estuda a forma da casca.As cascas podem ser geradas por rotação ou por translação.

Cascas geradas por rotação

Essa casca é gerada por uma curva que gira em torno de um eixo, que échamado de eixo de rotação.

Cascas geradas por translação

Essa casca é gerada por uma curva que se desloca apoiando-se sobreoutra curva, mantendo-se constante o ângulo entre elas e o ângulo com oplano vertical A curva se desloca mantendo-se paralela a si mesma.

curva que translada

\curva de apoio

282

Por rotação, temos os eferóides, elipsóides, parabolóides, cilindróides econóides entre outros.

círculo elipse

cilindro cone

parábola

Por translação, temos entre outros, os parabolóides elípticos e parabolóideshiperbólicos.

parabol6ideeliptlco

~parábola Z

diretriz Z

diretriz Z

parabol6fdehlperb6lico

)diretriz 1

r'diretrizl

conóide

283

Esforços nas cascas de rotação

Dada a pequena espessura das cascas, a rigidez à flexão pode ser des-prezada e assim temos somente solicitações normais.Consideremos um elemento de casca e façamos o seu equilíbrio.

bê]

Y-

centrode Ry lz

x

"q" e "p" são as cargas por área;q é a carga na área;p é a componente da carga na área segundo a sua normal;Rx e Ry são os raios de curvatura nas direções "x" e "y" res-pectivamente.

r p e b

a

z

284

r p e b

b

z

~a:::>\..a:>

Como os ângulos a e 13são pequenos (menores que 1 rad), podemossimplificar:

sen cx e cx e

sen 13= 13

Também pela definição de ângulo:

aa=- eRx

b13=-Ry

As componentes de Tx.b e Ty.a na direção vertical devem equilibrar acarga normal p a b.

2 T, b W{~}2 T, a "'{ ~ )= p a b

a 13?·T ·b·-+2·T ·Q·-=p·Q·b- x 2 y 2

(/ b2·T -b ·--+2 ·T,·(/ ·_-=p·(/·b

r 2,R ) 2·Rx I'

T TI_x+_, =pR r R)'

Esta é a equação básica da Teoria de Membrana, quando a casca é derevolução, Ela relaciona as cargas por unidade de comprimento T e T ex )'

os raios principais de curvatura R e R .x yPara determinar T e T ,devemos conhecer a priori um dos valores para

x y

depois, da equação básica, tirar o outro,Os apoios das cascas conforme a Teoria de Membrana, devem gerarreações na mesma direção das cascas; assim, o apoio ideal para as cas-cas é o representado a seguir:

285

,/~

R

Exercício:Determine as tensões da casca de 5 em de espessura com vão de 86,60m e raio de 50 m, submetida a uma carga vertical de 2000 N/m2. A cascaé esférica.

~~W ~~~~~~U ,q = 2000 N/m

e = 86.60

a a

- Jsell(x'=~,-2 R

86,60 1sen (X. = --. - =0,8660 :=::}(X. =60°2 50

Chamamos de T e T as cargas por unidade de comprimento segundo om p

meridiano e o paralelo, respectivamente.Fazendo o equilíbrio vertical de toda a carga, temos que o peso total éequilibrado pela reação de borda segundo uma componente vertical. As-sim,temos:

rr4

'ti (I • C] = T .1t./li 'tio' sen 60°

286

\..c::;c-c=>

rão--4 - q =T/II • se n 60°

mas: sen600 = ~'ri(l . .!...

2 R

então: T =q . ...::.. J :=::}T =q.2-R.seIl600.~._J/li 4 sen St)" /li 4 sen St)"

q·RT", =-2-

2000 ·50 =50.000 N/li!T/II = 2

A determinação da carga linear T exige que se determine, no elemento"de casca, a carga p na direção normal a ela no ponto em que temos o

ângulo de análise.

[u~~~~q

A

P~,1f ",

/,,, <p // R~ //. ,,/,

qA<p):

n

A 'I - d 'Ao =--, que e a re açao e areas.cos <p

Fazendo o equilíbrio na direção normal, para determinarmos a carga pnormal à casca.

q . A . c os <p = p . A o

q. A ,cos<pp=

Ao

287

q . A . cos <Pp=

A

cos <P

p = q . cos2<p

Da equação básica, temos:

porém:

T T--..!!!....+-p =pR R

IT =-·q·R

m 2

e p = q . COS2<p

2 IT =R·q ·cos <p--·q·Rp 2 '--f :. 30~

r, =RQ(COS0f )=502000 [( '7]' -f JTp =25.000 N / m c..e =-Ç.O':. -1 Tf""O"~ ~/ ..•..

