caracterizaÇÃo preliminar do ruÍdo estrutural …

CARACTERIZAÇÃO PRELIMINAR DO RUÍDO ESTRUTURAL

TRANSMITIDO POR REDES PREDIAIS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA

ALEXANDRA SOFIA GONÇALVES DA SILVA

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em,

ENGENHARIA CIVIL

JÚRI:

Presidente: Prof. Augusto Martins Gomes

Orientador: Prof. Albano Luís Rebelo da Silva das Neves e Sousa

Vogais: Prof. Luís Manuel Coelho Guerreiro

MARÇO DE 2010

i

Aos meus pais

iii

AGRADECIMENTOS

Esta tese resultou de um trabalho constante, munido de empenho e motivação. Durante o

seu desenvolvimento houve diversas pessoas que contribuíram e às quais gostaria de

deixar o meu agradecimento:

Ao meu coordenador Professor Albano Neves e Sousa, por todo o apoio e incentivo

demonstrado ao longo da tese, por uma partilha constante do conhecimento sobre o tema,

bem como por toda a sua disponibilidade na análise de resultados e na revisão do texto.

A todos os autores e investigadores que através do seu trabalho contribuíram para o

desenvolvimento do tema, bem como a realização deste trabalho.

A todos os amigos que fiz ao longo do meu percurso, pelo apoio, disponibilidade e amizade

que desde sempre revelaram, entre eles a Vera Alexandra e a “Baiia”.

Agradeço também ao Ricardo Lory e ao Miguel Moitinho, por todo o seu apoio e

disponibilidade que ambos revelaram, em todos os momentos deste trabalho.

À Inês Amendoeira, por todos os bons momentos de lazer que passámos juntas, por me

ouvir sempre com muita atenção e retribuir com os seus conselhos, seu riso e simpatia.

Ao Jorge que me apoiou e incentivou a não desistir daquilo em que acredito.

A toda minha família, especialmente aos meus pais, que sempre me incentivaram e

aconselharam de modo atingir os meus objectivos, bem como por todos os ensinamentos, a

atenção, o amor e compreensão que sempre me deram.

v

RESUMO

Uma das fontes sonoras usualmente identificadas em edifícios de habitação é o impacto do anel de

esgoto em desvios ou terminações de tubos de queda de águas residuais ou o impacto de jactos de

água em banheiras. O ruído do escoamento em pressão em canalização de abastecimento de água,

associado a problemas de cavitação, é referido com menos frequência, existindo também algumas

referências a ruído provocado por variações significativas de pressão organizadas pela oclusão de

torneiras ou outro tipo de válvulas. Nesta dissertação é efectuada uma primeira abordagem para a

caracterização deste tipo de ruído, sendo utilizados métodos analíticos de análise modal e numéricos

de elementos finitos para a modelação da resposta dinâmica de tubos à vista e embebidos em

paredes numa primeira fase, e para a modelação do ruído provocado em compartimentos adjacentes,

numa segunda fase.

Finalmente, é considerado um caso de estudo baseado em registos de variação de pressão medida

no interior de tubos de abastecimento de água fria e quente a lavatórios e banheiras durante a

manobra de abertura e fecho das respectivas torneiras.

PALAVRAS-CHAVE

Campos de vibração; Campos sonoros; Transmissão sonora por impacto; Redes prediais; Modelos de

previsão; Baixas frequências

vii

ABSTRACT

One of the sound sources usually identified in residential buildings is the impact of sewage in turns or

endings of buildings drainage pipes or the impact of water jets into baths. The noise of pressure flow

for water supply, associated with cavitation problems, is pointed out less frequently. There are also

cases where noise due to significant pressure variation caused by fast valve occlusion is pointed out.

In this thesis, a first approach to the characterisation of this type of noise is made, using analytical

methods of modal analysis and numerical finite element methods for modelling the dynamic response

of external and internal pipes, in the first stage, and the corresponding noise generated in adjacent

rooms, in second stage.

Finally, a case study is considered based in records of pressure variation measured inside pipes for

hot and cold water supply to baths and sinks when the respective taps are closed.

KEYWORDS

Vibration fields; Sound fields; Impact sound transmission; networks of water supply; Prediction

models; Low frequency

ix

ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS.............................................................................................................III

RESUMO ............................................................................................................................... V

PALAVRAS-CHAVE.............................................................................................................. V

ABSTRACT ......................................................................................................................... VII

KEYWORDS........................................................................................................................ VII

ÍNDICE GERAL .................................................................................................................... IX

ABREVIATURAS ............................................................................................................... XIII

GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS..............................................................................................XV

1. INTRODUÇÃO................................................................................................................1

1.1. MOTIVAÇÃO ..............................................................................................................1

1.2. OBJECTIVOS .............................................................................................................1

1.3. ESTRUTURA DE DISSERTAÇÃO....................................................................................2

2. RUÍDO GERADO POR SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA NOS EDIFICIOS DE HABITAÇÃO ....................................................................................................................3

2.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................3

2.2. CAUSAS DO RUÍDO ....................................................................................................3

2.3. SOLUÇÕES DISPONIVEIS PARA A REDUÇÃO DO RUÍDO ..................................................4

2.4. CONCLUSÕES ...........................................................................................................7

3. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE LAJES..........................................................................9

3.1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................9

3.2. MÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOS...........................................................................9

3.3. EQUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACAS.............................................................10

3.4. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE

APOIADA .............................................................................................................................12

3.4.1. Construção do modelo................................................................................................12 3.4.2. Implementação do modelo .........................................................................................16

x

3.5. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE

APOIADA .............................................................................................................................17

3.5.1. Modelação numérica sem consideração do efeito do amortecimento ........................19 3.5.2. Modelação numérica considerando o efeito do amortecimento..................................21

3.6. CONCLUSÕES .........................................................................................................24

4. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE TROÇOS RECTILÍNEOS DE TUBO ..........................25

4.1. INTRODUÇÃO ..........................................................................................................25

4.2. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UM TUBO RECTILÍNEO SIMPLESMENTE

APOIADO.............................................................................................................................25

4.2.1. Introdução...................................................................................................................25 4.2.2. Análise Modal e validação do modelo do tubo ...........................................................26 4.2.3. Validação da acção dinâmica .....................................................................................30 4.2.4. Análise de modos locais de vibração..........................................................................34

4.3. CONCLUSÕES .........................................................................................................38

5. MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA CANALIZAÇÃO / PAREDE ....39

5.1. INTRODUÇÃO ..........................................................................................................39

5.2. DESENVOLVIMENTO DO MODELO ..............................................................................39

5.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS ......................................................................................41

5.4. CONCLUSÕES .........................................................................................................42

6. MODELO DO CAMPO SONORO .................................................................................43

6.1. INTRODUÇÃO ..........................................................................................................43

6.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS – CAMPO SONORO ...........................................................43

6.2.1. Equação da onda sonora no ar ..................................................................................43 6.2.2. Solução da equação homogénea da onda sonora .....................................................45

6.3. FUNDAMENTOS TEORICOS – ACOPLAMENTO ENTRE CAMPO DE VIBRAÇÃO E CAMPO

SONORO .............................................................................................................................46

6.4. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO ..................................................................51

6.5. CASO DE ESTUDO....................................................................................................52

6.6. CONCLUSÕES .........................................................................................................57

7. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ................................................................59

xi

7.1. CONCLUSÕES .........................................................................................................59

7.2. TRABALHOS FUTUROS .............................................................................................60

8. REFERÊNCIAS ............................................................................................................61

NORMAS..............................................................................................................................62

ANEXOS..................................................................................................................................I

A1 – MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DE UMA PLACA ............................................III

A2 – DADOS INPUT NA MODELAÇÃO NUMÉRICA DA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA ............................................................................................... VII

A3 – DIMENSÕES DO TIJOLO DE ACORDO COM O EUROCÓDIGO 6 ........................... IX

A4 – ACOPLAMENTO ENTRE O CAMPO SONORO DE UM COMPARTIMENTO E CAMPO DE VIBRAÇÃO DE UMA PLACA .......................................................................... XI

xiii

ABREVIATURAS

FFT – Fast Fourier Transform

MEF – Método dos elementos finitos

PVC – Cloreto de polivinila

xv

GLOSSÁRIO DE SÍMBOLOS

A – área de actuação da mola (m2);

B’ – rigidez de flexão em placas (Nm2/m);

B’ – rigidez de flexão na forma complexa em placas (Nm2/m);

B0 – módulo adiabático de volume (Pa);

Cmn – factor de acoplamento estrutura - fluido;

D – módulo de elasticidade do material (N/m2);

D – módulo de elasticidade em forma complexa do material (N/m2);

I’ – momento de inércia em placas (m4/m);

E – módulo de elasticidade (N/m2);

Eeq – módulo de elasticidade equivalente (N/m2);

F – força (N);

G – módulo de distorção (N/m2);

I – momento de inércia (m4);

I’ – momento de inércia em placas (m4/m);

Ieq – momento de inércia equivalente numa placa homogénea (m4);

L – espessura da parede (m);

Le – comprimento dos elementos finitos da malha (m);

Lp – nível de pressão sonora (dB);

M – momento (Nm);

M’ – momento por unidade de área (Nm/m2);

N – número de modos do sistema de vibração;

NF – número de forças aplicadas numa placa;

P – pressão instantânea (Pa); sobrepressão;

Patm – pressão atmosférica 1.013 105 Pa do nível do mar;

P0 – pressão estática total (Pa);

Q – esforço transverso por unidade de comprimento (N/m);

Re – Número de Reynolds;

xvi

S – área de todas as superfícies envolventes do compartimento (m2);

Si – área da superfície de um elemento do compartimento (m2);

T – período (s);

Tp – período do passo;

TR – tempo de reverberação (s);

V – volume (m3);

Va – volume aparente (m3);

V – volume real (m3);

a – dimensão segundo o eixo x (m); também utilizado como aceleração (m/s2);

b – dimensão segundo o eixo y (m);

c – dimensão segundo o eixo z (m);

c0 – velocidade de propagação sonora no ar (m/s);

d – diâmetro da tubagem (m);

f – frequência (Hz);

fx – frequência do modo global de vibração cuja deformação se desenvolve ao longo do eixo x (Hz);

fy – frequência do modo global de vibração cuja deformação se desenvolve ao longo do eixo y (Hz);

fz – frequência do modo global de vibração cuja deformação se desenvolve ao longo do eixo z (Hz);

flocal – frequência do modo local de vibração (Hz);

g – aceleração gravítica 9.8 m/s2;

h – espessura da placa (m);

j – constante = -1;

k – número de onda (rad/m);

kp – factor de impacto dinâmico

l – comprimento da tubagem (m);

m – massa placa (kg);

m’’ – massa por unidade de área numa placa (kg/m2);

p – pressão sonora (Pa);

s – condensação volúmica do ar;

xvii

t – tempo (s); tempo da aceleração brusca na tubagem;

v – velocidade (m/s);

– variação;

f – Intervalo mais pequeno de frequência (Hz);

G – coeficientes de amplitudes das componentes harmónicas da força dinâmica;

t – Intervalo mais pequeno de tempo (s);

– velocidade potencial (m/s);

– operador de soma;

– coeficiente de absorção sonora média das superfícies do compartimento;

1 – coeficiente de absorção sonora das superfícies do compartimento; também utilizado como

coeficiente de amplitude da componente harmónica;

– curvatura por flexão (m-1);

– coeficiente de absorção temporal (s-1); também utilizado como símbolo de Kronecker;

– deformação; também utilizado como coeficiente de amortecimento;

– factor de perdas;

– comprimento de onda (m) também utilizado como tensor das tensões principais;

B – máximo comprimento de onda por flexão numa placa (m);

lmn – funções forma do campo sonoro de compartimentos;

m1n1 – funções forma do campo de vibração de placas;

– deslocamentos ocorrem paralelamente ao eixo x (m); viscosidade dinâmica (kg/m.s)

– coeficiente de Poisson;

– constante = 3.141592654…;

– massa volúmica (kg/m3);

a – massa volúmica aparente (kg/m3);

0 – densidade estática do ar (kg/m3);

σ – tensão (N/m2);

ij – tensor das tensões faciais num elemento sólido (N/m2);

– parâmetro de viscosidade (s); viscosidade cinética (m2/s)

xviii

– velocidade angular (rad/s);

lmn – frequências próprias do campo sonoro de compartimentos (rad/s);

lmn – frequências próprias na forma complexa do campo sonoro de compartimentos (rad/s);

m1n1 – frequências próprias do campo de vibração de placas (rad/s);

m1n1 – frequências próprias na forma complexa do campo de vibração de placas (rad/s);

– deslocamentos ocorrem paralelamente ao eixo y (m);

– deslocamentos ocorrem paralelamente ao eixo z (m);

– razão dos calores específicos do ar;

– diferencial infinitesimal;

– operador Laplaciano;

2 – operador Laplaciano tridimensional;

– operador de integral;

Capítulo 1 – Introdução 1

1. INTRODUÇÃO

1.1. MOTIVAÇÃO

O intervalo de frequências audíveis estende-se, para uma pessoa jovem e saudável, dos 20 aos

20000 Hz [1], designando-se por baixas frequências o intervalo 20 - 200 Hz e por altas frequências o

intervalo 2000 - 20000 Hz.

A transmissão de ruído de precursão pode ser prevista, em determinadas condições, através dos

métodos normalizados indicados nos pontos 1 e 2 da norma EN 12354 [N.1, N.2]. Essas condições

correspondem à instalação de campos de vibração nos elementos de construção e de campo sonoro

nos compartimentos adjacentes praticamente difuso, o que significa que os volumes dos

compartimentos deverão ser grandes, tipicamente acima dos 50 m3, e que as frequências de análise

deverão ser superiores a 200 Hz.

No entanto, é muito frequente encontrar, em edifícios de habitação destinados à hotelaria,

compartimentos com volumes inferiores a 50 m3. Por outro lado, observa-se também que as acções

de percussão em edifícios apresentam, em geral, conteúdos energéticos importantes abaixo dos

200 Hz [2]. É também neste intervalo de frequências que os elementos de construção e os volumes

de compartimentos apresentam, em geral, as suas frequências naturais de vibração [2]. Assim, torna-

se importante avaliar a transmissão do ruído de percussão originado por diversos tipos de fontes

numa gama de frequências que inclua o intervalo 20-200 Hz.

Uma das fontes naturalmente identificadas nos edifícios de habitação é o impacto do anel de esgoto

nos desvios ou terminações de tubos de queda de águas residuais ou o impacto de jactos de água

em banheiras.

É menos frequente encontrar referências ao ruído de escoamento em pressão em canalizações de

abastecimento de água, o qual está normalmente associado a problemas de cavitação. No entanto, a

oclusão de torneiras ou válvulas pode dar origem a variações significativas de pressão no interior da

canalização, as quais conduzem a vibração das paredes e à consequente geração de ruído [3, 4]. Se,

por um lado é relativamente fácil encontrar na bibliografia especializada recomendações para a

redução do ruído em instalações [3, 4], por outro lado, constata-se que praticamente não existem

referências à caracterização desde tipo de ruído.

1.2. OBJECTIVOS

Perante os factos expostos em 1.1, atribui-se à presente dissertação o objectivo de caracterizar

numericamente o ruído produzido em compartimentos de pequena dimensão por variações bruscas

de pressão em canalizações de abastecimento de água. Para tal, será necessário caracterizar as

2 Capítulo 1 – Introdução

variações de pressão que podem ocorrer em redes deste tipo. Neste caso, optou-se por utilizar

registos obtidos por via experimental por outros autores [5]. Será também necessário caracterizar o

comportamento dinâmico de canalização corrente em redes de abastecimento de água, bem como a

sua interacção com as paredes onde, em geral, estão embebidas. Finalmente, é necessário

caracterizar a interacção entre o campo de vibração das paredes excitadas com o campo sonoro

instalado nos compartimentos adjacentes.

1.3. ESTRUTURA DE DISSERTAÇÃO

No Capítulo 2 é apresentada uma breve descrição de ocorrências de ruído com origem em

instalações prediais de abastecimento de água. São também apontadas algumas formas correntes

para controlo desse tipo de ruído.

A presente dissertação tem por objectivo a caracterização numérica do ruído produzido em

compartimentos de edifícios de habitação por variações de pressão em tubos embebidos em

paredes, o que será efectuado em diferentes passos.

No primeiro passo (Capítulo 3) serão verificadas as condições de modelação dinâmica com base em

elementos finitos de laje. Para tal será construído um modelo numérico de uma laje de betão armado

sujeita à acção de uma força concentrada, o qual será validado por comparação com um modelo

analítico validado experimentalmente por Neves e Sousa [2].

Em seguida será analisado o comportamento do tubo à vista simplesmente apoiado com o objectivo

de validar a modelação de uma variação dinâmica da pressão no interior do tubo. Esta fase será

executada no Capítulo 4.

No Capítulo 5 será desenvolvido um modelo de elementos finitos de um tubo embebido em meio

elástico com o objectivo de caracterizar a resposta dinâmica das paredes do tubo embebido à

variação da pressão no seu interior.

