Ondas geradas pelo vento Prof. Cludio Rodrigues Olinto

1. Introduo

A grande maioria das ondas presentes em corpor dgua (lagos, rios, mares e

oceanos) so ondas geradas pelo vento e denominadas ondas de gravidade.

Ondas de gravidade so geradas pela tenso do vento na superfcie da gua sendo

que a gravidade exerce funo restauradora das oscilaes, propiciando a sua

propagao muito alm de sua rea de gerao.

A energia das ondas cresce com o aumento da velocidade do vento, de sua durao e

do fetch (rea de gerao).

Quando em suas reas de gerao as ondas recebem a denominao genrica de

sea ou vagas.

Depois de dispersarem-se e se encontrarem distantes de seu centro de gerao so

denominados swell ou ondulaes.

2. Caractersticas do movimento ondulatrio.

As ondas progressivas, aquelas que se deslocam ao longo da superfcie do oceano,

so peridicas. Considerando grupos de ondas que se repetem em intervalos

regulares, pode-se representa-las conforme a figura:

onde:

h a profundidade da gua;

H a altura da onda, dada pela distncia vertical de uma cava a uma crista;

a a amplitude da onda, que para ondas regulares H/2;

o comprimento de onda distncia entre dois pontos equivalentes de duas ondas;

cava

crista

T o perodo tempo para que um comprimento de onda passe por um ponto de

referncia;

f = 1/T a frequncia da onda.

A velocidade de propagao (celeridade) dada por:

A altura da onda independente dos outros parmetros.

A relao definida como esbeltez da onda.

3. O problema de valor de contorno

A anlise matemtica do problema de propagao de ondas no oceano pode ser feita

como um problema de contorno, onde a equao diferencial de governo a equao

de Laplace, que considera o fluido incompressvel e irrotacional:

Para a soluo matemtica existem cinco teorias. A teoria de Airy ou teoria linear a

mais simples e usa consideraes simplificativas que permitem aplicao somente a

ondas simtricas e com rbitas circulares fechadas.

Para o uso dessa teoria necessrio tambm que:

- a onda tenha uma esbeltez muito pequena ( )

- a profundidade h seja muito maior do que a altura da onda ( ).

A equao que descreve a elevao da superfcie dada por:

onde:

conhecido como nmero de onda;

a frequncia angular.

Resolvendo o problema com as condies de contorno adequadas se encontra como

soluo:

1

Dessa equao, podem-se obter as componentes da velocidade da partcula:

As equaes de u e w descrevem circunferncias de raio a para z = 0 e raio

decrescente quando z < 0.

Para determinada onda, as mximas velocidades horizontais (para frente e para trs)

sero alcanadas para os valores extremos de H = 2a. Ou seja, na crista da onda (+a)

a velocidade ser mxima e para frente, enquanto que, na cava da onda (-a) a

velocidade orbital mxima para trs.

Segundo a teoria linear de ondas, as partculas dgua quando da passagem de uma

onda no apresentam movimento lquido de posio, ou seja, no h transporte de

massa associado ao movimento ondulatrio. Desta forma, a propagao de uma onda

na superfcie do oceano gera um movimento orbital circular das partculas de gua.

1,

As rbitas descritas pelas partculas de gua durante a passagem da onda so de

dimetro varivel e dadas pela equao:

onde

D o dimetro da rbita

H a altura da onda

e a base natural dos logaritmos

z0 a profundidade da gua abaixo do centro da rbita

o comprimento de onda

Essa expresso prediz que o dimetro orbital da partcula na superfcie igual a altura

da onda e diminui a medida que a profundidade aumenta. Essa expresso s vlida

para guas profundas onde a profundidade suficiente para permitir o total

desenvolvimento vertical das rbitas, at sua extino. Caso contrrio, as ondas

passam a sentir o fundo, pois a profundidade torna-se inferior quela necessria para

extino vertical do movimento orbital das partculas.

Por exemplo:

Onda de gua profunda com H = 2 m, = 100 m

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

0 1 2 3

Dimetro

profundidade

Em profundidades menores, ocorre ento a distoro das rbitas que passam a

assumir formas cada vez mais elpticas e assimtricas causando grande efeito junto

ao fundo.

Dessa soluo tambm se pode obter uma importante relao entre as variveis da

onda:

chamada de relao de disperso

substituindo as relaes de k e

A celeridade fica:

Analisando a equao fica clara a dificuldade de aplic-la diretamente pois no se

pode explicitar o .

Analisando o grfico da funo tanh, pode-se obter algumas simplificaes.

1- se (kh) assume valores altos (>3) a funo tanh(x) tende para 1. Esta simplificao

corresponde a condio de definida como guas profundas onde a profundidade h

muito grande em relao ao comprimento de onda .

Essa aproximao conduz a equao:

- que substituindo o valor de g = 9,81, vem:

logo, para guas profundas, possvel calcular o comprimento da onda apenas pelo

seu perodo. Isto muito prtico, pois medir o perodo da onda muito mais fcil (e

possvel) do que medir o comprimento.

A expresso do comprimento de onda indica que pequenos aumentos de T implicam

em grandes aumentos de .

A celeridade para guas profundas resulta:

A expresso da celeridade indica que ondas mais longas propagam-se mais rpido.

Observao: uma tempestade produz ondas com os mais variados perodos, que se

encontram inicialmente desordenadas na superfcie do oceano. As de maior perodo

afastam-se mais rapidamente da zona de gerao. Esse fenmeno produz uma

seleo a partir do centro de gerao, onde as ondas separam-se em grupos

uniformes e cada vez mais regulares. Essas ondas bem selecionadas e de espectro

de frequncia uniforme so conhecidas por ondulaes ou swell.