Vejamos para que valor T pode tomar um sinal diferente. Vejamos o zeropda função T:

p

, IF, = O .'. cos: <p -- =0

2

Icos2<P=2

cOS<P=/f

<P = 45°

As cargas lineares T e T variam de acordo com <p. T é constante em <p.m P m

288

-f •• o~Tm

.... -~----~---------------l---' Iff.r·- Lffi-~v..U'~

: -.{J;.3° ... /\ '~ -------- -C~--- ..." -----------------

i :':.?'---:-7 Ll (f),.-.;r' --- --- --

~:; ->~ •• o, q ; ~~~~

É interessante observar que as tensões no material são extremamente bai-xas. No nosso exercício, imaginemos que a casca tivesse 5 em de espes-sura. Para T = 50000 N/m, temos:

/11

50000 ,(JII/= =/000000 Nlm"oulMPa

/ . 0,05

25000(J p = =500000 Nlm 2 ou 0,5 M Pa

J . 0,05

Vemos que são tensões muito baixas. Um concreto usual resistiria a ten-sões da ordem de 10 MPa.

Exercício:Estruturas infláveis são cascas que só trabalham sob ação de membrana àtração. Determinar as cargas lineares que agem numa estrutura inflávelserni-esférica com raio de 10 m, submetida a uma pressão interna de0,004 MPa.Devemos lembrar inicialmente do Princípio de Pascal, que diz que "numfluido, as pressões em tomo de um ponto se manifestam com igual inten-sidade em qualquer direção".

"f

h

A jP P+--.----.-- '"l".p

P = Yh

289

-ça!l(;a!j

Aplicando a expressão geral:

T T._x +_) =pRt Ry

Temos, por ser uma esfera, R = R = R.x y

A carga, em virtude da pressão interna, já é normal à membrana, peloPrincípio de Pascal.

Tx + T, = p . R

.........@ .J Ly

Fazendo o equilíbrio segundo a direção vertical, temos:

TI"2 . rt . R = p . ti: R2

RTy =P'2 e

RTr=p·R-p·2

RT =P'-2,\

Nota-se que

t, = t;

Numericamente:

0,004 .] OT, = =0,02 MN/m ou T, = 20000 N/m. 2

Convidamos o leitor a mostrar que, na membrana estudada, a força porcomprimento é constante em qualquer ponto.

290

l-ascas

Exercício:Determinar a espessura de uma casca cônica de aço com as característi-cas abaixo. A casca apoia-se num anel circular de seção trapezoidal. Ocarregamento corresponde apenas ao peso próprio.

••:zIIIIIII

jTX:u~

III

"' ...•.. RI •.•••.••.•. A "I tJ .L _

: rIIIII

7m

x

q

-Lfi:

6m

Peso específico do aço: 78500 N 1m 3;

q = peso por área da casca;

P = peso total da casca;

r = x . sen (X

nj3 =--(X2

ri :" j3

291

rR- -- sen 13

sen 13= cos a

rR=--

cos a

R=x·senacos a

R=x·tga

o peso total P é a área lateral da casca, multiplicada pelo peso q porunidade de área.

x

P, = f 2 -rt . r . q . dxo

I

Px =2·n·q ·fx.sena.dxo

?X-P =2·n·q ·sena·-

r 2 .0

2Px =n·q·x -sencx

o peso total P deve ser equili brado por T projetado na direção vertical e.\

multiplicado pelo perímetro.

2. rt. r. Tx. cos a = rt. q. x2. sen a

2 . rt. x . sena. T, . cos a = rt . q. x2. seI! a

T = q ·xr 2. cosa

Para utilizarmos a expressão geral, devemos considerar a cargap normalà casca no ponto de estudo.

292

~a~~a~ -----

vertical

A . p = A . q. sen a

Pela expressão geral:

r, TIR+-' =Px R v

Como R = 00, temos:x

TIR=P

y

Ty=Rv.p

T; = x. tg a. q. sen a

sen c:TI =q ·x·--·sena

, cosa?senr o.

. x·TI =s cosa

Resumindo o resultado, temos:

Tr

q ·x2 . cosa

e

Ambos os valores são de tração.Numericamente:

3tg a = - => a = 23 1986 o7 '

c.r '7 fnt

~I/'~ t::Á..

~

?

TI' = q . x . sen- acosa

293

Assim: sen cx=: 0,3939 ... ecos cx=: 0,9191...

Vamos determinar x para uma casca de 7 m de altura:

x.coscx=7

_ 7x--0,9191 =:7,6161...

Como queremos dimensionar a espessura da chapa de aço, vamos inici-almente admitir uma espessura de 1 mm:

q = 0,001 . 78500 = 78,50 N/m2

T =78,50 ·7,6161 =325,24 N/mr 2 . 0,9191

e

0,39391

TI' =78,50 ·7,6161· =100,93 N/m0,9191

Sabendo-se que a tensão admissível do aços carbono para estruturas éde 150 MPa, vamos verificar se a espessura de 1 mm admitida para opeso próprio é compatível com a resistência da peça. A área necessáriada peça é igual à maior carga linear da ação de membrana dividida pelaárea.