Finalmente, no Capítulo 6, será utilizado um modelo analítico baseado na análise modal, previamente

validado experimentalmente por Neves e Sousa [2], para estimativa da pressão sonora num

compartimento com uma das paredes incluindo um tubo embebido. Será analisado um caso de

estudo baseado em medições da variação de pressão no interior de tubos de abastecimento de água

quente e fria a lavatórios e banheiras devidas à manobra de abertura e fecho de torneiras [5].

.

Capítulo 2 – Análise do ruído gerado por redes de abastecimento de água 3

2. RUÍDO GERADO POR SISTEMAS DE ABASTECIMENTO DE ÁGUA NOS EDIFICIOS DE HABITAÇÃO

2.1. INTRODUÇÃO

No presente capítulo pretende-se analisar as principais causas de perturbação sonora provocadas

por instalações prediais de abastecimento de água, bem como indicar algumas das soluções

disponíveis no mercado para reduzir ou atenuar os efeitos de tais perturbações.

2.2. CAUSAS DO RUÍDO

As instalações prediais de abastecimento de água não deverão produzir ruídos que interfiram com o

conforto dos utentes. Em seguida serão apontadas algumas das causas mais comuns para a

produção do ruído neste tipo de instalações.

O regime de escoamento dum fluido no interior duma tubagem pode processar-se de modo laminar

ou turbulento. A mudança de um escoamento laminar, o qual se processa silenciosamente, para um

escoamento turbulento ocorre para valores do número de Reynolds da ordem dos 2000, o qual se

define por

Re = v d , (2.1)

em que Re é o número de Reynolds, v (m/s) é a velocidade média de escoamento, d (m) é o diâmetro

da tubagem e (m2/s) é a viscosidade cinemática, obtida através da relação

= , (2.2)

em que (kg/m.s) representa a viscosidade dinâmica e (kg/m3) representa a massa especifica do

fluido. No Quadro 2.1 são apresentados alguns dos valores da viscosidade cinemática da água em

função da temperatura.

Quadro 2.1 – Viscosidade cinemática da água [6].

T ( C) 4 10 20 30 50 80 100

(10-6 m2/s) 1,57 1,31 1,01 0,80 0,56 0,37 0,30

A circulação da água a velocidade excessiva e/ou a elevadas pressões constitui uma fonte de

vibrações, as quais se propagam através da água e das tubagens. De modo a evitar este tipo de

4 Capítulo 2 – Análise do ruído gerado por redes de abastecimento de água

perturbações, a velocidade de circulação da água deverá oscilar entre 0,5 m/s e 2 m/s; caso se

pretenda obter elevados níveis de conforto, a velocidade de circulação deverá ficar limitada a 1 m/s.

Relativamente aos níveis de pressão na rede de abastecimento de água, estes devem

preferencialmente variar entre os 150 kPa e 300 kPa [4 e N.3].

Quando a rede alimenta dispositivos de utilização com possibilidade de oclusão (fecho repentino),

como os fluxómetros, ou quando ocorre a interrupção de um elemento de bombagem, e

principalmente se a tubagem de alimentação for de pequeno diâmetro (o que faz aumentar a

velocidade de escoamento da água), poderão ocorrer fenómenos de choque hidráulico (golpe de

aríete), os quais dão origem a ruído. Quando, numa tubagem vertical ocorre um corte do fluxo de

água, esta pára quase instantaneamente, devido ao efeito da força de gravidade, verificando-se

simultaneamente na tubagem horizontal uma interrupção mais gradual do fluxo de água. Esta

redução da velocidade da água na tubagem horizontal vai provocar um retrocesso por efeito do vácuo

criado na tubagem vertical, o que produz um choque da água em retorno com a água que se encontra

na tubagem vertical.

As mudanças bruscas de diâmetro e a existência de singularidades nas redes são duas possíveis

causas para a existência de fenómenos de cavitação e turbulência em sistemas de abastecimento,

com a consequente produção de ruídos. O ar arrastado no interior das tubagens acumula-se nos

pontos altos da rede, provocando, devido à sua compressibilidade, perturbações no escoamento, as

quais, por sua vez, conduzem à produção de ruídos.

Sempre que as tubagens ficam sujeitas a significativos gradientes térmicos, especificamente no caso

de tubagens destinadas a transporte de água quente, ocorrem variações das suas dimensões,

consequentemente um reajustamento no posicionamento das tubagens, o que pode também dar

origem à produção de ruídos.

Por fim, convém referir o funcionamento de instalações elevatórias e/ou sobrepressoras como outra

das possíveis causas de produção de ruídos. Sempre que aquelas entram em funcionamento,

transmitem vibrações quer às canalizações quer ao edifício, gerando ruídos.

Uma vez apresentadas as causas de ruídos gerados ao longo das redes de abastecimento de água,

pretende-se analisar algumas das soluções para redução dos mesmos, disponíveis no mercado

actual.

2.3. SOLUÇÕES DISPONIVEIS PARA A REDUÇÃO DO RUÍDO

Visando impedir os efeitos do golpe de aríete e a consequente produção de ruídos, podem ser

instalados reservatórios de amortecimento nos extremos altos das instalações ou junto dos aparelhos

ou sistemas que lhes possam dar origem, tais como os representados na Figura 2.1.

Capítulo 3 – Modelos de vibração de lajes 5

Figura 2.1 – Câmaras de amortecimento de golpe de aríete [4].

A sobrepressão provocada por um golpe de aríete no interior duma tubagem poderá ser determinada

através da expressão

P = 19,62 v l

g t , (2.3)

em que P (kPa) é a sobrepressão, l (m) é o comprimento da tubagem, g (m/s2) é a aceleração da

gravidade e t (s) é o tempo de aceleração brusca. Na Figura 2.2 são representados dois tipos de

amortecedores disponíveis no mercado bem como alguns exemplos de instalação possíveis.

Figura 2.2 – Exemplos de um amortecedor de golpe aríete e instalações possíveis [7].

Relativamente ao traçado da rede de abastecimento de água, devem ser evitadas sempre que

possível as mudanças de diâmetro e as singularidades, adoptando-se percursos simples e mudanças

graduais de diâmetros.

Quando as tubagens estão sujeitas a fenómenos vibratórios, devem ser tomadas medidas

preventivas de modo a evitar a propagação da vibração ao edifício e, consequentemente, a produção


de ruídos. Este problema pode ser atenuado com recurso à interposição, entre as tubagens e os

acessórios de fixação, entre os acessórios de fixação e o suporte, ou entre as tubagens e os

elementos atravessados por estas, de materiais isolantes com características elásticas de acordo

com o esquema apresentado na Figura 2.3.

Figura 2.3 – Isolamento de canalizações relativamente aos suportes [4].

De forma a contrariar os efeitos provocados nas tubagens, quando as mesmas estão sujeitas a

gradientes térmicos significativos, podem ser inseridas na rede juntas de dilatação como as

representadas na Figura 2.4, cujo espaçamento deve depender dos materiais constituintes das

tubagens.

Figura 2.4 – Inserção de juntas de dilatação [4].

Para atenuar os efeitos provocados pela acumulação de ar nos pontos altos da rede de distribuição

de água, devem ser instaladas redes com pendentes que facilitem a saída de ar através dos

dispositivos de utilização. Nas colunas, quando não for possível a saída de ar por este processo,

deverão instalar-se válvulas de purga, como se ilustra na Figura 2.5.


Figura 2.5 – Instalação de pendentes e purgadores de ar [4].

O ruído provocado pela vibração resultante do funcionamento das instalações elevatórias e/ou

sobrepressoras pode ser atenuado por implantação destas unidades o mais longe possível das zonas

habitadas, recorrendo à interposição de embasamentos isolados e fixações elásticas na sua ligação

aos elementos de suporte e à inserção de juntas elásticas nas conexões entre os elementos de

bombagem e as tubagens de acordo com o ilustrado na Figura 2.6.

Figura 2.6 – Inserção de juntas elástica [4].

2.4. CONCLUSÕES

No presente capítulo foi possível analisar as principais causas das perturbações sonoras provocadas

por instalações prediais de abastecimento de água, bem como algumas formas tendentes de atenuar

ou suprimir os seus efeitos.

Além da legislação disponível, observou-se que existe um número razoável de soluções disponíveis

no mercado com vista à redução dos ruídos provocados por as redes de abastecimento de água.

Contudo, praticamente não existem referências à caracterização desde tipo de ruídos, pelo que se


justifica a realização de um estudo numérico com este objectivo. Este estudo será apresentado nos

capítulos seguintes.


3. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE LAJES

3.1. INTRODUÇÃO

No presente trabalho, optou-se por caracterizar o comportamento dinâmico de canalizações de

abastecimento de água através do método de elementos finitos. Para tal, foi utilizado o programa

SAP 2000 [8]. Com o objectivo de validar o modelo numérico do comportamento dinâmico das

canalizações, construiu-se, numa primeira fase, um modelo numérico de uma laje homogénea sujeita

à acção de uma força dinâmica concentrada.

O campo de vibração obtido com este modelo foi então comparado com o campo de vibração

resultante da aplicação de um modelo analítico baseado no método da análise modal, o qual foi

validado experimentalmente em trabalhos anteriores [2].

3.2. MÉTODOS DE PREVISÃO UTILIZADOS

Os métodos normalizados a utilizar na previsão da transmissão sonora em edifícios são descritos na

norma EN ISO 12354 [N.1 e N.2]. Estes métodos baseiam-se nas teorias clássicas da acústica de

salas e assumem a instalação de campos sonoros difusos, os quais se caracterizam por uma

distribuição uniforme da energia sonora no volume do compartimento e se estabelecem, em geral,

para volumes superiores a 50 m3 e para frequências acima dos 200 Hz. Quando não se verificam

estas condições, o que se observa, por exemplo na região de baixas frequências, os métodos

normalizados não podem ser aplicados, sendo então necessário empregar métodos de previsão

alternativos.

Neste trabalho foram aplicados dois métodos alternativos para o cálculo da resposta dinâmica da

estrutura:

Método analítico – baseado na análise modal. Este método calcula a resposta para cada

modo natural e recorre ao conceito de sobreposição modal para estimar a resposta global, o

que, dependendo do número de modos considerados, pode conduzir a um elevado número

de operações que aumentam o tempo de cálculo. Este método de análise modal obriga à

dedução de um modelo teórico para cada tipo de geometria regular da placa e para cada tipo

de condição de apoio clássica (encastramento, apoio simples ou apoio livre).

Método numérico – baseado no modelo dos elementos finitos. Este método foi aplicado

com o auxílio do programa de cálculo automático, SAP2000 [8], o qual é, entre outros

programas de cálculo disponíveis, também adequado à modelação de campos de vibração de

sistemas estruturais complexos.

Ambos os métodos partem da equação da onda de flexão pura em meio sólido, a qual é válida se o

comprimento das ondas de flexão no elemento estrutural, B (m), for grande relativamente às

10 Capítulo 3 – Modelos de vibração de lajes

dimensões da secção transversal [2]. Para elementos de construção correntes, tais como as lajes de

pavimento ou paredes, as referidas dimensões são limitadas de acordo com a seguinte regra,

B = 6h, onde h (m) é a espessura da laje. O comprimento de onda de flexão em lajes é dado por

B 2,5

f

4 B'm'' ,

(3.1)

onde: B’ (Nm) corresponde à rigidez de flexão do elemento estrutural; m’’ (kg/m2) é a massa por

unidade de área da placa; e f (Hz) é a frequência de análise [9].

Geralmente para baixas frequências (grandes comprimentos de onda) esta limitação não é crítica.

3.3. EQUAÇÃO DE ONDAS DE FLEXÃO EM PLACAS

A equação de movimento é a responsável pela caracterização do comportamento vibratório de uma

laje. Tal equação é apenas influenciada por ondas de flexão, dado que, na análise da transmissão

sonora, estas são as mais importantes [9].

Em seguida, é apresentada a dedução da equação diferencial de movimento de uma laje fina no

plano y-z, com deslocamentos, (m), perpendiculares a este e paralelos ao eixo x, de acordo com o

trabalho anteriormente desenvolvido por Neves e Sousa [2]. Os deslocamento laterais (m) e (m)

ocorrem paralelamente aos eixos y e z, respectivamente.

As vibrações geradas numa dada estrutura por um impacto dão origem a campos de deformação

pequenos, pelo que é possível considerar a hipótese dos pequenos deslocamentos. Em estado plano

de tensão, as extensões segundo x são nulas e os deslocamentos laterais e são desprezáveis.

O campo de deformações é assim dado por y = /y e z = /z , para um determinado campo de

tensões y e z (Nm2) segundo o plano médio da laje na sua configuração indeformada.

Por outro lado, com base na lei de Hooke, o campo de deformações, y e z, relaciona-se com o

campo de tensões, y e z, através do módulo de elasticidade, E, do material constituinte [9 a 11]. Em

estado plano de tensão, a aplicação da lei de Hooke, tendo em conta o efeito de Poisson, conduz a

Eεy = y – z e Eεz = z – y, onde é o coeficiente de Poisson do material. Através das expressões

anteriores e das relações de compatibilidade [12], εy = – xy = – x 2/y2 e εz = – xz = – x 2/z2, em

que y e z , são respectivamente, as curvaturas segundo as direcções y e z, obtêm-se as seguintes

expressões:

y = E

1 – 2 (y + z) = – Ex

1 – 2

2y2 +

2z2 ; (3.2)

z = E

1 – 2 (z + y) = – Ex

1 – 2

2z2 +

2y2 . (3.3)

De acordo com a Figura 3.1, os momentos flectores segundo y e z são dados por:


M'yz = – -h/2

h/2 y xdx = B'

2y2 +

2z2 ; (3.4)

M'zy = -h/2

h/2 z xdx = – B'

2z2 +

2y2 ; (3.5)

onde o sinal negativo corresponde a compressões acima da linha neutra. A rigidez de flexão do

elemento de laje é dada por

B' = E

1 – 2 -h/2

h/2 x

2dx = E

1 – 2 h3

12 = EI'

1 – 2 . (3.6)

Figura 3.1 – Esforços e tensões num elemento de laje [13].

Os momentos torsores podem ser determinados por

M'yy = – M'zz = -h/2

h/2 yz xdx = – 2G

2yz

-h/2

h/2 x

2dx = – B' (1 – ) 2yz , (3.7)

onde G é o modulo de distorção [9 a 11], o qual pode ser obtido por

G = E (1 – )

2( ) 1 – 2

=

E

2( ) 1 +

. (3.8)

Para baixas frequências, os comprimentos de onda de flexão são grandes quando comparados com a

secção transversal dos elementos correntes estruturais dos edifícios [2, 9]. Assim, a energia cinética

utilizada no movimento de rotação é desprezável face à energia cinética utilizada no movimento de

translação transversal. Os esforços transversos podem então ser determinados a partir do equilíbrio

dos momentos do elemento de laje da Figura 3.1.


Estes esforços são dados por:

Qy = M'yz

y + M'zz

z = B' y

2

y2 + 2z2 = B'

y 2 ; (3.9 a)

Qz = – M'yz

z – M'zz

y = B' z

2

y2 + 2z2 = B'

z 2 ; (2.9 b)

onde 2 é o operador Laplaciano.

A relação entre os esforços transversos e o movimento transversal é estabelecida pela segunda lei de

Newton, expressa por

– Qy

y – Qz

z = m'' 2t2 , (3.10)

onde m’’ = h (kg/m2) é a massa por unidade de área da laje de massa volúmica (kg/m3) e

espessura h (m).

Introduzindo as equações (3.9) na equação (3.10), obtém-se

– B' 4 = m'' 2t2 , (3.11)

onde 4 = 2 ( )2 . A equação (3.11) corresponde à equação geral das ondas de flexão em

lajes [9, 13]. Esta equação será utilizada em seguida para o desenvolvimento de uma expressão para

o cálculo do campo de vibrações induzido numa laje por uma força de impacto pontual.

3.4. MODELAÇÃO ANALÍTICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA

SIMPLESMENTE APOIADA

3.4.1. Construção do modelo

A laje mais simples para a análise do efeito dinâmico de um impacto elástico é homogénea de

espessura constante e simplesmente apoiada em todo o seu contorno. Nestas condições, existe uma

solução exacta para a mobilidade pontual da laje, isto é, para a função de transferência entre uma

força de impacto e a velocidade gerada na laje no ponto de aplicação da força [13]. Esta solução

pode ser generalizada para outras condições de apoio.

Para a determinação da velocidade num dado ponto da laje, considera-se que o campo de

deslocamentos, , se desenvolve através de uma função harmónica no tempo, expressa por

(y, z, t) = (y, z) e jt , (3.12)

em que j = – 1 e (rads) é a velocidade angular da onda sonora.


A equação (3.11) da onda de flexão na laje pode ser então escrita na forma

4 (y, z) – k4 (y, z) = 0 , (3.13)

onde k4 = m''2/B' é o número de onda de flexão que caracteriza a periocidade da onda no espaço e

no tempo [9]. A sua forma inicial é k = /c , onde c (m/s) é a velocidade com que um ponto se move

de modo a permanecer na mesma fase do movimento ondulatório.

