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Conceitos basicos em FinancasCarteiras de Variancia Mınima

O que fizemosResultadosDiscussao

Carteiras de Variancia Mınima no Brasil

Alexandre Rubesam e Andre L. Beltrame

Itau-Unibanco

Abril de 2012

Alexandre Rubesam e Andre L. Beltrame Carteiras de Variancia Mınima no Brasil



Agenda

1 Conceitos basicos em Financas

2 Carteiras de Variancia Mınima

3 O que fizemos

4 Resultados

5 Discussao




Selecao de carteiras de investimento

Suponha N ativos de risco, com retornos mediosµ = (µ1, · · · , µN )′ e matriz de variancia Σ

Uma carteira de investimento consiste em um vetor dealocacoes w = (w1, · · · ,wN )T , tal que o retorno medio evariancia da carteira sao µP = w′µ e σ2

P = w′Σw

Considere o problema de encontrar a carteira de acoes como menor risco, para um dado nıvel de retorno esperado µPfixado (problema de Markowitz [6]). Este problema podeser expresso matematicamente como :

minw

w′Σw

sujeito a µP = w′µ

1 = w′1





A solucao do problema de Markowitz para varios nıveis deretorno esperado gera a chamada Fronteira Eficiente, quecontem as carteiras com menor risco para um dado nıvel deretorno ou, equivalentemente, as carteiras com maior retornopara um dado nıvel de risco.





A inclusao de um ativo livre de risco (eg: tıtulos do governo),com volatilidade 0 e retorno esperado rf , leva a uma novafronteira eficiente, a qual e uma reta com equacao

rp = rf + σPrm − rfσm




CAPM

Usando argumentos de equilıbrio (ou manipulando a solucaoanalıtica do problema de Markowitz), podemos derivar tambema equacao do modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model):

ri = rf + βi(rm − rf ),

onde βi = Cov(ri ,rm )σ2m

e o beta de mercado do ativo i .




Risco e retorno em Financas

Sumarizando:

Teoria de selecao de carteiras leva a uma relacao linearpositiva entre risco (volatilidade)e retorno:

rp = rf + σPrm − rfσm

CAPM leva a uma relacao linear positiva entre risco (beta)e retorno:

ri = rf + βi(rm − rf )




Otimizacao de carteiras na pratica

Na pratica, µ e Σ sao desconhecidos e precisam ser estimados apartir de uma amostra de series temporais dos precos dos ativos.

A estimacao da matriz de covariancia e relativamente simples.Ate mesmo o estimador amostral padrao pode ser utilizado

No entanto, o erro cometido ao estimar o vetor de medias, µ,pela media historica na amostra, e muito grande ...

Caso nao esteja disponıvel um metodo mais sofisticado (egmodelos multifatorias) para estimar µ, so e possıvel determinaruma carteira na fronteira eficiente: a carteira de varianciamınima global (CVM)

Empiricamente, verifica-se que esta carteira possui desempenhosuperior ao de outras carteiras na fronteira eficiente, superandofacilmente benchmarks de mercado.




Motivacao

Um exercıcio simples de formacao de carteiras para avaliar possıvelrelacao risco-retorno:

Formar carteiras baseadas em risco realizado, e averiguar seudesempenho no futuro (fora da amostra)

‘Risco’ e definido como risco total (volatilidade realizada) ourisco sistematico (β)




Motivacao




Carteiras de Variancia Mınima

Superioridade da CVM amplamente documentada emmercados desenvolvidos:

Jorion(1985, 1992) [4, 5]Jagannathan e Ma (2003) [3]Clark, De Silva e Thorley (2006) [7]Blitz e van Vliett (2007) [1]Falken (2009) [2]...e muitos outros.