Tr0'=-'A

325,24O' = =325 240 Pa ou 0,325240 . M Pa

1·0,001

0,325240 MPa «< 150 MPa.

Por razões construtivas, não valeria a pena reduzir mais a espessura dachapa. Vemos o quanto é favorável a casca para executar estruturas eco-nômicas. O inconveniente da utilização das cascas é sua execução. Nocaso das cascas de concreto, o custo das fôrmas é caro. As cascas regradasatenuam esse inconveniente, por terem uma fôrma que pode ser feita comtiras retas de madeira.

294

cascas

Exercício:Imaginemos, no exercício anterior, que queiramos encher de água a cascacônica até o anel de apoio. Calculemos as cargas lineares Tx e T, , naaltura do anel.

TX\. : !/Tx: • j~• ' 'x

h\z

i:z+Vamos determinar a reação Tx a uma profundidade "z", a partir do anel de

apOIO.

T 1 ! a, ~1 R : jTx\l__J__J ~_, :~~::~~~~_.!I r.

1 r

\,,,,,,,,,,,,,:0..,,,,,,,

A carga vertical da água Págu

{/ deve ser equilibrada pela componente deTx na mesma direção, ao longo do perímetro.A carga Pá é o peso do volume do cone abaixo da cota "z", somado à

gU{/

carga que fica acima de "z" segundo o cilindro de raio "r", conformemostra a figura acima.

295

1 2 G) 2p. = - .1t . r . h - z .Y . + 1t . r . z .Y .agua 3 agua agua

r, =rt .r2.y. .(~.h-~'z+zJagua agua 3 3

2 (h 2 )- ·r· ·-(r-.zPáglla - 1t Y água 3 t 3

1t ·r2

'Yágua . (h(iJ2.z)Págua = 3

Tç . cos a . 2. 1t. r = Págua

T = Págua

x 2 .1t . r . cos a

1t ·r2

'Yáglla '(hV'z)3

Tx = 2 .1t . r . cos a

T = r .Y água . (hd.J . z)x

6· cosa

Como R = 00, temos:x

T r,_x +_. =p eR1 R,

p = Yágua . Z

T,=R,.p

T)' = Ry. Yágua . Z

Mas: R . cos a = r

Então: rR=--cosa

Logo: T _ r\. - --. cosa'YâgIlO'Z

296

\...CISCClS

Sendo:

Assim:

r = (h - z). tg a.

( h - z ) . tg a . ( hr 2 . z )Tx= 6 rv 'Y6guo. cos"",

e

( h - z ) . tg a . z .Y águaTy = cosa

Numericamente, no ponto em que Z = Oonde é o anel de apoio, temos:

h . tg o.- h h 2 . tg aT1 = " 'Yágllo = 6 'Y6g1l0-cos c. -cos a

T =72

·0,4286 .JOOOO =38.081 N/mx 6 . 0,919 J

T)' =0Poderíamos determinar como variam 1'.. e Ty em função de z:

Logo: e

T = tg a .Yáguo . (( h _ z ) . h +(h - z ) . (+2 . Z ))x/"_

T = tg a .Yáguo . ( h 2 _ h . ;:t 2 . h . ;: .2 . ;: 2 )r "

tg a·y .T águo - 2 J\ (l'"r = 6 . ( 2 z +&. h . z + h 2 ) -~;;,( '~(.l.V lv -2.C tl:l,:-. cosa - r~ ~

tga.·Yáguo .(hz-z2).T)' = cosa

C l-Io') •..l

Cascas de revolução dentro do regime de membrana podem ter lanternim.

1 11 1297

i O;::;C::>Çd::'

o lanternim é considerado como uma carga vertical que descarrega sobrea membrana.Esquema de carregamento:

esquema de carregamento

-c:=::r-i i1 1J "

\/Cascas PlissadasConsegue-se excelentes desempenhos estruturais com cascas plissadas,que são placas dobradas. Elas podem ser das mais variadas formas:

298

a

b

c

Quando a estrutura é simétrica em relação aos ângulos de dobradura eposicionamento, ela não sofre deslocamentos. O comportamento da lajeplissada é identico ao de uma viga contínua apoiada nos vértices das do-bras. Isso é válido para perfis, como os da Fig. 35 (a) e (b), representa-dos acima, não valendo contudo para o (c).

'\

1

iapoio iapoio i299

A viga contínua de largura unitária apóia-se nos vértices. As cargas P" eP, condicionam a estrutura a funcionar no plano do desenho como umaviga poligonal.

)/'

r/r~Py" li

1p

1p

1p

#~ »<: ~~l"1 ~lP1 -, 1"#Temos assim os momentos sobre os apoios e no vão.

a2

Momento no apoio ~ M =p·cosa.·-12

2

Momento no meio do vão ~ M =p.cosa..~24

A componente P,obriga a estrutura a trabalhar como uma viga normal aodesenho.

Pt

i-: t

300