A solução desta equação diferencial depende apenas da definição dos parâmetros geométricos da

laje, como a espessura, h, as condições de apoio, e as características do material constituinte,

nomeadamente a massa volúmica, , o coeficiente de Poisson, , e o módulo de elasticidade, E.

Aplicando o método de Rayleigh [13], é possível determinar a função de forma da deformada modal

da laje a partir das funções de forma impostas da deformada modal de vigas fictícias, dispostas

segundo as direcções y e z da laje, com largura unitária e condições de apoio idênticas às da laje. A

função de forma da laje é então dada por

m1n1(y, z) = m1(y) n1(z) , (3.14)

onde m1(y) e n1(z) são as funções de forma das vigas fictícias (a tracejado na Figura 3.2).

Numa laje rectangular, de largura b e comprimento c, como a ilustra na Figura 3.2, os deslocamentos

segundo o eixo x terão de ser nulos em todo o seu contorno, assim como os momentos flectores.

Para que as deformadas modais das vigas sejam compatíveis, os deslocamentos m1(y) e n1 (z)

terão de ser nulos nas coordenadas y=0, y=b, z=0, e z=c. Para as mesmas coordenadas, também as

segundas derivadas das funções de forma terão de ser nulas [9, 11, 13 e 14].

Figura 3.2 – Dimensões da laje rectangular homogénea [2].

Uma vez que, as funções m1(y) e n1(z) têm variáveis independentes, a equação (3.11) poderá ser

resolvida, para cada direcção y e z, também de uma forma independente.

Assim, para a direcção y, a equação (3.10) é dada por

– B' 4 yy4 = m''

2 yt2 . (3.15)


A solução geral da equação (3.15), escrita em termos da deformada modal m1(y) da viga fictícia, tem

a forma

m1(y) = C1 sin (Ky) + C2 cos (Ky) + C3 sinh (Ky) + C4 cosh (Ky) , (3.16)

em que K é uma constante. A função n1(z) é determinada de forma análoga.

Ao resolver a equação (3.16) para as condições de fronteira anteriormente referidas, obtêm-se as

funções de forma dos deslocamentos modais da laje,

m1n1(y, z) = A m1n1sin

m1 y

b sin

n1 z

c , (3.17)

onde, para cada par (m1,n1), A m1n1 corresponde a uma constante de integração.

As frequências fundamentais da laje podem então ser determinadas por substituição da equação

(3.17) na equação (3.13), obtendo-se

m1n1 = B'm''

m1

b

2

+

n1

c

2

. (3.18)

A determinação das frequências próprias de um elemento estrutural baseia-se no princípio de

conservação de energia de um sistema a oscilar em regime livre. O regime forçado é imposto pela

introdução de uma parcela p(y, z, t) no lado esquerdo da equação (3.10), a qual corresponde à

aplicação de uma força externa num ponto (y, z) da laje, com direcção perpendicular a esta e

intensidade em função do tempo. A equação (3.11) é então reescrita como

De forma a obter a mobilidade pontual da laje, ou seja, a relação entre a velocidade de vibração num

ponto da laje e a força de impacto aplicada, é conveniente apresentar a equação (3.19) em termos da

velocidade vx (y, z, t). Uma vez que a análise se restringe a funções sinusoidais no tempo, tem-se que

vx = (y, z, t)

t = j (y, z, t) . Assim a equação (3.19) transforma-se em

A solução para a equação (3.20) é dada por

em que m1n1 (y, z) = sin

m1 y

b sin

n1 z

c são as funções de forma que satisfazem as condições

de fronteira de uma laje simplesmente apoiada.

Substituindo as equações (3.18) e (3.21) em (3.20), obtém-se

B' 4 (y, z, t) + m'' 2 (y, z, t)

t2 = p(y, z, t) . (3.19)

B' 4 vx (y, z) – m''2 vx (y, z) = j p(y, z) . (3.20)

vx (y, z) = m1,n1=1

[ ] A m1n1 m1n1 (y, z) . (3.21)


A constante de integração Am1n1 é determinada pela multiplicação de ambos os membros da

equação (3.22) por φm2n2 e posterior integração na área da laje. Tendo em conta a condição de

ortogonalidade dos modos de vibração, obtém-se

onde m1n1 = 0

b

0

c

2

m1n1 (y, z) dy dz . Para uma laje simplesmente apoiada, tem-se m1n1 =

bc4 .

Considerando que a acção externa corresponde a uma força pontual aplicada no ponto (y0, z0) de

amplitude F = p(y, z) dy dz, a função p(y, z) é dada por

onde (y - y0) é a função de Dirac, tal que (y – y0) =

1, se y = y0

0, se y y0 . A função (z - z0) é similar.

Introduzindo as equações (3.24) e (3.23) em (3.21), obtém-se o campo de velocidades gerado por

uma força pontual de intensidade F numa laje homogénea, simplesmente apoiada, sem perdas por

amortecimento

Para forças de intensidade unitária, o campo de velocidade descrito pela equação (3.25) corresponde

à mobilidade pontual da placa [9].

O efeito de amortecimento no sistema pode ser considerado pela adição, às forças elásticas, de

forças viscosas proporcionais à derivada no tempo da deformação [9]. Para variações periódicas da

deformação, o principal efeito de amortecimento é a produção de uma diferença de fase entre

deformação e tensão [9]. Isto pode ser expresso, em notação complexa, pela rigidez complexa

D = D1 + j D2. Se o factor de perdas da placa for definido como = = D2D1

, onde é o parâmetro de

viscosidade do material, então D = D1 (1 + j ). Assim, a rigidez de flexão da placa é dada, em

notação complexa, por

m1,n1=1

[ ] A m1n1 (

2

m1n1 – 2 ) m1n1 (y, z) =

j m'' p(y, z) . (3.22)

A m1n1 = j

m'' 0

b

0

c p(y, z) m1n1 (y, z) dy dz

(2m1n1 – 2

) m1n1 ,

(3.23)

p(y, z) = F (y – y0) ( z – z0) , (3.24)

vx (y, z) = j 4 F

m'' bc

m1,n1=1

m1n1 (y, z) m1n1 (y0 , z0)

(2 m1n1 – 2

) . (3.25)


A introdução da equação (3.26) na equação (3.13) obriga a que as frequências próprias, m1n1,

tenham também de ser expressas em notação complexa, obtendo-se m1n1 = m1n1 1 + j .

Assim, a expressão que descreve a mobilidade de um dado ponto da laje é expressa por

3.4.2. Implementação do modelo

Com o apoio de um programa computacional, os resultados provenientes da expressão (3.27) foram

obtidos com relativa facilidade.

O programa de cálculo divide-se numa fase de leitura de dados, input, e numa fase de tratamento dos

dados, seguindo-se então a fase de apresentação dos resultados obtidos, output.

A fase de tratamento de dados divide-se em duas partes. Na primeira parte são determinados os

modos de vibração da laje, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados numa

matriz com a forma [m, n, lmn x Nlaje]. O parâmetro Nlaje corresponde ao número de modos da laje

considerados, o qual depende da frequência máxima a analisar. Neste estudo são analisadas as

frequências compreendidas entre os 2 Hz e os 512 Hz. Porém, de acordo com a expressão (3.27),

o campo de vibração da laje resulta do somatório das contribuições de cada modo de vibração, sendo

portanto necessário considerar intervalos de frequências mais largos para ter em conta a contribuição

dos modos de frequência própria elevada. Considera-se suficiente admitir uma frequência limite

quatro vezes superior às frequências máximas de análise anteriormente estabelecidas, pelo que a

frequência limite adoptada será: 2048 Hz (4 512 Hz). Na segunda parte da fase de tratamento de

dados procedeu-se à resolução da expressão (3.27), o que implica a soma de Nlaje parcelas, para

cada frequência própria compreendida no intervalo de frequências considerado.

Uma vez que o intervalo de frequências é relativamente pequeno, o método aplicado na definição do

campo de vibração descrito envolve um número também relativamente pequeno de operações,

acabando por se tornar extremamente rápido. O código computacional do programa de cálculo, o

qual foi elaborado por Neves e Sousa [2], é apresentado no Anexo A1.1.

B' = E

1 – 2 h3

12 (1 + j ) = B' (1 + j ) . (3.26)

vx (y, z)F = j

4 m''bc

m1,n1=1

m1n1 (y, z) m1n1 (y0, z0)

2 m1n1 (1 + j ) – 2

. (3.27)


3.5. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UMA LAJE HOMOGÉNEA

SIMPLESMENTE APOIADA

Através da aplicação do método dos elementos finitos (MEF) com o programa SAP2000 [8], foi

elaborado um modelo numérico do campo de vibração de uma laje homogénea, simplesmente

apoiada e sujeita a uma força de impacto pontual unitária. De modo a validar este modelo, foi

utilizado o método descrito pela equação (3.27), o qual foi previamente validado, numérica e

experimentalmente, por Neves e Sousa [2].

Considerou-se uma laje de betão armado simplesmente apoiada de forma rectangular, com uma área

de 5,00 4,00 m2 e uma espessura de 20 cm. Consideraram-se bordos simplesmente apoiados, uma

vez que, de acordo com Neves e Sousa [2], esta condição de apoio é adequada para baixas

frequências. A laje foi modelada com elementos rectangulares de laje fina com dimensões definidas

com base nos critérios expostos em 3.2. A partir da equação (3.1) e atendendo às propriedades do

material constituinte, as quais se descrevem em seguida, verificou-se que os elementos que

constituem a malha podem ter um comprimento máximo de 23 cm. Tendo em conta este resultado, o

rigor dos resultados pretendidos e os limites de aplicabilidade do método numérico, considerou-se

uma malha de elementos quadrados com 20 cm de largura, obtendo-se a laje representada na

Figura 3.3.

Figura 3.3 – Modelo da laje de betão armado com 20 cm de espessura, simplesmente apoiada com

dimensões 5,00 4,00 m2.

Para o betão armado foram adoptadas as seguintes propriedades: massa volúmica = 2390 kg/m3;

módulo de elasticidade E = 30 GPa; e coeficiente de Poisson = 0,2 [15, N.4, N.5]. O factor de

perdas da placa, , pode ser descrito , de acordo com a Norma EN 12354 – 1 [N.1], em função da

frequência, f (Hz), através de

= 0,005 + m''

485 f , (3.28)


relacionando-se com o coeficiente de amortecimento por = 2 .

Como já foi referido anteriormente, o programa SAP2000 [8] permite efectuar a modelação de

campos de vibração de sistemas estruturais através da aplicação do método dos elementos finitos,

possibilitando a extracção das respostas no tempo dos deslocamentos, velocidades e acelerações

nodais. No entanto, pretende-se efectuar a análise dos resultados ao longo da frequência, tornando-

se assim necessário utilizar a Transformada Rápida de Fourier (FFT) [16] exteriormente ao programa.

Apesar de o SAP2000 [8] ser, em princípio, capaz de efectuar a FFT e apresentar os resultados no

domínio da frequência, não foi possível obter resultados satisfatórios por esta via.

Assim, com o objectivo de calcular o espectro da mobilidade pontual da laje, optou-se por calcular a

resposta em velocidade obtida para uma força de impacto pontual de intensidade unitária em todo o

intervalo de frequências considerado. Tal como se ilustra na Figura 3.4, este espectro (horizontal) da

força de excitação foi depois convertido num sinal no tempo (impulso) para introdução no programa

SAP2000 [8], associado a uma força vertical aplicada no ponto 0 de coordenadas (y0, z0) =

(2,4; 2,0) m. As respostas no tempo em termos da velocidade nesse ponto e no ponto 1 de

coordenadas (y1, z1) = (1,6; 1,4) m foram calculadas posteriormente.

Figura 3.4 – Conversão do espectro horizontal da força de excitação no impulso da força introduzida no SAP 2000 [8].

De seguida, repetiu-se o procedimento aplicando-se a força no ponto 1. Por último, foi aplicada a

força no ponto 2 de coordenadas (y2, z2) = (0,8; 0,8) m, sendo calculada a velocidade no mesmo

ponto. A partir das respostas no tempo obtidas com o SAP2000 [8], foram calculadas as mobilidades

respectivas através da aplicação do algoritmo da FFT. Estas tarefas foram executadas para três

frequências de análise máximas: 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz, de acordo com o organograma

ilustrado na Figura 3.5.


- v0/F0 - v1/F1 - v2/F2 - v0/F1

Casos de estudo

SSeemm ccoonnssiiddeerraaççããoo ddoo eeffeeiittoo ddee aammoorrtteecciimmeennttoo

CCoomm eeffeeiittoo ddee aammoorrtteecciimmeennttoo

Caso 0 fmáx = 512 Hz






- v0/F0 - v1/F1 - v2/F2 - v0/F1

- v0/F0 - v1/F1 - v2/F2 - v0/F1

- v0/F0 - v1/F1 - v2/F2 - v0/F1

- v0/F0 - v1/F1 - v2/F2 - v0/F1

- v0/F0 - v1/F1 - v2/F2 - v0/F1

Figura 3.5 – Organograma representativo do estudo desenvolvido ao longo do Capítulo 3.

3.5.1. Modelação numérica sem consideração do efeito do amortecimento

De seguida são representados os resultados obtidos na modelação numérica e analítica da laje

previamente apresentada, sem considerar o efeito do amortecimento. Ao longo do trabalho, optou-se

por representar os modos de vibração excitados pela acção dinâmica através de um pequeno

triangulo a cheio, colocado sobre o eixo da frequência com indicação do respectivo par representativo

do modo, do tipo (m, n). Os modos não excitados serão representados com um pequeno triangulo

vazio. Na Figura 3.6 são representadas as funções de mobilidade no ponto 0,

(x0, y0, z0) = (0,0; 2,4; 2,0) m, obtidas analítica e numericamente até à frequência de 512 Hz, quando

a força é aplicada no mesmo ponto para as três frequências máximas de análise.

1,E-09

1,E-07

1,E-05

1,E-03

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]v0/F0 (MEF - 2048 Hz)v0/F0 (MEF - 1024 Hz)v0/F0 (MEF - 512 Hz)v0/F0 (Eq. 2.27)

(1,1

)

(2,1

)

(3,1

)

(1,3

)

(4,1

)(2

,3)

(3,3

)

(5,1

)

(4,3

)

(5,3

)

(6,1

)

(1,2

)

(2,2

)

(3,2

)

(4,2

)

(1,4

)

(2,4

)

(5,2

)

(3,4

)

Figura 3.6 – Amplitudes da função mobilidade v0/F0 no ponto 0, de coordenadas

(y0, z0) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, sem consideração do efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz.

Na Figura 3.6 verifica-se uma concordância muito boa até aos 225 Hz, entre todas as funções de

mobilidade calculadas com MEF e a mobilidade calculada analiticamente através expressão (3.27).

Daí em diante, apenas a mobilidade calculada com o MEF para 2048 Hz apresenta uma boa


concordância com a mobilidade calculada analiticamente. Verifica-se assim que a concordância entre

as funções de mobilidade obtidas por via numérica e analítica é proporcional ao aumento da

frequência de análise. Nas Figuras 3.7 e 3.8 são apresentadas as funções mobilidade obtidas nos

pontos 1, (y1, z1) = (1,6; 1,4) m, e 2, (y2, z2) = (0,8; 0,8) m, com os métodos numérico e analítico,

quando a força de impacto é aplicada no mesmo ponto, para as três frequências máximas de análise.

1,E-10

1,E-08

1,E-06

1,E-04

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v1/F1 (MEF - 2048 Hz) v1/F1 (MEF - 1024 Hz)

v1/F1 (MEF - 512 Hz) v1/F1 (MEF - Eq. 2.27)

(1,1

)

(2,1

)

(1,2

)

(1,3

)

(4,1

)(2

,3)

(2,2

)

(4,2

)

(5,1

)(1

,4)

(2,4

)

(4,3

)

(5,2

)

(3,4

)

(6,1

)

(5,3

)

(3,1

)

(3,2

)

(3,3

)

Figura 3.7 – Amplitude da função mobilidade v1/F1 no ponto 1, de coordenadas (y1, z1) = (1,6; 1,4) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto sem consideração do

efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz.

1,E-10

1,E-08

1,E-06

1,E-04

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v2/F2 (MEF - 2048 Hz) v2/F2 (MEF - 1024 Hz)v2/F2 (MEF - 512 Hz) v2/F2 (Eq. 2.27)

(1,1

)

(2,1

)

(1,2

)

(1,3

)

(4,1

)(2

,3)

(2,2

)(3

,1)

(3,2

)

(4,2

)(3

,3)

(1,4

)(5

,1)

(2,4

)

(4,3

)

(5,2

)

(3,4

)

(6,1

)

(5,3

)

Figura 3.8 – Amplitude da função mobilidade v2/F2 no ponto 2, de coordenadas (y2, z2) = (0,8; 0,8) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto sem consideração do



Na Figura 3.9 são apresentados os espectros de Fourier da mobilidade obtidos numérica e

analiticamente, no ponto 0 para uma excitação aplicada no ponto 1.