J as ondas que se encontram em grupos irregulares e de espectro de frequncia

muito amplo so chamadas de vagas ou sea. Essas ondas, normalmente no se

afastaram do centro de gerao suficientemente para permitir a seleo.

O conceito de guas profundas foi usado, para quando kh > 3. Substituindo esse valor,

usando kh = , o argumento da tanh fica:

isso significa dizer, que as equaes para gua profunda seriam vlidas a partir de:

Esse normalmente a relao usada para definir guas profundas.

2- Analisando o outro extremo da aproximao, quando kh torna-se pequeno.

Para valores pequenos de kh, a tanh(kh) se aproxima do prprio valor de kh (ver

grfico de tanh).

Substituindo na equao da disperso para comprimento de onda:

simplificando

A celeridade fica:

Essa aproximao chamada de condio de gua rasa e aceita para relao

(isso equivale a kh< /10 = 0,314)

Por essa aproximao, pode-se concluir que a velocidade de propagao da onda em

guas rasas depende apenas da profundidade.

Assim, resumindo:

parmetro guas profundas guas intermedirias guas rasas

Aplicao

h > /2

/2 > h > /20

h < /20

(x,z,t)

C

3. Energia das ondas de gravidade

Embora no haja movimento lquido d

e gua quando uma onda passa no oceano, ocorre transferncias de energia atravs

da superfcie do mesmo. O deslocamento provocado pela onda na superfcie da gua

em relao ao nvel mdio fornece oscilao energia potencial, ao mesmo tempo

que o movimento orbital das partculas da gua fornece-lhe energia cintica. Assim, a

energia total de uma onda dada pelo somatrio da energia cintica com a potencial:

Integrando a Equao de Bernoulli sobre o comprimento de uma onda e sua

profundidade, resulta :

O fluxo de energia, ou potncia da onda, ou seja, a taxa na qual a energia da onda

transferida na direo de propagao de um trem de ondas dado por:

onde Cg a velocidade de grupo

sendo C, a celeridade da onda

A velocidade de grupo Cg (velocidade de grupo) a velocidade com que o trem de

ondas se propaga no oceano, ou, em outras palavras, a velocidade com que a

energia transferida.

Em guas profundas, kh grande, logo senh(2kh) tende a infinito, e a equao da Cg,

resulta que:

Isso significa dizer que as ondas individualmente propagam-se com velocidade duas

vezes maior do que a taxa de transmisso de energia.

Isso pode realmente ocorre, pois medida que um trem de ondas avana, algumas

ondas progridem mais rpido que outras e logo se extinguem. Para compensar, outras

ondas se desenvolvem no trem conservando a energia total do sistema.

Em guas rasas, kh pequeno e o senh(2kh) tende a 1, resultando que:

Como o fluxo de energia se conserva, e em guas rasas, a velocidade das ondas

decresce com a diminuio da profundidade, o termo de energia deve aumentar. Isso

ocorre com o aumento da altura H da onda, prximo a praia antes da onda quebrar.

Para analisar o fenmeno de embancamento (ou shoaling) que a onda sofre ao

percorrer zonas com menor profundidade usada a teoria de Stokes (que permite

analisar assimetrias em ralao ao nvel mdio da gua e rbitas abertas)

O critrio de Stokes baseia-se no fato de que em uma onda estvel a velocidade das

partculas da gua na crista igual a celeridade. Caso a velocidade da crista exceda a

velocidade de propagao da onda, ento est tombara para frente e a onda quebrar.

Para guas profundas, segundo Michell (1983) a esbeltez mxima para que no

ocorra a quebra :

Em guas rasas e intermedirias, a esbeltez limitante :

Especificamente para guas rasas tanh(kh) = (kh), assim:

Usando a teoria da Onda Solitria, que considera uma onda progressiva como um

nica crista, McCowan (1894) demonstrou teoricamente que existe um valor mximo

para a ralao entre altura da onda e profundidade, atravs da qual a onda quebra:

Outros estudos experimentais demonstraram relao entre fundos ngremes e o valor

de b:

declividade de 1,3 - b = 1,2

declividade de 3,7 - b = 2,8

A propagao das ondas desde sua zona de gerao ocorre com alguma atenuao

no transporte de energia. Os fenmenos responsveis por essa atenuao so:

- viscosidade interna;

- espalhamento angular a medida que deixam a rea de gerao;

- ventos em direo contrria direo de propagao das ondas;

- interao onda-onda.

O decaimento da altura da onda devido frico interna pode ser calculado como:

4. Medio e anlise de ondas

As ondas produzidas no oceano por ao de ventos so geradas com um amplo

espectro de ondas e no como um trem de ondas com perodos e alturas fixas. A

adio de trens de ondas simples resulta em um padro irregular, de alturas varivel e

aparentemente nenhuma periodicidade.

A anlise do clima de ondas de uma determinada regio feita pela aquisio de

dados medidos em campo de altura e perodo de ondas.

O resultado um registro muito complexo. Usando ferramentas de anlise espectral

pode-se obter as ondas que o produziram.

muito comum se trabalhar com a altura de onda significativa. Esse termo,

normalmente representado por H1/3, definido com a mdia de um tero (1/3) das

ondas mais altas medidas durante um intervalo de tempo, em geram 20 minutos.

Da mesma forma, existe o perodo de onda significativo, definido como a mdia

dos perodos de 1/3 das ondas mais altas encontradas.

Usando esses conceitos, pode-se calcular o fluxo de energia (P) a partir de dados

experimentais, usando o espectro da onda.

onde

S(f) o espectro de frequncia do estado de mar medido.

Para um espectro de energia tpico, pode ser obtidos a altura de onda significativa Hs

e perodo de pico de energia do espectro Tp.

Para esse caso o fluxo de energia pode ser calculado, conforme Eloi (2010) a partir da

equao:

(kW/m)