No Brasil, apenas um trabalho, com evidenciarelativamente fraca:

Thome e Leal(2010) [8] - investigam CVMs formadas comacoes do IBOVESPA - concluem que CVM superaIBOVESPA, mas nao uma carteira igualmente ponderadadas acoes





Nosso trabalho:

Avaliar o desempenho fora-da-amostra de CVMs formadascom todas acoes disponıveis que atendem a criterios devolume e liquidez

Comparacoes com:

Carteira que maximiza a razao de Sharpe (CRS)Carteira que maximiza a media geometrica dos retornos(CMG)Carteira igualmente ponderada (CIP)

Indice IBOVESPACDI

Avaliacao de carteiras otimizadas com possibilidade dealavancagem 130/30





Carteira de variancia mınima (CVM)

minw

w′Σw

Carteira que maximiza a razao de Sharpe (CRS)

maxw

w′µ

w′Σw

Carteira que maximiza o retorno geometrico (CMG)

maxw

(log (1 + w′µ) − w′Σw

2(1 + w′µ)2

)Carteira igualmente ponderada (CIP)

wi =1

N





Procedimento de simulacao (backtest)

No inıcio de cada mes, determinar quais acoes passam nosfiltros:

Pelo menos 3 anos de historicoVolume mediano positivoPelo menos 75% dos dias com retornos nao nulos

Calcular medias e matriz de covariancia usando ultimos 3anos de historico

Otimizar carteiras (fixar pesos para o proximo mes)

Calcular retornos, giro, custos etc




Resultados

Principais conclusoes:

CVMs superam todos as demais carteiras, obtendo retornos mais altos e risco menor

CVMs 130/30 apresentam ganhos modestos em relacao a versao long-only

CVMs concentram investimentos em um numero relativamente pequeno de acoes combetas baixos

CVMs sao uma alternativa de investimento interessante, facilmente replicavel ate porinvestidores individuais

Otimizacao com medias de retorno historicas nao funcionam bem fora da amostra,conforme esperado

A carteira igualmente ponderada apresenta resultados razoaveis, porem bem inferioresaos da CVM

Resultados sao robustos ao numero de acoes e alocacoes maximas permitidas




Resultados

Desempenho das carteiras ao longo do tempo




Resultados

Estatısticas de desempenho das carteiras




Resultados

Estatısticas de desempenho das carteiras 130/30




Resultados

Numero de acoes e alocacao media na CVM




ResultadosGrafico de dispersao dos βs das acoes vs alocacoes na CVM (meados 2011)




Resultados

Value-at-Risk da CVM e do IBOVESPA




Discussao

Por que a CVM apresentam resultados tao superiores?

Falta de associacao entre risco e retorno

Crıtica ao CAPM (acoes com βs baixos apresentam retornosrelativamente altos) - eg Black, Jensen e Scholes (1972), Fama eFrench (1992)

Vieses comportamentais - eg visao de ativos de alto risco comopotenciais de enriquecimento ou ‘bilhetes de loteria’ - tornariaestes ativos muito caros (‘wish I had bought Microsoft in the80s’)

Investidores institucionais tem restricoes de mandato para seguirbenchmark, o que limita arbitragem

Falken (2009) propoe uma teoria radical - se os investidores so sepreocupam com dispersao em torno de um banchmark, naoexistiria premio de risco




Discussao

Implicacoes

Crıtica ao modelo de benchmarking de investimento a ındices

Um ındice de variancia mınima parece mais relevante

Estrategia de investimento facilmente replicavel ate porinvestidores individuais

Importancia para fundos de pensao!

Obrigado!




ReferenciasD. Blitz and P. V. Vliet.

The volatility effect.Journal of Portfolio Management, (7), 2007.

E. G Falkenstein.

Return in general: Theory and evidence.Technical report, 2009.

R. Jagannathan and T. Ma.

Risk reduction in large portfolios: Why imposing the wrong constraints helps.Journal of Finance, (58), 2003.

P. Jorion.

International portfolio diversification with estimation risk.Journal of Business, (58), 1985.

P. Jorion.

Bayesian and capm estimators of the means: Implications for portfolio selection.Journal of Banking & Finance, (58), 1991.

Harry Markowitz.

Portfolio selection.The Journal of Finance, 1(7), 1952.

H. De Silva R. Clark and S. Thorley.

Minimum-variance portfolios in the us equity market.Journal of Portfolio Management, 2006.

C. N. Thome and R. P. C. Leal.

Um ındice de mınima variancia de acoes brasileiras.Relatorios COPPEAD 396, COPPEAD, 2010.


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