1,E-11

1,E-09

1,E-07

1,E-05

1,E-03

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/F1 (MEF - 2048 Hz) v0/F1 (MEF - 1024 Hz)v0/F1 (MEF - 512 Hz) v0/F1 (Eq. 2.27)

(1,1

)

(2,1

)

(1,3

)

(4,1

)(2

,3)

(3,1

)

(3,3

)

(5,1

)

(4,3

)

(6,1

)

(5,3

)

(1,2

)

(2,2

)

(3,2

)

(4,2

)

(1,4

)

(2,4

)

(5,2

)

(3,4

)

Figura 3.9 – Amplitude da função mobilidade v0/F1 no ponto 0, de coordenadas (y0, z0) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no ponto 1 sem consideração do efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz.

As conclusões extraídas da análise da Figura 3.6, aplicam-se também às Figuras 3.7 a 3.8.

O modelo de elementos finitos da vibração de uma laje excitada dinamicamente por uma força

pontual apresenta uma precisão que depende da máxima frequência de análise considerada na

análise modal e também na aplicação do algoritmo inverso da FFT ao espectro da acção e do

algoritmo directo à resposta da laje. Para análises até aos 225 Hz, será suficiente considerar uma

frequência máxima de 1024 Hz, sendo, no entanto, o erro cometido com uma frequência máxima de

512 Hz ainda aceitável. Para análises até frequências elevadas, tipicamente entre 512 a 1024 Hz,

será necessário considerar uma frequência máxima de 2048 Hz.

3.5.2. Modelação numérica considerando o efeito do amortecimento

A consideração do efeito do amortecimento implica o cálculo prévio do factor de perdas, , da laje de

acordo com a equação (3.28), a qual, por sua vez, se relaciona com o coeficiente de amortecimento

, através de = 2 . Deste modo, foi considerada a descrição em frequência apresentada no anexo

A2.1, a qual foi fornecida ao programa SAP2000 [8].

Na Figura 3.10 são representadas as funções de mobilidade, obtidas analítica e numericamente, no

ponto 0, (y0, z0) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, para as três frequências

máximas de análise.


Nas figuras 3.11 a 3.13 são apresentados os espectros de mobilidade para os casos v1/F1, v2/F2 e

v0/F1.

1,E-08

1,E-06

1,E-04

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/F0 (MEF - 2048 Hz), com amortecimentov0/F0 (MEF - 1024 Hz), com amortecimentov0/F0 (MEF - 512 Hz), com amortecimentov0/F0 ( Eq. 2.27), com amortecimento

(1,1

)

(2,1

)

(3,1

)

(3,2

)

(4,2

)

(5,1

)

(4,3

)

(6,1

)

(2,3

)

(1,2

)

(2,2

)

(1,3

)

(4,2

)

(1,4

)

(2,4

)

(5,2

)

(3,4

)

(5,3

)

Figura 3.10 – Amplitudes da função mobilidade v0/F0 no ponto 0, de coordenadas (y0, z0) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, considerando o


1,E-08

1,E-06

1,E-04

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v1/F1 (MEF - 2048 Hz ), com amortecimentov1/F1 (MEF - 1024 Hz), com amortecimentov1/F1 (MEF - 512 Hz), com amortecimentov1/F1 (Eq. 2.27), com amortecimento

(1,1

)

(2,1

)

(1,2

)

(2,2

)

(4,1

)

(3,2

)

(4,2

)

(5,1

)

(2,4

)

(5,2

)

(3,1

)

(1,3

)

(2,3

)

(3,3

)

(1,4

)

(4,3

)

(3,4

)

(6,1

)

(5,3

)

Figura 3.11 – Amplitude da função mobilidade v1/F1 no ponto 1, de coordenadas (y1, z1) = (1,6; 1,4) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, considerando o



1,E-08

1,E-07

1,E-06

1,E-05

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v2/F2 (MEF - 2048 Hz), com amortecimentov2/F2 (MEF - 1024 Hz), com amortecimentov2/F2 (MEF - 512 Hz), com amortecimentov2/F2 (Eq. 2.27), com amortecimento

(1,1

)

(2,1

)

(1,2

)

(3,2

)

(2,3

)

(2,2

)

(3,3

)

(5,1

)

(4,3

)

(5,2

)

(3,4

)

(3,1

)

(1,3

)

(4,1

)

(4,2

)

(1,4

)

(2,4

)

(6,1

)

(5,3

)

Figura 3.12 – Amplitude da função mobilidade v2/F2 no ponto 2, de coordenadas (y2, z2) = (0,8; 0,8) m, quando a força é aplicada no mesmo ponto, considerando o efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e

2048 Hz.

1,E-08

1,E-06

1,E-04

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/F1 (MEF - 2048 Hz), com amortecimentov0/F1 (MEF - 1024 Hz), com amortecimentov0/F1 (MEF - 512 Hz), com amortecimentov0/F1 (Eq. 2.27), com amortecimento

(1,1

)

(2,1

)

(2,2

)

(2,3

)

(3,2

)

(5,1

)

(1,2

)

(4,1

)

(4,2

)

(2,4

)

(5,2

)

(1,3

)

(3,3

)

(1,4

)

(4,3

)

(3,4

)

(6,1

)

(5,3

)

Figura 3.13 – Amplitude da função mobilidade v0/F1 no ponto 0, de coordenadas

(y0, z0) = (2,4; 2,0) m, quando a força é aplicada no ponto 1, considerando o efeito do amortecimento, para frequências máximas de análise de 512 Hz, 1024 Hz e 2048 Hz.

Todos os resultados confirmam as conclusões obtidas em 2.5.1, o que, de resto, já era esperado. A

presença do amortecimento parece, no entanto, minimizar o erro obtido para frequências máximas de


análise iguais ao dobro da máxima frequência de interesse, como se observa quando se comparam

os espectros da resposta obtidos para frequências máximas de análise de 1024 e 2048 Hz.

3.6. CONCLUSÕES

No presente capítulo foram estimados numericamente através do programa SAP2000 [8] os campo

de vibração de uma laje homogénea rectangular simplesmente apoiada com e sem amortecimento.

Os resultados em causa foram posteriormente comparados, para efeitos de validação, com os obtidos

através de um modelo analítico previamente validado.

Observou-se que a precisão do modelo numérico depende de uma escolha correcta da máxima

frequência de análise e das dimensões dos elementos.

As conclusões e experiência adquiridas na execução deste modelo de laje, o qual é relativamente

simples, podem agora ser aplicadas no desenvolvimento de um modelo, mais complexo, da vibração

de uma canalização excitada não por uma força pontual mas por uma pressão no seu interior.

Capítulo 4 – Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo 25

4. MODELOS DE VIBRAÇÃO DE TROÇOS RECTILÍNEOS DE TUBO

4.1. INTRODUÇÃO

No presente capítulo pretende-se construir e validar um modelo para estimativa da vibração gerada

nas paredes de um tubo por uma variação de pressão no seu interior. Para reduzir o número de

variáveis a controlar, optou-se por considerar uma tubagem à vista e não embebida nas paredes, em

troços rectilíneos com 2,5 m de comprimento, simplesmente apoiados em ambas as extremidades.

Foram ainda considerados dois tipos de material correntemente utilizados na construção,

nomeadamente o aço galvanizado (AG) e o policloreto de vínilo (PVC), constituindo este último

material apenas utilizado em redes de água fria [4], um exemplo de um material termoplástico mais

flexível e, ainda assim, suficientemente rígido para ser utilizado em tubagem à vista.

4.2. MODELAÇÃO NUMÉRICA DA VIBRAÇÃO DE UM TUBO RECTILÍNEO

SIMPLESMENTE APOIADO

4.2.1. Introdução

Uma vez que os diâmetros dos tubos disponíveis no mercado dependem do material utilizado [4],

optou-se, neste trabalho, por adoptar um diâmetro exterior de 30 mm e uma espessura da parede do

tubo de 2,7 mm para ambos os materiais considerados, o que permite simplificar as comparações

entre os modelos.

Foi adoptado um tubo simplesmente apoiado no plano vertical. Numa das extremidades,

representada no corte da Figura 4.1, foram aplicados dois apoios fixos de modo a restringir os

deslocamentos ao longo dos eixos y e x e na outra extremidade foram colocados dois apoios móveis

restringindo apenas os deslocamentos segundo y.

Assim, a única diferença de base entre os modelos reside nas propriedades dos materiais, tais como

o módulo de elasticidade (E), a massa volúmica (), o coeficiente de Poisson () ou o coeficiente de

dilatação térmica (T). Nesta fase não foi considerado o efeito do amortecimento dos materiais. No

Quadro 4.1 são apresentados os valores considerados para cada propriedade para o AG e o PVC.

Quadro 4.1 – Propriedades dos materiais [15].

Material E (GPa) (kg/m3) T (C-1)

AG 200 7850 0,30 2,5 10-5

PVC 2,5 1400 0,35 4,0 10-5

26 Capítulo 4 – Modelos de vibração de troços rectilíneos de tubo

4.2.2. Análise Modal e validação do modelo do tubo

Conforme se observou no Capítulo 3, a previsão do modelo numérico depende das dimensões dos

elementos finitos adoptados. Em 3.2 foi indicado que a espessura he dos elementos deve satisfazer a

regra

he B6 , (4.1)

onde B é o comprimento das ondas de flexão na parede dos tubos. Este comprimento de onda pode

ser calculado com base na expressão (3.1), a qual pode ser escrita em função da velocidade cL de

propagação das ondas longitudinais no material,

B 1,8 cL h

f , (4.2)

Para um tubo com parede de espessura h (m).

Tendo em conta que a velocidade de propagação das ondas longitudinais é dada por

he =E

( )1–2 , (4.3)

obtêm-se as espessuras máximas dos elementos finitos de casca indicados no Quadro 4.2 para uma

frequência máxima de análise de 2048 Hz.

Quadro 4.2 – Valores limite da espessura dos elementos finitos de casca para uma frequência máxima de análise de 2048 Hz.

Material h (mm) cL (m/s) B (m) he (mm)

AG 2,7 5291,3 0,112 18,7

PVC 2,7 1426,5 0,058 9,7

Conclui-se assim que a análise pode ser efectuada com segurança até aos 2048 Hz.

Generalizando a discussão anterior à definição da largura dos elementos, optou-se por uma malha de

elementos de casca com 10 mm de comprimento e 30 / 16 = 5,89 mm de largura, tal como

apresentado na Figura 4.1.


Figura 4.1 – Alçado e corte da malha de elementos finitos de tubo simplesmente apoiado com 2,5 m de comprimento e 30 mm de diâmetro.

Após a análise modal foram identificados três tipos de modos de vibração fundamentais: modos

globais com deslocamentos nos planos xy ou xz, designados por modos transversais, modos globais

com deslocamentos segundo y, designados por modos longitudinais; e modos locais com deformação

da secção transversal do tubo. Na Figura 4.2 são representados a título ilustrativo, um modo global

transversal e um modo local de vibração.

Figura 4.2 – Exemplo de: a) modo local; b) modo global de vibração do tubo.

No Quadro 4.3. e 4.4 são identificados os modos de vibração dos dois tubos analisados para

frequências inferiores a 512 Hz. Apresentam-se apenas os modos globais transversais e os modos

locais pois os modos longitudinais não são relevantes para a geração de ruído [9]. Optou-se por

apresentar apenas os modos globais transversais ao plano xz onde o tubo se encontra de facto

simplesmente apoiado. No plano xy, a presença de dois apoios em cada extremidade confere algum

grau de encastramento.


Quadro 4.3 – Modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de AG.

Modo Deformada Modal fz (Hz)

Global 1

13,3

Global 2

53,1

Global 3 119,1

Global 4 211,1

Global 5 328,4

Global 6 470,4

Local 1 540,2

Quadro 4.4 – Modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de PVC.

Modo Deformada Modal fz (Hz) Modo Deformada Modal fz (Hz)

Global 1 3,5 Global 8 218,4


Global 3 31,5 Local 2 282,9



Global 6 124,5 Local 2 425,6

Local 1 141,1 Global 12

474,3



Para efeito de validação do modelo, considerou-se a excitação do tubo de AG por uma força exterior

vertical (orientada segundo o eixo z – ver Figura 4.3), com intensidade unitária para todo o intervalo

de frequências de interesse, aplicada no ponto 0, de coordenadas (x, y, z) = (1,250; 0,000; 0,015) m,

e estimou-se a velocidade segundo z no mesmo ponto.

Figura 4.3 – Caso de excitação dinâmica a): força pontual exterior.

Esta função de mobilidade foi então comparada com a mobilidade de uma viga simplesmente apoiada

modelada com elementos de barra de secção tubular. Na Figura 4.4 são apresentados os espectros

de Fourier da amplitude da mobilidade obtidos para ambos os casos, observando-se uma boa

concordância entre os resultados apesar da maior flexibilidade apresentada pelo modelo construído

com elementos de casca.

1,E-08

1,E-06

1,E-04

1,E-02

1,E+00

1,E+02

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/Fa - elementos de laje

v0/Fa - elementos de viga

f1 f2 f3 f4 f5

Figura 4.4 – Amplitude da mobilidade pontual estimada em (x, y, z) = (1,250; 0,000; 0,015) m com os modelos do tubo de AG construído com elementos de casca e elementos de viga.

Em ambos os casos são excitados os modos globais 1, 3 e 5 no intervalo de frequências de

interesse, não sendo excitados, como se esperava, os modos 2 e 4, por apresentarem um ponto

nodal (de deslocamento nulo) nas coordenadas do ponto 0.


4.2.3. Validação da acção dinâmica

Uma vez que o objectivo final deste capítulo era estimar a resposta dinâmica de um tubo

simplesmente apoiado gerada por uma variação de pressão no seu interior, o recurso a forças

pontuais deixou de ser possível. Assim, foi considerado um caso de carga b) associado a uma força

distribuída exterior (Figura 4.5) de intensidade unitária ao longo de todo o intervalo de frequências

aplicadas em quatro elementos de casca em torno do ponto 0.

Figura 4.5 – Caso de excitação dinâmica b): força distribuída exterior.

Nas Figuras 4.6 e 4.7 são apresentadas as respostas em frequência obtidas para a velocidade nos

pontos 0 e 1, localizado a 1/3 do vão nas coordenadas (x, y, z) = (0,833; 0,000; 0,015) m, para as

excitações dinâmicas a) e b) aplicadas a meio vão (ponto 0).

1,E-10

1,E-08

1,E-06

1,E-04

1,E-02

1,E+00

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/Fav1/Fav0/Fbv1/Fb

f1 f2 f3 f4 f5 f6

Figura 4.6 – Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 (1,250; 0,000; 0,015) m e

1 (0,833; 0,000; 0,015) m do tubo de AG para as cargas a) e b) aplicadas em v0.


1,E-09

1,E-07

1,E-05

1,E-03

1,E-01

1,E+01

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]


f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9f loca

l 1

Figura 4.7 – Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 (1,250; 0,000; 0,015) m e

1 (0,833; 0,000; 0,015) m do tubo de PVC para as cargas a) e b) aplicadas em v0.

Observa-se que os casos de carga a) e b) apresentam espectros de resposta do tubo com formas

semelhantes mas de diferentes amplitudes. Tal decorre do facto de a área dos quatro elementos

carregados ser igual a 4 5,89 10,00 = 235,6 mm2, pelo que a força resultante tem intensidade

igual a 2,356 10-4 N, sendo assim 4245 vezes menor do que a força pontual de intensidade unitária.

Optou-se por manter esta diferença de intensidade por facilitar a leitura dos gráficos.

Observa-se ainda, em ambos os casos de carga e para ambos os materiais que, tal como esperado,

os modos globais de ordem par (2n) não são excitados no ponto 0 e que os modos globais de ordem

múltipla de três (2n-1) não são excitados no ponto 1.

Constata-se que tanto para o tubo de AG como para o tubo de PVC, nenhum modo local foi excitado.

Esta conclusão foi inesperada, principalmente no caso do tubo de PVC, e será objecto de um estudo

mais aprofundado.

De qualquer forma, pode considerar-se que a modelação da carga dinâmica distribuída foi validada,

podendo então ser generalizada à simulação de uma variação de pressão no interior do tubo. Optou-

se por efectuar esta generalização em duas fases, considerando primeiro um caso c) correspondente

a uma força de distribuída ao longo da superfície interior de uma secção do tubo constituída pelos

elementos entre as cotas x = 1,24 m e x = 1,25 m, e depois um caso d) correspondente a uma força

distribuída ao longo de toda a superfície interior do tubo (Figura 4.8). Note-se que a consideração de

uma acção uniforme não tem em conta a diferença de fase com que a onda resultante da oclusão

atinge cada ponto do tubo. No entanto, esta é uma aproximação conservativa da variação de pressão

decorrente da manobra de fecho rápido de uma torneira.

Mais uma vez, consideram-se intensidades de valor unitário para todo o intervalo de frequências.


Figura 4.8 – Casos de excitação dinâmica: c) força distribuída numa secção; e d) força distribuída em toda a superfície interior do tubo.

Nas Figuras 4.9 e 4.10 são apresentados os espectros da mobilidade estimada nos pontos 0 e 1 para

os casos de carga c) e d) aplicados nos tubos de AG e PVC, respectivamente.

1,E-14

1,E-12

1,E-10

1,E-08

1,E-06

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/Fc

v1/Fc

v0/Fd

v1/Fd

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f lon

gitu

dina

l 1

Figura 4.9 – Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 e 1 para os casos de carga c) e d) aplicados no tubo de AG.

Os resultados obtidos não foram os esperados. De facto, esperava-se que acções radiais e

axisimétricas fossem capazes de excitar os modos locais sem que, necessariamente fossem

excitados os modos globais transversais. Observa-se, contudo, que nem os modos locais nem os

modos globais transversais são excitados. Surpreendentemente, são os modos longitudinais que são

excitados com maior amplitude.


1,E-13

1,E-11

1,E-09

1,E-07

1,E-05

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/Fc

v1/Fc

v0/Fd

v1/Fd

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9f loca

l 1

f lon

gitu

dina

l 1

f lon

gitu

dina

l 2

Figura 4.10 – Amplitude da mobilidade estimada nos pontos 0 e 1 para os casos de carga c) e d) aplicados no tubo de PVC.

Com o objectivo de despistar eventuais erros na definição da acção, optou-se por comparar a

mobilidade no ponto 0 obtida no tubo de AG para o caso de carga c) com a mobilidade obtida no

mesmo ponto para um caso de carga do tipo deformação imposta, e), correspondente a uma variação

uniforme de temperatura de 100 C aplicada no anel definido entre as cotas x = 1,24 e x = 1,25 m. Na

Figura 4.11 são apresentados os resultados obtidos e confirma-se que apenas os modos longitudinais

são excitados, o que, por um lado, fornece consistência aos resultados, mas, por outro lado, não

esclarece porque razão não foram excitados os modos locais.

1,E-14

1,E-12

1,E-10

1,E-08

1,E-06

1,E-04

1,E-02

1,E+00

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/Fc

v0/Fe

f lon

gitu

dina

l 1

Figura 4.11 – Amplitude da mobilidade estimada no ponto 0 para os casos de carga c) e e)

aplicados no tubo de AG.


4.2.4. Análise de modos locais de vibração

Com o objectivo de facilitar a excitação dos modos locais, associados à deformação na secção do

tubo, optou-se por aumentar o diâmetro do tubo para 90 mm no caso do tubo de PVC e para 300 mm

no caso do tubo de AG.

O aumento do diâmetro dos tubos aumentou a flexibilidade das suas paredes, reduzindo, dessa

forma, as frequências naturais associadas aos modos locais e aumentando, consequentemente, a

densidade modal no intervalo de frequências analisado. Por outro lado a rigidez global do tubo

aumentou, o que aumenta a frequência dos modos globais transversais.

Nos quadros 4.5 e 4.6 são ilustrados alguns modos de vibração locais e globais transversais no

plano xz obtidos para os tubos de AG e PVC, respectivamente. Para facilitar a compreensão dos

modos locais de vibração, apresenta-se uma ilustração da deformada da secção no plano x = 1,25 m,

onde as setas a vermelho correspondem a compressão e as setas a azul à dilatação.

Quadro 4.5 – Alguns modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de AG.

Modo Deformada no plano x = 1,25 m Perspectiva da deformada modal f

(Hz)

Local 1

68

Global 1

90

Local 8

213

Local 13

314

Local 24

510


Quadro 4.6 – Alguns modos de vibração locais e globais transversais no plano xz obtidos para o tubo de PVC.

Modo Deformada no plano x = 1,25 m Perspectiva da deformada modal f

(Hz)

Global 1

11

Local 1

175

Local 3

185

Global 7

384

Local 16

510

Na Figura 4.12 são apresentados os espectros de Fourier da amplitude da mobilidade estimada nos

pontos 0 e 1 do tubo de AG para os casos a) e b). Na Figura 4.13 são considerados os casos de

carga c) e d).

Observa-se que as cargas a) e b) conseguem excitar modos locais mas excitam principalmente os

modos globais transversais do tubo. As cargas c) e d) praticamente não excitam os modos globais

mas excitam a maioria dos modos locais. Os modos locais não excitados são os que apresentam

deslocamento nulo permanente no ponto de medição, como por exemplo, o modo local 8, na

frequência de 213 Hz, o qual é ilustrado no Quadro 4.5.


1,E-10

1,E-08

1,E-06

1,E-04

1,E-02

1,E+00

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]


f loca

l 13

f loca

l 15

f loca

l 14

f loca

l 12

f loca

l 17

f loca

l 22

f loca

l 18

f loca

l 19

f loca

l 1

f loca

l 2

f loca

l 3

f loca

l 4

f loca

l 7

f loca

l5

f loca

l 6

f loca

l 10

f1 f2 f3 f4 f5 f6f loca

l 20

f loca

l 21

f loca

l 23

f loca

l 24

Figura 4.12 – Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de AG com 300 mm de diâmetro obtida para os casos de carga a) e b).

1,E-13

1,E-11

1,E-09

1,E-07

1,E-05

1,E-03

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/Fcv1/Fcv0/Fdv1/Fd

f loca

l 1

f loca

l 2

f loca

l 3

f loca

l 4

f loca

l 7

f loca

l 10

f loca

l 5

f loca

l 6

f loca

l 13

f loca

l 12

f loca

l 15

f loca

l 14

f loca

l 17

f loca

l 18

f loca

l 19

f loca

l 20

f loca

l 21

f loca

l 22

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f loca

l 23

f loca

l 24

Figura 4.13 – Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de AG com 300 mm de diâmetro

obtida para os casos de carga c) e d).

Para o tubo de PVC com diâmetro de 90 mm obtêm-se conclusões semelhantes, tal como ilustrado

pelos espectros de Fourier da mobilidade apresentados nas Figuras 4.14 e 4.15 para os casos de

carga a,b) e c,d), respectivamente.


1,E-10

1,E-08

1,E-06

1,E-04

1,E-02

1,E+00

1,E+02

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]


f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8f loca

l 1

f loca

l 2

f loca

l 3

f loca

l 4

f loca

l 6

f loca

l 7

f loca

l 8

f loca

l 9

f loca

l 10

f loca

l 11

f loca

l 12

f loca

l 13

f loca

l 14

f loca

l 16

f loca

l 15

f long

itudi

nal 1

f loca

l 5

Figura 4.14 – Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de PVC com 90 mm de diâmetro obtida para os casos de carga a) e b).

1,E-12

1,E-10

1,E-08

1,E-06

1,E-04

1,E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

v0/Fcv1/Fcv0/Fdv1/Fd

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8f loca

l 1

f loca

l 2

f loca

l 3

f loca

l 4

f loca

l 6

f loca

l 7

f loca

l 8

f loca

l 9

f loca

l 10

f loca

l 11

f loca

l 12

f loca

l 13

f loca

l 14

f loca

l 16

f loca

l 15

f long

itudi

nal 1

f loca

l 5

Figura 4.15 – Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1 do tubo de PVC com 90 mm de diâmetro

obtida para os casos de carga c) e d).

Estes resultados estão de acordo com os resultados esperados e parecem indicar que a dificuldade

em excitar modos locais em tubo de pequeno diâmetro poderá decorrer de um problema numérico

associado à dimensão da malha no plano yz. Para confirmar esta hipótese foram construídos novos

modelos do tubo de AG e PVC com 30 mm de diâmetro, com elementos de casca de 5,00 3,93 mm2,

para os casos de carga c) e d), continuando a obter-se resultados idênticos aos apresentados nas

Figuras 4.9 e 4.10. Poderia testar-se uma nova redução das dimensões dos elementos, no entanto, a

dimensão do problema a resolver pelo programa de cálculo cresceria bastante e traria problemas


adicionais às fases seguintes deste trabalho, nomeadamente à fase de estimativa da produção de

ruído.

4.3. CONCLUSÕES

No presente capítulo foi construído e validado um modelo de tubos à vista, simplesmente apoiados

em ambas as extremidades, sob a acção dinâmica de uma variação de pressão no seu interior.

Concluiu-se que só é possível extrair uma resposta da vibração transversal das paredes do tubo a

partir de um determinado diâmetro mínimo.

No Capítulo 5, será considerado um tubo de PVC, mais flexível, para estimar o comportamento

dinâmico do tubo aquando embebido numa parede.

Capítulo 5 – Modelo do de vibração do sistema canalização / parede 39

5. MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DO SISTEMA CANALIZAÇÃO / PAREDE

5.1. INTRODUÇÃO

No Capítulo 4 foi desenvolvido um modelo de elementos finitos, construído através do programa

SAP2000 [8], para estimativa do comportamento dinâmico de tubos à vista sujeitos a variações de

pressão no seu interior. Poderia, a partir daqui, estimar-se a produção de ruído directa num

compartimento utilizando, para tal, um modelo de fonte sonora linear. No entanto, não é corrente

encontrar canalizações de abastecimento de água à vista em edifícios de habitação. Assim, torna-se

necessário estimar o comportamento dinâmico dos tubos quando embebidos nas parede.

No presente capítulo é estimado o campo de vibração por uma variação da pressão interior gerado

num tubo de PVC embebido numa parede de alvenaria.

5.2. DESENVOLVIMENTO DO MODELO

Observa-se, no Capítulo 4, que os modos locais de vibração de tubagens à vista só são excitados

para diâmetros superiores a um determinado valor mínimo. No caso do tubo de PVC, concluiu-se, de

forma iterativa, que o diâmetro mínimo em causa é de 75 mm. Este diâmetro é relativamente grande

mas pode ser encontrado em colunas de distribuição colectivas de edifícios altos destinados a

habitação.

Considerou-se então que o tubo de PVC com 75 mm de diâmetro seria embebido numa parede de

alvenaria conforme ilustrado na Figura 5.1.

Figura 5.1 – Perspectiva da parede de alvenaria com o tubo embebido.

40 Capítulo 5 – Modelos de vibração do sistema canalização / parede

Na construção de paredes de alvenaria em Portugal é correntemente aplicado o tijolo cerâmico

furado. Assumiu-se, no presente caso, uma parede com espessura total de 20 cm, constituída por

alvenaria simples de tijolo furado com 15 cm rebocada em ambas as faces (Figura 5.2). Assumiu-se

ainda a utilização de tijolos do tipo 15 30 22 [17].

Figura 5.2 – Formato da parede de alvenaria simples.

Este tipo de tijolo (Figura 5.3), de acordo com o Eurocódigo 6 [N.7], apresenta septos internos e

externos com 6 e 8 mm de espessura, respectivamente. De acordo com Pina dos Santos [17], este

tijolo apresenta, em Portugal, espessuras médias de 9 e 11 mm para os septos interiores e exteriores,

respectivamente, e um afastamento entre septos de 37 mm na direcção horizontal e 34 mm na

direcção vertical. Concluiu-se assim que a área da secção vazia varia entre 188,10 cm2 [17] e

226,92 cm2 [N.6], pelo que, assumindo-se o módulo de elasticidade de 13 GPa para o material

cerâmico, obteve-se um módulo de elasticidade à tracção equivalente variável entre 5,0 [17] e

6,9 GPa [N.6]. Adoptou-se um valor médio de E = 6,0 GPa.

Figura 5.3 – Formato do tijolo furado do tipo 15 30 22 cm.

A forma mais simples de estimar o comportamento de um tubo embebido numa parede, ainda que

não sendo a mais precisa, é através da consideração da parede como um meio elástico que confere

ao tubo condições de apoio de Winkler [11]. Tal pode ser efectuado com base na consideração de

molas radiais conforme ilustrado na Figura 5.4. Essas molas terão diferentes coeficientes de rigidez

nas diferentes direcções da parede, mas, para simplificar, e tendo em conta a incerteza na

localização do tubo, bem como a eventual existência de descontinuidades entre os tijolos, assume-se

que a rigidez será idêntica em todas as direcções.

Capítulo 5 – Modelo do de vibração do sistema canalização / parede 41

Figura 5.4 – Perspectiva e corte do modelo simplificado do tubo em meio elástico de Winkler.

Admitiu-se que o tubo se encontra embebido por uma espessura L = (200 - 75) / 2 = 62,5 mm de

parede em todas as direcções, pelo que a rigidez, s, de cada mola é dada por s = EA/L, onde A é a

área de influência de cada nó. Uma vez que os elementos são todos iguais, A é área de cada

elemento de casca (A = 9,82 10,00 = 98,2 mm2), pelo que s = 6,0 98,210-6/62,5 10-3 =

9,427 106 N/m 9,5 106 N/m.

5.3. ANÁLISE DOS RESULTADOS

A resposta em termos de velocidade das paredes do tubo à acção do tipo d) definida no Capítulo 4 foi

estimada para os 250 pontos da parede do tubo à cota zt = 0,0375 m para frequências até 2048 Hz, o

que permite ter confiança nos resultados obtidos até aos 1024 Hz, conforme se concluiu no

Capítulo 2. Na Figura 5.5 são apresentados os resultados obtidos.

Figura 5.5 – Espectros de Fourier da amplitude da velocidade obtidos nos 250 pontos do tubo de

PVC com 75 mm à cota zt = 37,5 mm para a carga tipo d).

42 Capítulo 5 – Modelos de vibração do sistema canalização / parede

Na Figura 5.6 são apresentadas particularizações da Figura 5.5 para o ponto 0, com coordenadas

(xt, yt, zt) = (1,250; 0,000; 0,0375) m, e para o ponto 1, com coordenadas (xt, yt, zt) =

(0,833; 0,000; 0,0375) m.

1,E-13

1,E-12

1,E-11

1,E-10

1,E-09

1,E-08

1,E-07

1,E-06

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

f (Hz)

Mag {v} [(m/s)/Hz]

F1-d (v0)

F1-d (v1)

f1 f2 f3 f4

Figura 5.6 – Amplitude da mobilidade nos pontos 0 e 1, do tubo de PVC com 75 mm de diâmetro para a carga tipo d).

Constata-se que apenas os modos longitudinais contribuem significativamente para a resposta. Até

aos 1024 Hz não foram identificados na análise modal quaisquer modos locais com contribuição

relevante para a deformação segundo o eixo zt.

5.4. CONCLUSÕES

Neste capítulo foi construído um modelo simplificado para estimativa do comportamento dinâmico de

um tubo de PVC de 75 mm de diâmetro embebido numa parede de alvenaria de 20 cm de espessura.

Considerou-se um modelo do tubo apoiado em meio elástico de Winkler, o que rigidificou o sistema,

tendo por consequência o desaparecimento de modos locais no intervalo de interesse.

Concluiu-se que apenas os modos globais longitudinais contribuem para a resposta em termos de

velocidade nos eixos xp ou zt (normal à parede que envolve o tubo).

No capítulo seguinte, a resposta em vibração do tubo apresentado na Figura 4.5 será utilizada como

acção sobre uma parede de alvenaria para estimar o campo sonoro resultante no compartimento

adjacente.

Capítulo 6 – Modelo do campo sonoro 43

6. MODELO DO CAMPO SONORO

6.1. INTRODUÇÃO

A modelação do campo sonoro gerado num compartimento devido à vibração de um tubo de

abastecimento de água embebido numa parede adjacente pode ser divida em duas fases. A primeira

fase foi descrita nos capítulos anteriores, nos quais se procedeu à modelação do campo de vibração

do sistema tubo/parede. A segunda fase será desenvolvida no presente capítulo, no qual se pretende

efectuar a modelação do campo sonoro do interior do compartimento, tendo em consideração o

acoplamento com o campo de vibração da parede com o tubo embebido.

A resolução ideal deste problema passaria pela utilização de um modelo numérico de aplicação do

método dos elementos finitos, porém o programa SAP2000 [8] não permite modelar a propagação de

ondas mecânicas em fluidos e, portanto, não permite modelar a propagação do som no ar. Por outro

lado, o programa de elementos finitos para aplicação acústica actualmente a ser desenvolvido no

Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura do IST, não está disponível para utilização, o que

obrigaria a recorrer a programas comerciais como o ABAQUS [18] ou o SYSNOISE [19]. Infelizmente,

o elevado custo de aquisição destes programas impossibilita a sua aplicação no âmbito desta

dissertação.

Assim, optou-se por modelar analiticamente, recorrendo à análise modal, o campo sonoro do

compartimento tendo em consideração o acoplamento modal com o campo de vibração da parede

com o tubo embebido. Este modelo foi previamente validado por comparação com ensaios

experimentais [2].

6.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS – CAMPO SONORO

6.2.1. Equação da onda sonora no ar

O campo sonoro no interior de um compartimento resulta da sobreposição de um grande número de

ondas sonoras simples (esféricas ou planas), as quais se propagam através de um fluido

compressível e sem perdas. No caso de compartimentos de dimensões correntes, as ondas sonoras

são de pequena amplitude, pelo que a variação da massa volúmica do ar devida às as flutuações de

pressão sonora é, também, pequena quando comparada com o valor estático da massa volúmica do

ar. Se as flutuações de pressão e de massa volúmica ocorrerem sem transferência de calor, o

processo acústico é adiabático e

PP0

=

0

(6.1)

44 Capítulo 6 – Modelo do campo sonoro

e

p = P – P0 = B0 –00

= Bs, (6.2)

onde: p (Pa) é a pressão sonora; P e P0 (Pa) são, respectivamente, as pressões instantânea e

estática totais; ρ e ρ0 (kg/m3) são as massas volúmicas do ar instantânea e estática, respectivamente;

= cy cv

é a razão dos calores específicos do ar, a qual, para as condições de temperatura e pressão

normais, toma o valor de 1,4012 [20]; s = – V V =

0

é a condensação volúmica do ar, a qual é muito

pequena; e B0 = 0

P

0 , em Pa, é o módulo adiabático de compressibilidade volumétrica.

Uma vez que as variações de densidade e pressão, as quais são consideradas variáveis

independentes, dependem do tempo, é possível relacionar a velocidade de uma partícula de ar, v

,

com a massa volúmica instantânea do ar. Para tal, considera-se um elemento infinitesimal

dV = dx dy dz fixo no espaço. Devido à conservação de massa, a taxa à qual a massa flui para o

interior do elemento através de uma superfície é igual à taxa t dV, à qual a massa no interior do

volume do elemento aumenta. Assim, obtém-se

t + ( ) v

= 0 , (6.3)

onde ( ) é o operador divergência: ( ) v

= div ( v

) .

Escrevendo na forma = 0 (1 + s) e considerando que a variação de 0 no tempo e no espaço é

suficientemente pequena, então a equação (6.3) pode ser simplificada após derivação no tempo para

2 2t +

0

v

t 0 . (6.4)

Assumindo que o elemento dV, cuja massa infinitesimal é ρ dV, se movimenta com o fluido, é

possível aplicar o teorema da quantidade de movimento, obtendo-se a expressão de Euler,

0

v

t = – 2 p , (6.5)

onde 2 = é o operador Laplaciano tridimensional.

Introduzindo as equações (6.2) e (6.5) na equação (6.4), obtém-se a equação que governa a

propagação das ondas sonoras num fluido


2 p = 1

c02 2pt2 , (6.6)

onde c0 (m/s) é a velocidade do som definida por c0 = B0

0 [14, 21]. Assumindo que o ar é

essencialmente seco, a velocidade de propagação do som pode ser aproximada por

c0 = 331,4 1 +

273,15 , (6.7)

em que ( C)é a temperatura do ar [14].

6.2.2. Solução da equação homogénea da onda sonora

Em seguida é deduzida a solução da equação homogénea da onda sonora em meios fluidos sem

perdas (6.6) para um compartimento com a configuração ilustrada na Figura 6.1.

Figura 6.1 – Dimensões de um compartimento com planta rectangular.

Assume-se que todas as paredes são rígidas, ou seja, que a sua impedância é muito superior à do ar

através do qual se propagam as ondas sonoras. Consequentemente, a velocidade das partículas do

ar na direcção normal às paredes é zero sobre as paredes. Assumindo, tal como no Capítulo 3, que a

velocidade é uma função harmónica do tempo, v

= v

ejt , a equação (6.5) pode ser escrita na forma,

p = –j0 v

, (6.8)

pelo que as condições de fronteira da equação (6.6) são dadas por:

p(0,y,z,t)x =

p(a,y,z,t)x = 0 ; (6.9.a)

p(x,0,z,t)y =

p(x,b,z,t)y = 0 ; (5.9.b)


p(x,y,0,t)z =

p(x,y,c,t)z = 0 . (5.9.c)

Assumindo que a pressão sonora instantânea também é uma função harmónica no tempo,

p(x,y,z,t) = p(x,y,z) ejt , a equação (6.6) adquire a forma

2 p(x,y,z) + k 2 p(x,y,z) = 0 , (6.10)

onde k = c0 representa o numero de onda.

A solução da equação (6.10) é obtida, pelo método de separação de variáveis, para as condições de

fronteira (6.9). Após alguma manipulação matemática, obtém-se

plmn(x,y,z) = A lmn cos

l x

a cos

m y

b cos

n z

c , (6.11)

onde A lmn é uma constante de integração.

Embora as condições iniciais de p(x,y,z,t) = p(x,y,z) ejt não tenham sido definidas, estas existem,

sendo necessário encontrar uma solução que as satisfaça. Esta solução pode ser obtida aplicando-se

o princípio da sobreposição de efeitos, segundo o qual, a soma das soluções plmn(x,y,z) é também

uma solução de p(x,y,z). Assim, p(x,y,z,t) é dado por uma série de Fourier, ou seja, por uma série de

funções de forma dos modos acústicos

p(x,y,z,t) = l,m,n=0

Almn cos

l x

a cos

m y

b cos

n z

c ejt. (6.12)

As frequências próprias correspondentes são obtidas por introdução da equação (6.12) na equação

(6.6), o que conduz a

lmn = c0 l

a

2

+

m

b

2

+

n

c

2

. (6.13)

6.3. FUNDAMENTOS TEORICOS – ACOPLAMENTO ENTRE CAMPO DE VIBRAÇÃO E

CAMPO SONORO

Em 6.2 foi deduzida a solução teórica para o campo sonoro no interior de um compartimento

delimitado por paredes rígidas. Agora é necessário encontrar uma solução para o campo sonoro

excitado pelo movimento oscilatório da parede com o tubo embebido. Para simplificar o problema

considera-se que a excitação da parede resulta de uma força pontual.


Tal como já foi referido na secção anterior, a onda de propagação num meio fluido contínuo,

compressível e sem perdas, é dada pela equação (6.6). De acordo com Kihlman [22], esta equação

pode ser escrita em função do potencial da velocidade, (x,y,z,t), através de

2 (x,y,z,t) – 1c0

2 (x,y,z,t)

t2 = 0 . (6.14)

Considerando um compartimento com geometria idêntica ao da Figura 6.1, onde todas as paredes

são rígidas, à excepção de uma, em x = a, que exibe um campo de velocidades, f (y, z) ejt, as

condições de fronteira a satisfazer pela equação (6.14) são:

2 (0,y,z,t) x2 = 0 e

2 (a,y,z,t) x2 = vx(y,z,t) = f(y,z) ejt ; (6.15.a)

2 (x,0,z,t) y2 =

2 (x,b,z,t) y2 = 0 ; (5.15.b)

2 (x,y,0,t) z2 =

2 (x,y,c,t) z2 = 0 . (5.15.c)

Introduzindo a solução particular (x,y,z,t), a equação (6.14), escrita em termos de (x,y,z,t), com

condições de fronteira não homogéneas, pode ser transformada numa equação em termos de

1 (x,y,z,t) com condições de fronteira homogéneas [22], em que

1 (x,y,z,t) = (x,y,z,t) – (x,y,z,t) . (6.16)

A solução (x,y,z,t) satisfaz as mesmas condições de fronteira de (x,y,z,t):

2 (0,y,z,t) x2 = 0 e

2 (a,y,z,t) x2 = f(y,z) ejt ; (6.17.a)

2 (x,0,z,t) y2 =

2 (x,b,z,t) y2 = 0 ; (5.17.b)

2 (x,y,0,t) z2 =

2 (x,y,c,t) z2 = 0 . (5.17.c)

Na função (x,y,z,t), t pode ser considerado um parâmetro porque a análise se restringe a funções

harmónicas no tempo. Assumindo que, para as condições de fronteira (5.17) (x,y,z) satisfaz a

equação de Laplace, 2 (x,y,z,t) = 0 , a qual é separável, então a sua solução é dada por

Kihlman [22] como


(x,y,z,t) = m,n=1

Amn 2cosh

m

b

2

+

n

c

2

x cos

m y

b cos

n z

c ejt, (6.18)

onde Amn é uma constante de integração. Introduzindo a equação (6.18) na equação (6.17.a) para

x = a e multiplicando-se ambos os termos da equação resultante pela função ortogonal

cos

m y

b cos

n z

c , obtém-se, após integração na superfície da parede,

Amn = 2Cmn

bc C1 sinh( )C1 a , (6.19)

onde C1 =

m y

b

2

+

n z

c

2

e Cmn é dado por

C mn = 0

b

0

c

f(y, z) cos

m y

b cos

n z

c dy dz . (6.20)

Como (x,y,z,t) satisfaz a equação de Laplace, introduzindo a equação (6.16) em (6.14), obtém-se

2 1 (x,y,z,t) – 1

c02 21 (x,y,z,t)

t2 = 21 (x,y,z,t)

t2 = (x,y,z,t) , (6.21)

onde a solução particular (x,y,z,t) é dada por uma série de funções de forma

(x,y,z,t) = m,n=1

Amn 22

c02 cosh

m

b

2

+

n

c

2

x cos

m y

b cos

n z

c ejt . (6.22)

Como definido anteriormente, as condições de fronteira da equação (6.21) são homogéneas e podem

ser escritas como

1 (0,y,z,t) x =

1 (a,y,z,t) x =0

e

1 (x,0,z,t) y =

1 (x,b,z,t) y =

1 (x,y,0,t) z =

1 (x,y,c,t) z = 0 .

(6.23.a)

(5.23.b)

Portanto, o potencial da velocidade 1 (x,y,z,t) pode também ser escrito como uma expansão de

Fourier,


1 (x,y,z,t) = l,m,n=1

[ ] A1,lmn lmn (x,y,z) ejt , (6.24)

onde lmn (x,y,z) são as funções de forma que satisfazem a equação homogénea da onda sonora,

2 lmn (x,y,z,t) – 1

c02 2 lmn (x,y,z,t)

t2 = 0 . (6.25)

Para condições de fronteira análogas à equação (6.23), as funções lmn (x,y,z) têm a forma, já

apresentada na secção 6.2.2

lmn (x,y,z) = cos

l x

a cos

m y

b cos

n z

c , (6.26)

sendo as frequências próprias correspondentes dadas pela equação (6.13).

Introduzindo as equações (6.13), (6.24) e (6.26) na equação (6.21) e multiplicando ambos os lados da

equação resultante pela função lmn (x,y,z), obtém-se, após integração volúmica e tendo em conta

pelas condições de ortogonalidade, a solução estacionária de 1 (x,y,z,t),

1 (x,y,z,t) = l,m,n=1

8c0

2 lmn lmn (x,y,z)abc(2

lmn – 2) ejt , (6.27)

onde lmn é dado por,

lmn = Amn 2

c02

(– 1)l bc sinh( C1 a)

2 C1

1 +

1C1

l

a

2 . (6.28)

O potencial da velocidade, (x,y,z,t), que satisfaz a equação (6.14), também pode ser escrito como

uma série de funções de forma que satisfazem condições de fronteira homogéneas [22]. Logo, as

funções de forma e as frequências próprias correspondentes podem ser dadas pelas equações

(6.26) e (6.13). A equação (6.16) pode ser agora escrita na forma

l,m,n=1

[ ] A2,lmn lmn(x,y,z) ejt – 1 (x,y,z,t) = (x,y,z,t) . (6.29)

Introduzindo as Equações (6.18), (6.19), (6.27) e (6.28) na equação (6.29) e multiplicando ambos os

lados da equação resultante pela função ortogonal l*m*n*(x,y,z), obtém-se, após integração volúmica

e tendo em conta as condições de ortogonalidade, a constante

A2,lmn = 8c0

2 ( )– 1 l Cmn

abc ( ) lmn2 –2 .

(6.30)


A solução estacionária de (x,y,z,t) é então dada por

1 (x,y,z,t) = l,m,n=1

8c0

2 ( )– 1 l Cmn lmn (x,y,z)abc ( lmn

2 – 2) ejt . (6.31)

O campo de pressões sonoras pode ser calculado, com base na equação (6.8), fazendo

p(x,y,z,t) = – j0 (x,y,z,t) . (6.32)

Através das equações (6.31) e (6.32) é possível estabelecer, para uma dada frequência, , uma

relação entre o campo de vibração de uma parede e o campo sonoro no interior de um

compartimento. O campo sonoro total é determinado por sobreposição modal.

A solução (6.31) foi desenvolvida para compartimentos sem perdas. No entanto, a solução também

pode ser utilizada para salas com pequenas perdas, através da introdução de frequências próprias na

forma complexa, as quais são dadas por

lmn lmn

1 +

j2 , (6.33)

em que é o factor de perdas. O factor de perdas pode ser obtido a partir do tempo de reverberação,

TR (s), do comprimento através de

= ln 106 lmnTR

13,8 lmnTR

. (6.34)

O tempo de reverberação pode ser calculado pela expressão de Sabine, na sua forma mais simples,

TR = 0,161 V

S , (6.35)

onde: V (m3) e S (m2) são, respectivamente, o volume e área total das superfícies envolventes da

sala;

é o coeficiente de absorção sonora médio da sala. Este coeficiente é calculado através do

coeficiente de absorção, i, do material de cada superfície Si, utilizando-se a fórmula

= 1 S i

Si i , (6.36)

Para o intervalo de frequências considerado, a absorção sonora das superfícies das paredes e

pavimentos correntes nos edifícios de habitação é pequena em geral [2, 23, 24]. Por outro lado, nesta

gama de frequências, a variação dos coeficientes de absorção das superfícies dos compartimentos é

pequena. A norma EN12354-6 [N.7] afirma que, desde que os compartimentos tenham geometria

regular e absorção sonora distribuída uniformemente, a equação (6.35) pode ser utilizada podendo

ainda assumir-se que a atenuação do som pelo ar é muito baixa e a presença de objectos de

dimensão corrente é desprezável (inferior aos comprimentos de onda em análise) [24].


Introduzindo a equação (6.34) em (6.33), obtém-se

lmn lmn

1 + j

6,9 lmn TR

= lmn + j 6,9 TR

= lmn + j , (6.37)

onde = 6,9TR

representa um coeficiente de absorção temporal.

O campo sonoro gerado pela vibração de uma laje, com pequenas perdas, no interior de um

compartimento é dado então pela expressão

p(x,y,z,t) = – j0 l,m,n=1

8c0

2 ( )– 1 l Cmn lmn (x,y,z)abc [ ]( ) lmn + j 2 – 2 ejt . (6.38)

Neste trabalho é analisado apenas o caso em que a parede se encontra simplesmente apoiada.

Neste caso, o parâmetro Cmn é determinado pela introdução, na equação (6.20), do campo de

velocidades vx (y, z) gerado por uma força pontual aplicada em lajes homogéneas simplesmente

apoiadas, o qual se relaciona com o campo de velocidade complexas da laje, dada pela

expressão (3.27), através de vx (x,y) = ax (x,y)

j . Após integração obtém-se o factor de acoplamento

Cmn = – j 42F m''bc

m1, m1=1

m1n1 (y0 , z0)

2 m1n1 ( )1 + j – 2

[ ](– 1) m1+m – 1 [ ](– 1)

n1+n – 1

m1 n1

m

m1 2

– 1

n

n1 2

– 1 . (6.39)

O campo de pressões sonoras de um compartimento, gerado pela vibração de uma parede, é obtido

pela introdução da equação (6.39) na equação (6.38).

O modelo analítico apresentado foi experimentalmente validado num estudo desenvolvido por Neves

e Sousa [2]. O método é adequado para o cálculo de campos sonoros em salas rectangulares com

uma das superfícies sujeita à acção de uma força de impacto pontual.

6.4. IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO

Analogamente ao modelo teórico descrito em 3.4, o modelo descrito pela equação (6.38) também é

de fácil implementação num programa computacional.

Neste caso, a fase de tratamento de dados divide-se em três partes. A primeira parte determina os

modos de vibração da laje, sendo estes posteriormente contados, ordenados e armazenados numa

matriz, tal como foi descrito na secção 3.4.2. Na segunda parte são determinados os modos acústicos


do compartimento, os quais são posteriormente contados, ordenados e armazenados numa matriz

com a forma [l, m, n, lmn x Nsala], onde Nsala é o número de modos acústicos do compartimento

considerado. Como já foi referido, neste estudo, são analisadas as frequências compreendidas entre

os 0 e os 512 Hz. Porém, de acordo com a equação (6.38), o campo sonoro no compartimento resulta

do somatório de contribuições de cada modo acústico do compartimento e de cada modo de vibração

da laje, sendo assim necessário considerar um intervalo de frequências mais extenso, com uma

frequência máxima preferencial de 2048 Hz 0.

A terceira parte corresponde à resolução da equação (6.38). Esta parte implica a soma de NlajeNsala

parcelas, para cada frequência compreendida entre os 0 e os 2048 Hz. Apesar do número exaustivo

de operações, a aplicação do método analítico através de um programa computacional é ainda

suficientemente rápida. O código computacional correspondente às três fases de tratamento de

trabalhos é apresentado no Anexo 4.

6.5. CASO DE ESTUDO

O modelo descrito pela equação (6.38) foi desenvolvido para estimar o campo sonoro gerado por

forças de impacto pontuais actuantes numa das superfícies de um compartimento. No caso em

estudo, a fonte de vibração é a variação de pressão no interior de um tubo de abastecimento de água

provocada pela oclusão de uma válvula na torneira. No Capítulo 5 foi calculada a vibração das

paredes de um tubo de PVC com 75 mm de diâmetro e 2,5 m de comprimento embebido numa

parede de alvenaria simples de tijolo cerâmico furado rebocada em ambas as faces com 20 cm de

espessura total (Figura 5.5). Os espectros de Fourier de amplitude da velocidade da parede do tubo

registados na Figura 5.5 podem ser facilmente convertidos em espectros de aceleração ( a

= v

j ) e,

posteriormente, em espectros de força, considerando F

= a

m, onde m é a massa associada a cada

nó do modelo. Estas forças correspondem à acção que será exercida em cada ponto pelo tubo na

parede para uma variação de pressão, no interior do tubo, de amplitude unitária em todo o intervalo

de frequências de interesse. A resposta acústica do compartimento pode agora ser estimada a partir

da expressão (6.38) aplicada sucessivamente para todos os pontos do tubo. Na Figura 6.2,

apresenta-se uma ilustração do método de cálculo proposto.

Assumiu-se para a parede de alvenaria uma massa volúmica equivalente de 1000 kg/m3 [15, 17, N.6]

e um módulo de elasticidade (à flexão) de 6,5 GPa [25, 26]. Considerou-se um compartimento com

profundidade a = 5,0 m, com uma parede da envolvente com bc =2,50 4,00 m2 incluindo o tubo

embebido à cota zp = 4b / 11 1,46 m. Considerou-se o amortecimento dado pela equação (3.28).


Modelo numérico do sistema

tubagem/parede.

Modelo analítico da parede

de referência sujeita a uma

soma de cargas pontuais

equivalente à acção da

tubagem.

Modelo analítico do campo

sonoro de um compartimento

gerado pela parede em

vibração por acção da força

pontual actuante na tubagem.

Figura 6.2 – Esquema ilustrativo do processo de cálculo do campo sonoro, gerado num

compartimento pela oclusão de uma válvula ou torneira num tubo embebido numa parede adjacente.

Esta posição foi escolhida de modo a evitar colocar o tubo numa linha nodal da parede, garantindo

assim que todos os modos globais da parede são excitados e maximizando-se a resposta acústica do

compartimento [2]. A pressão sonora resultante foi avaliada no canto inferior do compartimento mais

afastado da parede vibrante, a uma distância de 40 cm das três superfícies que formam o canto. Na

Figura 6.3 é ilustrado o compartimento em análise e são indicadas as posições do tubo e do ponto de

avaliação da pressão sonora. Esta posição garante uma resposta acústica do compartimento com

maior contribuição do maior número possível de modos acústicos [2].

Na Figura 6.4 é apresentado o espectro de Fourier do nível sonoro – Mag {p} – registado no canto do

compartimento para a variação de pressão no interior do tubo de amplitude unitária para o intervalo

de frequências considerado. O espectro de nível sonoro é apresentado apenas até aos 225 Hz devido

a limitações do programa de cálculo. Note-se que, como foi referido em 6.4, à medida que a máxima

frequência de análise aumenta, maior é o número de operações a realizar pelo programa. Note-se

ainda que o número Nsala de modos acústicos do compartimento cresce muito rapidamente como o

aumento das dimensões do compartimento.


Figura 6.3 – Ilustração do compartimento e localização do tubo e do ponto de avaliação da pressão sonora.

Por exemplo, para o compartimento em causa, com um volume de 50 m3, Nsala = 4188 até aos 900 Hz

= 4 225 Hz e Nsala = 46198 até aos 2048 Hz = 4 512 Hz. Tendo em conta que a resposta acústica

resulta da soma das respostas calculadas para a força aplicada em cada um dos 250 pontos

considerados para a discretização do tubo nos 2,50 m de altura da parede, conclui-se facilmente que

o tempo de cálculo para uma frequência máxima de 2048 Hz seria extremamente longo. Assim,

optou-se por calcular a resposta acústica apenas até aos 225 Hz.

1,0E-11

1,0E-10

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220f (Hz)

Mag {p } (Pa/Hz)

(1, 0

, 0)

(2, 0

, 0)

(0, 0

, 1)

(2, 2

, 2)

(3, 0

, 0)

(0, 0

, 2)

(2, 0

, 1)

(1, 0

, 2)

(2, 1

, 0)

(1, 1

, 0)

(3, 0

, 1)

(3, 1

, 0)

(3, 0

, 2)

(0, 2

, 0)

(2, 2

, 0)

(1, 0

, 2)

(4, 0

, 1)

(3, 1

, 2)

(5, 2

, 0)

(3, 2

, 2)

(2, 2

, 2)

(3, 2

, 0)

(0, 2

, 2)

(5, 1

, 0)

(1, 2

, 2)

(3, 0

, 4)

(4, 2

, 0)

(5, 1

, 2)

(0, 3

, 0)

(1, 3

, 1)

(1, 0

, 1)

Figura 6.4 – Nível sonoro no canto do compartimento registado para uma variação de pressão no interior do tubo de amplitude unitária no intervalo de frequências considerado.

Tendo em conta a Figura 6.4, conclui-se que nesse intervalo de frequências, a acção dinâmica

exercida na parede pelo tubo não é significativa, pelo que é natural que a resposta do compartimento

seja pouco significativa e totalmente controlada pelos modos acústicos do compartimento (indicados


a triângulos a cheio no caso de se tratar de modos excitados ou por triângulos vazios no caso

contrário).

Apesar dos resultados indicados na Figura 5.4, as variações de pressão que ocorrem no interior de

canalizações de abastecimento de água não apresentam amplitude unitária ao longo de todo o

intervalo de frequências considerado. Para ilustrar as variações reais de pressão, considera-se o

trabalho de Baeta [5] no qual foram efectuadas diversas medições da variação de pressão devido à

manobra de abertura e fecho da torneira de dispositivos sanitários correntes. Neste trabalho não foi

especificado o tipo de torneira utilizado. Na Figura 5.5 é apresentado o sinal no tempo da variação de

pressão em duas extremidades A e B de um tubo de abastecimento de água fria a um lavatório.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 5 10 15 20 25 30 35 40

t (s)

Cota piezometrica (m c.a.)

Transdutor na extremidade A

Transdutor na extremidade B

15

20

25

30

35

40

45

4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00

T (s)




20

30

40

50

60

70

80

90

100

20,00 20,50 21,00 21,50 22,00 22,50 23,00 23,50 24,00T (s)




a) b)

Figura 6.5 – Ensaio referente à manobra de abertura e fecho da torneira de um lavatório. Pormenores: a) abertura; b) fecho [5].

Na Figura 5.6 são apresentados os espectros de Fourier obtidos, por aplicação de algoritmo FFT,

para o ensaio da Figura 5.5 e para outros três ensaios, relativos à abertura e fecho de torneiras de

abastecimento de água quente a um lavatório e de água fria e quente a uma banheira. Observa-se


que o espectro médio parede representar com aproximação suficiente o comportamento dos diversos

ensaios.

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

1,0E-01

1,0E+00

1,0E+01

1,0E+02

1,0E+03

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

f (Hz)

Mag { } (Pa/Hz)

Resultados obtidos nos ensaios efectuados

Média dos resultados obtidos nos ensaios efectuados

Figura 6.6 – Espectros de Fourier da amplitude da variação de pressão devida à manobra de abertura e fecho de torneiras de água quente e fria de um lavatório e de uma banheira, calculados com base em registo no tempo obtido por Baeta [5].

Uma vez que os registos no tempo foram obtidos por Baeta [5] com um passo no tempo de 0,005 s, a

máxima frequência resultante da FFT é apenas 100 Hz, o que parece, no entanto, ser suficiente,

tendo em conta que os espectros obtidos são praticamente constantes a partir de 50 Hz.

Efectuando uma regressão linear entre as frequências de 50 e 100 Hz e prolongando a recta obtida

(p = -8 10-5 f + 0,023) até aos 225 Hz, obtém-se um espectro médio de variação de pressão

esperada no interior de tubos de abastecimento de água a utensílios sanitários correntes.

Multiplicando este espectro pelo espectro indicado na Figura 5.4 para a variação de pressão unitária,

obtém-se então a resposta acústica do comportamento para uma variação real da pressão no interior

do tubo.


1,0E-10

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220f (Hz)

Mag {p} (Pa/Hz)

(1, 0

, 0)

(2, 0

, 0)

(0, 0

, 1)

(2, 2

, 2)

(3, 0

, 0)

(0, 0

, 2)

(2, 0

, 1)

(1, 0

, 2)

(2, 1

, 0)

(1, 1

, 0)

(3, 0

, 1)

(3, 1

, 0)

(3, 0

, 2)

(0, 2

, 0)

(2, 2

, 0)

(1, 0

, 2)

(4, 0

, 1)

(3, 1

, 2)

(5, 2

, 0)

(3, 2

, 2)

(2, 2

, 2)

(3, 2

, 0)

(0, 2

, 2)

(5, 1

, 0)

(1, 2

, 2)

(3, 0

, 4)

(4, 2

, 0)

(5, 1

, 2)

(0, 3

, 0)

(1, 3

, 1)

(1, 0

, 1)

Figura 6.7 – Espectro de Fourier do nível de pressão sonora registado no canto do compartimento para uma variação de pressão no interior do tubo dada por Figura 5.6.

Observa-se que a oclusão das torneiras pode ter um efeito significativo para frequências em torno

dos 20 Hz, o que, em geral, corre bem abaixo da primeira frequência de ressonâncias dos

compartimentos de dimensões correntes. Este efeito pode dever-se à influência da variação de

pressão esperada no interior de tubos de abastecimento de água, a qual apresenta uma maior

variação de pressão até aos 30 Hz, sendo, a partir daí, praticamente constante. No entanto,

analisando a Figura 6.6, seria de esperar que, após a sua multiplicação pelo espectro do nível sonoro

representado na Figura 6.4, se obtivesse uma amplificação perto dos 15 Hz e não dos 20 Hz como se

verificou.

Por outro lado, os níveis sonoros obtidos neste caso são muitos baixos, não sendo sequer audíveis, o

que está de acordo com o reduzido número de queixas relativas a ruídos deste tipo.

6.6. CONCLUSÕES

Neste capítulo foi apresentado um modelo de cálculo automático do campo de pressões sonoras

desenvolvido num compartimento devido à vibração de uma parede adjacente sujeita à acção de uma

força de impacto pontual. Esse modelo já foi utilizado de forma sucessiva para estimar a resposta

acústica de um compartimento à vibração de uma parede imposta por variações de pressão no

interior de um tubo embebido.

Concluiu-se que o modelo se torna extremamente moroso para frequências de análise superiores a

225 Hz, o que não é grave, tendo em conta que as variações de pressão registadas em ensaios de


abertura e fecho de torneira de água quente e fria de lavatórios e banheiras apresentam conteúdos

energéticos importantes apenas para frequências abaixo dos 20 a 30 Hz, ou seja, já na gama dos

infrasons.

Infelizmente, não foi possível avaliar o efeito, dos primeiros modos longitudinais do tubo com o campo

sonoro instalado no compartimento.

Capítulo 7 – Conclusões e trabalhos futuros 59

7. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

7.1. CONCLUSÕES

A presente dissertação constitui uma primeira tentativa de caracterização numérica do ruído

provocado em compartimentos correntes de edifícios de habitação por variações de pressão

causados pela oclusão de válvulas ou torneiras de tubos de abastecimento de água a dispositivos

sanitários.

Foram construídos modelos de elementos finitos de tubo à vista simplesmente apoiados submetidos

a variações de pressão uniformes no seu interior. Estes modelos foram validados por fases

sucessivas a partir de uma comparação inicial entre modelos de elementos finitos de lajes sujeitas À

acção de uma força dinâmica concentrada e um modelo analítico, baseado em análise modal,

validado experimentalmente em trabalhos prévios [2].

Concluiu-se que este tipo de acção excita facilmente os modos de vibração globais longitudinais, mas

apresenta algumas dificuldades na excitação de modos locais associados à deformação da secção

transversal do tubo. Observou-se que estes modos locais são excitados apenas tubos com diâmetros

superiores a um determinado valor mínimo. Não foi possível, nesta fase, identificar com certeza

absoluta se esta situação se deve a um problema numérico.

Foram posteriormente construídos modelos de tubo embebidos em meio elástico, considerando, para

tal, condições de apoio de Winkler. Apesar de este tipo de modelo se adequar mais a paredes de

grandes dimensões, considerou-se que esta era a forma mais expedita de modelar a resposta

dinâmica nas paredes do tubo embebido à variação de pressão no interior do tubo. A alternativa

passaria pela utilização de elementos tridimensionais (sólidos) de parede. Concluiu-se que a restrição

imposta na superfície da pela parede elimina a presença de modos locais no intervalo de frequências

em estudo, mantendo-se apenas os modos longitudinais globais, os quais passaram a ocorrer para

frequências médias.

Finalmente, foi utilizado, de forma sucessiva, um modelo para a estimativa da pressão sonora

resultante da acção de forças de impacto pontuais numa das superfícies da envolvente de um

compartimento, com o objectivo de simular a resposta acústica de um compartimento a uma variação

de pressão no interior de um tubo embebido numa parede adjacente. Foram considerados espectros

da variação de pressão calculados a partir de registos no tempo obtidos por outros autores [5] em

ensaios de abertura e fecho de torneiras de água fria e quente de lavatórios e banheiras.

Concluiu-se que este tipo de manobra conduz a espectros com maior conteúdo energético para

frequências na casa dos 10 a 30 Hz, sendo pouco relevante para frequências superiores. Assim, a

resposta acústica dos compartimentos é afectada para essas frequências, inferiores às

correspondentes aos primeiros modos acústicos dos compartimentos, mas, ainda assim, corresponde

a níveis sonoros muito baixos em virtude da não existência de modos de vibração do tubo excitáveis

60 Capítulo 7 – Conclusões e trabalhos futuro

nesse intervalo de frequências. Não foi possível, devido a limitações do programa de cálculo da

pressão sonora, estimar o efeitos dos modos longitudinais do tubo ao nível sonoro no compartimento,

no entanto, assume-se que não deverá ser significativo tendo em conta a reduzida quantidade de

energia introduzida nessa gama de frequências pela oclusão de torneiras de aparelhos sanitários.

7.2. TRABALHOS FUTUROS

O presente trabalho constituiu, como já foi referido, uma primeira aproximação para caracterização do

ruído transmitido aos compartimentos por variações de pressão introduzidas em tubos de

abastecimento de água para consumo doméstico por oclusão de torneiras ou de outro tipo de

válvulas.

Nesta fase preliminar foram consideradas algumas simplificações, as quais poderão ser removidas

em desenvolvimento futuro. Assim, considera-se de interesse para a investigação a utilização de

elementos finitos tridimensionais (sólidos) para a modelação de parede com tubos embutidos. Neste

caso, a análise do ruído resultante no compartimento adjacente deverá ser efectuada por um modelo

híbrido onde o termo de acoplamento entre o campo de velocidade da parede e o campo sonoro –

equação (6.20) – deverá ser calculado numericamente a partir da resposta da parede fornecida pelo

programa de cálculo de elementos finitos. Estes modelos deverão ser testados de forma a garantir

que a resposta dinâmica da parede e do espaço acústico não é condicionada por problemas

numéricos tais como a dimensão dos elementos de laje utilizados na modelação do tubo.

Finalmente, interessa optimizar a programação no sentido de aumentar a rapidez de execução do

cálculo, permitindo dessa forma o estudo do comportamento do sistema tubo/parede/compartimento

para frequências mais elevadas, preferencialmente até aos 2048 Hz para garantir a fiabilidade dos

resultados até aos 512 Hz (ou 1024 Hz, com um erro aceitável) Desta forma será possível avaliar o

efeito dos modos longitudinais e de alguns dos primeiros modos locais do tubo embebido. Será ainda

possível calcular níveis sonoros ponderados A para comparação com medições de ruído ambiente

disponíveis em bibliografia especializada.

61

8. REFERÊNCIAS

[1] Hopkins, Carl. – Sound Insulation, Elsevier, Oxford, UK, 2007;

[2] Neves e Sousa, A. – Low frequency Impact Sound Transmission in Dwellings, Tese

de Doutoramento, The University of Liverpool, Inglaterra, 2005;

[3] Harris, Cyril M. – Manual de medidas acusticas y control del ruido – 3ª Edição,

McGraw-Hill, New Iorque, EUA, 1995;

[4] Pedroso, Vitor. – Manual dos sistemas prediais de distribuição e drenagem de águas

– 3ª Edição, LNEC, Lisboa, Portugal,2007;

[5] Baeta, João Pedro – Avaliação da prática actual de dimensionamento de redes

domiciliárias de distribuição de água: Análise comportamental e ensaios in situ, Tese

de Mestrado, DECivil – Instituto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa,

Lisboa, 2007;

[6] Quintela, António de Carvalho – Hidráulica – 9ª Edição, Fundação Calouste

Gulbenkian, Lisboa, Portugal,2005;

[7] Caleffi – Catálogo geral - Componentes para instalações hidro-sanitárias, Maia,

Portugal, 2009;

[8] Computers and Structures Inc. - Analysis Reference Manual for SAP2000

ADVANCED v.10.0.7, Berkeley, California, USA, 2005;

[9] Cremer, L.; Heckl, M.; Ungar, E.E. – Struture-borne sound: structural vibrations and

sound radiation at audio frequencies – 2ª Edição, Springer-Verlag, Berlim, Alemanha,

1973;

[10] Timoshenko, S.; Goodier, J. – Theory of elasticity, McGraw-Hill, Nova Iorque, EUA,

1970;

[11] Timoshenko, S.; Woinowski-Krieger, S. – Theory of plates and shells, McGraw-Hill,

New Iorque, EUA, 1959;

[12] Case,J; Chilves,L.; Ross, C.T.F. – Strength of materials and structures, with an

introduction to Finite element analysis, Eduard Arnold, UK, 1993;

[13] Leissa, A. – Vibration of plates, Acoustical Society of America, Columbus, Ohio; EUA,

1993;

[14] Kinsler, L.E.; Frey, A.R.; Coppens, A.B.; Sanders, J.V. – Fundamentals of acoustics –

4ª Edição, Jonh Wiley & Sons, Carolina do Norte, EUA, 2000;

62

[15] Brazão Farinha, J.S. ; Correia dos Reis, A. – Tabelas Técnicas, Edições Técnicas,

Lisboa, 1996;

[16] Press, W. ; Teukolsky, S. ; Vettering, W.; Flanery, B. – Numerical Recipes in fortran,

Cambridge University Press, Cambridge, USA, 1992;

[17] Pina dos Santos, C.; Vasconcelos de Paiva, J. – Caracterização térmica de paredes

de alvenaria; ITE12, Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa, 1997;

[18] ABAQUS - http://www.simulia.com/products/structural_acoustics.html;

[19] SYSNOISE Manual – Revesion 5.5. LMS International, Leuven, Bélgica, 2000;

[20] Munson, B.; Young, D.; Okiishi, T. – Fundamentals of fluid machanics – 2ª Edição,

John Wiley & Sons, Nova Iorque, EUA, 1994;

[21] Kuttruff, H. – Room Acoustic, Elsevier Applied Science, Nova Iorque, EUA, 1991;

[22] Kihlman, T. ; Kropp, W. ; Pietrzyk, A. – Sound insulation at low frequencies, ISBN: 91-

540-5685-3;

[23] Maluski, S. – Low frequency sound insulation in dwellings, Tese de Doutoramento,

Sheffield Hallam University, Sheffield, Reino Unido, 1999;

[24] Vieira de Melo, G. – Measurement and prediction of sound absorption of room

surfaces and contents at low frequencies, Tese de Doutoramento, Universidade

Federal de Santa Catarina, Florianópolis, Brazil;

[25] Mateus, Diogo – Isolamento Acústico de elementos de compartimentação, Tese de

Doutoramento, DEC – Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade de

Coimbra, Coimbra, 2004;

[26] Mariano, Joana – Campos Sonoros gerados por circulação humana em escadas de

edificios de habitação, Tese de Mestrado, DECivil – Instituto Superior Técnico da

Universidade Técnica de Lisboa, Lisboa, 2007;

NORMAS

[N.1] EN ISO 12354 – 1: Building acoustics – Estimation of acoustic performance of

building from the performance of elements – Part 1: Airborne sound insulation

between rooms, Comité Europeu de Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2000;

63


building from the performance of elements – Part 1: Impact sound insulation between

rooms, Comité Europeu de Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2000;

[N.3] Regulamento geral dos sistemas públicos e prediais de distribuição de água e de

drenagem de águas residuais, Decreto-Lei n.º 23/95, de 23 de Agosto

[N.4] REBAP – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré-Esforçado, Porto

Editora, Lisboa, Portugal, 2007

[N.5] CEN – “Eurocode 2 – Design of concrete structures – Part 1-1: Common rules for

buildings and civil engineering structures”. CEN, prENV 1992-1-1

[N.6] CEN – “Eurocode 6 – Design of masonry structures – Part 1-1: General Rules for

Buildings – Rules for reinforced and unreinforced masonry”. CEN, prENV 1996-1-1,

1995


building from the performance of elements – Part 6: Sound absorption in enclosed

spaces, Comité Europeu de Normalização, Bruxelas, Bélgica, 2003.

I

ANEXOS

III

A1 – MODELO DO CAMPO DE VIBRAÇÃO DE UMA PLACA

Os programas computacionais utilizados neste trabalho foram escritos em Visual Basic, Versão 6.0. O

código seguinte descreve a equação (3.27), correspondente ao campo de vibração de uma placa

simplesmente apoiada sujeita a uma força de impacto pontual.

As variáveis escritas a negrito são fornecidas como input do programa.

Private Sub Command1_Click()

‘Parte 1: Modos de vibração da placa

b = ym * (t ^ 3) / 12 / (1 - (pr ^ 2)) ‘ym = módulo de elasticidade; t = espessura; pr = coef.

Poisson

mass = ro * t ‘ro = densidade do material

cpi = 3.14159265358979

testfi = 0

testfj = 0

i = 0

j = 0

Do While testfi = 0 ‘Rotina que conta o número de modos de vibração

i = i + 1

Do While (testfj < (fscale * mf)) ‘fscale = factor(4); mf = frequência máxima em análise

(200Hz)

j = j + 1

testfj = (Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)) / 2 / cpi ‘ly, lz = dimensões da

placa

Loop

nmodesf(i) = j - 1

If nmodesf(i) = 0 Then testfi = 1

j = 0

testfj = 0

Loop

nlines = i - 1

IV

nmodesft = 0

For i = 1 To nlines ‘Rotina que cria uma matriz não ordenada dos modos de vibração

For j = 1 To nmodesf(i)

wf = Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)

ff(i, j) = wf / 2 / cpi

nmodesft = nmodesft + 1

Next j

Next i

nmodesftcount = 0

fmax = 0

fmin = 0

rep = 0

Do While (nmodesftcount < nmodesft) ‘Rotina que cria uma matriz ordenada dos modos de

vibração

nmodesftcount = nmodesftcount + 1

fmax = fscale * mf

For i = 1 To nlines


If (ff(i, j) <= fmax And ff(i, j) > fmin) Then

fmax = ff(i, j)

ny = i

nz = j

End If

Next j

Next i

fmin = fmax

fford(nmodesftcount, 1) = ny

fford(nmodesftcount, 2) = nz

fford(nmodesftcount, 3) = fmax

V

fford(nmodesftcount, 4) = 2 * cpi * fmax

Loop

‘ Parte 2: equação (2.27)

For i = fstart To mf ‘fstart = frequência mínima em análise (18Hz)

lf = 1 / Sqr(i) + rlf ‘rlf = factor de perdas

npoints = 0

ReV = 0

ImV = 0

For n = 1 To nmodesft

ReVnum = Sin(fford(n, 1) * cpi * coord(1) / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * coord(2) / lz) *

Sin(fford(n, 1) * cpi * yf / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * (fford(n, 4) ^ 2) ‘coord(1), coord(2) =

coordenadas y e z do ponto em análise do

campo de vibração; yf, zf = coordenadas do ponto onde é

aplicada a força

Vden = ((((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2)) ^ 2) + (lf ^ 2) * (fford(n, 4) ^ 4))

ReVadd = ReVnum / Vden

ImVnum = Sin(fford(n, 1) * cpi * coord(1) / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * coord(2) / lz) *

Sin(fford(n, 1) * cpi * yf / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * ((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2))

ImVadd = ImVnum / Vden

ReV = ReV + ReVadd

ImV = ImV + ImVadd

Next n

ReV = 4 * (2 * cpi * i) * lf * fint / mass / ly / lz * ReV ‘fint = amplitude da força

ImV = 4 * (2 * cpi * i) * fint / mass / ly / lz * ImV

ReA = -(2 * cpi * i) * ImV

ImA = (2 * cpi * i) * ReV

MagA = Sqr((ReA ^ 2) + (ImA ^ 2))

PhaA = (Atn(ImA / ReA)) * 180 / cpi

Next i

End Sub

VII

A2 – DADOS INPUT NA MODELAÇÃO NUMÉRICA DA LAJE HOMOGÉNEA SIMPLESMENTE APOIADA

Dados INPUT

N 4096

fmáx (Hz) 2048 f (Hz) 1 T (s) 1 t (s) 0,000244141 F (N) 1 L (m) 5 C (m) 4 h (m) 0,2

Peso/volume (N/m3) 23500 G (m/s2) 9,8 M (Kg) 479,5918367

Cálculo do amortecimento através da equação (3.28)

f (Hz) ξ f (Hz) ξ 1 0,499 60 0,069 2 0,355 70 0,064 3 0,290 80 0,060 4 0,252 90 0,057 5 0,226 100 0,054 6 0,207 200 0,040 7 0,192 300 0,034 8 0,180 400 0,030 9 0,170 500 0,027

10 0,161 600 0,025 20 0,116 700 0,024 30 0,095 800 0,022 40 0,083 900 0,021 50 0,075 1000 0,021

IX

A3 – DIMENSÕES DO TIJOLO DE ACORDO COM O EUROCÓDIGO 6

XI

A4 – ACOPLAMENTO ENTRE O CAMPO SONORO DE UM COMPARTIMENTO E

CAMPO DE VIBRAÇÃO DE UMA PLACA

O código seguinte descreve a equação (5.38), correspondente ao campo sonoro gerado num

compartimento pela aplicação de uma força de impacto pontual numa das paredes do compartimento.

As variáveis escritas a negrito são fornecidas como input do programa.

Private Sub Command1_Click()

‘Parte 1: Modos de vibração da placa

b = ym * (t ^ 3) / 12 / (1 - (pr ^ 2)) ‘ym = módulo de elasticidade; t = espessura; pr = coef. Poisson

mass = ro * t ‘ro = densidade do material

cpi = 3.14159265358979

testfi = 0

testfj = 0

i = 0

j = 0

Do While testfi = 0 ‘Rotina que conta o número de modos de vibração

i = i + 1

Do While (testfj < (fscale * mf)) ‘fscale = factor(4); mf = frequência máxima em análise (200Hz)

j = j + 1

testfj = (Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)) / 2 / cpi ‘dimensões da placa

Loop

nmodesf(i) = j - 1

If nmodesf(i) = 0 Then testfi = 1

j = 0

testfj = 0

Loop

nlines = i - 1

nmodesft = 0

For i = 1 To nlines ‘Rotina que cria uma matriz não ordenada dos modos de vibração


wf = Sqr(b / mass) * ((i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2)

ff(i, j) = wf / 2 / cpi

XII

nmodesft = nmodesft + 1

Next j

Next i

nmodesftcount = 0

fmax = 0

fmin = 0

rep = 0

Do While (nmodesftcount < nmodesft) ‘Rotina que cria uma matriz ordenada dos modos de vibração

nmodesftcount = nmodesftcount + 1

fmax = fscale * mf

For i = 1 To nlines


If (ff(i, j) <= fmax And ff(i, j) > fmin) Then

fmax = ff(i, j)

ny = i

nz = j

End If

Next j

Next i

fmin = fmax

fford(nmodesftcount, 1) = ny

fford(nmodesftcount, 2) = nz

fford(nmodesftcount, 3) = fmax

fford(nmodesftcount, 4) = 2 * cpi * fmax

Loop

‘Parte 2: Modos de acústicos do compartimento

c = 331.5 * Sqr(1 + teta / 273) ‘teta = temperatura do ar

testfi = 0

testfj = 0

testfk = 0

i = 0

j = 0

k = 0

XIII

Do While (testfi = 0) ‘Rotina que conta o número de modos acústicos

Do While (testfj = 0)

Do While (testfk < fscale * mf)

testfk = c * Sqr((k * cpi / lx) ^ 2 + (i * cpi / ly) ^ 2 + (j * cpi / lz) ^ 2) / 2 / cpi

‘lx, ly, lz = dimensões do compartimento

k = k + 1

Loop

nmodesr(i + 1, j + 1) = k - 1

If nmodesr(i + 1, j + 1) = 0 Then

testfj = 1

If j = 0 Then testfi = 1

End If

k = 0

testfk = 0

j = j + 1

Loop

nmodesrj(i + 1) = j - 1

j = 0

testfj = 0

i = i + 1

Loop

nlines = i - 1

nmodesrt = 0

For i = 1 To nlines ‘Rotina que cria uma matriz não ordenada dos modos acústicos

For j = 1 To nmodesrj(i)

For k = 1 To nmodesr(i, j)

wr = c * Sqr(((k - 1) * cpi / lx) ^ 2 + ((i - 1) * cpi / ly) ^ 2 + ((j - 1) * cpi / lz) ^ 2)

fr(k, i, j) = wr / 2 / cpi

nmodesrt = nmodesrt + 1

Next k

Next j

Next i

nmodesrt = nmodesrt - 1

XIV

nmodesrtcount = 0

fmax = 0

fmin = 0

Do While (nmodesrtcount < nmodesrt) ‘Rotina que cria uma matriz ordenada dos modos acústicos

nmodesrtcount = nmodesrtcount + 1

fmax = fscale * mf

For i = 1 To nlines

For j = 1 To nmodesrj(i)

For k = 1 To nmodesr(i, j)

If (fr(k, i, j) <= fmax And fr(k, i, j) > fmin) Then

fmax = fr(k, i, j)

nx = k - 1

ny = i - 1

nz = j - 1

End If

Next k

Next j

Next i

fmin = fmax

frord(nmodesrtcount, 1) = nx

frord(nmodesrtcount, 2) = ny

frord(nmodesrtcount, 3) = nz

frord(nmodesrtcount, 4) = fmax

frord(nmodesrtcount, 5) = fmax * 2 * cpi

Loop

' Parte 3: Equação (4.38)

rs = 2 * (lx * ly + ly * lz + lz * lx)

rv = lx * ly * lz

rt = 0.161 * rv / rs / alfa ‘alfa = coeficiente de absorção sonora média

delta = 6.9 / rt

pw = rh * 610.5 * Exp(17.269 * teta / (237.3 + teta)) ‘rh = humidade relativa

roa = (101325 - pw) / 287 / (273.15 + teta) + pw / 461 / (273.15 + teta)

For i = fstart To mf ‘fstart = frequência mínima em análise (18Hz)

XV

lf = 1 / Sqr(i) + rlf ‘rlf = factor de perdas

npoints = 0

ReSP = 0

ImSP = 0

For m = 1 To nmodesrt

ReB = 0

ImB = 0

For n = 1 To nmodesft

If fford(n, 1) = frord(m, 2) Then

ReBadd = 0

ImBadd = 0

ElseIf fford(n, 2) = frord(m, 3) Then

ReBadd = 0

ImBadd = 0

Else

ReBnum = (((-1) ^ (fford(n, 1) + frord(m, 2))) - 1) * (((-1) ^ (fford(n, 2) + frord(m, 3))) - 1) * Sin(fford(n, 1) * cpi * yf / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * (fford(n, 4) ^ 2) ‘yf, zf = coordenadas do ponto onde é aplicada a força

Bden = fford(n, 1) * fford(n, 2) * (cpi ^ 2) / ly / lz * (((frord(m, 2) / fford(n, 1)) ^ 2) - 1) * (((frord(m, 3) / fford(n, 2)) ^

2) - 1) * ((((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2)) ^ 2) + (lf ^ 2) * (fford(n, 4) ^ 4))

ReBadd = ReBnum / Bden

ImBnum = (((-1) ^ (fford(n, 1) + frord(m, 2))) - 1) * (((-1) ^ (fford(n, 2) + frord(m, 3))) - 1) * Sin(fford(n, 1) * cpi * yf / ly) * Sin(fford(n, 2) * cpi * zf / lz) * ((fford(n, 4) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2))

ImBadd = ImBnum / Bden

End If

ReB = ReB + ReBadd

ImB = ImB + ImBadd

Next n

ReB = 4 * (2 * cpi * i) * lf * fint / mass / ly / lz * ReB ‘fint = amplitude da força

ImB = 4 * (2 * cpi * i) * fint / mass / ly / lz * ImB

filmn = Cos(frord(m, 1) * cpi * coord(1) / lx) * Cos(frord(m, 2) * cpi * coord(2) / ly) * Cos(frord(m, 3) * cpi * coord(3) / lz) ‘coord(1), coord(2) = coordenadas y e z do ponto em análise do campo de vibração

ReSPnum = ((-1) ^ frord(m, 1)) * (2 * delta * frord(m, 5) * ReB - ((frord(m, 5) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2) - (delta ^ 2)) * ImB)

* filmn

SPden = (((frord(m, 5) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2) - (delta ^ 2)) ^ 2) + 4 * (delta ^ 2) * (frord(m, 5) ^ 2)

ReSPadd = ReSPnum / SPden

XVI

ReSP = ReSP + ReSPadd

ImSPnum = ((-1) ^ frord(m, 1)) * (2 * delta * frord(m, 5) * ImB + ((frord(m, 5) ^ 2) - ((2 * cpi * i) ^ 2) - (delta ^ 2)) * ReB)

* filmn

ImSPadd = ImSPnum / SPden

ImSP = ImSP + ImSPadd

Next m

ReSP = 8 * (2 * cpi * i) * roa * (c ^ 2) / lx / ly / lz * ReSP

ImSP = 8 * (2 * cpi * i) * roa * (c ^ 2) / lx / ly / lz * ImSP

MagSP = Sqr((ReSP ^ 2) + (ImSP ^ 2))

PhaSP = (Atn(ImSP / ReSP)) * 180 / cpi

Next i

Next j

End Sub

caracterizaÇÃo preliminar do ruÍdo estrutural …

Documents